Übungsblatt 5 - Statistik und Ökonometrie

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie
Dr. Roland Füss ● Statistik II: Schließende Statistik ● SS 2007
5. Mehrdimensionale Zufallsvariablen
Aufgabe 5.1. Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und Y.
Zufallsvariable X sei Ergebnis eines Würfels, Zufallsvariable Y sei Ergebnis einer Münze.
Gesucht ist die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und Y.
Aufgabe 5.2. Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und Y.
X sei eine Zufallsvariable mit der untenstehenden Verteilung und es sei Y = X2.
xi
f(xi)
-2
0,25
-1
0,25
1
0,25
2
0,25
Bestimmen Sie die zweidimensionale Verteilung von X und Y.
Aufgabe 5.3. Parameter von diskreten zweidimensionalen Zufallsvariablen.
Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X und Y sei durch die
folgende Tabelle bestimmt:
yj
xi
1
2
3
2
4
0,25
0,15
0,10
0,10
0,15
0,25
a) Berechen Sie die Randverteilungen der Zufallsvariablen X und Y.
b) Sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig?
c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X bzw. Y.
d) Bestimmen Sie die bedingten Verteilungen von X|Y = y1 und Y|X = x3 und die bedingten
Erwartungswerte E(X|y1) und E(Y|x3).
e) Bestimmen Sie die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten. Interpretieren Sie die
Ergebnisse.
Aufgabe 5.4. Parameter von transformierten Zufallsvariablen.
Von den Zufallsvariablen X und Y ist bekannt, dass Var(X) = 1, Var(Y) = 4 und dass
Cov(3X + 2Y) = 6 ist.
a) Wie groß ist dann der Korrelationskoeffizient ρ (X, Y)?
b) Wie groß ist ρ (3X, 2Y)?
Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie
Dr. Roland Füss ● Statistik II: Schließende Statistik ● SS 2007
Aufgabe 5.5. Intervallwahrscheinlichkeit einer stetigen zweidimensionalen ZV.
Gegeben sei folgende Dichtefunktion:
1 / 8 für 1 < X < 3, 0 < Y < 4
f ( x, y ) = 
0, sonst
Berechnen Sie die Intervallwahrscheinlichkeit P (1 < x ≤ 2;1 < y ≤ 3) .
Aufgabe 5.6. Dichtefunktion stetiger Randverteilungen.
Gegeben sei folgende Dichtefunktion:
 2x + y
für 0 < x < 1 und 0 < y < 1

f ( x, y ) =  3
0, sonst
Bestimmen Sie die Randverteilungen f ( x) und f ( y ).
Aufgabe 5.7. Parameter zweidimensionaler stetiger Verteilungen.
Bestimmen Sie unter Anwendung der Dichtefunktion aus der Aufgabe 5.5. die
Erwartungswerte, die Varianzen und die Kovarianz der zweidimensionalen stetigen
Zufallsvariablen (X; Y).
Hausaufgabe 1.
X und Y seien unabhängige Zufallsvariablen mit folgenden Verteilungen:
xi
1
2
f(xi) 0,6 0,4
yj
5
10 15
f(yj) 0,2 0,5 0,3
Gesucht ist die zweidimensionale Verteilung von X und Y.
Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie
Dr. Roland Füss ● Statistik II: Schließende Statistik ● SS 2007
Hausaufgabe 2.
Gegeben sei gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und Y:
xi
yj
0
1
0
1
2
3
1/4
1/8
0
1/8
1/8
0
1/8
1/4
a) Berechnen Sie E(X), E(Y), V(X), V(Y), Cov(X,Y) und ρ(X,Y).
b) Wie ändert sich ρ, wenn X und Y wie folgt linear transformiert werden:
X’ = 2 + 3X und Y’ = 1 – Y.