10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10 Bogenmaß 10

Erklärung
Wegen des Kreisumfangs 2rπ = 2π (für r = 1) ist dementsprechend
'$
1 b
ϕ
&%
360◦ = 2π
Beispiele für Umrechnungen
Gradmaß → Bogenmaß: 17◦ ist
17
des Vollwinkels, also 17◦ = 360
· 2π.
π
1
Bogenmaß → Gradmaß: π3 ist 3 = des Vollwinkels, also π3 = 60◦ .
2π
6
π
◦
Merke auswendig: 2 = 90 .
17
360
Taschenrechner und Gradmaß/Bogenmaß
Bei Verwendung der trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan ist der Taschenrechner zuvor je nach Bedarf auf Gradmaß oder Bogenmaß einzustellen (siehe Bedienungsanleitung
des Taschenrechners, bei manchen z. B. mit den Tasten MODE 4/MODE 5 oder durch wiederholtes Drücken einer DRG-Taste). Im Display des Taschenrechners wird dies meist durch
RAD beim Bogenmaß und DEG (oder nichts) beim Gradmaß angezeigt.
√
√
Beispiel: Im Gradmaß ist sin 45◦ = 12 2 ≈ 0,71, im Bogenmaß sin π4 = 12 2 ≈ 0,71.
Wann Bogenmaß, wann Gradmaß?
Dies hängt natürlich von der Situation und der Aufgabenstellung ab. Sofern nichts anderes
verlangt ist, kann man sich an folgenden Anhaltspunkten orientieren:
• Geometrische Berechnungen an Dreiecken und Vierecken: Gradmaß.
• Wenn das ◦ -Zeichen in der Aufgabenstellung vorkommt: Gradmaß.
• Wenn π in verwendeten Formeln oder der Aufgabenstellung vorkommt: Bogenmaß.
• Beim Zeichnen von Funktionsgraphen, wenn nichts anderes verlangt ist: Bogenmaß.
• In der Physik bei Formeln zur Kreisbewegung und zu Schwingungen, z. B.
y = a sin ωt: Bogenmaß.
Letzteres hat seinen Namen daher, die Bogenlänge, die der Winkel aus
einem Kreis mit Radius 1 ausschneidet, als Maß für den Winkel zu verwenden.
Winkel können gemessen werden im Gradmaß (Vollwinkel = 360◦ ) oder im Bogenmaß (Vollwinkel = 2π).
10
10
www.strobl-f.de/grund100.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
Bogenmaß
Beispiel 1:
|
{z
Dividend
} | {z }
Divisor
(x3 − 4x2 + 10x − 12) : (x − 2) = x2 . . .
x3 − 2x2
Bis jetzt steht also da:
Da jetzt subtrahiert werden muss (hier
−(x3 − 2x2 ) = −x3 + 2x2 ), ist
es zweckmäßig, die Vorzeichen durch
darüberschreiben zu ändern und dann
zu rechnen:
Das Verfahren wird nun fortgesetzt
(höchste Potenzen dividieren:
−2x2 : x = −2x anschreiben, dann
mit Divisor multiplizieren: −2x · x =
−2x2 und −2x · (−2) = +4x notieren), dann steht da:
Wieder werden die Vorzeichen geändert, die entsprechende Rechnung
durchgeführt (hier 10x − 4x = 6x),
die nächste Stelle heruntergeholt und
abermals das ganze Verfahren durchgeführt, bis dasteht:
(x3 − 4x2 + 10x − 12) : (x − 2) = x2 . . .
−x3 + 2x2
↓
↓
↓
Man rechnet
↓
−4x2 +2x2 =−2x2
↓
↓ nächste Stelle herunterholen
2
− 2x + 10x
(x3 − 4x2 + 10x − 12) : (x − 2) = x2 − 2x . . .
