Inhalt s ver zeichnis

Inhaltsverzeichnis
Inhalt s ver zeichnis
T e i l I: W a h r s c h e i n l i c h k e i t s r e c h n u n g
1. Zufallsexperimente
1.1 Einfuhrung
1.2 Ereignisse
Beschreibung von Versuchsausgangen
Aussagen liber Versuchsausgange
Verkniipfung von Aussagen
Ereignisse
Die konjunktive Normalform fur Ereignisse
Rechnen mit Ereignissen
1.3 Die Grundaxiome der Wahrscheinlichkeitstheorie
1.4 Folgerungen aus den Grundaxiomen
3
7
7
9
11
13
15
21
23
29
2. Eindimensionale Verteilungen
2.1 Diskrete und stetige Verteilungen
Beschreibung diskreter Verteilungen
Beschreibung stetiger Verteilungen
2.2 Die diskrete Gleichverteilung
2.3 Die hypergeometrische Verteilung
2.4 Die Binomialverteilung
2.5 Die Poisson-Verteilung
2.6 Die stetige Gleichverteilung
2.7 Die Normalverteilung
2.8 Die Gammaverteilung
Zusammenhang mit der Poisson-Verteilung
2.9 Die Betaverteilung
Zusammenhang mit der Binomialverteilung
2.10 Funktionen von Zufallsvariablen
2.11 Lage- und Skalenfamilien von Verteilungen
2.12 Simulation eindimensionaler Verteilungen
34
35
39
44
46
51
56
62
63
67
71
72
74
75
87
92
3. M e h r d i m e n s i o n a l e Verteilungen
3.1 Diskrete und stetige Verteilungen
3.2 Randverteilungen
Hafner, Robert
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
1989
96
102
digitalisiert durch:
IDS Luzern
Inhaltsverzeichnis
3.3
3.4
3.5
3.6
Die polyhypergeometrische Verteilung
Die Multinomialverteilung
Die mehrdimensionale Normalverteilung
Funktionen von mehrdimensionalen Zufallsvariablen
106
109
113
120
4. Stochastiache Unabhangigkeit
4.1 Unabhangige Experimente
4.2 Unabhangige Zufallsvariable
4.3 Unabhangige Ereignisse
128
136
143
5. Stochastische Abhangigkeit
5.1
5.2
5.3
5.4
Abhangige Experimente
Bedingte Verteilungen
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Das Theorem von Bayes
146
152
157
160
6. P a r a m e t e r v o n Wahrscheinlichkeitsverteilungen
6.1 Die Erwartung
6.2 Momente eindimensionaler Verteilungen
Existenz von Momenten
Zusammenhange zwischen Momenten
6.3 Lage- und Streuungsparameter
6.4 Momente mehrdimensionaler Verteilungen
6.5 Die bedingte Erwartung
Regression
166
176
177
180
186
201
211
212
7. G e s e t z e der grofien Zahlen
7.1 Das schwache Gesetz der grofien Zahlen
7.2 Das starke Gesetz der grofien Zahlen
216
220
8. S u m m e n v o n u n a b h a n g i g e n Zufallsvariablen
8.1
8.2
8.3
8.4
Die Faltung
Die charakteristische Funktion
Verteilungskonvergenz
Der zentrale Grenzverteilungssatz
223
230
241
247
Inhaltsverzeichnis
Teil II: Statistik
9.
W a s ist Statistik?
9.1 Modellbildung
9.2 Grundaufgaben der mathematischen Statistik
256
262
10. P u n k t s c h a t z u n g
10.1 Methoden zur Konstruktion von Punktschatzern
Die Minimum-x 2 -Methode
Die Momenten-Methode
Die Maximum-Likelihood-Methode
Die Bayes-Methode
10.2 Erwartungstreue und Konsistenz von Schatzern
Transformation von ML-, Min-x 2 -, Momenten- und Bayes-Schatzern
10.3 Die Ungleichung von Rao-Cramer
Exponentialfamilien
10.4 Asymptotische Eigenschaften von Schatzern
269
271
273
280
286
293
299
300
305
307
11. Sufflzienz und Vollstandigkeit
11.1
11.2
11.3
11.4
Suffiziente Statistiken
Suffizienz bei Exponentialfamilien
Vollstandige Verteilungsfamilien
Varianzminimale erwartungstreue Schatzer
Die Satze von Rao-Blackwell und Lehmann-Scheffe
313
323
328
332
334
12. D i e PriifVerteilungen der N o r m a l v e r t e i l u n g
12.1 Die
Die
12.2 Die
Die
12.3 Die
Die
x 2 -Verteilung
nichtzentrale x 2 -Verteilung
t-Verteilung
nichtzentrale t-Verteilung
F-Verteilung
nichtzentrale F-Verteilung
347
355
357
362
363
366
13. Testen v o n H y p o t h e s e n
13.1 Grundbegriffe der Testtheorie
Die allgemeine Form eines Testproblems
Die allgemeine Form einer Teststrategie
Fehlentscheidungen erster und zweiter Art
368
370
372
373
Inhaltsverzeichnis
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
Die Giitefunktion einer Teststrategie
374
Asymmetrie der Beweislast
378
Qualitatsmerkmale von Teststrategien
383
Das Lemma von Neyman und Pearson
385
Die Risikofunktion
390
Trennbarkeit zweier Verteilungen
396
Verteilungsfamilien mit monotonen Dichtequotienten
397
Unverfalschte Tests fur Hypothesen vom Typ: H 0 : 1? = l?o H j : •& ^ i?0 • 402
Der Likelihood-Quotienten-Test
408
Asymptotische Eigenschaften des Likelihood-Quotienten-Tests
435
Der entscheidungstheoretische Ansatz
436
14. B e r e i c h s c h a t z u n g
14.1 Konstruktion von Bereichschatzern
443
Eine Konstruktionsmethode fur einparametrische Modelle
446
Bereichschatzer — der allgemeine Begriff
450
Die allgemeine Konstruktionsmethode fur Bereichschatzer
451
14.2 Zusammenhange zwischen Bereichschatzung und Testen von Hypothesen . 459
Qualitatskriterien fur Bereichschatzer
461
14.3 Konfidenzintervalle und Konfidenzschranken
464
14.4 Bayes'sche Konfidenzbereiche
479
15. M o d e l l a n p a s s u n g
15.1
15.2
15.3
15.4
Vom Supermodell Wahrscheinlichkeitstheorie zum plausiblen Modellansatz 483
Modelle ohne Struktur- und Verteilungshypothesen
485
Modelle mit Verteilungsannahmen — der % 2 -Test
486
Modelle mit Struktur- und Verteilungsannahmen
494
Strukturanpassung durch Riickwartselimination
499
Strukturanpassung durch Vorwartsselektion
501
Priifung der Verteilungsannahmen — Residualanalyse
502
Literatur
505
Sachverzeichnis
507