Informationstechnik

Aufgabensammlung zur Lehrveranstaltung
Informationstechnik
für die BA-Studiengänge EIT, II, MT und WIW-ET
Verfasser: Dr. Mike Wolf, FG Nachrichtentechnik, Tel. 2619
Version vom 11. Juli 2013
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Hinweis: Informationen zur Lehrveranstaltung, ergänzendes Lehrmaterial, zusätzliche Übungsaufgaben oder Korrekturen zu dieser Aufgabensammlung finden Sie im Internet unter
http://www.tu-ilmenau.de/nt
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1
Grundlagen der Stochastik
1.1 Betrachtet wird ein einwandfreier“ Würfel. Die Augenzahl wird durch die diskrete
”
Zufallsvariable Z dargestellt.
(1)
(a) Berechnen Sie den linearen Mittelwert mZ und den quadratischen Mittelwert
(2)
mZ der Zufallsvariablen Z.
(b) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion FZ (x) von Z.
(c) Skizzieren Sie die Verteilungsdichtefunktion fZ (x) von Z.
1.2 Nun wird mit 2 Würfeln gespielt. Die Summenaugenzahl wird durch die Zufallsvariable
Z dargestellt.
(a) Welche Werte kann die Zufallsvaiable Z annehmen und wie groß sind die korrespondierenden Wahrscheinlichkeiten?
(1)
(b) Berechnen Sie den linearen Mittelwert mZ und den quadratischen Mittelwert
(2)
mZ der Zufallsvariablen Z auf Basis der Auftrittswahrscheinlichkeiten.
1.3 Gegeben ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
x − a − b/2
fX (x) = k · rect
,
b
a, b > 0, reell.
(a) Skizzieren Sie fX (x).
(b) Ermitteln Sie k.
(1)
(c) Ermitteln Sie den linearen Mittelwert mX .
(2)
(d) Ermitteln Sie den quadratischen Mittelwert mX .
(2)
(e) Ermitteln Sie die Varianz µX = σ 2 .
(f) Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion FX (x).
1.4 Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer exponentiell verteilten Zufallsvariablen X
lautet
1 −x
·e a
x≥0
a
fX (x) =
0
sonst.
(a) Skizzieren Sie fX (x).
(1)
(2)
(b) Berechnen Sie die Momente mX und mX sowie
(2)
(c) die Varianz µX .
3
1.5 Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen X lautet
fX (x) = √
1
2πσ 2
· e−
(x−a)2
2σ 2
.
(a) Skizzieren Sie fX (x) für a = 0.
(b) Berechnen Sie die Funktionswerte für x = σ und x = 3σ. Wiederum wird a = 0
vorausgesetzt.
(1)
(2)
(c) Berechnen Sie die Momente mX und mX .
(2)
(d) Ermitteln Sie die Varianz µX .
1.6 Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion einer Gaußverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
(x−a)2
1
fX (x) = √
· e− 2σ2 .
2πσ 2
Hinweis: Die komplementäre Fehler-Funktion ist definiert als
Z ∞
2
exp(−t2 ) dt.
erfc(x) = √
π x
1.7 Zeigen Sie, dass gaußverteilte Signale auch nach der Übertragung über ein LTI-System
gaußverteilt sind.
Hinweis: Zentraler Grenzwertsatz
1.8 Die diskrete zweidimensionale Zufallsvariable (X,Y) nehme folgende Wertepaare mit
der gleichen Wahrscheinlichkeit 1/8 an:
x
y
1 1
1 0
1 0 0 -1 -1 -1
-1 1 -1 1 0 -1
(a) Stellen Sie die Verbundverteilungsdichtefunktion fXY (x, y) grafisch dar.
(b) Geben Sie die Formel für fXY (x, y) an.
(c) Berechnen Sie die Randverteilungsdichtefunktionen fX (x) und fY (y) und stellen
Sie diese grafisch dar.
(d) Sind X und Y statistisch unabhängig?
(e) Berechnen Sie den Erwartungswert von X · Y .
