Experimentalphysik 2 - Goethe

Experimentalphysik 2
Das Kompendium zur Elektrostatik und Elektrodynamik
Autor: Moritz Greif
15. August 2010
Formelsammlung und Kompendium zur Vorlesung Experimentalphysik 2 bei Prof.Dr. Roskos
Johann Wolfgang Goethe Universität Frankfurt am Main, SS10
Fehler/Hinweise bitte an [email protected]
1
Formelsammlung
Elektrostatik
Columbkraft zwischen zwei Punktladungen
1 q1 · q2 ~r
·
4π0 r2
r
F~ =
Dabei bedeutet
Fq1 →q2 :
die Kraft, die
q1
q2
auf
ausübt.
(1)
0 = 8.8542 · 10−12
As
.
Vm
Elektrisches Feld
~ r) =
E(~
Mit Einheitsvektor
Ist
Q = ⊕,
b
~r =
~
r
.
r
dann zeigt der
~ -Vektor
E
Q
1
· 2 ·b
~r
4π0 r
weg von der Ladung, bei
(2)
Q=
zeigt er zu der Ladung.
(3)
~ = E~1 + E~2
E
...wobei jede i-te Punktladung an der Stelle
~ i (~r, r~i ) =
E
r~i
zum Feld an der Stelle
beiträgt mit
1
Qi
~r − r~i
·
·
4π0 |~r − r~i |2 |~r − r~i |
•
Elektrisches Feld immer senkrecht auf Metalloberäche
•
Das Elektrische Feld ist additiv
•
Kein Elektrisches Feld im Innern von Metallen
•
Entladung in Luft bei
•
Einheit
•
Feldlinie: Entlang der Vektoren im Elektrischen Vektorfeld
•
Wirbelfreiheit:
N
C
~r
(4)
E > 25 kV / cm
V
m
=
H
~ · ds = 0.
E
Arbeit über geschlossenem Weg = 0.(=Konservativität des
U mlauf
elektrischen Feldes in der Elektrostatik)
Kraft auf eine Ladung im Feld einer anderen Ladung: Coulombkraft
F~ (~r) =
q1 ·q2
1
4π0 |r~1 −r~2 |2
·
r~1 −r~2
|r~1 −r~2 |
Also alternativ kann man diese Kraft angeben als
F~ = Q2 ·
(5)
E~1
|{z}
elektr. Feld der Ladung 1 !!!
Elektrische Arbeit: Punktladung im Elektrischen Feld bewegt:
Z
W12 = −q
2
~ r) · ds ⇒ unabhängig
E(~
von Integrationsweg!
(6)
1
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
2
Formelsammlung
Coulombkraft
F~c
Potentielle Energie
~ pot
F~c = −∇U
R~r
Upot = −
Upot
F~ (~r0) d~r0
∞
Elektrisches Feld
~ r)
E(~
ϕ(~r)
Potential
~ r) = −∇ϕ(~
~ r)
E(~
ϕ(~r) = −
R~r
~ r0) d~r0
E(~
∞
Dabei sind Coulombkraft & Potentielle Energie Gröÿen, die einer Probeladung Q zugeordnet
werden, das Elektrische Feld und das Elektrische Potential sind probeladungsfreie Gröÿen. Das sieht
man hier nochnmal deutlicher:
Coulombkraft
F~c =
F~c
Potentielle Energie
q·Q
4π0 r2
Elektrisches
~ r) =
E(~
· ~rr
~ r)
Feld E(~
Q
4π0 r2
•
Bestimme Potential
•
Einheit des Potentials
•
Spannung
U12 =
Rr~2
ϕ,
Potential
ϕ(~r)
ϕ(~r) =
1
ϕ(~r) =
4π0
Das Potential ist additiv.
q·Q
4π0 r
· ~rr
Genaueres Gesetz für Potential, mit Ladungsdichte
•
Upot(~r) =
Z
V
Upot
Q
4π0 r
ρ:
ρ(~r0 )
dV 0
0
|~r − ~r |
dann bestimme Elektrisches Feld
(7)
~ = −grad(ϕ)
E
[ϕ] = 1 V
~ d~r
E
r~1
•
Spannung
U = ϕ(~r1 ) − ϕ(~r2 )
•
Einheit der potentiellen Energie
[Up ot] = 1 N m = 1 J = 1 C V
• 1 eV = 1, 602 · 10−19 C V = 1, 602 · 10−19 J
•
Im Innern von Metallen (Elektrostatik) :
~ = 0, Upot = const., ϕ = const.
F~ = 0, E
Potential
Konstant, Feldstärke Null.
•
Interessante Aufgabe: Feld eines Dipols: erst Potential berechnen, dann elektrisches Feld. In
groÿer Entfernung heben sich die Elektrischen Felder eines ungleichnamigen Dipols nicht auf,
3
2
aber das Feld klingt schneller ab als das Feld einer Einzelladung (1/r statt1/r ).
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
3
Formelsammlung
•
Elektrisches Potential im Abstand a eines gleichförmig geladenen Stabs, Ladungsdichte β =
p
∆Q
= const., Potential integrieren mit Abstand r = x2 + y 2 ...
Potential in der
∆x
1
Nähe eines geladenen Stabes: ϕ ∝ ln(r). Betrag des Elektrischen Feldes E ∝
r
Fazit:
Satz von Gauss-Ostrogradski in Elektrostatik
Z
Z
~ A
~= 1
Ed
0
A
Q
= elektrischer
0
ρ(~r0 )dV 0 =
V
Wobei Q die von der Fläche eingeschlossene Ladung ist und
(8)
Fluss durch Fläche
~ = n̂dA.
dA
In Worten: Der Fluss des
elektrischen Feldes ist proportional zur eingeschlossenen Ladung Q.
Beispiel dazu: Teilchenuss in Rohr.
Anwendung:
Anwendung:
Kugelladung verhält sich wie Punktladung. Elektrisches Feld der Punktladung ableit-
bar (leicht).
Potential/El.Feld eines Koaxialkabels.
Eaussen = 0, Einnen =
β
2π0 r
Konservativität
Satz der
Konservativität des elektrischen Feldes
I
in Elektrostatik
(9)
~ d~r = 0
E
c
Spezialfälle bei Metallen:
•
~ A
~ = Q = 0 und Feld im Metall immer Null.
