Übungsblatt 9

Übungsblatt 9
Analysis 1, HS14
Ausgabe Donnerstag, 6. November.
Abgabe Donnerstag, 13. November. Bitte Lösungen bis spätestens 17 Uhr in den
Briefkasten des jeweiligen Übungsleiters am J- oder K-Geschoss von Bau Y27 legen.
Definitionen (siehe Definition 7.5.10) Sei D ⊂ R und sei f : D → R eine Funktion.
‘limx→∞ f (x) = ∞’ bedeutet, dass für jede Folge (xn ) ⊂ D mit xn → ∞ folgt, dass
f (xn ) → ∞. ‘limx→∞ f (x) = `’ bedeutet, dass für jede Folge (xn ) ⊂ D mit xn → ∞
folgt, dass f (xn ) → `.
Übung 1.
(i) Zeigen Sie, dass die Funktionen z 7→ Re z, z 7→ Im z und z 7→ z̄, als Funktionen
von C nach C betrachtet, stetig sind.
(ii) Sei x ∈ D ⊂ R and sei f : D → R eine Funktion, die stetig in x ist. Zeigen Sie, dass
wenn f (x) > c gilt, existiert eine δ > 0, so dass für y ∈]x − δ, x + δ[ gilt f (y) > c.
(iii) Seien f : D → E, g : E → R Funktionen, so dass limx→∞ f (x) = ∞ and limy→∞ g(y) =
` ∈ R. Zeigen Sie, dass limx→∞ g ◦ f (x) = `.
Übung 2.
Zeigen Sie:
(i) f : ]0, 2] → R, x 7→ 1/x ist stetig aber nicht gleichmässig stetig;
(ii) g : ]1, 2] → R, x 7→ 1/x ist Lipschitz stetig;
√
(iii) h : [0, 1] → R, x 7→ x ist gleichmässig stetig aber nicht Lipschitz stetig.
1
Übung 3.
Zeigen Sie:
(i)
ln(x) − ln(y)
1
= ,
x−y
x
x > 0.
x−1
≤ ln(x) ≤ x − 1,
x
x > 0.
lim
y→x
(ii)
[Hint für (ii): Für die obere Schranke werden Sie vielleicht die Idee vom Beweis vom Satz
8.4.G benötigen. Für die untere Schranke betrachten Sie ln(1/x).]
Übung 4.
Seien D ⊂ R und f : D → R.
(i) Seien y ∈ D und a ∈ R.
(a) Zeigen Sie, dass limx↑y f (x) = a (Notation von Definition 7.5.11) genau dann,
wenn
∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x ∈ D ∩ ]−∞, y[ : |x − y| < δ =⇒ |f (x) − a| < ε,
(1)
und, dass limx↓y f (x) = a genau dann, wenn
∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x ∈ D ∩ ]y, ∞[ : |x − y| < δ =⇒ |f (x) − a| < ε.
(b) Zeigen Sie, dass limx→y f (x) = a genau dann, wenn limx↑y f (x) = limx↓y f (x) =
a.
(ii) Welche der folgenden Funktionen hat eine stetige Fortsetzung auf R? Für welche
ist die Fortsetzung eindeutig?
x2 − 1
(a) f : R \ {1} → R, x 7→
x−1
(
(b) H : R \ {0} → R, x 7→
(c) g : R \ {0} → R, x 7→
0,
1,
x < 0,
x>0
1
|x|
(d) φ : {−1, 0, 1} → R, x 7→



1,
0


1
x = −1,
x = 0, .
x=1
Übung 5. [Bonus, nicht obligatorisch]
Sei D ⊂ C und sei f : D → C eine gleichmässig stetige Funktion. Zeigen Sie, dass falls
(yn ) ⊂ D Cauchy-Folge ist, so ist auch (f (yn )) Cauchy-Folge.
2