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2
AKF und Leistungsdichtespektrum
2.1 Eine Nachrichtenquelle erzeugt gemäß Skizze ein unipolares, binäres Zufallssignal. Die
Wahrscheinlichkeit von Impulsen und Impulspausen der Dauer Timp sei gleich.
(1)
(a) Berechnen Sie den linearen Mittelwert ms des Signals s(t).
Hinweis: Betrachten und vergleichen Sie — auch in den nachfolgenden Teilaufgaben — sowohl die Ensemblemittlung als auch die zeitliche Mittlung.
(2)
(b) Berechnen Sie den quadratischen Mittelwert ms des Signals s(t).
(2)
(c) Berechnen Sie die Wechselleistung µs des Signals s(t).
Welcher Zusammenhang besteht zwischen Gesamtleistung (quadratischen Mittelwert), Gleichleistung und Wechselleistung?
(d) Skizzieren Sie die Autokorrelationsfunktion (AKF) ϕss (τ ) des Signals s(t).
(e) Skizzieren Sie das Leistungsdichtespektrum Φss (f ). Es gilt ϕss (τ ) d
tΦ
ss (f ).
(f) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion Fs (x) sowie die Verteilungsdichtefunktion
fs (x) des Signals s(t).
s(t)
U0
Timp
t
2.2 Betrachtet wird ein On-Off Keying Signal s(t) gemäß
s(t) =
∞
X
n=−∞
bn · sT (t − nTb ) = sT (t) ∗
∞
X
n=−∞
|
bn · δ(t − nTb )
{z
sD (t)
}
Je nach dem zu übertragenden Datenbit bn , bn ∈ {0, 1}, wird im n-ten Bitintervall der
Trägerimpuls sT (t) erzeugt oder nicht. Die Bitzustände 0“ und 1“ seien gleichwahr”
”
scheinlich und aufeinanderfolgende Bits statistisch unabhängig.
Der Operator ’∗’ ist der Faltungsoperator.
(a) Ermitteln Sie die Autokorrelationsfunktion ϕDD (τ ) der diskreten stochastischen
Stoßfolge sD (t).
Hinweis: Es ist günstig, die Dirac-Stöße durch schmale Rechteckimpulse der Breite
Timp ≪ Tb und der Höhe 1/Timp ≪ Tb darzustellen und dann den Grenzübergang
Timp → 0 zu betrachten.
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(b) Ermitteln und skizzieren Sie die Autokorrelationsfunktion ϕss (τ ) sowie das Leistungsdichtespektrum Φss (f ) für den Fall eines Basisband-Trägerimpulses gemäß
t − Tb /4
.
sT (t) = U0 · rect
Tb /2
Hinweis: Der Trägerimpuls sT (t) kann, wie aus dem rechten Teil der Formel ersichtlich wird, auch als die Impulsantwort gp (t) eines Pulsformfilters“ interpre”
tiert werden.
(c) Skizzieren Sie das Leistungsdichtespektrum Φss (f ) für den Fall eines BandpassTrägers gemäß
t − Tb /2
k
sT (t) = U0 · rect
· sin(2πfc t) mit fc = , k ∈ N , k ≫ 1 .
Tb
Tb
2.3 Betrachtet wird ein On-Off Keying Signal mit unterdrücktem Träger gemäß
r
∞
X
p
1
t − Tb /2
n
.
rect
s(t) =
(−1) · bn · 2Eb · ψ1 (t − nTb ) mit ψ1 (t) =
Tb
Tb
n=−∞
Tb ist das Bitintervall, bn ∈ {0, 1} sind die zu übertragenden Bits. Die Bitzustände
0“ und 1“ seien gleichwahrscheinlich und
√ aufeinanderfolgende Bits statistisch un”
”
abhängig. Die Impulsform wird hier durch 2Eb · ψ1 (t) dargestellt.
Im Unterschied zu herkömmlicher OOK-Übertragung werden alle Symbole mit ungeradem Index n (unabhängig von der Information) mit −1 gewichtet.
(a) Skizzieren Sie das Signal, welches entsteht, wenn die folgende Bitfolge gesendet
wird:
{b0 , b1 , b2 , b3 , b4 , b5 , b6 , b7 , b8 , b9 } = {1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0}
im Intervall 0 ≤ t ≤ 10 Tb . Achten Sie auf die korrekte Beschriftung der Achsen.