Ed
0
A
Integrier-Fläche kann Oberäche des Metallkörpers beliebig nahe kommen.
•
Auf Oberäche eines Hohlraumes existiert keine Nettoladung, da
Im Metallinneren liegt keine Ladung vor, da
H
H
A
~ A
~ =
Ed
Q
0
= 0.
Fläche
kann Hohlkörper beliebig nahe umschliÿen.
•
Im Hohlraum ist überall
E = 0.
(Faraday-Käg, Abschirmung elektrischer Felder.) Herleitung
(Konservativität):
I
~ d~r =
E
Z
Weg
C
|
Nur erfüllt, wenn
•
~ d~r +
E
durch Metall
{z
}
Z
~ d~r = 0
E
Verbindungsstück durch Hohlraum
=0
E = 0.
An der den Hohlraum begrenzenden inneren Oberäche treten keine Ladungen auf, nur an der
äuÿeren Oberäche eines Metalles können Ladungen auftreten, da
I
~ A
~=
Ed
A
Z
Z
+
| {z }
=0
•
=0
M etall
Hohlraum
|
{z
=0
}
Wenn in Innenraum eines ungel. metall. Hohlkörpers Ladung eingebracht wird, ist das Feld im
Aussenraum zu spüren, wenn Körper nicht geerdet, da Nettoladung auf Metall gleich Null.
Beispiel:
Faraday Becher, Van-de-Graaf Generator.
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
4
Formelsammlung
•
An metallischen Spitzen ist Elektrische Feldstärke hoch
|E| ∝
|ϕ|
Krümmungsradius
, Ladungs-
dichte erhöht(Satz v.Gauss). (Betrachte groÿe und kleine Kugel, elektrisch verbunden, also
Äquipotentialäche. Dann Ladungsdichte betrachten)
Beispiel:
Elmsfeuer
Plattenkondensator
Zwei ungleichnamig geladene Platten. Ladungen auf Innenseite der Platten. Nach Satz von Gauss,
Q
Q
über eine Platte integriert, ist E · A =
, daraus folgt E =
= σ0 mit σ : Flächenladungsdichte.
0
A·0
Zr+
U = ϕ+ + ϕ− = −
~ d~r +
E
∞
Zr−
∞
~ d~r = . . . = E · d = σ · d
E
0
σA
= d·A
Kapazität: C = UQ = σA
U =
Einheit: [C] = 1 F = 1 C/ V
•
potentieller Energie pro Elektron
(10)
0
σd
0
Wichtig: Gewinn an
z.B. bei Transfer zwischen Konden-
satorplatten:
Das entspricht der verrichteten
• dW =
Anode
R
F~ d~r = dq ·
R
Arbeit
∆Upot = e · U
R
~ d~r
, mit U =
E
~ d~r = dq · U
E
mit
~
F~ = −dq · E
Kathode
•
Zur Auadung des Kondensators nötige Arbeit:W
=
RQ
0
•
dW = 12 CU 2
Im Kondensator gespeicherte Energie ist also
1
1 0 · A 2 1
1
Upot = CU 2 =
U = 0 · A · d · E 2 = 0 · VF eld · E 2
2
2 d
2
2
mit
A·d
= Feldvolumen zw. Platten.
•
Potentielle Energie elektrisch geladener Strukturen steckt in elektrischem Feld
•
Energiedichte immer:
•
Platten ziehen sich gegenseitig an
•
Bei Änderung des Abstandes mit Q=const. bleiben Energiedichte und elektr.Feld unverändert,
1
E2
2 0
2
d
d
F17→2 = − dx
Upot = − 12 U 2 dC
= − U2 · dx
dx
A0
x
= 21 CU 2 · x1
es ändert sich:
1. Spannung
2. Energie
•
~
U = |E|d
Upot = 21 CU 2 =
Q2
d
20 A
Bei Änderung des Abstandes mit U=const. (an Spannungsquelle) bleibt unverändert: SpanUpot
= 12 U . Es verändert sich:
nung und Energie/Ladung
Q
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
5
Formelsammlung
1.
~ =
|E|
2.
~
Q = 0 A|E|
U
d
1
~ 2
|E|
2 0
1
2
4. Energie Upot = CU
2
3. Energiedichte
=
0 A 2
U
2d
•
Mit Dielektrikum gelten alle Formeln mit Ersetzung
•
Das Dielektrikum verringert die Elektrische Feldstärke um den Faktor
Eneu =
Eohne
0 7→ · 0
r :
Dielektrikum
r
Bsp.: Plattenkondensator mit neuem Dielektrikum, Kapazität gesucht. Ladung bleibt gleich,
Spannung ändert sich:
Z
Uneu =
Eohne Dielektrikum = Udalt (d:Abstand
Cneu · Uneu , einsetzen, auösen.
Eneu (x) dx
der Platten). Ladung bleibt gleich, also
mit
Calt · Ualt =
Elektrodynamik
Strom ist Ladung pro Zeit. Beim Stromuss nimmt die Potentielle Energie ab (technische und
tatsächliche Stromrichtung). Einheit des elektrischen Stromes ist Ampere (Denition: Strom durch
zwei lange Leiter in 1m Abstand, die sich mit
•
0, 2µN
pro Meter anziehen) .
Teilchendichte sei n (Teilchen pro Volumen), Teilchen trägt Ladung q, Teilchen haben Geschw.
v
•
Ladungsdichte
•
Ladung
•
Strom
•
Stromdichte
nq ,
inf.Volumen
δV = δA · δl = δA · vδt
δq = nq · δV
δI =
δq
δt
~j δI = n · q · ~v
δA
ist Vektor!!!
~
• dI = j · dAef f = ~jdA
R
R
~ = dI
• I = ~j dA
A
A
1 eV ist kinetische Energie eines Elektrons, bei durchlaufen der Spannung von 1 V .
Upot von 1eV = e · U = e · 1 V = 1, 602 · 10−19 J = 1 eV
Im Festkörper mit E 6= 0: Beschleunigung der Elektronen bis zur Einstellung einer Endgeschwindig-
Elektronenvolt:
keit, wegen Verlust kin. Energie durch Stöÿe.
E = 0:
Elektronen verlieren Energie durch Stöÿe,
der Elektronen:
v = 0.