−x3 + 2x2
− 2x2 + 10x
− 2x2 + 4x
(x3 − 4x2 + 10x − 12) : (x − 2) = x2 − 2x + 6
−x3 + 2x2
− 2x2 + 10x
+ 2x2 − 4x
6x − 12
− 6x + 12
0
Bleibt Rest 0, so ist die Polynomdivision ist aufgegangen.
Beispiel 2: Division mit Rest
(Den Vorzeichenwechsel möge der Leser mit Farbstift in den jeweils unterstrichenen Zeilen selbst vornehmen)
(2x5 + 6x4 − x3 + 4x2
− 70) : (x + 3) = 2x4 − x2 + 7x − 21 −
3
2x5 + 6x4 ↓
↓
0 − x3 + 4x2
Man denke sich 0 · x
3
2
− x − 3x
.
2
7x
7x2 + 21x
− 21x − 70
− 21x − 63
−7 7
x+3
Die Polynome werden — wenn nicht schon geschehen — nach fallenden Potenzen geordnet.
Man beginnt mit der Division der höchsten Potenzen von Dividend und Divisor, hier also
x3 : x. Das Ergebnis (hier x2 ) schreibt man rechts vom Gleichheitszeichen an; dieses Ergebnis multipliziert man mit dem Divisor (hier also x2 · (x − 2) = x3 − 2x2 ) und notiert dies
unter dem Dividenden.
(x3 − 4x2 + 10x − 12) : (x − 2)
10
01
www.strobl-f.de/grund101.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
Polynomdivision
x3 + 4x2 − 11x + 6 = 0
(∗)
x1 = 1. Polynomdivision
(x3 + 4x2 − 11x + 6) : (x − 1) = x2 + 5x − 6.
√
x2/3 = −2,5 ± 6,25 + 6, also x2 = 1, x3 = −6. Somit
x1/2 = 1 doppelte Lösung,
x3 = −6 einfache Lösung,
Faktorzerlegung
x3 + 4x2 − 11x + 6 = (x − 1)2 (x + 6)
• Bleibt im 3. Schritt eine quadratische Gleichung ohne Lösung, so ist keine weitere
Faktorzerlegung möglich. Beispiel: x3 − 2x2 + x − 2 = (x − 2)(x2 + 1)
Zum Erraten einer Lösung
Kandidaten sind die Teiler der Konstanten. In (∗) kommen also ±1, ±2, ±3, ±6 in Frage.
(Denn: Beim umgekehrten Ausmultiplizieren der Faktorzerlegung erkennt man, dass die Konstante das Produkt der Lösungen ist).
In speziellen Situationen (z. B. Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen, Hinweise im Text einer Prüfungsaufgabe) kann es vorkommen,
dass eine Lösung schon bekannt ist.
Spezialfälle
• Mehrfache Lösungen sind entsprechend zu kennzeichnen. Beispiel:
Beispiel:
x4 − 4x2 − 2x = x3
1. Schritt: Gleichung nach 0 auflösen:
x4 − x3 − 4x2 − 2x = 0
2. Schritt: Falls die Konstante fehlt, x ausklammern:
x(x3 − x2 − 4x − 2) = 0
Das Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, also:
x1 = 0 oder . . .
3. Schritt:
x3 − x2 − 4x − 2 = 0
Lösung erraten“ (siehe unten):
x2 = −1
”
3
2
2
(x − x − 4x − 2) : (x + 1) = x − 2x − 2
Polynomdivision durch
x minus Lösung“
x3 + x2
”
(→ Grundwissen 10. Klasse: Polynomdivision; den dort er−2x2 − 4x
klärten Vorzeichenwechsel möge der Leser mit Farbstift in den
−2x2 − 2x
jeweils unterstrichenen Zeilen selbst vornehmen)
− 2x − 2
− 2x − 2
0
Die Polynomdivision muss aufgehen, andernfalls hat man beim Raten der Lösung oder bei
der Polynomdivision einen Fehler gemacht.
