Gliederung

Gliederung
1. Grundkenntnisse zur Simulation
2. Einführung in ProModel
3. Grundbausteine von ProModel
4. Path Networks
5. Variablen und Counter
6. User Distributions
7. Attribute
8. Uhrzeitabhängiges Routing und Schichtkalender
9. Statistische Auswertung der Simulationsdaten
10. Statistische Verteilungen
11. Aufbereitung empirischer Daten
12. Arbeiten mit ProActive X, Kosten
13. Fallstudie
154
10. ProModel – Statistische Verteilungen
155
10. Statistische Verteilungen
Normalverteilung
Dichtefunktion
Erwartungswert / Varianz
E( X ) = µ
-Unterschiedliche
Fehlertypen
V (X ) = σ 2
-Mengen, die die
Summe einer großen
Anzahl anderer Mengen
sind (Erkenntnis des
0,45
0,4
µ = 0; σ = 1
µ = 0; σ = 2
µ = 1; σ = 1, 5
0,35
0,3
Bedeutung:
zentralen Grenzwertsatzes)
f(x)
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
-0,05
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
156
10. Statistische Verteilungen
Logarithmische Normalverteilung
Dichtefunktion
Erwartungswert / Varianz
(ln x − µ )²
−
 1
e 2σ ² , für x > 0

 2π σ x
f ( x) = 

 0
, sonst
E ( X ) = e µ +σ
2
/2
V ( X ) = e 2 µ +σ (eσ − 1)
2
2
Bedeutung:
-Zeit um Aufgaben
auszuführen
-Mengen, die das
Produkt einer großen
Anzahl anderer Mengen
sind
0,35
0,3
µ = 0; σ = 0, 5
µ = 0; σ = 2
µ = 1; σ = 1
0,25
f(x)
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
x
6
7
8
9
10
157
10. Statistische Verteilungen
Gammaverteilung
Dichtefunktion
Erwartungswert / Varianz
 β −α α −1 − x / β
, für x ≥ 0
 Γ(α ) x e
f ( x) = 

 0
, sonst
Bedeutung:
-Zeit um Aufgaben fertig
zu stellen
(z.B.: Kundenservice,
Maschinenreparatur)
E ( X ) = αβ
V ( X ) = αβ 2
2,5
α = 1; β = 0, 5
α = 2; β = 2
α = 2; β = 1
2
f(x)
1,5
1
0,5
0
0
1
2
3
4
5
x
6
7
8
9
10
158
10. Statistische Verteilungen
Exponentialverteilung
Dichtefunktion
Erwartungswert / Varianz
E( X ) =
f ( x ) = λe − λ x , für x ≥ 0
V (X ) =
-Zwischenankunftszeiten
von Kunden in eine
konstanten System
1
λ
1
λ2
-Lebensdauer eines
Objektes
2,5
2
Bedeutung:
λ = 0, 5
λ= 1
λ= 2
f(x)
1,5
1
0,5
0
0
1
2
3
4
5
x
6
7
8
9
10
159
10. Statistische Verteilungen
Erlangverteilung
Dichtefunktion
f ( x ) = λ e − λx
Erwartungswert / Varianz
(λx) n −1
, für x ≥ 0
( n − 1)!
E( X ) =
V (X )=
Bedeutung:
-Zeitdauer zwischen
Telefonanrufen
n
λ
n
-Lebensdauer eines
Objektes
λ2
2,5
1,5
f(x)
-Warteschlangentheorie:
Dauer zwischen zwei
Ereignissen
λ = 1; η= 1
λ = 1; η = 2
λ = 2; η =1
2
1
0,5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-0,5
x
160
10. Statistische Verteilungen
Weibullverteilung
Dichtefunktion
Erwartungswert / Varianz
β
f ( x) = α β x β −1e −αx , für x > 0, α > 0, β > 0
1 
E ( X ) = α −1 / β Γ  + 1

β
2

   1   
−2 / β   2
Γ + 1 −  Γ + 1 
V ( X ) =α
  β
  β
  

Bedeutung:
-Zeit um Aufgaben
fertig zu stellen
-Lebensdauer eines
Objektes
1,2
1
α = 1; β = 4
α = 1; β = 1
α = 3; β = 5
f(x)
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
3
4
5
x
6
7
8
9
10
161
10. Statistische Verteilungen
Dreiecksverteilung
Bedeutung:
Dichtefunktion
Erwartungswert / Varianz
x−a
 2
⋅
 b − a H − a , für a ≤ x ≤ H


