Mathematik - Schulbuchzentrum Online

Manfred Hoffmann, Norbert Krämer
Mathematik
für die berufliche Oberstufe
Klasse 12, Technik
1. Auflage
Bestellnummer 5972
Bildungsverlag EINS – Stam
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www.bildungsverlag1.de
Gehlen, Kieser und Stam sind unter dem Dach des Bildungsverlages EINS
zusammengeführt.
Bildungsverlag EINS
Sieglarer Straße 2 · 53842 Troisdorf
ISBN 3-8237-5972-8
© Copyright 2005: Bildungsverlag EINS GmbH, Troisdorf
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Trigonometrische Funktionen
1
1
Trigonometrische Funktionen
1.1 Winkelmessung
1.1.1 Rechter Winkel, Gradmaß
Zwei sich schneidende Geraden bilden vier Winkel. Sind alle vier untereinander gleich groß, so heißt jeder von diesen rechter Winkel. Der rechte Winkel
wird als Winkeleinheit verwendet. Zwei rechte Winkel ergeben einen gestreckten Winkel, vier rechte Winkel einen Vollwinkel.
Winkel, die kleiner als ein rechter Winkel sind, heißen spitze Winkel. Man
spricht von einem stumpfen Winkel, wenn es sich um einen Winkel handelt,
der größer als ein rechter und kleiner als ein gestreckter Winkel ist. Alle Winkel, die größer als ein gestreckter Winkel sind, werden überstumpf genannt.
Der 90. Teil eines rechten Winkels heißt Grad (1°, auch Altgrad genannt,
Taste DEG auf dem Taschenrechner).
Wird die Maßzahl eines Winkels in Grad angegeben, so heißt es das Gradmaß
des Winkels. Das Gradmaß des rechten Winkels ist 90°, das des gestreckten
Winkels 180° und das des vollen Winkels 360°. Für genauere Angaben ist es
notwendig, die Einheit Grad noch zu unterteilen.
In der neueren Zeit verwendet man die dezimale Unterteilung des Grades
in Zehntel Grad, Hundertstel Grad, usw., z.B. 34,7809°.
Daneben ist aber noch die traditionelle Unterteilung in Winkelminuten und
Winkelsekunden in Gebrauch: Eine Winkelminute (1’) ist der 60. Teil eines
Grades, eine Winkelsekunde (1’’) ist der 60. Teil einer Winkelminute.
Der 100. Teil eines rechten Winkels ist ein Gon (1g, auch Neugrad genannt. Taste GRA auf dem Taschenrechner).
Das Neugradmaß des rechten Winkels ist 100g, das des gestreckten Winkels
200g und das des vollen Winkels 400g. Für genauere Angaben ist das Neugrad noch dezimal unterteilt. Das Neugrad wird in der Vermessungstechnik
verwendet.
Beispiele
a) 56,23° soll in Minuten und Sekunden unterteilt werden.
Lösung:
56,23° = 56° + 0,23°
Aufteilung in volle Grad und Bruchteile.
11
1
Trigonometrische Funktionen
x
min
0,23 = ⇒ x = 0,23° · 60 = 13,8’ Berechnung der Minuten x.
1°
60’
13,8’ = 13’ + 0,8’
Aufteilung in volle Minuten
und Bruchteile.
y
0,8 = ⇒ y = 0,8 · 60’’ = 48’’
60’’
Berechnung der Sekunden y.
56,23° = 56°13’48’’
Zusammensetzung der Grad,
Minuten und Sekunden.
b) 77°48’27’’ soll dezimal unterteilt werden.
Lösung:
48
27 °
77°48’27’’ = 77 + + =
60 3600
48 °
27 °
48’ = und 27’’ = 60
3600
(77 + 0,8 + 0,0075)° = 77,8075°
Zusammensetzung der
Dezimalzahlen
(
)
( )
(
)
1.1.2 Bogenmaß
Auch mit der Bogenlänge des Einheitskreises lassen sich Winkel messen.
Dies hat die Vorteile, dass für das Winkelmaß keine Einheit nötig ist, und die
Beträge der Zahlenwerte des Winkelmaßes nicht hoch sind. Die Winkel der
trigonometrischen Funktionen werden stets im Bogenmaß angegeben.