Also ist x3 −x2 −4x−2 = (x+1)(x2 −2x−2),
und dieser Ausdruck ist 0, wenn x2 = −1 oder
x2 − 2x − 2 = 0 ist.
Das Verfahren (Lösung erraten, Polynomdivision) wird so lange durchgeführt, bis sich eine
Gleichung ergibt, die mit einem Standardverfahren gelöst werden kann (quadratische Gleichung).
2
4. Schritt: Löse die quadratische Gleichung:
√0
√x − 2x − 2 =
x3/4 = 1 ± √1 + 2 = 1 ± √3
Die Lösungen sind also:
x1 = 0, x2 = −1, x3 = 1 + 3, x4 = 1 − 3
Eine Gleichung n-ten Grades (hier 4. Grades) kann bis zu n Lösungen haben.
√
√
Faktorzerlegung:
x4 − x3 − 4x2 − 2x = x(x + 1)(x − (1 + 3))(x − (1 − 3))
(Faktoren x minus Lösung“; hier sieht man nochmal, dass das Produkt 0 ist, wenn einer der
”
Faktoren 0 ist)
10
2
www.strobl-f.de/grund102.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
Gleichungen höheren Grades
Bezeichnungen: ax heißt Potenz, a Basis, x Exponent
a
| · a ·{z. . . · a}
x Stück gleiche Faktoren
Bedeutung: ax =
10
03
www.strobl-f.de/grund103.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
Rechnen mit Potenzen
Allgemeine Rechenregeln:
• Multiplizieren bei gleicher Basis: ax · ay = ax+y . Beispiel: a2 · a3 = a5
• Multiplikation/Division bei gleichem Exponenten: ax · bx = (ab)x ;
ax
bx
= ( ab )x
• Potenzen potenzieren: (ax )y = ax·y . Beispiel: (35 )2 = 35 · 35 = 310
1
Negative Exponenten sagen: Ich stehe im Nenner“: a−x = x
”
a
Beispiel: ms−1 = ms
Umgekehrt ergeben sich oft bequeme Rechnungen, wenn man anstelle eines Nenners einen
5
Ausdruck mit negativem Exponenten schreibt: aa2 = a5 · a−2 = a3
√
1
Brüche als Exponenten sagen: Ich bin eine Wurzel“: a n = n a
”
Beispiele:
√
1
x2 = x
√
√
√
√ √ √
√
3
1
3
1
x 2 = (x3 ) 2 = x3 = x2 · x = x x oder x 2 = (x 2 )3 = x x x = x x oder
√
3
1
1
x 2 = x1+ 2 = x1 · x 2 = x x
√
√
3
a· 6a
=
Umgekehrt lassen sich Wurzeln oft bequemer als Potenzen weiterverarbeiten, z. B. √
a
1
1
1
a 3 · a 6 · a− 2 = a0 = 1
Vorsicht:
• Summen/Differenzen (z. B. a5 − a7 ) können nicht zusammengefasst werden.
Sondern: Gemeinsame Faktoren ausklammern, eventuell binomische Formeln suchen,
sonst stehen lassen. Beispiel: a5 − a7 = a5 (1 − a2 ) = a5 (1 + a)(1 − a).
1
• Bei Summen/Differenzen (z. B. (a + b)3 , (x − 1)− 4 ) nicht einzeln potenzieren!
Sondern: Ausmultiplizieren (binomische Formeln): (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ,
1
1
1
[(x − 1)− 4 ]2
oder zusammenfassen: √
= (x − 1)− 2 · (x − 1)− 2 = (x − 1)−1 =
x−1
sonst stehen lassen.
1
,
x−1
Zehnerpotenzen
verwendet man zur Angabe sehr großer oder sehr kleiner Zahlen (z. B. 103 = 1000 hat 3
Nullen; 3,5 · 10−3 = 3,5 · 1013 = 0,0035: Kommaverschiebung um 3 Stellen).
