Übungen zu T4, SS 11, H. Hüffel 1. Geben Sie einen geeigneten

Übungen zu T4, SS 11, H. Hüffel
1. Geben Sie einen geeigneten Definitionsbereich für die Differentialform ω an
x1
dx2
x2
ω = α dx1 + β
und
(a) zeigen Sie, dass ω keine exakte Differentialform ist.
(b) Finden (erraten) Sie einen integrierenden Faktor µ(x1 , x2 ) sodass υ := µ ω exakt ist.
2. Betrachten Sie die folgenden Differentialform auf R2
ω = x2 dx1
Untersuchen Sie mittels der Integrabilitätsbedingung, ob ω exakt ist! Vergleichen Sie überdies die
R
Wegintegrale γ ω für die Wege (i) γ ist eine gerade Strecke von (1,1) bis (2, 41 ), (ii) γ ist ein
Teilstück von x2 = 1/x12 von (1,1) bis (2, 14 ).
3. Sei ω eine Differentialform auf R2 \ (0, 0)
x
y
dx − 2
dy
x2 + y 2
x + y2
R
Ist ω exakt? Berechnen Sie das Wegintegral γ ω für einen Einheitskreis um den Ursprung in der
ω=
(x, y)-Ebene.
4. Beweisen Sie für f = f (u, v), g = g(u, v), u = u(x, y), v = v(x, y) die Kettenregel
∂(f, g)
∂(f, g) ∂(u, v)
=
∂(x, y)
∂(u, v) ∂(x, y)
für Jacobi-Determinanten
∂(f, g)
=
∂(u, v)
∂f
∂u
v
∂g
∂v
−
u
∂f
∂v
u
∂g
∂u
v
Freiwillige Zusatzaufgabe: Gewinnen Sie aus der Definition der Jacobi-Determinante und der Kettenregel durch die spezielle Wahl von x = f, y = g, g = v, dass
∂f
∂u
v
=
1
∂u
∂f
,
v
∂f
∂u
=−
v
∂f
∂v
u
∂u
∂v f
5. Sir Hillary erhitzte 1 m3 Wasser von 20°C auf 40°C, um vor der Besteigung des Mt. Everest zu
baden (C = 4, 2 kJ kg −1 K −1 ). Berechnen Sie die Energie in kWh, die er dafür benötigte. Zeigen
1
Sie, dass diese Energie ausreicht, um seine Seilschaft (14 Bergsteiger von je 68kg) vom Meeresniveau
bis zum Mt. Everest Gipfel (8.848 Metern über dem Meeresspiegel) zu heben.
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Übungen zu T4, SS11, H. Hüffel
1. Seien x, y, z nicht unabhängige Variable, sondern durch eine Gleichung f (x, y, z) = 0 miteinander
verknüpft. Es sei vorausgesetzt, dass die Gleichung nach jeder der drei Variablen eindeutig auflösbar
ist, sodass wir x = x(y, z), y = y(x, z) und z = z(x, y) schreiben können. Beweisen Sie, dass
∂x
∂z
=
y
∂z
∂x
−1
,
y
∂x
∂y
z
∂y
∂z
x
∂z
∂x
= −1
y
Hinweis: Betrachten Sie die totalen Differentiale dx und dz, setzen Sie dz in dx ein.
2. Kann eine Adiabate eine Isotherme zweimal schneiden?
3. Betrachten Sie eine Carnot-Maschine: Zeigen Sie, dass diese (i) als Kühlschrank M W < 0, Q1 <
0, Q2 < Q1 < 0 erfüllt und berechnen Sie für diese als (ii) Wärmekraftmaschine Wirkungsgrad und
Leistung: Vc = 9000cm3 , Temperatur der Brennkammer T2 = 1800K, Temperatur des Auspuffgases
T1 = 650K, Druck des Auspuffgases ist der normale Luftdruck Pc = 0, 1M P a. Wie groß ist das
Volumen des Verdichterraumes Va zu wählen, wenn der Verbrennungshöchstdruck Pa = 10M P a
beträgt? Arbeitsmedium ist ideales Gas mit γ = 1, 40, die Zahl der Umläufe beträgt 1500 min−1 .
4. Welche der folgenden Zustandsgleichungen sind inkonsistent?
(i) P V = nRT, U = C T 2
(ii) P V = nRT, U = C T + V
(iii) P V = nRT + aT 2 /V, U = C T
(iv) P V = nRT + aT 2 /V, U = C T − aT 2 /V
5. Berechnen Sie die Gesamtzunahme der Entropie (System + Umgebung) bei folgenden Prozessen:
a) ein Stück Eisen mit Masse 15 kg, Wärmekapazität 550J/K und Temperatur 1000 C wird in einen
See mit Temperatur 100 C getaucht.
b) ein Stück Eisen mit Masse 15 kg und Temperatur 100 C wird aus 100m Höhe in einen See mit
Temperatur 100 C geworfen.
c) Temperaturausgleich zwischen zwei 15 kg Eisenstücken, mit Anfangstemperaturen 100 C bzw.