Ein Kreis mit dem Radius von einer
Längeneinheit heißt Einheitskreis.
Die Länge des Kreisbogens, den das
Winkelfeld eines Winkels aus dem
Einheitskreis ausschneidet, heißt Bogenmaß des Winkels. Man bezeichnet
es mit arcα . (Gelesen: arcus alpha, lat.
arcus = Bogen).
Nachdem das Bogenmaß auch das Längenverhältnis Bogenlänge: Radius im beliebigen Kreis angibt, ist seine Maßeinheit 1.
arc α
α
O
1
Gradmaß α und
Bogenmaß arcα
Das Bogenmaß eines Vollwinkels ist 2π, da der Umfang des Einheitskreises
2π · 1 ist. Für einen gestreckten Winkel ergibt sich das Bogenmaß π, für einen
π , usw.
rechten Winkel 2
Hinweis: π ist die sog. Kreiszahl, sie ergibt sich aus dem Verhältnis Kreisumfang : Kreisradius für jeden beliebigen Kreis. Die Kreiszahl ist eine irrationale
Zahl, ein Näherungswert ist im Taschenrechner erzeugbar: 3,141592654.
Das Bogenmaß gibt man also entweder durch Vielfache von π oder durch
Näherungswerte als abgebrochene Dezimalzahlen an.
12
1
Trigonometrische Funktionen
1.1.3 Wichtige Winkelmaße
Gradmaß
(Altgrad)
Bogenmaß
(Vielfache von π)
1°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
180°
270°
360°
(Näherungswert)
π
180
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
π
0,017453
0,523599
0,785398
1,047198
1,570796
2,094395
2,356194
3,141527
3π
2
2π
4,712389
6,283185
Beispiele
a) 68° soll in das Bogenmaß umgerechnet werden.
Lösung:
π
x = · α, x = 0,01745 · 68 = 1,18682
180°
b) Das Bogenmaß 2,1658 soll in das Gradmaß umgerechnet werden.
Lösung:
180° · x
180° · 2,1658
α = , α = = 124,11°
π
π
Aufgabe
Gradmaß, Bogenmaß
1. Geben Sie folgende Winkel in dezimaler Unterteilung an (auf zwei Stellen
nach dem Komma gerundet):
a) 90° 20’
b) 55° 16’ 30’’
c) 23° 58’ 9’’
d) 44’ 38’’
e) 156° 24’’
f) 14° 14’ 14’’
g) 69° 1’
h) 121° 49’ 4’’
i) 36° 2’ 58’’
2. Geben Sie folgende Winkel in Grad, Minuten und Sekunden an:
a) 68,5°
b) 19,57°
c) 136,11°
d) 4,02°
e) 89,88°
f) 47,044°
g) 60,60°
h) 1,91°
i) 100,67°
13
1
Trigonometrische Funktionen
3. Geben Sie folgende Winkel im Bogenmaß an (auf zwei Stellen nach dem
Komma gerundet):
a) 15°
b) 42,64°
c) 56° 20’
d) 170,55°
e) 60°
f) 219° 20’ 20’’
g) 4,75°
h) 56° 30’’
i) 100,96°
4. Geben Sie folgende Winkel in dezimal unterteilte Altgrad an (auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet):
π
a) b) 1
c) 2,71
8
3π
d) 4
g) 7,1834
11π
f) 8
i) 18,3451
13
e) 5
h) 0,917
1.2 Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck
1.2.1 Benennungen und Lehrsätze beim rechtwinkligen Dreieck
Es empfiehlt sich, die Orientierungsfigur so zu legen, dass die längste Seite
des rechtwinkligen Dreiecks (Hypotenuse) waagrecht liegt. Erst wenn die Bezeichnungen und gegenseitigen Lagebeziehungen gelernt sind, soll und muss
man die Stellung der Orientierungsfigur ändern.
C
γ = 90°
b
A
α
a
hc
q
p
c
β
B
Bezeichnungen im
rechtwinkligen Dreieck
Gegenüber der Hypotenuse der Länge c befindet sich der rechte Winkel γ.
