Biostatistik, Sommer 2017 - Folgen, Summen - staff.uni
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Biostatistik, Sommer 2017 Folgen, Summen, Exponentialfunktion, Lambert-Beer Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 2. Vorlesung: 28.04.2017 1/32 Inhalt 1 2 3 Folgen Begriffsbildung Grenzwerte Summen und Produkte Summenzeichen Produktzeichen Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Logarithmus Lambert-Beer Gesetz 2/32 Folgen Begriffsbildung Eine Folge von Zahlen ist... eine Folge von Zahlen a1 , a2 , a3 , . . .. Beispiele für Folgen 1 2 3 4 5 an = 1 für jedes n 1, 1, 1, . . ., an = (−2)n−1 für jedes n 1, −2, 4, −8, . . ., 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . ., a1 = a2 = 1, an+1 = an−1 + an (Fibonacci Zahlen) an ist die n-te Primzahl, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . 6, 3, 5, 2, 3, 2, 6, 1, 4, 6, 5, 4, . . .. Würfelergebnisse Ein Bildungsgesetz... kann manchmal explizit angegeben werden (1), (2) kann manchmal rekursiv angegeben werden (3) ist manchmal sehr komplex (4) gibt es manchmal nicht (5) 3/32 Folgen Grenzwerte Grenzwerte Wir schreiben a = limn→∞ an , falls sich an für großes n immer weiter an a annähert. Beispiele 1 lim = 0 n→∞ n lim n2 = ∞ n→∞ 2 + 1/n2 2 = n→∞ 3 + 1/n 3 lim (−1)n existiert nicht lim n→∞ lim (1 + 1/n)n = 2.71828 . . . = e (Euler’sche Zahl) 1 1 lim (1 + 3/n)−n = = = 3m n→∞ lim (1 + 1/m) lim ((1 + 1/m)m )3 n→∞ m→∞ m→∞ 1/e3 = 0.04978 . . . (mit 3m = n); vergleiche Stausee 4/32 Summen und Produkte Summenzeichen Summenzeichen Wir definieren n X ai = a1 + a2 + . . . + an . i=1 5/32 Summen und Produkte Summenzeichen Beispiel: Arithmetische Summe 10 X i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55. i=1 100 X i = 1 + 2 + 3 + . . . + 99 + 100 i=1 = (1 + 100) + (2 + 99) + . . . + (50 + 51) = 50 · 101 = 5050. Allgemein für n = 1, 2, 3, . . . n X i=1 i= n(n + 1) 2 6/32 Summen und Produkte Summenzeichen Beispiel: Geometrische Summe/Reihe 9 X 2i = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 i=0 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023 = 210 − 1. Allgemein ist n X ai = i=0 an+1 − 1 . a−1 Für −1 < a < 1 ist ∞ X i=0 ai = 1 . 1−a 7/32 Summen und Produkte Produktzeichen Produktzeichen Wir definieren n Y ai = a1 · a2 · · · an . i=1 Beispiel 1 5 Y (2 + i) = 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 2520 i=1 2 n! = n Y i=1 i = 1 · 2 · 3 · · · n (sprich: n Fakultät“) ” 8/32 Summen und Produkte Produktzeichen Beispiel: Geburtstagsproblem Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass von 23 Leuten mindestens zwei am selben Tag Geburtstag feiern? 1−p =1· 364 363 365 − 22 · ··· . 365 365 365 Also ist p =1− 22 Y 365 − i i=0 365 . Taschenrechner: p = 0.5073. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag feiern, beträgt 50.73%. 9/32 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Definition der Exponentialfunktionen Für a > 0 sei fa (x) = ax für x ∈ R. Nach den Rechenregeln für Potenzen ist fa (0) = 1 fa (1) = a fa (x + y) = fa (x) · fa (y) für alle x, y ∈ R. Diese drei Eigenschaften legen die Funktion fa eindeutig fest. 10/32 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Asymptotik der Exponentialfunktionen Für a > 1 gilt a < a2 < a3 < . . . und lim an = ∞. n→∞ Also lim fa (x) = ∞ x→∞ falls a > 1. Wegen fa (−x) · fa (x) = fa (−x + x) = fa (0) = 1 ist fa (−x) = 1/fa (x). Also gilt lim fa (x) = 0 x→−∞ falls a > 1. 