Im Vakuum bei
E = 0:
konstante Drift
j = −nev = const..
Ohmesches Gesetz: Driftgeschwindigkeit proportional zu
~ .
|E|
vd = µE
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
6
Formelsammlung
mit
µ
Beweglichkeit.
mikroskopisches Ohmsches Gesetz:
~ ≡ σ|E|
~
|~j| = nev~D = n · e · µ ·|E|
| {z }
σ
σ
Leitfähigkeit. Es gilt:
• I=
R
~
~jdA
Strom
A
• σ=
•
1
σ
Leitfähigkeit
=ρ
• R=
spezischer Widerstand
l
A
·ρ
Damit ist das
Widerstand
makroskopische ohmsche Gesetz
U=
im Festkörper:
1
·I
R
Kirchhosche Gesetze
1.
Knotenregel:
An jeder Verzweigungsstelle ist die Summe der zuieÿenden Ströme gleich der
Summe der abieÿenden Ströme.
2.
Maschenregel:
P
Ui = 0.
Null.
P
Ii = 0
i
In jedem geschlossenen Stromkreis ist die Summe der Spannungsabfälle gleich
Durchlaufe Stromkreis im Uhrzeigersinn, Spannungsabfälle im Uhrzeigersinn
i
positiv, sonst negativ. Herleitung: Konservativität:
R
~ d~r = P Ui
E
i
3. Anwendung: Wheatstone Brücke; Spannungsteiler (Potentiometer)
Leistung
P =U ·I
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
7
Formelsammlung
Reale Spannungs- und Stromquellen
Abbildung 1: Ersatzschaltbild der realen Spannungsquelle
Kirchhosche Regel:
U = U0 − I · Ri .
Mit zunehmendem I wird U kleiner, Spannungsabfall an
Innenwiderst. gröÿer. Es folgt:
P = U ·I
und
U = I · R =⇒ P = I 2 · R
U = U0 − I · Ri =⇒ I · R = U0 − I · Ri ⇔ I(R + Ri ) = U0 ⇔ I =
Für die Leistung folgt:
P = U02 ·
Maximale Leistungsentnahme, wenn
U0
(R + Ri )
R
(R + Ri )2
R = Ri .
Ampèremeter müssen niederohmig sein, da Strom
I =
U0
! Voltmeter müssen hochohmig sein,
R+Ri
um den Stromuss nicht zu verfälschen!
Magnetisches Feld
Gröÿe
~
Magnetisches Feld: H
~ = µ0 · H
~
Magnetische Flussdichte: B
Einheit
A
[H] = m
Vs
[B] = m
2
Analog zu
Elektrisches Feld
[E] =
elektrische Verschiebungsdichte
V
m
[D] =
As
m2
Ursprung des Magnetischen Feldes:
1. Bewegte Ladung.
Für Beobachter auf Y-Achse, und bewegtes Elektron auf x-Achse gilt Biot-Savard-Gesetz:
~ = µ0 · (e− ) · ~v × ~r
B
4π
r3
(11)
2. Spins der Elementarteilchen, z.B Geordneter Elektronenspin: Ferromagnetismus
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
8
Formelsammlung
Lorentzkraft
Kraft auf elektrische Ladung im Magnetfeld:
~
F~L = q · ~v × B
(12)
~ =
L
Richtung der technischen Stromrichtung,
~ ×B
~
F~L = I · L
(13)
Für stromdurchossenen Leiter im Magnetfeld, mit
und
~ =
|L|
Länge des Leiters im Magnetfeld:
Beispiele: Elektron im Vakuum: Fadenstrahlröhre mit Spiralbahn / Hall-Eekt
Hall-Eekt
Abbildung 2: Die Hall-Sonde
Elektronen treten in Material ein, das von Magnetfeld durchossen ist. Ein Teil der Elektronen
wird durch die Lorentz-Kraft abgelenkt. Es baut sich senkrecht zum Magnetfeld eine Hall-Spannung
auf (Elektrisches Feld). Nachfolgende Elektronen bewegen sich geradlinig im Gleichgewicht zwischen
Lorentzkraft und Coulombkraft. Berechnung der Hall-Spannung: (Magnetfeld zeige in y-Richtung,
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
9
Formelsammlung
Elektron bewege sich in x-Richtung, Elektrisches Feld in Z-Richtung)
~ = −(−e) · E
~
F~L = −F~C ⇔ −e · (~v × B)
~ = (0, 0, E)
E
~ = (0, B, 0)
B
= e · E = −FC,Z
= −v · B
= −e · n · v · b · d
I
⇔v =
−e · n · b · d
I
·B
=⇒ E =
enbd
1
Hall-Sonde UH
= E·b=
en
|{z}
Betrachte Z-Komponenten:
Mit der Breite b der
FL,Z = −evB
=⇒ E
Strom ist I
·
I ·B
d
Hall−Koef f izient
Mit n = Ladungsträgerdichte,
•
für Halbleiter
•
für Metall
n ≈ 1014
pro
cm3 , UH
n ≈ 1022 / cm3 , UH
z.B.
z.B.
25V
0, 25 µV
Elektronen und positive Ladungen werden zur selben Seite hin abgelenkt. Lägen also gleich viele
bewegliche Ladungsträger beider Sorten vor, würde sich keine Hall-Spannung aufbauen. Die HallSpannung resultiert von beweglichen Trägern der negativen Ladungen und den immobilen Ionenrümpfen der positiven Ladungen.
Magnetostatik
Zeitlich konstante elektrische Ströme und Magnetfelder.
Die beiden Grundgleichungen der Magnetostatik:
1.
Quellenfreiheit des Magnetischen Feldes.
geschlossene
Magnetfeldlinien haben keinen Anfang und
kein Ende, jede Feldlinie, die in eine
Fläche hineinläuft, muss auch aus ihr
wieder heraustreten. Es gibt keine magnetischen Monopole, nur Dipole.
I
(14)
~ A
~=0
Bd
A
wobei
2.
R
~ A
~ = φB
Bd
der
Ampère'sches Gesetz
magnetische Fluss
, Einheit
[φB ] = 1 T m2 = 1 W b.