Die beiden kürzeren Seiten der Längen a und b, die auf den Schenkeln des
rechten Winkels liegen, heißen Katheten, wobei a die Gegenkathete des
Winkels α oder die Ankathete des Winkels β , sowie b die Gegenkathete von
β und die Ankathete von α ist. hc ist „die Höhe“ (genauer: eine der drei Höhen)
des rechtwinkligen Dreiecks, sie teilt die Hypotenuse in die Hypotenusenabschnitte p und q, wobei p + q = c ist.
Hinweis: Es ist üblich, dass mit Symbolen a, b, c, ... sowohl die Bezeichnung
der betreffenden Seite als auch ihre Länge gemeint ist.
Im rechtwinkligen Dreieck gelten die bekannten Lehrsätze:
a2 + b2 = c2
a 2 = p · c, b 2 = q · c
h 2c = p · q
14
Satz des Pythagoras
Kathetensätze
Höhensatz
Trigonometrische Funktionen
1
1.2.2 Winkelfunktionen
Alle rechtwinkligen Dreiecke, die in einem spitzen Winkel übereinstimmen,
sind einander ähnlich.
... C
C''
C'
α
A
B'
B'' ...
B
ΔABC ∼ ΔAB’C’ ∼ ΔAB’’C’’ ∼ ...
In ähnlichen Dreiecken sind die Verhältnisse entsprechender Seiten konstant,
wobei diese Konstante von der Größe der Winkel abhängt.
Beispiel
C
C'
70°
A
B'
___
____
B’C’
___ = _BC
__ ≈ 0,93
B AB’
AB
Das Verhältnis Gegenkathete von α zu Hypotenuse hängt nur vom
Winkel α ab, es heißt Sinuswert des Winkels α . Die Funktion, die jedem Winkel α seinen Sinuswert zuordnet, heißt Sinusfunktion.
Das Verhältnis Ankathete von α zu Hypotenuse hängt nur vom Winkel α
ab, es heißt Kosinuswert des Winkels α. Die Funktion, die jedem Winkel
α seinen Kosinuswert zuordnet, heißt Kosinusfunktion.
Das Verhältnis Gegenkathete von α zu Ankathete von α hängt ebenfalls
nur von α ab, es heißt Tangenswert des Winkels α. Die Funktion, die jedem Winkel α seinen Tangenwerts zuordnet, heißt Tangensfunktion.
Entsprechende Überlegungen kann man auch für den Winkel β anstellen.
Mit den Bezeichnungen auf Seite 14 lassen sich folgende Gleichungen aufstellen:
a
sin α = ,
c
b
cos α = ,
c
a
tan α = b
b
sin β = ,
c
a
cos β = ,
c
b
tan β = a
15
1
Trigonometrische Funktionen
Neben der Tangensfunktion gibt es außerdem noch den Kotangens, der
1
b
durch cot α = = definiert ist. Er ist für Berechnungen in Dreiecken
tan α
a
bedeutungslos, jedoch für die Integralrechnung wichtig.
Die Vorschriften dieser Funktionen lassen sich nicht durch einfache Gleichungen angeben. Im Taschenrechner gibt es einen Algorithmus, der die
Funktionswerte näherungsweise berechnet. Die Definitionsmenge für die Sinus- und Kosinusfunktion im rechtwinkligen Dreieck ist α ∈ [0; 90°], die Definitionsmenge für die Tangensfunktion ist α ∈ [0; 90°[
Beispiele
a) In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel α = 34,56° gegeben.
Der andere spitze Winkel ist β = 90° – 34,56° = 55,44°. Dem
Taschenrechner entnimmt man dann folgende Funktionswerte (auf
4 Dezimalen gerundet):
sin α = 0,5673,
sin β = 0,8235,
cos α = 0,8235,
cos β = 0,5673,
tan α = 0,6888
tan β = 1,4517
Hinweis: Man sieht hier, dass cos β = cos (90° – α ) = sin α ist. Der
Kosinus ist also der Sinus des Komplementärwinkels, woraus sich
auch sein Name erklärt.
b) Gegeben sind die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks: c = 7,5 cm,
a = 4,5 cm, b = 6,0 cm. Gesucht sind die Winkel α und β.