 2
b−x
f ( x) = 
⋅
, für H ≤ x ≤ b
b
−
a
b
−
H



, sonst
0
0,6

a+b+ H
3
(b − a)² − (b − a )( H − a) + ( H − a)²
V (X )=
18
Wenn nur wenige Daten
vorliegen, hilfreich sich
der Realität anzunähern
E( X ) =
0,5
a=2; b=6; H=4
f(x)
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
4
5
x
6
7
8
9
10
162
10. Statistische Verteilungen
Poissonverteilung
Funktion
Erwartungswert / Varianz
, wenn x < 0, λ > 0
0

F ( x ) =  −λ x λ i
e ∑
i = 0 i!
E( X ) = λ = V ( X )
, wenn x ≥ 0, λ > 0
Bedeutung:
Anzahl von Ereignissen,
die in einem bestimmten
Zeitintervall mit einem
konstanten Abstand
auftreten
0,4
0,35
λ=1
0,3
λ=2
λ=3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
163
10. Statistische Verteilungen
164
10. Statistische Verteilungen
Arrivals
• occurences
• frequency
Bearbeitungszeiten
Transportzeiten
165
10. Statistische Verteilungen
Gemeinsames Beispiel „Schreinerei XIV“
Es hat sich gezeigt, dass die Bearbeitungszeiten der Maschine 2 und der
Mill nicht 100% konstant sind. Aufgrund der Maschinenbediener schwankt
die Bearbeitungszeit normalverteilt um den Mittelwert 10 mit einer Varianz
von 4.
Nachdem diese Verteilung innerhalb der Simulation implementiert ist, soll
überprüft werden, ob über 30 Simulationsläufe auch die erwartete
Bearbeitungszeit verwendet wird. Dokumentieren Sie die Bearbeitungszeit
jedes einzelnen Entities und bilden Sie über alle 30 Simulationsläufe den
Mittelwert.
166
10. Statistische Verteilungen
Übung „Röntgenpraxis XIV“
Auf Grund der Komplexität der Erkrankung der Patienten schwankt die
Behandlungsdauer durch den Arzt und kann durch eine Weibullverteilung
mit den Parametern shape = 3,4935187 und scale = 61,9485900
abgebildet werden.
Nachdem diese Verteilung innerhalb der Simulation implementiert ist, soll
auch hier wieder über die 30 Simulationsläufe die Untersuchungsdauer
jedes einzelnen Patienten dokumentiert werden und über alle 30
Simulationsläufe den Mittelwert ermittelt werden.
167
10. Statistische Verteilungen
Gemeinsames Beispiel „Schreinerei XV“
Aufgrund externer Effekte wird nicht jeden Tag dieselbe Anzahl an Entities
im Warehouse angeliefert. Die Warenanlieferung erfolgt der Anzahl nach
normalverteilt mit einem Mittelwert von 70 und einer Standardabweichung
von 7. Ebenso sind die Zwischenankunftszeiten nicht weiterhin
deterministisch, sondern können durch eine Poissonverteilung mit dem
Parameter 10 beschrieben werden.
Implementieren Sie diese Verteilungen und überprüfen Sie wie bei den
vorangegangenen Beispielen, ob die Simulation die richtigen Werte
verwendet.
168
10. Statistische Verteilungen
Übung „Röntgenpraxis XV“
In der Praxis wird nicht jeden Tag dieselbe Anzahl an Patienten
untersucht. Obwohl die Praxis Termine mit den Patienten vorab vereinbart,
werden diese jedoch oft nicht eingehalten, wodurch die Ankunftszeiten
stochastischen Charakter aufweisen.
Die Anzahl der Ankünfte ist normalverteilt mit einem Mittelwert von 30 und
einer Varianz von 9. Die Zwischenankunftszeiten können ebenso durch
eine Normalverteilung mit dem Mittelwert 20 und einer
Standardabweichung von 5 beschrieben werden.
Implementieren Sie diese Verteilungen und überprüfen Sie wie bei den
vorangegangenen Beispielen, ob die Simulation die richtigen Werte
verwendet.
169
10. Statistische Verteilungen
Gemeinsames Beispiel „Schreinerei XVI“
Es hat sich gezeigt, dass die Transportzeiten der Gabelstapler ebenfalls stochastischen Charakter haben. Die Werte innerhalb der Path Networks sind gemäß
folgender Graphik anzupassen. In der Graphik nicht aufgeführte Pfade sind mit
dem ursprünglichen deterministischen Wert beizubehalten!
170
10. Statistische Verteilungen
Übung „Röntgenpraxis XVI“
Die Patienten der Röntgenpraxis unterscheiden sich durch
unterschiedliche Fitness. Daher benötigen die MTRA unterschiedliche
Zeiten, um die Patienten auf den jeweiligen Wegen durch die Praxis zu
begleiten.
Die Begleitzeiten durch die MTRA sind gemäß folgender Abbildung zu
implementieren.
171