Übungsblatt 12

Mathematik II/2 (für Physiker und Comp. Science)
Prof. Dr. Stollmann
Übungsblatt 12
05.07.2013
1. Es sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, d.h. insbesondere gilt
• P(∅) = 0 und P(Ω) = 1,
• sind Ai ∈ A, i ∈ N, paarweise disjunkt, so ist
P
∞
[
!
Ai
=
i=1
∞
X
P(Ai )
(σ-Additivität).
i=1
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Sind A1 , . . . , An ∈ A paarweise disjunkt, so gilt
P
n
[
i=1
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
!
Ai
=
n
X
P(Ai ).
i=1
Für A, B ∈ A mit A ⊂ B gilt P(B \ A) = P(B) − P(A).
Für A, B ∈ A mit A ⊂ B gilt P(A) ≤ P(B).
Für beliebige A, B ∈ A gilt P(A ∪ B) + P(A ∩ B) = P(A) + P(B).
P∞
Sind Ai ∈ A, i ∈ N, beliebig, so gilt P(∪∞
i=1 Ai ) ≤
i=1 P(Ai ).
Ist A1 ⊂ A2 ⊂ . . . eine aufsteigende Folge von Mengen aus A und A = ∪∞
i=1 Ai , so gilt
P(A) = lim P(Ai ).
n→∞
(g) Ist B1 ⊃ B2 ⊃ . . . eine absteigende Folge von Mengen aus A und B = ∩∞
i=1 Bi , so gilt
P(B) = lim P(Bi ).
n→∞
2. Kniffel ist ein Würfelspiel mit fünf Würfeln. Die genauen Regeln finden Sie unter http:
//de.wikipedia.org/wiki/Kniffel. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass ein Spieler beim ersten Wurf folgende Ergebnisse erzielt: (a) Dreierpasch mit 6’en, (b)
beliebiger Dreierpasch, (c) Viererpasch, (d) Kniffel, (e) Große Straße, (f) Kleine Straße.
Mit welchem Wahrscheinlichkeitsraum haben Sie gearbeitet?
3. Eine diskrete Zufallsvariable X besitze die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion:
k
P(X = k)
0
1
2
3
0.5
0.2
0.1
c.
(a) Bestimmen Sie c.
(b) Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion, den Erwartungswert und die Varianz von X. Hierbei
ist die Verteilungsfunktion gegeben durch F (x) := P(X ≤ x), x ∈ R.
4. Es sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B, C ∈ A.
(a) Zeigen Sie, dass aus der Unabhängigkeit von A, B und C auch die Unabhängigkeit von
(A ∪ B) und C folgt.
(b) Geben Sie ein Beispiel dafür an, dass aus paarweiser Unabhängigkeit von Ereignissen nicht
unbedingt ihre Unabhängigkeit folgt.
5. Ein Gerätesystem bestehe aus 6 unabhängig voneinander arbeitenden Teilsystemen. Die Ausfallwahrscheinlichkeit für ein Teilsystem betrage 0.3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,
dass höchstens zwei Teilsysteme ausfallen (Binomialverteilung).
Sie können Ihre Lösungen wie üblich am 05.07 in der Übung abgeben, um sie korrigieren zu
lassen.