Lösung:
4,5 cm
sin α = = 0,6 ⇒ α = 36,87°
7,5 cm
a
Ansatz: sin α = c
6,0 cm
sin β = = 0,8 ⇒ β = 53,13°
7,5 cm
b
Ansatz: sin β = c
36,87° + 53,13° + 90° = 180°
Probe: Winkelsumme im Dreieck
ist 180°
Zu denselben Ergebnissen kommt man mit folgenden Ansätzen:
16
6 cm
cos α = = 0,8 ⇒ α = 36,87°
7,5 cm
b
Ansatz cos α = c
4,5 cm
cos β = = 0,6 ⇒ β = 53,13°
7,5 cm
a
Ansatz: cos β = c
4,5 cm
tan α = = 0,75 ⇒ α = 36,87°
6 cm
a
Ansatz: tan α = b
6 cm
tan β = = 1,33 ⇒ β = 53,13°
4,5 cm
b
Ansatz: tan β = a
1
Trigonometrische Funktionen
Wie man aus den Ergebnissen des Beispiels a) schon vermuten wird, ist:
sin α = cos (90° – α ) = cos β und cos α = sin (90° – α ) = sin β
Bis auf wenige Ausnahmen sind die Werte der Winkelfunktionen irrationale
Zahlen, die man als gerundete Dezimalzahlen angeben muss. Für einige Winkel lassen sich die Werte jedoch exakt angeben:
α
0°
30°
45°
60°
90°
sin α
0
1
1
01
3 =
2
2
1
02
3
2
1
03
3
2
1
1 = 04
3
2
cos α
1
1
03
3
2
1
02
3
2
1
1
01
3 =
2
2
0
tan α
0
1
03
3
3
1
03
3
n.def.
Die angegebenen Werte sollen in den folgenden Aufgaben 4 und 5 begründet
werden.
Aufgabe
Satzgruppe des Pythagoras
1. Ergänzen Sie folgende Tabelle: (Alle Zahlenwerte haben die Einheit cm.)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
k)
a
b
2,5
3
1,4
2
3,2
2
c
h
p
q
5
C
1
γ = 90°
1,3
2,5
4
2,8
2,6
4,3
b
2,5
2
3,8
A
α
q
p
β
B
c
3
2,7
a
h
Orientierungsfigur
1,3
Winkelfunktionen im Dreieck
2. Ergänzen Sie die folgende Tabelle. Die Zahlenwerte der Strecken haben die
Einheit cm. Gesuchte Winkel sind in dezimal unterteilten Graden anzugeben.
a
a)
b)
c)
d)
e)
b
c
α
43
γ = 90°
64,33°
34°18’
72
75
14
3,5
C
β
b
24°
A
8
16,8
α
a
h
q
p
c
β
B
Orientierungsfigur
17
1
Trigonometrische Funktionen
3. Ergänzen Sie die folgende Tabelle. Die Zahlenwerte der Strecken haben
die Einheit cm. Gesuchte Winkel sind in dezimal unterteilten Graden anzugeben.
a
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Aufgabe
Mus ter
c
h
14
12,7
α
γ
γ
44°20’
35°
42°20’
40,5
30,4
26 14,7
a
h
a
30,5°
17,5
12
10,8
20
32
24°
α
A
α
D
c
Gleichschenkliges Dreieck
B
Besondere Werte von Winkelfunktionen (→ Seite 17)
Es soll am gleichseitigen Dreieck gezeigt werden, dass sin 30° = 0,5 ist.
Lösung:
A
30°
b
c
60°
B
Aufgabe
C
60°
a
C
Gleichseitiges Dreieck
B'
Das rechtwinklige Dreieck ABC mit
α = 30° wird an der Geraden AC gespiegelt. So entsteht ein gleichseitiges Dreieck ABB’, da jeder seiner
Innenwinkel 60° misst. b ist die Höhe
des gleichseitigen Dreiecks und
1
a = c.
