eine abzählbare dichte Teilmenge von X. Sei A ⊂ X. Wähle zu

2.1 Sei M = {x1 , x2 , . . .} eine abzählbare dichte Teilmenge von X. Sei A ⊂ X.
Wähle zu jedem l ∈
und k ∈
ein akl ∈ B1/k (xl ) ∩ A aus, sofern ein solches
vorhanden ist. Die Menge S dieser Elemente ist dann abzählbar und dicht in A: Zu
jedem k ∈ und a ∈ A gibt es ein xl ∈ M und ein akl ∈ A mit
N
N
N
d(a, xl ) <
1
1
, d(akl , xl ) <
k
k
⇒
d(a, akl ) <
2
.
k
Man beachte, dass hier das Auswahlaxiom verwendet wurde.
2.2 Nach Aufgabe 2.1 ist ein metrischer Raum nicht separabel, wenn er eine nichtseparable Teilmenge enthält. Als nichtseparable Teilmenge wählen wir die Menge
der Folgen, deren Elemente nur aus {0, 1} bestehen. Diese Menge ist überabzählbar
und enthält keine abzählbare dichte Teilmenge. Die Folgen mit rationalen Gliedern,
die nur endlich viele nichtverschwindende Elemente enthalten, liegen dicht in c0 ( )
und sind abzählbar.
N
2.3 ”⇒” Sei E kompakt. Dann ist E abgeschlossen und beschränkt. Die Folge y mit
y(i) = sup |x(i)|
x∈E
liegt daher im Raum l∞ . Angenommen, y ∈
/ c0 . Dann gibt es ein ε > 0 und eine Folge
ij → ∞ mit |y(ij )| ≥ ε. Nach Definition von y gibt es xij ∈ E mit |xij (ij )| ≥ ε/2.
Dies schließt aber die Konvergenz einer Teilfolge gegen ein Element aus c0 aus.
Widerspruch zur Kompaktheit.
”⇐” Für alle x ∈ E gilt |x(i)| ≤ |y(i)|. Wegen y ∈ c0 gibt es zu ε > 0 ein I ∈
mit |x(i)| < ε für alle x ∈ E und i > I. Damit überdeckt Bε (0) den hinteren Teil der
Folgen in E. Im vorderen Teil können wir die Elemente von E mit einer beschränkten
Menge des I identifizieren. Diese ist präkompakt und kann daher mit endlich vielen
Kugeln vom Radius ε überdeckt werden. Insgesamt ist die Menge E präkompakt.
Da sie außerdem als abgeschlossen vorausgesetzt wurde, ist sie kompakt.
N
K
2.4 a) X = [0, 1] ist kompakt, A = (0, 1] eine Teilmenge von X. Die Intervalle
(2−i , 1] bilden für i ∈
eine offene Überdeckung von A, zu der es keine endliche
Teilüberdeckungg gibt. Die Aussage ist daher falsch.
b) Es gibt eine Folge (yk ) mit d(x, yk ) → dist (x, A). Da A kompakt, gibt es eine
konvergente Teilfolge, die wir genauso nennen, also yk → y0 . Da die Metrik stetig
ist, gilt dist (x, A) = d(x, y0 ).
c) Wäre dist (x, A) = 0, so gibt es eine Folge (yk ) in A mit d(x, yk ) → 0. Dann
enthält aber jede Umgebung von x ein Element von A, womit x Berührpunkt wäre.
Da A abgeschlossen ist, folgt x ∈ A.
N