?? Topologie

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Topologie
??, ??:
Topologie
Alle Rechte vorbehalten.
© 2005 ?? ??
Tag des Druckes: 22. September 2005
III
Inhaltsverzeichnis
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Spezielle Teilmengen in topologischen Räumen
2.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Der Abschlussoperator . . . . . . . . . . .
2.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Stetigkeit
3.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
7
7
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Konstruktion topologischer Räume
4.1 Erzeugung von Topologien . . .
4.2 Basis einer Topologie . . . . . .
4.3 Unterraum-Topologie . . . . . .
4.3.1
. . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Satz . . . . . . . . . . .
4.3.3 Satz . . . . . . . . . . .
4.4 Produkttopologie . . . . . . . .
4.4.1 Definition . . . . . . . .
4.4.2 Satz . . . . . . . . . . .
4.4.3 Beispiel . . . . . . . . .
4.4.4 Satz . . . . . . . . . . .
4.4.5 Beispiele . . . . . . . .
4.5 Topologische Summe . . . . . .
4.6 Quotiententopologie . . . . . .
4.6.1 Definition . . . . . . . .
4.6.2 Beispiele . . . . . . . .
4.6.3 Universelle Eigenschaft
4.6.4 Korollar . . . . . . . . .
4.6.5 Definition . . . . . . . .
4.6.6 Satz . . . . . . . . . . .
2
Metrik und Topologie
1.1
. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Beispiele . . . . . . . . . . . .
1.3 Kugeln und offene Mengen . . .
1.4 Beispiele . . . . . . . . . . . .
1.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Stetigkeit in metrischen Räumen
1.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Definition . . . . . . . . . . . .
1.9 Beispiele topologischer Räume .
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IV
Inhaltsverzeichnis
4.6.7
4.6.8
4.6.9
5
6
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verklebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Endliche CW-Komplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trennungsaxiome
5.1 Definition . . . . . . . . . . . .
5.2 Bemerkung . . . . . . . . . . .
5.3 Zusammenhang zu Umgebungen
5.4 Vererbbarkeit auf Unterräume .
5.5 Vererbbarkeit auf Produkte . . .
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Normale Räume
6.1 Urysohns Lemma . . . . . . . . .
6.2 Tietzescher Fortsetzungssatz . . .
6.3 Trennende Familien . . . . . . . .
6.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Ein Metrisationssatz von Urysohn
6.6 Abschließendes Beispiel . . . . .
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Das Zornsche Lemma
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Moore-Smith-Konvergenz und Netze
8.1 Gerichtete Mengen . . . . . . .
8.2 Beispiele . . . . . . . . . . . .
8.3 Netze . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Beispiele . . . . . . . . . . . .
8.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Teilnetze . . . . . . . . . . . . .
8.7 Bemerkungen . . . . . . . . . .
8.8 Lemma . . . . . . . . . . . . .
8.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . .
8.10 Universelle Netze . . . . . . . .
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Zusammenhang
9.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Zusammenhängende Teilmengen von R
9.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . .
9.9 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . .
9.10 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . .
9.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.12 Beispiel (Topologischer Sinus) . . . . .
9.13 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.14 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.15 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.16 Zusammenhangskomponenten . . . . .
9.17 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . .
9.18 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.19 Total unzusammenhängende Räume . .
9.20 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . .
9.21 Satz von Sierpinski . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
9.22 Lokaler Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.23 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
33
10 Kompaktheit
10.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.10Satz von Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . .
10.11Satz von Heine-Borel . . . . . . . . . . . . . .
10.12Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.13Cantormenge, Cantorwürfel und Peano-Kurven
10.14Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.15Konvexe Körper . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.16Lokalkompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . .
10.17Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.18Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.19Einpunkt-Kompaktifizierung . . . . . . . . . .
10.20Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.21Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11 Homotopie
11.1 Homotopie von Abbildungen . . . . .
11.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Verkettung von Wegen . . . . . . . .
11.5 Die Fundamentalgruppe . . . . . . . .
11.6 Satz und Definition . . . . . . . . . .
11.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . .
11.8 Funktorialität der Fundamentalgruppe
11.9 Satz über Homotopie-Invarianz . . . .
11.10Homotopie-Äquivalenz von Räumen .
11.11Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.12Beispiele . . . . . . . . . . . . . . .
11.13Lebesgue-Lemma . . . . . . . . . . .
11.14Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.15Korollar . . . . . . . . . . . . . . . .
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12 Überlagerungen
12.1 Definition . . . . . . . . . . . .
12.2 Beispiele . . . . . . . . . . . .
12.3 Homotopie-Hochhebungssatz . .
12.4 Korollar: Weg-Hochhebungssatz
12.5 Operation auf einer Faser . . . .
12.6 Beispiele . . . . . . . . . . . .
12.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . .
12.8 Korollar . . . . . . . . . . . . .
12.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . .
12.10Fundamentalsatz der Algebra . .
12.11 . . . . . . . . . . . . . . . . .
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V
VI
Inhaltsverzeichnis
12.12Retraktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
12.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.14Fixpunktsatz von Brouwer . . . . . . . .
12.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.17Hochhebungssatz . . . . . . . . . . . . .
12.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.20Existenz von Überlagerungs-Morphismen
12.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.22Korollar über universelle Überlagerungen
12.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.27SO3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 (Zufällig) Ausgewählte Übungsaufgaben
13.1 Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Aufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Aufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . .
13.5 Aufgabe 8 . . . . . . . . . . . . . .
13.6 Aufgabe 10 . . . . . . . . . . . . .
13.7 Aufgabe 11 . . . . . . . . . . . . .
13.8 Aufgabe 12 . . . . . . . . . . . . .
13.9 Aufgabe 13 . . . . . . . . . . . . .
13.10Aufgabe 17 . . . . . . . . . . . . .
13.11Aufgabe 18 . . . . . . . . . . . . .
13.12Aufgabe 19 . . . . . . . . . . . . .
13.13Aufgabe 20 . . . . . . . . . . . . .
13.14Aufgabe 21 . . . . . . . . . . . . .
13.15Aufgabe 23 . . . . . . . . . . . . .
13.16Aufgabe 28 . . . . . . . . . . . . .
13.17Aufgabe 30 . . . . . . . . . . . . .
13.18Aufgabe 32 . . . . . . . . . . . . .
13.19Aufgabe 33 . . . . . . . . . . . . .
13.20Aufgabe 34 . . . . . . . . . . . . .
13.21Aufgabe 37 . . . . . . . . . . . . .
13.22Aufgabe 38 . . . . . . . . . . . . .
13.23Aufgabe 42 . . . . . . . . . . . . .
13.24Aufgabe 43 . . . . . . . . . . . . .
13.25Aufgabe 47 . . . . . . . . . . . . .
13.26Aufgabe 50 . . . . . . . . . . . . .
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58
58
58
1
Kapitel 1
Metrik und Topologie
Eine Metrik auf einer Menge X ist eine Abbildung d : X × X → R mit
(M1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y,
(M2) d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie),
(M3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung),
für alle x, y, z ∈ X. Das Paar (X, d) heißt metrischer Raum. Es lässt sich leicht zeigen, dass d(x, z) ≥
|d(x, y) − d(y, z)| und insbesondere d(x, y) ≥ 0 gilt für alle x, y, z ∈ X (siehe Übungsaufgabe 2).
Die Abbildung d heißt Ultrametrik, wenn zusätzlich
(M4) d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}
für alle x, y, z ∈ X gilt.
1.1
1.2
Beispiele
(a) Auf jeder Menge X ist die wegen (M1) eindeutige diskrete Metrik d : X × X → {0,1} definiert.
1
(b) Die euklidische Metrik auf Rn ist durch d(x, y) = ∑ni=1 (xi − yi )2 2 gegeben. Insbesondere ist (R, | · |)
ein metrischer Raum und durch Identifikation Cn ∼
= R2n wird auch Cn zu einem metrischen Raum.
(c) Für eine Menge M wird die Menge RM aller Abbildungen von M nach R durch die beschränkte Maximumsmetrik d( f , g) := min{sup{| f (x) − g(x)| : x ∈ M}, 1} zu einem metrischen Raum.
(d) Für jeden metrischen Raum (X, d) und jede Teilmenge A j X ist auch (A, d|A×A ) ein metrischer Raum,
etwa für A = Q, Menge der stetigen Funktionen.
(e) Sei p eine Primzahl, dann gibt es zu jeder rationalen Zahl q 6= 0 genau eine ganze Zahl z(q), so dass
Zähler und Nenner des gekürzten Bruches qp −z(q) nicht durch p teilbar sind. Sei d : Q×Q → R definiert
durch d(x, y) = p −z(x,y) , falls x 6= y und d(x, y) = 0 sonst. Dann ist (Q, d) ein metrischer Raum und d
ist sogar eine Ultrametrik, die sogenannte p-adische Ultrametrik (siehe Übungsaufgabe 4).
1/p 2
0
p
1/p
1.3
p2
1/p
Kugeln und offene Mengen
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Die Teilmenge
Bdr (x) := Br (x) := {y ∈ X | d(x, y) < r}
für r ∈ R und x ∈ X heißt offene Kugel mit Radius r und Mittelpunkt x, oder kurz r-Kugel. Die Teilmengen
B̄dr (x) := B̄r (x) := {y ∈ X | d(y, x) ≤ r}
2
Kapitel 1. Metrik und Topologie
und
Srd (x) := Sr (x) := {y ∈ X | d(x, y) = r}
heißen abgeschlossene Kugeln beziehungsweise Sphären.
Eine Teilmenge U von X heißt offen, wenn für jedes x ∈ U ein r ∈ Ri0 existiert mit x ∈ Br (x) j U, und
eine Teilmenge von X heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. 1
U
x
r
Br(x)
1.4 Beispiele
(a) In jedem metrischen Raum sind alle offenen Kugeln offene Teilmengen und alle abgeschlossenen Kugeln sind abgeschlossen, siehe Übungsaufgabe 3.
(b) Im metrischen Raum R mit der euklidischen Metrik ist das Intervall ]0,1[ offen und [0,1] abgeschlossen.
Das halboffene Intervall X := [0,2[ ist weder offen noch abgeschlossen. Im Sinne von Beispiel 1.2(d)
ist auch X ein metrischer Raum. In diesem ist [0,1[ offen und [1,2[ abgeschlossen.
(c) In diskreten metrischen Räumen sind alle Teilmengen offen und abgeschlossen.
(d) ÜA/Witz: What is the difference between a door and a set?
1.5
Satz Für jeden metrischen Raum (X, d) gilt
(a) Die Teilmengen 0/ und X sind offen.
(b) Jede Vereinigung von offenen Mengen ist offen.
(c) Der Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen ist offen.
Beweis. Übungsaufgabe 3.
1.6 Stetigkeit in metrischen Räumen Eine Abbildung f : X → Y eines metrischen Raums (X, d) in einen
metrischen Raum (Y, d 0 ) heißt stetig, wenn
∀x ∈ X, ε > 0 : ∃δ > 0 ∀y ∈ X : d(x, y) < δ =⇒ d 0 ( f (x), f (y)) < ε
gilt.
1.7 Satz Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen ist genau dann stetig, wenn die Urbilder
aller offenen Mengen offen sind.
Dieser Satz ist wesentlich für die Definition von topologischen Räumen, denn er gestattet es, Stetigkeit
durch Offenheit auszudrücken.
Beweis. Die Bedingung in 1.6 ist äquivalent zu
∀x ∈ X, ε > 0 : ∃δ > 0 : f (Bδ (x)) j Bε ( f (x)).
(1.1)
Sei nun f stetig und U offen in Y . Für x ∈ f −1 (U) wähle ε > 0 mit Bε ( f (x)) j U und δ wie in (1.1).
Dann folgt Bδ (x) j f −1 (Bε ( f (x))) j f −1 (U).
Sei nun umgekehrt f −1 (U) offen für alle offenen Teilmengen U j Y . Sei x ∈ X und ε > 0. Dann ist mit
Bε ( f (x)) auch f −1 (Bε ( f (x))) offen. Also existiert δ > 0 mit Bδ (x) j f −1 (Bε ( f (x))) und (1.1) ist gezeigt.
1 Abgeschlossenheit ist nicht das Gegenteil von Offenheit. Es gibt Mengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, z.B. X und
0/ und auch Mengen, die weder offen noch abgeschlossen sind.
1.8. Definition
1.8 Definition Eine Topologie O auf einer Menge X ist ein System von Teilmengen von X, den sogenannten offenen Teilmengen, das folgende Eigenschaften erfüllt:
(T1) Die Teilmengen 0/ und X von X sind offen: 0,
/ X ∈ O.
S
(T2) Vereinigungen offener Mengen sind offen: U j O =⇒ U ∈ O.
(T3) Endliche Schnitte offener Mengen sind offen: U,V ∈ O =⇒ U ∩V ∈ O.
Das Paar (X, O) heißt topologischer Raum, häufig werden wir einfach vom topologischen Raum X sprechen.
Eine Teilmenge A j X heißt abgeschlossen, falls X \ A offen ist.
Eine Abbildung f : X → Y für einen weiteren topologischen Raum (Y, O 0 ) heißt stetig, wenn Urbilder
offener Teilmengen von Y offen in X sind, das heißt f −1 (U) ∈ O für alle U ∈ O 0 oder prägnanter, aber
ungenauer: f −1 (O 0 ) j O.
Ist f bijektiv und f −1 ebenfalls stetig, so heißt f ein Homöomorphismus und die Räume (X, O) und
(Y, O 0 ) homöomorph, in Zeichen (X, O) ≈ (Y, O 0 ) oder (X, O) ∼
= (Y, O 0 ).
Sind O und O 0 Topologien auf X, so heißt O feiner als O 0 , beziehungsweise O 0 gröber als O, wenn
O 0 j O ist.
1.9
Beispiele topologischer Räume
(a) Für jede Menge X ist ℘(X) eine Topologie auf X, die sogenannte diskrete Topologie: Sie ist die feinste
Topologie auf X.
(b) Für X ist {0,
/ X} ist die gröbste Topologie auf X, die sogenannte antidiskrete Topologie.
Allgemein ist (X, {U1 , . . . ,Un }) ein topologischer Raum, falls 0/ = U1 j U2 j · · · j Un = X gilt.
Auf der Menge {1,2} gibt es 4 Topologien, die diskrete, die antidiskrete, {0,
/ {i}, {1,2}} für i = 1 oder
i = 2.
(c) Nach Satz 1.5 ist für jeden metrischen Raum (X, d) die Menge der offenen Mengen eine Topologie
auf X. Ein topologischer Raum, dessen Topologie auf diese Weise entsteht, heißt metrisierbar. Die
diskrete Metrik liefert die diskrete Topologie. Die euklidische Metrik liefert die sogenannte natürliche
Topologie (oder Standard-Topologie) auf Rn (und Cn ∼
= R2n ). Es lässt sich zeigen, dass die offenen
Teilmengen von R genau die abzählbaren disjunkten Vereinigungen offener Intervalle sind.
(d) Auf R ist {] − ∞, r[: r ∈ R} ∪ {0,
/ R} eine weitere Topologie, denn {] − ∞, r[| r ∈ A} =] − ∞, sup A[ für
A j R. Diese Topologie ist nicht metrisierbar. (Diese Topologie ist nicht "Hausdorffsch").
S
(e) Sei X eine beliebige Menge und O die Menge der kofiniten Teilmengen von X und 0,
/ also O = {U j
X | X \U ist endlich} ∪ {0}.
/ Dann ist (X, O) ein topologischer Raum.
3
5
Kapitel 2
Spezielle Teilmengen in topologischen
Räumen
2.1
Satz In einem topologischen Raum gelten folgende Aussagen:
(a) Die Teilmengen 0/ und X sind abgeschlossen.
(b) Durchschnitte beliebig vieler abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.
(c) Vereinigungen endlich vieler abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.
Beweis. Für 0/ 6= U j ℘(X) und A, B j X gilt
T
S
X \ U = {X \U | U ∈ U } und
X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B).
2.2 Der Abschlussoperator Sei X ein topologischer Raum und A j X. Der Abschluss Ā, das Innere A◦
und der Rand ∂ A von A sind durch
• Ā = {B j X | B abgeschlossen und A j B}
T
• A◦ = {U j X | U offen und U j A} und
S
• ∂ A = Ā \ A◦
definiert. Der Abschluss von A ist die kleinste abgeschlossene Menge, die A enthält (siehe 2.1(b)), und
das Innere ist die größte offene Teilmenge von A (siehe (T2)).
In R gilt ]0,1] = [0,1], ]0,1]◦ =]0,1[ und ∂ ]0,1] = {0,1}. Achtung: In {0,1} gilt B1 (0) = {0} 6= {0,1} =
B̄1 (0).
Eine Teilmenge U j X heißt Umgebung von x ∈ X oder allgemeiner von A j X, wenn es eine offene
Teilmenge V gibt mit x ∈ V j U bzw. A j V j U.
Ein Punkt x ∈ X heißt Berührpunkt von A j X, wenn alle Umgebungen von x die Menge A treffen (das
heißt U ∩ A 6= 0),
/ er heißt innerer Punkt von A, wenn A eine Umgebung von x ist und Randpunkt von A, wenn
x Berührpunkt von A und von X \ A ist.
2.3
Satz Für eine Teilmenge A eines topologischen Raums X gilt:
(a) (X \ A)◦ = X \ Ā und X \ A = X \ A◦ .
(b) Die Menge der Berührpunkte von A ist der Abschluss Ā.
(c) Die Menge der inneren Punkte von A ist das Innere A◦ .
6
Kapitel 2. Spezielle Teilmengen in topologischen Räumen
(d) Die Menge der Randpunkte von A ist der Rand ∂ A.
Beweis.
(a) Es gilt
(X \ A)◦ = {U j X | Uoffen, U j (X \ A)} = {X \ B | X \ B offen, (X \ B) j (X \ A)} = X \ {B j
X | B abgeschlossen, A j B} = X \ Ā
S
S
T
und
X \ A = X \ (X \ X \ A) = X \ (X \ (X \ A))◦ = X \ A◦ .
(b) Für x ∈ X gelten folgende Äquivalenzen: x ist kein Berührpunkt von A ⇔ x ist innerer Punkt von
X \ A ⇔ x ∈ (X \ A)◦ = X \ Ā ⇔ x ∈
/ Ā.
(c) Ist trivial.
(d) Dies folgt mit (a) aus (b): Ā ∩ X \ A = Ā ∩ X \ A◦ = Ā \ A◦ = ∂ A.
2.4 Satz Seien A und B Teilmengen eines topologischen Raums. Der Abschlussoperator hat die folgenden
Eigenschaften
(a) 0/̄ = 0,
/
(b) A j Ā
(c) A ∪ B = Ā ∪ B̄ und
(d) Ā = Ā
Aus solch einem Operator lässt sich auch umgekehrt eine Topologie definieren (die abgeschlossenen Teilmengen sind genau die Bilder unter ¯· und genau die Fixpunkte), siehe Übungsaufgabe 8.
Beweis. Siehe Übungsaufgabe 8.
7
Kapitel 3
Stetigkeit
3.1
Satz Seien X,Y topologische Räume und f : X → Y . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) Die Abbildung f ist stetig.
(b) Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.
(c) Für jedes x ∈ X gilt: für jede Umgebung V von f (x) existiert eine Umgebung U von x mit f (U) j V .
(d) Ist x ∈ X ein Berührpunkt von A j X, so ist f (x) ein Berührpunkt von f (A) [ f (Ā) j f (A)].
Gilt Bedingung (c) für ein x ∈ X, so sagen wir f ist stetig in x. Bedingung (c) besagt dann, dass f stetig ist
in x für alle x ∈ X. Die Bedingung (d) formuliert die anschauliche Vorstellung, dass stetige Funktionen nicht
"springen".
Beweis. Wegen f −1 (Y \ B) = X \ f −1 (B) für alle B j Y sind (a) und (b) äquivalent.
(a) ⇒ (c): Ist V eine Umgebung von f (x), so existiert eine offene Menge V 0 mit f (x) ∈ V 0 j V . Dann ist
U := f −1 (V 0 ) offen und damit Umgebung von x mit f (U) j V 0 j V .
(c) ⇒ (d): Ist V Umgebung von f (x), dann existiert eine Umgebung U von x mit f (U) j V . Dann trifft U
die Menge A; also auch V k f (U) die Menge f (A).
(d) ⇒ (b): Sei B j Y abgeschlossen und A := f −1 (B). Wegen f (Ā) j f (A) j B̄ = B folgt Ā j f −1 (B) = A.
Also ist A = Ā abgeschlossen.
Achtung: Wir werden später Beispiele kennenlernen, die besagen, dass sich Stetigkeit im Allgemeinen
nicht durch Folgen charakterisieren lässt.
3.2 Satz Sind X,Y und Z topologische Räume und f : X → Y und g : Y → Z stetige Abbildungen, so ist
g ◦ f stetig.
Beweis. Es gilt (g ◦ f )−1 (U) = f −1 (g−1 (U)) für alle U j Z.
3.3
Beispiele
(a) Sei X die Menge der stetigen Abbildungen f : [0,1] → R; sei d die Maximumsmetrik und d 0 die
"Integralmetrik" aus Übungsaufgabe 1. Dann ist id : (X, d) → (X, d 0 ) stetig, nicht aber id : (X, d 0 ) →
(X, d); dies bedeutet, dass die Topologie der Maximumsmetrik echt feiner als die der Integralmetrik ist.
(b) Die Abbildung σ : R → R, x 7→ −x ist stetig (wegen σ = σ −1 sogar ein Homöomorphismus), denn
wegen −Br (x) = Br (−x) für r, x ∈ R ist mit U auch −U = σ −1 (U) offen.
Die Betragsfunktion | · | : R → R ist stetig, denn für A j R abgeschlossen ist auch | · |−1 (A) = (A ∩
[0,∞[) ∪ σ (A ∩ [0,∞[) abgeschlossen (folgt auch mit Übungsaufgabe 2(c) für A = {0}). Also ist nach 3.2
für eine stetige Abbildung f : X → R auch | f | stetig.
8
Kapitel 3. Stetigkeit
(c) Mit der Topologie O< aus Beispiel 1.9(d) lässt sich die Halbstetigkeit aus der Analysis definieren: für
einen topologischen Raum (X, O) heißt f : X → R halbstetig nach oben, wenn f : (X, O) → (R, O< )
stetig ist. Insbesondere ist die Hintereinanderausführung einer stetigen und einer halbstetigen Funktion
halbstetig.
9
Kapitel 4
Konstruktion topologischer Räume
4.1
Erzeugung von Topologien Sei X eine Menge und S j ℘(X). Dann ist
O :=
{O 0 Topologie auf X mit S j O 0 }
\
die kleinste Topologie auf X, die S enthält. Es gilt
n[
o
U | U j {U1 ∩ · · · ∩Un | U1 , . . . ,Un ∈ S} ∪ {X}.
O=
(4.1)
Diese
Topologie auf X heißt die von S erzeugte Topologie und S Subbasis der Topologie (oft wird auch
S
noch S = X gefordert).
Beweis. Die diskrete Topologie auf X umfasst S. (Der Schnitt ist also nicht-leer).
