Prüfungstyp: *

D-MATH, D-PHYS, D-CHAB
Prof. Dr. Manfred Einsiedler
Analysis I
HS 2016
Prüfungstyp: *
• Die Prüfung dauert 75 Minuten.
• Bitte legen Sie Ihre Legi (Studentenkarte) offen auf den Tisch.
• Verwenden Sie ausschliesslich einen schwarzen oder blauen Kugelschreiber. Zum
Korrigieren verwenden Sie ausschliesslich TippEx.
• Übertragen Sie alle Ihre Antworten auf das separate Antwortblatt und geben Sie am
Ende der Prüfung nur dieses ab.
• Es sind keine Hilfsmittel zur Prüfung zugelassen. Die zur Verfügung gestellte Zusammenfassung finden Sie am Ende der Prüfungsaufgaben.
• Füllen Sie das Antwortblatt in Grossbuchstaben und gut leserlich aus.
• Bei zwei Aufgaben in diesem Test gibt es nur eine richtige Antwort (Single Choice), und Sie erhalten für die richtige Antwort jeweils 3 Punkte. Bei den restlichen
Aufgaben gibt es jeweils 2 oder 4 Teilfragen, die Sie mit Ja/Nein oder Wahr/Falsch
beantworten können. Bei diesen Fragen erhalten Sie für jede korrekte Antwort einen
Punkt, aber falsche Fragen führen innerhalb der Aufgabe zu einem Punktabzug.
• Frühzeitiges Abgeben ist nicht erlaubt.
• Tipp: Die Reihenfolge der Fragen ist zufällig gewählt, also insbesondere nicht mit aufsteigender Schwierigkeit. Falls Sie eine Frage als schwierig empfinden, ist es mitunter
besser diese vorerst unbeantwortet zu lassen und später zu dieser zurückzukehren.
Bitte wenden!
1. [3 Punkte] Welcher der folgenden Ausdrücke ist die Negation von
∀x ∈ X∃y ∈ X : A(x) ∧ B(y) ⇒ A(y)
a) ∃x ∈ X∀y ∈ X : A(x) ∧ B(y) ∧ ¬A(y)
b) ∃x ∈ X∀y ∈ X : (A(x) ∧ B(y)) ∨ (¬A(y))
c) ∃x ∈ X∀y ∈ X : ¬(A(x) ∧ B(y)) ∧ (¬A(y))
2. [2 Punkte] Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?
a) Sei X eine Menge und f : X → C eine Funktion. Für x, y ∈ X definieren wir
x ∼ y, falls f (x)2 = f (y)2 ist. Dann definiert dies eine Äquivalenzrelation auf
X.
b) Die beiden Mengen [0, 1] und {f : [0, 1] → {0, 1}} sind gleichmächtig.
3. [4 Punkte] Die Axiome von R inkludieren das Vollständigkeitsaxiom. Für welche der
folgenden Definitionen oder Aussagen wurde das Vollständigkeitsaxiom (oder Korollare des Vollständigkeitsaxioms) zwingend benötigt? ”Ja” steht für ”wurde benötigt”
und ”Nein” steht für ”wurde nicht benötigt”.
a) Beweis der vollständigen Induktion in N.
b) Archimedisches Prinzip.
c) Beweis des Prinzip der Intervallschachtelung.
d) Beweis des Cauchy-Kriteriums für Folgen.
4. [2 Punkte] In dieser Aufgabe erfüllt i ∈ C die Gleichung i2 = −1. Welche der folgenden Aussagen gelten?
= 2−3i
13
√
b) (1 + 3 i)6 = 64
a)
1
2+3i
Bitte wenden!
5. [4 Punkte] Welche der folgenden Aussagen gelten?
a) Die Folge (an )n mit
n
X
n
an =
2
k
k=0
k
ist beschränkt.
b) Die Folge (an )n mit
n
X
k n
an =
(−2)
k
k=0
ist beschränkt.
c) Ein reelles, ungerades Polynom auf R ist eine monotone Funktion.
d) Seien D, E ⊆ R nicht leer. Dann ist die Verknüpfung einer monotonen Funktion
f : D → E und einer monotonen Funktion g : E → R wieder monoton.
