UNIVERSIT . . AT BONN Physikalisches Institut - HEP1

..
UNIVERSIT AT BONN
Physikalisches Institut
Entwicklung einer entfalteten Messung dierentieller
Wirkungsquerschnitte in Z+Jets-Endzuständen
mit dem ATLAS-Experiment
von
Thomas Schwindt
In search of supersymmetry at the LHC, the proper prediction of
jet radiation in standard model processes is essential for an early
discovery. Therefore, the still large uncertainties of relevant QCD
calculations are studied by modelling Z+jets events with dierent
Monte Carlo generators. From these events, dierential cross
sections of jet transverse momenta are extracted and compared to
data from experiments at the Tevatron, so that the best generator
prediction can be determined. Applying this at the LHC energy,
collisions in the ATLAS detector are simulated in order to prepare
a measurement of similar jet spectra. To allow further Mote Carlo
comparisons to these prospective data, several unfolding methods
are studied, which correct the reconstructed detector response
to a well dened generator level. A conservative estimation of
systematic errors shows, that the smallest uncertainties can be
achieved by a correction with simple factors, while the expected
bias of the unfolded spectra towards the underlying Monte Carlo
truth assumption is reasonably small for all studied methods.
Post address:
Nussallee 12
53115 Bonn
Germany
BONN-IB-2010-01
Bonn University
January 2010
..
UNIVERSIT AT BONN
Physikalisches Institut
Entwicklung einer entfalteten Messung dierentieller
Wirkungsquerschnitte in Z+Jets-Endzuständen
mit dem ATLAS-Experiment
von
Thomas Schwindt
Dieser Forschungsbericht wurde als Diplomarbeit von der Mathematisch - Naturwissenschaftlichen Fakultät der Universität Bonn angenommen.
Angenommen am:
16. November 2009
Referent:
Prof. Dr. V. Büscher
Korreferent:
Prof. Dr. N. Wermes
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
1
2. Grundlagen der Elementarteilchenphysik
3
2.1.
Das Standardmodell
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2.
Probleme des Standardmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3.
Die supersymmetrische Erweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3. Suche nach Supersymmetrie mit dem ATLAS-Detektor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.1.
Proton-Kollisionen
3.2.
Der ATLAS-Detektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.3.
Suche nach Supersymmetrie
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Vektorboson + Jets - Produktion
13
21
4.1.
Die Proton-Struktur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.2.
Drell-Yan-Produktion von Vektorbosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.3.
Jet-Produktion
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Monte-Carlo-Modellierung
5.1.
Monte-Carlo-Generatoren
5.2.
Produktion von Ereignissen
5.3.
29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Normierung dierentieller Wirkungsquerschnitte . . . . . . . . . . . . . .
33
6. Vergleich der Modellierung mit Daten
35
6.1.
Das Tevatron
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.
Daten veröentlichter Messungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
6.3.
Vergleich der dierentiellen Wirkungsquerschnitte . . . . . . . . . . . . .
37
6.4.
Kombination der Messungen der Jet-Transversalimpulse . . . . . . . . . .
40
6.5.
Vergleich der Kombination mit der Modellierung . . . . . . . . . . . . . .
46
7. Vorbereitung einer entfalteten Messung
35
49
7.1.
Simulation und Rekonstruktion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
7.2.
Methoden zur Entfaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
7.3.
Systematische Unsicherheiten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
7.4.
Entfaltung einer simulierten Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
8. Zusammenfassung
77
A. Anhang
80
A.1. Vergleiche der Matrizen zur Fehlerabschätzung . . . . . . . . . . . . . . .
80
A.2. Resultate der weiteren Entfaltungs-Methoden
84
Literatur
. . . . . . . . . . . . . . .
89
i
1 EINLEITUNG
1. Einleitung
Seit der Entdeckung des Elektrons durch J. J. Thomson im Jahre 1897 untersucht die
Elementarteilchenphysik die Bausteine der Materie und ihre Wechselwirkungen. Die spätere Entdeckung einer Vielzahl weiterer Teilchen erforderte ein theoretisches Modell, das
eine Ordnung der Teilchen ermöglicht und die zwischen ihnen beobachteten Kräfte beschreibt. Aus der Einführung neuer, auf Symmetrie basierender Formalismen entwickelte
sich schlieÿlich das heute bekannte Standardmodell der Elementarteilchenphysik. Ein
globaler Fit [1] seiner freien Parameter an die experimentellen Resultate von Präzisionsmessungen zeigt eine sehr gute Übereinstimmung im Rahmen der Messgenauigkeit
(vgl. Abbildung 1). Dennoch lässt dieses Modell fundamentale Fragen oen und kann
beispielsweise weder die Gravitation beschreiben, noch die Massen der Teilchen hinreichend erklären. Mit Hilfe des Higgs-Mechanismus ist zwar die Einbindung der Massen
in diese Theorie möglich, deren Spektrum kann damit aber nicht beschrieben werden.
Zur Beantwortung dieser Fragen wurden verschiedene mögliche Erweiterungen des Standardmodells entwickelt, deren theoretische Vorhersagen mit den bisherigen Beobachtungen vereinbar sind. Die erfolgversprechendste Erweiterung basiert auf dem Postulat einer
Symmetrie zwischen Bosonen und Fermionen, der sogenannten Supersymmetrie (SUSY). Damit einher geht die Existenz sogenannter Superpartner der bisher bekannten
Teilchen. Diese konnten bisher jedoch in den LEP Experimenten am CERN und den
Experimenten DØ und CDF am Tevatron, dem Beschleuniger mit der derzeit höchsten
Schwerpunktsenergie, nicht nachgewiesen werden. Ein sehr gutes Entdeckungspotenzial
für Physik jenseits des Standarmodells, insbesondere auch für supersymmetrische Teilchen liefert der in diesem Monat in Betrieb gehende LHC. Sollte Supersymmetrie mit
relativ leichten SUSY-Partnern in der Natur realisiert sein, ist am LHC schon eine Entdeckung innerhalb der ersten Monate möglich.
Eine Herausforderung bei der Suche wird sein, den erwarteten Standardmodell-Untergrund sehr genau zu modellieren, damit beobachtete Abweichung als Signal identiziert
werden können, und nicht durch eine Fehlbeschreibung des Untergrundes künstlich erzeugt werden. Ebenso führt ein sehr genaues Untergrundverständnis schneller zu einer
signikanten Messung. Besonders vielversprechend für die Suche sind Signale, bei denen die produzierten SUSY-Teilchen in einen Endzustand mit ein oder zwei Leptonen
zerfallen. Neben der Produktion von Top-Antitop-Paaren liefern Prozesse, in denen Vektorbosonen unter Abstrahlung zusätzlicher Jets erzeugt werden, den Hauptbeitrag zum
Untergrund für die leptonischen SUSY-Signale. Insbesondere die Modellierung der Jets
mit Hilfe von Monte Carlo Generatoren unterliegt dabei groÿen Unsicherheiten, die von
den verwendeten Algorithmen und deren Feinabstimmung abhängen.
Ziel dieser Arbeit ist die Vorbereitung einer Messung wichtiger Observablen in Z+Jets
Endzuständen mit dem ATLAS-Experiment. Die frühen Daten ermöglichen dann eine Anpassung der Generator-Feinabstimmung, um schlieÿlich eine genaue Modellierung
dieses Untergrundes in Bereichen zu erhalten, in denen SUSY-Signale erwartet werden.
Dazu werden zunächst Z+Jets Ereignissen der drei Monte Carlo Generatoren Sherpa,
1
1 EINLEITUNG
Abbildung 1: Vergleich der Messungen von Parametern des Standardmodells mit einem
globalen Fit [2].
Alpgen und Pythia bei der Schwerpunktsenergie des Tevatron untersucht. Ein Vergleich
mit entfalteten Daten der Experimente DØ und CDF ermöglicht Aussagen über die Qualität der Monte Carlo Algorithmen und erlaubt eine Anpassung deren Feinabstimmung.
Für die besten hier gefundenen Algorithmen werden bei der LHC-Schwerpunktsenergie
Z+Jets Ereignisse generiert, die anschlieÿend eine Simulation des ATLAS-Detektors
durchlaufen. Anhand der Detektor-Antwort werden Methoden zur Entfaltung untersucht, mit denen die Daten der späteren Messung so aufbereitet werden, dass schlieÿlich
ein direkter Vergleich mit den Monte Carlo Vorhersagen möglich ist.
2
2 GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
2. Grundlagen der Elementarteilchenphysik
2.1. Das Standardmodell
Das Standardmodell der Teilchenphysik (SM) ist eine relativistische Quantenfeldtheorie,
der die Eichgruppe
SU (3)f arb ⊗ SU (2)schwach ⊗ U (1)hyper
zugrunde liegt. Fordert man die Invarianz dieser Theorie unter lokalen Eichtransformationen dieser Symmetriegruppen, so ergeben sich als Erhaltungsgröÿen Ladungen, die
1
von den Spin -Fermionen des Standardmodells (s. Tabelle 1) getragen werden. Diese
2
Ladungen erzeugen Eichfelder, über die die Fermionen miteinander wechselwirken. Die
Träger dieser Felder und damit die Vermittler der drei Wechselwirkungen sind die in
Tabelle 2 dargestellten Eichbosonen mit Spin 1. Die Farbladung unterscheidet dabei die
Quarks, die jeweils in drei Farbzuständen existieren und damit an der starken Wechselwirkung teilnehmen, von den farblosen Leptonen. Bezüglich des schwachen Isospins
T
bilden die schwach wechselwirkenden linkshändigen Leptonen und Quarks jeweils drei
Dubletts, die als Generationen bezeichnet werden. Die entsprechenden rechtshändigen
Fermionen bilden hingegen Singletts und unterliegen der schwachen Wechselwirkung da-
Y ergibt die dritten Komponente des schwaQ/e = T3 + Y , über die abgesehen von den
her nicht. Zusammen mit der Hyperladung
chen Isospins
T3
die elektrische Ladung
Neutrinos alle Fermionen elektromagnetisch wechselwirken.
Alle Wechselwirkungen des Standardmodells können durch die Lagrangedichte
L = LQCD + LEW + LHiggs + LY ukawa
beschrieben werden, aus der durch die Minimierung der Wirkung
S =
R
L(~x)d4 x
die
Kräfte zwischen den Fermionen abgeleitet werden können. Die folgende Zusammenfassung dieser Wechselwirkungen ist an die Darstellungen in [3] und [4] angelehnt.
Fermionen
Generationen
Quarks
Leptonen
u
d
L
c
s
L
t
b
L
Q/e
T3
SU (3), SU (2), U (1)
+2/3
−1/3
+1/2
−1/2
(
3 , 2 , + 16
)
uR
cR
tR
−2/3
0
(
3̄ , 1 , − 23
)
dR
sR
bR
+1/3
0
(
3̄ , 1 , + 13
)
0
−1
+1/2
−1/2
(
1 , 2 , − 12
)
+1
0
(
1 , 1 , +1
)
νe
e
eR
L
νµ
µ
µR
L
ντ
τ
τR
L
Tabelle 1: Die Fermionen des Standardmodells mit ihrer Multiplett-Struktur bezüglich
der Symmetriegruppen (in Anlehnung an [5] und [6]).
3
2 GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
SU (3), SU (2), U (1)
Name
Feld
Kopplung
Gluonen
Gaµ
gS
(
8,1,0
)
schwache Bosonen
Wµi
gW
(
1,3,0
)
abelsches Boson
Bµ
0
gW
(
1,1,0
)
Tabelle 2: Die Eichbosonen des Standardmodells mit ihrer Multiplett-Struktur bezüglich
der Symmetriegruppen (in Anlehnung an [5] und [6]).
2.1.1. Die starke Wechselwirkung
Die starke Wechselwirkung wird aufgrund der SU (3)-Symmetrie durch acht masselose
a
a
Gluon-Felder Gµ (a = 1, . . . , 8) vermittelt, die an Farbladungen t der Quarkfelder q
koppeln. Die kinetische Energie und die Wechselwirkungen der Felder werden durch die
Lagrangedichte
1
LQCD = − Ga
4
µν
Gaµν + q̄ iγµ Dµ q
beschrieben. Die Kopplung der Gluonen mit der Stärke
gS
an die Farbladungen
ta
der
Quarks ist dabei in der kovarianten Ableitung
Dµ = ∂µ + igS ta Gaµ
(1)
enthalten. Die kinetische Energie der Eichfelder wird durch die Feldstärketensoren
Gaµν = ∂µ Gaν − ∂ν Gaµ − gS f abc Gbµ Gcν
ausgedrückt. Durch die Strukturkonstanten
f abc
der
SU (3)-Algebra
[ta , tb ] = if abc tc
wird hier zusätzlich eine Kopplung der Gluonfelder untereinander beschrieben. Diese
Gluon-Selbstwechselwirkung zeigt, dass die Eichbosonen der starken Wechselwirkung
selbst Farbladung tragen.
2.1.2. Die elektroschwache Wechselwirkung
Die
SU (2) ⊗ U (1)-Symmetrie
erzeugt als Vereinigung der elektromagnetischen und der
i
schwachen Wechselwirkung drei schwache Felder W (i = 1, 2, 3) der SU (2) Eichgruppe,
i
die an den schwachen Isospin T koppeln, sowie das wegen der U (1)-Symmetrie abelsche
Feld
Bµ ,
das mit der Hyperladung
Y
wechselwirkt. Die Lagrangedichte
1
LEW (1) = − W i
4
4
µν
1
i
− B µν Bµν
Wµν
4
(2)
2 GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
beschreibt analog zur QCD die kinetischen Energien und Wechselwirkungen der Eichfelder mit den Feldstärketensoren
i
Wµν
= ∂µ Wνi − ∂ν Wµi − gW ijk Wµj Wνk
Bµν = ∂µ Bν − ∂ν Bµ
Während die Strukturkonstante der abelschen
die Algebra der
U (1)-Gruppe
verschwindet, liefert hier
SU (2)-Symmetrie
[T i , T j ] = iijk T k
die Selbstwechselwirkung der
W i -Felder
mit der Kopplungsstärke
Energien der linkshändigen Fermionfelder
ψL
gW .
Die kinetischen
und ihre Wechselwirkungen mit den Eich-
feldern sind durch
LEW (2) = ψ̄L (iγµ Dµ ) ψL
gegeben, wobei die Kopplungen
0
gW , gW
(3)
in der kovarianten Ableitung
0
Dµ = ∂ µ + igW Tj Wjµ + igW
Y Bµ
enthalten sind. Für rechtshändige Fermionen
ψR
(4)
verschwindet dabei der mittlere Term,
W i -Feldern wechselwirken.
da diese ein Isospin-Singlett bilden und daher nicht mit den
2.1.3. Der Higgs-Mechanismus
Die Symmetrien des Standardmodells lassen nur masselose Eichbosonen zu, da explizite
Massenterme in der Lagrangedichte nicht invariant unter lokalen Eichtransformationen
+
−
0
sind. Dennoch haben die experimentell beobachtbaren Vektorbosonen W , W
und Z
laut [1] Massen von
mW = (80, 371 ± 0, 011)
GeV
und
mZ = (91, 1876 ± 0, 0021)
GeV.
Eine Erklärung dieses Phänomens liefert der Higgs-Mechanismus durch die Brechung
SU (2)-Symmetrie. Dies geschieht mit Hilfe der Einführung eines komplexen skalaren
SU (2)-Dubletts φ mit der Lagrangedichte
LHiggs = (Dµ φ)† (Dµ φ) − λ(φ† φ)2 − µ2 φ† φ .
der
Die kovariante Ableitung gibt dessen Kopplung an die Eichfelder an. Aufgrund der Potenzialform des zweiten Terms (s. Abbildung 2) mit der Selbstkopplung
Massenparameter
µ
λ
und dem
hat dieses Higgs-Feld einen endlichen Vakuumerwartungswert
1
hφi = √
2
0
ν
r
mit
ν=
−µ2
λ
5
2 GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
V (φ)
−ν
ν
φ
Abbildung 2: Die Form des Higgs-Potenzials für
µ2 > 0 (gestrichelt) und µ2 < 0 (durch-
gezogen) aus [7].
und bricht damit die Symmetrie. Der Träger dieses Feldes ist ein Spin 0-Teilchen, das
an Masse koppelt. Dieses Higgs-Boson konnte bisher jedoch experimentell nicht nachgewiesen werden.
Bildet man nach dieser Symmetriebrechung aus den SU (2) ⊗ U (1)-Eichfeldern die phy±
0
sikalischen Vektorbosonen W , Z und γ durch die Linearkombinationen
Wµ±
1
= √ Wµ1 ∓ iWµ2
2
mit dem Weinberg-Winkel
mW
θW ,
1
= νgW ,
2
Zµ
γµ
=
cos θW − sin θW
sin θW
cos θW
Wµ3
Bµ
so ergeben sich als Massen dieser Bosonen
1
mZ = ν
2
q
02
2
+ gW
gW
und
mγ = 0
Um die Yukawa-Wechselwirkungen der Fermionen mit Massen
mf
an das Higgs-Feld
einzuführen, muss die Lagrangedichte weiterhin um invariante Terme der Form
LY ukawa = gf ψ̄R φψL + gf ψ̄L φ† ψR
mit
1
mf = √ νgf
2
erweitert werden. Da im Standardmodell jedoch keine rechtshändigen Neutrinos existieren, sind alle Neutrinos im Rahmen dieser Theorie masselos.
6
2 GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
f
g
f
γ
γ
g
g
f¯
g
g
g
f¯
Abbildung 3: Schleifenkorrekturen erster Ordnung: Neben den Beiträgen der Fermionen zu den Propagatoren von Photon (links) und Gluon (mitte) trägt die
Gluon-Selbstwechselwirkung durch Bosonschleifen (rechts) bei.
2.1.4. Laufende Kopplungskonstanten
Die in der Lagrangedichte enthaltenen dimensionslosen Gröÿen
0
gW , gW
und
gS
geben
nur die Stärke der direkten Kopplung zweier Felder an. Untersucht man jedoch eine bestimmte Wechselwirkung zweier Fermionen im Experiment, beobachtet man nicht nur
den einfachen Austausch des entsprechenden Eichbosons, sondern eine Überlagerung
aller möglichen Schleifenkorrekturen zu diesem Prozess, die zur einfachen Kopplungs2
konstante α = g /4π Terme höherer Ordnungen in α beitragen.
Diese Korrekturterme enthalten zum einen eine Abhängigkeit vom Impulsübertrag
Q2
zwischen den ursprünglichen Fermionen, zum anderen sind sie logarithmisch divergent,
da die Impulse innerhalb der Schleifen nicht beschränkt sind. Die Divergenzen lassen
2
sich jedoch durch Renormierung in den beobachtbaren physikalischen Kopplungen α(Q )
absorbieren. Dazu muss als Referenz die Kopplung bei einem beliebig festgelegten Im2
2
pulsübertrag Q = µ gewählt werden, um die divergenten Terme durch deren Wert zu
ersetzen. Von diesem Punkt aus wird das Laufen der Konstanten durch die Renormierungsgruppengleichung
Q2
∂α
0
00 2
3
=
−bα
1
+
b
α
+
b
α
+
O(α
)
∂Q2
beschrieben. Die Koezienten
b, b0
und
b00
(5)
werden dabei durch die Anzahl der unter-
schiedlichen Schleifenkorrekturen bestimmt, die in der jeweiligen Wechselwirkung möglich sind (vgl. Abb. 3). Da dieses Verhalten der Kopplung nur perturbativ angegeben
werden kann, ist die Extrapolation einer Kopplungskonstanten von einem gewählten
2
2
Wert α(µ ) zu einer gewünschten Energie-Skala Q nicht exakt und nur im Rahmen der
Störungstheorie möglich. In erster Ordnung kann eine solche Extrapolation mit Hilfe der
Lösung
α(Q2 ) =
α(µ2 )
1 + bα(µ2 ) log (Q2 /µ2 )
(6)
durchgeführt werden.