Gilt etwa A, B ∈ O, so folgt A, B ∈ O 0 für alle Topologien O 0 auf X mit S j O 0 , also A ∩ B ∈ O 0 für alle O 0
und somit A ∩ B ∈ O; (T1) und (T2) folgen analog. Die Minimalität von O ist klar.
Es bleibt
zu zeigen, dass die rechte Seite von (4.1) eine Topologie ist, denn dann ist "j" und "k" folgt, da
S
die Menge U in jeder Topologie auf X, die S enthält, enthalten ist, also auch in O. (T1) und (T2) sind klar,
und (T3) folgt aus dem Distributivgesetz.
Beispiel. Sei (X, <) eine linear geordnetet Menge. Die Ordnungstopologie auf X ist die von den Intervallen
]−∞, x[:= {y ∈ X | y < x} und ]x, ∞[:= {y ∈ X | y > x} für alle x ∈ X erzeugte Topologie. Die Standardtopologie
auf R ist die Ordnungstopologie bezüglich der Standard-Ordnung.
Achtung: Die Ordnungstopologie auf X := [0,1[∪{2}∪]3,4] j R bezüglich < ist nicht die von R induzierte
Topologie; {2} = B1 (2) ist nicht offen in der Ordnungstopologie von X. Es gilt X ≈ [0,2], denn die Abbildung
f : X → [0,2] mit f (x) = x für x ∈ [0,1[, f (2) = 1 und f (x) = x−2 für x ∈]3,4] ist ein Ordnungsisomorphismus.
Korollar. Seien X und Y topologische Räume und S eine Subbasis der Topologie auf Y . Dann ist f : X → Y
genau dann stetig, wenn f −1 (U) offen ist für alle U ∈ S.
S
S −1
Beweis. Es gilt f −1 ( U ) =
f (U) | U ∈ U und f −1 (U ∩V ) = f −1 (U) ∩ f −1 (V ) für U,V j Y , U j
℘(Y ), also folgt die Behauptung, denn jede offene Menge von Y lässt sich nach 4.1 als große Vereinigung
endlicher Schnitte darstellen.
4.2 Basis einer Topologie Sei X eine Menge. Ein Mengensystem B j ℘(X) heißt Basis einer Topologie
S
auf X, wenn B = X und für alle B1 , B2 ∈ B und x ∈ B1 ∩ B2 ein B3 ∈ B existiert mit x ∈ B3 j B1 ∩ B2 . Ist
S
B Basis einer Topologie auf X, so ist { U | U j B} eine Topologie auf X. (Distributivgesetz für Mengen).
S
Ist umgekehrt O eine Topologie auf X und B j O ein Mengensystem mit O = { U | U j B}, so heißt
B Basis der Topologie O auf X.
Beispiele.
(a) Eine Basis einer Topologie ist eine Subbasis der Topologie.
10
Kapitel 4. Konstruktion topologischer Räume
(b) In einem metrischen Raum ist die Menge der offenen Kugeln eine Basis für die Topologie der offenen
Mengen.
B2
B1
PSfrag replacements
x
B3
Im Allgemeinen hat eine Topologie viele Basen. Die Menge der Kugeln B 1 (q) für n ∈ N und q ∈
n
Qn ist auch eine Basis der Topologie auf Rn ; diese Basis ist abzählbar, obwohl die Topologie auf Rn
überabzählbar ist.
(c) Seien d und d 0 zwei Metriken auf X. Die Metrik d heißt feiner als d 0 , wenn für alle x ∈ X und r > 0 ein
0
s > 0 existiert mit Bds (x) j Bdr (x), etwa X = Rn , d euklidische Metrik, d 0 Maximumsmetrik, r = s.
R2
PSfrag replacements
d0
x
d
d0
Da die d 0 -Kugeln offen bezüglich d 0 sind, folgt hieraus, dass die d 0 -Kugeln auch offen bezüglich d
sind. Dies impliziert, dass die Topologie, die von d erzeugt wird, feiner ist als die von d 0 erzeugte. Ist
insbesondere d feiner als d 0 und d 0 feiner als d, dann sind die beiden erzeugten
Topologien gleich. Da
√
die Maximumsmetrik auch feiner ist als die euklidische Metrik (s = r/ n) induzieren beide Metriken
die gleiche Topologie auf Rn .
4.3 Unterraum-Topologie Sei (X, d) ein metrischer Raum, A j X und d 0 := d|A×A wie in Beispiel 1.2(d).
0
Es gilt Bdr (x) = Bdr (x) ∩ A für x ∈ A und r ∈ R und Entsprechendes für allgemeine offene Teilmengen.
Definition. Sei (X, O) ein topologischer Raum und A eine beliebige Teilmenge von X. Dann wird durch
OA := {O∩A | O ∈ O} eine Topologie auf A definiert (Distributivgesetz). Die Topologie OA heißt Unterraum-,
Spur-, oder induzierte Topologie, der topologische Raum (A, OA ) Unterraum von (X, O).
Die offenen (abgeschlossenen) Mengen von A (eigentlich (A, OA )!) sind die Schnitte von offenen (abgeschlossenen) Mengen aus X mit A. Sie sind im Allgemeinen nicht offen (abgeschlossen) in X: R trägt die
Unterraumtopologie von C, aber keine nicht-leere offene Menge von R ist offen in C. Ist allerdings A offen
in X, so sind die offenen Teilmengen von A genau die offenen Teilmengen O von X mit O j A. Analoges gilt
für “abgeschlossen”.
4.3.1
Beispiele. (a) Die Sphären Sn−1 := S1 (0) und die abgeschlossene Kugel Dn = B̄1 (0)in Rn mit der euklidischen Metrik für n ∈ N sind wichtige Beispiele topologischer Räume.
1
1
2
(b) Sei C0 := [0,1] das
Einheitsintervall
und
für
n
∈
N
definiere
C
:=
C
∪
C
+
. Die Teilmenge
n
n−1
n−1
3
3
3
an
T
C := n∈N Cn = ∑ 3n | an ∈ {0,2} von R heißt Cantormenge; sie ist abgeschlossen nach 2.1(b).
4.3.2 Satz Seien X und Y topologische Räume und trage B j Y die induzierte Topologie. Die Einbettung
ι : B → Y , y 7→ y ist stetig und die Unterraum-Topologie auf B ist die größte Topologie mit dieser Eigenschaft.
Eine Abbildung f : X → B ist genau dann stetig, wenn ι ◦ f stetig ist.
Teilbeweis. Sei ι ◦ f stetig. Ist U offen in B, so existiert eine offene Teilmenge V von Y mit U = V ∩ B, und
es gilt f −1 (U) = (ι ◦ f )−1 (V ). Also ist f stetig.
Die Abbildung f : R → R definiert durch f (x) = 0 für x ∈ Q und f (x) = 1 für x ∈ R \ Q ist nicht stetig;
aber die Einschränkungen f |Q und f |R\Q sind als konstante Abbildungen stetig.
ag replacements
4.4. Produkttopologie
4.3.3 Satz Seien X und Y topologische Räume und A j X ein Teilraum. Ist f : X → Y stetig, so ist auch
f |A stetig.
Seien Ai j X für i = 1,. . . , n abgeschlossene Teilmengen mit A1 ∪ . . . ∪ An = X und f : X → Y eine
Abbildung, so dass f |Ai stetig für alle i = 1,. . . , n ist; dann ist f stetig.
Beweis. Ist f stetig und U offen in Y , so gilt ( f |A )−1 (U) = f −1 (U) ∩ A; also ist f |A stetig (zeigt auch die
Stetigkeit von ι oben).
Seien nun f |Ai stetig und sei B abgeschlossen in Y . Dann gilt
S
S
S
f −1 (B) = ni=1 Ai ∩ f −1 (B) = ni=1 (Ai ∩ f −1 (B)) = ni=1 ( f |Ai )−1 (B),
also ist f stetig, denn die Mengen ( f |Ai )−1 (B) sind abgeschlossen in Ai und damit in X, denn Ai ist
abgeschlossen in X.
Beispiel. Eine Funktion f : R → R, die auf ] − ∞,0] und [0,∞[ stetig ist, ist stetig auf R.
4.4 Produkttopologie Sei I eine Indexmenge, und seien Xi , i ∈ I Mengen. In der Mengenlehre definiert
man
(
)
∏ Xi :=
f :I→
i∈I
[
Xi : f (i) ∈ Xi für alle i ∈ I .
i∈I
Für die endliche Indexmenge I = {1,. . . , n} schreibt man auch
n
∏ Xi = X1 × · · · × Xn = {(x1 , . . . , xn ) : xi ∈ Xi , i = 1,. . . , n}.
i=1
Seien nun die Xi topologische Räume. Wir wollen auf ∏i∈I Xi eine Topologie definieren. Dies soll so
geschehen, dass die Projektionen
πi : ∏ Xi → Xi , f 7→ f (i)
i∈I
stetig werden.
4.4.1 Definition Die Produkttopologie auf ∏i∈I Xi ist die vom Mengensystem {πi−1 (U) für alle i ∈
I und U offen in Xi } erzeugte Topologie.
4.4.2 Satz Seien X1 , . . . , Xn topologische Räume und seien B1 , . . . , Bn jeweils Basen. Dann ist das System
{U1 ×U2 × · · · ×Un : Ui ∈ Bi für i = 1,. . . , n} eine Basis der Produkttopologie auf X1 × · · · × Xn .
π −1 (U1 )
X2
U1 ×U2
π −1 (U2 )
U2
U1
X1
Beweis. Zunächst ist U1 × · · · × Un = π1−1 (U1 ) ∩ · · · ∩ πn−1 (Un ) für U1 ∈ B1 ,. . . ,Un ∈ Bn offen im Produkt
X1 × · · · × Xn . Ferner ist die Menge B dieser Mengen Basis einer Topologie, denn es gilt sogar (U1 × · · · ×
Un ) ∩ (V1 × · · ·×Vn ) = (U1 ∩V1 ) ×· · ·× (Un ∩Vn ). Wir müssen also zeigen, dass die von B erzeugte Topologie
O die Produkttopologie ist. Hierzu reicht es πi−1 (U) = X1 × · · · × X
· · · × Xn ∈ O für U j Xi
i−1 ×U × Xi+1 × S
S −1
offen und i = 1,. . . , n zu zeigen. Dies folgt wegen πi−1 ( U ) =
πi (U) : U ∈ U ∈ O für U j Bi .
4.4.3
Beispiel
(a) Die Standardtopologie auf Rn = R × · · · × R ist die Produkttopologie: dies folgt aus 4.4.2, denn ]x −
ε, x + ε[= Bε (x) für x ∈ R und ε > 0 bilden eine Basis der Topologie auf R und Bε (x1 ) × · · · × Bε (xn ) ist
eine offene Kugel in Rn bezüglich der Maximumsmetrik, welche die Standardtopologie auf Rn induziert
nach 4.2(c).
11
12
Kapitel 4. Konstruktion topologischer Räume
(b) Für die diskrete Topologie auf {0,2} ist die Produkttopologie auf {0,2}N homöomorph zur Cantormenge C aus 4.3.1(b).
Beweis. Die Abbildung ϕ : {0,2}N → C, (an ) 7→ ∑ a3nn ist bijektiv (Eigenschaften der geometrischen
Reihe, an 6= 1).
−n < ε. Dann ist U :=
Um die Stetigkeit in (an ) nachzuweisen sei εT> 0. Wähle N ∈ N mit 2 ∑∞
n=N 3
N−1 −1
N
{(xn ) ∈ {0,2}
| xn = a n für
< N}
1 ≤ na −x
=2 n=1 πn ({an }) offen und für (xn ) ∈ U gilt |ϕ((an )) −
an −xn n
n
ϕ((xn ))| = ∑∞
= ∑∞
≤ 3n < ε, also ϕ(U) j]ϕ((an )) − ε, ϕ((an )) + ε[. Somit ist ϕ
n=N 3n
n=1 3n
stetig.
Wir werden später sehen, dass {0,2}N kompakt ist, als Produkt kompakter Mengen und dass jede stetige
Bijektion auf ein Kompaktum ein Homöomorphismus ist.
4.4.4 Satz Seien X und Yi , i ∈ I topologische Räume und trage Y := ∏i∈I Yi die Produkttopologie. Dann
sind die Projektionen πi : Y → Yi für i ∈ I stetig und die Produkttopologie ist die gröbste Topologie mit dieser
Eigenschaft. Eine Abbildung f : X → Y ist genau dann stetig, wenn alle Koordinatenabbildungen πi ◦ f für
i ∈ I stetig sind.
Beweis. Die Projektionen sind stetig per Definition der Produkttopologie. Ist f stetig, so sind es auch die
Hintereinanderausführungen πi ◦ f nach Satz 3.2.
Für die Umkehrung müssen wir nach Korollar 4.1 die Stetigkeit von f nur auf einer Subbasis der Produkttopologie überprüfen. Sei also i ∈ I und U offen in Yi . Dann ist f −1 (πi−1 (U)) = (πi ◦ f )−1 (U) offen, da πi ◦ f
als stetig vorausgesetzt ist.
4.4.5 Beispiele Eine Gruppe G heißt topologische Gruppe, wenn G eine Topologie trägt und die Abbildung G × G → G, (ab) 7→ ab−1 stetig ist. Jede Gruppe ist eine topologische Gruppe mit der diskreten
Topologie.
R, C, Rn und Cn mit der Addition sind topologische Gruppen, sowie die multiplikativen Gruppen R× ,
×
C : Seien etwa + : R × R → R und +Rn : Rn × Rn → Rn die Additionen auf R beziehungsweise Rn . Mit
der Dreiecksungleichung zeigt man leicht, dass für δ > 0 gilt Bδ (x) + Bδ (y) j B2δ (x + y). Also existiert für
jedes ε > 0 ein δ > 0, so dass +(Bδ (x) × Bδ (y)) j Bε (+(x, y)) gilt, also ist + stetig in (x, y). Nun folgt aus
Satz 4.4.4, dass +Rn stetig ist, denn es gilt πi ◦ +Rn = + ◦ (πi , πi ) für i = 1,. . . , n.
2
Die Matrizengruppen GLn R, SLn R, On R und SOn R sind topologische Gruppen mit der von Rn induzierten Topologie.
4.5 Topologische Summe Sei I eine Indexmenge, seien Xi , i ∈ I topologische Räume und sei X := i∈I Xi .
Dann heißt der Raum ∑i∈I := {(x, i) ∈ X × I | x ∈ Xi } topologische Summe der Xi , i ∈ I, wenn ∑ Xi eine
Topologie O trägt, so dass für die Abbildungen ιi : Xi → ∑ Xi , x 7→ (x, i) gilt: U ∈ O ⇔ ιi−1 (U) offen in Xi .
Wenn die Xi ,Si ∈ I paarweise disjunkt sind, dann kann man Xi mit ιi (Xi ) = Xi × {i} identifizieren und wir
haben ∑i∈I Xi = ˙ i∈I Xi , dann ist U j ∑ Xi offen genau dann, wenn U ∩ Xi offen ist für alle i ∈ I.
S
Beispiele.
(a) Ist X ein diskreter Raum, so gilt X ∼
= ∑x∈X {x}.
(b) In R gilt ]0,1]∪]1,2] =]0,2] ]0,1]∪]2,3] ∼
=]0,1]+]2,3] ∼
=]0,1]+]1,2].
4.6 Quotiententopologie Die bisherigen Konstruktionen von topologischen Räumen haben alle Analoga
für metrische Räume. Die Quotiententopologie formalisiert die anschauliche Vorstellung des Verklebens und
liefert häufig nicht metrisierbare Räume.
4.6.1 Definition Sei (X, O) ein topologischer Raum, Y eine Menge und q : X → Y eine Surjektion. Dann
ist {U j Y | q−1 (U) ∈ O} eine Topologie auf Y und heißt Quotiententopologie bezüglich q. Trägt Y die
Quotiententopologie bezüglich q, so heißt q identifizierende Abbildung.
Die Abbildung q ist stetig bezüglich der Quotiententopologie auf Y , und sie ist die feinste Topologie, so
dass q stetig ist.
ag replacements
4.6. Quotiententopologie
Ist ∼ eine Äquivalenzrelation auf X, so ist die kanonische Projektion q : X → X/∼ = {[x] | x ∈ X} definiert durch q(x) = [x] = {y ∈ X | y ∼ x}. Ist O die Quotiententopologie bezüglich q, so heißt ((X/∼),
O)
S
Quotientenraum bezüglich ∼. Eine Teilmenge U von (X/∼) ist genau dann offen, wenn q−1 (U) = U in X
offen ist.
4.6.2
Beispiele
(a) Kreisline S1
X = [0,1], 0 ∼ 1
(b) Kompaktes Möbiusband: X = [0,1]2 , (0,y) ∼ (1,1 − y)
(c) Kleinsche Flasche: X = [0,1]2 , (0,y) ∼ (1,y), (x,0) ∼ (1 − x,1)
4.6.3 Universelle Eigenschaft Seien X,Y, Z topologische Räume und q : X → Y eine identifizierende Abbildung. Dann ist f : Y → Z genau dann stetig, wenn f ◦ q stetig ist.
Beweis. Ist f stetig, so ist f ◦ q stetig als Hintereinanderausführung nach 3.2.
Sei nun f ◦ q stetig und U j Z offen. Dann ist auch q−1 ( f −1 (U)) = ( f ◦ q)−1 (U) offen; also ist f −1 (U)
offen, da q identifizierend ist.
4.6.4 Korollar Seien X und Y topologische Räume und f : X → Y identifizierend. Sei ∼ die durch f
auf X definierte Äquivalenzrelation; das heißt x ∼ y ⇔ f (x) = f (y) für alle x, y ∈ X, und q : X → X/ ∼ die
kanonische Projektion. Dann ist f¯ : X/∼ → Y , [x] 7→ f (x) ein wohldefinierter Homöomorphismus und es gilt
f = f¯ ◦ q.
X
q
X/∼
f
Y
f¯
13
14
Kapitel 4. Konstruktion topologischer Räume
Beweis. Die Abbildung f ist wohldefiniert und injektiv nach Definition von ∼. Wegen f = f¯ ◦ q ist f stetig
(siehe oben), da q identifizierend ist. Für U offen in X/∼ ist f −1 ( f¯(U)) = q−1 (U) offen in X, da q stetig ist,
also ist f¯(U) offen, da f identifizierend ist. Also sind f¯ und f¯−1 stetig.
4.6.5 Definition Seien X und Y topologische Räume. Eine Abbildung f : X → Y heißt offen (bzw. abgeschlossen), wenn f (U) offen (bzw. abgeschlossen) ist für alle U j X offen (bzw. abgeschlossen).
4.6.6 Satz Seien X,Y topologische Räume und f eine stetige Surjektion. Dann ist f identifizierend, falls
f offen oder abgeschlossen ist.
Beweis. Wir müssen zeigen, dass U j Y genau dann offen ist, wenn f −1 (U) offen in X ist. Die eine Implikation ist die Stetigkeit von f . Für die andere Implikation sei U j Y , so dass f −1 (U) offen in X ist. Da f
surjektiv ist, gilt U = f ( f −1 (U)) und U = Y \ f (X \ f −1 (U)). Da f stetig ist und offen oder abgeschlossen
folgt, dass U offen ist.
4.6.7
Beispiele
(a) Der reelle projektive Raum Pn := {xR | x ∈ Rn+1 \ {0}} trägt die Quotiententopologie bezüglich der
identifizierenden Abbildung q : Sn → Pn , x 7→ xR. Die Abbildung f : S1 j C → S1 , z 7→ z2 ist stetig und
abgeschlossen (siehe Kompaktheit), also nach 4.6.6 identifizierend. Es gilt f (z) = f (w) ⇔ z = w oder
z = −w, also folgt P ≈ S1 nach 4.6.4.
Für n > 1 gilt Pn 6≈ Sn (algebraische Topologie, oder später). Die Abbildung f : S2 → R4 , (x, y, z) 7→
(x2 − y2 , xy, xz, yz) liefert eine Einbettung von P2 in R4 ; nach R3 ist nicht möglich.
(b) Sei X ein topologischer Raum und A j X. Dann ist x ∼A y :⇔ x, y ∈ A oder x = y eine Äquivalenzrelation
auf X (also ∼A = (A × A) ∪ idX ) und der Quotientenraum X/∼A entsteht aus X durch "Verschmelzen"
von A zu einem Punkt.
Der Kegel über X ist gegeben durch CX := X × [0,1]/ ∼ X×{1} .
X
PSfrag replacements
Sfrag replacements
X
Der Doppelkegel (auch Suspension oder Einhängung) ist gegeben durch ΣX := X × [0,1]/(∼ X×{0}
∪ ∼ X×{1} ).
Es gilt CSn−1 ≈ Dn und ΣSn−1 ≈pSn für n ∈ N, denn f : Sn−1 × [0,1] → Dn , (x,t) 7→ (1 − t)x und
f 0 : Sn−1 × [0,1] → Sn , (x,t) 7→ (x 1 − (2t − 1)2 ,2t − 1) sind stetig und abgeschlossen (Kompaktheit)
und damit identifizierend, dann 4.6.4.
(c) Sei G eine topologische Gruppe und H eine Untergruppe. Dann ist g ∼ h :⇔ g−1 h ∈ H ⇔ gH = hH.
Der Quotientenraum G/∼ wird mit G/H bezeichnet und heißt homogener Raum. Für jedes g ∈ G ist
hH 7→ ghH ein Homöomorphismus von G/H auf sich (denn h 7→ gh 7→ ghH ist stetig; dann 4.6.3) und
diese Homöomorphismen permutieren G/H transitiv.
Beispiel: R/Q, R/Z ≈ S1 ≈ C× /R+ (Polarkoordinaten: C∗ ≈ S1 × R+ ).
4.6.8 Verklebung Seien X und Y topologische Räume, A j X und f : A → Y eine stetige Abbildung. Der
Verklebungsraum X ∪ f Y ist der Quotientenraum (X +Y )/ ∼, wobei u ∼ v, falls u, v ∈ ι1 (A) und f (ι1−1 (u)) =
f (ι1−1 (v)) oder (bis auf Reihenfolge von u und v) u ∈ ι1 (A) und ι2 ( f (ι1−1 (u))) = v.
A
X
f
f (A)
X ∪f Y
Y
4.6. Quotiententopologie
Beispiele.
(a) Für |Y | = 1 erhält man X ∪ f Y ∼
= X/∼A wie in 4.6.2(b).
(b) Sn entsteht aus Rn ≈ D0n durch Ankleben eines Punktes.
Dn+1
Sfrag replacements
Sn
{p}
Für p = (0,. . . ,0, −1) ∈ Sn und
f : Sn−1 → {p}, x 7→ p gilt Dn ∪ f {p} ≈ Sn , denn g : Dn → Sn mit
x
g(0) = (0,. . . ,0,1) und g(x) = |x|
Ie iπ|x| , Re iπ|x| für x 6= 0 ist stetig und abgeschlossen (Kompaktheit
von Dn ). Es gilt f = g|Sn−1 , und g : D0n → Sn \ {p} ist bijektiv.
(c) Der projektive Raum Pn entsteht aus Rn ≈ D0n durch Ankleben von Pn−1 : Für f : Sn−1 → {(x,0)R j
Rn+1 | x ∈ Rn , x 6= 0} ≈ Pn−1 , x 7→ (x,0)R gilt Dn ∪ f Pn−1 ≈ Pn , denn für g : Dn → Pn , x 7→ (x,1 − |x|)R
gilt f = g|Sn−1 .
