Lösungsvorschläge zu Blatt 1 1) a) E(X)=(−1) · q + 1 · p = p − q = 2p

Lösungsvorschläge zu Blatt 1
1) a)
E(X) = (−1) · q + 1 · p = p − q = 2p − 1
E(X 2 ) = (−1)2 · q + 12 · p = p + q = 1
V (X) = E(X 2 ) − E(X)
2
= 1 − (p − q)2 = (p + q)2 − (p − q)2
= p2 + 2pq + q 2 − p2 + 2pq − q 2 = 4pq
b)
E(X) = (−1) · p + 0 · (1 − 2p) + 1 · p = 0
E(X 2 ) = (−1)2 · p + 12 · p = 2p
2
V (X) = E(X 2 ) − E(X) = 2p
2) a)Da f (x) = 0 außerhalb von [a, b] gilt, erhalten wir
b
x
x2
E(X) :=
xf (x)dx =
dx =
2(b − a) x=a
−∞
a b−a
2
2
b+a
b −a
=
=
2(b − a)
2
Z
Z
∞
b
und
b
x3
x2
dx =
E(X ) =
x f (x)dx =
3(b − a) x=a
−∞
a b−a
2
3
3
b + ab + a2
b −a
=
=
3(b − a)
3
(b3 − a3 ) : (b − a) = b2 + ab + a2
2
Z
∞
Z
2
b
4b2 + 4ab + 4a2 − 3(b + a)2
b2 + ab + a2 (b + a)2
−
=
3
4
12
2
4b2 + 4ab + 4a2 − (3b2 + 6ab + 3a2 )
b2 − 2ab + a2
b−a
1
=
=
=
·
12
12
2
3
V (X) = E(X 2 )−(E(X))2 =
Bem.: Die Vereinfachungen der Ausdrücke für E(X) und V (X) sind nicht nötig,
aber nützlich für die Verwendung der Ergebnisse in späteren Aufgaben.
b)
E(X) =
Z
∞
x 0.5e−|x| dx = 0,
−∞
1
da wir einen ungeraden Integranden über symmetrisches Intervall integrieren und
das Integral
Z
∞
−∞
|x| 0.5e−|x|dx
konvergent ist. Den Nachweis der Konvergenz werden wir an dieser Stelle exemplarisch durchführen. Später, z.B. bei der Bildung von weiteren
R ∞ Erwartungswerten,
nehmen
wir
die
Konvergenz
von
Integralen
der
Form
|x|f (x)dx oder
∞
R∞ 2
x f (x)dx ohne gesonderten Nachweis an.
∞
Da |x| = x für x ≥ 0 gilt, erhalten wir nach der ersten in der Aufgabenstellung
angegebenen Integralformel, dass
Z b
Z ∞
Z ∞
−|x|
−x
x e−x dx
|x| e dx =
x e dx = lim
0
b→∞
0
e−x
· ((−1) · x − 1)
= lim
b→∞ (−1)2
b
x=0
0
= lim −e−b · b − e−b + 1 = −0 − 0 + 1
b→∞
und damit konvergent ist, wobei die in der Aufgabenstellung angegebene Grenzwertformel (xb
=b, α = 1 bzw. = 0 und β = 1) verwendet wurde. Mit der Substitution u := −x erhalten wir dann, da | − u| = u ist, dass das Integral
Z 0
Z 0
Z ∞
−|x|
−|−u|
|x| e dx =
| − u| e
(−1)du =
u e−|u|du
−∞
∞
0
ebenfalls konvergent ist. Aus beiden Teilaussagen ergibt sich schließlich die gewünschte Konvergenz.
Z ∞
Z ∞
Z ∞
2
2
−|x|
2
−|x|
V (X) = E(X ) − 0 =
x 0.5e dx = 2
x 0.5e dx = 2
x2 0.5e−x dx
−∞
0
(Integrand gerade, symmetrisches Intervall)
2
b
x
2x
2
(−1)·x
= lim
e
−
+
b→∞
(−1) (−1)2 (−1)3
x=0
0
(vergl. Formel aus Aufgabenblatt mit a = −1)
= lim −b2 e−b − 2be−b − 2e−b + 2 = 2 (vergl. Formel aus Aufgabenblatt mit β = 1,
b→∞
α = 2, 1 bzw. 0)
2
c) Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung:
Z ∞
Z 1
Z
f (x)=0 außerhalb von [0,2]
E(X) :=
xf (x)dx
=
0+
x · xdx +
−∞
x3
=
3
0
x · (2 − x)dx + 0
2
x3
1
8
1
2
+ x −
= ( − 0) + (4 − − 1 + ) = 1,
3 1
3
3
3
0
E(X ) =
Z
∞
2
x f (x)dx = 0 +
−∞
x4
=
4
1
1
2
2
1
Z
0
2x3 x4
+
−
3
4
0
V (X) = 0.167,
2
1
1
2
x · xdx +
Z
2
1
x2 · (2 − x)dx + 0
1
2 · 8 16 2 1
= ( − 0) + (
−
− + ) = 1.167,
4
3
4
3 4
σ(X) = 0.408.