Manche Taschenrechner zeigen Zehnerpotenzen im Display z. B. so an: 1,4−04 ; dies muss
aber mit 10 hoch“ auf das Papier geschrieben werden: 1,4 · 10−4 .
”
Umgekehrt: Eingabe einer Zehnerpotenz mit dem Taschenrechner: Meist Exp- oder EETaste. Beispiele:
73 Millionen = 73 · 106 = 7,3 · 107 : Tippe 7,3 Exp 7
10−12 = 1 · 10−12 : Tippe 1 Exp 12 +/− (Display: 1−12 )
Je nach Taschenrechner kann man die Anzeige von Zehnerpotenzen mit gewissen Tastenkombinationen ändern,
z. B. MODE 9 oder ENG oder FSE, siehe Bedienungsanleitung des Taschenrechners.
In manchen Fällen sind zusätzliche Umformungen (z. B. Klammern ausmultiplizieren, Terme zusammenfassen)
oder Substitutionen (bei mehrfachem Vorkommen eines Rechenausdrucks) erforderlich.
8 − 10x2 = 0
Nach x2 auflösen.
0, 1 oder 2 Lösungen!
Alles auf eine Seite;
x ausklammern
Mit HN multiplizieren.
Definitionsmenge!
−x2 = x2 − 2x
1
x
−2=
5
8+5x
Reinquadratisch
Keine Konstante
Bruchgleichung
√
x− 1 − x2 = 1 Wurzelgleichung
Definitionsmenge!
Wurzel isolieren;
quadrieren; Probe!
Weitere Sonderformen und Genaueres siehe grund91.pdf
10x4 + 6x3 − Gleichung
x ausklammern, falls
24x2 + 8x = 0
höheren
keine Konstante;
Grades
Lösung raten,
Polynomdivision
(→ grund102.pdf)
4
x =5
Reine
Umkehroperation
4
x = −5
Potenzhoch 4 ↔ hoch 14 .
x3 = 5
Gleichung
Auf Vz und Exponenten
3
x = −5
(Basis x)
[gerade/ungerade] achten.
√
4
x=5
WurzelUmkehroperation
√
3
x = −5
gleichung
hoch 14 ↔ hoch 4
1,05x = 2
ExponenBeide Seiten
tialgl.
logarithmieren
(Exponent x)
log10 x = 3
sin x = 0,6
Logarithmisch
Trigonometrische
Gleichung
sin x+cos x = 1 Trigonometrische
Gleichung
Beispiel
5x = −8; x = − 85
10x2 + 16x √
−8=0
−16±
162 −4·10·(−8)
x1/2 =
2·10
x1 = −2; x2 = 0,4
√
8
x2 = 10
; x = ± 0,8
;
2x2 − 2x = 0; x(2x − 2) = 0;
x1 = 0, x2 = 1
D = IR\{0; − 85 };
8 + 5x − 2x(8 + 5x) = 5x;
x
√1 = −2, x2 = 0,4
1 − x2 = x−1; D = [−1; 1]
1 − x2 = x2 − 2x + 1
p
x1 = 0 ppp ?; x2 = 1
x1 = 0;
x2 = 1 erraten“. Pol.div.
”
(10x3 + 6x2 − 24x + 8) : (x −
1) = 10x2 + 16x − 8;
x3 = −2, x4 = 0,4
√
1
x = ±5 4 = 4 5
Keine Lösung
√
1
x = 53 = 3 5
√
1
x = −5 3 = − 3 5
x = 54
Keine Lösung
log 1,05x = log 2;
x log 1,05 = log 2;
2
x = loglog1,05
≈ 14,2
log x
Umkehroperation
10
= 103 ;
logb ↔ b hoch . . .
x = 103 = 1000
Spezielle Werte weiß x1 ≈ 0,64, x2 = π − x1 ≈
man; sonst Taschen- 2,50 (hier Bogenmaß).
rechner (SHIFT) sin−1 Sich Funktionsgraph vorstellen!