4.6.9 Endliche CW-Komplexe Ein null-dimensionaler endlicher CW-Komplex ist eine endliche Menge,
bestehend aus den sogenannten 0-Zellen, mit der diskreten Topologie. Ein n-dimensionaler endlicher CWKomplex Y für n ∈ N ensteht aus einem höchstens (n − 1)-dimensionalen CW-Komplex X durch Ankleben
endlich vieler n − Zellen: Y = X ∪ f ∑ki=1 Dn , wobei f : ∑ki=1 Sn−1 → X stetig ist.
Beispiel. (a) Sn ist ein endlicher CW-Komplex mit einer Zelle in Dimension 0 und einer in Dimension n;
und Pn ist ein endlicher CW-Komplex mit je einer Zelle in jeder Dimension 0,. . . , n; siehe oben.
(b) Das Möbiusband besteht aus zwei 0-Zellen, drei 1-Zellen und einer 2-Zelle, der Torus S1 × S1 besteht
aus einer 0-Zelle, zwei 1-Zellen und einer 2-Zelle, ebenso die Kleinsche Flasche. Der Unterschied
besteht in der Verklebungsabbildung.
V
(c) Jeder endliche Graph (V, E) (das heißt V endliche Menge und E j
:= {e j V, |e| = 2}) definiert
2
einen 1-dimensionalen endlichen CW-Komplex V ∪ f ∑e∈E [0,1]; wobei V die diskrete Topologie trägt
und f : ∑e∈E {0,1} → V , (x, {v0 , v1 }) 7→ vx .
15
17
Kapitel 5
Trennungsaxiome
In diesem Abschnitt werden verschiedene Bedingungen diskutiert, die ausdrücken, dass es "genügend viele"
offene Mengen gibt.
5.1 Definition Ein topologischer Raum heißt T1 -Raum, falls zu verschiedenen x, y ∈ X eine Umgebung
U von x existiert mit y ∈
/ U; T2 -Raum oder Hausdorff-Raum, falls zu verschiedenen x, y ∈ X disjunkte Umgebungen U,V von x bzw. y existieren, T3 -Raum, falls zu x ∈ X und A j X mit A abgeschlossen und x ∈
/A
Umgebungen U,V existieren von x bzw. A mit U ∩V = 0,
/ und T4 -Raum, falls zu disjunkten abgeschlossenen
A, B j X disjunkte Umgebungen U,V von A bzw. B existieren.
ag replacements
ag replacements
T1
T3
T2
T4
Der Raum heißt T3 1 -Raum, falls zu x ∈ X und A j A mit A abgeschlossen und x ∈
/ A eine stetige Abbildung
2
f : X → [0,1] existiert mit f (x) = 0 und f (A) = {1}.
Der Raum X heißt regulär, falls er ein T1 - und T3 -Raum ist, vollständig regulär, falls er ein T1 - und
T3 1 -Raum ist, und normal, falls er ein T1 - und T4 -Raum ist.
2
5.2
Bemerkung Es gelten genau die folgenden Implikationen:
metrisierbar
normal
T4
vollständig regulär
regulär
Hausdorff
T3 1
T3
T2
2
T1
Gegenbeispiele (siehe 1.9(c),(b) und (d)) für die nicht geltenden Implikationen erhält man etwa mit der
kofiniten Topologie, der antidiskreten Topologie, der Topologie der Halbstetigkeit oder endlichen Topologien.
Nach Übungsaufgabe 18 ist jeder metrisierbare Raum normal. Dies impliziert, dass die Räume aus den
Beispielen 1.9(b),(d) und (e) im Allgemeinen nicht metrisierbar sind. Dennoch ist R mit der Topologie der
Halbstetigkeit ein T4 -Raum, da es keine disjunkten nicht-leeren abgeschlossenen Teilmengen gibt.
5.3 Zusammenhang zu Umgebungen Diese Trennungsaxiome lassen sich mit Hilfe von Umgebungsbasen umformulieren. Ein System U von Umgebungen heißt Umgebungsbasis von x ∈ X (bzw. A j X); wenn
es zu jeder Umgebung U von x (bzw. A) ein V ∈ U gibt mit V j U.
Beispielsweise bilden die offenen Umgebungen eines Punktes eine Umgebungsbasis oder die offenen
(abgeschlossenen) Kugeln in einem metrischen Raum.
Satz. Sei X ein topologischer Raum.
(a) X ist genau dann ein T1 -Raum, wenn alle einelementigen Mengen abgeschlossen sind.
(b) X ist genau dann ein T2 -Raum, wenn für jedes x ∈ X der Durchschnitt aller abgeschlossenen Umgebungen von x gleich {x} ist.
18
Kapitel 5. Trennungsaxiome
(c) X ist genau dann ein T3 -Raum, wenn jeder Punkt eine Umgebungsbasis aus abgeschlossenen Mengen
hat, das heißt wenn es zu jeder Umgebung U von x eine offene Menge V gibt mit x ∈ V j V̄ j U
(d) X ist genau dann ein T4 -Raum, wenn jede abgeschlossene Menge A eine Umgebungsbasis aus abgeschlossenen Mengen hat, das heißt wenn es zu jeder Umgebung U von A eine offene Menge V gibt mit
A j V j V̄ j U.
Beweis. (a) Sei X ein S
T1 -Raum und x ∈ X. Wähle für jedes y ∈ X \ {x} eine Umgebung Uy mit x ∈
/ Uy .
Dann ist X \ {x} = y∈X\{x} Uy0 offen.
Ist umgekehrt {y} abgeschlossen, so ist die Menge X \ {y} offene Umgebung aller ihrer Elemente.
(b) Sei X ein T2 -Raum und x ∈ X. Wähle für jedes y ∈ X \ {x} disjunkte Umgebungen Uy und Vy von x bzw.
T
y. Da X \Vy0 abgeschlossen ist, gilt Ūy j X \Vy0 , insbesondere y ∈
/ Uy . Also gilt {x} = y∈X\{x} Uy .
Ist umgekehrt {x} = {A j X : A abgeschlossene Umgebung von x}, so gibt es zu y ∈ X \ {x} eine
abgeschlossene Umgebung A von x mit y ∈
/ A; und A und X \ A sind die gesuchten trennenden Umgebungen.
T
(c) Sei X ein T3 -Raum und U eine Umgebung von x ∈ X. Dann gibt es disjunkte Umgebungen V und W
von x bzw. X \U 0 , und es gilt x ∈ V 0 j V 0 j X \W 0 j U 0 j U.
Gibt es umgekehrt Umgebungsbasen aus abgeschlossenen Mengen, so können wir zu x ∈ X und abgeschlossener Teilmenge B mit x ∈
/ B eine abgeschlossene, zu B disjunkte Umgebung U von x wählen.
Die gesuchten trennenden Umgebungen sind dann U und X \U.
(d) Man ersetzt in obigem Beweis überall {x} durch eine abgeschlossene Menge A.
5.4 Vererbbarkeit auf Unterräume Für i ∈ {1,2,3,3 21 } gilt: Jeder Unterraum eines Ti -Raums ist ein Ti Raum. Insbesondere ist jeder (vollständig) reguläre Unterraum ein (vollständig) regulärer Raum.
Beweis. Sei X regulär, also ein T1 - und ein T3 -Raum, und sei A j X. Dann ist A ein T1 -Raum. Sei B j A
abgeschlossen und x ∈ A \ B. Dann gibt es eine abgeschlossene Teilmenge B0 von X mit B = B0 ∩ A. Da
x∈
/ B0 , existieren disjunkte Umgebungen U 0 und V 0 von x bzw. B0 in X, und U 0 ∩ A und V 0 ∩ A sind disjunkte
Umgebungen von x bzw. B in A.
Sfrag replacements
A
B
B0
V0
x
U0
Der Beweis der anderen Trennungsaxiome geht analog.
Nicht abgeschlossene Unterräume von normalen Räumen sind im Allgemeinen nicht normal, siehe Querenburg 6.12.
5.5 Vererbbarkeit auf Produkte Für i ∈ {1,2,3,3 21 } und topologische Räume X j 6= 0,
/ j ∈ J gilt: jedes X j
ist genau dann ein Ti -Raum, wenn das Produkt ∏ j∈J X j ein Ti -Raum ist.
Beweis. Ist das Produk X = ∏ j∈J X j ein nicht-leerer Ti -Raum, so wähle x j ∈ X j und für k ∈ J setze Y j := {x j }
für j ∈ J \ {k}, Yk := Xk . Dann ist der Unterraum ∏ j∈J Y j von X ein Ti -Raum nach 5.4 und homöomorph zu
Xk .
Seien nun alle X j Ti -Räume. Für i = 1,2 ist der Beweis analog zum Fall i = 3. Betrachte also nur den
T
Fall i = 3: Jede Umgebung von x = (x j ) j∈J ∈ X enthält eine Umgebung der Form U = l∈E πl−1 (Ul ) für
eine endliche Teilmenge E j J und Umgebungen
Ul von xl für l ∈ E. Nach 5.3(c) existieren abgeschlossene
T
Umgebungen Al j Ul von xl , also ist l∈E πl−1 (Al ) eine abgeschlossene Umgebung von x.
5.5. Vererbbarkeit auf Produkte
Fall i = 3 12 ist Übungsaufgabe 17.
19
21
Kapitel 6
Normale Räume
6.1 Urysohns Lemma Im T4 -Raum X gibt es zu jedem Paar nicht-leerer disjunkter Teilmengen A und B
eine stetige Abbildung f : X → [0,1] mit f (A) = {0} und f (B) = {1}.
Beweis. Für n ∈ N0 setze Dn := {k2−n | k ∈ N0 , k ≤ 2n } j [0,1] und D =
offene Mengen Ud für d ∈ D0 = {0,1} wählen mit
S
n∈N0 Dn .
Nach 5.3(a) können wir
A j U0 j U0 j U1 j U1 j X \ B.
Wir ordnen nun induktiv den Elementen d ∈ D offene Mengen Ud zu mit Ud j Ud 0 für alle d < d 0 ∈ D.
Für n ∈ N sei Ud für d ∈ Dn−1 schon definiert. Sei nun k ∈ N0 mit k ≤ 2n , und sei k ungerade (sonst ist Uk2−n
schon definiert). Dann sind U(k−1)2−n und U(k+1)2−n schon definiert und wir können eine offene Menge Uk2−n
wählen mit
U(k−1)2−n j Uk2−n j Uk2−n j U(k+1)2−n .
Das definiert Mengen Ud für d ∈ Dn ; also sind induktiv Mengen Ud für alle d ∈ D definiert.
S
Setze Ut := {Ud | d ∈ D ∩ [0,t]} für t ∈ [0,1], Ut := 0/ für t < 0 und Ut := X für t > 1. Dann ist Ut
offen, und für t < t 0 gilt Ut j Ut 0 ; denn es gilt d, d 0 ∈]t,t 0 [ mit Ut j Ud j Ud j Ud 0 j Ut 0 . Wir zeigen, dass die
Abbildung f : X → [0,1], x 7→ inf{t | x ∈ Ut } stetig ist: für x ∈ X und 0 < ε ist U f (x)+ε \U f (x)−ε =: U eine offene
/ U f (x)−ε/2 ) und f (U) j [ f (x)−ε, f (x)+ε].
Umgebung von x (x ∈ U j U f (x)+ε , da U f (x)−ε j U f (x)−ε/2 und x ∈
Offenbar gilt f (A) = {0} und f (B) = {1}.
Korollar. Jeder normale Raum ist ein vollständig regulärer Raum.
Nach Übungsaufgabe 19 ist die Sorgenfrey-Gerade S normal, also vollständig regulär nach Urysohns
Lemma. Also ist S2 vollständig regulär, aber nicht normal, siehe Querenburg, Beispiel 6.15.
Die Aussage des Urysohnschen Lemmas besagt, das sich eine gewisse stetige auf der abgeschlossenen
Teilmenge A ∪ B definierte Abbildung auf X fortsetzen lässt. Dies gilt allgemeiner:
6.2 Tietzescher Fortsetzungssatz Ein topologischer Raum X ist genau dann ein T4 -Raum, wenn sich
jede stetige Abbildung f : A → R definiert auf einer abgeschlossenen Teilmenge A von X zu einer stetigen
Abbildung auf X fortsetzen lässt.
Beweis. Siehe Querenburg: Satz 7.7.
6.3 Trennende Familien Eine Familie fi : X → Yi für i ∈ I von stetigen Abbildungen zwischen topologischen Räumen heißt trennende Familie, wenn es zu jedem x ∈ X und zu jeder offenen Umgebung U von x ein
i ∈ I gibt mit fi (x) ∈
/ fi (X \U).
Beispiel. In einem T3 1 -Raum bildet die Menge aller stetigen Abbildungen nach [0,1] eine trennende Familie.
2
22
Kapitel 6. Normale Räume
Satz. Ist X ein T1 -Raum und fi : X → Yi für i ∈ I eine trennende Familie, dann ist die Abbildung ι : X → ∏ j∈I Y j
mit (ι(x)) j = f j (x) ein Homöomorphismus auf das Bild, insbesondere ist X homöomorph zu einem Teilraum
von ∏i∈I Yi .
Beweis. Nach Übungsaufgabe 13(b) ist ι stetig. Da Singletons (einelementige Mengen) abgeschlossen sind
nach Satz 5.3(a) existiert zu x 6= y ein Element fi der trennenden Familie mit fi (x) 6= fi (y). Also ist ι injektiv.
Wir zeigen zunächst, dass B = { fi−1 (V ) | i ∈ I,V offen in Yi } eine Basis ist: für eine offene Umgebung U
von x ∈ X existiert ein fi mit fi (x) ∈ fi (X \U), und für die offene Menge V := Yi \ fi (X \U) gilt x ∈ fi−1 (V ) j
U. Wir zeigen nun, dass ι Basiselemente aus B auf offene Teilmengen von ι(X) abbildet.
Wegen fi = πi ◦ ι haben wir ι( f −1 (V )) = πi−1 (V ) ∩ ι(X), also ist ι( f −1 (V )) offen in ι(X).
Korollar. Ein vollständig regulärer Raum X ist homöomorph zu einem Unterraum des Produkts [0,1]C =
∏i∈C [0,1], wobei C die Menge der stetigen Abbildungen von X nach [0,1] ist.
Wir werden später sehen, dass obiges Produkt kompakt ist. Dies bedeutet, dass die vollständig regulären
Räume genau die Unterräume von kompakten Hausdorffräumen sind.
6.4
Satz Jeder T3 -Raum mit einer abzählbaren Basis ist eine T4 -Raum.
Beweis. Sei X ein T3 -Raum mit abzählbarer Basis B, und seien A, B abgeschlossene disjunkte Teilmengen
von X. Für jedes a ∈ A existieren disjunkte Umgebungen Ua und Va von a beziehungsweise B; dabei können
wir die Umgebung
U in B wählen. Da B abzählbar ist, gibt es also offene Un fürSn ∈ N, so dass Un disjunkt
S a
zu B ist und A j n∈N Un . Analog gibt es offene Vn mit Vn disjunkt zu A und B j n∈N Vn .
∗ ) und V ∗ := V \ (U ∗ ∪ · · · ∪ U ∗ ). Wegen U ∗ j U
Wir definieren rekursiv Un∗ := Un \ (V1∗ ∪ · · · ∪ Vn−1
n
n
n
n
n
1
S
S
∗
und Vn∗ j Vn sind dann U := n∈N Un und V := n∈N Vn∗ Umgebungen von A beziehungsweise B. Nach
Konstruktion sind U und V disjunkt, denn wäre etwa x ∈ Un∗ ∩Vm∗ , so folgte m > n − 1 und n > m.
6.5 Ein Metrisationssatz von Urysohn Ein topologischer Raum mit abzählbarer Basis ist genau dann
metrisierbar, wenn er regulär ist.
Beweis. Nach Übungsaufgabe 18 ist jeder metrisierbare Raum normal, also insbesondere regulär.
Sei X also ein regulärer topologischer Raum mit abzählbarer Basis. Nach 6.4 ist X normal. Also gibt es
nach dem Urysohnschen Lemma 6.1 für jedes Paar (U,V ) in der abzählbaren Menge A := {(U,V ) ∈ B 2 |
Ū j V } eine Funktion fU,V : X → [0,1] mit fU,V (Ū) = {0} und fU,V (X \V ) = {1}. Diese Funktionen bilden
eine trennende Familie und nach 6.3 ist X homöomorph zu einem Unterraum von [0,1]A , welches nach
Übungsaufgabe 20 metrisierbar ist. Also ist X als Unterraum auch metrisierbar.
Im Beweis wurde gezeigt, dass jeder reguläre Raum mit abzählbarer Basis in dem sogenannten Hilbertwürfel [0,1]N einbettbar ist. Die Sorgenfrey-Gerade (siehe Übungsaufgabe 11 und 19) ist normal, aber nicht
metrisierbar.
6.6 Abschließendes Beispiel Der Raum R × {0,1}/∼ mit (x,0) ∼ (x,1) für x ∈ R \ {0} wird von zwei zu
R homöomorphen Teilmengen überdeckt, ist aber nicht Hausdorffsch.
23
Kapitel 7
Das Zornsche Lemma
Satz. Eine partiell geordnete Menge, in der jede Kette (das heißt total geordnete Teilmenge) eine obere
Schranke hat, besitzt ein maximales Element (das heißt ein Element zu dem es kein größeres gibt).
Beweis. Sei (M, <) eine partiell geordnete Menge. Wäre das Lemma falsch, so hätte jede Kette K eine echte
obere Schranke σ (K) (hier geht das Auswahlaxiom ein).
Wir nennen eine Kette K σ -Kette, wenn K wohlgeordnet ist (das heißt jede nicht-leere Teilmenge hat ein
Minimum) und für alle x ∈ K gilt σ (Kx ) = x mit Kx := {y ∈ K | y < x}.
Für σ -Ketten K und L gilt: K = L oder Kx = L oder K = Lx für ein x aus L bzw. K
(7.1)
Beweis. Seien die ersten beiden Aussagen falsch. Wir zeigen zunächst
für x ∈ K gilt x ∈ L und Kx = Lx
(7.2)
Beweis. Wir beweisen (7.2) mit dem Prinzip der transfiniten Induktion: Wähle x ∈ K minimal, so dass (7.2)
falsch ist. Dann ist Kx j L, da Kx < x, also nach Annahme Kx ( L. Für z := min L \ Kx gilt Kx < z, denn sonst
gäbe es ein y ∈ Kx mit z < y; für y gilt (7.2), also y ∈ L und Ky = Ly 3 z, und somit z ∈ Kx , ein Widerspruch.
Wegen der minimalen Wahl von z folgt Kx = Lz und x = σ (Kx ) = σ (Lz ) = z und somit (7.2).
Jetzt folgt K j L aus (7.2) und K ( nach Annahme. Also folgt wörtlich (mit K an Stelle von Kx ) wie oben
K = Lz . Das zeigt (7.1).
Sei nun A die Vereinigung aller σ -Ketten. Sei X j A und x ∈ X. Dann existiert eine σ -Kette K mit x ∈ K,
und z := min X ∩ K ist auch ein Minimum von X, denn für y ∈ X und eine σ -Kette L mit y ∈ L folgt z < y aus
(7.1). Also ist A wohlgeordnet. Für x ∈ A und eine σ -Kette K mit x ∈ K folgt Ax = Kx aus (7.1). Dann ist
auch A ∪ {σ (A)} eine σ -Kette, was im Widerspruch zu A ∪ {σ (A)} j A < σ (A) ist.
Wohlordnungssatz. Auf jeder Menge existiert eine Wohlordnung, das heißt eine Ordnung, in der jede nichtleere Teilmenge ein Minimum hat.
Beweis. Sei M eine Menge, und sei A die Menge der Teilmengen A von M, so dass auf A eine Wohlordnung
≤A existiert. Die Menge A ist partiell geordnet: es gelte A < B genau dann, wenn <A eine Einschränkung
von <B istSund ein b ∈ B existiert mit A = {a ∈ B : a <B b}. Ist C eine Kette in A , so sieht man leicht, dass
sich auch C wohlordnen lässt. Also gibt es nach dem Zornschen Lemma ein maximales Element A. Wäre
A eine echte Teilmenge von M, so könnte man zu A ein Element m ∈ M \ A als Maximum hinzufügen, im
Widerspruch zur Maximalität von A. Also ist M = A wohlgeordnet.
25
Kapitel 8
Moore-Smith-Konvergenz und Netze
In metrischen Räumen oder allgemeiner in Räumen mit abzählbaren Umgebungsbasen lässt sich die Topologie
mit Folgen beschreiben. Dies liegt daran, dass es Umgebungsbasen von jedem x gibt, die wie N (also dem
Definitionsbereich von Folgen) geordnet sind: {B1/n (x) | n ∈ N}. Für eine Konvergenztheorie in allgemeinen
topologischen Räumen müssen wir allgemeinere Definitionsbereiche der gesuchten Verallgemeinerung von
Folgen zulassen, die sogenannten gerichteten Mengen.
8.1 Gerichtete Mengen Eine gerichtete Menge ist eine Menge D zusammen mit einer reflexiven und
transitiven Ordnung ≤, so dass für n, m ∈ D ein p ∈ D existiert mit n ≤ p und m ≤ p. Für n ∈ D heißen die
Teilmengen Dn := {m ∈ D | n ≤ m} Endstücke von D.
8.2
Beispiele
(a) N mit der gewöhnlichen Ordnung ≤ ist gerichtet.
(b) Das System der Umgebungen eines Punktes ist gerichtet bezüglich k.
(c) Seien (D1 , ≤1 ) und (D2 , ≤2 ) gerichtete Mengen. Dann ist D1 × D2 gerichtet bezüglich der Ordnung
(a, b) ≤ (c, d) :⇔ a ≤1 c und b ≤2 c.
(d) Eine Zerlegung oder Partition des Intervalls [a, b] j R ist eine endliche Teilmenge Z j [a, b] mit a, b ∈ Z.
Die Menge aller Zerlegungen von [a, b] mit Ordnung j ist eine gerichtete Menge, die bei der Definition
des Riemann-Integrals eine Rolle spielt.
8.3 Netze Sei X eine Menge. Ein Netz in X ist eine Abbildung σ : D → X definiert auf einer gerichteten
Menge D, und eine Folge ist ein Netz auf der gerichteten Menge N. Wie bei (den aus der Analysis bekannten)
Folgen wird das Argument eines Netzes σ oft als Index geschrieben, wir schreiben also σn an Stelle von σ (n)
für n ∈ D, ebenso wird die Abbildung σ oft auch mit (σn ) bzeichnet.
Sei A j X. Wir sagen, das Netz σ ist schließlich in A, wenn ein n ∈ D existiert mit σ p ∈ A für alle n ≤ p;
das heißt σ (Dn ) j A, und häufig in A, wenn es zu jedem n ∈ D ein p ∈ D mit n ≤ p und σ p ∈ A gibt; das heißt
σ (Dn ) ∩ A 6= 0/ für alle n ∈ D.
Sei nun X ein topologischer Raum. Das Netz σ hat den Grenzwert x ∈ X oder konvergiert gegen x, wenn
σ schließlich in jeder Umgebung von x ist; es hat den Häufungswert x, wenn es häufig in jeder Umgebung
von x ist.
