Mathematik I für Physiker Lösungsvorschlag Blatt 12

Mathematik I für Physiker
Lösungsvorschlag Blatt 12
Prof. Dr. Andreas Nickel
Aufgabe 1
Für x, x0 ∈ [a, b] gilt
Z
|F (x) − F (x )| = x
0
x0
f (y)dy ≤ |x − x0 | · kf k∞ .
Damit ist F sogar Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L = kf k∞ (vgl. Blatt 9,
Aufgabe 2).
Aufgabe 2
(i) Für lineares f gilt stets f (0) = 0. Da exp(0) = 1, kann exp nicht linear sein.
(Es gibt noch weitere Möglichkeiten dies zu sehen.)
(ii) f ist genau dann linear, wenn b = 0. Denn ist f linear, so ist 0 = f (0) = b.
Umgekehrt ist x 7→ ax oensichtlich linear.
(iii) Dieses f ist linear: Für (x, y), (v, w) ∈ R2 gilt
f ((x, y) + (v, w)) =
=
=
=
=
f ((x + v, y + w))
(a(x + v) + b(y + w), c(x + v) + d(y + w))
(ax + by + av + bw, cx + dy + cv + dw)
(ax + by, cx + dy) + (av + bw, cv + dw)
f ((x, y)) + f ((v, w)).
Ferner ist für α ∈ R und (x, y) ∈ R2 :
f (α(x, y)) =
=
=
=
f ((αx, αy))
(aαx + bαy, cαx + dαy)
α(ax + by, cx + dy)
αf ((x, y)).
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Aufgabe 3
(i) Dieses f ist verträglich mit Addition:
f (a + bi + c + di) = f (a + c + (b + d)i) = a + c − (b + d)i
= a − bi + c − di = f (a + bi) + f (c + di)
mit a, b, c, d ∈ R. Über R ist f sogar linear. Denn für a, b, α ∈ R gilt
f (α(a + bi)) = f (αa + αbi) = αa − αbi
= α(a − bi)
= αf (a + bi).
Über C ist f aber nicht linear, da etwa für α = i gilt
f (αi) = f (i2 ) = f (−1) = −1,
aber
αf (i) = i · (−i) = 1.
(ii) Dieses f ist genau dann verträglich mit +, wenn für alle x, y ∈ K gilt, dass
x2 + y 2 = f (x) + f (y) = f (x + y) = (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 ,
also genau dann wenn 2 = 0 in K (d.h. wenn K ein Körper der Charakteristik
2 ist). Damit f linear wird, muss für α, x ∈ K gelten, dass αf (x) = f (αx),
also
αx2 = α2 x2 .
Es muss also α2 = α für alle α ∈ K gelten. Für α = 0 ist das richtig. Für
α 6= 0, folgt daraus, dass α = 1 sein muss. Der Körper darf also nur die Zahlen
0 und 1 enthalten. Wir schlieÿen, dass f nur für K = F2 linear ist.
Aufgabe 4
(i) Für α ∈ K und v, v 0 ∈ V gilt
(A + B)(αv + v 0 ) =
=
=
=
A(αv + v 0 ) + B(αv + v 0 )
αAv + Av 0 + αBv + Bv 0
α(Av + Bv) + Av 0 + Bv 0
α(A + B)(v) + (A + B)(v 0 ).
(ii) Nach (i) und Proposition (16.3) aus der Vorlesung ist die Abbildung
idV − A : V → V
ein Homomorphismus (kann man auch direkt nachrechnen). Ebenso folgt, dass
Ψ := idV + A + A2 + · · · + Ak−1 : V → V
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ein Homomorphismus ist (was wir streng genommen für den Beweis nicht unbedingt wissen müssen). Es gilt
(idV − A) ◦ Ψ = Ψ ◦ (idV − A) = idV − Ak = idV .
Die Abbildung Ψ ist also ein Inverses von idV − A und damit idV − A ein
Automorphismus.