Einführung in die Wahrscheinlichkeits- theorie und
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Ulrich Krengel Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 5., neubearbeitete und erweiterte Auflage vieweg Vll Inhalt s Verzeichnis Kapitel I Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume §1 Modelle für Zufallsexperimente, Abzählmethoden 1.1 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume 1.2 Einfache Urnenmodelle 1.3 Anwendungsbeispiele 1.4 Die hypergeometrische Verteilung 1.5 Vereinigungen von Ereignissen 1.6 Multinomialkoeffizienten 1.7 Runs 1.8 Einfache Identitäten für Binomialkoeffizienten Anhang Aufgaben §2 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit 2.1 Definition und Eigenschaften bedingter Wahrscheinlichkeiten 2.2 Unabhängigkeit 2.3 Produktexperimente 2.4 Einige Verteilungen für Produktexperimente' 2.5 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume 2.6 Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsräumen aus bedingten Wahrscheinlichkeiten 2.7 Austauschbare Verteilungen 2.8 Genetische Modelle 2.9 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Scheinkorrelation Anmerkungen Aufgaben 1 1 2 6 10 12 12 14 14 15 17 19 ... 21 21 25 27 29 31 32 34 35 37 39 40 §3 Zufallsvariable, Erwartungswert, Varianz 3.1 Verteilungen von Zufallsvariablen 3.2 Unabhängigkeit 3.3 Erwartungswerte 3.4 Das Rechnen mit Indikatorfunktionen 3.5 Varianz und Kovarianz 3.6 Das schwache Gesetz der großen Zahlen Aufgaben 42 42 45 46 49 52 56 58 §4 Grundbegriffe der Schätztheorie 4.1 Der allgemeine Rahmen von Schätzproblemen 4.2 Maximum-Likelihood-Schätzer 4.3 Erwartungstreue 4.4 Der mittlere quadratische Fehler 60 61 62 63 65 viii • Inhaltsverzeichnis 4.5 Die Informationsungleichung 4.6 Konsistenz 4.7 Konfidenzintervalle Aufgaben 66 68 69 74 §5 Approximationen der Binomialverteilung 5.1 Approximation von n! und bntP(k) 5.2 Der Satz von de Moivre-Laplace 5.3 Anwendungen 5.4 Die Poisson-Approximation Anhang Aufgaben 76 76 80 83 85 89 90 §6 Tests 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 92 92 94 95 97 Beispiel der „tea tasting Lady" Grundbegriffe der Testtheorie Mehr zur „tea tasting Lady" Ein verfeinertes Modell für den Tee-Test Beispiel des Testens der Existenz von außersinnlicher Wahrnehmung 6.6 Eine Erweiterung des Testbegriffs: Randomisierte Tests 6.7 Tests einfacher Hypothesen gegen einfache Alternativen 6.8 Anwendung auf zusammengesetzte Alternativen 6.9 Allgemeine Hinweise zur Testtheorie ,. / 6.10 p-Werte '. Aufgaben 99 100 101 103 103 104 105 §7 Erzeugende Funktionen Verzweigungsprozesse Aufgaben 107 111 113 §8 Entropie und Codierung 8.1 Der Quellen-Codierungssatz 8.2 Anwendung auf mehrstufige Zufallsexperimente Aufgaben 114 114 117 118 §9 Laufzeitanalysen von rekursiven Algorithmen Aufgaben 120 126 Kapitel II Allgemeine Modelle § 10 Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichten 10.1 a-Algebren und allgemeine Wahrscheinlichkeitsmaße 10.2 Beispiele von Verteilungen mit Dichten Anhang Aufgaben 128 128 128 131 136 138 Inhaltsverzeichnis § 11 Zufallsvariable und ihre Momente 140 11.1 Messbare Funktionen 140 11.2 Verteilungen von Zufallsvariablen 142 11.3 Unabhängigkeit 143 11.4 Erwartungswerte 145 11.5 Mehrdimensionale Dichtetransformation und Normalverteilung . . 147 Aufgaben 151 § 12 Grenzwertsätze 12.1 Das starke Gesetz der großen Zahlen 12.2 Normale Zahlen 12.3 Der Zentrale Grenzwertsatz Anhang Aufgaben 153 153 157 158 162 163 § 13 Schätzverfahren und Fehlerrechnung 13.1 Maximum-Likelihood-Schätzungen bei Dichten 13.2 Konfidenzintervalle 13.3 Das Fehlerfortpflanzungsgesetz 13.4 Die Methode der kleinsten Quadrate 13.5 Mediän, Ausreißer und Robuste Schätzer Anhang Aufgaben 164 164 166 167 168 170 172 174 § 14 Einige wichtige Testverfahren 14.1 Der t-Test 14.2 Einfache Varianzanalyse 14.3 x 2 -Tests 14.4 Nichtparametrische Tests Anhang Aufgaben 175 175 180 182 187 192 194 Kapitel III Markowsche Ketten 195 § 15 Die markowsche Eigenschaft 15.1 Definition und Beispiele 15.2 Einfache Folgerungen aus der markowschen Eigenschaft 15.3 Stationäre Übergangswahrscheinlichkeiten 15.4 Absorptionswahrscheinlichkeiten 15.5 Absorptionsverteilungen Aufgaben 195 195 197 198 200 201 203 § 16 Das Verhalten markowscher Ketten in langen Zeiträumen 16.1 Ketten mit endlich vielen Zuständen 16.2 Kommunizierende Zustände und Periodizität 205 205 208 x Inhaltsverzeichnis 16.3 Rekurrenz und Transienz Anhang Aufgaben 210 215 216 § 17 Der Erneuerungssatz 17.1 Die Erneuerungsgleichung 17.2 Anwendung auf Übergangswahrscheinlichkeiten 17.3 Bestimmung der mu Aufgaben 218 218 221 223 226 § 18 Der Poisson-Prozess 18.1 Charakterisierung des Poisson-Prozesses 18.2 Sprungzeiten beim Poisson-Prozess Aufgaben 227 227 230 232 Hinweise zum Weiterlesen 234 Lösungen der mit (L) gekennzeichneten Aufgaben 236 Literaturverzeichnis 243 Tabellen 247 Symbolverzeichnis 252 Namen- und Sachwortverzeichnis 253