Vergleicht man nun die elektromagnetische (QED) und die starke Wechselwirkung (QCD),
so ergeben sich unterschiedliche Koezienten
bQED = −
1
<0
3π
bQCD =
33 − 2nq
>0
12π
7
2 GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
0.5
July 2009
αs(Q)
Deep Inelastic Scattering
e+e– Annihilation
Heavy Quarkonia
0.4
0.3
0.2
0.1
QCD
α s (Μ Z) = 0.1184 ± 0.0007
1
10
Q [GeV]
100
Abbildung 4: Beste Anpassung der laufenden Kopplung
αS (Q2 )
an die Daten verschie-
dener Experimente [8]
mit der Anzahl
nq
der Quarktypen mit Massen
m2q < Q2 .
Während in der QED der
Austausch eines Photons nur Fermionschleifen mit negativem Beitrag zulässt, überwiegt
in der QCD durch die Selbstwechselwirkung der Gluonen der positive Anteil der Bosonschleifen. Dadurch zeigt Gleichung (6) für die beiden Fälle fundamental unterschiedliches
Verhalten.
Die Kopplung der QED wächst demnach für groÿe Impulsüberträge
Q2 → ∞
ins Un-
endliche, kann aber im Bereich experimentell zugänglicher Energien perturbativ gut
beschrieben werden. Die QCD hingegen ist durch das Verschwinden ihrer Kopplung
αS
bei groÿen Impulsüberträgen zwar asymptotisch frei [9], die Gültigkeit der Störungstheorie ist aber für kleine Energien nicht gegeben. Die untere Grenze der perturbativ
beschreibbaren Energieskala wird üblicherweise durch den Parameter
2
2
Λ = µ exp
−12π
(33 − 2nq )αS (µ2 )
ausgedrückt. Damit lässt sich die Kopplungskonstante der starken Wechselwirkung schlieÿlich näherungsweise durch
αS (Q2 ) =
12π
(33 − 2nq ) log(Q2 /Λ2 )
Λ-Parameter bleibt hier als Konsequenz der RenorΛ = (213±9) MeV erhält man dabei aus der Kombination
beschreiben. Die Abhängigkeit vom
mierung übrig. Einen Wert von
von Messungen der starken Kopplungskonstante laut [8]:
αS (m2Z ) = 0, 1184 ± 0, 0007
8
2 GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
Obwohl damit für jede genügend groÿe Energieskala
Q2 > Λ2
der Wert
αS (Q2 )
mit
guter Genauigkeit bestimmt werden kann (vgl. Abbildung 4), ist für die perturbative
Renor-
Berechnung eines bestimmten Prozesses nicht eindeutig, welche Energie für die
Q2 = µ2R zu wählen ist. Deren Wahl legt fest, ab welcher Energie Q2 < µ2R
2
die Korrekturterme bereits in der Kopplung αS (µR ) absorbiert werden, während alle
2
2
Korrekturen mit Q > µR als höhere Ordnungen des Prozesses selbst zu berücksichtigen
mierungsskala
sind. Für die exakte Berechnung, die alle Ordnungen enthält, ist das Ergebnis nicht von
der Renormierungsskala
µR
abhängig, so dass diese grundsätzlich ein freier Parameter
ist. Je weniger Ordnungen eine Lösung jedoch enthält, desto gröÿer ist ihre Abhängigkeit
von der gewählten Renormierungsskala.
2.2. Probleme des Standardmodells
Alle Vorhersagen des Standardmodells (SM) liefern bisher eine gute Übereinstimmung
mit den experimentellen Beobachtungen der Teilchenphysik. Allein die Existenz des
Higgs-Bosons konnte bisher nicht direkt nachgewiesen werden, die Gröÿenordnung seiner
Masse konnte aber durch indirekte Messungen der elektroschwachen Wechselwirkung als
O(100
GeV) bestimmt werden [10]. Nicht alle beobachteten Phänomene sind jedoch im
Rahmen des SM erklärbar:
Gravitation
ist zwar bei den bisher erreichbaren Energien gegen die anderen Wechsel-
wirkungen der Teilchen vernachlässigbar, spätestens im Energiebereich der Planck19
Masse MP = 1, 2 · 10
GeV wird ihr Einuss jedoch groÿ. Daher muss eine obere
Grenze
ΛU V ≤ Mp
Hierarchie-Problem
der Energie existieren, an der die Gültigkeit des SM endet.
ist die Bezeichnung für die Diskrepanz zwischen theoretischen
und experimentellen Hinweisen auf die Masse des Higgs-Bosons. Während Präzisionsmessungen für diese einen Wert im Bereich der elektroschwachen Skala bei
O(100 GeV) erwarten lassen (s. Abbildung 5), liegen theoretische Vorhersagen aufgrund quadratisch divergenter Beiträge der in Abbildung 6 dargestellten Schleifenkorrekturen in der Gröÿenordnung von
Dunkle Materie
ΛU V
[11].
hat Messungen der Astroteilchenphysik [12] zufolge einen Anteil von
23% an der Energie des gesamten Universums, dunkle Energie sogar 72%. Nur
die restlichen 5% entfallen auf Bestandteile der Universums, die durch das SM
beschrieben werden.
Zudem bleiben fundamentale Fragen zur Struktur des SM oen, beispielsweise warum
drei Generationen von Quarks und Leptonen existieren, und warum deren Massen sich
um bis zu fünf Gröÿenordnungen
1
unterscheiden.
1 Die bisher unbekannten Massen der Neutrinos sind dabei nicht berücksichtigt. Deren obere Grenzen
legen sogar ein Massenspektrum nahe, das mehr als acht Gröÿenordnungen umfasst.
9
Tevatron 95% CL
LEP 95% CL
10
9
8
7
G fitter
SM
Mar 09
∆ χ2
2 GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
3σ
6
5
2σ
4
Theory uncertainty
Fit including theory errors
Fit excluding theory errors
3
2
1σ
1
0
50
100
150
200
250
300
MH [GeV]
Abbildung 5:
χ2 -Verteilung für die Vereinbarkeit elektroschwacher Präszisionsmessungen
mit der Existenz eines Higgs-Bosons der Masse mH . In Grau sind die
Ausschlussgrenzen von LEP und Tevatron eingezeichnet [1].
Z 0, W ±
H0
H
0
H0
H
0
Z ,W
±
0
H0
H
0
H0
H0
f
H0
f¯
Abbildung 6: Bosonische
und
fermionische
Schleifenkorrekturen
für
den
Higgs-
Propagator.
2.3. Die supersymmetrische Erweiterung
2.3.1. Motivation
Im Rahmen der relativistischen Quantenfeldtheorie verbietet das Coleman-MandulaTheorem [13] eine Erweiterung des Standardmodells mit Spin 1-Eichbosonen durch die
Gravitation, die durch Gravitonen mit Spin 2 vermittelt werden muss. Die einzige Möglichkeit zur Beschreibung der Gravitation im Rahmen des Standardmodells ist nach R.
Haag, J. T. Lopuszanski und M. Sohnius [14] dessen Erweiterung durch die sogenannte
Supersymmetrie (SUSY) zwischen Bosonen und Fermionen. Ein Operator
entsprechenden Symmetrietransformationen
Q|Fermioni = |Bosoni
10
Q|Bosoni = |Fermioni
Q,
der die
2 GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
Abbildung 7: Skalenabhängigkeit der Kopplungskonstanten im SM (links) und im MSSM
(rechts) [16].
bewirkt, ist dabei Generator der SUSY-Algebra mit den (Anti-)Kommutatorrelationen
wobei
µ
Qα , Q̄β = 2σαβ
Pµ
P µ = (H, P i )
{Qα , Qβ } = Q̄α , Q̄β = 0
der Impulsoperator und
σ µ = (1, σ i )
[Qα , Pµ ] = 0,
die Pauli-Matrizen sind. Diese
Symmetrie erfordert, dass zu jedem bosonischen (fermionischen) Freiheitsgrad ein fermionischer (bosonischer) existiert. Diese zusätzlichen Freiheitsgrade erlauben neben den
Schleifenkorrekturen des SM weitere Beiträge, die durch ihr unterschiedlichen Vorzeichen
die quadratischen Divergenzen der Higgs-Schleifen aufheben. Dadurch wird durch SUSY
das Hierarchie-Problem gelöst und ein leichtes Higgs-Boson vorhergesagt [15]. Auf diese
Weise ändern sich ebenfalls die Schleifenkorrekturen für die Propagatoren der Eichbosonen. Deren Beiträge zu den Koezienten der Renormierungsgruppengleichung bewirken
so, dass alle drei Kopplungskonstanten des SM bei einer Energie in der Gröÿenordnung
16
von 10
GeV einen gemeinsamen Wert annehmen. Damit ist durch SUSY sogar die
Vereinheitlichung der drei Wechselwirkungen möglich (s. Abbildung 7).
2.3.2. Phänomenologie
Die neuen Freiheitsgrade der erweiterten Symmetrie erzwingen die Existenz eines Superpartners für jedes im SM enthaltene Teilchen. Die entsprechenden Supermultipletts sind
in den Tabellen 3 und 4 für das Minimale Supersymmetrische Standarmodell (MSSM)
dargestellt.
Keines der SUSY-Teilchen wurde jedoch bisher entdeckt, obwohl nur ihr Spin diese
von ihren SM-Partnern unterscheiden sollte. Die Symmetrie muss daher analog zum
elektroschwachen Fall durch einen Vakuumerwartungswert
hF i
gebrochen sein. Für den
genauen Mechanismus dieser Brechung existieren jedoch verschiedene Modelle [6], die
11
2 GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK
Namen
Spin
Squarks, Quarks
(ũL
Q
(× 3 Generationen)
(ν̃L
L
d˜L )
(uL
ē
Higgs, Higgsinos
Hu
Hd
dL )
(
(
dR
ẽL )
+
(Hu
SU (3), SU (2), U (1)
uR
(νL
ẽ∗R
(× 3 Generationen)
1/2
Spin
ũ∗R
d˜∗R
ū
d¯
Sleptonen, Leptonen
0
(
3̄ , 1
(
+
(H̃u
H̃u0 )
−
0
(H̃d H̃d )
(
(
)
)
1
, + )
3
1 , 2 , − 12
( 1 , 1 , +1
eL )
eR
Hu0 )
−
0
(Hd Hd )
3 , 2 , + 16
3̄ , 1 , − 23
1 , 2 , + 12
1 , 2 , − 12
)
)
)
)
Tabelle 3: Die chiralen Supermultipletts des MSSM [6].
Name
Spin
1/2
Spin
1
SU (3), SU (2), U (1)
Gluinos, Gluonen
g̃
g
(
8,1,0
)
Winos, W-Bosonen
W̃ ± W̃ 0
W± W0
(
1,3,0
)
Binos, B-Bosonen
B̃ 0
B0
(
1,1,0
)
Tabelle 4: Die Eichsupermultipletts des MSSM [6].
beispielsweise die Kopplung von
hF i über die Gravitation oder über Eichfelder beschrei-
ben. Das tatsächliche Massenspektrum der SUSY-Teilchen hängt allerdings schlieÿlich
sowohl von freien Massenparametern als auch vom zugrundeliegenden Brechungsmechanismus ab und kann daher nicht vorhergesagt werden. Im Allgemeinen mischen jedoch
die fermionischen Partner der Higgs- und Eichbosonen gemäÿ ihrer Ladung zu den Mas±
±
0
0
0
0
seneigenzuständen χ̃1 , χ̃2 (Charginos) und χ̃1 , χ̃2 , χ̃3 , χ̃4 (Neutralinos). Den Platz als
das Leichteste Supersymmetrische Teilchen (LSP) nimmt dabei in den meisten Mo0
dellen das χ̃1 ein. Setzt man voraus, dass die Superpartner der SM-Teilchen nur in
Paaren erzeugt werden können , um dadurch beispielsweise die Stabilität der Protonen
2
zu gewährleisten, ist dieses LSP ein stabiles Endprodukt aller Zerfallsketten der SUSYTeilchen. Da es mit der bisher bekannten Materie nur schwach wechselwirkt und eine
Masse in der Gröÿenordnung von 100 GeV hat, ist es zur Erklärung der dunklen Materie
sehr gut geeignet.
2 Dies wird formal durch die Erhaltung der R-Parität ausgedrückt.
12
3 SUCHE NACH SUPERSYMMETRIE MIT DEM ATLAS-DETEKTOR
3. Suche nach Supersymmetrie mit dem
ATLAS-Detektor
Die Motivation für die Untersuchung der Z+Jets-Endzustände im Rahmen dieser Arbeit liegt in ihrer Bedeutung als Untergrundprozess für die Suche nach Supersymmetrie
begründet. Die experimentellen Rahmenbedingungen für diese Suche und die genaueren
Beschreibung von SUSY-Signalen und Untergrundprozessen sollen im Folgenden dargestellt werden.
3.1. Proton-Kollisionen
Die zur Zeit vielversprechendste Möglichkeit zur Entdeckung neuer Physik und insbesondere Supersymmetrie ist die Untersuchung von Proton-Kollisionen bei sehr groÿen
Schwerpunktsenergien. Die Erzeugung dieser Kollisionen und die Phänomenologie der
Proton-Proton-Wechselwirkung soll nun beschrieben werden.
3.1.1. Der Large-Hadron-Collider
3
Der Large-Hadron-Collider (LHC) ist ein Proton-Proton-Beschleuniger, der am CERN
+ −
im Tunnel des ehemaligen e e -Beschleunigers LEP istalliert ist. Darin werden nach
Inbetriebnahme zwei Protonstrahlen mit Hilfe von 1200 Dipol- und 400 Quadrupolmagneten auf gegenläuge kreisförmige Bahnen mit 27 km Umfang gelenkt, die an den vier
Wechselwirkungspunkten der Experimente ALICE, ATLAS, CMS und LHCb gekreuzt
und fokussiert werden (s. Abbildung 8). Die Strahlen können auf ihrer Bahn bis zu 2800
11
Pakete aus jeweils 10
Protonen enthalten, die an diesen Punkten im zeitlichen Abstand
von 25 ns aufeinander treen. Dabei können die Protonen bis zu einer Energie von 7
TeV beschleunigt werden, so dass deren Kollisionen bei einer Schwerpunktsenergie von
√
s = 14
TeV stattnden. Um diese Energie zu erreichen, müssen mit supraleitenden
Magneten Felder mit einer Stärke von 8,3 T erzeugt werden. Wegen Problemen mit der
Supraleitung wird der LHC jedoch voraussichtlich nach einer Startphase mit 3,5 TeV
Strahlenergie zunächst nur bei einer Schwerpunktsenergie von 10 TeV betrieben. Dabei
34
−2 −1
ist anstatt der konzipierten Luminosität von 10
cm s
aufgrund der Abhängigkeit
31
−2 −1
von der Strahlenergie nur ein Wert von ca. 10
cm s
erreichbar.
3.1.2. Geeignete Messgröÿen
Da Protonen keine punktförmigen Teilchen sind, nehmen bei einer Kollision nur einige
ihrer Konstituenten mit unbekannten Impulsbruchteilen an der Wechselwirkung teil,
während sich die Proton-Reste danach weiterhin in Strahlrichtung bewegen und daher
3 Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire
13
3 SUCHE NACH SUPERSYMMETRIE MIT DEM ATLAS-DETEKTOR
Abbildung 8: Der Large-Hadron-Collider [17].
in der Regel nicht beobachtbar sind. Für das Schwerpunktsystem der kollidierenden
Konstituenten ist aufgrund dessen die Impulskomponente in Strahlrichtung unbekannt,
so dass in Proton-Kollisionen insbesondere die Beobachtung transversaler Gröÿen eine
Aussagekraft über die Physik der Wechselwirkungen hat, da der transversale Impuls
4
dieses Schwerpunktsystems notwendigerweise verschwindet . Die wichtigste Messgröÿe
ist daher der Transversalimpuls
p~T ,
der in einem Koordinatensystem, dessen z-Achse in
Strahlrichtung liegt, durch
px
p~T =
py
mit
pT = |~pT | =
deniert ist. Analog dazu ist die transversale Energie
q
p2x + p2y
~T
E
deniert, die unter anderem
zur Bestimmung der fehlenden Transversalenergie
~T
E
=−
X
~T
E
dient. Diese liefert als Summe über alle gemessenen Energien Hinweise auf die Eigenschaften nicht beobachtbarer Teilchen und ist daher insbesondere für die Suche nach
neuer Physik eine wichtige Observable.
Zur Angabe von Abständen zwischen einzelnen Produkten einer Kollision wird hingegen ein sphärisches Koordinatensystem verwendet. Während der azimuthale Winkel wie
üblich durch die
φ-Koordinate
beschrieben wird, verwendet man anstelle des Winkels
4 Die transversalen Impulse der Partonen innerhalb eines Protons sind hier vernachlässigbar klein
14
θ
3 SUCHE NACH SUPERSYMMETRIE MIT DEM ATLAS-DETEKTOR
die Pseudorapidität
θ
η = − log tan
2
.
Für hochrelativistische Teilchen entspricht diese Gröÿe in guter Näherung der Rapidität
1
y = log
2
E + pz
E − pz
,
die invariant unter Lorentz-Transformationen entlang der Strahlachse ist. Dadurch ist
der Abstand
∆η
zweier Produkte im Endzustand einer Wechselwirkung im Allgemeinen
ebenfalls invariant und nur abhängig von der Schwerpunktsenergie der beteiligten Partonen.
∆θ
würde hingegen zusätzlich vom Impuls des Parton-Systems beeinusst, der
jedoch für die stattndende Wechselwirkung nicht relevant ist.
3.2. Der ATLAS-Detektor
ATLAS
5 [18][19] ist neben CMS6 einer der beiden Vielzweck-Detektoren am LHC, die in
einem breiten Spektrum unterschiedlicher Signaturen in Proton-Kollisionen die Entdeckung neuer Physik ermöglichen. Sein schematischer Aufbau ist in Abbildung 9 dargestellt. Die einzelnen in Schichten angeordneten Detektor-Komponenten und ihre Funktionen werden im Folgenden kurz beschrieben.
Abbildung 9: Der ATLAS-Detektor [18].
5
6
AT
C
L A
M S
oroidal
ompact
HC
uon
pparatu
olenoid
S
15
3 SUCHE NACH SUPERSYMMETRIE MIT DEM ATLAS-DETEKTOR
3.2.1. Der innere Detektor
Der innere Detektor besteht aus drei einzelnen Komponenten, die zusammen in einem
solenoidalen Magnetfeld liegen und gemeinsam die Vermessung der Spuren geladener
Teilchen im Bereich
tektor,
|η| < 2, 5
ermöglichen. Die innerste Komponente ist der
Pixelde-
der aus drei zylindrischen Schichten und zwei fünfschichtigen Endkappen mit
insgesamt 2200 Halbleiter-Detektoren besteht. Aufgrund seiner Nähe zum Wechselwirkungspunkt können mit dessen Hilfe neben Spuren auch Sekundärvertizes rekonstruiert
werden, an denen beispielsweise b-Quarks zerfallen. Die dabei erreichbare Auösung liegt
bei 50
µm.
Der Pixeldetektor wird vom
Semi Conductor Tracker (SCT) umschlos-
sen, der aus acht gegeneinander verdrehten Lagen Siliziumstreifendetektoren besteht, die
eine Spurauösung von 500
µm
ermöglichen. Die dritte Komponente, der
Transition
Radiation Tracker (TRT), besitzt mit Xenon-Gas gefüllte Driftröhren, die Teilchen so-
wohl durch ihre Ionisation des Gases detektieren als auch anhand ihrer darin emittierten
Übergangsstrahlung identizieren. Zusammen können alle drei Komponenten des inneren Detektors Spuren geladener Teilchen an bis zu 47 Punkten vermessen und anhand
deren Krümmung im Magnetfeld Impuls und Ladung der Teilchen bestimmen.
