Einführung in die Logik für Inf.

A
Fachbereich Mathematik
Dr. Mathias Kegelmann
Peter Lietz
Tobias Löw
Florence Micol
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester 2003
19. Mai 2003
Einführung in die Logik für Inf.
Viertes Übungsblatt
Präsenzübungen
(P 10) Erfüllbarkeit unendlicher Formelmengen
Gib Belegungen ρ : Atom −→ {w, f } für die Mengen Γ1 , Γ2 an und zeige damit, dass sie erfüllbar sind.
Γ1 = {p0 , p0 → p1 , p1 → p2 , p2 → p3 , . . . }
Γ2 = {p0 , p0 → ¬p1 , ¬p1 → p0 , p1 → ¬p2 , ¬p2 → p1 , p2 → ¬p3 , ¬p3 → p2 , p3 → ¬p4 , ¬p4 → p3 , . . . }
(P 11) Kompaktheitssatz
Eine Landkarte heißt n-färbbar, wenn die in ihr vorkommenden Länder derart mit n Farben gefärbt werden können
(das heißt: jedes Land mit genau einer Farbe), dass benachbarte Länder verschiedene Farben haben. Zeige, dass
eine abzählbare Landkarte genau dann 4-färbbar (allgemeiner n-färbbar) ist, wenn jede endliche Teilkarte 4-färbbar
(allgemeiner n-färbbar) ist.
Hinweis: Für eine festgelegte Anzahl an Farben, n, sei F die Menge der Farben (oBdA, F = {1, . . . , n}) und für
eine gegebene Landkarte L, sei L die Menge der Länder. Für jedes l ∈ L und f ∈ F , sei pl,f eine Proposition. Sie soll
mit wahr interpretiert werden, wenn das Land l die Farbe f hat. Finde eine abzählbare Menge aussagenlogischer
Formeln mit Atomen pl,f (l ∈ L, f ∈ F ) zur Beschreibung der n-Färbung der Landkarte L und benutze den
Kompaktheitssatz.
(P 12) Konjunktive Normalform
(a) Um eine beliebige Formel in konjunktive Normalform zu überführen, braucht man außer den de Morgan’schen
Regeln und der Distributivität von ∧ und ∨ auch, dass man Implikation durch ¬ und ∨ ausdrücken kann.
Finde deshalb Herleitungen für ¬A ∨ B ` A → B und A → B ` ¬A ∨ B.
Hinweis: Beginne den zweiten Beweis mit (∨E) für die Formel A ∨ ¬A als letzter Regel.
(b) Bestimme konjunktive Normalformen für die Negation folgender aussagenlogischen Formeln:
A1 := (p0 ∨ p1 ∨ p2 ) ∧ (p0 → p3 ) ∧ (p1 → p3 ) → (p2 ∨ p3 )
A2 := (p0 → p1 ) → p0 → p0
A3 := (p0 ↔ p1 ) ∨ (p1 ↔ p2 ) ∨ (p2 ↔ p0 )
Zur Geschichte des n-Färbbarkeitsproblems
Die Frage, ob eine Landkarte 4-färbbar ist, wurde bereits im 19. Jahrhundert gestellt. Im Jahr 1879 dachte Kempe einen
Beweis dafür zu haben, dass jede endliche Landkarte 4-färbbar ist. Heawood fand 1890 heraus, dass der Beweis falsch war,
dass aber Kempes Argumente einen Beweis für die 5-Färbbarkeit liefern. Ein mit Computerunterstützung geführter Beweis
für die 4-Färbbarkeit endlicher Landkarten gelang 1976 Haken und Appel.
http://mathcentral.uregina.ca/RR/database/RR.09.97/fisher1.html
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Heawood.html
Es gibt Landkarten, die nicht 3-färbbar sind: Belgien, Deutschland, Frankreich, Luxemburg haben jeweils alle drei anderen
Länder als Nachbarn.
Hausübungen
Abgabe in den Übungen am 26. Mai 2003
(H 10) Herleitbarkeit
Im folgenden seien A und B beliebige aussagenlogische Formeln. Gilt in der folgender Tabelle die linke Aussage
jeweils genau dann, wenn die rechte gilt? Gib zu jeder Antwort (6 Fälle) einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.
(a)
(b)
(c)
Die Sequenz ` A ∧ B ist herleitbar.
Die Sequenz ` A ∨ B ist herleitbar.
Die Sequenz ` A → B ist herleitbar.
Die beiden Sequenzen ` A und ` B sind herleitbar.
Eine der beiden Sequenzen ` A oder ` B ist herleitbar.
Aus der Herleitbarkeit von ` A folgt die Herleitbarkeit von ` B.
(H 11) Kompaktheitssatz
Sei T eine unendliche Menge von Aussagen, sodass es für jede Belegung ρ : Atom → {w, f } eine Aussage A ∈ T
gibt, deren Bedeutung unter ρ wahr ist. Zeige, dass folgendes gilt.
Es gibt eine endliche Teilmenge {A1 , . . . , An } ⊆ T mit ` A1 ∨ . . . ∨ An .
Hinweis: Untersuche die Menge T̄ = {¬φ | φ ∈ T } aller Negationen der Formeln aus T in Hinblick auf Unerfüllbarkeit und benutze den Kompaktheitssatz.
(H 12) Noch eine Herleitung
Seien die Propositionen p0 bis p4 wie folgt gegeben. Die Aussagen (a) bis (e) aus der Aufgabe (P2) seien entsprechend in aussagenlogischen Formeln Aa bis Ae übersetzt.
p0
p1
p2
p3
p4
Es ist der erste Studientag“
”
Die Gabel ist auf“
”
Das Essen schmeckt“
”
Die Studenten demonstrieren“
”
Es gibt Eis in der Mensa“
”
Aa Am ersten Studientag macht die Gabel wieder auf.
Ab Wenn das Essen nicht schmeckt, dann demonstrieren die Studenten.
Ac Wenn das Essen schmeckt und es kein Eis in der Mensa gibt, dann macht die Gabel wieder auf.
Ad Wenn die Gabel wieder aufmacht, gibt es wieder Eis in der Mensa.
Ae Wenn die Studenten demonstrieren und es kein Eis in der Mensa gibt, dann ist der erste Studientag.
Mit Γ sei die Liste Aa , Ab , Ac , Ad , Ae gemeint.
Löse die Aufgabe (P2) durch Herleitung der Sequenz Γ ` p4 .
Hinweis:
(a) man kann zunächst eine Herleitung H1 für die Sequenz Aa , Ab , Ac , Ae , ¬p4 , p2 ` p1 finden (dabei spielen
Aa , Ab , Ae keine Rolle),
(b) ebenso eine Herleitung H2 für die Sequenz Aa , Ab , Ac , Ae , ¬p4 , ¬p2 ` p1 (dabei spielt Ac keine Rolle),
(c) mit einer ersten Fallunterscheidung (also (∨E)) mittels (TND) für p2 ∨ ¬p2 kann man eine Herleitung für die
Sequenz Aa , Ab , Ac , Ae , ¬p4 ` p1 finden, und dann mittels (→ E) eine Herleitung für die Sequenz Γ, ¬p4 ` p4
bekommen, und schließlich mit einer zweiten Fallunterscheidung mittels (TND) für p4 ∨ ¬p4 die Sequenz
Γ ` p4 herleiten.