. Sei c eine beliebige geschlossenene Kurve um Fläche A, durch die
ein Strom ieÿt. Das Linienintegral über der geschlossenen Kurve c ist:
I
~ r = µ0
Bd~
c
Z
~ = µ0 · I
~jdA
(15)
A
(Siehe später dazu die Maxwellsche Ergänzung)
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
10
Formelsammlung
Biot-Savard-Gesetz (Gl.11) und Ampèr'sches Gesetz sind gleichwertig, stellen beide den Zusammenhang zwischen Stromdichteverteilung und magnetischem Feld her. Biot-Savard-Gesetz etwas
~:
d~l zum Magnetfeld dB
~ = µ0 I d~l × ~r
dB
4πr3
abgeändert für Beitrag eines Leitersegments
(mit
(16)
~r Abstandsvektor Leitersegment zu Ort, wo Magnetfeld gemessen wird) Ampèr'sches Gesetz gut
anwendbar, wenn Vorkenntnisse über magn. Feld vorliegen (Symmetrien,...), Biot-Savard-Gesetz ist
rechenaufwendiger Standard-Ansatz für beliebige Stromdichteverteilungen. Bsp: Magnetfeld einer
Leiterschleife in Höhe h auf Mittelsenkrechter der Leiterschleife mit Biot-Savard-Gesetz berechnet. (Folie SS-13)
Beispiel Magnetfeldberechnung mit Ampère-Gesetz:
bekanntem Stromuss
I
in
x-Achse.
Magnetfeldvektor bei
~ez Richtung (positiv oder negativ: rechte Hand Regel,
~ = µ0 ·I · ±~ez .
Bdr = µ0 · I −→ 2πr = µ0 · I Ergebnis: B
2πr
feld in
R
y = r
Langer Leiter mit
gesucht. Vorwissen: Magnet-
je nach Sromrichtung). Berechnung:
Gleichstrommotor
Abbildung 3: Schema des Gleichstrommotors
Spule (Rotor) in Magnetfeld von Magnet (Stator). Einzelner Leiter erfährt Lorentzkraft
FL =
~ ×B
~ . Drehmoment ist M = 2 ·~r × F~L , da Leiterschleife mit zwei Leitersegmenten. LorentzkraftI ·L
vektor ist bei gleichem Strom/gleichem Magnetfeld konstant. Drehmoment ändert sich mit Winkel:
(benutze Fläche der Schleife
A = 2rL).
Ist am gröÿten, wenn Scheitelpunkt erreicht wird.
M = 2rILB · sin(α) = A · I · B · sin(α)
Mit Windungszahl N:
M = N · A · I · B · sin(α)
Da sich am Horizontalpunkt die Richtung des Drehmomentes umkehren würde, ändert man mit
einem Kommutator die Stromrichtung, so dass das Drehmoment in die gleiche Richtung weiterwirkt.
Weiteres Beispiel: Unipolarmotor: Nagel, Magnet, Batterie.
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
11
Formelsammlung
Herleitung des Faraday'schen Induktionsgesetzes
Y
X
~l
F
~ = (0, E, 0)
E
~v = (v, 0, 0)
~ = (0, 0, B)
B
F~c
Abbildung 4: Bewegter Leiter im Magnetfeld
Abstand der Schienen sei
L.
Die Elektronen im Leiter erfahren Lorentzkraft:
(17)
~
F~L = −e · ~v × B
Dies bewirkt Ladungsverteilung, also Aufbau einer Spannung U (Elektrisches Feld
~ ).
E
Diese Span-
nung wird so groÿ, dass die Coulombkraft, die auf die Elektronen wirkt, gerade so groÿ wie die
Lorentzkraft ist - Kräftegleichgewicht. Relevant ist hier die y-Komponente:
Fc = −e · E = −(evB) = −Fl
(18)
Die Spannung ist gegeben durch
Z
U12 =
2
~ d~r = E · L
E
(19)
1
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
12
Formelsammlung
Abbildung 5: Denition der Fläche
Auösen nach E und einsetzen ergibt:
U = LvB
Mit
~v = lim
t7→0
∆l
∆t
und dem
magnetischen Fluss φ = A · B = l · L · B
U = lim
t7→0
∆φ
∆t
erhält man
= φ̇
Bisherige Betrachtung: Lorentzkraft erwirkt Ladungsverschiebung, daher Elektrisches Feld. Aber in
Wirklichkeit: Bewegter Leiter im Magnetfeld induziert
instantan
ein Elektrisches Feld
Eind .
Die
Lorentzkraft ist Wirkung der induzierten elektrischen Feldstärke. Daher:
~ = −e · E
~
−e · ~v × B
~ ind = ~v × B
~
E
Die Potentialdierenz ist
−U .
(20)
(21)
Uind . Dabei gilt, wenn U zwischen den Platten voll aufgebaut ist Uind =
Es gilt zu jedem Zeitpunkt:
Uind = −φ̇
(22)
In Worten: Ändert sich der magnetische Fluss, wird eine elektrische Spannung induziert, die gleich
der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses ist. Dabei ist
Z
φ =
A
I
Uind =
~ dA
~
B
(23)
~ ind d~r
E
(24)
c
Vorgehensweise:
1. Änderung des magnetischen Flusses (Fläche oder Magnetfeld verändert) bewirkt
2. Induktion elektrischer Felder
3. Kreisströme wegen induziertem elektrischen Feld
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
13
Formelsammlung
4. Magnetfeld wird induziert, dass der Flussänderung entgegenwirkt
Lenz'sche Regel:
Induzierter Stromuss ist immer so gerichtet, dass er der Ursache der Fluss-
änderung entgegenzuwirken versucht. Es gilt hier nicht mehr die Konservativität des elektrischen
Feldes
H
~ ind d~r = 0.
E
Das Faradaysch'e Induktionsgesetz
H
~ ind d~r = −φ̇
E
namik das Gesetz der Konservativität des elektrischen Feldes.
Beispiel.
ersetzt in der Elektrody-
Leiterschleife in homogenem
Magnetfeld, Schleife wird vergröÿert. Zwei Betrachtungsweisen:
1. Elektronen erfahren Lorentzkraft, Wirbelstrom entsteht, der wieder ein Magnetfeld erzeugt,
welches entgegengesetzt ist zum äuÿeren Magnetfeld.
