Ubungen zur Vorlesung Logik für Informatiker
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Institut für Informatik der Universität München Prof. M. Hofmann Dipl.-Inf. Hermann Gruber SS 2008 15. Mai 2008 Übungen zur Vorlesung Logik für Informatiker Blatt 4 Wegen des Feiertages findet die Übung nächste Woche bereits am Mittwoch, 21. Mai 2008, 10:00h c.t. im Raum B045 statt. Abgabe der Lösungsvorschläge entsprechend bis Mittwoch, 10:00h. In PVS zu lösende Aufgaben bitte in elektronischer Form via UniWorX abgeben. Aufgabe H-13: Beweisen Sie die folgenden Aussagen im Sequenzenkalkül (Papierabgabe) und in PVS (elektronische Abgabe): a) (φ ⇒ (φ ⇒ ψ)) ⇒ (φ ⇒ ψ) b) ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B Aufgabe H-14: Die Formel A ⇔ (B ∧ ¬C) ∨ (¬B ∧ C), im Folgenden durch φ bezeichnet, ist keine Tautologie. a) Dennoch kann man wie im Beweis des Vollständigkeitssatz des Sequenzenkalküls (Satz 11) den Sequenzenkalkül benutzen, um eine Herleitung von φ aus atomaren Prämissen zu finden. Finden Sie solch eine Herleitung. b) Zeigen Sie, wie man mit Hilfe der soeben gefundenen Herleitung eine Belegung η findet, so dass JφKη = ff gilt. Aufgabe H-15: In dieser Aufgabe geht es um zulässige und herleitbare Regeln im Sequenzenkalkül, siehe hierzu Definition 18 und 19 im Skript. a) Beweisen Sie: Ist eine Schlussregel herleitbar, so ist sie automatisch zulässig.1 b) Beweisen Sie, dass die folgende Regel herleitbar ist: seltsam-R Γ =⇒ ∆, φ, ψ Γ, φ, ψ =⇒ ∆ Γ =⇒ ∆, φ ∧ ¬ψ, ¬φ ∧ ψ 1 Achtung: der Umkehrschluss gilt nicht, d.h. es gibt zulässige Schlussregeln, die aber nicht im Sequenzenkalkül herleitbar sind. Ein Beispiel hierfür ist die im Skript genannte Schnittregel. Man muss natürlich auch beweisen, dass diese Regel tatsächlich nicht herleitbar ist (hier nicht verlangt).
