Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen)

Wahrscheinlichkeitstheorie
Was will die Sozialwissenschaft damit?
Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern
und Zusammenhängen)
versus Zufall
Auch im Alltagsleben arbeiten wir mit Wahrscheinlichkeiten,
besteigen ein Flugzeug, studieren ein bestimmtes Fach,
essen Rindfleisch etc.
Subjektive Wahrscheinlichkeiten
subjektive Mutmaßung über das Eintreten eines Ereignisses
und objektive Wahrscheinlichkeiten
studieren von Zufallsgesetzen. Der statistische Wahrscheinlichkeitsbegriff bezieht sich auf - im Prinzip beliebig oft wiederholbare Vorgänge, deren Ausgang
nicht vorhersehbar ist.
Beispiel: Münze werfen, würfeln, Lotto und Roulette spielen
Zufallsexperiment ⇒⇒ ein solcher wiederholbarer
Vorgang, also der Münzwurf
Elementarereignis ⇒⇒ ein Ergebnis eines solchen
Zufallsexperimentes (z.B. Kopf oder Zahl)
Ereignisraum ⇒⇒ die Menge der mit einem Zufallsexperiment verbundenen Elementarereignisse (die
Augenzahlen 1, 2, 3 bis 6 beim Würfeln)
===============Wahrscheinlichkeitstheorie, Verteilungen === Folie
1========================
Beispiel: Münzwurf - bei 10 Würfen haben wir 4 mal Kopf
erhalten
Zählen, wie häufig ein Elementarereignis auftritt:
Die relative Häufigkeit des Elementarereignisses:
H(A)= nA/n
nA= Häufigkeit des Elementarereignisses
n= die Anzahl der Würfe insgesamt
also hier: H(A)= 4 /10 = 0.40
Die relative Häufigkeit für das Ereignis Kopf beträgt 0,40
oder 40%.
Mit wachsendem n, das heißt mit wachsender Anzahl von
Würfen konvergiert H(A) auf einen konstanten Wert, den
man als Wahrscheinlichkeit von A oder p(A) bezeichnet.
(P = probability, probabilité)
H(A) ist eine Schätzung von p(A), die um so genauer ist,
je größer n ist.
Gleichwahrscheinliche Ereignisse
Beim Würfeln, Roulette-Spiel, Lotto-Spiel etc. sind die wahren Wahrscheinlichkeiten für die Elementareignisse
bekannt. Für einander ausschließende Ereignisse Ei
(i=1,....k) gleicher Wahrscheinlichkeit beträgt diese:
===============Wahrscheinlichkeitstheorie, Verteilungen === Folie
2========================
p(Ei)=1/k
Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zahl zu würfeln,
beträgt also: p=1/6= .166
p(A)=1 ⇒ ⇒ sicheres Ereignis
p(A)=0 ⇒⇒ unmögliches Ereignis
Alle Ereignisse, die nicht zum Ereignis A gehören, bezeichnet man als das entgegengesetzte oder komplementäre
Ereignis A (non A) zu A.
Die Vereinigung von A mit allen komplementären
Ereignissen stellt ein sicheres Ereignis dar.
p(non A)= 1 - p(A)
===============Wahrscheinlichkeitstheorie, Verteilungen === Folie
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Variationen, Permutationen, Kombinationen
1. Variationsregel
Wenn jedes von k sich gegenseitig ausschließenden
Ereignissen bei jedem Versuch auftreten kann,
ergeben sich bei n Versuchen kn verschiedene
Ereignisabfolgen.
Wie wahrscheinlich ist es 2-mal hintereinander Zahl zu
werfen?
22 = 4 d.h. 1 günstiges von 4 möglichen Ereignissen
⇒ p=1/4=.25
Wie wahrscheinlich ist es 6-mal hintereinander Zahl zu
werfen?
26 = 64 d.h. 1 günstiges von 64 möglichen Ereignissen
⇒ p=1/64=.015
2. Variationsregel
Werden n voneinander unabhängige Zufallsexperimente
durchgeführt und besteht der Ereignisraum des 1.
Zufallsexperimentes aus k1, der Ereignisraum des 2.
Zufallsexperimentes aus k2, ... und der Ereignisraum
des n-ten Zufallsexperimentes aus kn verschiedenen
Elemtarereignissen, sind k1 * k2 * ....kn verschiedene
Ereignisabfolgen möglich.
Beispiel: Labyrinth mit zuerst 2, dann wiederum 2 , dann 3
Wegalternativen.
richtige Wege=1 ; mögliche Wege=2 mal 2 mal 3=12
p=1/12=0,083
===============Wahrscheinlichkeitstheorie, Verteilungen === Folie
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Die Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeitsverteilung für zwei alternative
Ereignisse mit gleicher oder ungleicher Wahrscheinlichkeit.
Beispiel: Kopf vs. Zahl/ 6 würfeln versus nicht 6 etc.)
Frage: Wie wahrscheinlich ist es, bei 10 Würfen 7-mal Zahl
zu werfen, allgemein: wie wahrscheinlich ist es, daß von n
Ereignissen k-mal A auftritt.
Ein Wurf (n=1)
p+q=1 p=0,50 q=0,50
Zwei Würfe (n=2)
ZZ ZK KZ KK
f(X=0)= 1/4= 0,25 wenn KK
f(X=1)= 1/2= 0,50 wenn ZK oder KZ
f(X=2)= 1/4= 0,25 wenn ZZ
Drei Würfe
ZZZ ZZK ZKZ ZKK KZZ KKZ KZK KKK
f(X=0)= 1/8= 0,125 wenn KKK
f(X=1)= 3/8= 0,375 wenn ZKK oder KKZ oder KZK
f(X=2)= 3/8= 0,375 wenn ZZK oder ZKZ oder KZZ
f(X=3)= 1/8= 0,125 wenn ZZZ
Hier war jeweils p=q=0,50 - beim Würfeln wäre die
Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Zahl p=0,166 und
q=0,833.