2. Wegen der Änderung des Magnetischen Flusses (Fläche wird gröÿer:
~ ind
E
wird ein elektrisches Feld
wird gröÿer,
induziert. Diese treibt einen elektr. Strom
•
Induzierte Spannung:
•
Einmal um Schleife herum integriert:
φ̇ > 0)
Iind .
U = −φ̇ < 0.
~ ind d~r < 0. Richtung von d~r liegt fest:
E
c
Rechte-Hand-Regel: Daumen in Richtung des Magnetfeldes, Finger in Richtung von d~
r
~ ind
• E
•
φ
muss also antiparallel zu
Wirbelstrom wird durch
~ ind
• B
~ ind
E
d~r
H
Uind =
sein.
erzeugt
wird erzeugt.
Z
φind =
~ ind · n̂ · dA < 0
B
A
n̂ Einheitsvektor
ˆ müssen
~
Bind und~n
Mit
in Richtung des äuÿeren Magnetfeldes. A Fläche der Leiterschleife.
antiparallel
sein, damit
φind < 0
ist. Also ist
Bind
genau entgegen-
gesetzt wie das äuÿere Magnetfeld.
Der Faraday-Ansatz ist besser, da auch mit einer konstanten Fläche und einer Änderung des Magnetfeldes gerechnet werden kann. Beispiel: Anschalten eines Magnetfeldes in Leiterschleife: Am Anfang
B = 0.
Dann
φ = B(t) · A
mit
B(t)
wachsend. Dann ist
φ̇ > 0
und
Uind < 0
Beispiele für Wirbelstromwirkungen
Drehstrommotor, Dosenmodell.
Senkrecht gelagerte Dose, zwei Spulen 90
◦
versetzt aussen an-
gebracht. Spulen werden mit Wechselspannung betrieben, MAgnetfeld wird also kontinuierlich auf
◦
und abgebaut. Spule 2 ist mit einem Kondensator in Reihe geschaltet, der den Strom 90 phasenver◦
setzt. Daher ist das Magnetfeld auch 90 phasenversetzt. Der resultierende Magnetfeldvektor dreht
sich also in der Drehachse der Dose kontinuierlich. Durch einen Eekt wird ein Wirbelstrom erzeugt,
der ein Drehmoment verursacht. Dabei gilt
φ˙1 = A · Ḃ1
Die starke Änderung von
B1
bewirkt einen induzierten Wirbelstrom.
B2
war gerade maximal und
ändert sich kaum, ist aber noch stark: Der Wirbelstrom und das starke Feld
B2
bewirken eine
Lorentz-Kraft, die die Dose antreibt. Bei einem technischen Drehstrommotor hat man üblicherweise
◦
120 Phasenverschiebung (Drehstrom, 3-adrig), und mehr (z.B. 6) Spulen.
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
14
Formelsammlung
Abbildung 6: Dosen-Drehstrommotor aus Weissblech
Materie im Magnetfeld
Ein Material in einer Spule wird magnetisiert, bei Eisen wird das Magnetfeld verstärkt. Die
tisierung M~
ist wie folgt deniert:
Mit
~ =µ·H
~0
H
Ein positives
(25)
~ =χ·H
~0
M
Mit der magnetischen Suszeptilität
χ
χ.
Das
Gesamtfeld
Magne-
im Inneren des Materials ist
~ =H
~0 + M
~ =H
~0 + χ · H
~ 0 = (1 + χ) · H
~0
H
(26)
1+χ=µ
(27)
ergibt sich
bedeutet, dass ein äuÿeres Magnetfeld verstärkt wird, ein negatives
χ,
dass es abge-
schwächt wird.
Positive Suszeptilität, permanentes magnetisches Moment der Atome/Moleküle:
Paramagnetismus
mag. Momente wechselwirken nur schwach miteinander
χ ≈ 10−6
und sind daher ohne externes Magnetfeld nicht ausgerichtet, Ausrichtung erst im Feld
Ferromagnetismus,
rimagnetismus,
Fer-
Antifer-
magn. Momente auch ohne ext. Feld untereinander ausgerichtet, permanente Magnetisierung des Materials
romagnetismus
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
χ ≈ 10−6 (Antiferro) 100 (Ferro,
z.B. Eisen)
15
Formelsammlung
Negative Suszeptilität, kein permanentes mag. Moment der Atome/Moleküle:
Diagmagnetismus
keine permanente Magnetisierung des Materials, magn.
Cu:
χ = −0, 8 · 10−6
Wirkung der Spins kompensiert sich, schwache Magnetisierung der Elektronenbahnen wg. externen Feld
(Lenz'sche Regel: Bestreben der Abschwächung eines
eindringenden mag. Flusses). Ein Diamagnet wird von
Magneten abgestoÿen. Supraleiter: idealer Diamagnet,
χ = −1.
Wismut ist diamagnetisch.
Alle Ferromegnete werden oberhalb der Curie-Temperatur paramagnetisch (Eisen: 1430 K ). CurieC
Gesetz: χ = χ(T ) =
.
T
Bei starkem vertikalem Gradienten eines Magnetfeldes, und einem hohen Verhältnis χ zu Dichte
m/V ,
schwebt ein Diamagnet. Starkes Magnetfeld: Schachbrettmagnetplatte, guter Diamagnet:
−6
polykristallines Graphit χ = −450 · 10 , ist ausserdem leicht. Diamagnetische Levitation bei:
m
d
(Bz2 ) = −2 µ0 g ·
dz
V · |χ|
(28)
Selbstinduktion
Wenn sich der elektrische Strom, und damit das magnetische Feld in einer Spule ändert, wird
ihr selbst
in
ein Induktionsstrom erzeugt. Es gilt ja: ein sich änderndes magnetisches Feld bewirkt ein
elektrisches Feld.