3.2.2. Das Kalorimeter
Das Kalorimeter des ATLAS-Detektors ermöglicht die Energiemessung von Teilchen, die
darin durch Schauerbildung absorbiert werden. Die an den inneren Detektor anschlieÿende Komponente ist das
Elektromagnetische Kalorimeter, dessen Dicke mehr als
22 Strahlungslängen (X0 ) entspricht, in denen Elektronen und Photonen durch Bildung
elektromagnetischer Schauer meist ihre gesamte Energie deponieren. Es gliedert sich in
einen zylindrischen Zentralbereich mit
1, 375 < |η| < 3, 2
|η| < 1, 475 und zwei Endkappen, die den Bereich
abdecken. Als Absorber zur Schauerbildung wird Blei als passives
Material verwendet, wobei üssiges Argon als aktives Material zur Energiemessung der
Schauer dient. Die damit erreichbare Energieauösung liegt bei
∆(E)
10%
≈p
.
E
E/GeV
Da hadronisch wechselwirkende Teilchen diesen Teil des Kalorimeters durchdringen, deponieren sie ihre Energie im
Hadronischen Kalorimeter, das die innere Komponente
mit einer Dicke von ungefähr 10 hadronischen Wechselwirkungslängen (λ) umschlieÿt.
Es enthält in seinem Zentralbereich mit
|η| < 1, 7
neben dem passiven Blei Plastikszin-
tillatoren zur Energiemessung. Deren Aufgabe wird jedoch in den Endkappen wegen der
gröÿeren hadronischen Aktivität im Bereich
1, 5 < |η| < 3, 2 ebenfalls durch üssiges Ar-
gon übernommen. Die Energieauösung dieser äuÿeren Komponente erreicht ungefähr
∆(E)
50%
≈p
.
E
E/GeV
16
3 SUCHE NACH SUPERSYMMETRIE MIT DEM ATLAS-DETEKTOR
Zusätzlich werden die in der Nähe der Protonstrahlen liegenden Bereiche
durch die beiden
3, 1 < |η| < 4, 9
Vorwärtskalorimeter abgedeckt, in denen ebenfalls üssiges Argon
verwendet wird. Mit diesen Komponenten deckt das Kalorimeter nahezu den gesamten
4π -Raumwinkel
ab, so dass aus der Summe aller Energiemessungen der verschiedenen
Komponenten die fehlende Transversalenergie
ET
eines Ereignisses bestimmt werden
kann. Da diese auf die Produktion von Teilchen hinweist, die nicht mit dem Detektor
wechselwirken, ist diese Observable für die Suche nach neuer Physik von groÿer Bedeutung.
3.2.3. Das Myonspektrometer
Myonen deponieren als minimal ionisierende Teilchen nur einen Bruchteil ihrer Energie
in den Kalorimetern, so dass für sie keine genaue Energiemessung möglich ist. Um die
Messung des inneren Detektors zu ergänzen, werden die Spuren der Myonen daher in
den auÿerhalb des Kalorimeters liegenden Myonkammern im Bereich
|η| < 2, 7 zusätzlich
vermessen. Dazu dienen unter anderem Driftröhren und Kathoden-Streifen-Kammern,
die im Magnetfeld der groÿen toroidalen Spulen des ATLAS-Detektors liegen. Die Auflösung, mit der darin die Krümmung der Spuren und damit der Impuls der Myonen
gemessen werden kann, erreicht dabei
∆(pT )
10%
≈
pT
pT /GeV
3.2.4. Datenverarbeitung
Durch die hohe Kollisionsrate der Protonen und die sehr groÿe Zahl der Auslesekanäle
des ATLAS-Detektors ist eine Speicherung aller von diesem gelieferten Daten unmöglich.
Daher muss mit Hilfe eines
Triggers eine Selektion durchgeführt werden, die nur solche
Ereignisse zur Speicherung zulässt, die von physikalischem Interesse sind. Insbesondere Ereignisse, die neue Physik enthalten, müssen dabei mit möglichst hoher Ezienz
ausgewählt werden. Da jede Trigger-Entscheidung zum Speichern oder Verwerfen eines
Ereignisses auf einer schnellen Analyse basieren muss und dadurch eine gewisse Zeit in
Anspruch nimmt, ist dieser in drei Trigger-Stufen aufgebaut. Auf diese Weise wird das
Verhältnis zwischen der für die Analyse zur Verfügung stehenden Zeit und der Qualität der Selektion stufenweise optimiert. Insgesamt ermöglicht das Trigger-System damit
eine Reduktion der Ereignisrate von etwa 1 GHz auf ungefähr 200 Hz, die gering genug für die Speicherung der Daten des Detektors ist. Diese werden anschlieÿend in der
Athena [20] zentral am CERN zu Objekten rekonstruiert
und anschlieÿend im LHC Computing Grid (LCG) für die Analyse zur Verfügung geATLAS-Softwareumgebung
stellt.
17
3 SUCHE NACH SUPERSYMMETRIE MIT DEM ATLAS-DETEKTOR
q̄
χ̃01
χ̃02
Z0
ℓ−
q̃
q
χ̃+
1
q̃
ℓ+
W+
ℓ−
g̃
q
q̄
χ̃01
ν̄
Abbildung 10: Beispiel eines möglichen SUSY-Signalprozesses mit drei Leptonen im
Endzustand.
3.3. Suche nach Supersymmetrie
Nachdem die experimentellen Rahmenbedingungen dargestellt sind, sollen nun die möglichen Signaturen von SUSY-Ereignissen sowie diejenigen Standardmodellprozesse beschrieben werden, die ähnliche Eigenschaften aufweisen.
3.3.1. Leptonische Signale
Bedingt durch die groÿe Zahl an rein hadronischen Ereignissen in Proton-Kollisionen und
die schwierige Modellierung der Jet-Produktion sind für die Suche nach neuer Physik
insbesondere solche Prozesse von Bedeutung, in denen geladene Leptonen nachgewiesen
7
werden können, die meist aus dem Zerfall eines W- oder Z-Bosons stammen . Während
diese Vektorbosonen im Rahmen des Standardmodells meist direkt produziert werden,
entstehen sie in SUSY-Ereignissen aus dem Zerfall ihrer Superpartner. Abbildung 10
zeigt als möglichen SUSY-Signalprozess die Produktion eines Squarks und eines Gluinos mit deren Zerfallskaskaden über Vektorbosonen. Während dieses Beispiel zur Veranschaulichung der unterschiedlichen leptonischen Zerfälle einen Endzustand mit drei
Leptonen erzeugt, treten Prozesse mit einem hadronischen Zerfall und nur einem oder
zwei Leptonen mit gröÿerer Wahrscheinlichkeit auf. Die Anzahl der Leptonen dient dabei
zur Klassizierung verschiedener Kanäle für die Suche nach Supersymmetrie.
3.3.2. Untergrundprozesse
Aufgrund aller bisherigen Beobachtungen müssen die Wirkungsquerschnitte leptonischer
SUSY-Ereignisse deutlich kleiner als die der Standardmodellprozesse sein. Für die möglichen Signale existiert daher ein beträchtlicher Untergrund. Um die SUSY-Signale davon
7 Im Rahmen der Supersymmetrie können Leptonen ebenfalls aus dem Zerfall von Sleptonen
entstehen.
18
`˜ → `χ̃0
3 SUCHE NACH SUPERSYMMETRIE MIT DEM ATLAS-DETEKTOR
trennen zu können, müssen Observablen gefunden werden, in denen sich die charakteristischen Eigenschaften der SUSY-Ereignisse zeigen. Insbesondere die in jedem Ereignis
auftretende Produktion des LSP lässt sich dabei als fehlende Transversalenergie
ET
be-
obachten, da die Energie dieses Teilchens nicht im Detektor deponiert wird. Die Zerfallskaskaden und die groÿen Massen der SUSY-Teilchen weisen zusätzlich darauf hin, dass
deren Signale sich durch eine hohe Aktivität von Jets mit groÿen Transversalimpulsen
auszeichnen. Zur Denition geeigneter Gröÿen werden die Jets jedes Ereignisses anhand
ihrer Transversalimpulse sortiert und für alle Ereignisse anhand ihrer Ordnungszahl in
Observablen zusammengefasst. Dadurch ergibt sich beispielsweise der Transversalimpuls
des härtesten, zweithärtesten usw. Jets, die im folgenden als
pT
des 1., 2. usw. Jets be-
zeichnet werden. Ebenfalls liefert deren skalare Summe
HT =
X
Jets
pJet
T
der Jets eine gute Möglichkeit zur Unterscheidung zwischen SUSY- und Untergrundereignissen. Für das
HT -Spektrum sowie den Transversalimpuls des härtesten Jets zeigt Abbil-
dung 11 einen Vergleich zwischen den Beiträgen der relevanten SM-Untergrundprozesse
und den Signalen zweier mSUGRA-Modelle mit unterschiedlichen Massenparametern
`
nach einer Vorselektion, die im Bereich |η| < 2, 5 zwei Leptonen mit pT > 15 GeV und
mindestens zwei Jets mit pT > 20 GeV verlangt (vgl. [21]). Darin zeigt sich, dass die
Jet
wichtigsten Untergrundprozesse wegen ihrer groÿen Wirkungsquerschnitte die in Abbildung 12 dargestellten Produktionen von Vektorboson+Jetsund Top-Antitop-Paaren (tt̄)
sind. Eine weitere Reduktion des Untergrundes lässt sich durch härtere Schnitte auf
die Transversalimpulse der Jets erreichen. Neben den Observablen der Jets eignet sich
ebenfalls die fehlende Transversalenergie gut zur Trennung von Signal und Untergrund.
Diese kann den Detektor in den SM-Prozessen nur in Form von Neutrinos verlassen, die
aufgrund ihrer geringen Masse in der Regel deutlich kleinere Beiträge als ein massives
LSP liefern. Zusätzlich kann jedoch die Fehlmessung der Jet-Energien fälschlicherweise
als fehlende Transversalenergie identiziert werden, so dass auch Z(``)+Jets-Ereignisse
ohne Neutrinos zum Untergrund beitragen.
3.3.3. Der Z+Jets Untergrund
Aufgrund ihrer groÿen Wirkungsquerschnitte können Ereignisse mit Z+Jets, W+Jets
und
tt̄-Paaren
auch durch sehr gute Schnitte nicht vollständig von den SUSY-Signalen
getrennt werden. Die Modellierung dieser Untergrundprozesse muss daher für die Suche nach Supersymmetrie möglichst exakt sein, da ein mögliches Signal nur als solches erkannt werden kann, wenn seine Abweichung von der Standardmodell-Erwartung
deutlich gröÿer als deren Unsicherheit ist. Insbesondere die Modellierung der Jets ist
für die betrachteten Observablen von Bedeutung und unterliegt bei der W- und ZProduktion groÿen Unsicherheiten. Deren Einschränkung kann nur durch den Vergleich
der Untergrund-Modellierungen mit entsprechenden experimentell gewonnenen Daten
vorgenommen werden. Dazu eignen sich insbesondere
Z(``)+Jets-Ereignisse,
da deren
19
3 SUCHE NACH SUPERSYMMETRIE MIT DEM ATLAS-DETEKTOR
Abbildung 11: Zusammensetzung
des
SM-Untergrundes
für
dileptonische
SUSY-
Ereignisse und Vergleich mit den Signalen zweier mSUGRA-Modelle für
die skalare Summe aller Jet-Transversalimpulse (links) und den Transversalimpuls des härtesten Jets (rechts) [21].
q
q′
b
q
−
ℓ
Z/γ ∗
t
g
ℓ+
g
ν
W+
ℓ+
W−
ℓ−
t̄
q̄ ′
g
b̄
ν̄
Abbildung 12: Beispiele für die Untergrundprozesse Z+Jets (links) und Top-Antitop(tt̄)Produktion (rechts).
Identikation anhand der invarianten Masse
M (`, `) ≈ mZ
sehr gut funktioniert. Bei der
W → `ν -Produktion hingegen kann das als Zerfallsprodukt auftretende Neutrino nur indirekt nachgewiesen werden und erschwert dadurch die Identikation eines W-Bosons.
Obwohl der W+Jets-Untergrund durch einen höheren Wirkungsquerschnitt und die fehlenden Transversalenergie des Neutrinos einen gröÿeren Beitrag zum Untergrund liefert,
ermöglicht die Untersuchung der Jet-Abstrahlung in Z+Jets-Ereignissen im Rahmen
dieser Arbeit einen genaueren Vergleich zwischen Daten und Modellierung. Eine mögliche Verbesserung der Jet-Abstrahlung in Z-Ereignissen lässt jedoch die Erwartung einer
ebenfalls besseren Beschreibung des W+Jets-Untergrundes zu.
20
4 VEKTORBOSON + JETS - PRODUKTION
4. Vektorboson + Jets - Produktion
Im Folgenden sollen die Grundlagen zur Phänomenologie der Produktion von Vektorbosonen in Proton-Kollisionen und der dabei entstehenden Jet-Abstrahlung dargestellt
werden. Dazu wird zunächst die Wechselwirkung zweier Protonen in einer solchen Kollision erläutert.
4.1. Die Proton-Struktur
Im Gegensatz zu Elementarteilchen nehmen die Protonen als zusammengesetzte Teilchen
nicht als ganzes an einer Kollision teil. Mit Hilfe eines Modells ihrer Struktur ist jedoch
die Beschreibung einer solchen Kollision möglich.
4.1.1. Das Parton-Modell
Mit Hilfe des Parton-Modells wird die Wechselwirkung zweier Protonen auf deren Konstituenten (Partonen) zurückgeführt, wobei nur jeweils ein Parton aus jedem Proton
tatsächlich an der harten Wechselwirkung beteiligt ist (vgl. Abbildung 13). Die Wahr-
q ein bestimmter (Anti-)Quarktyp (u, d, s, c, b) oder
0 < x < 1 des Proton-Impulses P µ ist, wird durch
2
(PDF) fq (x, µF ) angegeben. Mit Hilfe dieser Funktionen
scheinlichkeit, dass dieses Parton
ein Gluon
g
mit einem Bruchteil
die Parton-Dichte-Funktion
lässt sich der Wirkungsquerschnitt einer harten Wechselwirkung in einer Kollision von
Protonen mit den Impulsen
σ(P1 , P2 ) =
XZ
P1
und
P2
durch
dx1 dx2 fq (x1 , µ2F )fq0 (x2 , µ2F )σ̂(p1 , p2 , αS (µ2R ), Q2 /µ2R )
(7)
q,q 0
beschreiben, wobei mit Hilfe der
xi
über alle möglichen Parton-Impulse
p i = x i Pi
in-
tegriert wird. Die Skalenverletzung der starken Wechselwirkung bewirkt hier eine zusätzliche Abhängigkeit der Parton-Dichte-Funktionen von der Faktorisierungsskala
µF ,
deren Inverses die Auösung vorgibt, mit der die Konstituenten getrennt werden können. Solche mit geringerer Energie als
µF
werden in den energiereicheren Partonen ab-
sorbiert und beeinussen dadurch deren Impulsverteilung in der Variablen
µR ist µF ein
σ(P1 , P2 ) nach
x.
Wie auch
die Renormierungsskala
freier Parameter, so dass das exakte Ergebnis des
Wirkungsquerschnitts
der Integration von deren Wahl unabhängig ist.
Die perturbative Beschreibung der Wechselwirkung erzeugt jedoch eine Abhängigkeit
von beiden Parametern. Ihre Wahl wird üblicherweise durch
µ2 = µ2R = µ2F = ŝ = (p1 + p2 )2
√
bestimmt, wobei
ŝ
die Schwerpunktsenergie der harten Wechselwirkung angibt.
21
4 VEKTORBOSON + JETS - PRODUKTION
P1
fq (x1, µ2F )
x1 P 1
σ̂(µ2R )
P2
x2 P 2
fq (x2, µ2F )
Abbildung 13: Proton-Proton-Kollision im Parton-Modell [3].
4.1.2. Underlying Event
In der Kollision zweier Protonen können neben der harten Streuung der beiden jeweils
härtesten Partonen ebenfalls Wechselwirkungen der restlichen Konstituenten, sogenannte
Multiple-Parton-Interactions
(MPI), stattnden. Im Allgemeinen haben diese zwar
geringe Energien, sie können jedoch sowohl zusätzliche Jets erzeugen als auch durch
Überlagerung mit einem Jet des harten Prozesses dessen Energie verfälschen. Ein weit
verbreitetes Modell zur Beschreibung der MPI, das auf der räumlichen Ausdehnung der
Protonen und deren Überlapp basiert, ist in [22] dargestellt. Die weit gefasste Denition
des
Underlying Event enthält darüber hinaus alle Phänomene, die nicht aus der Streu-
ung der härtesten Partonen resultieren. Dazu gehören neben den MPI beispielsweise die
Wechselwirkungen der Proton-Reste sowie im weiteren Sinne das
pile-up durch die Über-
lagerung von zwei oder mehr Proton-Kollisionen bei hohen Luminositäten. Im Rahmen
dieser Arbeit sind deren Eekte auf die Observablen jedoch vernachlässigbar klein.
4.2. Drell-Yan-Produktion von Vektorbosonen
Bei ihren Studien zum Parton-Modell schlugen S. D. Drell und T.-M. Yan in [23] erstmals
vor, neben der tienelastischen Streuung und der Elektron-Positron-Paarvernichtung
auch die in Abbildung 14 dargestellte Lepton-Paarproduktion in Hadron-Kollisionen zu
untersuchen. Dieser Prozess bestätigte die Gültigkeit des Parton-Modells eindrucksvoll,
da dessen theoretische Vorhersage eine gute Übereinstimmung mit der Messung des
Wirkungsquerschnitts zeigte.
22
4 VEKTORBOSON + JETS - PRODUKTION
P1
fq (x1)
x1 P 1
ℓ−
γ ∗(M )
P2
ℓ+
x2 P 2
fq (x2)
Abbildung 14: Lepton-Paarproduktion im Drell-Yan-Modell [3].
q
q
0
Z ,γ
νℓ , ℓ−
ℓ−
∗
W±
ℓ+
q̄
l+ , ν̄l
q̄ ′
Abbildung 15: Feynman-Graphen der Matrixelemente
W ± → `± ν` (rechts).
q q̄ → Z → `+ `− (links) und q q̄ 0 →
4.2.1. Matrixelemente
Neben dem ursprünglichen Drell-Yan-Prozess, in dem ein Photon mit groÿer invarianter Masse
M 1
GeV produziert wird, sind in heutigen Experimenten insbesondere
die Produktion von W- und Z-Bosonen von Bedeutung. Die in Abbildung 15 dargestell-
Feynman-Graphen
repräsentieren die Matrixelemente M der Streumatrix, die den
(0)
Übergang vom Anfangszustand q q̄
durch ein entsprechendes Vektorboson in den End+ −
±
zustand ` ` oder ` ν beschreibt. Um aus einem solchen Matrixelement den Wirkungsten
querschnitt für den jeweiligen Prozess zu erhalten, müssen alle möglichen Endzustände
über den Phasenraum der beiden Leptonen integriert werden:
Z
σ̂ =
|M|2 dPS(2)
Die Summe aller Anfangszustände in (7) liefert damit schlieÿlich
+ −
σ(pp → Z → ` ` ) =
XZ
dx1 dx2 fq (x1 )fq0 (x2 )σ̂(q q̄(0 ) → Z → `+ `− )
q,q 0
als Wirkungsquerschnitt für die Drell-Yan-Produktion eines Z-Bosons in einer ProtonKollision.