3)
Z
∞
1
E(X) :=
x · f (x)dx =
2
−∞
Z
π/2
x cos x dx = 0,
−π/2
da eine ungerade Funktion über ein symmetrisches Intervall integriert wird.
Z π/2
Z π/2
1 2
1 2
2
2
V (X) = E(X ) − (E(X)) =
x cos x dx = 2
x cos x dx
2
−π/2 2
0
(symmetrisches Intervall, gerader Integrand)
π/2
= x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x 0
π 2
· 1 + 0 − 2 · 1 − 0 = 0.467
=
2
4)
E(X) = E(cos Z) =
2
Z
∞
cos z fZ (z)dz =
−∞
2
Z
π
cos z
1
dz =
[sin z]π−π = 0
2π
2π
−π
2
V (X) = E(X ) − (E(X)) = E(cos Z) − 0 =
Z
π
−π
Z π
(cos z)2
1
1 + cos 2z
dz =
dz
2π
2π −π
2
π
2π
sin 2z
1
1
=
z+
= .
=
4π
2
4π
2
−π
5)
X sei der Gewinn bei Entscheidung A und Y der Gewinn bei Entscheidung B.
a) E(X) = 2.5 · 0.30 + 2 · 0.50 + (−1) · 0.20 = 1.55,
E(X 2 ) = 2.52 · 0.30 + 22 · 0.50 + (−1)2 · 0.20 = 4.075,
3
2
2
V (X) = E(X
= 4.075 − 1.552 = 1.6725,
p ) − (E(X))
√
σ(X) := V (X) = 1.6725 = 1.29,
E(Y ) = 5 · 0.30 + 3 · 0.40 + (−2) · 0.30 = 2.1,
E(Y 2 ) = 52 · 0.30 + 32 · 0.40 + (−2)2 · 0.30 = 12.3,
2
2
2
V (Y ) = E(Y
p ) − (E(Y
√ )) = 12.3 − 2.1 = 7.89,
σ(Y ) := V (Y ) = 7.89 = 2.8,
b) Wenn eine Unternehmensleitung nur auf den erwarteten Gewinn achtet,
wird sie sich für Alternative B entscheiden. Dies ist aber mit einem großen Risiko verbunden; denn es sollten auch Abweichungen von dem erwarteten Gewinn
berücksichtigt werden, und dies lässt sich grob mit den Intervallen
[E(X) − σ(X), E(X) + σ(X)] = [1.55 − 1.29, 1.55 + 1.29] = [0.26, 2.84],
[E(Y ) − σ(Y ), E(Y ) + σ(Y )] = [2.1 − 2.8, 2.1 + 2.8] = [−0.7, 4.9]
erreichen. Bei Alternative B reicht dieses Intervall in den negativen Bereich und
bei Alternative A nicht. Andererseits ist 4.9 deutlich größer als 2.84. eine risikofreudige Unternehmensleitung wird sich wohl für Alternative B, eine sehr
vorsichtige für Alternative A entscheiden.
6) Zu berechnen ist die Wahrscheinlichkeit
P (|X − E(X)| ≤ σ(X)) = P (E(X) − σ(X) ≤ X ≤ E(X) + σ(X))
für einige ZV aus den vorherigen Aufgaben.
√
zu 1 b) E(X) = 0 und aus p ≤ 1/2 folgt: σ(X) = 2p ≤ 1.
Für p = 0 ist X keine “echte” ZV und damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit
= 1.
p = 1/2 : P (E(X) − σ(X) ≤ X ≤ E(X) + σ(X)) = P (−1 ≤ X ≤ 1) = 1,
da X nur Werte zwischen (−1)und (+1) annimmt.
√
√
0 < p < 1/2 : P (E(X) − σ(X) ≤ X ≤ E(X) + σ(X)) = P (− 2p ≤ X ≤ 2p)
= P (X = 0) = 1 − 2p. (P (|X − E(X)|
√ ≤ σ(X)) kann also
√ sehr klein werden.)