Ein zeitabhängiges Magnetfeld in einer Spule, mit Ampère-Gesetz berechnet. Dabei wird durch die
Spule und dann aussenherum integriert, da aber das Magnetfeld im Aussenbereich nahezu Null ist,
ist das Magnetfeld innerhalb (l : Länge der Spule):
B(t) = µ0 ·
N
· I(t)
l
(29)
Die selbstinduzierte Spannugn ist dann:
Uind
d
= −φ̇ =
dt
N
N2 ˙
N · A · µ0 ·
· I(t) = −µ0 · A ·
· I(t) = −L · I˙
l
l
Wobei die Eigeninduktivität
L
(30)
deniert wurde:
N2
L = µ0 · A ·
l
mit Einheit
[L] = 1
V s
=1H
A
(31)
Damit ist auch (Vorzeichen unbetrachtet):
φ=L·I
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
(32)
16
Formelsammlung
Abbildung 7: Schaltung zum Zeigen der Selbstinduktion
Nach Kirchhoscher Maschenregel:
−Uspannungsquelle +UR −UL = 0 (Die Selbstinduzierte Spannung
hat gleiches Vorzeichen wie Spannungsquelle (Spannungsabfall gegen den Uhrzeigersinn wird negativ
gezählt)). Daraus DGL:
−U + R · I + L · I˙ = 0
(33)
U
R
I˙ + I =
L
L
(34)
Einschalten der Spannung:
I(t = 0) = 0, U (t ≥ 0) = U0 , Integration
L
Dann ist Lösung für t ≥ 0:
τ=R
t
I(t) = I0 · 1 − e− τ
Anfangsbedingungen:
Dämpfungszeit
Beim Ausschaltprozess ist
U (t) =
U0 f alls t < 0
0 f alls t ≥ 0
von
0
bis
t.
Benutze
I0 =
U0
und
R
(35)
Die Lösung lautet dann:
(36)
t
I(t) = I0 · e− τ
U
t
I
t
Abbildung 8: Ein- und Ausschaltprozess einer Spule
Die Energie wird dabei im Magnetfeld gespeichert.
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
Energie im Magnetfeld: E
mag
= 12 LI 2
17
Formelsammlung
Transformator
Abbildung 9: Idealer Transformator
Ein Transforamtor dient zur Änderung der Amplitude einer Wechselspannung ohne Frequenzänderung. Beide Wicklungen haben gleiche Händigkeit. (Idealer Trafo: kein Ohmscher Widerstand, kein
Streuuss: Magnetuss nur in Eisenkern, keine Wirbelströme: Joch aus isolierten Lamellen, keine
Hystereseverluste)
•
Der Magnetische Fluss durch jede Spule hängt vom Strom beider Spulen ab.
•
Fluss durch Spule 1:
φ1 = L11 I1 + L12 I2
•
Fluss durch Spule 2:
φ2 = L22 I2 + L21 I1
•
Wobei:
L11
und
L22
Selbstinduktivitäten,
L12 /L21
Gegeninduktivitäten.
Bestimmung der Induktivitäten mit Ampère-Gesetz (µ: Permeabilität des Eisenjochs):
I
~ r = µ0 · µ ·
Bd~
c
Z
~ = µ0 µ · I
~jdA
(37)
Ac
Abbildung 10: Integration über Trafo mit Ampère-Gesetz
Man erhält die magnetische Flussdichte:
1
B · l = µ0 µ(I1 · N1 − I2 · N2 ) =⇒ B = µ0 µ · (I1 · N1 − I2 · N2 )
l
Damit ist der
magnetische Fluss durch Spule 1
φ1 = N1 · A · B = µ0 µ
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
(mit
A:
(38)
Querschnittsäche einer Windung):
A
· (I1 · N12 − I2 · N1 N2 )
l
(39)
18
Formelsammlung
Und durch
Spule 2
analog:
φ1 = N2 · A · B = µ0 µ
Wobei die
Selbstinduktivität
Gegeninduktivität
(40)
der Spule 1 und Spule 2 deniert ist als:
L11 = µ0 µ
Und die
A
· (I1 · N22 − I2 · N1 N2 )
l
A
· N12
l
L22 = µ0 µ
A
· N22
l
(41)
beträgt für beide Spulen (Vorzeichen wg. Wicklungsrichtung):
L12 = L21 = −µ0 µ
A
· N1 · N2
l
(42)
I1 , I2 , ...
Es gilt allgemein: Hat man mehrere getrennte Leiterkreise, in denen Ströme
sich das Gesamtfeld
~
B
Fluss. Durch Stromkreis
ieÿen, setzte
additiv aus den Kreisen zusammen, das gleiche gilt für den Magnetischen
i
tritt der Gesamtuss
φi =
X
φik =
X
k
Lik Ik
k
Ändert sich der Fluss zeitlich, entsteht eine induzierte Spannung im Kreis
Ui,ind =
X
i:
Lik · I˙k
k
.
Ui = Lii · I˙i . Daher wird Lii
Hätte man nur einen Kreis, den Kreis i, wäre
bezeichnet, alle anderen
Lik
als
Gegeninduktivitäten
als
.
Angewendet auf den Transformator ergibt sich für die Spannung
U1
und
Selbstinduktivität
U2 :
U1 = L11 I˙1 + L12 I˙2
U2 = L21 I˙1 + L22 I˙2
Die Spannungsübersetzung errechnet sich wie folgt: Der Magnetische Fluss durch die Spulen ist:
φ1 = N1 · φ
φ2 = −N2 · φ
Die vorgegebene Spannung
U1
ist gleich einer entgegengesetzt gleichen Selbstinduktionsspannung
Uind,1
U1 = −Uind,1 = φ̇1 = N1 · φ̇
In der Sekundärspule induziert dieselbe Flussänderung
φ̇
die Spannung
U2 = φ̇2 = −N2 · φ̇
Man erhält für die Spannungsübersetzung also:
N2
U2
=−
U1
N1
(43)
Sonderfälle:
•
Wenn der Sekundärkreis oen ist, also
R 7→ ∞
(Leerlauf ), dann ieÿt kein Strom durch
ihn, d.h. der Magnetuss stammt ausschliesslich von Spule 1, man hat nur Blindleistung. Der
U1
Leerlaufstrom I1 =
ist reiner leistungsloser Blindstrom, seknundärseitig wird ja auch keine
iωL1
Leistung entnommen.
•
Wenn eine Last an der Sekundärseite anliegt, wird
1
I2 = N
· I1
N2
φ von beiden Strömen I1
und
I2
bestimmt.