23
4 VEKTORBOSON + JETS - PRODUKTION
q
q
W±
Z
q
W±
W±
0
q
W∓
Z0
Abbildung 16: Feynman-Graphen zur Vektorbosonfusion von Z- und W-Bosonen.
4.2.2. Prozesse höherer Ordnungen
Zu den in Abbildung 15 dargestellten Prozessen, die nur die führende Ordnung (
ding order, LO) in den Kopplungen αS
und
αEW
lea-
berücksichtigen, existieren ähnliche
Kongurationen, die Beiträge höherer Ordnungen liefern. Die erste Korrektur durch die
elektroschwache Kopplung tritt durch die in Abbildung 16 dargestellte Vektorbosonfusion auf. Ihr Beitrag ist jedoch durch die schwache Kopplung vernachlässigbar. Die
starke Wechselwirkung hat hingegen einen bedeutenden Einuss auf die Partonen im
Anfangszustand, so dass der Wirkungsquerschnitt durch die Störungsreihe
σ̂ tot = α
EW
·
∞
X
cn (αS )n
(8)
n=0
beschrieben werden kann. Die in Abbildung 17 dargestellten virtuellen Beiträge liefern
Schleifenkorrekturen der nächsten Ordnung und werden daher als
next-to leading or-
der -Korrekturen (NLO) bezeichnet. Ebenso kann in dieser Ordnung als reale Korrektur
ein zusätzliches Parton abgestrahlt werden (s. Abbildung 18). Diese Abstrahlung wird
jedoch üblicherweise als die führende Ordnung eines neuen Prozesses aufgefasst. Insgen
samt existiert für jede weitere Ordnung (αS ) eine gröÿere Anzahl virtueller und realer
Korrekturen mit
N ≤ n
Partonen im Endzustand. Um daraus schlieÿlich den exakN
ten Wirkungsquerschnitt zu erhalten, muss die Überlagerung aller Matrixelemente Mi
mit N Partonen jeweils über den entsprechenden (N+2)-Teilchen-Phasenraum integriert
werden. Die Summe dieser Parton-Beiträge ergibt den inklusive Wirkungsquerschnitt für
die Produktion eines Z- bzw. W-Bosons aus zwei Partonen:
σ̂tot =
X
σ̂N
mit
N
σ̂ =
Z
N
2
|MN
1 + M2 + . . . | dPS(N +2)
N
Die Anzahl der für diese Rechnung benötigten Matrixelemente wächst jedoch bereits
in führender Ordnung proportional zu
N !,
so dass eine Berechnung von Wirkungsquer-
schnitten für die Abstrahlung von mehr als sechs Partonen mit heutigen Mitteln nicht
einmal in führender Ordnung möglich ist. Daneben ist auch die inklusive Berechnung
des Wirkungsquerschnittes für die Vektorboson-Produktion unter Berücksichtigung virtueller Korrekturen sehr aufwendig, so dass dieser bis zum heutigen Zeitpunkt nur in
24
4 VEKTORBOSON + JETS - PRODUKTION
q
q
Z/γ ∗
Z/γ ∗
+
q̄
q
g
q̄
Z/γ ∗
Z/γ ∗
+
g
g
q̄
next-to leading order Korrekturen [3].
q
Z/γ ∗
q
Z/γ ∗
+
q̄
Z/γ ∗
+
q̄
Abbildung 17: Virtuelle
q
q
g
q
Z/γ ∗
g
q
+
g
q̄
Abbildung 18: Reale
g
q
next-to leading order Korrekturen [3].
8
zweiter Ordnung mit NNLO -Genauigkeit angegeben werden konnte [24]. Dabei zeigt
sich jedoch, dass Fehler durch die Vernachlässigung der zweiten Ordnung im Bereich
weniger Prozent liegen.
4.3. Jet-Produktion
Integriert man Matrixelemente mit Parton-Abstrahlungen über den gesamten Phasenraum, so treten im Integral für Abstrahlungen mit niedrigen Energien und unter kleinen
n
Winkeln (
) logarithmische Divergenzen auf. Die Summanden cn (αS ) der Stö-
kollinear
rungsreihe (8) werden dabei von den divergierenden Koezienten cn dominiert, so dass
n
bei solchen Abstrahlungen beliebig viele Ordnungen αS relevante Beiträge liefern können,
n
obwohl die hohen Potenzen der Kopplung αS 1 nahezu verschwinden. Phänomenologisch zeigt sich dies im Entstehen einer groÿe Zahl stark wechselwirkender Teilchen.
Bedingt durch die Divergenzen bilden diese untereinander bevorzugt kleine Winkel, so
dass sie in Gruppen zusammengefasst werden, die als Jets bezeichnet werden. Die
theoretische Beschreibung der Entstehung dieser Teilchengruppen und die verschiedenen Algorithmen für ihre Zusammenfassung werden im Folgenden beschrieben.
4.3.1. Parton-Shower
Zur Beschreibung der Bildung von Jets aus Partonen eignet sich die Methode der Matrixelemente hoher Ordnungen in
αS
nicht, da durch die schwierig zu regularisieren-
den Divergenzen nicht einmal die Anzahl der möglichen Kongurationen beherrschbar
8 Next-to Next-to Leading Order
25
4 VEKTORBOSON + JETS - PRODUKTION
g
q
Pqq (z)
z
Pqg (z)
z
q
q
q
Pgq (z)
g
1−z
1−z
z
1−z
q
g
g
Pgg (z)
z
g
1−z
q̄
g
Abbildung 19: Quark-Gluon-Abstrahlungen nach Altarelli-Parisi [9].
ist. Stattdessen wird als phänomenologisches Modell eine Kaskade von Gluon- bzw.
Quark-Abstrahlungen verwendet, die sich aus den in Abbildung 19 gezeigten Bausteinen zusammensetzt. Die Wahrscheinlichkeit einer einzelnen Emission wird abhängig von
den beteiligten Partonen
q, g
durch die entsprechende
Altarelli-Parisi Funktion Pqq (z),
Pgq (z), Pqg (z) oder Pgg (z) [9] angegeben und wird aufgrund der Kinematik nur vom Impulsbruchteil z der Abstrahlung bestimmt. Die Abstände zwischen diesen Verzweigungspunkten in diesem Parton-Shower werden durch
Sudakov-Formfaktoren [25] beschrieben.
Diese können als Wahrscheinlichkeit interpretiert werden, dass in einem bestimmten Zeitraum
(t0 , t)
keine Emission von einem Quark oder Gluon stattndet. Existiert bereits
ein Matrixelement mit Partonen im Endzustand, wird für jedes einzelne ausgehend von
2
dessen Impulsübertrag Q eine solche Kaskade aufgebaut, indem Emissionen mit abstei2
2
2
2
genden Energien Q > Q1 > Q2 > . . . > Q0 modelliert werden. Für jede einzelne wird
2
dabei die starke Kopplung αS (Qi ) ausgewertet, um deren Laufen zu berücksichtigen.
2
2
Daher muss als untere Grenze ein fester Wert Q0 > ΛQCD bestimmt werden, bei dem der
Parton-Shower abbricht und die
beginnt. Dadurch werden ebenfalls die
2
niederenergetischen und kollinearen Divergenzen vermieden, die für Q → 0 auftreten
9
Hadronisierung
würden.
Für ein Matrixelement, das nur Partonen im Anfangszustand enthält, ist ein analoger Algorithmus anwendbar, der an deren Wechselwirkungspunkt startet. Von dort aus werden
rückwärts diejenigen Parton-Shower konstruiert, die zwischen den Parton-Extraktionen
aus den Protonen und deren Wechselwirkung möglich sind [26].
Die Anzahl der beitragenden Ordnungen von
αS
unterliegt in jeder modellierten Kas-
kade dem Zufall und ist a priori nicht festgelegt. Insbesondere die Interferenzen der
unterschiedlichen Prozesse müssen dabei im Gegensatz zu Matrixelement-Berechnungen
vernachlässigt werden:
|M1 + M2 |2 ≈ |M1 |2 + |M2 |2
Die theoretische Genauigkeit des Parton-Shower ist daher nicht durch die berücksichtign
ten Terme O(αS ) gegeben, sondern wird durch dessen Aufsummierung der logarithmisch
divergenten Terme bestimmt. Die Koezienten der Störungsreihe (8) enthalten durch
die Bildung von Jets eine Summe groÿer Logarithmen L:
cn =
n
X
i=0
ai,n L2i
mit
L = log
Q2
Q20
9 Zur Ordnung der Abstrahlungen eignen sich ebenfalls deren Transversalimpulse
26
pT,i
oder Winkel
θi
4 VEKTORBOSON + JETS - PRODUKTION
Die Parton-Shower-Modellierung berücksichtigt davon jeweils die führende und die nächsn
2n
te Potenz (αS ) (L
+ L2n−1 ), so dass dessen Genauigkeit durch
next-to leading loga-
rithm (NLL) bezeichnet wird.
4.3.2. Hadronisierung
Für den Übergang von den quasi-freien Partonen im Endzustand eines
Parton Showers
zu stabilen Hadronen müssen die farbgeladenen Quarks und Gluonen zu farbneutralen
Objekten zusammensetzt werden. Zur Beschreibung experimenteller Daten eignen sich
zwei verschiedene Modelle gleichermaÿen:
Die
Lund-String-Fragmentation
Quarks durch sogenannte
beschreibt die schmalen Farbfelder zwischen zwei
Strings, die bei Gluonen Knicke aufweisen. Durch die relativen
Transversalimpulse der farbgeladenen Objekte entfernen sich diese voneinander, so dass
die Feldenergie steigt. Sobald die Energie eines
dieser durch
Strings
groÿ genug ist,
fragmentiert
q q̄ -Produktion in zwei Teile. Die entstehenden farbneutralen Objekte bilden
schlieÿlich die Hadronen [27].
Die
Cluster-Fragmentation hingegen erzwingt zunächst den Zerfall aller Gluonen in
q q̄ -Paare.
Die benachbarten Quarks werden anschlieÿend zu farbneutralen
Clustern zu-
sammengefasst, die in stabile Hadronen zerfallen [28].
4.3.3. Jet-Algorithmen
Die durch den Parton Shower gebildete Vielzahl an Hadronen ist experimentell in der
Regel nicht auösbar. Durch ihre überwiegend kollineare Produktion lassen diese sich
jedoch so zusammenfassen, dass deren Menge an Informationen über Richtungen und
Energien auf wenige relevante Gröÿen reduzieren. Dazu existieren zwei verschiedene Typen von Algorithmen, mit denen unter Verwendung einer Abstandsdenition aus Partonen, Hadronen oder Detektorsignalen Jets gebildet werden können.
Der
Cone-Jet-Algorithmus [29] startet mit einer Liste von Objekten deren Transver-
salimpuls
pT
über einer bestimmten Schwelle liegt. Für jeden dieser Jet-Kandidaten
werden alle Objekte
j
i
vektoriell addiert, die die Abstands-Bedingung
q
∆Rij = (ηi − ηj )2 + (φi − φj )2 < R
erfüllen und damit innerhalb eines Kegels um
i
R in der (η, φ)i und liefert die
mit einem festen Radius
Ebene liegen. Die Vektorsumme dieses Kegels ersetzt den Kandidaten
Richtung für einen neuen Kegel. Dieser kann wieder eine andere Summe enthalten, so
dass jeder Kandidat so oft ersetzt werden muss, bis für ihn ein stabiler Kegel gefunden
ist. Abschlieÿend müssen die so identizierten Jets auf Überlapp geprüft und entweder
zusammengefügt oder durch Aufteilen des Überlapps getrennt werden. Obwohl diese
Cone-Jets wegen ihrer einfachen Form in Experimenten oft bevorzugt werden, sind sie
27
4 VEKTORBOSON + JETS - PRODUKTION
in bestimmten Endzuständen inbesondere wegen der notwendigen
pT -Schwelle und ihres
möglichen Überlapps nicht stabil gegen kleine Änderungen in deren niederenergetischer
und kollinearer QCD-Abstrahlung. Daher wurde in [30] eine verbesserte Methode zur
Behebung dieser Probleme vorgeschlagen.
Für den
kT -Algorithmus
i, j
[31] werden für alle Objekte
Längen und Abstände mit
Hilfe der Transversalimpulse deniert:
di = p2T,i
2
∆Rij
dij = min p2T,i , p2T,j
D2
Ist das Minimum dieser Werte ein Abstand
dij ,
so liegen
i
und
(9)
j
nach dieser Denition
so nahe beieinander, dass sie zu einem neuen Objekt kombiniert werden können. Liegt
di , so kann kein geeigneter Partner in der Nähe
i mehr gefunden werden. In diesem Fall wird i als Jet identiziert und aus der Liste
gestrichen. Dabei gibt der Parameter D durch die Kombination von Objekten mit
das Minimum andernfalls bei einem Wert
von
min
ähnlich wie der
p2T,j , p2T,k
2
∆Rjk
2
2
<
min pT,j , pT,k
D2
⇒
2
∆Rjk
< D2
Cone -Radius R die Gröÿe der kT -Jets an. Deren geometrische Form ist
jedoch im Allgemeinen komplexer. Durch die jeweils paarweisen Kombinationen funktioniert dieser Algorithmus wie die Umkehrung eines
pT -geordneten Parton-Shower, so dass
jedes Objekt nur in einem einzigen Jet vorhanden ist und ein Überlapp ausgeschlossen
ist. Insbesondere sind die identizierten Jets stabil gegen weiche QCD-Abstrahlungen,
so dass der
28
kT -Algorithmus
deswegen aus theoretischer Sicht zu bevorzugen ist.
5 MONTE-CARLO-MODELLIERUNG
5. Monte-Carlo-Modellierung
Da die quantenmechanische Beschreibung der Teilchenphysik nur anhand von Wahrscheinlichkeiten möglich ist, müssen alle entsprechenden Simulationen eine groÿe Zahl
an Ereignissen produzieren und dabei auf der Basis von Zufallszahlen arbeiten. Ebenso
können hochdimensionale Phasenraumintegrale durch die Auswertung des Integranden
an vielen zufällig gewählten Phasenraumpunkten deutlich schneller gelöst werden als
mit analytischen oder numerischen Methoden. Die für diese Problemstellungen geeigneten Simulations-Programme sind die sogenannten Monte-Carlo-Generatoren, deren
grundlegende Funktion beispielsweise in [32] beschrieben wird. Diese Generatoren sind
in der Lage, mit Berechnungen von Matrixelementen und phänomenologischen ShowerAlgorithmen die gewünschten Endzustände zu modellieren. Sie unterscheiden sich jedoch
hauptsächlich in ihrer implementierten Verbindung dieser Modelle.
5.1. Monte-Carlo-Generatoren
Im Rahmen dieser Arbeit werden die im Folgenden dargestellten Monte-Carlo-Generatoren
verwendet, um insbesondere deren unterschiedliche Modellierung der QCD zu untersu-
10
chen.
5.1.1. Herwig & Pythia - Parton-Shower
Die Ereignis-Generatoren
sion
Fortran -Programme,
Herwig [33] und Pythia [34] sind in ihrer ursprünglichen Verdie mittlerweile auch in Versionen für C++ existieren. Sie
erzeugen LO-Prozesse, deren QCD-Abstrahlungen ausschlieÿlich durch Parton-Shower
modelliert wird. Dieser kann jedoch insbesondere harte Abstrahlungen unter groÿen
Winkeln nicht gut beschreiben, so dass zu erwarten ist, dass sowohl die Anzahl als
auch die Härte der damit produzierten Jets unterschätzt wird. Daher besteht in beiden Programmen die Möglichkeit, die jeweils erste Parton-Emission anhand der Berechnung des entsprechenden Matrixelementes umzugewichten. Während in
Herwig ein
nach Winkeln geordneter Shower und Cluster-Fragmentierung verwendet wird, kann in
2
Pythia zwischen der ursprünglichen Q -Ordnung und einem später implementierten pT Ordnung des Parton-Shower gewählt werden, an den sich die Lund-String-Fragmentation
anschlieÿt.
5.1.2. Sherpa - CKKW-Merging
Der C++-basierte Ereignis-Generator
Sherpa [35] erlaubt die inklusive Berechnung von
LO-Matrixelementen mit Parton-Abstrahlungen. Die maximale Zahl
N
dieser Partonen
10 Dabei wird jedoch auf die Beschreibung des Underlying Event verzichtet, da dieses im Rahmen der
Arbeit nicht untersucht wurde.
29
5 MONTE-CARLO-MODELLIERUNG
ist dabei praktisch nur durch die verfügbare Rechenkapazität begrenzt. Die korrekte
Kombination dieser Matrixelemente mit der Parton-Shower-Methode leistet dabei das
CKKW-Merging [36].
Für jedes Matrixelement wird mit Hilfe eines
kT -Cluster-Algorithmus
rückwärts ein
Pseudo-Parton-Shower konstruiert, der dieselbe Konguration der Partonen erzeugt.
Anhand dessen können dann entsprechende
Sudakov-Formfaktoren
berechnet werden,
aus deren Kombination sich die Wahrscheinlichkeit ergibt, dass in diesem Prozess keine
Sudakov-Gewicht auf das Matrixleading-log -Genauigkeit (LL)11 für die Beschreibung des
weitere Parton-Emission auftritt [37]. Diese wird als
element angewendet, um eine
Prozesses zu gewährleisten.
Zusätzlich wird in diesem Pseudo-Shower die starke Kopplung für jede Abstrahlung mit
Q
Q2i ausgewertet. Durch das Produkt i αS (Q2i )/αS (Q2 ) wird das mit αS (Q2 ) berechnete
Matrixelement so gewichtet, dass darin ebenfalls das Laufen der Kopplung berücksichtigt wird.
Der Phasenraum für die Matrixelemente wird zur Vermeidung von Divergenzen durch die
sogenannte
Merging-Scale Qcut begrenzt, indem mit Hilfe der kT -Maÿe aus (9) nur harte
und gut separierte Partonen mit
di , dij > Q2cut
erlaubt werden. Aus den entsprechenden
Integralen über die gewichteten Matrixelemente ergeben sich die Wirkungsquerschnitte
P
σn und die Wahrscheinlichkeiten σn / N
i=0 σi , dass der betrachtete Prozess n harte Partonen enthält.
Die weicheren Abstrahlungen und damit die durch
Q2cut
ausgeschlossenen Bereiche des
Phasenraums werden durch Parton-Shower abgedeckt. Diese starten mit den freien Par2
tonen der Pseudo-Shower und erzeugen ausgehend von deren invarianten Massen Q geordnete Kaskaden mit anschlieÿender Cluster-Fragmentierung. Ein Veto muss darin
jedoch harte Abstrahlungen verhindern, wenn diese bereits in einem Matrixelement enthalten sind. Nur ein Ereignis, das schon vor dem Parton-Shower die höchste Parton2
Multiplizität N enthält, darf daher weitere Emissionen mit di , dij > Q
enthalten.
cut
5.1.3. Alpgen - MLM-Matching
Auf der Basis von
Fortran
sind im Generator
Alpgen
[38] LO-Matrixelemente mit bis
zu sechs abgestrahlten Partonen implementiert. Diese müssen mit den Parton-Shower-
Herwig oder Pythia kombiniert werden, wobei als
einfachere Alternative zu CKKW das MLM-Matching verwendet wird:
Algorithmen anderer Programme wie
Zur Begrenzung des Phasenraums sind in den Matrixelementen nur Partonen erlaubt,
pT > pmin
relativ zur
T
Strahlachse und untereinander einen minimalen Abstand ∆R > Rmin haben. Analog
zur CKKW -Methode werden für diese Matrixelemente zwar αS -Gewichte berechnet, die
die ähnlich wie beim
kT -Maÿ
einen minimalen Transversalimpuls
das Laufen der starken Kopplung einbeziehen, die Kombination mit dem Parton-Shower
11 Die tatsächliche Genauigkeit liegt vermutlich bei NLL, ein theoretischer Beweis dafür konnte jedoch
bisher nicht erbracht werden.
