Klausur - Mathematik, Uni

Dr. Reimund Albers
Wintersemester 2010/11
Mathematisches Denken in Arithmetik und Geometrie
Wiederholungsklausur (Prüfungsvorleistung)
Name:_________________________________ Mat.Nr.:__________________
Schulart: P
oder
SI
bitte ankreuzen
Aufgabe
1
2
3
4
5
Summe
maximal
10
10
10
10
10
50
erreicht
(alle fünf Aufgaben werden durch Umrechnung auf die gleiche Punktzahl genormt)
Zugelassene Hilfsmittel:
4 Seiten (einseitige Blätter) eigene Aufzeichnungen, Taschenrechner
Bitte weisen Sie sich durch einen Lichtbildausweis aus.
Wiederholung
WiSe10/11
Grundsätzliches: Eine Klausur ist eine Gelegenheit, dem Prüfer zu zeigen, was Sie alles
wissen. Es ist also in Ihrem Interesse, dass Ihre Ausführungen lesbar, verständlich und
logisch nachvollziehbar sind. Für Studierende des Lehramts ist eine Klausur immer auch
eine Prüfung für die Fähigkeit, mathematische Dinge klar und verständlich darzustellen.
1. Logik
„Wenn eine natürliche Zahl a ein Teiler der natürlichen Zahl n ist, dann ist a gleich n oder
a ist echt kleiner als n“
a. Bilden Sie zu dieser Aussage die Kontraposition.
b. Bilden Sie zu dieser Aussage die Verneinung.
c. Zeigen Sie mit einer Wahrheitstafel, dass A=> (B oder C) äquivalent ist zu
(A und nicht B) => C. Schreiben Sie in einem kurzen Kommentar auf, woran Sie die
Äquivalenz erkennen.
d. Die zu Beginn der Aufgabe gegebene Aussage hat die Form A=> (B oder C).
Schreiben Sie die dazu äquivalente Aussage (A und nicht B) => C auf.
2. Stellenwertsystem
a. Stellen Sie 16219 im 3er-System dar. Dokumentieren Sie Ihren Lösungsweg.
(4 Punkte)
b. Schreiben Sie eine Teilbarkeitsregel für die Zahl 37 im Dezimalsystem auf. Geben
Sie auch hier eine Herleitung. (4,5 Punkte)
c. Finden Sie zu 654321 die nächstgelegene durch 37 teilbare Zahl. (1,5 Punkte)
3. Pascalsches Dreieck
Man findet im Pascalschen Zahlendreieck in der Spalte k = 3 die
Quadratzahlen, wenn man entlang
dieser Spalte von jeder Zahl ihre
vorvorhergehende abzieht.
z. B.: 20 – 4 = 16 = 42
oder 10 – 1 = 9 = 32
oder 35 – 10 = 25 = 52
a. Schreiben Sie diese Gesetzmäßigkeit
allgemein unter Verwendung der
Zeilen- und Spaltenvariablen n bzw.
k = 3 auf. (mit Hilfe der PascalKoordinaten c(n,k) )
! n$
b. Beweisen Sie diese Aussage allgemein, indem Sie die explizite Formel für # &
" k%
benutzen.
c. In welchen Zeilen stehen die beiden Zahlen (in der Spalte mit k = 3), deren Differenz
352 = 1225 ergibt? Wie lauten die beiden Zahlen?
4. Platonische Körper
Ein Künstler möchte eine Plastik aus Stahl anfertigen. Sie
soll ein Hexaeder (Kantenlänge von 1,1 m) mit einem
einbeschriebenen Tetraeder darstellen (siehe Bild).
Rechnen Sie mathematisch ideal und ohne Verschnitt. Achtung!
Ihre Argumentation und Ihre Rechnungen müssen erkennbar
sein! Falls Sie Formeln aus einer Formelsammlung benutzen,
leiten Sie diese bitte her.
a. Wie viel Meter Stahlrohr benötigt der Künstler zum
Bau? (Hexaeder und Tetraeder)
b. Für die Ausstellungseröffnung sollen die Flächen des
Tetraeders mit blauem und die Flächen des
Hexaeders mit gelbem Transparentpapier beklebt werden. Wie viel Transparentpapier
ist hierfür insgesamt wenigstens erforderlich?
(Wenn Sie die Aufgabe a) nicht gelöst haben, dann nehmen Sie als Kantenlänge des
Tetraeders 0,9 m an.)
5. Kombinatorik
Beim Würfelspiel „Kniffel“ würfelt man (beim ersten Wurf) mit fünf Würfeln
gleichzeitig.
a. Für Berechnungen zur Wahrscheinlichkeit rechnet man mit 7776 verschiedenen
Ergebnissen für diesen ersten Wurf. Wie kommt diese Zahl zustande? Mit welchem
Fall aus dem Urnenmodell wird offenbar gerechnet? (3 Punkte)
b. Für strategische Entscheidungen für das weitere Würfeln spielen nur die gewürfelten
Zahlen eine Rolle ohne eine Reihenfolge, z.B. 1, 1, 1, 3, 5. Wie viele verschiedene
Würfe mit fünf Würfeln gibt es, wenn man die Reihenfolge nicht beachtet? (5 Punkte)
c. Für viele strategische Entscheidungen beim Kniffel ist es nur wichtig, die Anzahl
gleicher Würfel zu beachten ohne die Zahlen selbst zu unterscheiden. Z.B. sind 1, 1,
1, 3, 5 und 6, 6, 6, 2, 4 beides Ergebnisse zum Fall „drei Gleiche und noch zwei
Einzelne“. Zählen Sie alle Fälle auf, die man hier unterscheiden kann.
(Diese Liste müssen Sie nicht erläutern oder begründen.) (2 Punkte)