11/32 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen 10 Exponentialfunktionen fa mit a > 1 0 2 4 6 8 1.5x 2x 3x −3 −2 −1 0 1 2 3 12/32 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Asymptotik der Exponentialfunktionen Für a < 1 gilt a > a2 > a3 > . . . und lim an = 0. n→∞ Also lim fa (x) = 0 x→∞ falls a < 1. Wie oben gilt lim fa (x) = ∞ x→−∞ falls a < 1. Dies folgt auch aus fa (x) = ax = (1/a)−x = f1/a (−x). 13/32 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen 6 8 10 Exponentialfunktionen fa mit a < 1 0 2 4 0.2x 0.5x 0.8x −3 −2 −1 0 1 2 3 14/32 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Zusammenfassung Exponentialfunktionen fa (x) = ax für a > 0 und x ∈ R. Satz (Rechenregeln) fa (0) = 1, fa (1) = a fa (x + y) = fa (x) · fa (y) fa (x) = f1/a (−x) Satz (Asymptotik) Für a > 1 ist fa monoton wachsend und lim fa (x) = ∞ x→∞ und lim fa (x) = 0. x→−∞ Für a < 1 ist fa monoton fallend und lim fa (x) = 0 und x→∞ lim fa (x) = ∞. x→−∞ 15/32 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Euler’sche Zahl Die Euler’sche Zahl e ist ∞ X 1 e= = 2.718 . . . n! n=0 Man prüft leicht, z.B. mit dem Taschenrechner, dass 5 X 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + n! 0! 1! 2! 3! 4! 5! n=0 =1+1+ 1 1 1 1 + + + 2 6 24 120 = 2.7167. 16/32 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Natürliche Exponentialfunktion Mit exp(x) = ex bezeichnen wir die natürliche Exponentialfunktion oder kurz die Exponentialfunktion. Wir werden noch sehen, was an dieser Wahl natürlich“ ist. ” 17/32 Exponentialfunktion Logarithmus Definition des Logarithmus Sei a > 1 und y > 0. Wir wollen fa (x) = ax = y (∗) nach x auflösen. Wir wissen: ax → 0, falls x → −∞ und ax → ∞, falls x → ∞. Also gibt es eine Lösung von (∗). Wir nennen x den Logarithmus von y zur Basis a und schreiben x = loga (y). Es gilt also aloga (y) = y für jedes y > 0. Andererseits ist loga (ax ) = loga (y) = x für jedes x ∈ R. Wir sagen, dass loga die Umkehrfunktion von fa ist. 18/32 Exponentialfunktion Logarithmus Charakteristische Gleichung 0 Für ax = y und ax = y 0 ist 0 loga (y · y 0 ) = loga (ax · ax ) 0 = loga (ax+x ) = x + x0 = loga (y) + loga (y 0 ). Analog wird loga für 0 < a < 1 definiert. 19/32 Exponentialfunktion Logarithmus Natürlicher Logarithmus Für a = e = 2.718 . . . die Euler’sche Zahl nennen wir ln = log = loge den natürlichen Logarithmus. Dies ist die Umkehrfunktion zur natürlichen Exponentialfunktion exp. 20/32 Exponentialfunktion Logarithmus Rechenregeln des Logarithmus Satz Für x ∈ R und y, z > 0 sowie 0 < a < 1 oder a > 1 gilt loga (ax ) = x, aloga (y) = y loga (yz) = loga (y) + loga (z) loga (y) = log(y) ln(y) = log(a) ln(a) loga (1) = 0, loga (a) = 1 Für y ↓ 0 gilt ln(y) ↓ −∞. Für y → ∞ gilt ln(y ) → ∞. 21/32 Exponentialfunktion Logarithmus 0 −2 −4 ln(y) 2 4 Natürlicher Logarithmus ln −1 0 1 2 3 4 22/32 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Lambert-Beer Gesetz I0 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 L I1 Küvette mit Konzentration c, Breite L. Einfallendes Licht I0 (Lux). Ausfallendes Licht I1 = I1 (c, L). Anteil: α(c, L) = I1 (c, L)/I0 . Wie groß ist α(c, L)? 