Übungen 16 und 17

Logik und Diskrete Strukturen
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Einheit 7
Übungen 16 und 17
Übung 16:
Verallgemeinern Sie die deMorgan Regeln und die Distributivgesetze
W
V
auf
und
anstelle von ∨ und ∧.
n
n
W
W
Zu zeigen ist also u.a. (F ∧
Gi ) ≡
i=1
Übung 17:
(F ∧ Gi )
i=1 Bitte selbst durchführen.
Zeigen Sie ((A ∨ ¬(B ∧ A)) ∧ (C ∨ (D ∨ C ))) ≡ (C ∨ D)
sowohl mit Wahrheitstafeln als auch mit Äquivalenz-Umformungen!
Im zweiten Teil kann man leicht mit Kommutativität, Assoziativität
und Idempotenz aus (C ∨ (D ∨ C )) die Teilformel (C ∨ D) machen.
Im ersten Teil kann man mit deMorgan, Kommutativität und Assoziativität
die Teilformel ((A ∨ ¬A) ∨ ¬B) erhalten. Da aber (A ∨ ¬A) eine Tautologie bildet, ist nach der Tautologie-Regel auch ((A ∨ ¬A) ∨ ¬B) eine.
Nun folgt wieder mit der Tautologie-Regel die Behauptung.
Alternativer Beweis mit Wahrheitstafeln als Übungsaufgabe...
Winter 2015/16
– Folie 7.1 –
29.10.2015
Logik und Diskrete Strukturen
Einheit 7
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Übung 18
Man soll die beiden folgenden Sätze formalisieren und ihre Äquivalenz zeigen:
Wenn das Kind fiebrig ist oder stark hustet und wir erreichen den Arzt,
so rufen wir ihn an.
Wenn das Kind fiebrig ist, so rufen wir den Arzt, falls wir ihn erreichen, und, wenn
wir den Arzt erreichen, so werden wir ihn, wenn das Kind stark hustet, rufen.
Wir beginnen mit der Formalisierung:
((F ∨ H) ∧ E ) → R ≡ (F → (E → R)) ∧ (E → (H → R))
Nun kann man die bekannten Methoden anwenden, um die Äquivalenz nachzuweisen.
Wir bemerken, dass für A(R) = 1 beide Seiten den Wert 1 annehmen. Damit genügt
eine Wahrheitstafel mit 8 Zeilen. Die sollte jetzt jeder selbst erstellen können.
Winter 2015/16
– Folie 7.2 –
29.10.2015
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Einheit 7
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Normalformen
Wir wollen die disjunktive und die konjunktive Normalform einführen.
Hierzu benötigen wir den Begriff des Literals:
Ein positives Literal ist eine atomare Formel.
Ein negatives Literal ist die Negation einer atomaren Formel.
Def.:
Eine Formel F ist in disjunktiver Normalform (DNF), wenn
sie eine Disjunktion von Konjunktionen von Literalen ist.
Die Formel F ist in konjunktiver Normalform (KNF), wenn
sie eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen ist.
Wir betrachten die Formel F = (A ∧ ¬B) ∨ ¬C . Ist F eine DNF, KNF oder beides?
Dasselbe für die Formel G = A ∧ ¬B ∧ C . Ist F eine DNF, KNF oder beides?
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– Folie 7.3 –
29.10.2015
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Einheit 7
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Satz (DNF und KNF)
Satz: Zu jeder Formel F existieren äquivalente
Formeln in DNF und in KNF.
Den Beweis führen wir durch Induktion über den Aufbau von F .
Induktionsanfang:
Wenn F eine atomare Formel ist, dann ist F automatisch bereits sowohl eine DNF als auch eine KNF.
Für den Induktionsschritt unterscheiden wir drei Fälle, je
nachdem, wie F aus einfacheren Formeln G und ggfs. H
gebildet worden ist: F = ¬G , F = G ∧ H oder F = G ∨ H.
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– Folie 7.4 –
29.10.2015
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Einheit 7
DNF/KNF: Beweis des Satzes
Sei also F von der Form F = ¬G .
G hat eine DNF, die wir G 0 nennen wollen, und eine KNF G 00 .
G 0 ist eine DNF, also von der Form Disjunktion von Konjunktionen:
ni
n V
W
Lij ≡ G
G0 =
i=1 j=1
Damit ist F = ¬G äquivalent zu ¬G 0 , d.h.
ni
ni
n V
n W
W
V
F ≡ ¬
Lij ≡
¬Lij
i=1 j=1
i=1 j=1
Falls Lij ein negatives Literal ist, nutzen wir die Regel der
Doppelnegation, um aus ¬Lij wieder ein Literal zu machen.
Wir haben also eine KNF für F erhalten.
Für die DNF starten wir mit G 00 und verfahren analog.
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– Folie 7.5 –
29.10.2015
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DNF/KNF Beweis des Satzes (Forts.)
Jetzt sei F von der Form F = (G ∧ H).
G habe DNF G 0 und KNF G 00 , H habe DNF H 0 und KNF H 00 .
Eine KNF für F erhält man ganz leicht aus G 00 und H 00 .
Wir zeigen, wie man aus G 0 und H 0 eine DNF für F erhält:
WV
WV
Sei G 0 =
Lij und H 0 =
Rµν .
(Grenzen der
W
- und
V
-Operatoren sind zugunsten der Übersichtlichkeit unterdrückt.)
WV
WV
Damit F ≡ (
Lij ) ∧ (
Rµν )
WWV
V
≡
Lij ∧ ( Rµν )
WV
≡
(Lij ∧ Rµν )
Erweitertes Distributivgesetz
Assoziativität und Distribut.
Die letzte Formel ist eine DNF für F .
Wenn F von der Form (G ∨ H) ist, verfährt man analog.
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– Folie 7.6 –
29.10.2015