2
1
c
2
1
a
Dann ist sin 30° = = c =
c
2
Besondere Werte von Winkelfunktionen
4. Zeigen Sie mit Hilfe eines gleichseitigen Dreiecks die Gültigkeit folgender
Aussagen:
1
1
a) sin 60° = 03
3
b) cos 30° = 03
3
2
2
1
c) cos 60° = 2
1
d) tan 30° = 03
3
3
e) tan 60° = 03
3
5. Zeigen Sie mit Hilfe eines gleichschenkligen-rechtwinkligen Dreiecks die
Gültigkeit folgender Aussagen:
1
1
a) tan 45° = 1
b) sin 45° = 02
3
cos 45° = 02
3
2
2
18
1
Trigonometrische Funktionen
Aufgabe
Anwendungsbezogene Aufgaben
(Fertigen Sie zu jeder Aufgabe eine Orientierungsskizze an.)
6. Ein Beobachter (Augenhöhe 1,75 m), der 50 m vom Fuße eines Turmes
entfernt ist, sieht die Turmspitze unter einem Erhebungswinkel von
72,33°. Berechnen Sie die Turmhöhe.
7. Ein 75 m hoher Turm wird unter einem Erhebungswinkel von 42°25’ gesehen. Berechnen Sie die Entfernung des Beobachters (1,5 m Augenhöhe) zum Turmfuß.
8. Von der Spitze eines Turmes sieht man einen 200 m vom Fuße entfernten
Punkt der Erdoberfläche unter einem Tiefenwinkel von 20,5°. Wie hoch ist
der Turm?
9. Wie groß ist der Neigungswinkel eines geraden Straßenstücks, wenn
man nach 1,0 km Weg 54 m an Höhe gewinnt?
10. Auf einer geneigten Ebene mit dem Neigungswinkel von 20° befindet sich
ein Körper mit der Masse von 1,5 kg. Berechnen Sie die Normalkraft und
die Hangabtriebskraft.
m
g = 9,8 s2
(
)
11. Zwei Kräfte mit den Beträgen F1 und F2 greifen an einem Punkt eines
Körpers an, ihre Richtungen sind zueinander senkrecht. Welche Winkel
bildet die Resultierende mit den beiden Kraftrichtungen, wenn F1 =
25,4 N und F2 = 18,5 N ist?
Auf eine Glasplatte mit der Dicke a =
16 mm fällt schräg ein Lichtstrahl ein,
der die Glasplatte parallel zur Einfallsrichtung mit einer Verschiebung
von b = 7,0 mm wieder verlässt.
Gesucht ist der Brechungswinkel β.
(Siehe Skizze)
B
a
β
c
C
A
b
Lichtstrahl durch eine Glasplatte
Aufgabe
Mus ter
Lösung:
b
7
tan β = ⇒ tan β = = 0,4375 ⇒
a
16
β = 23,63° (Brechungswinkel)
12. Auf eine Glasplatte (Brechungszahl n = 1,5) mit der Dicke von 15 mm fällt
ein Lichtstrahl, der beim Austreten eine Verschiebung von 5,0 mm hat.
Berechnen Sie den Brechungswinkel, den Einfallswinkel und den Winkel
der Totalreflexion für Glas.
Aufgabe
19
1
Trigonometrische Funktionen
1.3 Winkelfunktionen am Einheitskreis
1.3.1 Orientierte Winkel am Einheitskreis
Der Mittelpunkt des Einheitskreises
befindet sich im Ursprung eines
rechtwinkligen Koordinatensystems.
Die Achsen des Systems schneiden
aus dem Kreis 4 Quadranten I, II, III
und IV in der dargestellten Weise
aus.
→0
Ein Einheitsvektor a =
a01
()
a02
,
dessen Fuß sich im Ursprung befindet, rotiert im Einheitskreis. Er bildet
mit dem Radius [OA], der auf der xAchse liegt, verschieden große Winkel ϕ (Wir geben sie im Bogenmaß
an.).
y
1
B
a0
II
I
A'
ϕ
-1
O
III
a 10
a 20
A
1
x
IV
-1
B'
→
a 0 dreht sich im Einheitskreis
Erfolgt die Drehung im Gegenuhrzeigersinn, so sind die Winkel positiv
π , bei
orientiert. Bei einer Vierteldrehung des Vektors bildet sich der Winkel 2
einer halben Drehung bildet sich der Winkel π, bei einer vollen Drehung ergibt sich 2π, bei zwei Drehungen 4π, usw.