8.4
Beispiele
(a) Jedes konstante Netz ist schließlich in jeder Teilmenge, die den Wert des Netzes enthält, also konvergiert
jedes konstante Netz gegen seinen Wert.
(b) Das Netz N → R, n 7→
Es ist eine Folge.
1
n
konvergiert gegen 0, denn es ist schließlich in jeder Umgebung ] − ε, ε[ von 0.
Das Netz N → R, n 7→ (−1)n hat Häufungswerte 1 und -1.
26
Kapitel 8. Moore-Smith-Konvergenz und Netze
(c) Sei X ein topologischer Raum und U das Umgebungssystem eines Punktes x ∈ X, und sei σ : U → X
eine Abbildung mit σU ∈ U für U ∈ U . Dann konvergiert das Netz σ gegen x.
(d) Achtung: Ein Netz oder eine Folge kann mehrere Grenzwerte haben. In einem antidiskreten Raum
konvergiert jedes Netz gegen jeden Punkt des Raums. In Hausdorff-Räumen kommt dies nicht vor,
siehe Übungsaufgabe 21(b).
(e) Sei D die gerichtete Menge aller Zerlegungen von [a, b] j R, wie in Beispiel 8.2(d) und sei f : [a, b] → R
eine beschränkte Funktion. Für eine Zerlegung Z = {x0 , . . . , xn } mit a = x0 < · · · < xn = b sei die
Obersumme R̄ f (Z) := ∑ni=1 (xi − xi−1 ) sup f ([xi−1 , xi ]) von Z bezüglich f definiert. Analog mit inf an
Stelle von sup definiert man die Untersumme R f (Z) und erhält Netze R̄ f und R f (Z).
Man nennt die Funktion f Riemann-integrierbar, falls die Netze R̄ f und R f (Z) gegen den gleichen Wert
R
R
konvergieren, dieser Wert wird mit ab f (x) dx oder ab f bezeichnet.
8.5
Satz Seien X und Y topologische Räume.
(a) Sei A j X und x ∈ X. Es gilt x ∈ Ā genau dann, wenn es ein Netz in A mit Häufungswert x gibt.
Insbesondere liegt jeder Häufungswert eines Netzes in A im Abschluss Ā.
(b) Eine Teilmenge A j X ist genau dann abgeschlossen, wenn alle Häufungswerte von Netzen χ : D → A
in A liegen.
(c) Eine Abbildung f : X → Y ist genau dann stetig, wenn für jedes Netz χ in X mit Häufungswert x das
Netz f ◦ χ den Häufungswert f (x) hat.
In diesem Satz lässt sich in jeder Aussage Häufungswert durch Grenzwert ersetzen, wie wir im folgenden
Abschnitt über Teilnetze sehen werden.
Beweis. (a) Sei x ∈ Ā. Das Umgebungssystem U von x ist eine gerichtete Menge. Wähle zu jedem U ∈ U
ein χu ∈ A ∩U. Dann ist χ : U → A ein Netz in A, das x als Häufungswert (sogar Grenzwert) hat.
Ist umgekehrt χ : D → A ein Netz in A mit Häufungswert x ∈ X, dann existiert zu jeder Umgebung U
von x ein u ∈ D mit χu ∈ U und somit gilt U ∩ A 6= 0/ für alle U. Also gilt x ∈ Ā.
(b) Folgt aus (a).
(c) Sei zunächst f stetig und χ : D → X ein Netz mit Häufungswert x ∈ X und U eine Umgebung von
f (x). Dann ist f −1 (U) eine Umgebung von x, und somit ist χ häufig in f −1 (U). Also ist f ◦ χ häufig
in f ( f −1 (U)) j U.
Für die Umkehrung sei x ∈ X und A j X mit x ∈ Ā. Dann gibt es nach Teil (a) ein Netz χ : D → A
in Ā mit Häufungswert x. Nach Voraussetzung hat f ◦ χ : D → f (A) den Häufungswert f (x), also gilt
f (x) ∈ f (A) nach (a). Also ist f stetig nach Satz 3.1.
Folgen reichen im Allgemeinen nicht aus, um die Abgeschlossenheit von Mengen oder die Stetigkeit von
Abbildungen zu testen, siehe Übungsaufgabe 23(c).
8.6 Teilnetze Eine Teilfolge einer Folge ist im Wesentlichen eine Einschränkung einer Folge auf eine
unendliche Teilmenge von N. Dieses Konzept ist für Netze nicht allgemein genug. Für zwei gerichtete Mengen
D und D0 heißt eine Abbildung ϕ : D0 → D final, wenn ϕ schließlich in jedem Endstück von D ist, das heißt
für alle n ∈ D gibt es ein n0 ∈ D0 , so dass n ≤ ϕ(p) für alle p ∈ D0 mit n0 ≤ p gilt.
Das Netz τ : D0 → X heißt Teilnetz von σ : D → X, wenn es eine finale Abbildung ϕ : D0 → D gibt mit
τ = σ ◦ ϕ.
8.7. Bemerkungen
8.7 Bemerkungen Sei X ein topologischer Raum; x ∈ X, σ : D → X ein Netz und τ : D0 → X ein Teilnetz
von τ.
(a) Jedes Netz ist Teilnetz von sich selbst.
(b) Ist x Grenzwert von σ , so ist x Grenzwert von τ.
(c) Ist x ein Häufungswert von τ, so ist x Häufungswert von σ .
Das folgende Lemma werden wir benutzen, um zu Netzen mit Häufungswerten konvergente Teilnetze zu
konstruieren.
8.8 Lemma Sei X eine Menge und A ein System von Teilmengen von X, so dass für A, B ∈ A ein C ∈ A
existiert mit C j A ∩ B. Ist σ : D → X ein Netz, das häufig in jeder Teilmenge A ∈ A ist, dann existiert ein
Teilnetz von σ , das schließlich in jedem A ∈ A ist.
Beweis. Nach Voraussetzung ist A vermöge k gerichtet, außerdem ist D0 := {(n, A) ∈ D × A : σn ∈ A} durch
die Produktordung gerichtet, das heißt (n, A) ≤ (m, B) :⇔ n ≤ m und A k B (Reflexivität und Transitivität sind
klar, und zu (n, A) und (m, B) wähle man zunächst p0 ∈ D und C ∈ A mit n, m ≤ p0 und A, B k C, und dann
kann man p ∈ D mit p0 ≤ p und σ p ∈ C wählen, da σ häufig in C). Die Projektion ϕ : D0 → D, (m, A) 7→ m ist
eine finale Abbildung, und das Teilnetz σ ◦ ϕ ist schließlich in jedem A ∈ A nach Definition von D0 .
8.9 Satz Sei σ ein Netz in einem topologischen Raum X, mit einem Häufungswert x. Dann existiert ein
Teilnetz von σ mit Grenzwert x.
Beweis. Wende vorangehendes Lemma auf das System der Umgebungen von x an.
8.10 Universelle Netze Ein Netz σ : D → X heißt universell, wenn für jede Teilmenge A j X das Netz σ
entweder schließlich in A oder schließlich im Komplement X \ A ist.
Der folgende Satz wird wesentlich für eine Charakterisierung von Kompaktheit und damit für den Satz
von Tychonoff sein.
Satz. Jedes Netz besitzt ein universelles Teilnetz.
Beweis. Sei σ : D → X ein Netz, und sei Σ das System aller Mengensysteme A , so dass
(1) σ häufig in jedem A ∈ A ist und
(2) für A, B ∈ A gilt A ∩ B ∈ A .
Das System Σ ist nicht leer, denn {X} ∈ Σ. Ist Σ0 eine Kette in Σ, so gilt Σ0 ∈ Σ, denn für A, B ∈ Σ0
existieren A ,SB ∈ Σ0 mit A ∈ A , B ∈ B, also ohne Einschränkung A ⊂ B 3 A, B und somit A ∩ B ∈ B ∈ Σ0 ,
also A ∩ B ∈ Σ0 . Wir können also das Zornsche Lemma anwenden und erhalten ein maximales Element A
von Σ. Nach Lemma 8.8 gibt es ein Teilnetz τ von σ , das schließlich in jedem Element von A enthalten ist.
Sei nun X j B, so dass τ nicht schließlich in X \ B ist. Dann ist τ häufig in B. Für A ∈ A beliebig ist τ
schließlich in A, also ist τ häufig in A ∩ B, und somit ist σ häufig in A ∩ B. Dies bedeutet, dass wir alle Mengen
A ∩ B für A ∈ A zu A hinzufügen können und (1) und (2) immer noch erfüllt sind. Die Maximalität von A
impliziert also B = B ∩ X ∈ A . Also ist τ schließlich in B.
S
S
27
29
Kapitel 9
Zusammenhang
Ein topologischer Raum X heißt zusammenhängend, wenn 0/ und X die einzigen offenen und abgeschlossenen Teilmengen von X sind, und wegzusammenhängend, wenn zu x, y ∈ X ein Weg von x nach y, also eine
stetige Abbildung f : [0,1] → X mit f (0) = x und f (1) = y existiert. Eine Teilmenge A von X heißt (weg)zusammenhängend, wenn A als Teilraum (weg-)zusammenhängend ist.
9.1
Beispiele
(a) In einem antidiskreten Raum sind auch alle Teilräume antidiskret, also sind alle Teilmengen zusammenhängend.
(b) Der Teilraum X := R \ {0} von R ist nicht zusammenhängend, denn ] − ∞,0[ und ]0,∞[ sind offene und
abgeschlossene Teilmengen von X.
(c) Der euklidische Raum Rn ist wegzusammenhängend, denn für x, y ∈ Rn ist f : [0,1] → Rn , t 7→ (1 −
t)x +ty stetig, also ein Weg von x nach y. Wir werden später sehen, dass er auch zusammenhängend ist.
9.2 Satz Seien X,Y topologische Räume und f : X → Y eine stetige Abbildung. Ist X zusammenhängend,
so ist auch f (X) zusammenhängend.
Ist X wegzusammenhängend, dann ist auch f (X) wegzusammenhängend.
Beweis. Sei V eine offene und abgeschlossene Teilmenge von f (X). Dann ist U := f −1 (V ) offen und abgeschlossen in X, also U = 0/ oder U = X und somit gilt V = f (U) = 0/ oder V = f (X).
Die zweite Aussage folgt, da Verkettungen von stetigen Abbildungen stetig sind.
9.3
Satz Für einen topologischen Raum X sind folgende Aussagen äquivalent:
(1) Der Raum X ist zusammenhängend.
˙ = X.
(2) Es gibt keine offenen nicht-leeren disjunkten Teilmengen U,V von X mit U ∪V
(3) Jede stetige Abbildung von X in den diskreten Raum {0,1} ist konstant.
Beweis. (1) ⇒ (3): Sei f : X → {0,1} stetig. Nach Satz 9.2 ist f (x) zusammenhängend, also ungleich {0,1}.
˙ = X, und
(3) ⇒ (2) (Kontraposition): Seien U,V offene nicht-leere disjunkte Teilmengen von X mit U ∪V
setze f (x) := 0 für x ∈ U und f (x) := 1 für x ∈ V . Da U und V abgeschlossen sind, und f eingeschränkt auf
diese Teilmengen konstant ist, ist f nach Satz 4.3.3 stetig.
(2) ⇒ (1): Sei U eine offene und abgeschlossene Teilmenge von X. Dann sind U und V := X \ U offene
˙ = X. Also gilt U = 0/ oder V = 0.
disjunkte Teilmengen von X mit U ∪V
/
In obigem Satz lässt sich der diskrete Raum {0,1} durch jeden anderen disjunkten Raum ersetzen.
30
Kapitel 9. Zusammenhang
9.4 Satz Sei X ein topologischer Raum
und Z eine Menge von zusammenhängenden paarweise nichtS
disjunkten Teilmengen von X. Dann ist Z zusammenhängend.
Beweis. Sei f : Z → {0,1} stetig. Nach Satz 9.3 reicht es zu zeigen, dass f konstant ist. Zu a, b ∈ Z gibt
es A, B ∈ Z mit a ∈ A und b ∈ B. Nach Voraussetzung existiert ein c ∈ A ∩ B, und f |A und f |B sind konstant.
Also folgt f (a) = f (c) = f (b) und somit die Konstanz von f .
S
S
9.5 Zusammenhängende Teilmengen von R Eine Teilmenge I einer partiell geordneten Menge (M, ≤)
heißt Intervall (oder konvexe Teilmenge), wenn [a, b] := {x ∈ M : a ≤ x ≤ b} j I für alle a, b ∈ I gilt.
Die Intervalle von R sind genau die Teilmengen [a, b], [a, d[, ]c, b] und ]c, d[ für a, b ∈ R und c, d ∈ R ∪
{∞} ∪ {−∞} mit a ≤ b und c ≤ d.
9.6
Satz Die zusammenhängenden Teilmengen von R sind genau die Intervalle.
Beweis. Ist X j R kein Intervall, so gibt es a, b ∈ X und x ∈ R \ X mit a < x < b. Dann sind X∩] − ∞, x[ und
X∩]x, ∞[ offene disjunkte nicht-leere Teilmengen von X, deren Vereinigung X ist. Also ist X nicht zusammenhängend.
Ist umgekehrt X nicht zusammenhängend, so gibt es nach Definition offene disjunkte Teilmengen U und
˙ = X und u < v. Wir zeigen s := sup I ∈
V von X und u ∈ U und v ∈ V mit U ∪V
/ X für I := {x ∈ R : u ≤
x und [u, x] j U}. Es gilt u ≤ s ≤ v. Wäre s ∈ U, so gäbe es ein ε > 0 mit ]s − ε, s + ε[j U im Widerspruch zu
/ I. Wäre s ∈ V , so gäbe es ε > 0 mit ]s − ε, s + ε[j V und es wäre u ≤ s − ε, was einen Widerspruch
s + ε2 ∈
zu s − ε2 ∈ I j U impliziert.
In einem Raum X sind die Bilder f ([0,1]) von Wegen f : [0,1] → X nach Satz 9.6 und 9.2 zusammenhängende Teilmengen von X. Ist X wegzusammenhängend und x ∈ X, so erfüllt die Menge S
Z aller Bilder
von Wegen von x zu einem beliebigen y ∈ X die Voraussetzungen von Satz 9.4 und wir haben Z = X. Dies
beweist das folgende Korollar.
9.7
Korollar Jeder wegzusammenhängende topologische Raum ist zusammenhängend.
9.8
Beispiele
(a) Der euklidische Raum ist wegzusammenhängend (siehe Beispiel 9.1(a)) und somit zusammenhängend.
(b) Eine Teilmenge S von Rn heißt sternförmig, wenn es ein s ∈ S gibt, so dass [s, x] := {(1 − t)s + tx : t ∈
[0,1]} j S für alle x ∈ S gilt, und konvex wenn [x, y] j S gilt für alle x, y ∈ S. Jede nicht-leere konvexe
Teilmenge S ist sternförmig. Jede konvexe Teilmenge ist per Definition wegzusammenhängend und damit zusammenhängend. Aber auch sternförmige Teilmengen sind (weg-)zusammenhängend, denn zwei
Wege von x ∈ S nach s bzw. von s nach y ∈ S lassen sich zu einem Weg von x nach y hintereinanderschalten: Betrachte f : [0,2] → S mit f (t) = ts + (1 − t)x für t ∈ [0,1] und f (t) = (t − 1)y + (2 − t)s für
t ∈ [1,2]; nach Satz 4.3.3 ist f stetig, also ein Weg 1 .
(c) Test auf Homöomorphie: Für r ∈ R ist R \ {r} nicht zusammenhängend. Wären R und Rn für n > 1
homöomorph, so wäre also auch Rn \ {0} nicht zusammenhängend, im Widerspruch dazu, dass je zwei
Punkte durch einen Weg bestehend aus höchstens zwei Strecken verbunden sind.
9.9 Zwischenwertsatz Sei X ein zusammenhängender Raum und f : X → R stetig. Dann ist f (X) ein
Intervall, das heißt für x, y ∈ X nimmt f jeden Wert zwischen f (x) und f (y) an.
Beweis. Nach Satz 9.2 ist f (X) eine zusammenhängende Teilmenge von R und somit nach Satz 9.6 ein
Intervall.
1
Strenggenommen muss man natürlich auf t : [0,1] → X umparametrisieren
9.10. Anwendung
9.10 Anwendung Jedes abgeschlossene Intervall [a, b] j R besitzt die Fixpunkteigenschaft, das heißt jede
stetige Abbildung f : [a, b] → [a, b] hat einen Fixpunkt, also ein x ∈ [a, b] mit f (x) = x.
Beweis. Falls f (a) 6= a und f (b) 6= b gilt, so gelten für g : [a, b] → R, x 7→ f (x)−x die Abschätzungen g(a) > 0
und g(b) < 0. Also existiert nach dem Zwischenwertsatz ein x ∈ [a, b] mit g(x) = 0. Es folgt f (x) = g(x) + x =
x.
Auch die abgeschlossenen Bälle Dn besitzen die Fixpunkteigenschaft, wie der Brouwersche Fixpunktsatz
besagt, der im Allgemeinen wesentlich schwieriger zu beweisen ist und Thema der algebraischen Topologie
ist. Wir werden später noch den Fall n = 2 beweisen.
Eine Teilmenge A eines topologischen Raums X heißt dicht, wenn Ā = X gilt.
9.11 Satz Sei X ein topologischer Raum und A eine zusammenhängende Teilmenge von X. Dann ist jede
Teilmenge mit A j B j Ā zusammenhängend, und insbesondere ist Ā zusammenhängend und X ist zusammenhängend, wenn X eine dichte zusammenhängende Teilmenge hat.
Beweis. Geht mit 9.3(3), siehe Übungsaufgabe 28.
9.12 Beispiel (Topologischer Sinus) Der Graph X := {(x, sin 1x ) : x ∈ R \ {0}} j R2 , ist nicht zusammenhängend, denn ] − ∞,0[×R und ]0,∞[×R zerlegen X in zwei offene disjunkte Mengen.
y
x
ag replacements
Fügen wir einen Punkt x ∈ X̄ \ X = {0}×] − 1,1[ hinzu, so ist Y := X ∪ {x} zusammenhängend. Der Raum
Y ist nicht wegzusammenhängend, siehe Übungsaufgabe 30.
9.13 Satz Ein Produkt von nicht-leeren Räumen ist genau dann zusammenhängend, wenn die Faktoren
zusammenhängend sind.
Beweis. Seien Xi für i ∈ I nicht-leere topologische Räume und X := ∏i∈I Xi . Ist X zusammenhängend, so sind
die Xi zusammenhängend als stetige Bilder unter Projektionen.
Seien nun die Xi zusammenhängend, und wähle x = (xi )i∈I ∈ X. Die Beweisidee besteht darin, die Aussage
auf endliche Produkte zurückzuführen. Wir zeigen zunächst, dass D := {(yi )i∈I ∈ X | {i ∈ I | yi 6= xi } endlich }
eine dichte Teilmenge von X ist, denn
dann reicht es nach obigem Satz zu zeigen, dass D zusammenhängend
T
ist. Sei also y = (yi )i∈I und U = i∈E πi−1 (Ui ) für E j I endlich und Ui offen in Xi eine (Basis-) Umgebung
von y. Dann ist z = (zi )i∈I mit zi := yi für i ∈ E und zi := xi für i ∈ I \ E ein Element von D ∩ U, also gilt
y ∈ D̄. Für den Zusammenhang von D reicht es nach Satz 9.4 zu zeigen, dass für endliches E j I die Menge
DE := {(yi )i∈I ∈ X | {i ∈ I | xi 6= yi } = E} zusammenhängend ist, denn all diese Mengen DE enthalten x. Nun
ist DE aber homöomorph zu dem endlichen Produkt ∏i∈E Xi . Per Induktion reicht es zu zeigen, dass Y × Z
zusammenhängend ist für zwei zusammenhängende Räume Y und Z.
31
32
Kapitel 9. Zusammenhang
Z
(y, z)
Y × {z}
{y} × Z
Sfrag replacements
Y
Nach Satz 9.4 ist ({y} × Z) ∪ (Y × {z}) j Y × Z für y ∈ Y und z ∈ Z zusammenhängend, denn (y, z)
ist in beiden Teilmengen enthalten. Die Vereinigung Y × Z all dieser Teilmengen ist wieder nach Satz 9.4
zusammenhängend.
Beispiel. Der Hilbertwürfel [0,1]N ist zusammenhängend.
Exemplarisch für einen typischen Zusammenhangsbeweis zeigen wir den folgenden Satz.
9.14 Satz Ein zusammenhängender Raum ist genau dann wegzusammenhängend, wenn jeder Punkt eine
wegzusammenhängende Umgebung hat.
Beweis. Natürlich hat in einem wegzusammenhängenden Raum jeder Punkt eine wegzusammenhängende
Umgebung, nämlich den ganzen Raum.
Sei X ein zusammenhängender Raum, der in jedem Punkt x ∈ X eine wegzusammenhängende Umgebung
Ux hat. Fixiere x ∈ X und betrachte W := {w ∈ X | es gibt einen Weg von x nach w}. Es gilt x ∈ W . Sei y ∈ W̄ ;
dann existiert w ∈ W ∩ Uy ; sei z ∈ Uy ; dann gibt es Wege von x nach w (nach Definition von W ) und von w
nach z (Uy ist wegzusammenhängend); diese Wege lassen sich ähnlich wie in Beispiel 9.8(b) zu einem Weg
von x nach z verketten. Also gilt Uy j W und W ist offen und abgeschlossen. Da X zusammenhängend ist,
folgt W = X.
9.15 Korollar Jedes Gebiet in Rn , also jede offene zusammenhängende Teilmenge ist wegzusammenhängend.
9.16 Zusammenhangskomponenten Sei X ein topologischer Raum und x ∈ X. Die Vereinigung aller
zusammenhängender Teilmengen von X, die x enthalten, heißt Zusammenhangskomponente von x.
9.17
Beispiele
(a) In [0,1] ∪ [2,3] ist [0,1] die Zusammenhangskomponente von 1 und [2,3] die von 2.
(b) Der Raum Rn+1 \ Sn =: X hat genau zwei Zusammenhangskomponenten B1 (0) = {x ∈ Rn+1 : |x| < 1}
und Rn+1 \ B1 (0) = {x ∈ Rn+1 : |x| > 1}. (B1 (0) ist konvex, Rn+1 \ B1 (0) ist zusammenhängend,
denn
x
n
∼
er ist homöomorph zu Sn ×]1,∞[ ( Sn \ {x} = R zusammenhängend,dicht) vermöge x 7→ |x| , |x| , aber
X ist nicht zusammenhängend).
(c) Alle Zusammenhangskomponenten von Q sind einelementig, denn für A j Q mit a, b ∈ A und a < b gibt
es eine irrationale Zahl r mit a < r < b und A∩] − ∞, r[ und A∩]r, ∞[ sind offene disjunkte nicht-leere
Teilmengen von A.
9.18. Satz
9.18 Satz Die Zusammenhangskomponenten eines topologischen Raums X sind maximale zusammenhängende und abgeschlossene Teilmengen von X, die eine Partition von X bilden.
