Algebraische Geometrie 1

Prof. E. Lau
Winter 2013/14
Algebraische Geometrie 1
Blatt 4
Abgabe bis Montag 11.11.13 um 12 Uhr im roten Postfach 3 auf D1
Aufgabe 1. Es seien X ein Schema und K ein Körper.
(a) Die Menge der Morphismen von Schemata Spec K → X ist bijektiv zur Menge der
Paare (x, α) mit x ∈ X und einem Ringhomomorphismus α : k(x) → K.
(b) Gegeben sei ein Morphismus π : X → Spec K. Für x ∈ X ist dann k(x) auf
natürliche Weise eine Erweiterung von K. Die Menge der Morphismen von Schemata
i : Spec K → X mit π ◦ i = id ist bijektiv zur Menge der Punkte x ∈ X mit k(x) = K.
Aufgabe 2. Verkleben von Räumen. Gegeben seien eine Familie von geringten Räumen
Xi für i ∈ I, offene Teilmengen Xij ⊆ Xi für i 6= j und Isomorphismen von geringten
Räumen ϕij : Xij ∼
= Xji , so dass ϕij = ϕ−1
ji , ϕij (Xij ∩ Xik ) = Xji ∩ Xjk , und
ϕjk ◦ ϕij = ϕik : Xij ∩ Xik → Xki ∩ Xkj .
Dann gibt es einen geringten Raum X mit einer Überdeckung durch offene Teilmengen Ui
für i ∈ I und Isomorphismen ψi : Xi ∼
= Ui , so dass ψi (Xij ) = Ui ∩ Uj und ϕij = ψj−1 ◦ ψi .
Wenn alle Xi lokal geringt bzw. Schema sind, gilt das gleiche für X.
Finde ein Diagramm, dessen Kolimes X ist.
Aufgabe 3. (a) Filtrierte Kolimiten torsionsfreier abelscher Gruppen sind torsionsfrei.
(b) Gilt das auch für beliebige Kolimiten? Betrachte zum Beispiel Diagramme der Form
Z ⇒ Z oder Z ← Z → Z. Wann sind deren Kolimiten torsionsfrei?
(c) Jede abelsche Gruppe A kann als Kolimes von endlich erzeugten freien abelschen
Gruppen geschrieben werden. Genauer sei C folgende Kategorie: Objekte sind Paare
(M, α) wobei M ∼
= Zn und α : M → A ein Gruppenhomomorphismus. Ein Morphismus
(M, α) → (M 0 , α0 ) ist ein Homomorphismus β : M → M 0 mit α0 ◦ β = α. Es sei
F : C → (Ab) der Funktor (M, α) 7→ M . Dann ist A ∼
(F ).
= lim
−→C
(d) Genau dann ist A torsionsfrei, wenn die Kategorie C in folgendem Sinne filtriert ist:
Für X, Y ∈ C gbit es Z ∈ C und Morphismen X → Z ← Y , und für zwei Morphismen
f, g : X → Y in C gibt es ein h : Y → Z in C mit hf = hg.
Aufgabe 4. Es sei (X, OX ) ein lokal geringter Raum.
(a) Für U ⊆ X offen und f ∈ OX (U ) ist die Menge DU (f ) = {x ∈ U | f (x) 6= 0} offen.
(b) Es sei A ein Ring und φ : A → OX (U ) ein Ringhomomorphismus. Die Abbildung
f : X 7→ Spec(A), x 7→ {g ∈ A | φ(g)(x) = 0} ist wohldefiniert und stetig.
(c) Die stetige Abbildung f aus (b) hat eine eindeutige Ergänzung zu einem Morphismus
von geringten Räumen (f, f [ ) : (X, OX ) → Spec A, und dieser ist ein Morphismus von
lokal geringten Räumen.
(d) Es gibt eine natürliche Bijektion Hom(lok.ger.R) (X, Spec A) ∼
= Hom(Ringe) (A, OX (X)).
Aufgabe 5*. Für einen filtrierten Kolimes von Ringen A = limi∈I Ai gibt es einen
−→
Homöomorphismus Spec(A) ∼
Spec(A
).
= lim
i
←−i∈I
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