Vorwort Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1.1 Gegenstand und
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Vorwort Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1.1 Gegenstand und Aufgabe der Messdatenauswertung 1.2 Einfache Beispiele 1.3 Beobachtungen und Zufallsvariable 1.4 Messauftrag und Genauigkeitsschätzung 1.5 Zur Geschichte der Messdatenauswertung 2 Zufallsvariable und Verteilung 2.1 Eindimensionale Verteilungen 2.1.1 Diskrete Verteilungen 2.1.2 Kontinuierliche Verteilungen 2.1.3 Funktion einer Zufallsvariablen 2.1.4 Die Normalverteilung 2.2 Zweidimensionale Verteilungen 2.2.1 Randverteilung und bedingte Verteilung 2.2.2 Erwartungswert, Varianz und Kovarianz 2.2.3 Funktionen zweidimensionaler Zufallsvariablen 2.2.4 Die zweidimensionale Normalverteilung 2.3 n-dimensionale Verteilungen 2.4 Das Varianzen-Fortp.anzungsgesetz (VFG) 3 Beobachtungsreihen 3.1 Parameterschätzung 3.1.1 Die Beobachtungsreihe als Stichprobe 3.1.2 Schätzkriterien 3.1.3 Schätzverfahren 3.1.4 Gleichgenaue unabhängige Beobachtungen 3.1.5 Beobachtungen unterschiedlicher Genauigkeit 3.1.6 Korrelierte Beobachtungen 3.1.7 Formelzusammenstellung und Rechenproben 3.2 Das Varianzen-Fortpflanzungsgesetz (VFG) 3.2.1 Die allgemeine Form des VFG 3.2.2 Linearisierung von Funktionen 3.3 Beispiele zum VFG 3.4 Abweichungsarten und Genauigkeitsmaße 3.4.1 Verschiedene Arten von Messabweichungen 6 8 14 14 15 17 18 21 26 26 26 28 30 33 38 40 41 43 45 48 49 52 52 52 54 57 62 64 68 70 75 75 78 79 84 84 3.4.2 Verschiedene Genauigkeitsmaße 3.4.3 Das Zusammenwirken verschiedenartiger zufälliger Abweichungen 3.4.4 Kovarianz und Korrelation 3.4.5 Homogenisieren von Beobachtungen 3.4.6 Beobachtungsdi.erenzen 3.4.7 Summengleichungen 4 Schätzung von Modellparametern 4.1 Das mathematische Modell 4.1.1 Funktionale Beziehungen 4.1.2 Stochastische Beziehungen 4.1.3 Das Datumproblem 4.2 Schätzung der Modellparameter 4.2.1 Beste lineare unverzerrte Schätzung ( BLU) 4.2.2 Die Methode der kleinsten Quadrate (MkQ) 4.2.3 Die Maximum-Likelihood-Methode (MLM) 4.2.4 Varianzschätzungen 4.2.5 Datumabhängige Parameterschätzung 4.2.6 Invariante Funktionen 4.3 Lineare Modelle 4.3.1 Höhen- und Schwerenetze 4.3.2 Richtungsmessungen und verwandte Verfahren 4.3.3 Polynommodelle 4.3.4 Periodische Funktionen 4.4 Koordinatenschätzung in Lagenetzen 4.4.1 Das mathematische Modell 4.4.2 Elimination von Hilfsunbekannten 4.4.3 Genauigkeitsmaße in der Ebene 4.5 Positionsbestimmung mit GPS 4.5.1 Entfernungsmessung zu den Satelliten 4.5.2 Code-Messungen 4.5.3 Phasenmessungen 4.5.4 Differenzbildungen 4.6 Bedingungen zwischen den Parametern 4.7 Koordinatentransformation 4.7.1 Allgemeines Transformationsmodell 4.7.2 Ebene Ähnlichkeitstransformation 85 89 91 95 96 98 102 102 103 112 113 118 118 119 120 121 125 130 131 131 134 137 139 141 141 143 146 152 152 152 154 155 156 160 160 161 4.7.3 Ebene Affntransformation 4.8 Räumliche Transformation 5 Parameterfreie Modelle 5.1 Das mathematische Modell 5.1.1 Lineare Bedingungsgleichungen 5.1.2 Nichtlineare Bedingungsgleichungen 5.1.3 Das stochastische