Erfolgt die Drehung im Uhrzeigersinn, so sind die Winkel negativ orienπ , bei
tiert. Bei einer Vierteldrehung des Vektors bildet sich der Winkel – 2
einer vollen Drehung ergibt sich – 2π, usw.
Jede reelle Zahl kann als Bogenmaß eines orientierten Winkels angesehen
werden.
1.3.2 Sinus- und Kosinusfunktion am Einheitskreis
(eine Drehung)
Der Einheitsvektor drehe sich zunächst im Gegenuhrzeigersinn von ϕ = 0 bis
ϕ = 2π. In der Stellung OM im I. Quadranten werde er kurz angehalten. Das
Dreieck ONM ist rechtwinklig mit dem spitzen Winkel ϕ . Es gilt:
a02
a01
sin ϕ = = a02, cos ϕ = = a01
1
1
20
Trigonometrische Funktionen
1
I. Quadrant
y
1
M
a
0
a 20
ϕ
O
-1
a 10
N
1
x
-1
Die Werte der Sinus- und Kosinusfunktion können also direkt als Längen der
Strecken a 20 und a 01 abgelesen werden. Diese Veranschaulichung lässt erkennen, wie sich die Sinus- und Kosinuswerte ändern, während sich der Einheitsvektor dreht bzw. während sich der Winkel ϕ ändert: Im I. Quadranten
nehmen die Sinuswerte monoton von 0 bis 1 zu, während die Kosinuswerte
monoton von 1 bis 0 abnehmen.
Dreht sich der Einheitsvektor über den I. Quadranten hinaus, so lassen sich
auch hier Sinus- und Kosinuswerte durch die Komponenten des Einheitsvektors bilden.
II. Quadrant
III. Quadrant
IV. Quadrant
y
y
y
1
1
1
a0
a 20
-1
ϕ
0
a1
ϕ
0
a1
1 x
-1
1 x
a 20
sin ϕ > 0, cos ϕ < 0
Sinus fällt von 1 auf 0
Kosinus fällt von 0 auf – 1
a 10
-1
1 x
a 20
a
-1
ϕ
0
-1
sin ϕ < 0, cos ϕ < 0
Sinus fällt von 0 auf – 1
Kosinus steigt von – 1 auf 0
a0
-1
sin ϕ < 0, cos ϕ > 0
Sinus steigt von – 1 auf 0
Kosinus steigt von 0 auf 1
Die Definitionsmenge der Sinus- bzw. der Kosinusfunktion bei einer vollen
Drehung des Einheitsvektors im Einheitskreis ist: D = [0; 2π]. Die Wertemenge ist W = [– 1; 1].
Für im Gradmaß angezeigte Winkel gilt:
Die Sinus- und Kosinuswerte haben für den spitzen Winkel α sowie für die
Winkel 180° – α, 180° + α und 360° – α denselben Betrag. Die Vorzeichen erkennt man an der Lage des Einheitsvektors im Einheitskreis.
21
1
Trigonometrische Funktionen
Beispiele
Hinweis: In den folgenden Beispielen soll lediglich die Entstehung der
Werte der Winkelfunktionen aus denen des I. Quadranten erläutert werden. Die Werte einschließlich der Vorzeichen entnimmt man letztlich dem
Taschenrechner und zwar für alle Winkel, die sowohl im Gradmaß als auch
im Bogenmaß gegeben sein können.
a) sin 138° = + 0,6691
sgn (sin 138°) = + 1
æsin 138°æ = æsin (180 – 138)°æ = æsin 42°æ = æ0,6691æ
aus dem Einheitskreis
b) cos 166° = – 0,9703
sgn (cos 166°) = – 1
æcos 166°æ = æcos (180 – 166)°æ = æcos 14°æ = æ0,9703æ
aus dem Einheitskreis
c) sin 212° = – 0,5299
sgn (sin 212°) = – 1
æsin 212°æ = æsin (180 + 32)°æ = æsin 32°æ = æ0,5299æ
aus dem Einheitskreis
d) cos 325° = + 0,8192
sgn (cos 325°) = + 1
æcos 325°æ = æcos (360 – 325)°æ = æcos 35°æ = æ0,8192æ
aus dem Einheitskreis
e) sin (– 130°) =
sin (360° – 130°) =
sin 230°
Negative Winkel werden zuerst
in positive Winkel umgerechnet.