√
(b) Berechnen Sie die Energien von ψ1 (t) und von 2Eb · ψ1 (t).
Nachfolgend sollen die statistischen Eigenschaften des Zufallssignals s(t) durch zeitliche
Mittelwertbildung untersucht werden. Dabei wird ein unendlich langer Zeitausschnitt
des Zufallssignals betrachtet.
(1)
(c) Wie groß ist der lineare Mittelwert ms von s(t)?
(2)
(2)
(d) Wie groß sind mittlere Leistung ms und Varianz (Wechselleistung) µs von s(t)
in Abhängigkeit des Parameters Eb ?
(e) Wie groß ist die mittlere Energie pro Bit (mittlere Energie, bezogen auf ein Bitintervall Tb )?
(f) Skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Amplitude von s(t).
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(g) Ermitteln und skizzieren Sie die Autokorrelationsfunktion ϕss (τ ) von s(t) im Intervall −3 Tb ≤ τ ≤ 3 Tb . Beachten Sie, dass alle Symbole mit ungeradem Index
mit −1 gewichtet werden.
Hinweis: Stellen Sie s(t) wieder gemäß
s(t) =
p
|
2Eb · ψ1 (t) ∗
{z
}
gp (t)
∞
X
(−1)n · bn · δ(t − nTb )
n=−∞
|
{z
sD (t)
}
dar und ermitteln Sie zunächst die Autokorrelationsfunktion ϕDD (τ ) der stochastischen Stoßfolge sD (t).
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3
Signalraumdarstellung
3.1 Gegeben sind 3 auf die Zeitdauer T begrenzte Signale si (t).
Signale


 −1 V f ür 0 ≤ t < T /2
 1V
−3 V f ür T /2 < t < T , s2 (t) =
−3 V
s1 (t) =


0 V sonst
0V
−2 V f ür 0 ≤ t < T /2
s3 (t) =
0 V sonst
mit Hilfe des folgenden
√

 1/√T
ψ1 (t) =
−1/ T

0
Zeigen Sie, dass sich die 3
f ür 0 ≤ t < T /2
f ür T /2 < t < T
sonst
und
Sets orthonormaler Basisfunktionen ψj (t) darstellen lassen:
f ür 0 ≤ t < T /2
f ür T /2 < t < T ,
sonst
ψ2 (t) =
√
1/ T f ür 0 ≤ t < T
.
0 sonst
(a) Wie groß ist die Dimension des Signalraums?
(b) Wie lauten die Signalvektoren si , i = 1, 2, 3?
(c) Skizzieren Sie das Signalraumdiagramm.
3.2 Gegeben ist das folgende Set von Signalen
1 V f ür 0 ≤ t < T /3
1 V f ür 0 ≤ t < 2T /3
s1 (t) =
, s2 (t) =
,
0 V sonst
0 V sonst
1 V f ür T /3 ≤ t < T
1 V f ür 0 ≤ t < T
s3 (t) =
und s4 (t) =
.
0 V sonst
0 V sonst
Alle 4 Signale si (t) sind auf das Zeitintervall T begrenzt.
(a) Zeigen Sie, dass die Signale untereinander nicht orthogonal sind, also kein Set
orthogonaler Funktionen bilden.
(b) Finden Sie ein Set orthonormaler Basisfunktionen, indem Sie das Gram-Schmidt
Orthogonalisierungsverfahren anwenden.
(c) Konstruieren Sie das entsprechende Signalraumdiagramm.
8
4
Diskrete Modulationsverfahren
4.1 Die folgende Abbildung zeigt zwei orthogonale Energiesignale s1 (t) und s2 (t) der Dauer T , die mit gleicher Wahrscheinlichkeit gesendet werden. Das Empfangssignal lautet y(t) = si (t) + w(t), wobei w(t) weißes, gaußverteiltes Rauschen der zweiseitigen
Leistungsdichte N0 /2 ist.
