Einführung in die Logik für Informatiker

A
Fachbereich Mathematik
Dr. Mathias Kegelmann
Peter Lietz
Tobias Löw
Florence Micol
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester 2003
12. Mai 2003
Einführung in die Logik für Informatiker
Lösungshinweise zum dritten Übungsblatt
Präsenzübungen
Hausübungen
(H 7) Herleitungen für Fortgeschrittene
(a) Leite folgende Sequenzen im Kalkül des natürlichen Schließens her:
(i)
A`A
(Ax)
A→B`A→B
A → B, A ` B
(Ax)
A`A
(→ E)
(Ax)
A → (B → C) ` A → (B → C)
A → (B → C), A ` B → C
A → (B → C), A → B, A, A ` C
A → (B → C), A → B, A ` C
A → (B → C), A → B ` A → C
(Ax)
(→ E)
(→ E)
(C)
(→ I)
A → (B → C) ` (A → B) → (A → C)
(→ I)
` (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
(→ I)
(ii)
(Ax)
A`A
(Ax)
¬A ` ¬A
(¬E)
¬A, A ` ⊥
(⊥E)
¬A, A ` B
¬A ` (A → B)
(→ I)
(Ax)
(A → B) → A ` (A → B) → A
(Ax)
A, ((A → B) → A) ` A
(TND)
` A ∨ ¬A
A ` ((A → B) → A) → A
¬A, (A → B) → A ` A
(→ I)
¬A ` ((A → B) → A) → A
((→ I))
(∨E)
` ((A → B) → A) → A
(b) Fortsetzung von (P 7)
(i) (TND) ⇒ (RAA):
Γ ` A ∨ ¬A
(TND)
Γ, A ` A
(Ax)
Γ, ¬A ` ⊥
Γ, ¬A ` A
Γ`A
(ii) (RAA) ⇒ (¬¬):
¬A ` ¬A
(Ax)
Γ, ¬A ` ⊥
Γ`A
Γ ` ¬¬A
(¬E)
(RAA)
(⊥E)
(∨E)
(→ E)
(H 8) Weakening
Wir wollen zeigen, daß die Regel
Γ`A
Γ, B ` A
(W)
konservativ bzgl. des Kalküls des natürlichen Schließens ist, d. h. durch das Hinzunehmen von (W) können keine
neuen Sätze hergleitet werden.
Zeige per Induktion über den Beweisaufbau, daß es zu jeder Herleitung von Γ ` C eine strukturell identische
Herleitung von Γ, D ` C gibt.
Zu zeigen ist, daß wir bei jeder Regel den Kontext der Konklusion um die Annahme D erweitern können, indem
wir entsprechend die Kontexte der Prämissen manipulieren. Ich zeige den Beweis bespielhaft für die Regeln (Ax),
(∧I) und (∧E). Die anderen Regeln gehen analog.
(Ax) ist herleitbar, dann ist auch
(Ax) herleitbar.
Γ, A, ∆ ` A
Γ, A, ∆, D ` A
Γ`A ∆`B
(∧I): Angenommen
(∧I) ist herleitbar, dann sind nach Induktionsannahme auch Γ, D ` A und
Γ, ∆ ` A ∧ B
∆, D ` B herleitbar und es folgt:
(Ax): Angenommen
Γ, D ` A ∆, D ` B
Γ, D, ∆, D ` A ∧ B
Γ, ∆, D ` A ∧ B
(∧E): Angenommen
Γ`A∧B
und es folgt:
Γ`A
(∧I)
(C)
(∧E) ist herleitbar, dann ist nach Induktionsannahme auch Γ, D ` A ∧ B herleitbar
Γ, D ` A ∧ B
Γ, D ` A
(∧E)
Wir haben damit gezeigt, daß wenn immer wir Γ ` A herleiten können, dann gibt es eine strukturell gleiche
Herleitung für Γ, D ` A. Weiterhin haben wir gezeigt, daß die Regel (W) eine zulässige Erweiterung des Kalküls
des natürlichen Schließens ist.
Hinweis:Die Regel (W) kann auch durch
Γ`A D`D
Γ, D ` A ∧ D
Γ, D ` A
(Ax)
(∧I)
(∧E)
direkt hergeleitet werden, doch spiegelt diese Herleitung nicht die intuitive Bedeutung von (W) wider.
(H 9) Formale Systeme
In dieser Aufgabe wollen wir nochmals auf den Unterschied zwischen ` und eingehen. Dafür definieren wir uns
eine Sprache L = {p, g, -}∗ , d. h. L ist die Menge aller Worte über dem Alphabet {p, g, -}, und die Herleitungsregeln
` xpgx
(1)
` xpygz
` xpy-gz-
(2)
mit x, y, z ∈ {-}∗
über der Sprache L.
(a) Finde Herleitungen für
a)
` ---pg---
(1)
` ---p-g----
(2)
b)
` --pg--
(1)
` --p-g---
(2)
` --p--g----
(2)
(b) Sei A ∈ L. Was bedeutet ` A?
Je nachdem, wie man ` A interpretiert, bedeutet es entweder, daß A eine gültige Formel ist, oder, daß es
einen Herleitungsbaum gibt, an dessen Wurzel A steht, und alle Blätter Axiome sind.
Wir definieren nun eine Semantik für die Wörter der Sprache L. Für ein Wort A ∈ L gilt
A
gdw.
A ≡ xpygz
wobei x, y, z ∈ {-}∗ und die Anzahl der -“ in x plus die Anzahl der -“ in y gleich der Anzahl der -“ in z ist.
”
”
”
(c) Was bedeuten - - - p - g - - - - und - - p - - g - - - -?
Falls unser Kalkül korrekt bzgl. der Interpretation ist, dann bedeuten die Terme, daß 3 + 1 = 4 und 2 + 2 = 4
ist.
(d) Gilt - p - p - g - - -?
Man könnte der Ansicht sein, daß obige Aussage richtig sein müßte, da 1 + 1 + 1 = 3, jedoch ist - p - p - g - - kein Term der Form x p y g z mit x, y, z ∈ {-}∗ und deshalb gilt obige Aussage nicht.
Wir haben also mit M = {(x, y, z) | x, y, x ∈ N und x + y = z} ein Modell für unsere Sprache gefunden. Man kann
sich nun folgende Fragen stellen:
(e) Sind die Regeln korrekt, d. h. entsprechen alle herleitbaren Worte korrekten Gleichungen?
Dies Beweisen wir per Induktion über die Regeln des Herleitungskalküls:
(1)
` xpgx
(1)
ist korrekt, denn x + 0 = x.
a)
` xpygz
` xpy-gz-
(2)
Angenommen x + y = z, dann gilt auch x + (y + 1) = z + 1. Also ist auch diese Regel korrekt.
(f) Sind die Regeln vollständig, d. h. sind alle Gleichungen der Form x + y = z mit x, y, x ∈ N herleitbar?
Zum Beweis der Vollständigkeit betrachten wir die rekursive Definition (im zweiten Argument) der Addition
auf N.
(add 1) Die Gleichung x + zero = x ist für jedes x durch
` xpgx
(1)
herleitbar.
(add 2) Angenommen die Gleichung x + y = z ist herleitbar, d. h. ` x p y g z ist herleitbar, dann ist auch
x + (y + 1) = z + 1 herleitbar, da mit Regel (2) ` x p y - g z - folgt.