30
5 MONTE-CARLO-MODELLIERUNG
wird jedoch durch die Denition von Cone-Jets vereinfacht. Nach der Entwicklung der
harten Partonen aus den Matrixelementen mit dem externen Shower wird der entstandene Endzustand vor der Hadronisierung mit dem Cone-Jet-Algorithmus mit
Rcone = Rmin
untersucht. Die Richtungen der gefundenen Jets werden dann mit denen der harten
Partonen verglichen und auf ihre Übereinstimmung anhand von
∆Rjet,parton < Rcone
untersucht. Wird in einem Ereignis nicht für jedes ursprüngliche Parton genau ein passender Jet gefunden, so wird dieses anschlieÿend verworfen.
Bedingt durch diese Methode können mit
elementen fester Parton-Multiplizität
n
Alpgen nur Sätze von Ereignissen aus Matrix-
erzeugt werden, da deren Wirkungsquerschnitt
σ̃n mit der Matching -Ezienz n ergibt. Um daraus einen inklusiven Satz mit bis zu N MatrixelementPartonen zu erhalten, müssen die entsprechenden Sätze mit n = 0, . . . , N so kombiniert
σ̂n = σ̃n · n
sich erst aus der Gewichtung des berechneten Wertes
werden, dass die von ihnen abgedeckten Bereiche des Phasenraums sich nicht überlagern.
Für
n<N
werden daher exklusive Sätze erzeugt, indem diejenigen Ereignisse verworfen
werden, in denen der Parton-Shower zusätzliche Jets produziert. Nur der inklusive Satz
mit
N
Partonen darf Ereignisse enthalten, in denen mehr als die
senden Jets gefunden werden. Ähnlich wie bei der
höchsten Parton-Multiplizität
N
N
notwendigen, pas-
CKKW -Methode werden nur bei der
Ereignisse mit zusätzlichen Jets akzeptiert, da deren
Produktion von keinem Matrixelement abgedeckt wird. Der gesamte inklusive Wirkungsquerschnitt ergibt sich daher mit den
σtot =
N
X
Matching -Ezienzen zu:
σn =
N
−1
X
n=0
ink
σ̃n · exk
n e + σ̃N · N
n=0
5.1.4. Unsicherheiten der Parameter
Die Modellierung der Wechselwirkungen ist in Monte-Carlo-Generatoren durch die Wahl
vieler Parameter bestimmt. Durch die Matrixelement-Berechnungen in führender Ordnung (LO) hat insbesondere die Wahl der Skalen
µR
und
µF
groÿen Einuss auf die
Vorhersagen. Sie werden beispielsweise für die Z+Jets-Produktion in der Regel durch
q
µR = µF = m2Z + p2T,Z
mit der Masse
mZ
und dem Transversalimpuls
pT,Z
des Z-Bosons festgelegt. Für eine
Fehlerabschätzung der Resultate muss dieser Wert jedoch über groÿe Bereiche variiert
werden. Die daraus resultierenden Unsicherheiten liegen durch die besonderen Eigenschaften der starken Kopplung hauptsächlich in der Modellierung der QCD. Aufgrund
der Skalenunsicherheiten existieren allein für die Parton-Dichte-Funktionen verschiedene Sätze, die mit unterschiedlichen Einstellungen an geeignete Daten angepasst sind
und von den Kollaborationen CTEQ [39] und MSTW [40] veröentlicht werden. Bereits
die Wahl des PDF-Satzes hat daher einen Einuss auf die Simulation. Insbesondere das
Ergebnis der Jet-Abstrahlungen wird jedoch zusätzlich von der gewählten ModellierungsMethode beeinusst. Dabei müssen innerhalb einer Methode die Parameter
Qcut , D bzw.
31
5 MONTE-CARLO-MODELLIERUNG
pmin
T , Rmin
zur Separation des Phasenraums gewählt werden. Während deren Wahl auf
eine exakte Beschreibung der QCD wie auch die Skalen
µ
keinen Einuss hätte, hängt
das Ergebnis der Näherung in führender Ordnung ebenfalls von diesen Parametern ab.
Daher müssen sie so gewählt werden, dass die damit modellierten Resultate die Realität
möglichst gut beschreiben.
5.2. Produktion von Ereignissen
Im Rahmen dieser Arbeit sollen die unterschiedlichen Jet-Modellierungen der vorgestellten Monte-Carlo-Generatoren in Z+Jets-Ereignissen untersucht werden. Für den
+ −
Vergleich mit Tevatron-Daten wurden daher pp̄ → Z → µ µ
Ereignisse mit den
Generator-Versionen
ˆ
Sherpa 1.1.2
ˆ
Sherpa 1.1.3
ˆ
Alpgen 2.1.3 + Herwig 6.510
produziert, wobei die Matrixelemente in Alpgen und Sherpa mit bis zu drei harten Partonen berechnet wurden. Die beiden Versionen von Sherpa werden zwar mit den gleichen
Parametern verwendet, sie unterscheiden sich jedoch durch ein Tuning der Herausgeber,
mit dem Sherpa 1.1.3 insbesondere durch die Änderung intern verwendeter Skalen eine
bessere Anpassung an Tevatron Daten erhalten hat.
5.2.1. Verwendung von Ereignisgewichten
Da mit Sherpa nur inklusive Ereignis-Sätze entsprechend der Wirkungsquerschnitte für
die Parton-Abstrahlungen erzeugt werden können, enthalten diese zwangsläug sehr viele Ereignisse ohne Jets, während die wenigen Ereignisse mit hohen Jet-Multiplizitäten
einem groÿen statistischen Fehler unterliegen. Aufgrund dessen wurde die Möglichkeit
n harten Partonen produzierten Ereignisse durch sogenannte
n
erhöhen. Diese wurden in den erzeugten Sätzen als en = 10 mit
genutzt, die Anzahl der mit
Enhance-Factors en zu
n = 0, . . . , 3
gewählt, so dass die entsprechenden Ereignisse in Sherpa mit den Inversen
−n
dieser Faktoren 1/en = 10
gewichtet werden, um damit einen korrekten inklusiven
Satz mit verbesserter Statistik zu erhalten.
Alpgen hingegen produziert separate exklusive Sätze mit
zahlen
Nn
Partonen, deren Ereignis-
unabhängig voneinander generiert werden können. Um diese jedoch zu einem
inklusiven Satz kombinieren zu können, müssen alle
dem Wirkungsquerschnitt
σn
das Gewicht
σn /Nn
P3
i=0 σi /Ni
32
n
Nn
Ereignisse mit
n
Partonen und
5 MONTE-CARLO-MODELLIERUNG
erhalten. Diese Gewichte können allerdings im Gegensatz zu
Sherpa erst am Ende der
Produktion berechnet werden und müssen anschlieÿend von Hand implementiert werden.
Insgesamt wurden im Rahmen dieser Arbeit für jeden mit Sherpa generierten Satz eine
Million gewichtete Ereignisse produziert, während die einzelnen Sätze von Alpgen für
jede Jet-Multiplizität
n = 0, . . . , 3
jeweils ca. 250.000 Ereignisse enthalten.
5.2.2. Verwendete Parameter
Die Produktion von Ereignissen mit Monte-Carlo-Generatoren kann durch eine Vielzahl
unterschiedlicher Parameter beeinusst werden. Da im Rahmen dieser Arbeit nur die
Einüsse vergleichsweise weniger Parameter untersucht werden, sind alle Werte zunächst
aus der oziellen Monte-Carlo-Produktion der ATLAS-Kollaboration übernommen, die
überwiegend den Standard-Vorgaben der Generatoren entsprechen. Zur Beschreibung
von Tevatron-Kollisionen wurden dazu nur die Schwerpunktsenergie und der Strahlinhalt angepasst
12 .
Für alle Generatoren wurde dabei der PDF-Satz
CTEQ6L1
[39] ver-
wendet. Zur Untersuchung der Unsicherheiten der Jet-Modellierung wurden im Rahmen
dieser Arbeit verschiedene Sätze von Ereignissen unter Veränderung der im Folgenden
angegebenen Parameter produziert:
Eine Abschätzung des Fehlers der
leading-order -Berechnung der Matrixelemente wird
dabei nach [35] durch die Halbierung und Verdopplung der Skala
µ = µR = µF
erhalten.
Um zusätzlich den Einuss der Parameter des CKKW-Mergings und des MLM-Matchings
einschätzen zu können, werden diese ebenfalls variiert. Für die Tevatron-Energie werden
dazu die Werte
Qcut = pmin
= 10(7; 15)
T
GeV
und
D = R = 0, 7(0, 4; 1, 0)
verwendet, wobei für den LHC gemäÿ [42] die höheren Werte
Qcut = pmin
= 20(10; 30)
T
GeV
gewählt werden. Während für Alpgen bei der LHC-Energie des Jet-Parameters
0, 7
R =
mit der Tevatron-Wahl übereinstimmt, lautet der verwendete ATLAS-Standard für
Sherpa hingegen
D = 1, 0.
5.3. Normierung dierentieller Wirkungsquerschnitte
Um aus den produzierten Ereignissen dierentielle Wirkungsquerschnitte zu erhalten,
werden die betrachteten Observablen jedes Ereignisses in Histogramme gefüllt. Die Formen der erzeugten Monte-Carlo-Spektren ergeben sich daher aus Ereigniszahlen
∆Ni ,
12 Während das Underlying Event in Pythia und Sherpa energieabhängig modelliert ist, musste jedoch
in Herwig der Parameter PTJIM gemäÿ [41] von Hand angepasst werden.
33
5 MONTE-CARLO-MODELLIERUNG
die in das Histogram-Bin
i der Breite ∆pT,i gefüllt werden. Durch die Normierung dieser
N erhält man den normierten dierentiellen Wir-
Histogramme auf die Ereigniszahl
kungsquerschnitt
1
σ
dσ
dpT
=
i
1 ∆Ni
,
N ∆pT,i
der daher den besten Vergleich zwischen Daten und Monte-Carlo-Spektren ermöglicht.
Während der Wert des totalen Wirkungsquerschnitts in diesem Vergleich nicht verwendet
wird, muss für den Vergleich mit den absoluten Werten
derjenige Wirkungsquerschnitt
σ
dσ
dpT
=
i
σ ∆Ni
N ∆pT,i
bekannt sein, dem die Ereigniszahl
N
entspricht. Für
den Vergleich mit den Tevatron-Daten wird daher die Anzahl aller Ereignisse mit 60 GeV<
M (`, `) <120 GeV verwendet, die in guter Näherung dem NNLO-Wirkungsquerschnitt
251, 3 pb entspricht [43]. Die von den Generatoren berechneten LO-Wirkungsquerschnitte werden daher nicht benötigt. Während diese im Bereich von 200 pb liegen und sich
zwischen den Generatoren deutlich unterscheiden, liefert die NNLO-Normierung die bestmögliche Vergleichbarkeit der generierten Spektren sowohl untereinander als auch mit
den Daten.
34
6 VERGLEICH DER MODELLIERUNG MIT DATEN
6. Vergleich der Modellierung mit Daten
In diesem Teil der Arbeit soll nun die Qualität der unterschiedlichen Monte-CarloModellierungen von Z+Jets-Ereignissen anhand von Vergleichen mit Daten überprüft
werden. Diese konnten bisher am Beschleuniger Tevatron am Fermilab in Chicago gewonnen werden.
6.1. Das Tevatron
Der Proton-Antiproton-Beschleuniger Tevatron wurde bereits im Jahre 1987 mit einer
Schwerpunktsenergie von
√
s = 1, 8
TeV in Betrieb genommen und konnte wichtige
Beiträge zur Überprüfung des Standardmodells, wie beispielsweise die Entdeckung des
Top-Quarks [44] leisten. Seit einer Aufrüstung im Jahr 2001 hat dieser bis heute im
√
sogenannten Run II bei einer höheren Schwerpunktsenergie von
s = 1, 96 TeV eine
−1
integrierte Luminosität von ca. 7 f b
geliefert. Die aufgezeichneten Daten der Experimente DØ [45] und CDF [46][47] werden von deren Kollaborationen mit dem Hauptziel
analysiert, Hinweise auf neue Physik und das Higgs-Bosons zu nden. Dazu dienen neben
direkten Suchen präzisere Vermessungen der Standardmodell-Parameter, um eventuelle
Abweichungen von der theoretischen Vorhersage zu erkennen. Zusätzlich ermöglichen
Messungen wichtiger Standardmodell-Prozesse die Bestimmung des Untergrundes für
die primären Suchen.
6.2. Daten veröentlichter Messungen
Die Kollaborationen DØ und CDF haben in den vergangenen zwei Jahren die Ergebnisse
verschiedener Messungen dierentieller Wikungsquerschnitte in Z+Jets-Endzuständen
veröentlicht. Die Einüsse der Detektoreekte auf die Spektren wurden dabei durch
Entfaltungen korrigiert, so dass ein direkter Vergleich zwischen entfalteten Daten und
generierten Ereignissen möglich ist. Dabei müssen jedoch die verschiedenen Schnitte auf
die Generator-Objekte berücksichtigt werden, die im Folgenden dargestellt sind.
6.2.1. Z(ee) + Jet von CDF
Die in [48] veröentlichte Messung basiert auf einer integrierten Luminosität von 1,7 fb
−1
und beinhaltet die Transversalimpulse dσ/dpT der beiden härtesten Jets in pp̄ → Z →
e+ e− Ereignissen. Die der Entfaltung zugrunde liegende Ereignisselektion auf Generator+ −
e
Niveau verlangt ein (e , e )-Paar mit ET > 25 GeV und einer invarianten Masse von
+ −
66 GeV< M (e , e ) < 116 GeV. Von diesen Elektronen
muss sich dabei mindesten
e1
eines im Zentralbereich |η | < 1, 0 benden, während für das zweite neben dem zentralen
13
13 Die Positronen werden hier im Sinne ihrer Eigenschaften ebenfalls als Elektronen bezeichnet.
35
6 VERGLEICH DER MODELLIERUNG MIT DATEN
|η e2 | < 1, 0 auch der Vorwärtsbereich 1, 2 < |η e2 | < 2, 8 erlaubt ist. Als Jets werden ConeJet | < 2, 1 verwendet, deren Abstand von den Elektronen
Jets mit Radius R=0,7 und |y
die Bedingung ∆RJet,e > 0, 7 erfüllen muss.
6.2.2. Z(µµ) + Jet von DØ
In der Veröentlichung [49] der DØ-Kollaboration ist unter anderem das Spektrum
dσ/dpT des Transversalimpulses des härtesten Jets in pp̄ → Z → µ+ µ− Ereignis−1
sen angegeben, die auf einer integrierten Luminosität von 1 fb
basieren. Die Ent+
−
faltung wurde auf ein Generator-Niveau durchgeführt, das nur Ereignisse mit (µ , µ )µ
Paaren im Bereich |η | < 1, 7 enthält, die nach QED FSR
im Massenfenster von
+
−
65 GeV< M (µ , µ ) < 115 GeV liegen. Die Jets im Bereich |y
| < 2, 8 sind dabei
14
Cone-Jets mit Radius R=0,5 und Abstand
∆RJet,µ > 0, 5
Jet
von den Myonen.
6.2.3. Z(ee) + Jets von DØ
−1
Eine integrierte Luminosität von 1 fb
liegt ebenfalls der neuesten Veröentlichung [50]
+ −
in pp̄ → Z → e e Endzuständen zugrunde. Die Transversalimpuls-Spektren der drei
|y Jet | < 2, 5 de+ −
angegeben, die (e , e )-
härtesten Jets auf Generator-Niveau sind durch Cone-Jets mit R=0,5 und
niert. Dafür sind jedoch zwei verschiedene Ereignisselektionen
+ −
Paare mit einer invarianten Masse von 65 GeV<
M (e , e ) <
115 GeV entweder ohne
e
weitere Schnitte oder nur mit einem minimalen Transversalimpuls pT > 25 GeV im
e
e
Zentral- oder Vorwärtsbereich |y | < 1, 1 bzw. 1, 5 < |y | < 2, 5 auswählen. Für beide Selektionen sind normierte Wirkungsquerschnitte
σ
Z/γ ∗
(1/σZ/γ ∗ )dσ/dpT
angegeben, wobei
der Anzahl der jewils selektierten Ereignisse entspricht. Anstelle der Forderung
eines Abstandes
∆Re−Jet > 0, 5
werden hier jedoch im Gegensatz zu den bisher vor-
gestellten Veröentlichungen alle Jets verwendet, die weder von den Elektronen selbst
noch von Photonen stammen, die in einem Kegel um die Elektronen mit Radius
15
enthalten sind .
R = 0, 2
6.2.4. Z(ee) von DØ
−1
In [51] wurde die auf 1 fb
basierende inklusive Messung des
pT -Spektrums des Z-Bosons
veröentlicht. Obwohl diese Observable zwar nicht direkt die Modellierung einer JetAbstrahlung zeigt, so erlaubt sie als Rückstoÿ der produzierten Jets dennoch Aussagen
über die vektorielle Summe der Jet-Transversalimpulse. Die entfalteten Daten entspre+ −
+ −
chen generierten (e , e )-Paaren mit einer invarianten Masse von 40 GeV< M (e , e ) <
14 Photon-Abstrahlung im Endzustand, Final State Radiation
15 Diese aufwendige Methode zur Verhinderung der Fehlidentikation von Elektronen oder Photonen als
Jets wird im Rahmen dieser Arbeit jedoch durch die Forderung des minimalen Abstands
0, 2
36
in guter Näherung beschrieben.
∆RJet,e >
6 VERGLEICH DER MODELLIERUNG MIT DATEN
200 GeV und geben den entsprechend normierten dierentiellen Wirkungsquerschnitt
(1/σ)dσ/dpT
für das Z-Boson an.
6.3. Vergleich der dierentiellen Wirkungsquerschnitte
Zum Vergleich der Monte-Carlo-Vorhersagen mit den vorgestellten Daten werden die
generierten Ereignis-Sätze mit der
Athena -Software [20] analysiert und mit den angege16 .
benen Schnitten in entsprechende Histogramme der Observablen gefüllt
Obwohl die
Daten ebenfalls in Histogrammen mit unterschiedlichen Bin-Grenzen angegeben sind,
werden für die hier dargestellten Vergleiche die entsprechenden
Bin Center
berechnet,
so dass anstelle von unübersichtlichen Histogram-Vergleichen die Positionen von Datenpunkten betrachtet werden können. Dazu werden die mit Sherpa 1.1.3 generierten
Ereignisse in Histogramme mit kleinen Bins
trägen
Nj
sich als
j
der Breite 1 GeV gefüllt, aus deren Ein-
Bin Center die mittleren Transversalimpulse
P
pT,i =
Nj · pT,j
j∈∆pT,i
P
Nj
j∈∆pT,i
der groÿen Bins
i
mit Breite
∆pT,i
ergeben. Aus diesen Werten und den dierentiellen
Wirkungsquerschnitten der Histogram-Bins werden sowohl Datenpunkte gebildet, als
auch Punkte für die Monte-Carlo-Vorhersage erhalten, die interpoliert werden können.
Diese Vergleiche werden nun für die einzelnen Observablen dargestellt.