Es gilt
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
19
Formelsammlung
Komplexe Wechselstromrechnung
Eine Komplexe Zahl
z
ist darstellbar als:
z = x + iy
p
√
z =r·e
mit
r = x2 + y 2 = zz
z = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ) = r · eiϕ
iϕ
(44)
w = ez = ex (cos(y) + i sin(y)) mit |w| = ex . Der Betrag von eϕ ist daher 1. Für
z
w
z+w
Gröÿen z, w gilt auch: e · e = e
. Wechselspannungen sind durch Fouriertransforma-
Weiterhin gilt:
komplexe
tionen in Sinus/Cosinus-Form zu bringen, daher wird nur Sinusform betrachtet. Wechselspannung
mit Amplitude
U0 :
u(t) = U0 cos(ωt) + U0 i sin(ωt) = U0 eiωt
(eigentlich müsste hier überall im Argument
ωt + ϕ
stehen, aber der Spannnungszeiger wird übli-
cherweise als Bezugszeiger genommen, und daher deniert man
ϕ = 0.
Das gilt dann nicht mehr
für den Strom, der ja durchaus gegenüber der Spannung phasenverschoben sein kann:
i(t) = I0 · ei(ωt+ϕ)
Impedanz
Der komplexe Widerstand Z wird Impedanz genannt. Er ist deniert als
u(t)
U0 eiωt
U0 −iϕ
=
=
·e
i(t)
I0 · ei(ωt+ϕ)
I0
Z=
Damit kann nun der komplexe Widerstand für verschiedene Bauelemente bestimmt werden.
•
Ohmscher Widerstand R.
Spannung:
U = R · I.
Mit den Zeitabhängigen Gröÿen
u(t)
und
i(t):
U0 eiωt = R · I0 · ei(ωt+ϕ)
U0
= R · eiϕ
I0
eingesetzt in Impedanzformel:
ZR =
U0 −iϕ
e
= R · eiϕ e−iϕ = R
I0
Der komplexe Widerstand eines ohmschen Widerstandes ist also
•
Induktivität L.
Spannung:
ZR = R .
U = LI˙
U0 eiωt = LI0 iωei(ωt+ϕ)
U0
= Liωeiϕ
I0
eingesetzt in die Formel für die Imepedanz:
ZL = Liω
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
20
Formelsammlung
•
Kapazität C.
Q = CU
Q
U =
C
1
·I
U̇ =
C
1
U0 iωeiωt =
I0 eiωt eiϕ
C
1 iϕ
U0
=
e
I0
iωC
1
ZC =
iωC
Wechselstromleistung
Betrachtung der Realteile von Strom und Spannung an den drei Grundbauelementen R,L,C. Die
iωt
Spannung wird als u(t) = U0 e
= U0 (cos(ωt) + i sin(ωt)) gesetzt. Der Realteil der Spannung ist
also immer Re(u(t))
•
= U0 cos(ωt).
Strom & Spannung durch ohmeschen Widerstand R.
Es gilt
U = R · I.
Also:
U0 eiωt = R · I(t)
U0
U0 iωt
e
=
(cos(ωt) + i sin(ωt))
I(t) =
R
R
U0
Re(I(t)) =
cos(ωt)
R
Strom und Spannung sind also gleichphasig am Widerstand! (Beide oszillieren mit
•
Strom & Spannung durch Induktivität L.
I(t) = −i
Analoge Rechnung mit
U = L · I˙.
cos(ωt)).
Man erhält
U0
U0
cos(ωt) +
sin(ωt)
ωL
ωL
. Also ist der Realteil des Stromes:
Re(I(t))
=
U0
sin(ωt)
ωL
Mit
sin(α) = cos(α −
wird daraus:
Re(I(t))
=
π
)
2
U0
π
cos(ωt − )
ωL
2
Bei Induktivitäten wird sich der Strom verspäten: es gilt eine Phasenverschiebeung des Stroπ
mes von − .
2
•
Strom & Spannung durch Kapazität C.
U̇ =
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
1
·I
C
21
Formelsammlung
Analoge Vorgehensweise. Es ergibt sich:
Re(I(t))
= −C · U0 · ω sin(ωt) = CU0 ω cos(ωt +
π
)
2
Der Strom läuft also eine Viertel Periode vor.
Die (Gesamt-)Leistung ist deniert als
sin(α) cos(α) = 12 sin(2α) erhält man:
P (t) =
Re(I(t))
· Re(U (t)).
Unter Ausnutzung der Formel
U02
cos2 (ωt)
R
U02
sin(2ωt)
PZL (t) =
2ωL
−CU02 ω
PZC (t) =
sin(2ωt)
2
Re(U (t)) und P (t) dazu.
PZR (t) =
Siehe auch Schaubilder mit
Wirk-/Blindleistung und Wirk-/Blindwiderstand
Der komplexe Widerstand ist ja
Z=
wobei der
Und der
U0
−U0
U (t)
U0 −i ϕ
=
e
= Re(Z) + i · Im(Z) =
· cos(ϕ) + i ·
sin(ϕ)
I(t)
I0
I0
I0
Wirkwiderstand
deniert ist als
ReZ
=
U0
cos(ϕ)
I0
(45)
Im(Z)
=
−U0
sin(ϕ)
I0
(46)
Blindwiderstand
:
Die Leistungsabgabe an Z ist
P (t) = Re(U (t)) · Re(I(t)) = U0 I0 cos(ϕ) cos2 (ωt) − U0 I0 sin(ϕ) sin(ωt) cos(ωt)
Wobei der erste Summand die
Wirkleistung
ist (Wirkwiderstand eingesetzt):
PW irk (t) = U0 I0 cos(ϕ) cos2 (ωt) = Re(Z)I02 cos2 (ωt)
hPW irk i = 21 U0 I0 cos(ϕ).
Strom von ϕ = 0 maximal!
Die Wirkleistung ist im Zeitmittel:
Phase zwischen Spannung und
Der zweite Summand ist die
Blindleistung
(47)
(48)
Das ist ungleich Null, und für eine
ist (Blindwiderstand eingesetzt):
PBlind (t) = −U0 I0 sin(ϕ) sin(ωt) cos(ωt) = Im(Z)I02 sin(ωt) cos(ωt)
(49)
Die Blindleistung ist im Zeitmittel Null. Sie beschreibt das periodische Ein-/und Ausspeisen von
Leistung, um elektrische und magnetische Felder auf-/und abzubauen.