Weitere Lsgen 2π-periodisch
√
2
2
Mit sin + cos = 1 Mit cos x = ± 1 − sin2 x
(und eventuell Addi- und Substitution
folgt:
√
2
tionstheorem)
alles u ± 1 − u = 1;
z. B. durch sin aus- u1 = 0 (nur für +“), u2 = 1.
”
drücken, Substitution sin x = 0 liefert x = 0
u = sin x.
(x = π nicht wegen Probe),
Je nach Situation auch sin x = 1 liefert x = π2 .
andere Lösungsverfahren!
Weitere Lsgen 2π-periodisch
Lösungsverfahren
x’e auf eine Seite
Alles auf eine Seite;
Formel
√
2
x1/2 = −b± 2ab −4ac
Typ
Name
8 + 5x = 0
Linear
2
8−11x−10x = Quadrati5x
sche
Gleichung
10
04
www.strobl-f.de/grund104.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
Lösen von Gleichungen (10. Klasse)
Dabei ist die Kreiszahl π ≈ 3,14, für Überschlagsrechnungen π ≈ 3.
ϕ
360◦
(bzw.
ϕ
,
2π
'$
b
wenn ϕ im Bogen-
PP
&%
Kugel:
Volumen V = 43 πr3 , Oberfläche O = 4πr2 .
Tipp: Bei Berechnungen Einheitenkontrolle: Flächen müssen sich wegen r2“ in der Einheit m2 , dm2 , cm2 , . . .
”
ergeben, Volumina wegen r3“ in m3 , dm3 =Liter, cm3 , . . .
”
Zylinder
Volumen (wie beim Prisma Grundfläche mal Höhe h): V = r2 πh
Mantelfläche (in der Abbildung punktiert, denke man sich abgewickelt!): M = 2πrh
Oberfläche (Mantel + Deckel + Boden): O = 2πrh + 2r2 π
Pyramide
Volumen V = 13 Gh (G=Grundfläche)
Oberfläche: Grundfläche + dreieckige Seitenflächen, deren Maße man
oft mit Pythagoras ermitteln kann.
D@
D @
D @
D
HH
D H
HH D D
H
Kegel
Volumen (wie bei der Pyramide 13 Grundfläche mal Höhe): V = 13 r2 πh
Mantelfläche (lässt sich zum Kreissektor abwickeln!): M = πrm.
Dabei ist m die Mantellinie von der Spitze
zum Umfang unten, die mit Pytha√
2
goras berechnet werden kann: m = r + h2
Oberfläche (Mantel + Boden): O = πrm + r2 π
B
B
h
B
Bm
B
B
B
B
B
r
Kegelstumpf
Hierfür gibt es auch fertige“ Formeln, die man in der Regel nicht auswendig weiß, sondern
”
in der Formelsammlung nachschlägt oder sich selbst herleitet. Hierzu beachte man, dass sich
mit der Höhe in gleichem Maß der Radius ändert (Strahlensatz verwenden!).
Kreissektor mit Winkel ϕ:
Fläche A und Bogenlänge b sind Bruchteil
maß) von Kreisfläche bzw. Kreisumfang:
ϕ
ϕ
ϕr 2
2
2
A = 360
),
◦ · r π (bzw. A = 2π · r π =
2
ϕ
ϕ
b = 360◦ · 2rπ (bzw. b = 2π · 2rπ = rϕ)
Kreis mit Radius r:
Fläche A = r2 π, Umfang u = 2rπ.
10
05
www.strobl-f.de/grund105.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
Kreis, Kugel, Zylinder, Pyramide, Kegel
Hypotenuse
(dem rechten Winkel gegenüber)
b r
a
ϕ
Ankathete
(am Winkel ϕ anliegend)
Gegenkathete
(dem Winkel ϕ
gegenüber)
Beispiele:
1. Gegeben: α = 50◦ , b = 2
b%
p
%l
%
%
%α
la
l
l
c
r
q P (x|y)
Ankathete , sin ϕ = b = Gegenkathete ,
= Hypotenuse
r
Hypotenuse
b
b
Gegenkathete
sin ϕ
= ar = =
tan ϕ = cos
ϕ
a
Ankathete
r
cos ϕ =
a
r
Hier ist b die Ankathete von α, a die Gegenkathete.
cos α = cb ⇒ c = cosb α = cos250◦ ≈ 3,1
sin α = ac ⇒ a = c sin α ≈ 2,4 (oder Pythagoras!)
