Klasse 11b 14. Oktober 2003

Klasse 11b
14. Oktober 2003
Bedeutung der Varianz / Standardabweichung
am Beispiel von Binomialverteilungen
Ziel der Übungen ist es, auch ohne Rechner ein Gefühl dafür zu haben, für welche k-Werte
eine Zufallsvariable X mit Bn;p –Verteilung Wahrscheinlichkeitswerte annimmt, die wesentlich
von 0 verschieden sind, und wie Bn;p –Verteilungen etwa aussehen. Mit diesen intuitiven
Erkenntnissen lassen sich leichter die Grundprobleme der Beurteilenden Statistik verstehen.
Der mathematische Gewinn geht über Bn;p –Verteilungen hinaus, da sich die Denkweise mit
wenig Aufwand auf andere Arten von Verteilungen übertragen ließe.
Die Kenntnis der Formeln bei Bn;p –Verteilungen für
den Erwartungswert E( X )   X  n  p und
die Varianz V ( X )   X2  n  p  q und damit für
die Standardabweichung  X  n  p  q ist erforderlich.
1)
Stelle die folgenden Binomialverteilungen mit Hilfe des TI geschickt grafisch dar. Warum
ist der k-Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit vorhersehbar? Gib die „Breite“ des
interessanten Bereichs auf beiden Seiten des Erwartungswertes als Vielfache der
Standardabweichung an.
a)
10
0.5
n
p
2)
c)
20
0.5
d)
20
0.8
e)
30
0.3
f)
30
0.7
g)
50
0.2
h)
50
0.6
i)
100
0.2
j)
100
0.9
k)
200
0.1
Berechne für die in Aufgabe 1 angegebenen Verteilungen:

a) P X    
3)
b)
20
0.2


b) P X    2


c) P X    3

Formuliere eine Vermutung über den Zusammenhang zwischen  ,  und den Werten,
die die Binomialverteilung annimmt.
Die Klasse verteilt die Aufgaben a) bis k) unter sich. Für jede der Aufgaben wird alles im
TI vorbereitet bzw. die Ergebnisse von Aufgabe 1, 2 und 3 schriftlich festgehalten. Dies kann
in Hausarbeit erfolgen. Alternativ kann die Klasse sich auch am Mittwoch in der ersten
Stunde trotz meiner Abwesenheit treffen und die Aufgaben gemeinsam durcharbeiten.
In der Unterrichtsstunde am Donnerstag werden alle Verteilungen vorgestellt
(Absprachen treffen!). Jede Gruppe hat mindestens einen TI bereit, in dem die Verteilung
„fertig“ dargestellt ist, so dass keine Rechenzeit mehr gebraucht wird. Zu jeder Verteilung
werden auch die anderen Ergebnisse genannt und in eine Übersicht eingetragen.
Nach dem Überblick über mehrere Verteilungen sollten alle Schülerinnen und Schüler diese Frage ausführlich
beantworten können: :
„Wie hängt die grafische Gestalt einer Binomialverteilung von n und p ab? Was haben (fast) alle
Binomialverteilungen gemeinsam, was ändert sich durch unterschiedliche Werte von n und p?“