Meßgenauigkeit und Meßfehler - Physik

Meßgenauigkeit und Meßfehler
Jede Messung ist mit Fehlern behaftet, daher Fehlerangabe
Beispiel: Historische
Entwicklung der Fehler bei der
Messung der Lebensdauer des
Neutrons
• Systematische Fehler: bedingt durch Messapparatur, äußere Einflüsse
• Statistische Fehler: bedingt z.B. durch Schwankungen der Messung
1
Statistische Fehler, Messwertverteilung und Mittelwert
Mittelwert <x> einer Stichprobe von n Realisationen aus einer Grundgesamtheit
1 n
1
< x >= ∑ xi = (x1 + x 2 + .... + x N )
n i =1
n
<x> ist eine erwartungstreue Schätzung des Erwartungswertes der Grundgesamtheit
Einen unverzerrten Schätzwert für die Streuung σ2 der Grundgesamtheit erhält man,
durch
1 n
s =
( x i − < x >)2 , s x = Standardabweichung
∑
n − 1 i =1
2
x
Beispiel für die Grundgesamtheit: Mit einem Würfel sind im Prinzip unendlich viele
Würfe möglich, ohne dass sich die Eigenschaften ändern. Diese (fiktive) Menge ist
die Grundgesamtheit.
2
II. Mechanik: 1. Teil
• Bewegung in einer Dimension (1D)
– Kinematik in einer Dimension
– Bewegung mit konstanter Beschleunigung
– Vektoren
• Bewegung in zwei und drei Dimensionen
3
Beispiel: 100 m Läuferinnen
4
Bewegung in einer Dimension (1-D)
• In einer Dimension (1D) beschreiben wir den Ort (Position eines
Massenpunktes) mit: x(t)
• Die Zeit wird beschrieben mit: t
• Um Richtungen anzugeben benötigen wir nur + und
-
Ortsänderung:
∆x = x(t2 ) − x(t1 ) = x2 − x1
∆t = t2 - t1
5
Kinematik in 1-D: mittlere Geschwindigkeit
•
•
Geschwindigkeit v ist die „Änderung des Orts“
Mittlere Geschwindigkeit <v> im Zeitintervall ∆t = t 2 – t 1 :
x(t2 ) - x(t1) ∆x
<v > = v =
=
t2 - t1
∆t
∆x
tan α =
∆t
∆x
α
∆t
6
Experiment 1: Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit
• Luftkissenfahrbahn mit zwei Lichtschranken.
• Gleiter (25,5 cm lang) mit mäßiger Geschwindigkeit.
• Messung der Verdunklungszeit bei jedem Durchgang durch eine
Lichtschranke mit einen Digitalzähler.
• Zeiten jeweils gleich.
• Wiederholte Messung.
7
Konstante Geschwindigkeit
• Schlitten unterbricht Lichtschranke: Start der Messung,
• Schlitten gibt Lichtschranke frei: Stopp der Messung.
• ⇒ Messung der Zeit t, die der Schlitten braucht,
um s = 25,5 cm zurückzulegen
s
v=
t
25,5 cm
v
Lichtschranke
Lichtschranke
8
Kinematik in 1-D: Momentangeschwindigkeit
•
Grenzfall: t2 ⇒ t1
•
Momentane Geschwindigkeit v ist definiert als:
x(t + ∆t) − x(t)
v = lim
∆t → 0
∆t
dx(t)
v(t) =
= x&
dt
Ableitung
9
Einfache Beispiele für Ableitungen
x(t) = 12 ⋅ c ⋅ t 2
 c ( t + ∆t ) 2 − t 2 
 x (t + ∆t ) − x(t) 
= lim  ⋅
v = lim 
=

∆t → 0
∆
t
→
0
∆t
∆t


 2

 c t 2 + 2 ⋅ t ⋅ ∆t + ∆t 2 − t 2 
 c 2 ⋅ t ⋅ ∆t + ∆t 2 
= lim  ⋅
= lim  ⋅
=


∆t → 0 2
∆
t
→
0
∆t
∆t


2

= lim ( c ⋅ t + ∆t ) = c ⋅ t !
∆t → 0
Geschwindigkeit nimmt linear mit t zu: konstante Beschleunigung
)
 t + ∆t − t( 
 v (t + ∆t ) − v(t) 
v (t) = c ⋅ t ⇒ lim 
=
lim
 = c!
 ∆t →0 c ⋅
∆t → 0
t
t
∆
∆