6.3.1. Transversalimpuls des härtesten Jets
Abbildung 20 stellt die Vergleiche zwischen den entfalteten und modellierten Spektren
des Transversalimpulses des härtesten bei der Produktion eines Z-Bosons abgestrahlten
Jets für alle drei entsprechenden Veröentlichungen dar. Während die dierentiellen Wirkungsquerschnitte grundsätzlich sehr ähnlich scheinen, können deren Unterschiede gut
in den relativen Abweichungen von den Daten dargestellt werden. Darin sind als Fehlerbänder die Unsicherheiten der LO-Berechnungen der Generator-Matrixelemente gezeigt,
die durch Variation der Skalen
µ = µR = µF
erhalten werden. Während diese bereits
Unterschiede im Rahmen von 10% aufweisen, sind zusätzlich deutliche Unterschiede zwischen den Generatoren sichtbar. Insbesondere das mit Sherpa 1.1.2 generierte Spektrum
liegt dabei in der Regel 20% über den Daten, während Sherpa 1.1.3 und Alpgen die
gemessenen Spektren um ca. 10% unterschätzen.
16 Dabei werden anstelle der Elektronen ebenfalls Myonen verwendet, da andernfalls die identische Produktion der Ereignis-Sätze mit Elektronen nötig gewesen wäre. Die auf Generator-Niveau geringen
Unterschiede zwischen diesen Ereignissen rechtfertigen den dafür benötigten Rechenaufwand jedoch
nicht.
37
6 VERGLEICH DER MODELLIERUNG MIT DATEN
CDF(ee)
Sherpa 113
Sherpa 112
Alpgen
10-1
10-2
pT des 1. Jets
rel. Abweichung
dσ/dpT (pb/GeV)
pT des 1. Jets
CDF(ee)
Sherpa 113
Sherpa 112
Alpgen
0.6
0.4
0.2
0
10-3
-0.2
10-4
-0.4
102
D0(µµ)
Sherpa 113
Sherpa 112
Alpgen
1
10-1
pT (GeV)
pT des 1. Jets
rel. Abweichung
pT des 1. Jets
dσ/dpT (pb/GeV)
102
pT (GeV)
D0(µµ)
Sherpa 113
Sherpa 112
Alpgen
0.4
0.3
0.2
0.1
0
10-2
-0.1
-0.2
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des 1. Jets
D0(ee)
Sherpa 113
Sherpa 112
Alpgen
10-2
10-3
102
pT (GeV)
10-4
pT des 1. Jets
rel. Abweichung
102
-0.3
pT (GeV)
D0(ee)
Sherpa 113
Sherpa 112
Alpgen
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-5
0
10
-0.2
10-6
-0.4
2
10
pT (GeV)
102
pT (GeV)
Abbildung 20: Vergleich zwischen den veröentlichten Daten und den Monte-CarloModellierungen der dierentiellen Wirkungsquerschnitte für den Transversalimpuls des härtesten Jets. Die Fehlerbänder in den rechten Abbildungen repräsentieren Unsicherheiten der LO-Berechnungen der Generatoren.
6.3.2. Transversalimpulse der weiteren Jets
Die gemessenen Transversalimpuls-Spektren des zweit- und dritthärtesten Jets sind zusammen mit den unterschiedlichen Modellierungen in Abbildung 21 dargestellt. Insbesondere die dargestellten relativen Abweichungen zeigen dabei gröÿere Unsicherheiten
der Modellierungen durch Variation der Skalen als für den härtesten Jet. Insgesamt
zeigen jedoch die Generatoren im Vergleich mit den Daten des zweithärtesten Jets ähnliche Unterschiede wie zuvor. Für den dritthärtesten Jet liegen jedoch die modellierten
Spektren von Sherpa 1.1.3 und Alpgen deutlich unter den entfalteten Daten. Diese Un-
38
6 VERGLEICH DER MODELLIERUNG MIT DATEN
CDF(ee)
Sherpa 113
Sherpa 112
Alpgen
-2
10
pT des 2. Jets
rel. Abweichung
dσ/dpT (pb/GeV)
pT des 2. Jets
-3
10
CDF(ee)
Sherpa 113
Sherpa 112
Alpgen
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
10-4
-0.4
102
D0(ee)
Sherpa 113
Sherpa 112
Alpgen
-3
T
10
10-4
pT (GeV)
pT des 2. Jets
rel. Abweichung
pT des 2. Jets
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
102
pT (GeV)
D0(ee)
Sherpa 113
Sherpa 112
Alpgen
0.8
0.6
0.4
0.2
0
10-5
-0.2
-0.4
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des 3. Jets
102
pT (GeV)
D0(ee)
Sherpa 113
Sherpa 112
Alpgen
10-4
pT des 3. Jets
rel. Abweichung
102
pT (GeV)
D0(ee)
Sherpa 113
Sherpa 112
Alpgen
0.4
0.2
0
-0.2
10-5
20
-0.4
25
30
35
40
45
50
55
60
pT (GeV)
-0.6
20
25
30
35
40
45
50
55
60
pT (GeV)
Abbildung 21: Vergleich zwischen Daten und Modellierung der dierentiellen Wirkungsquerschnitte für den Transversalimpuls des zweit- und dritthärtesten Jets.
Die Fehlerbänder in den rechten Abbildungen repräsentieren Unsicherheiten der LO-Berechnungen der Generatoren.
terschiede liegen jedoch in Anbetracht der groÿen Fehler der Daten so wie Unsicherheiten
durch Skalenvariationen in einem Rahmen, der mit den Beobachtungen der anderen beiden Jets verträglich ist.
6.3.3. Transversalimpuls des Z-Bosons
Neben den Jet-Transversalimpulsen zeigt auch das Spektrum des Transversalimpulses
des Z-Bosons die Eigenschaften der Modellierung der Jet-Abstrahlungen. Durch die Rekonstruktion des Z-Bosons anhand seiner Zerfallsprodukte ist dabei sogar die indirekte
Beobachtung sehr weicher Jet-Abstrahlungen möglich, die nicht direkt gemessen wer-
39
6 VERGLEICH DER MODELLIERUNG MIT DATEN
D0(Zee)
Sherpa 113
Sherpa 112
Alpgen
dσ/dpT (pb/GeV)
T
10-1
10-2
10-3
-4
10
p des Z-Bosons
T
rel. Abweichung
p des Z-Bosons
D0(Zee)
Sherpa 113
Sherpa 112
Alpgen
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
10-5
-0.2
10-6
-0.4
-0.6
10-7
0
50
100
150
200
-0.8
0
250
pT (GeV)
50
p des Z-Bosons
150
200
250
pT (GeV)
D0(Zee)
Sherpa 113
Sherpa 112
Alpgen
T
rel. Abweichung
100
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45 50
pT (GeV)
Abbildung 22: Vergleich zwischen Daten und Modellierung der dierentiellen Wirkungsquerschnitte für den Transversalimpuls des Z-Bosons. Die Fehlerbänder in den rechten Abbildungen repräsentieren Unsicherheiten der LOBerechnungen der Generatoren.
den können. Wie Abbildung 22 zeigt, entsprechen die Unterschiede der Modellierungen
hoher Z-Transversalimpulse den Beobachtungen bei den Spektren der Jets, und weisen dabei ebenfalls ähnliche Skalenabhängigkeiten auf. Bei kleinen Transversalimpulsen
unterhalb von 30 GeV werden jedoch Abweichungen der generierten Spektren von den
Daten deutlich, die darauf hinweisen, dass insbesondere die Modellierung weicher JetAbstrahlungen mit den verwendeten Methoden nicht verlässlich funktioniert. Da für die
Suche nach Supersymmetrie jedoch insbesondere harte Jets von Bedeutung sind, können
diese Eekte für die weiteren Studien im Rahmen dieser Arbeit vernachlässigt werden.
6.4. Kombination der Messungen der Jet-Transversalimpulse
Die Vergleiche der Spektren der verschiedenen Monte-Carlo-Generatoren mit den entfalteten Jet-Transversalimpulse zeigen zwar ähnliche Resultate, doch die Unsicherheiten und Fluktuationen der Daten erschweren das Treen einer Aussage über die beste
Monte-Carlo-Vorhersage. Aufgrund ihrer statistischen Unabhängigkeit können die Messungen der Transversalimpulse des härtesten und zweisthärtesten Jets jedoch kombiniert
werden, um einen genaueren Vergleich zu eröglichen und gleichzeitig die einzelnen Messungen miteinander vergleichen zu können.
40
6 VERGLEICH DER MODELLIERUNG MIT DATEN
6.4.1. Korrektur der Schnitte
Aufgrund der verschiedenen Objekt-Denitionen auf Generator-Niveau sind die einzelnen Messungen der Jet-Transversalimpulse nicht direkt vergleichbar. Daher wird ei+ −
ne gemeinsame Selektion von Ereignissen deniert, die ein ` ` -Paar mit 60 GeV<
M (`+ , `− ) <120 GeV vor QED FSR enthalten. Als Jets werden darin Cone-Jets mit
Radius
R = 0, 5
in einem Abstand
∆Re−Jet > 0, 5
von den Leptonen verwendet. Für je-
den Satz von Monte-Carlo-Ereignissen werden neben den bisher gezeigten dierentiellen
Wirkungsquerschnitten, die dem Niveau der gemessenen Daten entsprechen, ebenfalls
Histogramme für das korrigierte Schnitt-Niveau gefüllt. Mit Hilfe dieser beiden MonteCarlo-Spektren werden dann die Inhalte der einzelnen Bins
mit
dσ
dpT
kor.
Daten
=
i,
dσ
dpT
(dσ/dpT )kor.
i,MC
·
gem. =
(dσ/dp
)
T i,MC
i,Daten
gem.
i
dσ
dpT
der Daten-Histogramme
gem.
Nikor.
gem.
i,Daten Ni
·
auf das gemeinsame Niveau korrigiert, wobei nur die Einträge
gem./kor.
Ni
der Monte-
Carlo-Histogramme benötigt werden. Da diese Korrektur die Daten in Abhängigkeit der
Statistik der Monte-Carlo-Histogramme systematisch beeinusst, werden die statistischen und systematischen Fehler der korrigierten Daten gemäÿ
Ni,kor. gem.
σi,kor.
σi,stat.
stat. = N
i,gem.
und
σi,kor.
syst. =
s
Ni,kor. gem.
σ
Ni,gem. i,syst.
2
+
Ni,kor.
Ni,2gem.
2
+
Ni,2kor.
Ni,3gem.
2
berechnet. Während für diese Korrektur grundsätzlich jeder generierte Ereignissatz geeignet ist, wird dazu der mit Sherpa 1.1.3 und unter Verwendung der Standardparameter
generierte Satz verwendet, der insbesondere für diesen Zweck die doppelte Ereigniszahl
enthält.
6.4.2. Anpassung einer analytischen Funktion
Die unterschiedlichen Bin-Gröÿen der Daten-Histogramme verhindern trotz eines gemeinsamen Schnitt-Niveaus einen direkten Vergleich der unterschiedlichen Messungen.
Daher müssen analytische Funktionen
f (pT )
an die Daten angepasst werden, die den
Verlauf der Spektren zwischen den Bins interpolieren und dadurch an beliebigen Stellen vergleichbar sind. Da eine Anpassung an Datenpunkte sehr stark von der mit Hilfe
der Modellierung berechneten Lage der
Bin Center abhängen würde, werden die freien
Parameter der Funktionen so gewählt, dass damit die korrigierten Daten-Histogramme
(dσ/dpT )i
erzeugt werden können. Dazu wird durch Integration der Funktionen über die
einzelnen Bins der Breite
∆pT,i
eine Minimierung von

χ2 =

X

i,j
dσ
dpT
−
i
1
∆pT,i

Z

f (pT ) dpT ·
∆pT,i
dσ
dpT
−
j
1
∆pT,j
Z

f (pT ) dpT ·Vij−1
∆pT,j
41
6 VERGLEICH DER MODELLIERUNG MIT DATEN
durchgeführt. Dabei werden die korrigierten Fehler der einzelnen Datensätze unter der
Annahme einer vollständigen Korrelation der systematischen Fehler in der KovarianzMatrix
Vij = σi,2 stat. δij + σi,syst. σj,syst.
kombiniert. Als geeignete Wahl für die Funktion hat sich anhand der Qualität der
χ2 -
Minimierung die Form
f (pT ) = exp {c0 − c1 · log(pT ) − c2 · pT · log(pT )}
(10)
herausgestellt. Die unterschiedlichen Anpassungen von Funktionen dieser Form an die
2
einzelnen Spektren sind in Abbildung 23 unter Angabe des minimierten χ dargestellt.
Neben den Funktionen sind darin zur besseren Vergleichbarkeit ebenfalls die angepassten
Histogramme gezeigt, deren
Bin Center mit der angepassten Funktion gemäÿ
R
pT,i =
pT · f (pT ) dpT
∆pT,i
R
f (pT ) dpT
∆pT,i
berechnet sind. Die Fehler der angepassten Funktionen können dabei aus der Korrelationsmatrix
R̂
der Parameter und den Gradienten der Funktion durch die Berechnung
T
~ (pT ) · R̂ · ∇f
~ (pT )
δ(pT ) = ∇f
nur für feste Werte von
pT
ermittelt werden. Diese diskreten Werte wurden durch numeri-
17 zu den Fehlern der Histogramme aufsummiert. Für die Darstellung der
sche Integration
Fehlerbänder als relative Abweichung wurden jedoch anstelle der Daten-Histogramme
kleinere, logarithmisch äquidistante Bins gewählt, um eine gute Interpolation der Punkte
durch glatte Kurven zu erhalten. Insgesamt zeigen die Anpassungen an die Daten und
2
deren χ -Werte in Abbildung 23 sehr gute Resultate und ermöglichen daher einen Vergleich der erhaltenen Funktionen. Die Parameter der Anpassungen sind in den Tabellen
5 und 6 dargestellt.
17 Für diese Integration wurden logarithmisch äquidistante Schritte verwendet, deren Gröÿe zur Überprüfung der Stabilität der Resultate variiert wurde.
42
dσ/dpT (pb/GeV)
pT des 1. Jets
χ2 / N = 2.63 / 8
pT des 1. Jets
χ2 / N = 2.63 / 8
CDF(ee)
rel. Abweichung
6 VERGLEICH DER MODELLIERUNG MIT DATEN
CDF(ee)
1
10-1
10-2
0.8
0.6
0.4
0.2
0
10-3
-0.2
10-4
-0.4
102
pT (GeV)
χ2 / N = 2.89 / 6
pT des 1. Jets
χ2 / N = 2.89 / 6
D0(ee)
rel. Abweichung
pT des 1. Jets
dσ/dpT (pb/GeV)
102
pT (GeV)
D0(ee)
1
10-1
10-2
0.4
0.2
0
-0.2
10-3
-0.4
10-4
-0.6
102
1
pT (GeV)
χ2 / N = 1.16 / 6
pT des 1. Jets
χ2 / N = 1.16 / 6
D0(µµ)
rel. Abweichung
pT des 1. Jets
dσ/dpT (pb/GeV)
102
pT (GeV)
D0(µµ)
10-1
10-2
0.2
0.1
0
-0.1
10-3
-0.2
10-4
102
pT (GeV)
χ2 / N = 2.63 / 8
pT des 2. Jets
χ2 / N = 2.22 / 3
CDF(ee)
rel. Abweichung
pT des 2. Jets
dσ/dpT (pb/GeV)
102
pT (GeV)
CDF(ee)
10-1
10-2
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-3
10
-0.4
-0.6
10-4
-0.8
102
dσ/dpT (pb/GeV)
D0(ee)
10-1
10-2
10-3
pT (GeV)
χ2 / N = 1.36 / 2
pT des 2. Jets
rel. Abweichung
χ2 / N = 1.36 / 2
pT des 2. Jets
102
pT (GeV)
0.3
D0(ee)
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
10-4
2
10
Abbildung 23: Vergleich
zelnen
der
Anpassungen
Messungen
102
pT (GeV)
der
analytischer
dierentiellen
Funktionen
pT (GeV)
mit
Wirkungsquerschnitte
den
ein-
der
Jet-
Transversalimpulse. Die Fehlerbänder in den rechten Abbildungen repräsentieren die Fehler der angepassten Funktionen.
43
6 VERGLEICH DER MODELLIERUNG MIT DATEN
CDF(ee)
D0(ee)
D0(µµ)
1
-1
10
-2
10
pT des 1. Jets
rel. Abweichung
dσ/dpT (pb/GeV)
pT des 1. Jets
CDF(ee)
D0(ee)
D0(µµ)
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
10-3
-0.4
10-4
-0.6
102
CDF(ee)
D0(ee)
-1
10
10-2
pT (GeV)
pT des 2. Jets
rel. Abweichung
pT des 2. Jets
dσ/dpT (pb/GeV)
102
pT (GeV)
CDF(ee)
D0(ee)
1.5
1
0.5
0
-0.5
10-3
-1
10-4
-1.5
102
102
pT (GeV)
pT (GeV)
Abbildung 24: Vergleich der an die einzelnen Messungen angepassten analytischen Funktionen untereinander. Die Fehlerbänder in den rechten Abbildungen repräsentieren die Fehler der angepassten Funktionen.
6.4.3. Vergleich der Daten
In Abbildung 24 sind die Funktionen gegenübergestellt, die die Transversalimpulsspektren der einzelnen Messungen am besten beschreiben. Die eingezeichneten Datenpunkte
lassen dabei erkennen, dass eine Verwendung der
Bin Center
für die Anpassung in
diesem Falle sogar falsche Ergebnisse liefern würde und daher trotz ihrer einfacheren
Implementierung nicht in Betracht kommt. Im Vergleich der Funktionen zeigen insbesondere die dargestellten relativen Abweichungen eine sehr gute Konsistenz der Daten
untereinander, deren Unterschiede im Bereich kleiner Transversalimpulse im Rahmen der
berechneten Fehler der Anpassung liegen. Als Referenz für diese Abweichungen wurden
hier die CDF-Messpunkte verwendet, diese Wahl kann jedoch beliebig getroen werden.
Aufgrund der guten Vereinbarkeit der einzelnen Messungen soll im Folgenden versucht
werden, eine gemeinsame Anpassung der Funktionen an die zwei bzw. drei Messungen
der dierentiellen Wirkungsquerschnitte der Jet-Transversalimpulse durchzuführen.
44
dσ/dpT (pb/GeV)
pT des 1. Jets
1
χ2 / N = 9.91 / 26
pT des 1. Jets
χ2 / N = 9.91 / 26
CDF(ee)
rel. Abweichung
6 VERGLEICH DER MODELLIERUNG MIT DATEN
CDF
D0(ee)
D0(µµ)
10-1
10-2
D0 (ee)
1
D0 (µµ)
0.8
0.6
0.4
0.2
10-3
0
-0.2
-4
10
102
102
pT des 2. Jets
χ2 / N = 4.13 / 8
CDF(ee)
CDF
D0(ee)
-1
pT (GeV)
χ2 / N = 4.13 / 8
rel. Abweichung
pT (GeV)
pT des 2. Jets
dσ/dpT (pb/GeV)
1.2
10
10-2
0.8
D0 (ee)
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-3
10
-0.4
-0.6
10-4
-0.8
102
102
pT (GeV)
pT (GeV)
Abbildung 25: Die Anpassungen analytischer Funktionen an alle verfügbaren Daten der
dierentiellen Wirkungsquerschnitte der Jet-Transversalimpulse.