6. [4 Punkte] Welche der folgenden Aussagen gelten?
a) Die Funktion x ∈ R \ { π2 + Zπ} 7→ tan(x) ist stetig.
b) Für eine stetige Funktion f : R → R existiert der Grenzwert limx→∞ f (x) im
Allgemeinen nicht.
c) Sei f : R → R stetig mit limx→−∞ f (x) = limx→∞ f (x) = 0. Dann existiert ein
xmax ∈ R mit |f (x)| ≤ |f (xmax )| für alle x ∈ R.
d) Es gibt eine stetige Bijektion f : (0, 1) → R mit stetiger inversen Abbildung.
7. [4 Punkte] Seien a < b reelle Zahlen und f : (a, b) → R eine stetige Funktion, die
sich nicht stetig auf (a, b] fortsetzen lässt. Welche der folgenden Aussagen treffen auf
die Funktion f sicher zu?
a) f ist nicht gleichmässig stetig.
b) f ist nicht beschränkt.
c) f ist nicht monoton.
d) limx%b f (x) existiert nicht.
Siehe nächstes Blatt!
8. [4 Punkte] Seien a < b reelle Zahlen und sei f : [a, b] → R eine Funktion. Welche der
folgenden Aussagen gelten?
a) Falls f 2 Riemann-integrierbar ist, dann auch f .
Rb
b) Falls a f (x) dx = (b − a) max{f (x) | x ∈ [a, b]}, dann ist f konstant.
c) Falls f Riemann-integrierbar ist, dann ist f stückweise monoton.
d) Wir definieren
(
x2
f (x) =
−x2
falls x ∈ [a, b] ∩ Q
falls x ∈ [a, b] \ Q
Dann ist f Riemann-integrierbar.
9. [4 Punkte] Sei f : [0, ∞) → R eine Funktion, sodass für alle Folgen (xn )n in [0, ∞)
mit xn → ∞ für n → ∞ folgendes gilt: f (xn ) ist eine Cauchy-Folge ist. Dann gilt:
a) Es gibt eine Folge xn ∈ [0, ∞) mit xn → ∞ für n → ∞ und limn→∞ f (xn )
existiert.
b) f ist beschränkt.
c) limx→∞ f (x) existiert, ist aber nicht zwingend eindeutig bestimmt.
d) f ist gleichmässig stetig.
10. [4 Punkte] Die folgenden Teilmengen von [0, 1] sind genau die Häufungspunkte einer
jeweils geeignet gewählten Folge.
a) Q ∩ [0, 1]
b) { n1 | n ∈ N}
c) [0, 1]
d) (0, 1)
Bitte wenden!
11. [4 Punkte] Konvergieren die folgenden Reihen?
P∞
1
a)
n=1 2n+1
(−1)n
n=2 log(n)
b)
P∞
c)
P∞
d)
P∞
(−1)n
n=4 n2 +3n(−1)n
n=1
cos( n1 ) − 1
12. [3 Punkte] Was ist der Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe?
∞
X
n
4
√
n2
+n−n
n
xn
n=1
a)
1
4
b) 2
c) ∞
13. [4 Punkte]
a) In unserem Beweis vom Satz von Rolle spielt der Satz über die Existenz des
Maximums einer stetigen Funktion auf einem kompakten Intervall eine wichtige
Rolle.
b) In unserem Beweis vom Satz von Rolle spielt der Zwischenwertsatz für stetige
Funktionen auf einem kompakten Intervall eine wichtige Rolle.
c) Seien I, J ⊆ R nicht leer. Sei ausserdem f : I → J eine stetig differenzierbare,
monoton wachsende Funktion und sei g : J → I die Umkehrfunktion von f . Sei
weiters x0 ∈ I mit f 0 (x0 ) = 0. Dann ist g bei f (x0 ) nicht differenzierbar.
d) Seien I, J ⊆ R nicht leer und sei f : I → J eine stetig differenzierbare, streng
monoton wachsende Funktion. Dann ist f 0 (x) > 0 für alle x ∈ I.
Viel Erfolg!