Einführung in die Logik für Informatiker

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Thomas Streicher
Alexander Rohr
Peter Lietz
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester 2001
14. Mai 2001
Einführung in die Logik für Informatiker
Viertes Übungsblatt
Präsenzübungen
Skript Seiten 20 bis 31
(P 10) Herleitungen im Kalkül des natürlichen Schließens
a) Leite die folgenden Regeln aus dem intuitionistischen Kalkül des natürlichen Schließens ab.
Γ`A→B
Γ, A ∧ B ` C
Γ, A ` B
Γ, A, B ` C
Beachte, daß die Regeln in beide Richtungen gelten. Die entgegengesetzte Richtung der ersten
Regel ist gerade (→ I), die der zweiten wurde im Skript hergeleitet.
b) Leite im intuitionistischen Kalkül des natürlichen Schließens aus der Regel tertium non datur
die Regel reductio ad absurdum her. Hinweis:
Γ ` ¬¬A
Γ ` A ∨ ¬A
( )
Γ, A ` A
( )
···
Γ, ¬A ` A
Γ`A
(P 11) Anwendung des Korrektheitssatzes
( )
a) Leite im klassischen Kalkül des natürlichen Schließens die Sequenz
¬(p0 ∧ p1 ) ` ¬p0 ∨ ¬p1 her.
b) Zeige nun, daß die Sequenz im intuitionistischen Kalkül des natürlichen Schließens nicht herleitbar ist. Wende hierzu den Korrektheitssatz auf das Modell (L, %) an, wobei %(p0 ) = a, %(p1 ) = b.
u
L=
au
u
@
@ub
@
@u
(P 12) Ersetzung äquivalenter Teilformeln
Oft tritt beim Herleiten von Sequenzen die Situation auf, daß man Teilformeln durch äquivalente
Formeln ersetzen möchte. Beispielsweise kennen wir die folgende Äquivalenz
Γ ` ¬(A ∨ B) ↔ (¬A ∧ ¬B)
Nun erscheint es plausibel, daß wir die linke Seite der obigen Äquivalenz in der unten angegebenen
Formel durch die rechte Seite ersetzen können, etwa wie folgt:
Γ ` D → (¬(A ∨ B) ∧ E)
Γ ` D → ((¬A ∧ ¬B) ∧ E)
Daß dieses Vorgehen korrekt ist wollen wir nun beweisen. Zu diesem Zweck müssen wir erst einmal
den Begriff Vorkommen einer Teilformel“ definieren.
”
Wir definieren induktiv die Menge PROP∗ der Formeln mit Platzhalter durch die folgenden Regeln:
(1) ∗ ∈ PROP∗
(2) PC ⊆ PROP∗
(3) ⊥ ∈ PROP∗
(4) Wenn A, B ∈ PROP, dann (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B) ∈ PROP∗
Ist C ∈ PROP∗ und S ∈ PROP, so definieren wir induktiv C[S] ∈ PROP, die Ersetzung des
Platzhalters ∗ durch S, wie folgt.
(1) ∗[S] ≡ S
(2) pn [S] ≡ pn
(3) ⊥[S] ≡ ⊥
(4) (AB)[S] ≡ (A[S])(B[S]) für ∈ {∧, ∨, →}
Eine Formel, in der die Teilformel S an bestimmten Positionen vorkommt ist eine Formel der
Gestalt C[S]. Sei T eine Formel, dann ist C[T ] die Ersetzung von S durch T an diesen Positionen.
Im Beispiel wäre S ≡ ¬(A ∨ B), T ≡ (¬A ∧ ¬B), C ≡ D → (∗ ∧ E) und unsere Vermutung ist,
daß die Regel
Γ ` C[S]
Γ ` C[T ]
herleitbar ist.
Wir können nun unseren Satz allgemein formulieren:
Satz 1 Sei Γ ` S ↔ T herleitbar. Dann ist für alle C ∈ PROP∗ und S, T ∈ PROP die Regel
Γ ` C[S]
Γ ` C[T ]
herleitbar.
Um diesen Satz zu zeigen, ist es geschickt, die etwas stärkere Behauptung Wenn Γ ` S ↔ T
”
herleitbar ist, dann ist für alle C ∈ PROP∗ die Sequenz Γ ` C[S] ↔ C[T ] herleitbar“ per Induktion
über den Aufbau von C zu zeigen.
Das heißt, beweise die Behauptung zunächst für den Fall, daß C ≡ ∗, C ≡ pn oder C ≡ ⊥ ist.
Nimm dann an, daß die Behauptung für A, B ∈ PROP∗ gilt und zeige, daß sie auch für AB
gilt, wobei ∈ {∧, ∨, →}. Du kannst dabei die folgenden Regeln benutzen. Leite die Regel zur
Übung vielleicht für einen Fall her.
Γ ` A ↔ A0
Γ ` B ↔ B0
Γ ` (AB) ↔ (A0 B 0 )
∈ {∧, ∨, →}
Bitte wenden!
Hausübungen
Skript Seiten 20 bis 31
Abgabe in den Übungen am 21. Mai 2001
(H 12) Herleitungen im Kalkül des natürlichen Schließens
Leite im intuitionistischen Kalkül des Natürlichen Schließens die folgenden Sequenzen her.
(A ∧ B) ∨ C a` (A ∨ C) ∧ (B ∨ C)
Hierbei ist D a` E als Abkürzung für die beiden Sequenzen D ` E und E ` D zu lesen.
(H 13) Anwendung des Korrektheitssatzes
a) Leite im klassischen Kalkül des Natürlichen Schließens die Sequenz ` ((p0 → p1 ) → p0 ) → p0
(Peirce’s Law ) her. Denke Dir wahlweise einen eigenen Beweis aus, oder vervollständige den
angegebenen Beweisbaum.
···
` p0 ∨ ¬p0
( )
···
¬p0 , (p0 → p1 ) → p0 ` p0
p0 ` ((p0 → p1 ) → p0 ) → p0
(→ L)
¬p0 ` ((p0 → p1 ) → p0 ) → p0
( )
` ((p0 → p1 ) → p0 ) → p0
( )
Für die Definition der Regel (→ L) siehe Aufgabe (H 10).
b) Zeige nun, daß die Sequenz im intuitionistischen Kalkül des Natürlichen Schließens nicht
herleitbar ist. Wende hierzu den Korrektheitssatz auf das Modell (L, %) an, wobei L der
dreielementige Heyting-Verband 0 < u < 1 ist und % durch %(p0 ) = u, %(p1 ) = 0 definiert ist.
(H 14) Ersetzung äquivalenter Teilformeln
Zeige den folgenden Satz
Satz 2 Sei Γ ` S ↔ T herleitbar. Dann ist für alle C ∈ PROP∗ und S, T ∈ PROP die Regel
Γ, C[S] ` A
Γ, C[T ] ` A
herleitbar.
Man könnte den Satz natürlich ebenfalls per Induktion über den Aufbau von C beweisen, das
wollen wir aber hier nicht tun. Überlege Dir, wie Du Aufgabe (P 10) a) für einen sehr kurzen
Beweis verwenden kannst.
Wichtiger Hinweis:
Aufgrund der nachlassenden Nachfrage wird die Übung Mo. 14.25 Uhr,
S1 03 / 312 von Tobias Mann ab nächster Woche geschlossen. Die Studenten in dieser Übung werden gebeten, in die zeitgleich stattfindende
Übung von Sascha Fendrich in S1 02 / 34 zu wechseln.