6.4.4. Kombination der Daten
Für eine Kombination von Daten unterschiedlicher Messungen müssen insbesondere
deren systematische Unsicherheiten berücksichtigt werden. Während deren Werte zusammen mit den Daten veröentlicht wurden, werden deren Korrelationen durch die
Annahme vereinfacht, dass die systematischen Fehler der CDF- und DØ-Daten unabhängig voneinander sind, während diejenigen innerhalb der CDF- und der beiden
DØ-Messungen vollständig korreliert sind. Mit den aufgrund dieser Annahme erstellten
Kovarianz-Matrizen werden erneut zwei Funktionen an alle entsprechenden Daten der
Transversalimpulsspektren des härtesten und des zweithärtesten Jets angepasst. Damit
werden für beide Observablen analytische Beschreibungen erhalten, die der Kombination aller verfügbaren Daten entsprechen. Die Ergebnisse der analog zu Kapitel 6.4.2
2
durchgeführten χ -Minimierung und der entsprechenden Fehler-Berechnung werden in
2
Abbildung 25 dargestellt. Insbesondere die geringen χ -Werte dieser Anpassungen zeigen, dass das kombinierte Ergebnis mit Hilfe der gewählten Funktion (10) eine sehr gute
Beschreibung aller Daten liefert. Der Verleich der Fehler von Anpassung und Messwerten
bestätigt dabei, dass die Unsicherheiten der Daten durch die Kombination tatsächlich
deutlich verringert werden, so dass damit die Qualität der verschiedenen Modellierungen
genauer überprüft und besser beurteilt werden kann.
45
1
Komb. Daten
pT des 1. Jets
Komb. Daten
Sherpa 113
Sherpa 113
Sherpa 112
Alpgen
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des 1. Jets
rel. Abweichung
6 VERGLEICH DER MODELLIERUNG MIT DATEN
10-1
10-2
1.2
Sherpa 112
Alpgen
1
0.8
0.6
0.4
0.2
10-3
0
-0.2
-4
10
102
102
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des 2. Jets
pT des 2. Jets
Komb. Daten
Sherpa 113
Sherpa 113
Sherpa 112
Alpgen
10-1
pT (GeV)
Komb. Daten
rel. Abweichung
pT (GeV)
1
Sherpa 112
Alpgen
0.8
0.6
0.4
10-2
0.2
0
10-3
-0.2
102
102
pT (GeV)
pT (GeV)
Abbildung 26: Vergleich zwischen kombinierten Daten und der Modellierung der dierentiellen Wirkungsquerschnitte für die Transversalimpulse des härtesten
und des zweithärtesten Jets. Die Fehlerbänder in den rechten Abbildungen repräsentieren Unsicherheiten der LO-Berechungen der Generatoren.
6.5. Vergleich der Kombination mit der Modellierung
Der in Abbildung 26 dargestellte Vergleich zwischen den verschiedenen Modellierungen
und den kombinierten Daten der Jet-Transversalimpulse zeigt deutlich, dass die Verringerung der Unsicherheiten trotz der konservativen Annahmen zur Korrelation der
systematischen Fehler der einzelnen Messungen eine genauere Beurteilung der MonteCarlo-Vorhersagen erlaubt. Dadurch ist erkennbar, dass die mit Sherpa 1.1.3 generierten
Spektren die beste Beschreibung der gemessenen dierentiellen Wirkungsquerschnitte
liefern, wenn die als Standard verwendeten Skalen
µR
und
µF
halbiert werden, während
insbesondere die Vorhersagen von Sherpa 1.1.2 die Daten im Rahmen der betrachteten
Unsicherheiten nicht beschreiben können, da vermutlich die innerhalb des Generators
verwendeten Skalen deutlich zu groÿ gewählt sind. Wie auch für Sherpa 1.1.3 liegen die
mit Alpgen modellierten Spektren unterhalb der kombinierten Daten und können ebenfalls ausgeschlossen werden, sofern nicht die halbierte Skala verwendet wird.
Mergings von Sherpa bzw. des
Matchings von Alpgen dargestellt, die durch die Variation der entsprechenden Parameter
In Abbildung 27 sind zusätzlich die Unsicherheiten des
Qcut
und
D
bzw.
pmin
T
und
R
für den jeweiligen Phasenraumschnitt abgeschätzt werden.
Im Gegensatz zu den Fehlerabschätzungen der LO-Berechnungen der Matrixelemente
46
pT des 1. Jets
Komb. Daten
pT des 1. Jets
Komb. Daten
rel. Abweichung
Sherpa 113
rel. Abweichung
6 VERGLEICH DER MODELLIERUNG MIT DATEN
Sherpa 113
1.2
Sherpa 112
1
Alpgen
0.8
0.6
1.2
Sherpa 112
1
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
102
Alpgen
0.8
102
Komb. Daten
pT des 2. Jets
Komb. Daten
Sherpa 113
rel. Abweichung
pT (GeV)
pT des 2. Jets
rel. Abweichung
pT (GeV)
Sherpa 113
Sherpa 112
0.8
Alpgen
0.6
0.4
Alpgen
0.6
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
Sherpa 112
0.8
-0.2
2
10
102
pT (GeV)
pT (GeV)
Abbildung 27: Die relativen Abweichungen der modellierten dierentiellen Wirkungsquerschnitte der Jet-Transversalimpulse von der Kombination aller veröentlichten Daten. Die Fehlerbänder repräsentieren Unsicherheiten der
Verbindung zwischen den Matrixelement-Berechnungen und der PartonShower-Methode für die Phasenraumschnitte
die Jet-Parameter
D
bzw.
R
Qcut
bzw.
pmin
T
(oben) und
(unten).
sind diese Unsicherheiten jedoch so klein, dass sie überwiegend im Bereich der statistischen Fluktuationen der Spektren liegen. Eine Änderung dieser Parameter kann daher
zwar für eine Feinabstimmung verwendet werden, in Anbetracht der groÿen Eekte der
Skalenvariation sollten zuvor jedoch Einschränkungen dieser dominanten Unsicherheiten
vorgenommen werden.
Insgesamt zeigen alle Vergleich jedoch im Bereich hoher Transversalimpulse des härtesten
Jets deutliche Unterschiede zwischen den kombinierten Daten und den Modellierungen.
Neben einer falschen Monte-Carlo-Vorhersage kommen jedoch als mögliche Gründe für
diese Abweichung sowohl besondere statistische Fluktuationen der Daten als auch systematische Eekte durch die verwendete analytische Form der angepassten Funktion in
2
Betracht. Da die insgesamte Qualität dieser Anpassung jedoch anhand des χ -Wertes
als gut beurteilt werden kann, sind die Vergleiche im Bereich kleinerer Transversalimpulse verlässlich genug, um die Auswahl von Sherpa 1.1.3 mit reduzierter Skala als beste
Vorhersage zu rechtfertigen.
47
6 VERGLEICH DER MODELLIERUNG MIT DATEN
Daten
c0
c1
CDF (ee)
7,56±0,51
2,03±0,15
DØ (ee)
6,89±0,35
1,86±0,11
DØ (µµ)
6,79±0,33
1,84±0,10
Kombination
6,86±0,21
1,86±0,07
c2
−3
(3,89±0,50)·10
−3
(4,25±0,45)·10
−3
(4,14±0,46)·10
−3
(4,26±0,25)·10
Tabelle 5: Die Parameter der Funktionen (10) aus den Anpassungen an die verschiedenen
Daten des härtesten Jets.
Daten
CDF (ee)
DØ (ee)
Kombination
c0
8,42±2,15
7,67±1,17
8,14±1,14
c1
2,87±0,68
2,60±0,40
2,76±0,37
c2
−3
(4,04±2,44)·10
−3
(5,49±1,97)·10
−3
(4,59±1,49)·10
Tabelle 6: Die Parameter der Funktionen (10) aus den Anpassungen an die verschiedenen
Daten des zweithärtesten Jets.
48
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
7. Vorbereitung einer entfalteten Messung
Die anhand der Daten vom Tevatron eingestellten Monte-Carlo-Generatoren können
zwar durch Anpassung der Schwerpunktsenergie und der kollidierenden Teilchen Vorhersagen für den LHC liefern, die Unsicherheiten der Modellierung, die insbesondere
durch die Wahl der Skalen
µR
und
µF
bestimmt werden, zeigen jedoch, dass die Resul-
tate einer solche Extrapolation der Energieskala nicht verlässlichen sind. Daher müssen
die generierten Spektren zunächst mit Hilfe der Daten aus LHC-Kollisionen validiert
werden. Dazu wird im Folgenden die Vorbereitung einer Messung dierentieller Wir−1
kungsquerschnitte mit dem ATLAS-Experiment beschrieben, die in den ersten 100 pb
Daten durchgeführt werden soll. Die durch die Messung enthaltenen Detektor-Eekte
sollen dabei mit Hilfe einer Entfaltung korrigiert werden, so dass sie direkt mit den
Monte-Carlo-Vorhersagen vergleichbar sind.
7.1. Simulation und Rekonstruktion
Da die mit dem ATLAS-Detektor aufgenommen Daten die Eekte des Detektors beinhalten, können sie erst nach einer Korrektur mit den Monte-Carlo-Modellierungen verglichen werden. Um eine solche Korrektur durchführen zu können, müssen jedoch zunächst
diese Eekte mit Hilfe einer Simulation des Detektors für die betrachteten Ereignistypen
bestimmt werden. Dazu wurden mit dem Generator Sherpa 1.1.3 zwei Millionen gewichtete
Z(ee)+Jets-Ereignisse erzeugt18 , auf die anschlieÿend die im Folgenden dargestellte
Detektor-Simulation angewendet wurde.
7.1.1. Detektor-Simulation
Die
Athena -Softwareumgebung ermöglicht es, aus den Endzuständen der mit Monte-
Carlo-Generatoren erzeugten Ereignisse die Signale des Detektors zu simulieren, die in
den entsprechenden realen Ereignissen enstehen würden. Dazu wird für jedes Ereignis zunächst mit Hilfe des Softwarepakets
Geant 4 [52] die Wechselwirkung aller produzierten
19 .
Teilchen mit dem Material eines implementierten ATLAS-Detektormodells simuliert
Die in den aktiven Detektormaterialien entstehenden Signale werden dann digitalisiert
und bilden die Eingangsdaten fuer die anschliessende Ereignisrekonstruktion, die in dieser Form den Daten realer Ereignisse entsprechen. Da bei einer solchen Simulation insbesondere die Modellierung der Absorption von Teilchenenergien durch Schauerbildung
in den Kalorimetern sehr rechen- und zeitaufwendig ist, wird im Rahmen dieser Arbeit
die schnelle Detektor-Simulation ATLFAST II verwendet. Diese verwendet zwar ein vollständiges Modell des inneren Detektors, sie simuliert Kalorimetersignale jedoch durch
das Programmpaket
FastCaloSim 20 nur mit einer Parametrisierung der Schauer.
18 Aufgrund der besseren Beschreibung der Tevatron-Daten wurden dabei die Skalen µ
R und
µF
19 Dies geschieht wie auch die Ereignissimulation auf der Basis von Monte-Carlo-Methoden
20 Fast Calorimeter Simulation
halbiert.
49
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
7.1.2. Rekonstruierte Objekte
Zur Analyse der simulierten Ereignisse müssen aus den Detektorsignalen innerhalb der
Athena -Software physikalische Objekte wie Elektronen, Myonen und Jets rekonstruiert
werden. Aufgrund der Digitalisierung der Detektor-Simulation können dabei für MonteCarlo-Ereignisse und echte Daten dieselben Algorithmen verwendet werden, die nun für
die wichtigsten Objekte vorgestellt werden.
Elektronen
werden in der Regel bereits im elektromagnetischen Kalorimeter vollstän-
dig absorbiert, so dass zu ihrer Rekonstruktion zunächst alle Energiedepositionen
mit
ET > 3
GeV im elektomagnetischen Kalorimeter und dazu passende Spuren
im inneren Detektor gesucht werden. Wenn ein Paar aus Kalorimetercluster und
Spur mit einem Abstand
∆η < 0, 05
und
∆φ < 0, 10
gefunden wird, für das das
Verhältnis zwischen gemessener Energie und rekonstruiertem Impuls
E/p < 10
erfüllt, so wird dieses als Elektron-Kandidat verwendet, sofern kein Konversions-
21 .
vertex der Spur gefunden wird
Alle Elektron-Kandidaten werden anschlieÿend
anhand verschiedener Kriterien wie beispielsweise Isolation und Energieverteilung
in den Kalorimetern sowie Qualität der Spuren in die drei Klassen
loose
⊇ medium ⊇ tight
eingeteilt, deren genaue Denitionen in [19] angegeben sind. Die eng gewählten
Qualitätskriterien helfen dabei zwar, die Anzahl der Fehlidentikationen insbesondere von Jets und Photonen als Elektronen zu verringern, sie reduzieren jedoch
gleichzeitig die Rekonstruktions-Ezienz, mit der alle tatsächlichen Elektronen
identiziert werden können.
Myonen
deponieren durch ihre besondere Eigenschaft als minimal ionisierende Teilchen
nur einen Bruchteil ihrer Energie in den Kalorimetern. Sie werden daher mit verschiedenen Algorithmen anhand ihrer Spuren in den Myon-Kammern rekonstruiert, die mit passenden Signalen des inneren Detektor kombiniert werden können.
Da sie in der Regel die einzigen im Detektor wechselwirkenden Teilchen sind, die
die Kalorimeter verlassen, ist ihre Identikation anhand der Spurpunkte in den
Myon-Kammern jedoch im Vergleich zu Elektronen einfach.
Jets
werden auf Detektor-Niveau mit Hilfe der bereits in Kapitel 4.3.3 vorgestellten Algorithmen aus Energiedepositionen in Kalorimeter-Blöcken gebildet, anstatt wie
auf Generator-Niveau direkt aus den Energien der einzelnen Teilchen. Insbesondere aufgrund der Unterschiede in der Struktur von Teilchen- und KalorimeterJets werden dabei für jeden Algorithmus verschiedene Kalibrations-Methoden der
H1Tower )
Kalorimeter-Blöcke verwendet, in denen diese beispielweise als Türme (
oder topologische Cluster (
H1Topo )
zusammengefasst werden, um insbesondere
Rauschen zu minimieren. Eine gute Kalibration ermöglicht dabei, dass die gemessenen Energien der Kalorimeter-Jets mit denen der Teilchen-Jets vergleichbar sind.
21 Kalorimetereinträge ohne Spur oder mit passendem Konversionsvertex werden als Photon-Kandidaten
identiziert. Für die Darstellung deren weiterer Identikation wird jedoch auf [53] verwiesen
50
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
7.1.3. Selektions-Schnitte
Zur Rekonstruktion der Z-Bosonen werden auf Detektor-Niveau Elektronen der Klasse
medium verwendet, die die folgenden Auswahlkriterien erfüllen:
ˆ
Isolation in Kegel mit
ˆ
Kein Jet im Abstand
ˆ
Kein weiteres Elektron im Abstand
ˆ
Transversalimpuls
ˆ
Pseudorapidität
Als Jets werden dabei
R = 0, 2: ET < 7
GeV
0, 2 < ∆R(e, Jet) < 0, 4
peT > 15
∆R(e, e) < 0, 2
GeV
|η| < 2, 5
Cone4H1Tower -Jets22 im Bereich |η| < 2, 5 verwendet, die von
den ausgewählten Elektronen einen Abstand von
∆R(Jet, e) > 0, 2 haben. Aufgrund des
Rekonstruktions-Algorithmus haben alle Jets einen minimalen Transversalimpuls von
pJet
T > 7
GeV.
Zur Rekonstruktion des Z-Bosons wird in jedem Ereignis dasjenige Elektron-Paar mit
+ −
unterschiedlichen Ladungsvorzeichen verwendet, dessen invariante Masse M (e , e ) am
nächsten an der Z-Masse liegt
23 .
Zur Reduktion aller beitragenden Untergrundprozesse
werden insgesamt jedoch nur diejenigen Ereignisse selektiert, die ein rekonstruiertes Z+ −
Boson mit 80 GeV< M (e , e ) < 100 GeV enthalten.
7.1.4. Denition des Generator-Niveaus
Um die auf Detektor-Niveau gemessenen Eigenschaften der rekonstruierten Objekte
zu korrigieren, müssen die Spektren der betrachteten Observablen auf ein GeneratorNiveau entfaltet werden, das einen einfachen Vergleich mit Monte-Carlo-Vorhersagen
erlaubt. Als Elektron und Positron werden dazu die Zerfallsprodukte des Z-Bosons vor
e
QED FSR verwendet, die analog zum Detektor-Niveau pT > 15 GeV und |η| < 2, 5
erfüllen müssen. Zur Selektion der Ereignisse werden dabei Z-Bosonen mit 60 GeV
< M (e+ , e− ) < 120 GeV verlangt. Als Jets werden Cone-Jets mit R = 0, 4 im Bereich
|η| < 2, 5
verwendet, die einen Abstand
∆R(Jet, e) > 0, 2
von den Elektronen haben
müssen. Auch diese haben analog zum Detektor-Level aufgrund des Jet-Algorithmus
einen minimalen Transversalimpuls von
pT > 7
GeV.
Zur Normierung der daraus erhaltenen dierentiellen Wirkungsquerschnitte wird die
+ −
Zahl aller Ereignisse mit 60 GeV < M (e , e ) < 120 GeV verwendet, damit später
ein Vergleich mit den Vorhersagen der Monte-Carlo-Generatoren unter Verwendung des
theoretischen Wirkungsquerschnitts möglich ist.
22 Cone-Jets mit Parameter
R = 0, 4
und H1Tower -Kalibration
23 Durch diese Auswahl werden ebenfalls solche Z-Ereignisse ausgewählt, in denen Photonabstrahlungen als zusätzliche Elektronen identiziert werden. Da diese jedoch deutlich häuger auftreten als
Untergrund-Prozesse mit mehr als zwei Elektronen, werden durch diese Selektion nur mindestens
zwei Elektronen verlangt
51
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
7.1.5. Einüsse der Messung
Betrachtet man die in Abbildung 28 dargestellten generierten und rekonstruierten Spektren verschiedener Observablen, so sind zwischen diesen sehr groÿe Unterschiede erkennbar, die im Folgenden erläutert werden:
Auösungen
begrenzen insgesamt die Präzision, mit der insbesondere Energien für die
rekonstruierten Objekte gemessen werden können. Als Beispiel zeigt Abbildung 29
die Energieauösungen der Elektronen und der Jets, die erkennen lassen, dass insbesondere Jet-Energien nur sehr ungenau bestimmt werden können. Während die
im Mittel gemessenen Werte durch eine Anpassung der Jet-Energie-Skala beseitigt
werden können, bewirken die groÿen Abweichungen der einzelnen Messungen insbesondere für steil abfallende Spektren von Jet-Transversalimpulsen eine Verschiebung zu höheren Werten. Zusätzlich können die ungenauen Messungen in einigen
Fällen die Ordnung der Jets verändern, indem beispielsweise der auf GeneratorNiveau härteste Jet mit einem niedrigeren Transversalimpuls rekonstruiert wird
als der zweithärteste.
Ezienzen
werden im Rahmen der hier vorbereiteten Messung hauptsächlich durch die
Rekonstruktion der Elektronen bestimmt, da die Wahrscheinlichkeit, dass ein generiertes Elektron nach der Simulation die geforderten Qualitätskriterien erfüllt,
im Mittel nur im Bereich von
80%
liegt. Je nach Auswahl des zum Vergleich ver-
wendeten Generator-Niveaus ergibt sich daneben die Schnittezienz aus den Un+ −
terschieden in den Schnitten auf pT , |η| und M (e , e ). Während die Rekonstruktionsezienz insbesondere von
pT
und
|η|
der Elektronen und der Jets abhängt,
24
gehen in die Schnittezienz Einüsse der Auösung mit ein.