(Taschenrechner auf DEGREE, siehe auch grund100.pdf)
l
l
2. Gegeben: P (−2| − 3)
y6
ϕ
x = −2
x
y = −3
Denkt man sich das nebenstehende Dreieck mit dem Faktor 1r
gestreckt (bzw. gestaucht), so erhält man eines mit Hypotenuse 1,
Ankathete ar und Gegenkathete rb und kann obige Erklärung von
sin und cos am Einheitskreis anwenden:
√
√
Pythagoras liefert r = x2 + y 2 = 13.
tan ϕ = xy = −3
= 32 .
−2
Je nach Taschenrechner ermittelt man meist mit den Tasten
(SHIFT) tan−1 vor oder nach Eingabe des Wertes 32 einen
Winkel von ca. 56,3◦ .
Da P im III. Quadranten liegt, sind 180◦ zu addieren, somit
r ≈ 3,6, ϕ ≈ 236,3◦ .
Beispiel:
Für den Punkt mit r = 1, ϕ = 120◦ ( Polarkoordinaten“) erhält man x = sin 120◦ = − 12 =
√
”
−0,5, y = cos 120◦ = 12 3 ≈ 0,87 ( kartesische Koordinaten“)
”
Tangens, Kotangens
sin ϕ
ϕ
tan ϕ = cos
, cot ϕ = cos
= tan1 ϕ
ϕ
sin ϕ
Trigonometrischer Pythagoras
Wegen x2 + y 2 = 1 ist (sin ϕ)2 + (cos ϕ)2 = 1, Kurzschreibweise: sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1.
Additionstheoreme
sind Formeln für sin(α + β), sin(2α) usw. → Formelsammlung
sin, cos, tan am rechtwinkligen Dreieck
Sinus, Kosinus am Einheitskreis (= Kreis mit Radius r = 1)
y6
cos ϕ = x, sin ϕ = y
II
I
1
Insbesondere ergibt sich also z. B.
(x|y)
• für ϕ √= 30◦ ein halbes“ gleichseitiges Dreieck mit
r
1"
" y
”
"
x = 12 3, y = 12 ,
"ϕ
x 1 x
0
• für ϕ = 45◦ ein√gleichschenkliges
Dreieck ( halbes Qua√
”
drat“) mit x = 12 2, y = 12 2.
III
IV
Weitere Werte → Formelsammlung/Taschenrechner.
Ferner ergeben sich die Vorzeichen in den einzelnen Quadranten I–IV (zum Winkel im Bogenmaß → grund100.pdf):
ϕ
0◦ = 0 I 90◦ = π2 II 180◦ = π III 270◦ = 3π
IV 360◦ = 2π
2
cos ϕ = x
1
+
0
−
−1
−
0
+ periodisch
sin ϕ = y
0
+
1
+
0
−
−1
− von vorne
10
06
www.strobl-f.de/grund106.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
sin, cos, tan am rechtwinkligen Dreieck
sin
sin
tan = cos
y6
cos
y6
y6
1
1
−1
−1
1
2π x
π
2
Merke: Der cos-Graph geht im Koordinatensystem durch
den Punkt (0|1), der sin-Graph steigend durch den Punkt
(0|0).
sin und cos sind 2π-periodisch.