1000 C.
d) ein Kondensator mit Kapazität 15 µF und anfänglicher Spannung 100V wird bei 100 C entladen.
6. Betrachten Sie
dQ = CV dT +
∂U
∂V
T
∂U
∂V
+ P dV, dQ = CP dT +
+P
dP
∂P T
∂P T
3
und leiten Sie daraus ab
T dS = CV dT + T
∂P
∂T
dV, T dS = CP dT − T
V
∂V
∂T
sowie
T dS = CV dT +
wo
1
α=
V
αT
dV, T dS = CP dT − αT V dP
κT
∂V
∂T
P
1
, κT = −
V
4
∂V
∂P
,
T
dP
P
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7. Zeigen Sie
CP − CV =
T V α2
,
κT
CP
κT
=
CV
κS
wobei
1
κS = −
V
und weiters
CV =
∂V
∂P
T V α2 κS
,
(κT − κS )κT
S
CP =
T V α2
κT − κS
8. Ein Kühlschrank soll in einer Stunde 10 Liter Wasser von 00 C in Eis von 00 C überführen können.
Dazu muss die Wärme Q = 800kcal an die Außenluft von 250 C abgegeben werden. Welchen
Anschlusswert (in Watt) muß der Kühlschrank mindestens haben?
9. Die Entropie des idealen Gases lautet
S = kN
3
lnU + kN lnV + S0
2
wo CV = 32 kN gesetzt wurde. Unter der Annahme, dass die Entropie in ihren natürlichen Variablen
eine extensive Größe ist
S(λU, λV, λN ) = λ S(U, V, N )
muss die Konstante S0 von N abhängen. Finden Sie die entsprechende Bedingung an S0 (N ) sowie
die explizite Lösung. Damit können Sie die Entropie auch folgendermaßen angeben:
" 3 #
V
U 2
S = kN ln
c0
N
N
wo c0 eine Konstante ist.
10. Die bei konstanter Temperatur T0 = 1 durch Expansion von V0 = 1 auf V geleistete Arbeit 4W
eines Systems sei
4W = R ln V,
die Entropie S des Systems sei
S=
R α
T
V
wo α eine Konstante ist. Berechnen Sie die freie Energie F (T, V ).
11. Bestimmen Sie für das obige System die thermische und kalorische Zustandsgleichung, berechnen
Sie die bei einer beliebigen konstanten Temperatur T durch Expansion von V0 = 1 auf V geleistete
Arbeit.
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Übungen zu T4, SS 11, H. Hüffel
12. Eine Substanz hat das molare Gibbs-Potential
T
a
P
P − cT ln
+ b−
+ cT − dT 2 + g0
g(T, P ) = RT ln
P0
T
T0
wo R, a, b, c, d, P0 , g0 Konstante sind. Bestimmen Sie die thermische Bewegungsgleichung und
berechnen Sie cv (T, v) und cP (T, P ).
13. Beweisen Sie
a) mittels der Konkavität von s(u, v), dass cv ≥ 0 ist
b) mittels der Konvexität von f (T, v) bezüglich v bei konstantem T , dass κT ≥ 0 ist. Folgern Sie
daraus cP − cv ≥ 0.
14. Zeigen Sie, dass das Gibbsche Potential g(T, P )
a) bezüglich T bei festem P konkav ist
b) bezüglich P bei festem T konkav ist
c) bezüglich P und T konkav ist
Hinweis zu c) g(T, P )=inf s,v {u(s,v)-Ts+Pv}
15. Zeichnen Sie die folgenden Prozesse sowohl in einem P V als auch P T Diagramm:
a) Trockener Wasserdampf in reiner Gasphase wird bei konstantem Druck abgekühlt, bis die Flüssigkeit zu kondensieren beginnt.
b) Mit der Kühlung wird fortgefahren, bis die ganze Masse flüssig ist.
c) Wasserdampf wird bei konstantem Volumen erhitzt bis P > Pcr , dann komprimiert bei festem
Druck bis v < vcr und schließlich abgekühlt bei festem Volumen, bis alles flüssig ist.
d) Feuchter Wasserdampf (Mischung von Gasphase und flüssiger Phase) mit Massenverhältnis
x = 0.5 wird bei konstantem Druck erhitzt, bis sich das Volumen verdoppelt hat.
e) Wasser hat Anfangstemperatur T = 200 C bei Druck P = 1 bar. Jetzt wird der Druck erniedrigt
und bei fester Temperatur Wärme zugeführt bis feuchter Dampf mit x = 0.1 entsteht.
16. Zeigen Sie, dass die spezifische Wärme cv eines van der Waals Gases nicht vom Volumen abhängt
und berechnen sie für konstantes cv die Entropie s(T, v).
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Übungen zu T4, SS 09, H. Hüffel
17. Eine Substanz hat die molare freie Energie
f (T, v) = −RT ln
v
− aT 2
v0
mit Konstanten R, v0 und a. Bestimmen Sie die thermische Bewegungsgleichung und berechnen
Sie cv (T, v) und cP (T, P ).
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Übungen zu T4, SS 11, H. Hüffel
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