Dabei wurde benutzt, dass −1 < − 2p < 0 und 0 < 2p < 1 ist und X nur
ganzzahlige Werte annimmt.
√
zu 2 a) σ(X) = (b − a)/(2 3) und damit > 0 und < (b − a)/2, und
E(X) = (b + a)/2.
Daraus folgt:
E(X) − σ(X) >
b+a b−a
b+a b−a
−
= a und E(X) + σ(X) <
+
= b.
2
2
2
2
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhalten wir somit, da X eine stetige ZV ist
und da das Intergrationsintervall ⊂ [a, b] ist:
Z
E(X)+σ(X)
E(X)−σ(X)
zu 2 b) σ(X) =
√
dx
1
2σ(X)
1
E(X)+σ(X)
=
[x]E(X)−σ(X) =
= √ = 0.577.
b−a
b−a
b−a
3
2. Da der Integrand eine gerade Funktion ist und über ein
4
symmetrisches Intervall integriert wird, erhalten wir für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
Z √2
Z √2
√
√
√
−|x|
P (0 − 2 ≤ X ≤ 0 + 2) = 0.5 √ e dx =
e−x dx = 1 − e− 2 = 0.757.
− 2
0
7) X binomialverteilt mit p = 0.2 und n = 10:
q = 1 − p = 0.8
10
0.2k 0.810−k
k = 0, 1, . . . , 10
P (X = k) =
k
a)
P (X 6 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)
10
10
10
1
9
0
10
0.22 · 0.88
0.2 · 0.8 +
0.2 · 0.8 +
=
2
1
0
10 · 9
2
8
2
= 0.8 1 · 1 · 0.8 + 10 · 0.2 · 0.8 +
· 0.2 · 1
1·2
= 0.88 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678
P (X < 2) = P (X = 0) + P (X = 1)
= 0.88 [0.64 + 1.6] = 0.376
P (X > 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + . . . + P (X = 10) = . . .
günstiger:
P (X > 2) = 1 − P (X < 2) = 1 − 0.376 = 0.624
P (X > 1) = 1 − P (X < 1) = 1 − P (X = 0)
= 1 − 0.810 = 0.893
P (1 < X 6 3) = P (X = 2) + P (X = 3)
10
10
2
8
0.23 · 0.87
0.2 · 0.8 +
=
3
2
10 · 9 · 8
2
7 10 · 9
· 0.8 +
· 0.2
= 0.2 · 0.8
2
1·2·3
= 0.503
b)
E(X) = n · p = 10 · 0.2 = 2
5
V (X) = n · p · q = 2 · 0.8 = 1.6
8) Lieferung: 10000 Schrauben, 50 defekt, 20 Ziehungen m.Z.
”m.Z.” ⇒ nach jeder Ziehung einer Schraube wird der alte Zustand wiederhergestellt ⇒ Die 20 Ziehungen m.Z. bilden ein Bernoulli-Experiment.
”Erfolg”:= Ziehung eines defekten Stückes;
50
Wahrscheinlichkeit dafür: p =
= 0.005.
10000
q := 1 − p = 0.995
X:= Anzahl der Ziehungen von defekten Stücken
X ist binomialverteilt mit n = 20, p = 0.005, q = 0.995.
20
0.005k · 0.99520−k
P (X = k) =
k
a)
20
0.99520 = 1 · 0.99520 = 0.905
P (X = 0) =
0
b)
20
0.0051 · 0.99519 = 20 · 0.005 · 0.99519 = 0.091
P (X = 1) =
1
c)
P (X 6 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0.996
9) Bedingungen, damit das Modell des Bernoulli-Experiment exakt anwendbar ist:
Zufällige Auswahl aus den wahlberechtigten Einwohnern der Stadt ”m.Z.”, d.h.
es können Personen mehrfach befragt werden.
”Erfolg”: Befragte Person ist für Partei A, Wahrscheinlichkeit: p = 0.45
X:= Anzahl der Resultate ”für A” bei den 50 Befragungen
X ist binomialverteilt mit p = 0.45 (⇒ q = 0.55), n = 50
44% von 50 : 22
46% von 50 : 23
P (22 6 X 6 23) = P (X = 22) + P (X = 23)
50
50
22
28
· 0.4523 · 0.5527
· 0.45 · 0.55 +
=
23
22
50 · 49 · · · 28
50 · 49 · · · 29
· 0.4522 · 0.5528 +
· 0.4523 · 0.5527 = 0.223
=
1 · 2 · · · 22
1 · 2 · · · 23
6