2π x
π
2
−1
π-periodisch,
D = IR\{± π2 , ± 3π
, . . .}
2
Verschiebung und Streckung von Funktionsgraphen
Allgemeine Form: y = a sin(b(x + c)) + d = a sin(bx + e) + d
Man unterscheide dabei den außen“ stehenden Faktor a und Summanden d, die den Graphen
”
in y-Richtung verändern, und den innen“ bei x stehenden Faktor b und Summanden c bzw.
”
e.
Um den Funktionsgraphen ausgehend vom normalen sin-Graphen zu zeichnen, denke man
sich eine Wertetabelle. Man erkennt dann:
+d bewirkt, dass alle y-Werte um d größer werden, d. h. der Funktionsgraph wird um d
nach oben verschoben (bzw. bei negativem d nach unten).
·a bewirkt, dass die y-Werte mit a multipliziert werden, d. h. der Funktionsgraph wird in
y-Richtung um den Faktor a gestreckt (bzw. bei |a| < 1 gestaucht), bei negativem a
zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.
·b bewirkt, dass man für x jetzt das 1b -fache einsetzen muss, um das gleiche Ergebnis zu
erhalten wie ohne diesen Faktor, d. h. der Graph wird in x-Richtung um den Faktor
1
gestaucht (bzw. bei |b| < 1 gestreckt), bei negativem b zusätzlich an der y-Achse
b
gespiegelt.
+c bewirkt, dass für x jetzt um c weniger eingesetzt werden muss, um das gleiche Ergebnis zu erhalten wie ohne diesen Summanden, d. h. der Graph wird in x-Richtung um
c nach links verschoben (bzw. bei negativem c nach rechts); beim obigen Term mit c
muss man den sin-Graphen zuerst stauchen, dann verschieben, beim zweiten Term mit
e zuerst um e verschieben, dann von der y-Achse aus stauchen.
In Zweifelsfällen fertigt man am besten eine kleine Wertetabelle.
Beispiel:
y = sin(2(x + π4 ))
y = sin(2x)
y6
1
−1
y = −1,5 sin(2(x + π4 )) y = −1,5 sin(2(x + π4 )) + 2
y6
π
2
1
2π x
−1
y6
y6
1
2π x
π
2
Stauchung in x-Richtung Verschiebung um
auf halbe Periodenlänge nach links
π
4
−1
1
6
π
2
2π x
?
−1
π
2
6
2π x
Streckung in y-Richtung Verschiebung in y-Richum Faktor 1,5; Spiege- tung um 2 nach oben
lung an x-Achse
2π x
π
2
Hier wird meist der Winkel im Bogenmaß verwendet (→ grund100.pdf).
Wertetabelle → grund106.pdf
10
07
www.strobl-f.de/grund107.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
sin, cos, tan: Graphen
Sinussatz:
γTT
b
sin α
a
=
b
sin β
T a
T
T
T
α
βT
c
(Die Seitenlängen verhalten sich wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel)
Kosinussatz:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
( verallgemeinerter Pythagoras“)
”
Problem bei Winkelberechnungen mit dem Sinussatz:
Die Gleichung sin α = s mit 0 < s < 1 hat im Intervall [0; 180◦ ] zwei Lösungen (man
denke an den Graphen der sin-Funktion!), nämlich die vom Taschenrechner angezeigte ϕ1
y6
und ϕ2 = 180◦ − ϕ1 .
1
s
ϕ1
−1
π
2
2π x
ϕ2
Durch Zusatzüberlegungen (z. B. muss der größeren Seite der größere Winkel gegenüberliegen) findet man die richtige Lösung, es kann aber auch sein, dass beide Lösungen möglich
sind.
Beispiel:
Man berechne den Winkel δ in der nebenstehenden Skizze.
Gegeben: a = 5, b = 4, c = 3, d = 4.
@
@b
d""δ@
""
@
γ@
ε
"
c
a
Vorüberlegung: Zur Berechnung von δ muss man das untere Teildreieck betrachten und
benötigt hier eine weitere Größe; hierfür bietet sich der Winkel γ an, da dieser auch im
ganzen Dreieck vorkommt und dort schon drei Seitenlängen bekannt sind. Von Sinussatz
und Kosinussatz kommt hierfür nur der Kosinussatz in Frage, da er derjenige ist, in dem drei
Seitenlängen vorkommen.
