Einführung in die Logik für Informatiker

A
Fachbereich Mathematik
Dr. Mathias Kegelmann
Peter Lietz
Tobias Löw
Florence Micol
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester 2003 15. Mai
2003
Einführung in die Logik für Informatiker
Miniprojekt
Die intuitionistische Logik unterscheidet sich von der klassischen Logik durch den Verzicht auf
die Regel (¬¬). Das heißt, das Argument, dass eine Aussage gelten muss, weil ihre Negation
nicht gilt, ist in der intuitionistischen Logik nicht zulässig. Wir werden in diesem Miniprojekt
eine wichtige und charakteristische Eigenschaft der intuitionistischen Logik nachweisen: die Disjunktionseigenschaft. Als unmittelbare Folgerung werden wir in der Lage sein zu zeigen, dass
bestimmte, klassisch herleitbare Sätze nicht intuitionistisch herleitbar sind. Die hier vorgestellte Methode lässt sich auch direkt erweitern auf die Prädikatenlogik, wo die Unterscheidung der
intuitionistischen und klassischen Logik eigentlich erst richtig interessant wird.
Aus der klassischen Herleitbarkeit einer Sequenz der Form ` A ∨ B folgt noch nicht notwendigerweise, daß bereits eine der Sequenzen ` A oder ` B herleitbar ist. Beispielsweise ist die Sequenz
` p0 ∨ ¬p0 als Instanz von tertium non datur klassisch herleitbar, aber weder die Sequenz ` p0
noch die Sequenz ` ¬p0 ist für sich herleitbar.
Betrachten wir nun den intuitionistischen Kalkül des natürlichen Schließens. Falls wir Sequenzen
mit nichtleeren Voraussetzungsmengen betrachten, so ist die Aussage ebenfalls falsch. Wir können
die Sequenz p0 ∨ p1 ` po ∨ p1 intuitionistisch herleiten, aber weder p0 ∨ p1 ` po noch p0 ∨ p1 ` p1 .
Beschränken wir uns allerdings auf Sequenzen mit leerer Voraussetzungsmenge, so gilt der folgende
Satz.
Satz. Für den intuitionistischen Kalkül des natürlichen Schließens gilt:
` A ∨ B ist herleitbar
⇐⇒
` A ist herleitbar oder ` B ist herleitbar
Es gibt viele Methoden, diesen Satz zu beweisen. Die wahrscheinlich bekannteste Methode ist der
Schnitteliminationssatz. Wir werden in diesem Miniprojekt den Aczel-Slash verwenden, benannt
nach dem englischen Mathematiker Peter Aczel, welcher wiederum eine Variante des von
Stephen C. Kleene erfundenen Kleene-Slash ist.
Der Aczel-Slash ist eine Relation zwischen den Mengen PROP∗ und PROP (PROP∗ ist die Menge
der endlichen Listen von Elementen aus PROP). Stehen ∆ ∈ PROP∗ und A ∈ PROP in Relation,
so schreiben wir ∆ | A. Die Relation | ist per Induktion über den Aufbau von A definiert:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
∆ | pn
∆|⊥
∆|A∧B
∆|A∨B
∆|A→B
:=
:=
:=
:=
:=
∆ ` pn ist herleitbar
∆ ` ⊥ ist herleitbar
∆ | A und ∆ | B
∆ | A oder ∆ | B
(1) ∆ | A impliziert ∆ | B und (2) ∆ ` A → B ist herleitbar
Dabei ist mit herleitbar“ gemeint intuitionistisch herleitbar“.
”
”
Wir können nun leicht per Induktion über den Aufbau von A das folgende Lemma zeigen:
Lemma. Wenn ∆ | A gilt, dann ist ∆ ` A intuitionistisch herleitbar.
Beweis. Übung
Die Umkehrung des obigen Lemmas ist falsch. Wir sind vorerst auch nur daran interessiert zu zeigen, daß | A gilt, falls ` A intuitionistisch herleitbar ist. Ein solcher Beweis wird fast zwangsläufig
per Induktion über herleitbare Sequenzen geführt werden müssen. Zu diesem Zweck müssen wir
den zu beweisenden Satz auf korrekte Weise auf Sequenzen ausweiten.
Satz. Sei ∆ ∈ PROP∗ . Für alle intuitionistisch herleitbaren Sequenzen Γ ` A gilt:
Falls ∆ | C für alle C ∈ Γ, dann gilt ∆ | A.