Beweis. Komponenten sind maximimal per Definition und zusammenhängend nach Satz 9.4. Ist Z eine Komponente, so ist Z̄ nach Satz 9.11 auch zusammenhängend, und es folgt Z̄ j Z, also ist Z = Z̄ abgeschlossen.
Sind Z und W nicht-diskunkte Komponenten, so ist Z ∪ W nach Satz 9.4 zusammenhängend, und es folgt
Z = W.
9.19 Total unzusammenhängende Räume Ein topologischer Raum X heißt total unzusammenhängend,
wenn alle seine Zusammenhangskomponenten einelementig sind. Dies bedeutet, dass jede zusammenhängende Teilmenge von X einelementig oder leer ist.
9.20
Beispiele
(a) Jeder diskrete Raum ist total unzusammenhängend. Allgemeiner ist jeder T1 -Raum mit einer Basis aus
offenen und abgeschlossenen Mengen (sogenannte nulldimensionale Räume) total unzusammenhängend.
(b) Wie wir oben gesehen haben, ist Q total unzusammenhängend (sogar null-dimensional, denn die Intervalle mit irrationalen Randpunkten bilden eine Basis und sind offen und abgeschlossen).
(c) Produkte von total unzusammenhängenden Räumen sind total unzusammenhängend, siehe Übungsaufgabe 33.
(d) Die Cantormenge ist total unzusammenhängend, was sich ähnlich wie für Q zeigen lässt oder mit (c).
Es gibt im Wesentlichen nur einen null-dimensionalen abzählbaren Raum:
9.21 Satz von Sierpinski Jeder abzählbare null-dimensionale (also mit einer Basis aus offenen und abgeschlossenen Mengen) topologische Raum ohne isolierte Punkte (das heißt ohne offene Singletons {x}) ist
homöomorph zu Q.
Beweis. Siehe Peter Neumann, Automorphisms of the rational world, J. London Math. Soc.(2), 32(1985),
439-448.
9.22 Lokaler Zusammenhang Ein topologischer Raum X heißt lokal zusammenhängend, wenn jeder
Punkt eine Umgebungsbasis aus zusammenhängenden Teilmengen besitzt, das heißt für eine Umgebung U
eines Punktes x ∈ X existiert eine zusammenhängende Umgebung V von x mit V j U.
9.23
Beispiele
(a) Rn , Sn und Dn sind lokal zusammenhängend.
(b) Diskrete Räume sind lokal zusammenhängend. Total unzusammenhängende Räume, die nicht diskret
sind, sind nicht lokal zusammenhängend.
(c) Der Teilraum X := ([0,1] × {0}) ∪ ({0,1, 21 , 31 , 14 , . . . } × [0,1]) von R2 ist (weg-) zusammenhängend und
somit hat jeder Punkt eine zusammenhängende Umgebung, aber er ist nicht lokal zusammenhängend,
denn jede Umgebung von (0,1), die zu [0,1] × {0} disjunkt ist, ist nicht zusammenhängend.
Bemerkungen 9.1. (a) In einem lokal zusammenhängenden Raum sind die Zusammenhangskomponenten
aller offenen Teilmengen offen. Siehe Übungsaufgabe 34.
(b) Endliche Produkte von lokal zusammenhängenden Räumen sind lokal zusammenhängend. Für unendliche Produkte gilt dies im Allgemeinen nicht.
(c) Stetige Bilder von lokal-zusammenhängenden Räumen sind im Allgemeinen nicht lokalzusammenhängend.
33
35
Kapitel 10
Kompaktheit
10.1 Definition Sei X eine Menge und A j X. Ein Mengensystem U j ℘(X) heißt Überdeckung von
A, wenn A j U . Eine Überdeckung heißt offen oder abgeschlossen, wenn alle Mengen in U offen oder
abgeschlossen sind.
Eine Teilüberdeckung einer Überdeckung U von A ist eine Teilmenge von U , die eine Überdeckung von
A ist.
Ein topologischer Raum X heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Eine Teilmenge heißt kompakt, wenn sie als Teilraum kompakt ist.
10.2
Beispiele
(a) Wegen Rn =
S
n∈N Bn (0)
und ]0,1] =
1
n∈N n , 1
S
sind Rn und ]0,1] nicht kompakt.
(b) Trivialerweise sind alle endlichen Teilmengen eines topologischen Raums kompakt, sowie alle Teilmengen eines topologischen Raums mit einer endlichen Topologie. In einem diskreten Raum sind genau
die endlichen Teilmengen kompakt.
(c) Sind A und B kompakte Teilmengen eines topologischen Raums, so ist A ∪ B kompakt. Für den Durchschnitt gilt dies nur unter zusätzlicher Annahme von T2 , wie wir später sehen werden.
10.3
Satz Für a, b ∈ R (mit a ≤ b) ist [a, b] j R kompakt.
Beweis. Sei U eine offene Überdeckung von [a, b]. Wir zeigen, dass X := {x ∈ [a, b] |
[a, x] hat endliche Teilüberdeckung } offen und abgeschlossen ist. Sei dazu x ∈ X̄. Dann existiert ein
U ∈ U mit x ∈ U, eine Umgebung [c, d] j U von x und y ∈ [c, d] ∩ X. Sei E j U eine endliche Teilüberdeckung von [a, y]. Dann ist E ∪ {U} eine endliche Teilüberdeckung von [a, d] j X. Wir haben damit gezeigt,
dass X offen und abgeschlossen ist, und wegen a ∈ X folgt X = [a, b] aus dem Zusammenhang von [a, b].
10.4
Satz Abgeschlossene Teilmengen von Kompakta sind kompakt.
Beweis. Sei A eine abgeschlossene Teilmenge des kompakten Raums X und U eine in X offene Überdeckung
von A. Dann ist U ∪ {X \ A} eine offene Überdeckung von X, und es gibt eine endliche Teilüberdeckung E .
Dann ist E \ {X \ A} eine endliche Teilüberdeckung von A.
10.5
Satz Kompakte Teilmengen von Hausdorff-Räumen sind abgeschlossen.
Beweis. Sei X ein Hausdorff-Raum, C eine kompakte Teilmenge und y ∈ X \ C. Zu x ∈ C existieren offene
trennende Umgebungen Ux und Vx von x bzw. y. Da die Ux das Kompaktum C überdecken, existieren x1 , . . . , xn ,
so dass C j Ux1 ∪· · ·∪Uxn =: U gilt. Da V := Vx1 ∩· · ·∩Vxn disjunkt zu allen Uxi ist, sind U und V disjunkt, also
auch C und die Umgebung V von y. Wir haben damit gezeigt, dass X \C offen ist und somit C abgeschlossen.
36
Kapitel 10. Kompaktheit
10.6
Satz Stetige Bilder von Kompakta sind kompakt.
Beweis. Sei X ein kompakter Raum und f : X → Y eine stetige Surjektion. Sei U eine offene Überdeckung
von Y . Dann ist { f −1 (U) | U ∈ U } eine offene Überdeckung von X und die Kompaktheit von X liefert eine
Teilüberdeckung { f −1 (U) | U ∈ E } für eine endliche Teilmenge E ⊂ U . Da f surjektiv ist, gilt f ( f −1 (A)) =
A für A j Y , und somit ist E eine endliche Überdeckung von Y .
Das folgende Korollar haben wir früher schon benutzt um einzusehen, dass gewisse Abbildungen abgeschlossen und identifizierend sind, siehe 4.6.7(a), 4.6.7(b) und 4.6.8(b).
10.7 Korollar Eine stetige Abbildung eines Kompaktums in einen Haudorff-Raum ist abgeschlossen und
insbesondere identifizierend. Ist sie zusätzlich bijektiv, so ist sie sogar ein Homöomorphismus.
Beweis. Sei X ein Kompaktum, Y ein Hausdorff-Raum und f : X → Y stetig. Eine abgeschlossene Teilmenge
A von X ist nach Satz 10.4 kompakt, also ist nach Satz 10.6 das Bild f (A) kompakt und somit nach Satz 10.5
abgeschlossen als kompakte Teilmenge eines T2 -Raums. Also ist f eine abgeschlossene Abbildung und nach
Satz 4.6.6 identifizierend. Ist f bijektiv, so ist f −1 nach Satz 3.1 stetig.
10.8
Satz Jeder kompakte Hausdorff-Raum ist normal.
Beweis. Dies folgt aus Satz 10.4 und Übungsaufgabe 38.
Ein Mengensystem A hat die sogenannte endliche Durchschnittseigenschaft oder EDE, wenn A1 ∩ · · · ∩
An 6= 0/ für beliebige A1 , . . . , An ∈ A gilt.
10.9
Satz Für einen topologischen Raum X sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) X ist kompakt.
(b) Jede Menge von abgeschlossenen Teilmengen von X mit EDE hat nicht-leeren Schnitt.
(c) Jedes universelle Netz in X konvergiert.
(d) Jedes Netz in X hat einen Häufungspunkt.
(e) Jedes Netz in X hat ein konvergentes Teilnetz.
Insbesondere hat in einem kompakten Raum jede Folge einen Häufungswert und somit eine konvergente
Teilfolge.
Beweis. (a) ⇒ (c): Sei σ : D → X ein universelles Netz. Wir nehmen an, dass σ keinen Grenzwert hat. Dann
existiert zu jedem x ∈ X eine offene Umgebung Ux , so dass σ nicht schließlich in Ux ist. Also ist σ als
universelles Netz schließlich in X \Ux und somit gibt es ein nx ∈ D mit σ (Dnx ) ∩Ux = 0.
/ Da X kompakt ist,
existieren x1 , . . . , xk mit X = Ux1 ∪ · · · ∪Uxk und weil D gerichtet ist, gibt es ein n ∈ D mit nx1 , . . . , nxk ≤ n. Es
folgt σ (Dn ) ∩Uxi = 0/ für i = 1,. . . , k und der Widerspruch σ (Dn ) ∩ X = 0.
/
(c) ⇒ (e) ist der Satz in 8.10
(e) ⇒ (d) folgt aus 8.7(c)
(d) ⇒ (b): Sei A eine Menge von abgeschlossenen Teilmengen mit EDE, und sei D die Menge aller
endlichen Schnitte von Mengen aus A . Dann gilt 0/ ∈
/ D, und D ist gerichtet vermöge k. Wähle σA ∈ A für
A ∈ D. Nach Voraussetzung hat das Netz σ : D → X einen Häufungswert x. Sei A ∈ A j D. Für alle B ∈ D
mit A k B gilt σB ∈ BTj A. Da A abgeschlossen ist, folgt x ∈ A nach Satz 8.5. Wir haben x ∈ A für alle A ∈ A
gezeigt, also gilt x ∈ A .
S
(b) ⇔ (a): Sei U eine offene Überdeckung von X. Dann hat A := {X \U | U ∈ U } wegen 0/ = X \ U =
T
A nicht EDE nach Voraussetzung, also existieren U1 , . . .Uk ∈ U mit (X \U1 ) ∩ · · · ∩ (X \Uk ) = 0.
/ Es folgt
X = U1 ∪ · · · ∪Uk .
10.10. Satz von Tychonoff
10.10 Satz von Tychonoff Ein Produkt nicht-leerer kompakter topologischer Räume ist genau dann kompakt, wenn alle Faktoren kompakt sind.
Beweis. Sei I eine beliebige Indexmenge, seien Xi für i ∈ I nicht-leere topologische Räume, und sei X :=
∏i∈I Xi . Ist X kompakt, so ist Xi als stetiges Bild von X unter der Projektion πi : X → Xi kompakt nach
Satz 10.6.
Seien nun die Xi kompakt und sei σ ein universelles Netz in X. Dann ist auch πi ◦ σ ein universelles Netz
und hat nach Satz 10.9 einen Grenzwert xi . Nach Definition der Produkttopologie ist dann x := (xi )i∈I ein
Grenzwert von σ . Also ist X kompakt wieder nach Satz 10.9.
Kelley hat gezeigt, dass der Satz von Tychonoff äquivalent zum Auswahlaxiom ist.
10.11 Satz von Heine-Borel
beschränkten.
Die kompakten Teilmengen von Rn sind genau die abgeschlossenen und
Beweis. Sei C ⊂ Rn kompakt. Wegen C j r∈]0,∞[ Br (0) gibt es endlich viele Radien r1 , . . . , rk mit C ⊂
Br1 (0) ∪ · · · ∪ Brk (0). Für r := max{r1 , . . . , rk } gilt C j Br (0). Also ist C beschränkt und auch abgeschlossen
nach Satz 10.5, da Rn als metrischer Raum ein Hausdorff-Raum ist.
Ist umgekehrt C j Rn abgeschlossen und beschränkt, so existiert ein r ∈]0,∞[ mit C j Br (0). Nach
Satz 10.3 ist [−r, r] kompakt und somit nach Satz 10.10 von Tychonoff [−r, r]n kompakt. Also ist die abgeschlossene Menge C j Br (0) j [−r, r]n nach Satz 10.4 kompakt.
S
10.12 Beispiele Als beschränkte abgeschlossene Teilmengen von Rn sind Sn−1 und Dn kompakt. Außerdem ist P kompakt, siehe Übungsaufgabe 37.
10.13 Cantormenge, Cantorwürfel und Peano-Kurven In Beispiel 4.4.3(b) hatten wir gezeigt, dass die
an
Abbildung ϕ : {0,2}N → C, (an )n∈N 7→ ∑∞
n=1 3n stetig und bijektiv ist. Nach dem Satz von Tychonoff ist der
Definitionsbereich dieser Abbildung kompakt und somit ist sie nach 10.7 ein Homöomorphismus. Auch die
sogenannten Cantorwürfel {0,1}I für beliebige Mengen I sind total unzusammenhängende und kompakte
Räume.
an
So wie in 4.4.3(b) kann man zeigen, dass {0,1}N , (an ) 7→ ∑∞
i=1 2n eine stetige Surjektion ist. Also gibt
es eine stetige Abbildung von C auf [0,1]. Nach Übungsaufgabe 12 sind C und C × C, also auch C und
Ck homöomorph, also gibt es eine stetige Surjektion von C auf [0,1]k . Diese Abbildung lässt sich auf den
fehlenden Intervallen linear fortsetzen, und wir erhalten eine stetige Surjektion von [0,1] auf [0,1]k , eine
sogenannte raumfüllende Kurve oder Peano-Kurve.
Es lässt sich sogar allgemeiner zeigen, dass jeder kompakte metrische Raum Bild der Cantormenge ist,
siehe Christenson-Voxman 6.C.12, S. 165.
37
38
Kapitel 10. Kompaktheit
10.14 Korollar Die vollständig regulären Räume sind genau die Unterräume von kompakten Hausdorffräumen.
Beweis. Nach dem Korollar in 6.3 ist ein vollständig regulärer Raum Unterraum eines Produkts von Intervallen [0,1], welches nach Satz 10.10 (Tychonoff) kompakt ist.
Umgekehrt ist jeder kompakte Hausdorff-Raum normal und somit nach dem Korollar in 6.1 vollständig
regulär und dies vererbt sich auf Teilräume nach 5.5.
Gemäß Abschnitt 6.3 ist die Einbettung ι eines vollständig regulären Raumes X in das Produkt [0,1]C ,
wobei C die Menge der stetigen Funktionen von X nach [0,1] ist, gegeben durch ι(x) = ( f (x)) f ∈C . Der Unterraum β (X) := ι(X) ist als abgeschlossene Teilmenge eines Kompaktums kompakt und heißt Stone-CechKompaktifizierung von X. Diese Kompaktifizierung ist in folgendem Sinn die größte Kompaktifizierung von
X: Ist Y ein kompakter Hausdorff-Raum, so dass X ein dichter Teilraum von Y ist, so gibt es eine stetige
Abbildung f : β (X) → Y , siehe Engelking 3.5 und 3.6.
10.15 Konvexe Körper Für jede konvexe kompakte Teilmenge C von Rn mit nichtleerem Inneren gilt
C ≈ Dn (= B̄n (0)) und ∂C ≈ Sn−1 . Insbesondere sind alle kompakten Teilmengen von Rn mit nicht-leerem
Inneren homöomorph.
C
konvex, kompakt ≈ D2
C0 6= 0/
0
Sfrag replacements
Beweis. Da die Abbildungen Rn → Rn , x 7→ x + y für y ∈ Rn Homöomorphismen sind, reicht es die Behauptung für 0 als inneren Punkt zu zeigen.
Sei C j Rn und 0 ∈ C◦ , und sei x ∈ Rn \ {0}. Wir zeigen die Behauptung in mehreren Schritten. Dabei
wird der Halbstrahl H := {xt | t ∈ [0,∞[} eine wichtige Rolle spielen.
(a) Ist C konvex, so gilt |∂C ∩ H| ≤ 1:
Sei x ∈ ∂C und y := tx für t ∈]0,1[. Da f : Rn → Rn , z 7→ (1 − t)z + tx ein Homöomorphismus ist, ist
f (Br (0)) für Br (0) j C eine offene Umgebung von y. Sie ist in C enthalten, da C konvex ist.
(b) Ist C kompakt, so gilt |∂C ∩ H| ≥ 1:
Der Halbstrahl H ist eine abgeschlossene Teilmenge vom Rn . Wäre H j C, so wäre H nach Satz 10.4
kompakt im Widerspruch zu Satz 10.11 von Heine-Borel. Also sind H \ C und H ∩ C0 offene nichtleere Teilmengen von H. Da H zusammenhängend ist (stetiges Bild von [0,∞[), ist die Vereinigung
˙ ◦ ).
dieser beiden Mengen eine echte Teilmenge von H, also H ∩ ∂C 6= 0/ (C = ∂ ∪C
(c) Sei nun C kompakt und konvex. Dann ist f : ∂C → Sn−1 , y 7→
y
|y|
ein Homöomorphismus:
Wegen (a) und (b) ist f bijektiv. Da ∂C als abgeschlossene Teilmenge des Kompaktums C kompakt ist,
ist die stetige Abbildung f nach Satz 10.7 ein Homöomorphismus.
y
(d) Die Abbildung g : Dn → C mit g(y) = y f −1 |y|
für y ∈ Rn \ {0} und g(0) = 0 ist ein Homöomorphismus:
g ist stetig bei 0, weil ∂C nach Satz 10.11 beschränkt ist, und g ist ein Homöomorphismus nach 10.7,
weil Dn kompakt ist.
10.16. Lokalkompaktheit
Ist C j Rn eine konvexe Teilmenge mit 0 ∈ C, so kann man zeigen, dass es ein k ∈ N0 gibt, so dass C
in einem k-dimensionalen Teilraum von Rn enthalten ist, in dem C einen inneren Punkt hat. Also ist diese
Voraussetzung keine echte Einschränkung.
10.16 Lokalkompaktheit Ein topologischer Raum X heißt lokal-kompakt, wenn jeder Punkt eine Umgebungsbasis aus kompakten Mengen besitzt, das heißt für jede Umgebung U eines Punktes x ∈ X existiert eine
kompakte Umgebung V von x mit V j U.
10.17 Beispiele Der euklidische Raum Rn ist lokal-kompakt, denn nach Heine-Borel sind alle abgeschlossenen Kugeln kompakt. Jede offene und jede abgeschlossene Teilmenge eines lokal-kompakten Raumes ist
lokal-kompakt (siehe Übungsaufgabe 42). Insbesondere sind die offenen und abgeschlossenen Teilmengen
von Rn kompakt, also zum Beispiel Sn−1 und Dn . Das halboffene Intervall [0,1[ ist offen in der abgeschlossenen Teilmenge [0,1] von R, also lokal-kompakt.
Der Raum Q ist nicht lokal-kompakt.
10.18 Satz Ein Hausdorff-Raum, in dem jeder Punkt eine kompakte Umgebung hat, ist lokal-kompakt.
Insbesondere ist ein kompakter Hausdorff-Raum lokal-kompakt.
Beweis. Sei X ein Hausdorff-Raum und C eine kompakte Umgebung von x ∈ X und U eine beliebige Umgebung von x. Wähle eine offene Umgebung V von x mit V j U ∩ C. Nach Satz 10.5 ist C abgeschlossen
und somit gilt V̄ j C. Also ist V̄ kompakt nach Satz 10.4, und daher normal und insbesondere regulär nach
Satz 10.8. Also hat x in V̄ eine abgeschlossene Umgebung A mit A j V (Satz 5.3(c)), welche auch abgeschlossen in X und somit kompakt als Teilmenge von C ist. Schließlich ist A = A ∩V auch eine Umgebung bezüglich
V und somit auch bezüglich X, denn V ist offen in X.
10.19 Einpunkt-Kompaktifizierung In der Analysis sagt man, dass eine Folge in Rn "gegen ∞
konvergiert", wenn die Folge ihrer Beträge schließlich größer als jede vorgegebene Schranke ist.
Dieser neue Begriff lässt sich durch Erweiterung des topologischen Raumes Rn auf den gewöhnlichen
Konvergenzbegriff zurückführen.
Sei X ein topologischer Raum und ∞ ∈
/ X. Dann heißt X ∗ := X ∪ {∞} Einpunkt-Kompaktifizierung von
∗
X, wenn offene Mengen von X genau die offenen Teilmengen von X und die Komplemente (in X ∗ ) von
gleichzeitig abgeschlossenen und kompakten Teilmengen von X sind.
Ist X ein Hausdorff-Raum, so vereinfacht sich diese Definition, denn alle kompakten Teilmengen sind
automatisch abgeschlossen.
10.20 Satz Sei X ein topologischer Raum. Die Einpunkt-Kompaktifizierung X ∗ von X hat die folgenden
Eigenschaften:
(a) X ∗ ist ein kompakter topologischer Raum, und X ist ein Teilraum von X ∗ .
(b) X ∗ ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum ist.
(c) Ist X nicht kompakt, dann ist X dicht in X ∗ , das heißt X̄ = X ∗ .
(d) Ist Y ein kompakter Raum, so dass X ein Teilraum von Y ist mit |Y \ X| = 1, dann existiert ein Homöomorphismus f : Y → X ∗ mit f |X = idX .
Beweis. Siehe Übungsaufgabe 43.
∼ Rn ], Heine-Borel und der Eindeutigkeits10.21 Beispiel Nach Übungsaufgabe 10(b) [⇔ Sn \ {x} =
n+1
aussage (d) des obigen Satzes ist Sn j R
die Einpunkt-Kompaktifizierung von Rn . Die EinpunktKompaktifizierung von [0,1[ ist [0,1] und die des Zylinders R × S1 ist die 2-Sphäre mit Nord- und Südpol
identifiziert.
39
40
Kapitel 10. Kompaktheit
R
Sfrag replacements
S1
41
Kapitel 11
Homotopie
In diesem Abschnitt wollen wir jedem topologischen Raum X eine Gruppe zuordnen, die beschreibt, welche
wesentlich verschiedenen Wege X zulässt. „Wesentlich verschieden” soll dabei „nicht homotop” im folgenden
Sinn bedeuten.
11.1 Homotopie von Abbildungen Seien X und Y topologische Räume. Eine Homotopie ist eine stetige
Abbildung H : X × [0,1] → Y . Die Homotopie H ist eine Homotopie relativ A ⊂ X, falls die Abbildungen
H(a, ·) : [0,1] → Y konstant sind für alle a ∈ A. Eine Homotopie ist dasselbe wie eine Homotopie relativ 0.
/
Für t ∈ [0,1] seien die Abbildungen Ht := H(·,t) : X → Y definiert.