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ ⇒ cos γ =
a2 +b2 −c2
2ab
=
25+16−9
2·5·4
= 0,8 ⇒ γ ≈ 36,9◦
Im unteren Teildreieck verwenden wir den Sinussatz (auch der Kosinussatz wäre möglich;
dabei wäre dann eine quadratische Gleichung zu lösen).
sin δ
a
sin γ · a
= ⇒ sin δ =
= 0,75 ⇒ δ1 ≈ 48,6◦ oder δ2 ≈ 131,4◦
sin γ
d
d
Im ersteren Fall wäre (Winkelsumme im unteren Teildreieck) ε ≈ 94,5◦ der größte Winkel in
diesem Dreieck; da dort a die größte Seite ist, muss jedoch der a gegenüberliegende Winkel
δ der größte sein, also ist δ ≈ 131,4◦ .
Allgemeines Dreieck
Je nach gegebenen Größen wählt man einen der folgenden
Sätze:
Rechtwinklige Dreiecke → grund106.pdf
Gleichseitiges Dreieck → grund99.pdf
Gleichschenklige Dreiecke: Zerlegung durch die Symmetrieachse in zwei rechtwinklige Dreiecke
10
08
www.strobl-f.de/grund108.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
Dreiecksberechnungen
1
x
Achsensymmetrisch
bei geradem Exponenten
0
1
1
1
x
0
0
1
1
x
0
1
x
Punktsymmetrisch
bei ungeradem Exponenten
Definitionsbereich: IR\{0}.
Annäherung an die x-Achse für x → ±∞
(Asymptote)
√
1
Wurzelfunktionen
y = 3 x = x3
y6
sind Umkehrfunktionen (→ grund110.pdf) der Potenzfunktionen
(Spiegelung des Graphen an der Winkelhalbierenden des I. Quadranten).
1
Definitionsbereich: IR+
0 = [0; ∞[
0
Exponentialfunktionen
y = 2x
y = 10−x
y6
y6
1
0
1
1
x
Definitionsbereich: IR
Wertebereich: IR+ =]0; ∞[
0
1
x
1
x
Anwendungsbeispiele:
Zins und Zinseszins: Ein Guthaben steigt jedes Jahr um 5 %, d. h. mit Faktor 1,05. Nach
x Jahren liegt dann das Guthaben 1,05x vor
(exponentiell steigend).
Radioaktiver Zerfall: Der Vorrat an noch
nicht zerfallenen Atomkernen fällt in einer
gewissen Zeit jeweils auf die Hälfte. Nach x
solchen Zeitabschnitten liegt dann nur noch
( 12 )x = 2−x von der Anfangsmenge vor (exponentiell fallend).
Logarithmusfunktionen
sind Umkehrfunktionen der Exponentialfunktion, und zwar
ist der Logarithmus zur Basis b, abgekürzt logb , die Umkehrung zur Exponentialfunktion mit Basis b.
Insbesondere steht am Taschenrechner mit der log-Taste
die Logarithmusfunktion zur Basis 10 zur Verfügung, also
die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion mit der Gleichung y = 10x .
Rechenregeln: log(ab) = log a + log b
logb bx = x
log( ab ) = log a − log b
blogb x = x
log(ar ) = r log a
logb b = 1
y = log2 x
y6
1
0
1
1
Hyperbeln n-ter Ordnung
(negativer Exponent)
y = x−2 = x12
y = x−3 = x13
y6
y6
Potenzfunktionen
Parabeln n-ter Ordnung
(positiver Exponent)
y = x4
y = x3
y6
y6
10
09
www.strobl-f.de/grund109.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
Potenz-, Wurzel-, exp-, log-Funktion
x
D = IR+
W = IR