sin 230° = – 0,7660
1.3.3 Tangensfunktion am Einheitskreis
Der Einheitskreis wird noch um die sog. Haupttangente h erweitert. Anstelle
des Einheitsvektors dreht sich jetzt die Gerade g einmal im Gegenuhrzeigersinn durch den Ursprung O.
y
g
y
g
T
1
h
1
tan ϕ
ϕ
ϕ
O
-1
A
1
x
-1
O
A
1
tan ϕ
-1
-1
h
I. und III. Quadrant
22
II. und IV. Quadrant
T
x
Trigonometrische Funktionen
1
Das
___ rechtwinklige Dreieck OAT ist ein Steigungsdreieck der Geraden g mit
OA = 1. Daher gilt für die Länge der Strecke vom
___ festen Punkt A bis zum
Schnittpunkt T von Gerade und Haupttangente AT = m, wobei m der Steigungsfaktor ist.
___
___
AT ___
AT
___
Andererseits gilt im rechtwinkligen Dreieck OAT: tan ϕ = = = AT = m
1
OA
Die Werte der Tangensfunktion werden durch die Strecke [AT] auf der Haupttangente veranschaulicht.
Zwischen dem Neigungswinkel ϕ einer Geraden und ihrem Steigungsfaktor m
gilt der allgemeine Zusammenhang tan ϕ = m.
Die Zeichnungen zeigen, dass auch für Winkel, die größer als 90° sind, Tangenswerte vorhanden sind.
Für spitze Winkel ϕ und Winkel von 180° + ϕ haben die Tangenswerte den
gleichen Betrag und positives Vorzeichen.
Für Winkel von 180° – ϕ und 360° – ϕ haben die Tangenswerte den gleichen Betrag aber negatives Vorzeichen.
Für ϕ = ± 90° und ± 270° gibt es keine Schnittpunkte der Geraden G mit
der Haupttangente und folglich sind keine Tangenswerte vorhanden.
Die Definitionsmenge der Tangensfunktion bei einer vollen Drehung der Geraden g gegen den Uhrzeigersinn im Einheitskreis ist demnach:
π 3π
D = [0; 2π]\ , . Die Wertemenge der Tangensfunktion ist W = Ø.
2 2
{
}
Beispiele
a) tan 142° = – tan (180 – 142)° = – tan 38° = –0,7813
b) tan 237° = tan (180 + 57)° = tan 57° = 1,5399
1.3.4 Zusammenhänge zwischen den Winkelfunktionen
Der Einheitsvektor aus 1.3.2 und die Gerade g aus 1.3.3 rotieren nun gemeinsam im Einheitskreis. In der gezeichneten Stellung werden sie einen Moment
angehalten.
y
T
1
N
a0
ϕ
O
-1
-1
MA
1
x
Zusammenhänge zwischen
sin ϕ, cos ϕ, tan ϕ
23
1
Trigonometrische Funktionen
____
____
2
2
Im
___rechtwinkligen Dreieck OMN gilt der Satz des Pythagoras OM + MN =
ON 2 ⇒ (sin ϕ )2 + (cos ϕ )2 = 1 oder kürzer sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1.
In der „V-Figur“ OMATN gilt der Strahlensatz
___ ____
MN
OM
sin ϕ
sin ϕ
cos ϕ
___ = ___ ⇒ = ⇒ tan ϕ = AT
OA
tan ϕ
cos ϕ
1
π
Die Beziehungen gelten auch für Winkel, die größer als 90° bzw. größer als 2
sind.
Trigonometrische Grundbeziehungen
sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1
„Trigonometrischer Pythagoras“
sin ϕ
tan ϕ = cos ϕ
„Verknüpfung Sinus, Kosinus, Tangens“
Beispiele
3
a) In einem rechtwinkligen Dreieck ist cos α = gegeben. Gesucht sind
5
sin α und tan α ohne den Winkel zu ermitteln.