Die Wahrscheinlichkeit, k-mal A in n-Versuchen zu
erhalten, beträgt:
===============Wahrscheinlichkeitstheorie, Verteilungen === Folie
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p ⇒⇒ Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A
q ⇒⇒ 1-p
Wahrscheinlichkeitsfunktionen von Binomialfunktionen
(Folie)
Die Wahrscheinlichkeiten für alle xi addieren sich zu 1.
Durch einfache Addition der Wahrscheinlichkeiten lassen
sich Fragen beantworten wie:
"Wie wahrscheinlich ist es, daß das Ereignis mindestens
(höchstens) x-mal auftritt."
Wie liest man die Tabelle der Binomialverteilung?
⇒ Folie Tabelle
Beispiel: Die Merkmalsalternative A mit p(A)=0,25 tritt in 6
Versuchen 4-mal auf ⇒ 0,033
===============Wahrscheinlichkeitstheorie, Verteilungen === Folie
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Binomialverteilung n=7 p=0,30
0,35
f(x)
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
X
0
1
2
3
4
5
6
0,08
0,24
0,31
0,22
0,09
0,02
0,003
7
0,0002
Binomialverteilung n=10 p=0,50
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,001
0,009
0,043
0,117
0,205
0,246
0,205
0,117
0,043
0,009
Eigenschaften der Binomialverteilung
•• eingipflig (unimodal)
•• symmetrisch für p=0,50, für p<0,50 linkssteil
===============Wahrscheinlichkeitstheorie, Verteilungen === Folie
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10
0,001
Normalverteilung
Bei der Binomialverteilung werden die Ergebnisse von
Zufallsexperimenten gezählt ⇒ diskrete Zufallsvariable
Normalverteilung ⇒ stetige Zufallsvariable ⇒ das Ergebnis des Zufallsexperiment ist eine kontinuierliche Größe.
Metrische Merkmale wie die Körpergröße lassen sich
theoretisch beliebig genau erfassen, praktisch allerdings
nur diskret messen.
Dichtefunktion der Normalverteilung (Folie)
Gefragt wird nicht nach der Wahrscheinlichkeit bestimmter
Ereignisse (geht gegen Null), sondern nach der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, die sich in einem bestimmten Intervall befinden.
Der f(x)-Wert bezeichnet hier nicht die Wahrscheinlichkeit
eines bestimmten x-Wertes, sondern wird als
(Wahrscheinlichkeits-)Dichte bezeichnet. Die Gesamtfläche
unter der Kurve der Dichte wird gleich 1 gesetzt. Die
Wahrscheinlichkeit eines Intervalls ∆X entspricht dann dem
Flächenanteil.
Eigenschaften der Normalverteilung
•• glockenförmiger Verlauf
•• symmetrisch
•• Modus, Median und arithmetisches Mittel fallen
zusammen
•• nähert sich asymptotisch der X-Achse
•• an den Stellen µ + σ (Mittelwert +
Standardabweichungen) und µ - σ befinden sich die
Wendepunkte
•• zwischen den zu den Wendepunkten gehörenden xWerten liegen ca. zwei Drittel der Gesamtfläche
===============Wahrscheinlichkeitstheorie, Verteilungen === Folie
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Die Normalverteilung wird durch die Parameter µµ und σσ
eindeutig festgelegt.
Beispiele: Verschiedene Normalverteilungen (Bortz S.73)
Standardnormalverteilung ist eine Normalverteilung mit
µ = Erwartungswert (Mittelwert) = 0
σ = Standardabweichung = 1
Bedeutsamkeit der Normalverteilung:
• als empirische Verteilung (sozialwissenschaftlich
relevante Merkmale erweisen sich als normalverteilt)
• als Verteilungsmodell für statistische Kennwerte (Beispiel
Kugeln mit unterschiedlichem Gewicht werden aus einer
Urne gezogen und der Mittelwert berechnet, dieser ist
normalverteilt)
• als mathematisches Basismodell, aus der sich weitere
Verteilungen ableiten lassen
• als Modell der statistischen Fehlerverteilung (Messungen
sind fehlerbehaftet, die Fehlerkomponente ist
normalverteilt, der Erwartungswert gleich Null)
===============Wahrscheinlichkeitstheorie, Verteilungen === Folie
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Die z-Transformation:
Jede Normalverteilung kann in eine Standardnormalverteilung mit folgenden Parametern transformiert werden:
µ = Mittelwert = 0
σ = Standardabweichung = 1
Berechnung von z-Werten
zi=(xi - x) / s
1. Beispiel: Der Mittelwert eines Testes betrage 50, die
Standardabweichung sei 9 und eine Person habe den Test
mit dem Wert 54 abgeschlossen:
zi=(xi - x) / s = (54-50)/9= 4/9= 0,44
2. Beispiel: Der Mittelwert eines Testes betrage 50, die
Standardabweichung sei 9 und eine Person habe den Test
mit dem Wert 59 abgeschlossen:
zi=(xi - x) / s = (59-50)/9= 9/9= 1,00
Die Normalverteilungstabelle benutzen:
Was gibt die Tabelle wieder: die Fläche, die durch die
Begrenzungen von -∞und z gekennzeichnet ist, also : die
Wahrscheinlichkeit, daß die Zufallsvariable z einen Wert
annimmt, der nicht größer als z ist.
===============Wahrscheinlichkeitstheorie, Verteilungen === Folie
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