Einführung in die Logik für Informatiker

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Thomas Streicher
Peter Lietz
Tobias Löw
Florence Micol
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester 2002
27. Mai 2001
Einführung in die Logik für Informatiker
Fünftes Übungsblatt
Präsenzübungen
Skript Seiten 16 bis 26
(P 13) Herleitbarkeit
Im folgenden seien A und B beliebige aussagenlogische Formeln und wir betrachten Herleitbarkeit
im klassischen Kalkül des natürlichen Schließens. Gilt in der folgenden Tabelle die linke Aussage
jeweils genau dann, wenn die rechte gilt? Gib jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.
(a)
Die Sequenz ` A ∧ B ist herleitbar.
Die beiden Sequenzen ` A und ` B
sind herleitbar.
(b)
Die Sequenz ` A ∨ B ist herleitbar.
Eine der beiden Sequenzen ` A oder
` B ist herleitbar.
(c)
Die Sequenz ` A → B ist herleitbar.
Aus der Herleitbarkeit von ` A folgt
die Herleitbarkeit von ` B.
(P 14) Rekapitulation einiger Definitionen, Kompaktheitssatz
Sei T eine Menge von Formeln und C eine Formel. Erläutere die folgenden Begriffe:
(a)
T ist erfüllbar.
(c)
(b) T ist endlich erfüllbar.
T ist unerfüllbar.
(e) T |= C.
(d) C ist allgemeingültig.
Was sagt der Kompaktheitssatz aus? Zeige:
T |= C
⇐⇒
T ∪ {¬C} ist unerfüllbar
(g) T |= C
⇐⇒
es existiert Γ ⊆endl. T mit Γ |= C
(f)
In Definition 8.3 wird die semantische Folgerungsbeziehung |= eingeführt. Zuvor war jedoch in
Definition 5.1 schon die Gültigkeit einer Sequenz in einem Modell eingeführt worden. Zeige, daß
für jede endliche Menge Γ von Formeln die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind.
(1) Γ |= C (bzgl. Def. 8.3)
(2) Für alle % ∈ pVal gilt Γ |=B,% C (bzgl. Def. 5.1)
(P 15) Lemma zu Resolutionsverfahren
Seien A, B, C aussagenlogische Formeln und p ∈ PC. Wenn p in keiner der Formeln A, B, C
vorkommt, dann sind folgende beide Formeln erfüllungsäquivalent (equikonsistent):
(1) C ∧ (p ∨ A) ∧ (¬p ∨ B)
(2) C ∧ (A ∨ B)
d.h. (1) ist konsistent genau dann, wenn (2) konsistent ist.
Hausübungen
Skript Seiten 16 bis 26
Abgabe in den Übungen am 3. Juni 2001
(H 15) Anwendung des Kompaktheitssatzes auf den Vierfarbensatz
Eine Landkarte heißt n-färbbar, wenn die in ihr vorkommenden Länder derart mit n Farben
gefärbt werden können, dass benachbarte Länder verschiedene Farben haben. Zeige, dass eine
abzählbare Landkarte genau dann 4-färbbar (n-färbbar) ist, wenn jede endliche Teilkarte 4-färbbar
(n-färbbar) ist.
Hinweis: Finde eine abzählbare Formelmenge zur Beschreibung der Landkartenfärbung und benutze den Kompaktheitssatz. Es ist hilfreich, die Menge PC zu ersetzen durch die gleichmächtige
Menge {pl,f | l ∈ N, f ∈ {1, . . . , 4}}. Man kann dann die atomare Aussage pl,f denken als: Das
”
Land l hat die Farbe f .“
(Bemerkung: 1890 zeigte Heawood, dass jede endliche Landkarte 5-färbbar ist. Ein mit Computerunterstützung geführter Beweis für die 4-Färbbarkeit endlicher Landkarten gelang 1976 Haken
und Appel.)
(H 16) Die Lindenbaum-Tarski-Algebra der klassischen Aussagenlogik
Es bezeichne Lcl := PROP/ die Lindenbaum-Tarski-Algebra für die klassische Aussagenlogik.
Diese ist ein boolscher Verband bezüglich der Relation .
(a) Wie ist die Präordnung auf PROP definiert? Gib vier verschiedene aussagenlogische Formeln
A, B, C und D an, für die gilt A B und B A sowie C D, aber nicht D C.
(b) Was genau bedeutet PROP/ ? Nach welcher Äquivalenzrelation wird hier faktorisiert?
Was sind also die Elemente von Lcl und wie ist die Ordnungsrelation auf Lcl definiert?
(c) Welche aussagenlogischen Formeln gehören zur Äquivalenzklasse von > :≡ ⊥ → ⊥?
(d) Welche aussagenlogischen Formeln gehören zur Klasse [⊥]?
(H 17) klassifizierendes Modell der Aussagenlogik
Es sei (L, %0 ) das im Skript beschriebene klassifizierende Modell der intuitionistischen oder klassischen Aussagenlogik. Zeige mittels Induktion den ersten Teil von Satz 15, nämlich
JAKL %0 = [A] gilt für jede aussagenlogische Formel A.