(a) Entwerfen Sie einen Empfänger, der mit der geringsten möglichen Fehlerquote
entscheidet, ob s1 (t) oder ob s2 (t) gesendet wurde.
(b) Berechnen Sie die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für diesen Fall.
s1 (t)
s2 (t)
U0
U0
0
T
−U0
0
t
T
t
−U0
4.2 Vergleichen Sie die benötigte Bandbreite sowie das benötigte Eb /N0 -Verhältnis der Modulationsverfahren 2-PSK und 64-QAM. Als Güteparameter für die benötigte Energie
pro Bit dient die Bitfehlerwahrscheinlichkeit Pb ; die Bandbreite wird bei gleicher Bitrate verglichen. Wie kann das benötigte Eb /N0 -Verhältnis von 64-QAM im Vergleich
zu dem von 2-PSK abgeschätzt werden?
4.3 Vergleichen Sie das notwendige Eb /N0 -Verhältnis von 16-PSK und 16-QAM, um eine
Bitfehlerwahrscheinlichkeit von 10−3 zu erreichen.
Hinweis: erfc−1 (4 · 10−3 ) = 2,04; erfc−1 83 · 10−3 = 2,12
4.4 Ein 2-PSK (BPSK) Signal wird mit Hilfe eines kohärenten Empfängers detektiert,
dessen Phasenwinkel um den Fehler φe verstimmt ist. Bestimmen Sie die Auswirkung
von φe auf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit.
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4.5 Für 0 ≤ t < Tb kann das Nutzsignal eines BPSK-Systems, bei dem zusätzlich ein
unmodulierter Träger zur Empfängersynchronisation mit übertragen wird, zu
√
s(t) = kU0 sin(2πfc t) ± 1 − k 2 U0 cos(2πfc t)
angegeben werden, wobei das Informationsbit über das Vorzeichen entscheidet.
(a) Zeichnen Sie das Signalraum-Diagramm!
(b) Zeigen Sie, dass unter der Voraussetzung eines AWGN-Kanals für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit pb gilt

s
2
1
(1 − k )Eb 
pb = · erfc 
.
2
N0
(c) Um welchen Faktor erhöht sich die notwendige Signalleistung gegenüber konventioneller BPSK-Übertragung?
4.6 Gegeben ist eine Bitsequenz 1100100001 .
(a) Geben Sie den zeitlichen Verlauf der Inphase- und der Quadraturkomponente an,
die mit der Übertragung der Sequenz mittels QPSK korrespondieren würde.
(b) Zeichnen Sie die entsprechenden Komponenten auch im Bandpassbereich. Wie
sieht das Gesamtsignal aus?
4.7 Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von QPSK (4-PSK) in Abhängigkeit
des Eb /N0 -Verhältnisses. Gehen Sie davon aus, dass das QPSK-Signal durch Quadraturmodulation erzeugt wird. Dabei werden sowohl der Inphase- als auch der Quadraturträger durch zwei unabhängige Datenströme jeweils 2-PSK moduliert. Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von 2-PSK wird als bekannt vorausgesetzt.
4.8 (a) Geben Sie die Ausdrücke für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von M-ASK (unipolar/bipolar), M-PSK, M-FSK und M-QAM in Abhängigkeit des Eb /N0 -Verhältnisses an (Annahme: AWGN-Kanal).
(b) Bestimmen Sie nun umgekehrt für jedes Verfahren das notwendige Eb /N0 -Verhältnis, um eine bestimmte Bitfehlerwahrscheinlichkeit Pb zu gewährleisten.
(c) Geben Sie in Form eines Energieeffizienzparameters kE an, inwieweit sich das notwendige Eb /N0-Verhältnis des betrachteten Verfahrens vom notwendige Eb /N0 Verhältnis von 2-PSK unterscheidet, das als Referenzverfahren dienen soll. Für
eine Abschätzung gehen Sie davon aus, dass der Güteparameter des Vergleichs
nicht die Bitfehlerwahrscheinlichkeit, sondern allein die minimale euklidische Distanz ist:
(Eb /N0 )P SK kE ≈
(Eb /N0 )M −ary dmin =konst.
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