Wichtig bei Bauelementen:
•
Ist die Impedanz
Z = ZR = R
also rein reell, hat man nur einen reinen Wirkwiderstand und
nur Wirkleistung !
•
1
hat man nur
iωC
einen Blindwiderstand, und nur Blindleistung wird aufgebracht. Bsp: Die Wirkleistung einer
2
2
2
2
Spule ist: Pwirk,Spule = Re(ZL )I0 cos (ωt) = Re(iωL)I0 cos (ωt) = 0
Ist die Impedanz rein imaginär, also etwa
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
Z = ZL = iωL
oder
Z = ZC =
22
Formelsammlung
Scheinwiderstand
Der Scheinwiderstand ist der Betrag der Gesamtimpedanz:
U0 −iϕ U0 U0
|Zges | = e = =
I0
I0
I0
(50)
Netzwerke von Impedanzen
Sehr einfach durch Maschenregel und Knotenregel zu beweisen. Einfach
•
Reihenschaltung von Impedanzen
Zges =
Uges
benutzen.
Iges
Z1 , Z2 :
Zges = Z1 + Z2
•
Parallelschaltung von Impedanzen:
1
1
1
=
+
Zges
Z1 Z2
Eektivwerte
Man ordnet einer Wechselspannung einen Eektivwert zu. Der Wert dieser Eektivspannung entspräche einer Gleichspannung, die in dem gleichen Stromkreis die gleiche Leistung erzeugen würde,
wie die Wechselspannung eine Wirkleistung im Mittel erzeugt. Daher:
P =U ·I
und
I =
hPW irk i =
ϕ =
Bei einem Ohmschen Widerstand ist:
ZR = R =
=⇒ hPW irk i =
1 U02
=
2 R
Uef f =
2
Uef
U
f
⇒P =
R
R
1
U0 I0 cos(ϕ)
2
0
U0
I0
1 U02
2 R
2
Uef
f
R
U0
√
2
Eine ähnliche Rechung führt auf den Eektivstrom:
I0
Ief f = √
2
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
23
Formelsammlung
Schwingkreis
Gedämpfter Federschwinger:
mẍ = −kx − γ ẋ
Mit Eigenfrequenz des ungedämpften Oszillators
üblicher Form:
ω0 =
k
1
und Dämpfungszeitkonstante
m
τ
=
γ
in
2m
2
0 = ẍ + ẋ + ω02 · x
τ
Hat 3 Lösungen:
1.
Schwingfall
:
ω0 >
1
. Lösung:
τ
− τt
x(t) = x0 e
2.
Aperiodischer Grenzfall
:
ω0 =
r
1
+φ
τ2
ω02 −
cos(
1
Lösung:
τ
t
x(t) = (x01 + x02 t)e− τ
3.
Kriechfall
:
ω0 <
1
. Lösung:
τ
− τt
x(t) = x01 e
+
Mit
1
τ± = 2
ω0
1
±
τ
− τt
+ x02 e
r
−
1
− ω02
τ2
!
Der R,L,C - Reihen-Schwingkreis hat ähnliche Form (Betrachte Spannungen):
0 = R · I + L · I˙ +
(einmal abgeleitet erhält man DGL für Strom
1
·Q
C
I(t).)
Man erhält obige Lösungen, mit
1
LC
τ=
ω0 = √
L
.
R
(51)
ω02 ist immer der Vorfaktor des linearen Terms. Jetzt werden erzwungene
iωt
mit Anregung Fext = F0 cos(ωt)oder Uext = U0 cos(ωt) = U0 · e
Also
Tipp: Die Resonanzfrequenz
Schwingungen betrachtet,
Federschwinger:
mẍ + γ ẋ + kx = F0 cos(ωt)
Schwingkreis:
Mit
R · I + L · I˙ +
1
· Q = Uext
C
L · Q̈ + R · Q̇ +
1
· Q = Uext
C
(52)
I = Q̇
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
(53)
24
Formelsammlung
Gleichung (52) und (53) entsprechen sich völlig, haben also gleiche Lösung. Dabei entspricht die
Auslenkung
x
der Ladung
Q.
Leitet man beide Gleichungen nochmal ab, erhält man äquivalente
DGL's:
1
L · I¨ + R · I˙ + · I = U̇ext
C
mv̈ + γ v̇ + kv = Ḟext
In diesen Gleichungen entspricht
v
also dem Strom
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
I.
(54)
(55)
Es gelten folgende Diagramme:
25
Formelsammlung
Die Maxwellschen Gleichungen
1. Faradaysches Induktionsgesetz
I
~ d~r = − d
E
dt
c
2. Satz von Gauss
Z
~ dA
~
B
A
I
~ dA
~=Q
E
0
A
3. Quellenfreiheit des Magnetfeldes
I
~ dA
~=0
B
A
4. Ampère'sches Gesetz
I
~ d~r = µ0 · I + 1 d
B
c2 dt
c
Z
~ dA
~
E
A
wobei
c= √
1
0 · µ0
Das Ampère-Gesetz kann man noch anders schreiben: mit Magntefeld
Verschiebedichte
~ =
H
~
B
und elektrischer
µ0
~ = 0 · E
~:
D
I
~ d~r = I · d
H
dt
c
Z
~ dA
~
D
A
Der Zusätzliche Term im Ampèreschen Gesetz ist die Maxwellsche Ergänzung. Sie kommt daher,
dass z.B in einem Kondensator der Ladungsstrom aufhört, aber sich ein elektrisches Feld aufbaut, ein
Magnetfeld wird erzeugt. Die Änderung des Elektrischen Feldes erzeugt also auch ein Magnetfeld.
Q
. Damit ist ein zusätzlicher (VerschiebeDas Elektrische Feld ist fogendermaÿen gegeben E =
0 ·A
)Strom gegeben:
IV = Q̇ = 0 AĖ .
Elektrischen Feldes:
Wenn man das verallgemeinert auf eine Flussänderung des
d
Iv = Q̇ = 0 ·
dt
Z
~ dA
~
E
A
Dieser Strom muss zum Ampèreschen Gesetz hinzugefügt werden, die rechte Seite heisst dann:
µ0 (I + IV ). Mit der Beziehung (im Vakuum) µ0 · 0 = c12 ergibt sich obiges Gesetz.
Moritz Greif, Goethe-Universität Frankfurt/M. SS 2010
26