Modell 5.2 Schätzungen im parameterfreien Modell 5.2.1 Ausgeglichene Beobachtungen 5.2.2 Genauigkeitsschätzung und Funktionen 5.3 Vergleich des parametrischen mit dem parameterfreien Modell 5.4 Bedingungsgleichungen mit Unbekannten 6 Verallgemeinerte Modelle 6.1 Stochastische Parameter 6.1.1 Beste lineare unverzerrte Schätzung 6.1.2 Pseudobeobachtungen 6.1.3 Stochastische Restriktionen 6.1.4 Allgemeine Formulierung des Schätzproblems 6.2 Gemischtes Modell und räumliche Prozesse 6.2.1 Schätzungen im gemischten Modell 6.2.2 Kollokation 6.2.3 Krigen 6.3 Stufenweise Schätzungen 6.3.1 Erweiterung des Parametervektors 6.3.2 Erweiterung des Beobachtungsvektors 6.3.3 Kalman-Filter 6.4 Auflösung großer Gleichungssysteme 6.4.1 Gruppenweise Positionsschätzung 6.4.2 Speichertechnik für schwach besetzte Matrizen 7 Verteilung der Schätzergebnisse 7.1 Grundlegende Verteilungen 7.1.1 Die Normalverteilung 7.1.2 Die Verteilung (Chiquadrat-Verteilung) 7.1.3 Die t-Verteilung (Student-Verteilung) 7.1.4 Die F-Verteilung (Fisher-Verteilung) 7.1.5 Testverteilungen 163 164 168 168 168 171 176 176 176 178 179 181 184 184 184 186 186 187 191 193 196 198 205 205 208 210 213 213 216 220 220 220 221 222 224 225 7.2 Schätzergebnisse 7.2.1 Verteilung der geschätzten Lageparameter 7.2.2 Verteilung der geschätzten Streuungsparameter 7.3 Intervallschätzungen 7.3.1 Die Ungleichung von Tschebyscheff 7.3.2 Vertrauensbereiche für Lageparameter 7.3.3 Vertrauensbereich für die Standardabweichung 7.4 Vertrauensgebiete 8 Statistische Testverfahren 8.1 Grundbegriffe 8.1.1 Hypothese und statistische Sicherheit 8.1.2 Fehler erster und zweiter Art 8.1.3 Testgüte und Operationscharakteristik 8.2 Tests für Verteilungen ( Anpassungstests) 8.2.1 Test auf Symmetrie und Form 8.2.2 Test f¨ur Verteilungen mit bekannten Parametern 8.2.3 Test f¨ur Verteilungen mit gesch¨atzten Parametern 8.2.4 Der Kolmogorov-Smirnow-Test (KS-Test) 8.2.5 Test auf Gleichheit von Verteilungen 8.3 Tests für Lageparameter 8.3.1 Vergleich von Schätzwert und Erwartungswert 8.3.2 Vergleich zweier Schätzwerte 8.3.3 Vergleich mehrerer geschätzter Größen 8.4 Tests für Streuungsparameter 8.4.1 Vergleich von empirischer und theoretischer Standardabweichung 8.4.2 Vergleich zweier unabhängiger Varianzen 8.4.3 Vergleich mehrerer Varianzen (Bartlett-Test) 8.4.4 Genauigkeit der Gewichtsbestimmung 8.5 Tests auf Unabhängigkeit 8.5.1 Realisationen einer beliebig verteilten Zufallsvariablen 8.5.2 Unabhängigkeit normalverteilter Stichproben 8.5.3 Korrelation zwischen beliebig verteilten Stichproben 8.5.4 Korrelationen zwischen normalverteilten Stichproben 8.6 Ausreißertests 8.6.1 Behandlung von Ausreißern 8.6.2 Verteilung des größten Messwertes 225 225 227 227 228 229 232 234 236 236 236 241 242 243 243 245 247 249 253 254 254 256 258 259 259 260 261 262 264 264 268 271 273 275 275 275 8.6.3 Tests der Residuen 8.6.4 Multiple Ausreißer 8.7 Varianzanalyse 8.7.1 Grundlagen 8.7.2 Einfache Varianzanalyse mit festen Effekten 8.7.3 Zwei-Wege-Zerlegung bei festen Effekten 8.7.4 Varianzanalyse mit zufälligen Effekten Anhang A Nomogramme Anhang