Trigonometrie am Tetraeder

Trigonometrie am Tetraeder
Gegeben ist ein allgemeiner Tetraeder (Vierflächner mit 4 gleichseitigen
Dreiecken)) mit der Kantenlänge a.
Aufgabe: Gesucht sind
a) der Winkel (Neigungswinkel der Seitenfläche gegenüber der
Grundfläche) sowie
b) der Winkel ( Neigungswinkel der Seitenkante a gegenüber der
Grundfläche)
Lösung zu a)
Für die Höhe h1 im gleichseitigen Dreieck gilt:
α
β
2
3a 2 a
a
h1 = a 2 −   =
= ⋅ 3.
4
2
2
Die Höhe h1 taucht im Grundflächendreieck ebenfalls auf. Hier wird sie
durch den Fußpunkt des Tetraeders im Verhältnis 2: 1 geteilt. Das heißt, der Abschnitt von h1, der
näher beim Eckpunkt
(z. B. A) liegt, hat die Länge
1 a
a
2 a
a
⋅ ⋅ 3 = ⋅ 3 , der restliche Teil hat die Länge ⋅ ⋅ 3 = ⋅ 3 .
3 2
3
3 2
6
Für die Körperhöhe h des Tetraeders erhält man:
2
2
2
3a 2 3a 2
24a 2
2
a

a
 a

h = h − ⋅ 3 =  ⋅ 3 − ⋅ 3 =
−
=
= a⋅
.
4
36
36
3
6

2
 6

2
1
Damit lässt sich der Winkel
α
z. B. folgend berechnen:
2
2
h
3 = 3 = 2 ⋅ 2 . Für erhält man: =70,5287°.
tan(α ) =
=
a
a
1
3
⋅ 3
⋅ 3
6
6
6
h
Genauso wäre auch sin(α ) = möglich.
h1
a⋅
α
α
Lösung zu b)
β
Für den Winkel
erhält man ebenso:
2
2
h
3 = 3 = 2 . Für erhält man: =54,7356°.
tan( β ) =
=
a
a
1
3
⋅ 3
⋅ 3
3
3
3
h
Auch hier wäre sin( β ) = möglich.
a
a⋅
β
β
Beachte! Beide Winkel hängen nicht von der Kantenlänge a ab und sind in jedem Tetraeder gleich
groß!