Stetige Abbildungen f , g : X → Y heißen homotop bzw. homotop relativ A, in Zeichen f ' g bzw. f 'A g,
falls eine Homotopie H bzw. eine Homotopie H relativ A existiert mit H0 = f und H1 = g.
Ein Paar von topologischen Räumen (X, A) ist ein topologischer Raum X zusammen mit einer Teilmenge
A. Eine Abbildung f zwischen Paaren (X, A) und (Y, B) von topologischen Räumen, in Zeichen f : (X, A) →
(Y, B) ist eine Abbildung f : X → Y mit f (A) j B. Für A = 0/ und B = Y ist dies eine Abbildung. Zum Beispiel
ist eine stetige Abbildung w : ([0,1], {0,1}) → (X, {x}) ein Weg in X mit Anfangs- und Endpunkt x.
11.2 Beispiele Besonders von Interesse ist die Homotopie von Wegen, also stetigen Abbildungen des
Einheitsintervalls [0,1] in einen topologischen Raum. Sei w : [0,1] → Rn ein Weg im Rn . Dann ist H : [0,1] ×
[0,1] → Rn , (s,t) 7→ w(s) · t eine Homotopie zwischen dem konstanten Weg H0 mit Wert 0 und w = H1 . In Rn
ist also jeder Weg homotop zu einem konstanten Weg.
Die stetige Abbildung H : [0,1] × [0,1] → Rn , (s,t) 7→ (w(0) · (1 − s) + w(1) · s) · (1 − t) + w(s) · t ist eine
Homotopie zwischen dem Streckenweg H0 von w(0) nach w(1) und w = H1 ; sie ist relativ {0,1}, denn es
gilt H(0,t) = w(0) und H(1,t) = w(1) für alle t ∈ [0,1]; das heißt Anfangs- und Endpunkt des Weges werden
festgehalten.
Anstelle von Rn gelten diese Aussagen auch für eine konvexe Teilmenge von Rn (mit Element 0).
11.3 Satz Seien (X, A) und (Y, B) Paare von topologischen Räumen. Die Relation 'A ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der stetigen Abbildungen f : (X, A) → (Y, B).
Beweis. Seien f , g, h : (X, A) → (Y, B) stetige Abbildungen. Es gilt f 'A f , denn H(x,t) := f (x) ist eine
Homotopie relativ A.
42
Kapitel 11. Homotopie
Gilt f 'A g, so gibt es eine Homotopie H relativ A mit H0 = f und H1 = g. Dann ist (x,t) 7→ H(x,1 − t)
eine Homotopie relativ A, und es folgt g 'A f .
Es bleibt also nur noch die Transitivität zu zeigen: Gelte f 'A g und g 'A h, und seien F und G Homotopien relativ A mit F0 = f , F1= g = G0 , G1 = h. Dann ist
F(x,2t)
für t ≤ 21 und
H : X × [0,1] → Y ; (x,t) 7→
G(x,2t − 1)
für t ≥ 12
wohldefiniert und deswegen nach Satz 4.3.3 stetig. Also ist H eine Homotopie relativ A mit f = F0 = H0 und
h = h1 = H1 .
Die Äquivalenzklasse einer stetigen Abbildung f : (X, A) → (Y, B) bezüglich 'A heißt Homotopieklasse
relativ A und wird mit [ f ] oder genauer [ f ]A bezeichnet. Die Menge all dieser Homotopieklassen wird mit
[(X, A), (Y, B)] bzw. [X,Y ], falls A leer ist, bezeichnet.
11.4 Verkettung von Wegen Sei X ein topologischer Raum, und seien u, v, w : [0,1] → X Wege mit u(1) =
v(0) und v(1) = w(0). Wir definieren einen Weg
v(2t)
für t ≤ 21 ,
v ? w : [0,1] → X, t 7→
w(2t − 1) für t ≥ 2,
dessen Stetigkeit aus Satz 4.4.3 folgt. Ferner sei mit w̄ : [0,1] → X, t 7→ w(1 −t) der zu w umgekehrte Weg
und mit cx : [0,1] → X der konstante Weg mit Wert x ∈ X bezeichnet.
Dann gelten die folgenden Aussagen, wobei alle Homotopien und Homotopieklassen relativ {0,1} seien.
(a) Für eine stetige Umparametrisierung ϕ : [0,1] → [0,1] mit ϕ(0) = 0 und ϕ(1) = 1 sind w und w ◦ ϕ
homotop.
(b) Das Produkt [v][w] = [v ? w] ist wohldefiniert.
(c) Es gilt ([u][v])[w] = [u]([v][w]).
(d) Es gilt [c w(0) ][w] = [w] = [w][c w(1) ].
(e) Es gelten [w][w̄] = [c w(0) ] und [w̄][w] = [c w(1) ].
Beweis. (a) H : [0,1] × [0,1] → X, (s,t) 7→ w((1 −t)s +tϕ(s)) ist eine Homotopie relativ {0,1} mit H0 = w
und H1 = w ◦ ϕ.
(b) Homotopien lassen sich ebenso wie Wege verketten: Sind
F, G : [0,1] × [0,1] → 1X Homotopien mit
F(2s,t)
für s ≤ 2
F(1,·) = G(0,·), so ist F ? G : [0,1] × [0,1] → X, (s,t) 7→
eine Homotopie,
G(2s − 1,t) für s ≥ 21
und es gilt Ft ? Gt = (F ? G)t für alle t ∈ [0,1]. Sind F und G Homotopien relativ {0,1}, so gilt dies auch
für F ? G. Es folgt [F0 ? G0 ] = [(F ? G)0 ] = [(F ? G)1 ] = [F1 ? G1 ].

2t
für 0 ≤ t ≤ 41 ,

1
(c) Für die Umparametrisierung ϕ : [0,1] → [0,1], t 7→
t+4
für 41 ≤ t ≤ 21 , gilt für t ∈ [0,1]:

(t + 1)/2 für 12 ≤ t ≤ 1,


0 ≤ t ≤ 41 ,
u(2ϕ(t)),
0 ≤ ϕ(t) ≤ 12 ,
 u(2(2t)),

1
1
1
3
((u ? v) ? w)(t) =
v(2(2t) − 1)), 4 ≤ t ≤ 2 , =
v(2(2ϕ(t) − 1)),
2 ≤ ϕ(t) ≤ 4 , = (u ?


1
3
w(2t − 1),
w(2(2ϕ(t) − 1) − 1), 4 ≤ ϕ(t) ≤ 1
2 ≤t ≤1
(v ? w))(ϕ(t)).
Nach (a) gilt also ([u][v])[w] = [(u ? v) ? w] = [u ? (v ? w)] = [u]([v][w]).
(d) Wieder gilt c w(0) ? w = w ◦ ϕ und w ? c w(1) = w ◦ ψ für geeignete Umparametrisierungen ϕ und ψ und
die Behauptung folgt mit (a).
11.5. Die Fundamentalgruppe
2t
für t ≤ 21 und,
und H : [0,1] × [0,1] → X,
2 − 2t
für t ≥ 12
(s,t) 7→ w(tϕ(s)) ist eine Homotopie relativ {0,1} von cw (0) nach w ◦ ϕ = w ? w̄. Wegen w̄ = w liefert
Vertauschen von w und w̄ die zweite Behauptung.
(e) Es gilt w ? w̄ = w ◦ ϕ für ϕ : [0,1] → [0,1], t 7→
11.5 Die Fundamentalgruppe Sei X ein topologischer Raum und x ∈ X. Die Fundamentalgruppe
π1 (X, x) von X mit Basispunkt x ist die Menge [([0,1], {0,1}), (X, {x})] aller Homotopieklassen relativ {0,1}
von Wegen mit gleichen Anfangs- und Endpunkt x zusammen mit der Verknüpfung [v][w] = [v ? w] gemäß
11.4. Nach 11.4 ist die Verknüpfung wohldefiniert und assoziativ, ferner ist [cx ] ein Neutralelement und
[w]−1 = [w̄] ein Inverses zu [w] ∈ π1 (X, x). Also ist π1 (X, x) eine Gruppe.
11.6 Satz und Definition Sei X ein topologischer Raum und w : [0,1] → X ein Weg. Die Abbildung hw :
π1 (X, w(0)) → π1 (X, w(1)), [u] 7→ [w̄ ? u ? w] ist ein Gruppenisomorphismus. Insbesondere hängt bei einem
wegzusammenhängenden Raum der Isomorphietyp von π1 (X, x) nicht von x ∈ X ab, und wir schreiben dann
auch π(X).
Ein wegzusammenhängender Raum mit trivialer Fundamentalgruppe heißt einfach-zusammenhängend
Beweis. Die Abbildung hw ist nach 11.4(b) wohldefiniert und ein Gruppenhomomorphismus, denn
für [u], [v] ∈ π1 (X, w(0)) gilt: hw ([u][v]) = [w̄][u][v][w] = [w̄][u][c w(0) ][v][w] = ([w̄][u][w])([w̄][v][w]) =
hw ([u])hw ([v]) nach 11.4.
Wegen hw̄ ◦ hw = id π1 (X,w(0)) ist sie sogar ein Isomorphismus.
11.7 Beispiele (Ohne Beweis, zum Teil später).
Im Folgenden ist der Basispunkt in der Notation weggelassen, siehe 11.6.
1. Ist X = Rn oder allgemeiner X j Rn konvex, so gilt π1 (X) = {1}.
2. π1 (S1 ) ∼
= Z.
3. π1 (Sn ) = {1} für n ≥ 2.
4. π1 (Rn \ {0}) = {1} für n ≥ 3.
5. π1 (S1 × S1 ) ∼
= Z×Z
6. π1 (P2 ) = Z/2Z
7. π1 (C \ {0,1}) ∼
= π1 (S1 ∪ (S1 + (2,0))) ist isomorph zur freien Gruppe mit 2 Erzeugern
8. Jede Gruppe ist Fundamentalgruppe eines wegzusammenhängenden 2-dimensionalen im Allgemeinen
unendlichen CW-Komplexes, siehe 4.6.9 und Spanier 3.8.11.
11.8 Funktorialität der Fundamentalgruppe Sei nun Y ein weiterer topologischer Raum und f : X → Y
eine stetige Abbildung. Wir betrachten die Abbildung f] : π1 (X, x) → π1 (Y, f (x)), [w] 7→ [ f ◦ w]. Zunächst
ist f] wohldefiniert, denn für eine Homotopie H : [0,1] × [0,1] → X ist auch f ◦ H eine Homotopie. Es gilt
f] ([cx ]) = [ f ◦ cx ] = [c f (x) ] und f] ([v][w]) = f] ([v ? w]) = [ f ◦ (v ? w)] = [( f ◦ v) ? ( f ◦ w)] = [ f ◦ v][ f ◦ w] =
f] ([v]) f] ([w]) für [v], [w] ∈ π1 (X, x). Also ist f] ein Gruppenhomomorphismus.
f
(X, {x}) −−−−−→


π1 y
(Y, {y})

π
y 1
Außerdem rechnet
man leicht
nach, dass (g ◦ f )] = g] ◦ f] gilt für eine weitere stetige Abbildung g : Y → Z
f]
π
x)
−
−
−
−
−
→
Y,
f
(x)
1 (X,
1
undπ(id
)
=
id
gilt.
X ]
π1 (X,x)
Diese Eigenschaft besagt, dass π1 ein Funktor von der Kategorie der topologischen Paare (X, {x}) und
stetigen Abbildungen zwischen solchen Paaren in die Kategorie der Gruppen und Gruppen-Homomorphismen
ist. Eine Kategorie besteht immer aus den Objekten einer mathematischen Struktur zusammen mit denen diese
Struktur respektierenden Abbildungen; also zum Beispiel bilden die Vektorräume zusammen mit den linearen
Abbildungen eine Kategorie.
43
44
Kapitel 11. Homotopie
11.9 Satz über Homotopie-Invarianz
relativ {x} gegeben. Dann gilt f] = g] .
Seien homotope stetige Abbildungen f , g : (X, {x}) → (Y, {y})
Beweis. Sei H : X × [0,1] → Y eine Homotopie relativ {x} mit H0 = f und H1 = g und [w] ∈ π1 (X, x). Dann
ist (s,t) 7→ H(w(s),t) eine Homotopie relativ {0,1} von f ◦ w nach g ◦ w. Also gilt f] ([w]) = [ f ◦ w] = [g ◦ w] =
g] ([w]).
11.10 Homotopie-Äquivalenz von Räumen Paare von topologischen Räumen (X, A) und (Y, B) heißen
homotopie-äquivalent, in Zeichen (X, A) ' (Y, B), wenn es Homotopie-Äquivalenzen, das heißt stetige Abbildungen f : (X, A) → (Y, B) und g : (Y, B) → (X, A) gibt, so dass g ◦ f 'A idX und f ◦ g 'B idY gilt. (Beachte,
dass dann A und B homöomorph sind; offensichtlich sind homöomorphe Räume X und Y auch homotopieäquivalent; die Relation ' zwischen Raumpaaren ist eine Äquivalenzrelation, da dieses für 'A gilt.)
Eine topologischer Raum X heißt kontrahierbar, wenn es eine Kontraktion, also eine Homotopie H :
X × [0,1] → X gibt, so dass H0 = idX gilt und H1 eine konstante Abbildung ist. Der Raum heißt kontrahierbar
relativ x ∈ X, wenn es eine solche Homotopie relativ zu {x} gibt (dann hat die konstante Abbildung H1 den
Wert x).
Man überlegt sich leicht, dass X genau dann kontrahierbar ist, wenn X homotopie-äquivalent zu einem
einelementigen Raum ist.
Der Raum K := ([0,1] × {0}) ∪ 0, 11 , 12 , 31 , 14 , . . . × [0,1] j R2 ist kontrahierbar relativ (0,0) vermöge
(x, y(1 − 2t)) für t ≤ 21 ,
der Homotopie K × [0,1] → K, ((x, y),t) 7→
(x(2 − 2t),0) für t ≥ 12 .
Man kann zeigen, dass jede Kontraktion von K mindestens die Punkte der Menge {0}×]0,1] bewegt; es
gibt also zum Beispiel keine Kontraktion relativ (0,1). Siehe Übungsaufgabe 47.
11.11 Satz Sind (X, {x}) und (Y, {y}) Paare von homotopie-äquivalenten topologischen Räumen, so sind
π1 (X, x) und π1 (Y, y) isomorph, ein Isomorphismus ist durch f] für eine Homotopie-Äquivalenz f : (X, {x}) →
(Y, {y}) gegeben. Insbesondere sind kontrahierbare Räume einfach zusammenhängend.
Beweis. Seien f , g Homotopie-Äquivalenzen wie in 11.10. Wegen g ◦ f '{x} idX und f ◦ g '{y} idY folgt
g] ◦ f] = (g ◦ f )] = (idX )] = id π1 (X,x)) und f] ◦ g] = id π1 (Y,y) nach Satz 11.9. Also ist f] ein GruppenIsomorphismus.
Für kontrahierbare Räume X relativ {x} folgt also π1 (X, {x}) ∼
= π1 ({x}, {x}) = {1}. Sei nun H : X ×
[0,1] → X eine Kontraktion, also H0 = idX und H1 konstant y ∈ X. Dann ist wz = H(z, ·) ein Weg von z nach y
für z ∈ X und wz ? w̄z0 ein Weg von z nach z0 ∈ X. Also ist X wegzusammenhängend und damit nach Satz 11.6
einfach zusammenhängend.
Der Satz gilt auch in einer nicht-relativen Version (ohne Basispunkte), siehe Bredon.
11.12 Beispiele Jede konvexe Teilmenge von Rn ist kontrahierbar, also einfach zusammenhängend.
Die Räume Rn \ {0} und Sn−1 sind homotopie-äquivalent und haben somit isomorphe Fundamentalgrupx
, g : Sn−1 → Rn \ {0}, x 7→ x und H : (Rn \ {0}) × [0,1] → Rn \ {0},
pen: Definiere f : Rn \ {0} → Sn−1 , x 7→ |x|
(x,t) 7→ x(t + |x|(1 − t))−1 . Dann gilt g ◦ f = H0 und H1 = id Rn \{0} sowie f ◦ g = idSn−1 , also gilt g ◦ f 'Sn−1
id Rn \{0} und f ◦ g 'Sn−1 idSn−1 .
Der folgende Satz impliziert, dass Sn einfach zusammenhängend ist für n ≥ 2. Zunächst ein Lemma.
11.13 Lebesgue-Lemma Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum und U eine Überdeckung von offenen Mengen von X. Dann gibt es eine Lebesgue-Zahl δ > 0, so dass für jede nicht-leere Teilmenge A von X
mit Durchmesser sup d(A × A) < δ ein U ∈ U existiert mit A j U.
Beweis. Für jedes x ∈ XSexistiert εx > 0 und ein Ux ∈ U , so dass B2εx (x) j Ux . Da X kompakt ist, existieren
x1 , . . . , xn ∈ X mit X = ni=1 Bεxi (xi ). Sei A j X nicht-leer mit sup d(A × A) < δ := min{εx1 , . . . , εxn }. Wähle
a ∈ A und xi mit d(a, xi ) < εxi . Für y ∈ A gilt dann d(yi , xi ) ≤ d(y, a) + d(a, xi ) < δ + εxi ≤ 2εxi . Also A j
B2εxi (xi ) j Uxi .
11.14. Satz
11.14 Satz Seien U und V offene Teilmengen eines topologischen Raumes X mit X = U ∪ V . Sei U ∩ V
wegzusammenhängend und x ∈ U ∩ V . Seien ferner i und j die Inklusionsabbildungen von U bzw. V in X.
Dann erzeugen die Bilder von i] : π1 (U, x) → π1 (X, x) und j] : π1 (V, x) → π1 (X, x) die Gruppe π1 (X, x).
PSfrag replacements
V
U
u2
u1
x
u5
w
u4
u3
Beweis.
Sei [w] ∈ π1 (X, x). Wir müssen zeigen, dass [w] ein endliches Produkt von Elementen aus i] (π1 (U, x))
und j] (π1 (V, x)) ist, also von Homotopieklassen von Wegen, die ganz in U oder ganz in V verlaufen. Da
{w−1 (U), w−1 (V )} eine offene Überdeckung von [0,1] ist, existieren nach dem Lebesgue-Lemma a0 = 0 <
a1 < · · · < an−1 < an = 1, so dass w([ai−1 , ai ]) in U oder in V liegt für alle i = 1,. . . , n. Wählen wir n minimal
mit dieser Eigenschaft, so liegen für jedes i = 1,. . . , n − 1 nicht beide Mengen w([ai−1 , ai ]) und w([ai , ai+1 ])
in U und nicht beide in V . Es folgt w(ai ) ∈ U ∩V für alle i = 0,. . . , n.
Wir definieren nun wi : [0,1] → X, t 7→ w((ai − ai−1 )t + ai−1 ) für i = 1,. . . , n und schalten (· · · ((w1 ? w2 ) ?
w3 ) · · · ) ? wn '{0,1} w nach 11.4(a). Da U ∩V wegzusammenhängend ist, können wir für i = 1,. . . , n − 1 Wege
ui mit ui (0) = x und ui (1) = w(ai ) wählen, und Wege v1 := w1 ?u1 , vn := un−1 ?wn und vi := (ui−1 ?wi )?ui , die
in U oder in V liegen. Es folgt [v1 ][v2 ] · · · [vn ] = ([w1 ][u1 ])([u1 ][w2 ][u2 ]) · · · ([un−2 ][wn−1 ][un−1 ])([un−1 ][wn ]) =
[w1 ] · · · [wn ] = [w].
11.15
Korollar Für n ≥ 2 ist Sn einfach-zusammenhängend.
Beweis. Seien x, y, z drei Punkte von Sn . Dann sind U := Sn \ {y} und V := Sn \ {z} homöomorph zu Rn nach
Übungsaufgabe 10(b) und somit kontrahierbar und einfach-zusammenhängend nach Satz 11.11. Ferner ist
U ∩V nach Übungsaufgabe 32 zusammenhängend und damit nach Satz 9.14 wegzusammenhängend. Mit den
Bezeichnungen aus Satz 11.14 folgt π1 (Sn ) ∼
= π1 (U ∩V, x) = hi] (π1 (U, x)) ∪ j] (π1 (V, x))i = h1i = {1}.
Indem man in C für U die offene Halbebene rechts von der imaginären Achse iR vermindert um 1 und für
V diejenige links von iR + 1 vermindert um 0 wählt, folgt aus Satz 11.14 auch, dass π1 (C \ {0,1}) von zwei
Elementen erzeugt wird, denn die Fundamentalgruppe einer gelochten (Halb-) Ebene ist isomorph zu Z wie
wir im nächsten Abschnitt sehen werden.
V
iR
U
ag replacements
Um zu zeigen, dass π1 (C \ {0,1}) isomorph zur freien Gruppe in zwei Erzeugenden ist, muss man zeigen,
dass zwischen diesen beiden Erzeugenden keine Relationen bestehen. Dies folgt hier daraus, dass die Fundamentalgruppe des Streifens U ∩ V ≈ R2 trivial ist. Der Satz von Seifert-van Kampen ist eine weitreichende
Verallgemeinerung von Satz 11.14. Er gibt Auskunft darüber wie sich die Fundamentalgruppe von X = U ∪V
aus der Fundamentalgruppe von U,V und U ∩V bestimmen lässt, siehe Munkres 11.70.1 oder Bredon III.9.4.
45
47
Kapitel 12
Überlagerungen
Wir haben bisher noch nicht die Fundamentalgruppe von S1 berechnet. Hierfür ist die Abbildung p : R →
S1 j C, t 7→ e2πit = cos(2πt) + i sin(2πt) von Bedeutung. Für r ∈ R ist R \ (Z + r) die disjunkte Vereinigung
der offenen Intervalle ]s, s + 1[ für s ∈ Z + r und p :]s, s + 1[→ S1 \ {p(r)} ist ein Homöomorphismus. Dies
bedeutet, dass p eine Überlagerung in folgendem Sinne ist.
Ŷ
ag replacements
Sfrag replacements
Ŵ
p
Y
W
12.1 Definition Seien Ŷ und Y topologische Räume und p : Ŷ → Y eine stetige Abbildung.
Eine offene Teilmenge W von Y heißt diskret überlagert,
wenn es eine Menge Wˆ von paarweise disjunkten
S
−1
ˆ
offenen Teilmengen von Ŷ gibt, so dass p (W ) = W gilt und p|Ŵ : Ŵ → W ein Homöomorphismus ist für
jedes Ŵ ∈ Wˆ . (Dies bedeutet p−1 (W ) ∼
= W × D für einen diskreten Raum D).
Eine Überlagerung mit Totalraum Ŷ und Basisraum Y ist eine stetige Surjektion p : Ŷ → Y , so dass Y von
diskret überlagerten Teilmengen überdeckt wird; gibt es k ∈ N mit |p−1 (y)| = k für alle y ∈ Y , so spricht man
von einer k-fachen Überlagerung.
Für einen weiteren topologischen Raum X und eine stetige Abbildung f : X → Y ist eine Hochhebung von
f eine stetige Abbildung fˆ : X → Ŷ mit p ◦ fˆ = f .
12.2
Beispiele
(a) Für jeden topologischen Raum und jeden diskreten Raum D ist die Projektionsabbildung X × D →
X, (x, d) 7→ x eine Überlagerung.