23/32 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Abhängigkeit von der Breite I0 11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 L/2 1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 L/2 I1 Einfallendes Licht I0 (Lux). Ausfallendes Licht I1 = I0 · α(c, L/2) · α(c, L/2). Anteil: α(c, L) = α(c, L/2)2 . 24/32 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Abhängigkeit von der Breite I0 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 L/4 111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 L/4 111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 L/4 111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 I1 L/4 Einfallendes Licht I0 (Lux). Ausfallendes Licht I1 = I0 · α(c, L/4) · α(c, L/4) · α(c, L/4) · α(c, L/4) Anteil: α(c, L) = α(c, L/4)4 . 25/32 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Abhängigkeit von der Breite Allgemein für x > 0: α(c, L) = α(c, L/x)x . Für x = L α(c, L) = α(c, 1)L . 26/32 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Abhängigkeit von der Konzentration I0 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 L I1 I0 1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 I1 L Küvette mit Konzentration c, Breite L. Anteil: α(c, L) = I1 /I0 . Linke Küvette mit Konzentration 2c, Breite L/2. Rechte Küvette mit Konzentration 0, Breite L/2. 27/32 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Abhängigkeit von der Konzentration I0 11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 L/2 I1 L/2 Linke Küvette mit Konzentration 2c, Breite L/2. Rechte Küvette mit Konzentration 0, Breite L/2. I1 = I0 · α(2c, L/2) · α(0, L/2) = I0 · α(c, L). Also α(2c, L/2) = α(c, L). 28/32 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Abhängigkeit von der Konzentration Allgemein für x > 0: α(cx, L/x) = α(c, L). Mit x = 1/c folgt α(c, L) = α(cx, L/x) = α(1, cL) = α(1, 1)c L . α(1, 1) =Anteil des Lichtes, der bei einer Dicke von L = 1m und einer Konzentration c = 1mol/l durchkommt. Setze ε := − log10 α(1, 1) dekadischer Extinktionskoeffizient“. ” Dann ist α(1, 1) = 10−ε , also α(c, L) = α(1, 1)c L = 10−ε c L . 29/32 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz I0 = Stärke einfallendes Licht I1 = Stärke ausfallendes Licht L = Breite der Küvette c = Konzentration der Lösung ε = dekadischer Extinktionskoeffizient (Tabelle). Satz (Lambert-Beer’sches Gesetz) Es gilt I1 = I0 · 10−εcL . Oft wird mit I0 I1 die Extinktion bezeichnet. Es gilt also E = log10 E = εcL. 30/32 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Photometrie, Beispiel: Tryptophan Bei einer Wellenlänge von 280 nm (UV) absorbiert die aromatische Aminosäure Tryptophan (Trp). Wir messen die Extinktion E = log10 I0 = 0.05. I1 Küvettenbreite: L = 1cm. Wie hoch ist die Trp-Konzentration? 31/32 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Photometrie, Beispiel: Tryptophan Bei einer Wellenlänge von 280 nm (ultraviolett) wird eine Extinktion I0 E = log10 = 0.05 I1 gemessen. Tabelle: l ε = 5600 . mol cm Also ist c= E 0.05 mol cm mol = = 8.93 · 10−6 = 8.93µmol/l. εL 5600 · 1cm l l 32/32