B Lehr- und Handbücher Index Abkürzungen 276 278 279 279 282 284 286 288 296 300 306 1 Einleitung (S. 1-2) 1.1 Gegenstand und Aufgabe der Messdatenauswertung Wenn in Naturwissenschaft und Technik beobachtete Phänomene mathematisch behandelt werden sollen, werden sie durch Modelle beschrieben, die in der Regel Parameter enthalten, deren Werte durch Messungen zu ermitteln sind. Diese Parameter sind geometrische, physikalische oder stochastische Größen, die innerhalb des Modells einen exakten (wahren) Wert besitzen. Da die Messungen in der realenWelt durchgeführt werden müssen, erfolgen sie unter der Hypothese, dass die gesuchten Größen auch dort einen wahren Wert besitzen, der mit dem Modellwert identisch ist. Die Erfahrung lehrt jedoch, dass der wahre Wert eines Modellparameters durch Messungen nicht ermittelt werden kann, denn das Modell ist in aller Regel nur eine Approximation der Wirklichkeit, und wiederholte Messungen führen zu voneinander abweichenden Ergebnissen. Ursachen für diese Abweichungen sind Unzulänglichkeiten des Instrumentariums, des Beobachters, der Modellvorstellungen, der Berücksichtigung der Umwelteinflüsse auf die Messung und die natürliche Variabilität der Messobjekte. Die Messabweichungen haben dieselben Eigenschaften wie die Realisierungen von Zufallsvariablen. Es liegt daher nahe, bei der Auswertung der Messungen Methoden der mathematischen Statistik anzuwenden. Um dies zu ermöglichen, werden stets mehr als die Mindestanzahl von Messungen durchgeführt und zu einer Beobachtungsreihe (BR) zusammengefasst, die als statistische Stichprobe aus der fiktiven Grundgesamtheit aller denkbaren Wiederholungsmessungen betrachtet werden kann. Mit statistischen Methoden wird aus der Stichprobe ein Schätzwert für den Erwartungswert der gesuchten Größe berechnet, der nach statistischer Betrachtungsweise ein Parameter der Grundgesamtheit bzw. der Verteilung der Zufallsvariablen ist. Bei dieser Vorgehensweise wird der statistische Erwartungswert mit dem wahrenWert des Parameters des mathematischen Modells gleichgesetzt, und es wird angenommen, dass der ermittelte Schätzwert zugleich der günstigste (plausibelste, wahrscheinlichste) Wert für den Modellparameter ist, der aus der Beobachtungsreihe abgeleitet werden kann. Aufgabe der Messdatenauswertung ist es, mathematisch-statistische Modelle, Schätzverfahren und Algorithmen zu entwickeln, um aus mit zufälligen Abweichungen (Fehlern) behafteten Beobachtungen möglichst gute Schätzungen für unbekannte Parameter abzuleiten, ein widerspruchsfreies System von geschätzten (ausgeglichenen) Größen zu liefern und Genauigkeitsschätzungen für Beobachtungen und abgeleitete Größen zur Verfügung zu stellen. Dabei soll die in den Beobachtungen enthaltene Information möglichst erschöpfend genutzt werden. Schlechte Messungen werden durch die Auswertung nicht besser. Es können auch keine Fehler beseitigt werden. Daher sind sorgfältige Messungen und die Erfassung aller den Messvorgang beeinflussenden Größen die wichtigsten Voraussetzungen zur Ermittlung guter Schätzwerte für die gesuchten Modellparameter.