Beweis. Wir können einen Satz wie diesen, der eine Aussage über alle herleitbaren Sequenzen
trifft, per Induktion über die Schlußregeln des Kalküls des natürlichen Schließens beweisen. Das
heißt, wir müssen für jede einzelne Beweisregel nachweisen dass, wenn die Sequenzen über dem
Strich die Aussage erfüllen, auch die Sequenz unter dem Strich die Aussage erfüllt. Diese Beweismethode kann als eine Verallgemeinerung der natürlichen Induktion gesehen werden.
Wir führen den Beweis exemplarisch anhand einer einfachen und einer schwierigeren Regel. Für
die Regel
Γ, A, Γ0 ` A
(ax)
ist zu zeigen, daß folgendes gilt: Wenn für alle C ∈ Γ, A, Γ0 gilt ∆ | C, dann gilt ∆ | A. Das ist
aber trivial, da A in Γ, A, Γ0 vorkommt.
Betrachten wir nun eine kompliziertere Regel:
Γ`A∨B
Γ, A ` G Γ, B ` G
Γ`G
(∨E)
Wir müssen folgenden Induktionsschritt zeigen: falls die drei oberen Sequenzen die Eigenschaft
haben, dann hat auch die untere Sequenz die Eigenschaft.
Nehmen wir also an, daß die drei oberen Sequenzen die Eigenschaft haben. Nehmen wir weiter
an, daß gilt ∆ | C für alle C ∈ Γ. Zu zeigen ist nun, daß ∆ | G gilt. Wegen ∆ | C für alle C ∈ Γ
gilt aufgrund der Induktionsvoraussetzung angewendet auf die erste Sequenz auch ∆ | A ∨ B. Das
bedeutet nach der Definition von | , daß ∆ | A oder ∆ | B. Für den ersten Fall haben wir also
∆ | C für alle C ∈ Γ, A und, da die zweite Sequenz laut Induktionsvoraussetzung die Eigenschaft
hat, auch ∆ | G. Der zweite Fall geht analog mithilfe der dritten Sequenz.
Arbeite die restlichen Details des Beweises aus.
Korollar. Wenn ` A intuitionistisch herleitbar ist, dann gilt | A.
Beweis. Übung
Mit diesem Wissen sind wir nun in der Lage, einen einzeiligen Beweis für den ursprünglichen Satz
zu liefern (Übung).
Nun, da wir schon einmal diese Methode zur Verfügung haben, können wir noch andere interessante Dinge zeigen. Im allgemeinen folgt aus ∆ ` C nicht ∆ | C. Falls aber die Formel C kein ∨
enthält, so gilt die Umkehrung.
Lemma. Sei C eine Formel, die kein ∨ enthält. Es gelte ∆ ` C. Dann gilt auch ∆ | C.
Beweis. Induktion über den Aufbau von C.
Auch falls C eine negierte Formel ist, gilt die Umkehrung.
Lemma. Sei C eine negierte Formel, d.h. C ≡ ¬D. Es gelte ∆ ` C. Dann gilt auch ∆ | C.
Beweis. Entfalte die Definition von ∆ | ¬D.
(Die korrekte, gemeinsame Verallgemeinerung der beiden oben bewiesenen Fälle ist die Klasse der
Formeln, welche ∨ nicht als strikt positive Teilformel enthalten. Diese Definition würde jedoch
den angemessenen Rahmen dieses Projekts sprengen.)
Wir sind nun in der Lage, folgende Verallgemeinerung des ersten Satzes zu zeigen.
Satz. Sei Γ eine Liste von ∨-freien oder negierten Formeln und sei Γ ` A ∨ B intuitionistisch
beweisbar. Dann ist Γ ` A oder Γ ` B intuitionistisch beweisbar.
Beweis. Verwende den Aczel-Slash mit ∆ ≡ Γ.
Beachte, dass wir als unmittelbare Folgerung des obigen Satzes die in (H 15) mühsam gezeigte
intuitionistische Nicht-Herleitbarkeit der Sequenz ¬(p0 ∧ p1 ) ` ¬p0 ∨ ¬p1 erhalten!
Die Bearbeitung dieses Miniprojekts ist freiwillig. Der Stoff ist nicht
klausurrelevant im engeren Sinne, trägt aber mit Sicherheit zum Verständnis der
Logik bei. Falls Du Dich entscheidest, das Projekt teilweise oder vollständig zu
bearbeiten, gib Deine Ausarbeitung bitte bei Peter Lietz, Zimmer 233 in Gebäude
S2/15 ab (oder gib sie Deinem Übungsgruppenlieter oder gib sie in der Vorlesung
ab). Falls Du an einer Stelle nicht weiterkommen solltest, kannst Du Dir auch
gerne Tips bei mir abholen. Viel Spaß beim Bearbeiten!