Lösung:
33–3o
c3s323
α Trigonometrischer Pythagoras
sin2 α + cos2 α = 1 ⇒ sin α = 01
sin α =
2
3
16
4
1
) = 13
= 13
3–3
(3
5
25
5
Berechnung von sin α
3
5
3
= 4
4
5
Berechnung von tan α
sin α
tan α = ⇒ tan α =
cos α
1
b) Der Sinuswert eines stumpfen Winkels ist . Gesucht sind die Kosinus3
und Tangenswerte desselben Winkels ohne diesen Winkel zu berechnen.
Lösung:
33–3in
s323
α
cos α = – 01
cos α = –
1
8
2
– = – 13
3
= – 02
113333
9
9
3
1
3
sin α
1
tan α = ⇒ tan α = = – 02
3
2
4
– 02
3
cos α
3
24
Der Kosinus eines
stumpfen Winkels
ist negativ.
Berechnung von cos α.
Berechnung von tan α.
1
Trigonometrische Funktionen
1
c) Es soll gezeigt werden, dass die Umformung 1 + tan2 α = richtig ist.
cos2 α
Lösung:
sin2 α
sin α
wegen tan α = 1 + tan2 α = 1 + cos2 α
cos α
sin2 α cos2 α + sin2 α
1 + = cos2 α
cos2 α
Hauptnenner gebildet
1
cos2 α + sin2 α
=
2
cos α
cos2 α
Trigonometrischer Pythagoras
Aufgabe
Werte von Winkelfunktionen
1. Führen Sie folgende Winkelfunktionen auf solche von spitzen Winkeln
zurück: (→ Beispiele auf Seite 22)
a) cos 139°
b) sin 215,56°
c) tan 189°
d) tan 151,5°
e) sin 92°
f) cos 311°
g) tan 288°
h) cos 305,75°
i) sin 200°
k) sin 156°20’
l) cos 354°40’
m) tan 110°
n) sin (– 38°)
o) cos (– 116,5°)
p) tan (– 98°)
q) cos (– 200°)
r) sin 253°
s) sin 330°
Aufgabe
Berechnung von Winkeln
Gesucht sind die Lösungen der Gleichung sin ϕ = 0,57358, ϕ ∈ [0; 360°].
Lösung:
1. Lösung: ϕ1 = 35°
2. Lösung: ϕ2 = 180° – 35° = 145°
Mus ter
Taschenrechner: INV SIN 0,57358
bzw. sin–1 0,57358
Auch für Winkel im II. Quadranten
sind die Sinuswerte positiv
Werte von Winkelfunktionen
Aufgabe
2. Ermitteln Sie die Lösungen folgender Gleichungen:
a) sin ϕ = 0,6884, ϕ ∈ [0; 360°]
b) cos ϕ = 0,1564, ϕ ∈ [0; 360°]
c) tan ϕ = – 2,5635, ϕ ∈ ]90°, 270°[ d) cos ϕ = – 0,2588, ϕ ∈ [0, 360°]
e) sin ϕ = – 0,4067, ϕ ∈ [0; 360°]
f) cos ϕ = – 0,5592, ϕ ∈ [90°; 180°]
g) tan ϕ = 1,1542, ϕ ∈ ]180°; 270°[ h) sin ϕ = 0,7314, ϕ ∈ [0; 90°]
3. Geben Sie die Lösungen folgender Gleichungen an:
a) sin ϕ = 0,7071, ϕ ∈ [0; π]
b) cos ϕ = – 0,9781, ϕ ∈ [0; 2π]
π
c) sin ϕ = – 0,9004, ϕ ∈ [0; 2π]
d) tan ϕ = 0,8645, ϕ ∈ ]0; [
2
π
e) cos ϕ = 0,4695, ϕ ∈ [π; 2π]
f) tan ϕ = – 3,6456, ϕ ∈ ]; π[
2
4. Bestimmen Sie die Lösungen folgender Gleichungen im Gradmaß mit der
Nebenbedingung sin ϕ < 0.
a) tan ϕ = 1,5023
b) cos ϕ = – 0,8988
c) cos ϕ = 0,7880
d) tan ϕ = – 1,4826
25