Wahrscheinlichkeitstheorie Übungsblatt 6

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Wahrscheinlichkeitstheorie Übungsblatt 6
Aufgabe H 1. Seien
• {supk∈N Sk ≤ x}
(Xn )n∈N
reelle ZVen,
Sn =
Pn
i=1 Xi . Sind
x∈R
mit
• {supk∈N Sk = ∞}
• {lim inf n→∞ Xn ≤ x}
mit
x∈R
terminal?
Z
sup ⊆ x ∈ T
x ∈ R; nein (Xi )i≥1 reelle
R
X1 ∈ {−1,
Xi ≡ 0, i ≥ 2; supk K = X1
R 1} und
⇒ supk R k ≤ x ∈
/ σ(X2 , X3 , X4 , . . . )
⇒ {supk k ≤ x} ist nicht ∈ T
R
{supk K = ∞} terminal ? Ja, da X reelle ZV
R
R
• {supk∈N K = ∞} = {supk≥n K = ∞}; ∀n ∈ N
Z
• {sup
= sup(X1 + . . . + Xn + . . . Xk ) = ∞} =
n
k≥n K
X
{sup ≥ n
Xi = ∞} ∈ σ(Xn , Xn+1 , . . . ); ∀n ∈ N
Beweis.
1.
k∈N
2.
k
n≤i≤k
R
⇒ {supk∈N
3.
k
= ∞}
{lim inf n→∞ Xn ≤ x}
n
o \ \
lim inf =
n→∞
mit
ist terminal
ist terminal?
Ja.
1
Xi ≤ x +
k
[
k≥1 1≤j<∞ j<i<∞
\
unabh. ZVen.
k
[ 1≤j<∞ j≤i<∞
1
Xi ≤ x +
k
⇒ {lim inf Xn ≤ x} =
=
\
Nach Vorlesung (Bsp 3.18) gilt
[ N ≤j<∞ j≤i<∞
\
\
[ k≥1 1<j<∞ j≤i<∞
1
Xi ≤ x +
k
1
Xi ≤ x +
2
∀k, N ∈ N
1
=
Xi ≤ x +
; ∀N ∈ N
k
k≥1 1<j<∞ j<i<∞
|
{z
}
\
\
[ σ(Xn ,Xn+1 ,...
⇒ {lim inf Xn ≤ 1} ∈ T =
\
σ(Xn , Xn+1 , . . . )
N ≥1
n ∈ N, Xn ∼ Poin
P
Xn
→
n n≥1 −
c =?
Pn
Beweis. Sei Y1 , . . . , Yn unabhängig und Yj ∼ Poi1 ; ∀i ⇒
i=1 Yi ∼ Poin .
Wir können das Gesetz der groÿen Zahlen anwenden (wegen Poi1 und unabhängig)
Aufgabe H 2. Sei
und
N
1 X
Xn P
P
Yi −
→ E [Y1 ] = 1; ⇒
−
→1
n
ω
1≤i≤N
2
Aufgabe H 3.
•
µn , µ
W'Maÿe
µn (] − ∞, x]) = Fn (x), µ (] − ∞, x]) = F (x)
F stetig
w
→µ
• µn −
Z.Z.:
sup |Fn (x) − F (x)| → 0
x∈R
Beweis.
• Fn (x) → F (x)
Widerspruchsannahme
1.Fall:
(xnk )k∈N
für x ∈ R
∃ > 0; ∃(nk )k∈N ∃(xnk )k∈N |Fnk (xnk ) − F (xnk )| ≥ sei unbeschränkt
n→∞
xnk % ∞ monoton. F (n) −−−→ 1, d.h. ∃N ∈ N 1 − F (N ) <
0
Fnk (N ) → F (N ) ∃N ∈ N : |Fnk − F (N )| < 3 ∀k ≥ N.
1. Unterfall
wegen
3
⇒ |F (x) − Fnk (x)| ≤ |1 − F (x)| + |1 − Fnk (x)| ≤ 1 − F (x) +1 − Fnk (x)
| {z }
3
≤ 1 − F (N ) + 1 − Fnk (N )
< + 1 − F (N ) + F (N ) − Fnk (N ) < 3
2. Unterfall
xnk & −∞
monoton analoger Widerspruch
k→∞
xnk −−−→ x
Da F stetig ∃δ > 0 |x − y| ≤ δ ⇒ |F (x) − F (y)| ≤ 5
Da Fn → F punktweise ∃N ∈ N : |Fnk (x − δ) − F (x − δ)| <
|Fnk (x + δ) − F (x + δ| < 5 ; ∀k ≥ N
y ∈ [x − 2δ , x + 2δ ] ⇒
2.Fall:
(xnk ) sei beschränkt o. E.
5;
∀k ≥ N
|F (y) − Fnk (y)| ≤ |F (y) − F (x − δ| + |F (x − δ) − Fnk (x − δ)|
+ |Fnk (x − δ) − Fnk (y)|
< + + Fnk (y) − Fnk (x − δ)
| {z }
| {z }
5 5
F (x−δ)+/5
F (x−δ)+/5
< + +
(x + δ) − F (x − δ) +
5 5 5F
5
= 4 + F (x + δ) − F (x − δ)
5
<