(b) Die Abbildung R → S1 j C, t 7→ e2πit ist eine Überlagerung; ebenso C → C \ {0}, z 7→ e2πiz . Sie sind
auch Gruppenhomomorphismen.
(c) Die Abbildung p : Sn → Pn , x 7→ xR ist eine zweifache Überlagerung.
x
Sn
xR ∈ P2
48
Kapitel 12. Überlagerungen
(d) Sei G eine endliche Gruppe von Homöomorphismen eines Hausdorff-Raums X. Die Mengen G(x) =
{g(x) : g ∈ G} für x ∈ X bilden eine Partition X/G := {G(x) : x ∈ X}, und p : X → X/G, x 7→ G(x) ist
eine Überlagerung, wobei X/G die Quotiententopologie trägt. Dann ergibt sich Beispiel (c) für X = Sn
und G = {idSn , − idSn }. Sei G die Symmetriegruppe des Dodekaeders und X ∼
= S2 seine Oberfläche.
Dann ist X → X/G eine 120-fache Überlagerung.
12.3 Homotopie-Hochhebungssatz Sei p : Ŷ → Y eine Überlagerung, F : X × [0,1] → Y eine Homotopie
und fˆ : X × {0} → Ŷ eine Hochhebung von F| X×{0} . Dann existiert eine eindeutige Hochhebung F̂ : X ×
[0,1] → Ŷ mit F̂| X×{0} = fˆ.
Beweis. Wir zeigen zunächst folgende Aussage:
1. Zu jeder offenen Überdeckung von X × [0,1] und jedem x ∈ X gibt es eine Umgebung U j X von x und
0 = a0 < a1 < · · · < an−1 < an = 1, so dass jedes U × [ai−1 , ai ] in einem Überdeckungselement liegt.
Das Kompaktum {x} × [0,1] wird von offenen Mengen U1 × V1 , . . . ,UK × VK , die in Überdeckungselementen enthalten sind, überdeckt. Nach dem Lebesgue-Lemma existieren a0 = 0 < a1 < · · · < an−1 < an = 1,
so dass [ai−1 , ai ] in einem V j enthalten ist. Für U = U1 ∩ · · · ∩UK ist dann 1 erfüllt.
Ŷ
Sfrag replacements
Wˆ
fˆ
p
F(U 0 , ai−1 )
F(U 0 , [ai−1 , ai ])
X
U
U0
f
Wi
Y
Sei x ∈ X. Nach 1 gibt es eine Umgebung U von x und a0 = 0 < a1 < · · · < an−1 < an = 1, so dass jedes
F(U × [ai−1 , ai ]) j Wi für eine diskret überlagerte Teilmenge Wi j Y . Wir nehmen an, dass F̂ auf U × [0,ai−1 ]
schon eindeutig definiert
ist. Sei nun Wˆ eine Menge von offenen paarweise disjunkten Teilmengen von Ŷ ,
S
so dass p−1 (Wi ) = Wˆ und p|Ŵ : Ŵ → Wi ein Homöomorphismus ist für alle Ŵ ∈ Wˆ . Für Ŵ ∈ Wˆ ist
−1
U 0 := F̂(·, ai−1 )|U
(Ŵ ) offen in U. Es gilt F̂(U 0 , ai−1 ) j Ŵ . Wir setzen F̂ auf U 0 × [0,ai ] durch (p|Ŵ )−1 ◦
F| U 0 ×[ai−1 ,ai ] fort. Dann ist dort F̂ stetig, denn p|Ŵ : Ŵ → Wi ist ein Homöomorphismus, und es gilt p ◦ F̂ = F.
Da die Ŵ eine disjunkte Überdeckung von p−1 (Wi ) bilden, bilden die U 0 eine disjunkte Überdeckung von U,
und wir haben F̂ auf U × [0,ai ] fortgesetzt.
Zum Nachweis der Eindeutigkeit sei wieder U 0 wie oben. Da F̂(U 0 , ai−1 ) j Ŵ , F̂(u, [ai−1 , ai ]) zusammenhängend für alle u ∈ U 0 und die Ŵ eine offene Überdeckung, folgt F̂(u, [ai−1 , ai ]) j Ŵ und somit ist
F̂(u,t) = (p|Ŵ )−1 (F(u,t)) für (u,t) +U 0 × [ai−1 , ai ].
Per Induktion folgt also, dass F̂ stetig und eindeutig ist auf U × [0,1] und somit auch auf X × [0,1], da X
von diesen Mengen U überdeckt wird.
12.4
Korollar: Weg-Hochhebungssatz
Sei p : Ŷ → Y eine Überlagerung und ŷ ∈ Ŷ .
(a) Ist w : [0,1] → Y ein Weg mit Anfangspunkt w(0) = p(ŷ), dann gibt es genau eine Hochhebung ŵ :
[0,1] → Ŷ von w mit ŵ(0) = ŷ.
(b) Ist v ein zweiter solcher Weg, v̂ seine Hochhebung gemäß (a) und gilt v '{0,1} w, so gilt v̂(1) = ŵ(1)
und v̂ '{0,1} ŵ.
Beweis. Behauptung (a) folgt aus dem Homotopie-Hochhebungssatz für X = {x} und (b) für X = [0,1].
ag replacements
12.5. Operation auf einer Faser
12.5 Operation auf einer Faser Sei p : X̂ → X eine Überlagerung, x̂ ∈ X̂ und x := p(x̂). Die Abbildung
ϕx̂ : π1 (X, x) → p−1 (x), [w] 7→ ŵ(1), wobei ŵ die Hochhebung von w mit ŵ(0) = x̂, ist wohldefiniert wegen
12.4(b) und es gelten die folgenden Aussagen.
(a) Ist X̂ wegzusammenhängend, so ist ϕx̂ surjektiv.
(b) Ist X̂ einfach-zusammenhängend, so ist ϕx̂ bijektiv.
Beweis. (a) Sei ŷ ∈ p−1 (x) und ŵ ein Weg von x̂ nach ŷ in X̂. Dann ist p ◦ ŵ ein Weg mit Anfangspunkt
und Endpunkt x und seine eindeutige Hochhebung mit Anfangspunkt x̂ ist ŵ. Also folgt ϕx̂ ([p ◦ ŵ]) =
ŵ(1) = ŷ.
(b) Sei [v], [w] ∈ π1 (X, x) mit ϕx̂ ([v]) = ϕx̂ ([w]). Dann gilt v̂(1) = ŵ(1) für Hochhebungen v̂ und ŵ von v
bzw. w mit Anfangspunkt x̂. Nach Voraussetzung gilt v̂ ? ŵ '{0,1} cx̂ , also sind v̂ und ŵ homotop relativ
{0,1} nach Übungsaufgabe 50. Für eine Homotopie H liefert p ◦ H eine Homotopie zwischen v und w,
und es folgt [v] = [w].
12.6
Beispiele
(a) Ist p : X̂ → X eine Überlagerung, X̂ wegzusammenhängend und X einfach-zusammenhängend, so ist
p eine einfache Überlagerung nach 12.5(a); also ein Homöomorphismus. Insbesondere haben einfachzusammenhängende Räume keine "echten" Überlagerungen. Dies gilt zum Beispiel für Sn für n ≥ 2.
Andererseits ist die Kreislinie S1 nicht einfach-zusammenhängend, denn sie überlagert sich selbst nicht
trivial, z.B. durch z 7→ z2 .
(b) Die Abbildung p : Sn → Pn , x 7→ xR ist eine zweifache Überlagerung und für n ≥ 2 ist Sn einfach
zusammenhängend nach Korollar 11.15. Also ist für n ≥ 2 nach 12.5(b) die Fundamentalgruppe von
Pn zweielementig und damit isomorph zur zyklischen Gruppe Z/2Z. Insbesondere sind Sn und Pn nicht
homöomorph. Andererseits gilt π1 (P1 ) ∼
= π1 (S1 ) ∼
= Z wegen S1 ∼
= P1 ([0,1] → P1 , t 7→ eπit R ist eine
identifizierende Abbildung, die 0 und 1 identifiziert).
12.7 Satz Seien Ĝ und G topologische Gruppen mit Einselementen ê bzw. e, und sei p : Ĝ → G ein
Gruppen-Homomorphismus, der eine Überlagerung ist. Wenn Ĝ einfach-zusammenhängend ist, dann gilt
π1 (G, e) ∼
= p−1 (e) und ein Gruppen-Isomorphismus ist durch ϕê wie in 12.5 gegeben.
Beweis. Nach 12.5(b) ist ϕê : π(G, e) → p−1 (e) bijektiv. Seien [v], [w] ∈ π1 (G, e) und seien v̂ und ŵ die
Hochhebungen von v bzw. w mit v̂(0) = ŵ(0) = e. Dann ist ŵ∗ : [0,1] → Ĝ, t 7→ v̂(1) · ŵ(t) die Hochhebung
von w mit Anfangspunkt v̂(1), denn es gilt p(ŵ∗ (t)) = p(v̂(1) ◦ ŵ(t)) = p(v̂(1)) · p(ŵ(t)) = v(1) · w(t) =
e · w(t) = w(t).
6π
ŵ∗
w
v
v̂
2π
ŵ
4π
R
Also ist v̂ ? ŵ∗ die Hochhebung von v ? w mit Anfangspunkt ê, und wir haben ϕê ([v][w]) = ϕê ([v ? w]) =
(v̂ ? ŵ∗ )(1) = ŵ∗ (1) = v̂(1) · ŵ(1) = ϕê ([v]) · ϕê ([w]).
12.8
Korollar Es gilt π1 (S1 ) ∼
=Z∼
= π(C \ {0}).
Beweis. Die Abbildungen p : C → C \ {0}, z 7→ e2πiz und p|R : R → S1 sind Gruppen-Homomorphismen und
Überlagerungen, und C ∼
= R2 und R sind einfach-zusammenhängend. Also sind beide Gruppen π1 (S1 ) und
π1 (C \ {0}) homöomorph zu p−1 (1) = Z.
49
50
Kapitel 12. Überlagerungen
12.9 Beispiel Wir wollen π1 (S1 ,1) noch konkreter beschreiben und damit f] für f : S1 → S1 , z 7→ zn mit n ∈
Z bestimmen. Für k ∈ Z sei der Weg ŵk : [0,1] → R, t 7→ tk und die Homotopieklasse k̄ := [p ◦ ŵk ] ∈ π1 (S1 ,1)
definiert. Dann gilt ϕ0 (k̄) = ŵk (1) = k, da ŵk die Hochhebung von p ◦ ŵk mit Anfangspunkt 0 ist. Also ist
¯· : Z → π1 (S1 ,1) die Umkehrabbildung von ϕ0 . Nun gilt f] (1̄) = f] ([p ◦ ŵ1 ]) = [ f ◦ p ◦ ŵ1 ] = [p ◦ ŵn ] = n̄, denn
es gilt f (p(ŵ1 (t))) = (e2πit )n = e2πitn = p(ŵn (t)). Also folgt f] (k̄) = f] (1̄k ) = f] (1̄)k = n̄k = kn, das heißt f]
entspricht dem Multiplizieren mit n und ist insbesondere injektiv. Dies liefert die folgende Anwendung.
12.10
Fundamentalsatz der Algebra
Jedes Polynom über C hat eine Nullstelle.
Beweis. Sei g = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ein Polynom über C. Wir nehmen an, dass g keine Nullstellen
n g((1−t)z/t)
g(1−t)z/t
hat. Dann ist F : S1 × [0,1] → S1 , (z,t) 7→ |g((1−t)z/t)|
= |ttn g((1−t)z/t)|
stetig (auch bei 0, denn t n g((1 − t)z/t) =
(1 − t)n zn + an−1 (1 − t)n−1tzn−1 + · · · + a1 (1 − t)t n−1 z + a0t n . Ferner gilt F(z,0) = zn =: f (z) und F(z,1) =
g(0)
−1 eine Homotopie relativ 1 ∈ S zwischen f und der
1
|g(0)| , also ist H : S1 × [0,1] → S1 , (z,t) 7→ F(z,t)F(1,t)
konstanten Abbildung mit Wert 1. Im Widerspruch zu Beispiel 12.9 würde dies implizieren, dass f] konstant
ist.
12.11
Beispiel. Als weitere Anwendung des Weg-Hochhebungssatzes zeigen wir, dass π1 (X,1) für X := S1 ∪ (S1 +
2) j C nicht abelsch ist, also insbesondere X nicht homöomorph zu S1 ist: Sei p die durch folgendes Bild
angedeutete dreifache Überlagerung
(Hier Bild fehlen tut)
Dabei werden die Teilmengen Ai auf A und Bi auf B entsprechend der Pfeilrichtungen und x̂i auf x für
i = 1,. . . ,3 abgebildet.
Seien α̂ und β̂ die Hochhebungen mit Anfangspunkt x̂2 von v ? w bzw. w ? v. Dann gilt α̂(1) = x̂3 und
β̂ (1) = x̂1 , also sind v ? w und w ? v nach dem Weg-Hochhebungssatz 12.4 nicht homotop und π1 (A ∪ B) ist
somit nicht abelsch. (v ? w 6'{0,1} w ? v =⇒ [v][w] = [v ? w] 6= [w ? v = [w][v]).
12.12 Retraktionen Sei X ein topologischer Raum, A j X und a ∈ A. Sei r : X → A eine Retraktion, das
heißt eine stetige Abbbildung mit r|A = idA . Ist ι : A ,→ X die Einbettungsabbildung, so gilt r ◦ ι = idA , und
somit r] ◦ ι] = (idA )] = id π1 (A,a) . Also ist ι] : π1 (A, a) → π1 (X, a) injektiv und somit π1 (A, a) isomorph zu
einer Untergruppe von π1 (X, a). Ist also zum Beispiel X einfach-zusammenhängend, so auch A. Wir haben
also folgenden Satz für n = 2 bewiesen.
12.13
Satz. Es gibt keine Retraktion Dn → Sn−1 für n ∈ N.
Für n = 1 folgt der Satz, da D1 zusammenhängend ist, S0 aber nicht. Für n > 2 könnte man ganz analog mit
einem Funktor πn−1 mit der Eigenschaft πn−1 (Sn−1 ) ∼
= Z argumentieren. Solche höheren Homotopiegruppen
lassen sich tatsächlich konstruieren und zwar auf der Menge [([0,1]n , ∂ [0,1]n , (X, x)], siehe Bredon II.16.4.
12.14
Fixpunktsatz von Brouwer
Jede stetige Abbildung Dn → Dn hat einen Fixpunkt.
Beweis. (nur für n 6 2). Angenommen, es gibt eine stetige Abbildung f : Dn → Dn ohne Fixpunkte. Dann
existiert zu jedem x ∈ Dn genau ein t(x) ∈ [0,∞[ mit |t(x)(x − f (x)) + x| = 1 (siehe 10.15). Diese Abbildung
t ist stetig (Übung), also ist auch Dn → Sn−1 , x 7→ t(x)(x − f (x)) + x stetig und somit eine Retraktion im
Widerspruch zu 12.13 (nur für n 6 2 bewiesen).
(Hier Bild fehlen tut)
Der folgende Satz ist eine Verschärfung von 12.5
12.15.
51
12.15
Satz. Für eine Überlagerung p : X̂ → X mit p(X̂) = X gelten folgende Aussagen:
1. Die Abbildung p] : π1 (X̂, x̂) → π1 (X, x) ist ein Monomorphismus.
2. Die Abbildung Φx̂ : π1 (X, x)/p] (π1 (X̂, x̂)) → p−1 (x), p] (π1 (X̂, x̂))[w] 7→ ϕx̂ ([x]) ist eine wohldefinierte
Bijektion der Rechtsnebenklassen von p] (π1 (X̂, x̂)) in π1 (X, x) und der Faser p−1 (x).
Beweis. Siehe Munkres 54.6
12.16
Beispiel. Im Falle der n-fachen Überlagerung p : S1 → S1 , z 7→ zn hatten wir schon gesehen (Beispiel 12.9),
dass der Definitionsbereich von Φ1 die Faktorgruppe Z/nZ ist. Ferner ist Φ1 ein Gruppenisomorphismus auf
k
die Gruppe der n-ten Einheitswurzeln {e2πi n | k = 1,. . . , n}.
12.17 Hochhebungssatz (Hier Bild fehlen tut)
Sei p : Ŷ → Y eine Überlagerung mit p(ŷ) = y. Sei X ein wegzusammenhängender und lokal wegzusammenhängender topologischer Raum und f : (X, x) → (Y, y) stetig. Dann gibt es eine Hochhebung
fˆ : (X, x) → (Ŷ , ŷ) von f genau dann, wenn f] (π1 (X, x)) j p] (π1 (Y, y)) gilt. In dem Fall ist fˆ eindeutig.
Beweis. Wir nehmen an, dass es ein fˆ wie im Satz gibt. Da X wegzusammenhängend ist, ist fˆ eindeutig,
denn für einen Weg w in X mit Anfangspunkt x ist fˆ ◦ w der eindeutige Hochhebungsweg von f ◦ w mit
Anfangspunkt ŷ. Also ist fˆ(w(1)) eindeutig bestimmt. Ferner folgt f] = p] ◦ fˆ] aus f = p ◦ fˆ und wir haben
f] (π1 (X, x)) = p] ( fˆ] (π1 (X, x))) j p] (π1 (Ŷ , ŷ)).
Sei nun diese Bedingung gegeben. Wir wissen schon aus dem Eindeutigkeitsbeweis, wie wir fˆ konstruieren müssen. Sei also x0 ∈ X und w ein Weg von x nach x0 und ŵ die Hochhebung von f ◦ w mit Anfangspunkt
ŷ, siehe 12.4. Setze fˆ(x) := ŵ(1). Wir zeigen zunächst, dass diese Definition nicht von w abhängt. Seien also
v und v̂ ebenso gewählt. Dann liegt nach Voraussetzung die Homotopieklasse von f ◦ (v ? w̄) in p] (π1 (Ŷ , ŷ)),
also ist die Hochhebung dieses Weges nach Satz 12.15(b) auch ein Weg mit gleichem Anfangs- und Endpunkt
ŷ. Also ist v̂ ? ŵ diese Hochhebung, und somit haben v̂ und ŵ den gleichen Endpunkt.
11.02.04
Wir müssen noch die Stetigkeit von fˆ zeigen. Sei u ∈ X. Wähle eine diskret überlagerte Teilmenge W von
f (u), das Element Ŵ der paarweise disjunkten offenen Überdeckungen von p−1 (W ) mit fˆ(u) ∈ Ŵ und eine
wegzusammenhängende Umgebung U von u mit f (U) j W . Sei nun u0 ∈ U, v ein Weg von x nach u und w
ein Weg von u nach u0 . Dann ist die Hochhebung von f ◦ (v ? w) mit Anfangspunkt ŷ durch v̂ ? ((p|Ŵ )−1 ◦ w)
gegeben, wobei v̂ die Hochhebung von f ◦ v mit Anfangspunkt ŷ ist. Also gilt fˆ|U = (p|Ŵ )−1 ◦ f |U und somit
ist fˆ auf der offenen Menge U und damit auf ganz X stetig.
12.18
Beispiel. Jede stetige Abbildung f : Sn → S1 für n > 1 ist homotop zu einer konstanten Abbildung: Für eine
Überlagerung p : R → S1 lässt sich f zu fˆ hochheben, und diese Abbildung ist homotop zu einer konstanten
Abbildung, da R kontrahierbar ist. Durch Abbilden der Homotopie mit p erhält man eine Homotopie für f .
12.19
Definition. Wir wollen jetzt den Standpunkt wechseln und nicht mehr Überlagerungen benutzen, um Fundamentalgruppen zu untersuchen, sondern Überlagerungen selbst zum Gegenstand der Untersuchung machen.
Seien pi : X̂i → X für i = 1,2 Überlagerungen; sie heißen isomorph, wenn es einen ÜberlagerungsIsomorphismus, das heißt einen Homöomorphismus p : X̂1 → X̂2 gibt mit p1 = p2 ◦ p, man sagt das folgende
Diagramm kommutiert.
(Hier Bild fehlen tut)
Ein Überlagerungs-Morphismus p ist eine Überlagerung p : X̂1 → X̂2 mit p1 = p2 ◦ p. Es hat sich gezeigt (siehe 12.5(b), 12.15 und am wichtigsten 12.17), dass die charakteristische Untergruppe G(p, x̂) :=
p] (π1 (X̂, x̂)) von π1 (X, p(x)) für x̂ ∈ X̂ eine wichtige Rolle spielt.
52
Kapitel 12. Überlagerungen
12.20 Existenz von Überlagerungs-Morphismen Seien pi : (X̂i , x̂i ) → (X, x) für i = 1,2 Überlagerungen
und die Räume X̂i wegzusammenhängend und lokal zusammenhängend. Dann gibt es einen ÜberlagerungsMorphismus p : (X̂1 , x̂1 ) → (X̂2 , x̂2 ) genau dann, wenn G(p1 , x̂1 ) j G(p2 , x̂2 ), und p ist ein ÜberlagerungsIsomorphismus genau dann, wenn Gleichheit gilt. Ferner ist der Morphismus p eindeutig.
Beweis. Eine Hochhebung p von p1 gibt es nach dem Hochhebungssatz 12.17 genau dann, wenn G(p1 , x̂1 ) j
G(p2 , x̂2 ) gilt. Für X̂1 j X̂2 wählt man offene Umgebungen von p2 (X̂2 ), die sowohl bezüglich p1 als auch p2
diskret überlagert ist; damit sieht man leicht, dass p eine Überlagerung ist. Die Eindeutigkeit folgt aus dem
Hochhebungssatz 12.17.
Ist p ein Überlagerungs-Isomorphismus, so ist sowohl p als auch p−1 ein Überlagerungs-Morphismus,
und es folgt G(p1 , x̂1 ) = G(p2 , x̂2 ). Die Rückrichtung folgt mit einem kategorientheoretischen Argument
durch vierfache Anwendung des Hochhebungssatzes: Gilt G(p1 , x̂1 ) = G(p2 , x̂2 ), so gibt es Hochhebungen
p : (X̂1 , x̂2 ) → (X̂2 , x̂2 ) und p0 : (X̂2 , x̂2 ) → (X̂1 , x̂1 ) und die Hochhebungen p0 ◦ p und p ◦ p0 von idX sind wegen
der Eindeutigkeit identische Abbildungen.
In diesem Satz sind die Basispunkte wichtig: Überlagerungen sind isomorph vermöge p mit nicht notwendig p(x̂1 ) = x̂2 genau dann, wenn die Untergruppen G(p1 , x̂1 ) und G(p2 , x̂2 ) konjugiert sind, das heißt
wenn es ein Gruppenelement g ∈ π1 (X, x) gibt mit g−1 G(p1 , x̂1 )g = G(p2 , x̂2 ), siehe Munkres 79.3 (plausibel
wegen 11.6).
12.21
Beispiel. Nach Beispiel 12.9 kennen wir alle Überlagerungen von S1 , denn die Untergruppen von Z sind
genau die Mengen nZ für n ∈ Z.
