Statistik I, SoSe 2012

Statistik I
Prof. Dr. F. Heiss
Sommersemester 2012
Gliederung
1 Einführung
1.1 Wozu Statistik? . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Was ist Statistik? . . . . . . . . . . . . .
1.3 Wie funktioniert Statistik? . . . . . . . .
1.4 Statistik und verwandte Fächer in Ihrem
1.5 Anwendungsbezug und Software . . . . .
1.6 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
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Studium .
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Beschreibende Statistik
2
3
5
6
7
9
11
14
2 Statistische Merkmale und Variablen
2.1 Statistische Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Statistische Merkmale und Variablen . . . . . . . . .
2.3 Urlisten und Beobachtungsreihen . . . . . . . . . . .
2.4 Statistische Verteilung von diskreten Variablen . . .
2.4.1 Häufigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Graphische Darstellungen . . . . . . . . . . .
2.4.3 Häufigkeitsfunktion . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Statistische Verteilung von (quasi-)stetigen Variablen
2.5.1 Klassenbildung und Klassenhäufigkeit . . . .
2.5.2 Häufigkeitsdichte h̄(x) und Histogramm . . .
2.5.3 Wahl der Klassen . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Maßzahlen zur Beschreibung statistischer Verteilungen
3.1 Was sind Maßzahlen? . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Lagemaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Arithmetisches Mittel . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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51
52
53
64
3.3
3.4
3.5
3.2.3 Modus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Geometrisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Harmonisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.6 Beziehungen zwischen unterschiedlichen Lagemaßen .
Steuungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Spannweite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Mittlere absolute Abweichung . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Varianz und Standardabweichung . . . . . . . . . . .
3.3.4 Variationskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Spezielle Quantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Mittlerer Quartilsabstand . . . . . . . . . . . . . . .
Konzentrationsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Ziel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Lorenz-Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Gini-Koeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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90
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96
99
99
101
107
4 Zweidimensionale Verteilungen, lineare Regressionsrechnung
4.1 Streudiagramm und gemeinsame Verteilung . . . . . . . .
4.2 Randverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Bedingte Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Statistische Unabhängigkeit, Kontingenzkoeffizient . . . .
4.5 Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Korrelationskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Rangkorrelation nach Spearman . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Summen zweier Merkmale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Lineare Regressionsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Interpretation von linearen Regressionen . . . . . . . . . .
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163
183
5 Beschreibung von Zeitreihen
5.1 Zeitreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Bestimmung der glatten Komponente . . . . . . . . .
5.2.1 Anpassung einer linearen Trendfunktion . . .
5.2.2 Höhere Polynome für die glatte Komponente
5.2.3 Gleitende Durchschnitte . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Exponentielles Glätten . . . . . . . . . . . . .
5.2.5 Exponentielle Glättung nach Holt-Winters . .
5.3 Saisonkomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Indexzahlen
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6.1 Messzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.2 Preisindizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
2
6.3
6.4
II
6.2.2 Preisindex nach Laspeyres und Paasche . . . . . . .
6.2.3 Alternative Indizes und Weiterentwicklungen . . . .
6.2.4 Preisindizes des Statistischen Bundesamtes . . . . .
6.2.5 Inflationsrate und Deflationierung nominaler Größen
Mengenindizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wertindizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Wahrscheinlichkeitsrechnung
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231
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240
242
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7 Elementare Kombinatorik
7.1 Fakultäten und Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Fundamentalprinzip der Kombinatorik . . . . . . . . . . . . .
7.3 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Alle Elemente unterscheidbar . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Nicht alle Elemente unterscheidbar . . . . . . . . . . .
7.4 Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Kombinationen ohne Berücksichtigung der Anordnung
7.4.2 Kombinationen mit Berücksichtung der Anordnung . .
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257
261
264
265
268
8 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie
8.1 Zufallsexperimente . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Ereignisse, Ereignisraum, Ereignismenge . . . .
8.3 Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsmaß
8.4 Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . .
8.5 Typen von Wahrscheinlichkeitsräumen . . . . .
8.6 Bedingte Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . .
8.7 Stochastisch unabhängige Ereignisse . . . . . .
8.8 Totale Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . .
8.9 Das Bayes-Theorem . . . . . . . . . . . . . . .
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P.
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304
307
310
9 Zufallsvariablen
9.1 Definition Zufallsvariable . . . . . . . . . .
9.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Zufallsstruktur . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Typen von Zufallsvariablen . . . . . . . .
9.5 Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen
9.6 Wahrscheinlichkeitsmasse und -dichte . . .
9.6.1 Diskrete Zufallsvariablen . . . . . .
9.6.2 Stetige Zufallsvariablen . . . . . .
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10 Maßzahlen für die Verteilung von Zufallsvariablen
341
10.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
10.2 Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
3
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Standardisierung . . . . . . . . . . . . . .
Momente von Zufallsvariablen . . . . . . .
Wölbung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Median und Quantile . . . . . . . . . . . .
Modus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
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11 Mehrdimensionale Zufallsvariablen
11.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Gemeinsame Verteilung diskreter Zufallsvariablen . .
11.3 Randverteilungen diskreter Zufallsvariablen . . . . .
11.4 Gemeinsame Dichtefunktion stetiger Zufallsvariablen
11.5 Randdichten stetiger Zufallsvariablen . . . . . . . . .
11.6 Gemeinsame Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . .
11.7 Bedingte Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.8 Stochastische Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . .
11.9 Erwartungswerte von Funktionen von X und Y . . .
11.10Kovarianz und Korrelation . . . . . . . . . . . . . . .
11.11Summen von Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . .
11.12Bedingte Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . .
4
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390
394
396