Zettel 7

ÜBUNGSZETTEL 7 - EINFÜHRUNG IN DIE
ALGEBRA
JENS FRANKE, FABIAN HEBESTREIT
Aufgabe 1 (4 Punkte). Es seien K und L Körper. Wir betrachten den
Ring R = K × L mit komponentenweisen Ringoperationen.
i) Man ordne endlich erzeugten R-Moduln M (natürlich mit Nachweis) derart Paare natürlicher Zahlen d(M ) zu, dass folgende
Bedingungen gelten:
a) Zwei endlich erzeugte R-Moduln M und N sind genau dann
isomorph, wenn d(M ) = d(N ).
b) d(M ⊕ N ) = d(M ) + d(N )
ii) Bestimmen Sie diejenigen Zahlenpaare, die zu freien R-Moduln
gehören.
iii) Man zeige, dass jeder endlich erzeugte R-Modul projektiv ist.
Bemerkung. Unter Benutzung des Auswahlaxioms kann man iii) sogar für beliebige R-Moduln zeigen. Weiterhin gelten analoge Aussagen
auch für beliebige endliche Produkte von Körpern.
Aufgabe 2 (8 Punkte). Man betrachte das Diagram
/
0
0
/
/
V0
f0
V0
/
/
V
/
0
/
0
V 00
V
f
/
f 00
V 00
von K-Vektorräumen mit exakten Zeilen.Für jede der folgenden Eigenschaften E von Endomorphismen A von K-Vektorräumen
i) A ist diagonalisierbar
ii) A ist nilpotent
iii) A ist invertierbar
iv) A = 0.
v) A ist injektiv.
und die beiden Implikationen
a) Aus E(f 0 ) und E(f 00 ) folgt E(f ).
b) Aus E(f ) folgen E(f 0 ) und E(f 00 )
Abgabetermin: 8.12. in der Vorlesung
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JENS FRANKE, FABIAN HEBESTREIT
gebe man jeweils eine kurze Begründung der Implikation oder ein Gegenbeispiel an.
Aufgabe 3 (4 Punkte). Es sei R ein Ring und Q ein R-Modul. Zeigen
Sie, dass für jede exakte Sequenz Ist
0 −→ M −→ N −→ P −→ 0
auch die induzierte Sequenz
0 −→ HomR (Q, M ) −→ HomR (Q, N ) −→ HomR (Q, P )
exakt ist. Zeigen Sie weiterhin, dass die Projektivität von Q äquivalent
zur Surjektivität der letzten Abbildung in jeder Sequenz obiger Form
ist.
Bemerkung. Man fasst das Ergebnis dieser Aufgabe häufig wie folgt
zusammen: HomR (Q, −) ist für jedes Q linksexakt und ein Modul ist
genau dann projektiv, wenn HomR (Q, −) auch rechtsexakt (und damit
überhaupt exakt) ist.
Aufgabe 4 (4 Punkte). Man gebe eine nicht zerfallende, kurze exakte
Sequenz von Z-Moduln an und entscheide weiterhin für welche der
Ringe Z/n dies ebenfalls möglich ist.