12.22 Korollar über universelle Überlagerungen Einfach zusammenhängende Überlagerungsräume
sind universell in folgendem Sinne: Seien pi : (X̂i , x̂i ) → (X, x) Überlagerungen für i = 1,2. Ist X̂i
einfach-zusammenhängend und lokal-wegzusammenhängend, dann gibt es einen eindeutigen ÜberlagerungsMorphismus p : (X̂1 , x̂1 ) → (X̂2 , x̂2 ).
12.23
Definition. Ein topologischer Raum X heißt semilokal einfach zusammenhängend, wenn jeder Punkt x ∈ X
eine Umgebung besitzt, so dass die von der Einbettung ι : (U, x) → (X, x) induzierte Abbildung ι] : π1 (U, x) →
π1 (X, x) der konstante Homomorphismus ist.
12.24
Lemma 12.1. Ist p : X̂ → X eine Überlagerung und ist X̂ einfach-zusammenhängend, so ist X semilokal
einfach-zusammenhängend.
Beweis. Sei x ∈ X und U eine diskret überlagerte Umgebung von x. Sei w ein Weg in U von x nach x und Û j
X̂, so dass p|Û : Û → U ein Homöomorphismus ist. Da X̂ einfach-zusammenhängend ist, ist die Hochhebung
(p|Û )−1 ◦ w homotop zum konstanten Weg. Ist H eine Homotopie, ist auch p ◦ H eine Homotopie, also ist w
in X homotop zu einem konstanten Weg.
12.25
Beispiele.
1. Jeder Raum, in dem jeder Punkt eine kontrahierbare, oder allgemeiner einfachzusammenhängende Umgebung hat, ist semi-lokal einfach-zusammenhängend. Dies gilt zum Beispiel
für jede offene Teilmenge von Rn .
S
2. Der Raum X := n∈N S 1 1n j C der Hawaianischen Ringe ist nicht semilokal einfachn
zusammenhängend, besitzt also nach 12.24 keinen einfach-zusammenhängenden Überlagerungsraum.
(Hier Bild fehlen tut)
12.26.
Als kontrahierbarer Raum ist der Kegel CX über X einfach-zusammenhängend, aber keine Umgebung
von [(0,0)], die die "Kegelspitze" [(0,1)] nicht enthält, ist einfach-zusammenhängend. Klebt man an
diesen Kegel eine Kreislinie an, erhält man einen Raum, der nicht lokal einfach-zusammenhängend ist
im Sinne von (a).
(Hier Bild fehlen tut)
12.26
Satz. Sei X ein wegzusammenhängender, lokal wegzusammenhängender, semilokal einfachzusammenhängender Raum, x ∈ X und G eine Untergruppe von π1 (X, x). Dann gibt es eine Überlagerung
p : (X̂, x̂) → (X, x) mit G(p, x̂) = G, wobei der Überlagerungsraum wegzusammenhängend ist. Insbesondere
hat X eine universelle Überlagerung.
Beweisskizze. Die Punkte des zu konstruierenden Raums X̂ sollen Äquivalenzklassen von Wegen w in X mit
Anfangspunkt x werden, die Überlagerung p soll die Klasse von w auf w(1) abbilden.
Wir wissen aus 12.15(b), dass zwei Wege v und w mit Anfangspunkt x und gleichen Endpunkten sich
genau dann zu Wegen mit gleichen Endpunkten hochheben, wenn [v ? w̄] ein Element von G = G(p, x̂) ist.
Wir definieren also v ∼G w :⇔ v(1) = w(1) und [v ? w̄] ∈ G. Die zugehörigen Äquivalenzklassen seien mit [v]G
bezeichnet. Sei X̂ die Menge aller Klassen [v]G zu Wegen mit Anfangspunkt x und p : X̂ → X, [w]G 7→ w(1).
Wir müssen auf X̂ eine Topologie definieren und zeigen, dass p eine Überlagerung ist. Für einen Weg
w mit Anfangspunkt x und eine offene wegzusammenhängende Umgebung U von w(1) definieren wir
B(U, w) := {[w ? v]G | v ein Weg in U mit v(0) = w(1)}. Für [u]G ∈ B(U, w) zeigt man leicht B(U, u) =
B(U, w). Dies impliziert, dass die Mengen B(U, w) eine Basis einer Topologie auf X̂ bilden, denn X ist lokalwegzusammenhängend. Es folgt, dass p offen und stetig ist.
(Hier Bild fehlen tut)
(Hier Bild fehlen tut)
Um zu zeigen, dass p eine Überlagerung ist, brauchen wir, dass X semi-lokal einfach-zusammenhängend
ist. Sei y ∈ X und U eine wegzusammenhängende Umgebung von y, so dass ι] : π1 (U, y) → π1 (X, y) trivial ist
für die Inklusion ι : U → X. Der Hauptpunkt ist nun zu zeigen, dass p : B(U, w) → U injektiv ist für einen Weg
w von x nach y: Aus p([w ? v1 ]G ) = p([w ? v2 ]G ) folgt v1 (1) = v2 (1) und nach Voraussetzung an U ist v1 ? v2
homotop in X zum konstanten Weg, also sind w ? v1 und w ? v2 homotop, und es gilt [w ? v1 ]G = [w ? v2 ]G .
(Hier Bild fehlen tut)
Für einen Weg w in X mit Anfangspunkt x und s ∈ [0,1] definiere ws : [0,1] → X, t 7→ w(st). Dann ist
s 7→ [ws ]G ein Weg von [cx ]G nach [w]G , also ist X̂ wegzusammenhängend.
Schließlich folgt G(p, x̂) = G nach 12.15(b).
12.27 SO3 Die Matrizengruppe SO3 := {A ∈ R3×3 | AAt = E, det A = 1} beschreibt die Drehungen um
O ∈ R3 . Jeder Vektor x ∈ D3 = {x ∈ R3 | |x| ≤ 1} der abgeschlossenen Einheitskugel definiert eine Drehung
D(x) ∈ SO3 mit Drehachse x und Drehwinkel π|x|, wobei D(O) = E gilt. Die Abbildung D : D3 → SO3 ist
injektiv auf dem Inneren D◦3 = {x ∈ R3 | |x| < 1}, und für x, y ∈ D3 mit |x| = 1 gilt D(x) = D(y) genau dann,
wenn x = ±y gilt.
(Hier Bild fehlen tut)
Da D identifizierend ist, folgt SO3 ∼
= P3 (dies sieht man wie für D2 und P2 ). Aus Beispiel 12.6(b) wissen
wir, dass π1 (P3 ) zweielementig
ist.
Für
(2t,0,0)
für t ≤ 21 und
w : [0,1] → D3 , t 7→
(2t − 2,0,0) für t ≥ 12
ist v := D ◦ w ein Weg von E nach E, und [v] ∈ π1 (SO3 , E) ist nicht trivial. 1 Zum Zeitpunkt t ist v(t) dabei
eine Drehung um 4πt. Andererseits gilt [v ? v] = [v][v] = 1, da π1 (SO3 , E) ∼
= Z/2Z, und somit gibt es eine
Homotopie H : [0,1] × [0,1] → SO
mit
H
=
c
und
H
=
v
?
v.
Wir
definieren
E
3
0
1

H ( | x | -1, t ) ·x



für 1 ≤ |x| ≤ 2
3
F : R × [0,1] → R, (x,t) 7→
x



sonst.
1
Dies lässt mit Hilfe der Überlagerung S3 von P3 einsehen
53
54
Kapitel 12. Überlagerungen
Dann gilt F0 = idR3 , Ft ist die identische Abbildung auf B̄1 (0) und R3 \ B2 (0) und F1 dreht die Sphäre
Sr (0) um 4π(r − 1) für r ∈ [1,2].
55
Kapitel 13
(Zufällig) Ausgewählte
Übungsaufgaben
13.1
Aufgabe 1
Sei X die Menge der stetigen Abbildungen von [0,1] j R nach R. Zeigen Sie, dass durch
Z 1
d( f , g) =
| f (x) − g(x)| dx
0
eine Metrik d auf X definiert wird. Ist die Abbildung ϕ : X → R, f 7→ f (0) stetig?
13.2
Aufgabe 2 Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
a. Es gilt d(x, y) ≥ 0 für alle x, y ∈ X.
b. Es gilt d(x, z) ≥ |d(x, y) − d(y, z)| für alle x, y, z ∈ X.
c. Für eine nicht-leere Teilmenge A von X ist die Abbildung f : X → R mit f (x) = inf{d(x, a) : a ∈ A} für
x ∈ X stetig.
13.3
Aufgabe 3 Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
(a) Offene Kugeln sind offen.
(b) Abgeschlossene Kugeln sind abgeschlossen.
(c) Die Mengen 0/ und X sind offen und abgeschlossen.
(d) Jede Vereinigung von offenen Mengen ist offen.
(e) Die Schnittmenge von endlich vielen offenen Mengen ist offen.
13.4
Aufgabe 4
(a) Sei (X, d) ein metrischer Raum und d eine Ultrametrik. Zeigen Sie, dass dann alle Dreiecke gleichschenklig sind und dass die Seitenlänge, die nur einmal vorkommt, die kürzeste ist. Folgern Sie hieraus,
dass alle Kugeln und Sphären offen und abgeschlossen sind.
(b) Für eine Primzahl p sei d die p-adische Ultrametrik auf der Menge der rationalen Zahlen Q wie in
1.2(e) definiert. Zeigen Sie, dass d tatsächlich eine Ultrametrik ist. Geben Sie eine weder offene noch
abgeschlossene Teilmenge von Q bezüglich der p-adischen Ultrametrik an.
56
Kapitel 13. (Zufällig) Ausgewählte Übungsaufgaben
13.5 Aufgabe 8 Seien A und B Teilmengen eines topologischen Raumes. Beweisen Sie die folgenden
Aussagen über den Abschlussoperator (Satz 2.4 der Vorlesung).
(a) 0/̄ = 0/
(b) A j Ā
(c) A ∪ B = Ā ∪ B̄
(d) Ā = Ā
Sei X eine Menge und ˜· : ℘(X) → ℘(X) ein Operator, der die Bedingungen (a) bis (d) erfüllt. Zeigen Sie,
dass ˜· eindeutig eine Topologie auf X definiert, so dass für deren Abschlussoperator ¯· die Identität ˜· = ¯· gilt.
13.6 Aufgabe 10
(a) Man zeige, dass für r > 0 jede offene Kugel Br (x) im Rn mit der euklidischen Metrik zu Rn homöomorph ist.
(b) Man zeige, dass die punktierte Sphäre Sn \ {x} für jeden Punkt x ∈ Sn zu Rn homöomorph ist.
13.7 Aufgabe 11
(a) Sei R ein metrisierbarer topologischer Raum, in dem es eine abzählbare Teilmenge Q mit Q̄ = R gibt.
Zeigen Sie, dass R eine abzählbare Basis hat.
(b) Die Sorgenfrey-Gerade ist der Raum R mit der von den Teilmengen [x, ∞[ und ] − ∞, x[ für x ∈ R
erzeugten Topologien. Geben Sie eine Basis der Topologie an. Gibt es eine abzählbare Basis? Ist die
Sorgenfrey-Gerade metrisierbar?
13.8
Aufgabe 12 Gilt C ∼
= C ×C für die Cantormenge C?
13.9 Aufgabe 13 Sei I eine Indexmenge, seien Xi und Yi topologische Räume, und seien fi : Xi → Yi stetige
Abbildungen für i ∈ I. Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
(a) Die Abbildung
f : ∏ Xi → ∏ Yi mit ( f (x))i = fi (xi )
i∈I
i∈I
ist stetig.
(b) Falls X = Xi für alle i ∈ I gilt, so ist die Abbildung
g : X → ∏ Yi mit (g(x))i = fi (x)
i∈I
stetig.
13.10 Aufgabe 17 Zeigen Sie, dass jedes Produkt von vollständig regulären Räumen vollständig regulär
ist.
13.11
Aufgabe 18 Zeigen Sie, dass jeder metrische Raum normal ist.
13.12 Aufgabe 19 Zeigen Sie, dass die Sorgenfrey-Gerade aus Aufgabe 11 normal ist.
13.13 Aufgabe 20 Zeigen Sie, dass das Produkt abzählbar vieler metrisierbarer Räume metrisierbar ist.
(Hinweis: für beschränkte Metriken dn ist ((an ), (bn )) 7→ ∑n∈N dn (an , bn )2−n eine Metrik.)
13.14. Aufgabe 21
13.14 Aufgabe 21 Seien f und g Abbildungen zwischen topologischen Räumen X und Y . Beweisen Sie
die folgenden Aussagen.
(a) Die Diagonale {(x, x) : x ∈ X} ist genau dann abgeschlossen im Produktraum X × X, wenn X ein
Hausdorff-Raum ist.
(b) Der Raum X ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn jedes Netz in X höchstens einen Grenzwert hat.
(c) Falls Y ein Hausdorff-Raum ist und f und g stetig sind, so ist {x ∈ X : f (x) = g(x)} abgeschlossen.
(d) Sei Y ein Hausdorff-Raum. Dann ist der Graph {(x, f (x)) : x ∈ X} von f abgeschlossen im Produktraum
X ×Y , falls f stetig ist. Gilt die Umkehrung?
13.15
Aufgabe 23
(a) Sei (X, <) eine geordnete Menge und Xx := {y ∈ X : y < x} das Anfangsstück zu x ∈ X. Sei χ : D → X
ein Netz, das bezüglich der Ordnungstopologie
auf X gegen ein x ∈ X konvergiert, wobei χn ≤ x für
S
alle n ∈ D gelte. Zeigen Sie, dass n∈D Xχn = Xx gilt.
(b) Zeigen Sie, dass eine wohlgeordnete Menge Ω existiert mit einem Element m ∈ Ω, so dass Ωm überabzählbar ist und alle Ωx für x ∈ Ω \ {m} abzählbar sind.
(Hinweis: Starten Sie mit einer beliebigen überabzählbaren wohlgeordneten Menge.)
(c) Zeigen Sie, dass keine Folge in Ωm gegen m konvergiert, aber trotzdem m ∈ Ωm gilt. Geben Sie ein
Netz in Ωm an, dass gegen m konvergiert.
13.16 Aufgabe 28 Sei A eine zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raums X. Beweisen
Sie, dass jede Teilmenge B mit A j B j Ā zusammenhängend ist.
13.17
Aufgabe 30
(a) Sei I ein Intervall von R und f : I → R stetig. Zeigen Sie, dass der Graph {(x, f (x)) : x ∈ I} von f eine
zusammenhängende Teilmenge von R2 ist.
(b) Zeigen Sie, dass X := ({0} × R) ∪ {(x, sin 1x ) : x ∈]0,∞[} mit der von R2 induzierten Topologie zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend ist.
13.18
Aufgabe 32 Für jede abzählbare Teilmenge A von Rn für n ≥ 2 ist Rn \ A zusammenhängend.
13.19 Aufgabe 33 Sei I eine beliebige Indexmenge, und für i ∈ I seien Xi topologische Räume. Sei x =
(xi )i∈I ∈ X := ∏i∈I Xi , und für i ∈ I sei Ci die Zusammenhangskomponente von xi in Xi . Zeigen Sie, dass dann
∏i∈I Ci die Zusammenhangskomponente von x in X ist.
13.20
Aufgabe 34
(a) Zeigen Sie, dass ein topologischer Raum genau dann lokal zusammenhängend ist, wenn die Zusammenhangskomponenten all seiner offenen Teilmengen offen sind.
(b) Zeigen Sie, dass Quotientenräume lokal zusammenhängender Räume lokal zusammenhängend sind.
13.21
Aufgabe 37
(a) Sei die natürliche Ordnung von N auf N∞ := N ∪ {∞} durch x ≤ ∞ für alle x ∈ N∞ fortgesetzt. Zeigen
Sie, dass N∞ mit der Ordnungstopologie kompakt ist.
(b) Zeigen Sie, dass der projektive Raum Pn kompakt ist.
13.22 Aufgabe 38 Sei X ein Hausdorff-Raum, und seien A und B kompakte disjunkte Teilmengen von X.
Zeigen Sie, dass sich diese Teilmengen durch offene disjunkte Teilmengen U und V von X mit A j U und
B j V trennen lassen.
57
58
Kapitel 13. (Zufällig) Ausgewählte Übungsaufgaben
13.23 Aufgabe 42 Sei X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum und Y j X ein Teilraum von X. Zeigen Sie,
dass Y genau dann lokal-kompakt ist, wenn es eine offene Teilmenge U und eine abgeschlossene Teilmenge
A von X gibt mit Y = U ∩ A.
13.24 Aufgabe 43 Beweisen Sie den Satz 10.20 der Vorlesung über die Einpunkt-Kompaktifizierung.
13.25 Aufgabe 47 Ist der Raum F ∪ (2 − F) j C für F := teis : t ∈ [0,1], s = 0, 11 , 12 , 13 , . . . kontrahierbar?
Ist er einfach-zusammenhängend?
13.26 Aufgabe 50 Sei X ein topologischer Raum, und seien v, w : [0,1] → X Wege mit v(0) = w(0) und
v(1) = w(1). Zeigen Sie, dass die Ausagen v '{0,1} w und v ? w̄ '{0,1} c v(0) äquivalent sind.
59
Index
F
final 26
Fixpunkteigenschaft 31
Folge 25
Fundamentalgruppe 43
– Funktorialität 44
Fundamentalsatz der Algebra 50
Funktion
– stetig 7
Funktionen
– Stetigkeit der Hintereinanderausführung
Funktor 44
Default
0-Zelle
16
A
Abbildung
– abgeschlossen 14
– final 26
– homöomorph 3
– identifizierende 13
– offen 14
– stetig 2
abgeschlossen 2 f., 14
abgeschlossene Kugel 2
Abschluss 5
antidiskrete Topologie 3
Äquivalenzrelation 41
G
Gebiet 32
gerichtete Menge 25
Grenzwert 25
Gruppe
– topologische 12
B
Basis der Topologie 9
Basis einer Topologie 9
Basispunkt 43
Basisraum 47
Berührpunkt 5
beschränkte Maximumsmetrik
H
halbstetig nach oben 8
häufig 25
Häufungswert 25
Hausdorff-Raum 17
– kompakte Teilmenge 35
Hausdorffraum
– kompakter 22
Heine-Borel 37
Hilbertwürfel 22, 32
– zusammenhängend 32
Hochhebung 47
homogener Raum 15
homöomorph 3
Homöomorphismus 3
homotop 41
Homotopie 41
homotopie-äquivalent 44
Homotopieklasse 42
1
C
Cantormenge 10
Cantorwürfel 37
CW-Komplex 16
D
dicht 31
diskrete Metrik 1
diskrete Topologie 3
diskret überlagert 47
Doppelkegel 15
Dreiecksungleichung 1
Durchmesser 45
I
E
EDE 36
einfach-zusammenhängend 43
Einhängung 15
Einpunkt-Kompaktifizierung 39
endliche Durchschnittseigenschaft
endlicher CW-Komplex 16
Endstücke 25
euklidische Metrik 1, 10
36
identifizierende Abbildung
induzierte Topologie 10
Innere 5
innerer Punkt 5
Integralmetrik 7
Intervall 30
isomorph 52
K
kanonische Projektion
13
13
7
60
Index
P
Kategorie 44
Kegel 14
Kleinsche Flasche 13
kofinit 3
kompakt 35
Kompaktifizierung
– Einpunkt- 39
– Stone-Cech 38
kontrahierbar 44
Kontraktion 44
konvergiert 25
konvex 30
konvexe Teilmenge 30
Kreisline 13
Kugel 2
– abgeschlossene 2
– offene 2
p-adische Ultrametrik 1
Partition 25
Peano-Kurve 37
Produkttopologie 11
Projektion 11, 13
projektive Raum 14
Q
Quotientenraum 13
Quotiententopologie 13
R
L
Lebesgue-Lemma 45, 48
Lebesgue-Zahl 45
Lemma
– Lebesgue 45
lokal-kompakt 39
lokal zusammenhängend 33
M
Maximumsmetrik 10
– beschränkte 1
Menge
– diskret überlagert 47
– Durchmesser 45
– gerichtet 25
Metrik 1
– beschränkte Maximums– diskrete 1
– euklidische 1, 10
– feiner 10
– gröber 10
– Maximums- 10
Metrisationssatz 22
metrischer Raum 1
metrisierbar 3
Möbiusband 13
1
S
N
natürliche Topologie 3
Netz 25
– häufig 25
– schließlich 25
– universelles 27
normal 17
nulldimensionale Räume
n-Zelle 16
O
Obersumme 26
offen 2, 14
offene Kugel 2
Ordnungstopologie
9
Rand 5
Randpunkt 5
Raum
– einfach-zusammenhängend 43
– homogener 15
– kompakt 35
– kompakter Hausdorff- 22
– kontrahierbar 44
– lokal-kompakt 39
– lokal zusammenhängend 33
– metrischer 1
– metrisierbarer topologischer 3
– normal 17
– projektiver 14
– regulär 17
– topologischer 3
– total nulldimensional 33
– total unzusammenhängend 33
– vollständig regulär 17
– vollständig regulärer 22
– wegzusammenhängend 29
– zusammenhängend 29
Räume
– homotopie-äquivalent 44
raumfüllende Kurve 37
regulär 17
Retraktion 50
Riemann-integrierbar 26
r-Kugel 2
33
Satz
– Heine-Borel 37
– Homotopie-Hochhebung 48
– Sierpinski 33
– Tychonoff 37
– Weg-Hochhebung 48
schließlich 25, 27
Seifert-van Kampen 46
Sierpinski 33
Sinus
– topologischer 31
Sorgenfrey-Gerade 21 f., 56
Sphäre 2
Spur-Topologie 10
Standard-Topologie 3
Standardtopologie 9
Index
sternförmig 30
stetig 2 f.
stetige Funktion 7
Stetigkeit
– auf Subbasis 9
Stone-Cech-Kompaktifizierung
Subbasis 9
Suspension 15
Symmetrie 1
vollständig regulärer Raum
W
38
T
x _1-RaumT1 -Raum 17
Teilmenge
– dicht 31
Teilnetz 26
Teilüberdeckung 35
Tietzescher Fortsetzungssatz 21
Topologie 3
– antidiskrete 3
– Basis der 9
– Basis einer 9
– diskrete 3
– Erzeugung 9
– induzierte 10
– natürliche 3
– Produkt- 11
– Quotienten- 13
– Spur- 10
– Standard- 3
– Subbasis 9
– Unterraum- 10
topologische Gruppe 12, 15
topologischer Raum 3
– metrisierbar 3
Topologischer Sinus 31
topologische Summe 13
Totalraum 47
total unzusammenhängend 33
Tychonoff 37
U
Überdeckung 35
– abgeschlossen 35
– offen 35
Überlagerung 47
Überlagerungs-Isomorphismus 52
Überlagerungs-Morphismus 52
Ultrametrik 1
Umgebung 5
Umgebungsbasis 17
universelles Netz 27
Unterraum-Topologie 10
Untersumme 26
Urysohn 22
Urysohns Lemma 21
V
Verkettung von Wegen 42
Verklebungsraum 15
vollständig regulär 17
22
Wege
– Verkettung 42
Weg-Hochhebungssatz 48
wegzusammenhängend 29
Wohlordnungssatz 23
X
(X, O) ≈ (Y, O 0 ) 3
Z
Zelle 16
Zerlegung 25
Zornsches Lemma 23
zusammenhängend 29
– einfach 43
Zusammenhangskomponente
32
61