10
Kinematik in 1-D: Beschleunigung
•
Beschleunigung a ist die „Änderung der Geschwindigkeit“
•
Mittlere Beschleunigung <a> im Zeitintervall ∆t = t2 – t1 ist:
a=
v(t2 ) − v(t1) ∆v
=
t2 − t1
∆t
Momentane Beschleunigung a ist definiert als:
dv(t) d2 x(t)
a(t) =
=
= x&&
2
dt
dt
mit
dx(t)
v(t) =
dt
2. Ableitung
11
Zusammenfassung
Wenn der Ort x als Funktion der Zeit bekannt ist, können wir
sowohl die Geschwindigkeit v als auch die Beschleunigung a
als Funktion der Zeit t finden !
x = x(t)
dx
v=
= x&
dt
dv d2 x
a=
= 2 = x&&
dt dt
12
Mehr zur 1-D Kinematik
Wir haben gesehen, dass:
v = dx/dt
In der Sprechweise der „Analysis“ können wir schreiben:
dx = v⋅⋅dt
und integrieren:
t2
x(t2 ) − x(t1) = ∫ v(t)dt
t1
Graphisch entspricht das einer Aufsummation vieler kleiner Rechtecke:
∆ + ∆ + ∆ + ∆ +.........+ ∆
Integration = Umkehrung Differentiation
13
Bewegung in 1-D mit konstanter Beschleunigung
• Integralrechnung:
1 2
dt
=
t
,
tdt
=
t
∫
∫
2
• Wegen: a = dv/dt erhält man die Geschwindigkeit v durch Integration
• Wenn a konstant ist:
Wegen:
v = ∫ a dt = a ∫ dt = a ⋅ t + v 0
v = dx/dt
erhält man den zurückgelegten Weg durch nochmalige Integration:
x = ∫ v ⋅ dt = ∫ (a ⋅ t + v 0 ) ⋅ dt =
1
2
⋅
a
⋅
t
+ v 0 ⋅ t + x0
2
14
Zusammenfassung
Für konstante Beschleunigung a haben wir gefunden:
a = const.,
v = v 0 + a ⋅ t,
x = x 0 + v 0 ⋅ t + 12 ⋅ a ⋅ t 2 .
15
Experiment 2: Bewegung mit konstanter Beschleunigung
• 25,5 cm Gleiter auf Luftkissenbahn.
• Beschleunigt durch Gewicht.
• Start unmittelbar vor linker Lichtschranke.
• Verdunkelung linke Lichtschranke startet Zähler.
• Verdunkelung rechte Lichtschranke stoppt Zähler.
• Masse des Gleiters: 399,5 g.
• Massen zur Beschleunigung 20g, 40g und 60g.
• Gesamte Masse immer gleich: (399,5+20+40+60) g!
• Beschleunigungsstrecke 2 m.
1 2
x = at
2
1
1
t ∝ ∝
a mBesch
2
16
Experiment 2: Bewegung mit konstanter Beschleunigung
mGewicht
Mit: F = mGewicht g und F = mgesamt a folgt: a =
g
mgesamt
s=
1 2
1
1
.
at ⇒ t 2 ∝ ∝
2
a mGewicht
2s
t2 =
1
a
o
Typische Messwerte:
mGewicht = 20 g, t1 = 3,0 s,
t12
mGewicht = 40 g, t2 = 2,12 s,
t22 = 4,50 s² (= 0,5 t12)
mGewicht = 60 g, t3 = 1,73 s,
t32 = 3,0 s² (= 0.33 t12)
= 9,0 s²
2s
1  2s 
2

t =
= 
2
2a
2a 
o
 o
2s
1  2s 
2

t =
= 
3
3a
3a 
o
 o
17
Beispiel: Bewegung in 1 Dimension
• Ein Ball wird vertikal nach oben geworfen. Welche der folgenden
Aussagen in Bezug auf seine Geschwindigkeit v und
Beschleunigung a am höchsten Punkt der Bahn sind richtig?
a)
b)
c)
v=0
v≠0
v=0
und
aber
aber
a=0
a=0
a≠0
18
Lösung
• Während der Ball nach oben geht
ist die Geschwindigkeit positiv,
während er fällt negativ. Am
höchsten Punkt ist sie 0 !
• Weil sich die Geschwindigkeit
stetig ändert, muß es
Beschleunigung geben.
» Beschleunigung durch
Schwerkraft der Erde:
|g| = 9.81 m/s2
• Richtig ist c): v = 0 und a ≠ 0
19
Eine sehr nützliche Formel
v = v 0 + a ⋅ t (1)
x = x 0 + v 0t +
• Gl. (1) nach t auflösen: t =
1
a ⋅ t 2 (2)
2
v − v0
a
 v − v0  1  v − v0 
+ a
und für t in Gl. (2) einsetzen: x = x 0 + v 0 

