Inhalt s ver zeichnis
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Inhaltsverzeichnis Inhalt s ver zeichnis T e i l I: W a h r s c h e i n l i c h k e i t s r e c h n u n g 1. Zufallsexperimente 1.1 Einfuhrung 1.2 Ereignisse Beschreibung von Versuchsausgangen Aussagen liber Versuchsausgange Verkniipfung von Aussagen Ereignisse Die konjunktive Normalform fur Ereignisse Rechnen mit Ereignissen 1.3 Die Grundaxiome der Wahrscheinlichkeitstheorie 1.4 Folgerungen aus den Grundaxiomen 3 7 7 9 11 13 15 21 23 29 2. Eindimensionale Verteilungen 2.1 Diskrete und stetige Verteilungen Beschreibung diskreter Verteilungen Beschreibung stetiger Verteilungen 2.2 Die diskrete Gleichverteilung 2.3 Die hypergeometrische Verteilung 2.4 Die Binomialverteilung 2.5 Die Poisson-Verteilung 2.6 Die stetige Gleichverteilung 2.7 Die Normalverteilung 2.8 Die Gammaverteilung Zusammenhang mit der Poisson-Verteilung 2.9 Die Betaverteilung Zusammenhang mit der Binomialverteilung 2.10 Funktionen von Zufallsvariablen 2.11 Lage- und Skalenfamilien von Verteilungen 2.12 Simulation eindimensionaler Verteilungen 34 35 39 44 46 51 56 62 63 67 71 72 74 75 87 92 3. M e h r d i m e n s i o n a l e Verteilungen 3.1 Diskrete und stetige Verteilungen 3.2 Randverteilungen Hafner, Robert Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 1989 96 102 digitalisiert durch: IDS Luzern Inhaltsverzeichnis 3.3 3.4 3.5 3.6 Die polyhypergeometrische Verteilung Die Multinomialverteilung Die mehrdimensionale Normalverteilung Funktionen von mehrdimensionalen Zufallsvariablen 106 109 113 120 4. Stochastiache Unabhangigkeit 4.1 Unabhangige Experimente 4.2 Unabhangige Zufallsvariable 4.3 Unabhangige Ereignisse 128 136 143 5. Stochastische Abhangigkeit 5.1 5.2 5.3 5.4 Abhangige Experimente Bedingte Verteilungen Bedingte Wahrscheinlichkeiten Das Theorem von Bayes 146 152 157 160 6. P a r a m e t e r v o n Wahrscheinlichkeitsverteilungen 6.1 Die Erwartung 6.2 Momente eindimensionaler Verteilungen Existenz von Momenten Zusammenhange zwischen Momenten 6.3 Lage- und Streuungsparameter 6.4 Momente mehrdimensionaler Verteilungen 6.5 Die bedingte Erwartung Regression 166 176 177 180 186 201 211 212 7. G e s e t z e der grofien Zahlen 7.1 Das schwache Gesetz der grofien Zahlen 7.2 Das starke Gesetz der grofien Zahlen 216 220 8. S u m m e n v o n u n a b h a n g i g e n Zufallsvariablen 8.1 8.2 8.3 8.4 Die Faltung Die charakteristische Funktion Verteilungskonvergenz Der zentrale Grenzverteilungssatz 223 230 241 247 Inhaltsverzeichnis Teil II: Statistik 9. W a s ist Statistik? 9.1 Modellbildung 9.2 Grundaufgaben der mathematischen Statistik 256 262 10. P u n k t s c h a t z u n g 10.1 Methoden zur Konstruktion von Punktschatzern Die Minimum-x 2 -Methode Die Momenten-Methode Die Maximum-Likelihood-Methode Die Bayes-Methode 10.2 Erwartungstreue und Konsistenz von Schatzern Transformation von ML-, Min-x 2 -, Momenten- und Bayes-Schatzern 10.3 Die Ungleichung von Rao-Cramer Exponentialfamilien 10.4 Asymptotische Eigenschaften von Schatzern 269 271 273 280 286 293 299 300 305 307 11. Sufflzienz und Vollstandigkeit 11.1 11.2 11.3 11.4 Suffiziente Statistiken Suffizienz bei Exponentialfamilien Vollstandige Verteilungsfamilien Varianzminimale erwartungstreue Schatzer Die Satze von Rao-Blackwell und Lehmann-Scheffe 313 323 328 332 334 12. D i e PriifVerteilungen der N o r m a l v e r t e i l u n g 12.1 Die Die 12.2 Die Die 12.3 Die Die x 2 -Verteilung nichtzentrale x 2 -Verteilung t-Verteilung nichtzentrale t-Verteilung F-Verteilung nichtzentrale F-Verteilung 347 355 357 362 363 366 13. Testen v o n H y p o t h e s e n 13.1 Grundbegriffe der Testtheorie Die allgemeine Form eines Testproblems Die allgemeine Form einer Teststrategie Fehlentscheidungen erster und zweiter Art 368 370 372 373 Inhaltsverzeichnis 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 Die Giitefunktion einer Teststrategie 374 Asymmetrie der Beweislast 378 Qualitatsmerkmale von Teststrategien 383 Das Lemma von Neyman und Pearson 385 Die Risikofunktion 390 Trennbarkeit zweier Verteilungen 396 Verteilungsfamilien mit monotonen Dichtequotienten 397 Unverfalschte Tests fur Hypothesen vom Typ: H 0 : 1? = l?o H j : •& ^ i?0 • 402 Der Likelihood-Quotienten-Test 408 Asymptotische Eigenschaften des Likelihood-Quotienten-Tests 435 Der entscheidungstheoretische Ansatz 436 14. B e r e i c h s c h a t z u n g 14.1 Konstruktion von Bereichschatzern 443 Eine Konstruktionsmethode fur einparametrische Modelle 446 Bereichschatzer — der allgemeine Begriff 450 Die allgemeine Konstruktionsmethode fur Bereichschatzer 451 14.2 Zusammenhange zwischen Bereichschatzung und Testen von Hypothesen . 459 Qualitatskriterien fur Bereichschatzer 461 14.3 Konfidenzintervalle und Konfidenzschranken 464 14.4 Bayes'sche Konfidenzbereiche 479 15. M o d e l l a n p a s s u n g 15.1 15.2 15.3 15.4 Vom Supermodell Wahrscheinlichkeitstheorie zum plausiblen Modellansatz 483 Modelle ohne Struktur- und Verteilungshypothesen 485 Modelle mit Verteilungsannahmen — der % 2 -Test 486 Modelle mit Struktur- und Verteilungsannahmen 494 Strukturanpassung durch Riickwartselimination 499 Strukturanpassung durch Vorwartsselektion 501 Priifung der Verteilungsannahmen — Residualanalyse 502 Literatur 505 Sachverzeichnis 507