 a  2  a 
x = x0 +
v 0 v − v 02 +
1
2
v2 +
a
1
2
v 02 − v 0 v
= x0 +
1
2
v2 −
a
1
2
v 02
2
!
⇒ v 2 − v o2 = 2a(x − x 0 )
2
Beispiel: x 0 = 0, v 0 = 0, a = 5m/s , x = 100m ⇒ v ≈ 32m/s ≈ 115km/h
20
1-D Freier Fall (keine Massenabhängigkeit!)
•
•
Beispiel für konstante Beschleunigung (Gravitation)
In diesem Beispiel wird die Beschleunigung durch die
Erdbeschleunigung verursacht:
»
»
Definition: y-Achse ist positiv nach oben
Erdbeschleunigung ist nach unten gerichtet
ay = − g
v y = v 0y − g ⋅ t
1
y = y 0 + v 0 yt − g ⋅ t 2
2
21
Experiment: Freier Fall einer Feder und eines Balls!
• Glasröhre: 1 m lang, 5 cm Durchmesser.
• Kupferpfennig und Flaumfeder darin.
• Freier Fall: Pfennig weit vor Flaumfeder.
• Röhre wird evakuiert.
• Freier Fall: Pfennig und Flaumfeder
gleich schnell.
22
Erdbeschleunigung
• g hängt nicht von Materialeigenschaften ab
» Galileo Galilei (1564 - 1642)
• Nominal:
• Am Äquator:
• Am Nordpol:
g = 9.81 m/s2
g = 9.78 m/s2
g = 9.83 m/s2
Mehr über Gravitation in den kommenden Vorlesungen
23
Kinematik in zwei Dimensionen: Bahnkurven
Beispiel 1: Lineare Bewegung
x = a·t
y = b·t
z=0
eliminiere t ⇒ y = (b/a)·x
Beispiel 2: Kreisbahn
x = R·cos(ωt)
y = R·sin(ωt)
quadriere und addiere:
x2 + y2 = R2 [cos2(ωt) + sin2(ωt)] = R2
24
Kinematik in 3 Dimensionen
• Ort (Vektor):
r
r1
r
∆r
r r
r
r2 = r1 + ∆r
• Geschwindigkeit (Vektor)
r
r
r
∆r dr
v = lim
=
∆t →0 ∆t
dt
r
v1
r
r1
r
r2
r
v2
•Beschleunigung (Vektor):
r
v2
r
v1
r
∆v
r
r
2r
r
∆v dv d r
=
= 2
a = lim
∆t → 0 ∆t
dt dt
25
Vektoren....
26
Beispiel zur Addition von Vektoren
Was ist die Summe von A, B und C?
B
A
C
Vektor kann bewegt werden, solange sich die Orientierung
nicht ändert. Wir bewegen A und B so, dass das Ende von
A den Anfang von B berührt.
A
B
27
3-D Kinematik
• Der Ort, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung eines
Körpers in 3 Dimensionen kann man wie folgt ausdrücken:
r
r
r
r
r = x ⋅i + y ⋅ j + z ⋅k
r
r
r
r
v = vx ⋅ i + vy ⋅ j + vz ⋅ k
r
r
r
r
a = a x ⋅ i + ay ⋅ j + a z ⋅ k
• Zur Erinnerung: die 1-D Kinematik sieht so aus
x = x(t),
dx
v=
,
dt
dv d2 x
a=
= 2
dt dt
28
3-D Kinematik
• Für 3-D wenden wir einfach die 1-D Gleichungen auf jede der
Komponenten an
Die dann zu den Vektorgleichungen kombiniert werden können
r r
r = r (t),
r
r dr
v=
,
dt
r
r dr
a= 2
dt
2
29
3-D Kinematik
• Bei konstanter Beschleunigung gilt:
r
a = const.
r
r r
v = v0 + a ⋅ t
r r r
r 2
1
r = r0 + v 0 ⋅ t + 2 ⋅ a ⋅ t
30
Kinematik in zwei Dimensionen
• Viele 3D-Probleme lassen sich auf 2D-Probleme reduzieren, wenn
die Beschleunigung konstant ist
» Wählen Sie die y-Achse so, dass sie in Richtung der
Beschleunigung zeigt.
» Wählen Sie die x-Achse in die andere Richtung der Bewegung
Beispiel: Wurf eines Balles (unter Vernachlässigung der Luftreibung)
» Beschleunigung ist konstant
» Wählen Sie die y-Achse in Richtung ay = -g Richtung (himmelwärts)
» Wählen Sie die x-Achse in Richtung des Wurfs
31
Fallversuch nach Galilei (Superposition von
Geschwindigkeiten )
Die Fallmaschine (arretierbare Feder) schleudert eine Kugel
horizontal weg und lässt gleichzeitig eine zweite kräftefrei fallen.
Beide Kugeln erreichen den Fußboden zur selben Zeit d.h. es ist
nur ein Aufschlaggeräusch zu hören.
Interpretation: x- Bewegung und y-Bewegung können
unabhängig voneinander betrachtet werden
32
Wurfparabel
y
vo
vo
a = -g
vox
φo
x
φo
voy
tanφo =
v ox
v oy
v oy
v ox
= v o ⋅ cos φo
= v o ⋅ sin φo
Einzelkomponenten:
v x = v ox
x = v ox ⋅ t + x o
v y = − g ⋅ t + v oy
t=
x − xo
v ox
1
y = − g ⋅ t 2 + v oy ⋅ t + y o
2
33
Wurfparabel
t wird eliminiert:
2
v oy
1 ( x − xo )
y=− g
+
(x − x o ) + y o
2
2
v ox
v ox
Mit den Startwerten:
xo = 0,
yo = 0
erhält man:
1 x 2 v oy
y=− g 2 +
x
2 v ox v ox
1
x2
y = − g⋅ 2
+ x ⋅ tan(φo )
2
2 v o ⋅ cos (φo )
34
Wurfparabel
„Reichweite“ der Wurfparabel:
mit ystart = yZiel = 0
75°°
60°°
1
x2
y = − g⋅ 2
+ x ⋅ tan(φo )
2 v o cos2 (φo )
45°°
30°°
Zu lösen ist die Aufgabe y = 0
15°°
v0 = 50 m/s
35
Lösung der Gleichung
1
x2
0=− g 2
+ x ⋅ tan(φo )
2
2 v o cos (φo )
a ⋅ x 2 + b ⋅ x = 0 ⇒ x ⋅ (a ⋅ x + b) = 0
1
g
und b = tan(φ0 )
2
2
2 v o cos (φo )
Lösung 1: x = 0
mit a = −
Lösung 2: x = −b / a =
2 tan(φo ) 2
v o cos2 (φo )
g
2v o2
sinφo
⇒ x2 =
sin φo cos φo
tan(φo ) =
g
cos φo
v 2o
sin(2φo )
2 sinα cos α = sin 2α ⇒ x 2 =
g
36
Beispiel: Relativbewegung
37
Beispiel: Relativbewegung
38
Beispiel: Relativbewegung
39
Beispiel: Relativbewegung
40
Schussapparat
Auf einen Pfeil wird mit Hilfe eines durch ein elastisches
Band vorgespannten Seiles eine Kraft in Richtung auf die
Mitte einer vertikal angeordneten Zielscheibe ausgeübt. Bei
Freigabe des Pfeils wird die Befestigung der Zielscheibe
automatisch gelöst, so dass diese frei herunterfallen kann.
Der Pfeil trifft stets die frei fallende Scheibe, unabhängig
vom vertikalen Startpunkt des Pfeils.
41
Kreisbewegungen
42
Gleichförmige Kreisbewegung
Einfachste Beschreibung in Polarkoordinaten
x = R cosθ, y = R sinθ
360o <=> 2π
Kreisumfang:
u =2π
πR
43
Frequenz und Periode
Θ = ω⋅t
44
Zusammenfassung
45
Anwendung: Geschwindigkeit einer Gewehrkugel
• Zwei Papierscheiben mit Markierung.
• Abstand s = 0.3 m, jeweils versehen mit Markierung.
• Stroboskoplampe (f = 50 Hz).
• Scheibe rotiert (50 Umdrehungen pro Sekunde).
• Scheibe erscheint als stehendes Bild.
• Schuss durch beide Scheiben, parallel zur Achse.
• Messung des Winkels zwischen den Einschusslöchern.
Beispiel: Winkel zwischen den Durchschusslöchern 30
Grad oder 1/12 des Vollkreises. Flugzeit des Geschosses
zwischen den beiden Scheiben t = 1/12 x 1/50 Sekunde =
1/600 Sekunde. Geschwindigkeit des Geschosses also v
= s/t = 0,3 m ⋅ 600/s = 180 m/s = 650 km/h!
46
Beschleunigung bei gleichförmiger Kreisbewegung
Ähnliche Dreiecke
47
Beschleunigung bei gleichförmiger Kreisbewegung
v = ω ⋅R
⇒ a = ω2 ⋅ R
48