Fehlidentikationen
der rekonstruierten Objekte führen ähnlich wie Auösungseek-
te zu Fehlmessungen, die jedoch in der Regel nicht statistisch verteilt sind, sondern meist systematische Abweichungen der Messwerte erzeugen. Da die gewählten Identikations-Kriterien einen sehr reinen Satz an Elektronen liefern, kann die
Fehlidentikation für Elektronen vernachlässigt werden. Die Fehlidentikationsrate für Jets ist jedoch beispielsweise durch Kalorimeter-Rauschen sehr viel gröÿer,
wodurch es häuger zu der Situation kommt, dass in der Rekonstruktion Jets gefunden werden, die auf Generator-Niveau nicht vorhanden sind.
Zusätzlich wird die Form des Z-Massenpeaks durch die Rekonstruktion asymmetrisch
gegen die Lorentzkurve des generierten Massenspektrums verschoben, da die Photonabstrahlungen der QED FSR im Allgemeinen nicht den rekonstruierten Elektronen
zugeordnet werden können, sondern möglicherweise als niederenergetische Jets fehlidentiziert werden.
24 Zusätzlich muss im Allgemeinen als Triggerezienz die Wahrscheinlichkeit berücksichtigt werden,
dass ein generiertes Ereignis durch den Trigger zu Speicherung weitergeleitet wird. Im Rahmen
dieser Arbeit wurde zwar keine Simulation des Triggers durchgeführt, die entsprechende Ezienz
für die selektierten Z+Jets-Ereignisse liegt jedoch vernachlässigbar nahe bei 1.
52
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
pT des 2. Jets
Sherpa113
x = 25.20
Atlfast II
x = 25.13
T
10-2
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des 1. Jets
10-3
10-4
Sherpa113
x = 18.63
Atlfast II
x = 18.53
10-2
10-3
10-4
10-5
10-5
10-6
10-6
102
10
102
10
pT (GeV)
x = 15.30
Atlfast II
x = 15.15
Sherpa113
x = 21.33
Atlfast II
x = 20.52
10-2
T
10-3
pT (GeV)
HT der Jets
Sherpa113
(1/σ) dσ/dH (GeV -1)
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des 3. Jets
10-4
10-3
10-4
10-5
10-5
10-6
102
10
102
10
pT (GeV)
p des Z-Bosons
T
(1/σ) dσ/dm (GeV -1)
x = 23.93
Atlfast II
x = 23.75
10-2
Sherpa113
Masse des Z-Bosons
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
HT (GeV)
Sherpa113
10-3
10-4
x = 90.77
Atlfast II
x = 89.89
10-1
10-2
10-3
10-5
60
102
10
70
80
90
100
110
pT (GeV)
120
m (GeV)
Abbildung 28: Vergleich zwischen den mit Sherpa 1.1.3 (schwarz) generierten und den
mit ATLFAST II (rot) rekonstruierten dierentiellen Wirkungsquerschnitten für verschiedene Observablen.
Energieaufloesung der Jets
0.00
gen
0.00
0.00 0.00
Erek/E
Erek/E
gen
Energieaufloesung der Elektronen
1.3
0.00
0.00
0.00
0.01
0.08
0.44
0.32
0.11
0.02
0.01
0.00
0.00
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
10
0.00
0.00
0.00
0.01
0.09
0.38
0.37
0.10
0.03
0.02
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.06
0.40
0.39
0.09
0.04
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.03
0.42
0.42
0.08
0.03
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.04
0.39
0.40
0.10
0.04
0.02
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.04
0.38
0.35
0.12
0.05
0.02
0.02
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.04
0.40
0.33
0.12
0.05
0.03
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.03
0.51
0.34
0.08
0.02
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.02
0.57
0.35
0.05
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00 0.00
0.02 0.02
0.60 0.65
0.32 0.30
0.03 0.02
0.01 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00
10-1
1.2
1.1
1
10-2
0.9
0.8
0.7
10-3
0.6
102
gen
E
0.02
0.03
0.03
0.04
0.04
0.04
0.06
0.05
0.06
0.07
0.07
0.06
0.06
0.05
0.05
0.04
0.03
0.03
0.02
0.01
0.01
1.3
10
(GeV)
0.01
0.02
0.03
0.03
0.04
0.04
0.05
0.05
0.06
0.07
0.07
0.07
0.06
0.06
0.06
0.05
0.05
0.03
0.03
0.02
0.02
0.01
0.01
0.02
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.07
0.07
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.02
0.01
0.01
0.01
0.02
0.02
0.03
0.05
0.05
0.06
0.08
0.08
0.08
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.02
0.03
0.03
0.05
0.07
0.08
0.09
0.10
0.10
0.09
0.08
0.06
0.05
0.03
0.03
0.02
0.01
0.01
0.00
0.00
0.01
0.01
0.02
0.03
0.05
0.08
0.10
0.11
0.11
0.11
0.10
0.07
0.06
0.04
0.03
0.02
0.01
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.01
0.01
0.03
0.05
0.08
0.11
0.13
0.14
0.12
0.10
0.07
0.05
0.03
0.02
0.01
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.01
0.02
0.05
0.09
0.14
0.15
0.17
0.14
0.10
0.06
0.03
0.02
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.01
0.04
0.09
0.15
0.19
0.19
0.14
0.09
0.04
0.02
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.01
0.03
0.08
0.17
0.22
0.21
0.14
0.07
0.03
0.01
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.02
0.07
0.16
0.26
0.24
0.13
0.06
0.02
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
10-1
10-2
10-3
102
gen
E
(GeV)
Abbildung 29: Die Energieauösungen der Elektronen (links) und der Jets (rechts) in
Abhängigkeit der wahren Energien
E gen .
53
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
Alle diese Eekte müssen mit Hilfe einer Entfaltung korrigiert werden, um Vergleiche der
gemessenen Daten auf Generator-Niveau durchführen zu können. Dazu müssen jedoch
zunächst die Observablen deniert werden, deren Werte durch die Messung bestimmt
werden sollen.
7.1.6. Betrachtete Observablen
Da die Ergebnisse der Messung insbesondere Aussagen über die Eigenschaften der JetAbstrahlung ermöglichen sollen, werden als wichtigste Observablen die Transversalimpulse der drei härtesten Jets verwendet. Während die Ordnung der Jet-Transversalimpulse
auf Generator-Niveau eindeutig festliegt, kann bei einer Messung auf Detektor-Niveau
jedoch bedingt durch die Auösungseekte nicht festgestellt werden, welcher rekonstruierte Jet dem eigentlich generierten erst-, zweit- oder dritthärtesten entspricht (vgl. Abbildung 30). Zur korrekten Berücksichtigung der möglichen Änderung der Jet-Ordnung
müssen daher in simulierten Monte-Carlo-Ereignissen die Korrelation der drei einzelnen
Spektren verwendet werden. Wegen der begrenzten Anzahl generierter Ereignisse verspricht diese Methode jedoch aufgrund zu geringer Statistik nur wenig Erfolg für eine
Entfaltung. Stattdessen werden die rekonstruierten Jets auf Generator- und DetektorNiveau nach ihrem jeweiligen generierten oder rekonstruierten Transversalimpuls in die
Spektren verteilt, wobei jedoch nicht verlangt wird, dass der
n-ten
n-te
wahre Jet auch dem
rekonstruierten entspricht. Enthält ein Ereignis jedoch mehr rekonstruierte als
generierte Jets, müssen die überzähligen als Fehlidentikationen berücksichtigt werden.
Dadurch wird beispielsweise in Ereignissen mit zwei generierten und drei rekonstruierten Jets immer der dritte als Fehlidentikation angenommen, obwohl möglicherweise der
zweithärteste rekonstruierte keinem generierten Jet entspricht. Auf diese Weise geht die
Migration der Jets als Auösungseekt in die gemessenen Spektren ein, die hier jedoch
gleichzeitig die Abhängigkeit der Detektor-Eekte von der verwendeten Monte-CarloVorhersage verstärkt. Daher muss diese Abhängigkeit später als systematischer Fehler
der Entfaltung berücksichtigt werden.
Neben den einzelnen Jet-Transversalimpulsen eignet sich als weitere Observable die insbesonders für die Suche nach Supersymmetrie wichtige skalare Summe
versalimpulse aller Jets mit
pT > 20
HT
der Trans-
GeV. Diese kann sowohl auf Generator- als auch
auf Detektor-Niveau einfach implementiert werden, wobei durch Verwendung des niedrigsten Bins mit
HT < 20 GeV keine Fehlidentikationen berücksichtigt werden müssen.
Zusätzlich wird ebenfalls der Transversalimpuls des Z-Bosons betrachtet, da dieser indirekt die Jet-Abstrahlung widerspiegelt und dabei unabhängig von der unsicheren Kalibration der Jet-Energie ist. Da im Rahmen dieser Messung nur rekonstruierte Transversalimpulse ab
5
GeV berücksichtigt werden, müssen alle Ereignisse als Fehlidentikatio-
nen gezählt werden, in denen ein mit
rekonstruiert wird.
54
pT < 5
GeV generiertes Z-Boson mit
pT > 5
GeV
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
rek
Njet
Migration: Ordnung der Jets
4
0.00
0.00
0.05
0.62
10-1
3
0.00
0.04
0.71
0.14
2
0.03
0.79
0.11
0.02
1
0.91
0.10
0.01
0.00
1
2
3
4
10-2
10-3
gen
Njet
pT > 20
Abbildung 30: Die Migration der Jet-Ordnung für Jets mit
GeV.
7.2. Methoden zur Entfaltung
Betrachtet man die Histogramme der dierentiellen Wirkungsquerschnitte als Vektoren,
so lässt sich als Einuss der Messung der Übergang des generierten Spektrums
simulierten ~
rs durch die Gleichung
~rs = ~r + f~ = M̂ · ~g + f~.
~g
zum
(11)
beschreiben. Dabei lässt sich die Detektor-Antwort als sogenannte Antwort-Matrix
darstellen, die das generierte Spektrum
~g
in das rekonstruierte
liefert die Simulation zusätzlich Fehlidentikationen
f~,
~r
M̂
überführt. Daneben
die unabhängig von
~g
auftreten.
Durch die Detektor-Simulation der Monte-Carlo-Ereignisse sind nun nach Bestimmung
der Fehlidentikationen gleichzeitig sowohl
Komponenten
Mij
~g
als auch
~r
bekannt, so dass damit die
aus den Wahrscheinlichkeiten
Mij = p(rekonstruiert
in Bin
i|generiert
in Bin
j)
berechnet werden können (vgl. Abbildung 31). Zur Entfaltung eines auf Detektor-Niveau
gemessenen Spektrums
m
~
muss die Umkehrung von Gleichung (11) unter Verwendung
der entsprechenden Matrix durchgeführt werden, um daraus als entfaltete Daten
d~ ≈ ~g
ein Ergebnis auf Generator-Niveau zu erhalten. Dazu werden im Folgenden verschiedene
im Rahmen dieser Arbeit verwendete Methoden vorgestellt.
7.2.1. Matrix-Invertierung
Die naheliegendste Methode zur Umkehrung von Gleichung (11) ist die Invertierung der
Matrix, so dass eine Messung
m
~
gemäÿ
d~i =
N
X
M̂ij−1
~
· m
~ j − fj
(12)
j=1
55
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
InvMat.: pT des 1. Jets
T
0.00 0.00
102
0.00 0.00 0.02 0.45 0.07
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.03 0.45 0.05 0.00
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.03 0.44 0.06 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.03 0.44 0.07 0.00 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.04 0.43 0.08 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.05 0.38 0.08 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00
0.00 0.04 0.32 0.10 0.01 0.00 0.00 0.00
0.00
0.06 0.32 0.13 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.02
0.28 0.12 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.41
0.19 0.02 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00
10-1
T
0.00 0.00 0.00 0.02 0.48
prek (GeV)
prek (GeV)
AntwMat.: pT des 1. Jets
102
-2
10
10
0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.11 2.11
0.00
-0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.01 -0.12 2.23 -0.30
-0.00
-0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.01 -0.16 2.24 -0.24 0.03
-0.00
0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.01 -0.16 2.31 -0.28 0.02 -0.00
0.00
-0.00 0.00 -0.00 0.01 -0.18 2.35 -0.38 0.04 -0.00 -0.00
-0.00
0.00 -0.01 0.02 -0.28 2.41 -0.42 0.05 -0.01 0.00 0.00
0.00
-0.01 0.04 -0.45 2.82 -0.55 0.07 -0.01 0.00 -0.00 0.00
-0.00
0.08 -0.48 3.45 -0.92 0.12 -0.02 0.00 -0.00 0.00 -0.00
0.02
-0.72 3.54 -1.44 0.27 -0.05 0.01 -0.00 -0.00 -0.00 0.00
-0.16
4.02 -1.54 0.52 -0.13 0.02 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00
2.49
-1.83 0.54 -0.26 0.02 -0.01 -0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00
10
10-3
102
10
-0.00
102
pgen (GeV)
T
T
InvMat.: pT des 2. Jets
0.00 0.00 0.00
0.00
0.00
0.04
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00
0.00
0.03
0.40 0.06
0.41
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00
0.03
0.40
0.07
0.00
0.00
0.00 0.00 0.03
0.38
0.08
0.01 0.00
0.00
0.00
0.00 0.05 0.36
0.09
0.01 0.00 0.00
0.00
0.00
0.04 0.32
0.11
0.01
0.00
0.00 0.00
0.00
0.05
0.32 0.15
0.01
0.00
0.00
0.00 0.00
0.01
0.25
0.14 0.01 0.00
0.00
0.00
0.00 0.00
0.38
0.19
0.03 0.01 0.01
0.00
0.00
0.00 0.00
0.01
10
10-1
T
0.00
prek (GeV)
T
prek (GeV)
AntwMat.: pT des 2. Jets
102
102
10-2
102
10
0.00
0.00 -0.00 -0.00 0.00
-0.00
0.00 -0.00 -0.00 -0.00
-0.00
-0.00
-0.00 0.00 -0.00 0.01 -0.19
0.00 -0.22 2.45
0.01 -0.18 2.55 -0.36
2.55 -0.47 0.03
-0.00
0.00 -0.00 0.03 -0.24
2.70 -0.54 0.04 -0.01
-0.00
-0.01 0.04 -0.44 2.97
-0.73
-0.00
0.07 -0.44 3.52 -1.12
0.21 -0.05
0.01
-0.69 3.68 -1.79 0.45
-0.11
0.02 -0.01 0.00
-0.13
4.43 -2.04 0.81 -0.24
0.05
-0.02 0.00 -0.00
2.68
-2.13 0.70 -0.33 0.06
-0.03
-0.01 -0.01 -0.02
pgen (GeV)
T
InvMat.: pT des 3. Jets
0.00
0.00
0.00
0.00
0.02
0.39
0.00
0.00
0.00
0.00
0.03
0.38
0.09
0.00
0.00
0.00
0.04
0.34
0.10
0.01
0.00
0.00
0.03
0.29
0.11
0.01
0.00
0.00
0.05
0.29
0.15
0.02
0.01
0.00
0.01
0.24
0.13
0.02
0.01
0.00
0.00
0.36
0.21
0.04
0.01
0.01
0.01
0.01
10-1
10-2
10-3
10-4
10
102
T
0.00
prek (GeV)
AntwMat.: pT des 3. Jets
T
10-1
102
T
prek (GeV)
0.01 -0.01
10-2
10
pgen (GeV)
1
0.10 -0.02 -0.00
10
10-3
102
10-1
10-2
10
pgen (GeV)
1
-0.00
-0.00
-0.00
-0.00
0.01
-0.17
2.58
-0.00
-0.00
-0.00
0.03
-0.26
2.77
-0.62
-0.00
-0.01
0.05
-0.52
3.20
-0.84
0.11
-0.00
0.07
-0.48
3.95
-1.31
0.26
-0.07
0.01
-0.76
4.09
-2.11
0.50
-0.17
0.03
-0.09
4.65
-2.28
0.92
-0.25
0.07
-0.03
2.86
-2.62
0.88
-0.44
0.04
-0.06
-0.02
1
10-1
10
10-2
10-5
2
10
10
2
10
10
pgen (GeV)
pgen (GeV)
T
T
InvMat.: HT der Jets
0.00 0.00 0.00 0.02 0.45
0.00 0.00
102
0.00 0.00 0.00 0.02 0.43 0.06
0.00 0.00 0.00 0.00 0.03 0.41 0.07 0.00
HTrek (GeV)
HTrek (GeV)
AntwMat.: HT der Jets
-0.00
0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.01 -0.10 2.24
0.00
-0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.01 -0.14 2.38 -0.32
0.00
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.03 0.40 0.08 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.04 0.39 0.10 0.00 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.01 0.05 0.38 0.10 0.01 0.00 0.00
-0.00
0.00 0.01 0.03 -0.44 2.86 -0.76 0.15 -0.03 0.01 -0.00
0.00
0.00 0.01 0.06 0.32 0.11 0.01 0.00 0.00 0.00
0.00
-0.02 -0.05 -0.70 3.47 -0.98 0.19 -0.05 0.01 -0.00 0.00
0.00
0.01 0.04 0.27 0.09 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00
-0.00
0.00
0.05 0.31 0.12 0.04 0.01 0.00 0.00 0.00
0.01
0.27 0.13 0.04 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
0.55
0.21 0.03 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00
10-1
102
-0.00
0.00 -0.00 0.00 0.00 -0.00 0.01 -0.20 2.48 -0.44 0.03
0.00
-0.00 0.00 -0.00 -0.00 0.02 -0.22 2.59 -0.53 0.07 -0.01
0.00
-0.00 -0.00 -0.00 0.03 -0.27 2.68 -0.69 0.11 -0.02 0.00
0.01
-0.01 -0.52 4.11 -1.14 0.14 -0.03 0.01 -0.00 0.00 0.00
-0.62 3.71 -1.53 0.03 0.02 -0.01 0.00 -0.00 0.00 -0.00
-0.06
4.06 -1.69 0.17 -0.03 -0.01 -0.00 0.00 -0.00 0.00 0.00
1.85
-1.51 0.47 -0.19 0.00 0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 -0.00
10-2
10
10
102
gen
(GeV)
HT
10-1
0.01 0.52 0.03 0.00
0.00 0.00 0.01 0.52
0.03
0.00 0.00 0.02 0.51 0.03
0.00
0.00 0.02 0.49 0.03
0.00
0.00
0.00
0.04 0.49 0.04 0.00
0.00
0.01
0.45 0.04 0.00 0.00
0.00
0.00
0.52
0.05 0.00 0.00 0.00
0.00
0.00
T
0.00
prek (GeV)
0.01 0.51
0.01 0.53 0.02
0.00
(GeV)
InvMat.: pT des Z-Bosons
0.01 0.53 0.03
T
prek (GeV)
AntwMat.: pT des Z-Bosons
102
102
10
gen
HT
10-1
10-2
10-3
10
1
102
0.00
-0.00
0.00 -0.00 0.00 -0.00
-0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.02 1.88 -0.07
0.00 -0.00 0.00 -0.00
0.00
-0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.02
0.00 -0.00 0.00 -0.04
-0.00 0.00 -0.07 1.97 -0.11 0.01 -0.00 0.00 -0.00
1.94 -0.11 0.01 -0.00 0.00
0.01 -0.00 0.00 -0.00 0.00
0.00
-0.17 2.08 -0.17 0.01 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00
-0.05
2.24 -0.18 0.01 -0.00 -0.00 0.00 -0.00 -0.00 0.00
1.93
10
1.91 -0.10 0.01 -0.00
0.00
0.01 -0.09 2.06 -0.13
-0.23 0.01 -0.00 0.00
1
0.00 -0.03 1.88 -0.10 0.00
-0.00
-0.00
10-2
0.00 -0.00 0.00 -0.02 1.97
0.00
-0.00
0.00 -0.00 0.00 0.00 -0.00
10-1
10-2
10
-3
10
10
102
pgen (GeV)
10
T
Abbildung 31: Die Antwort-Matrizen
M̂
pgen (GeV)
T
des Detektors (links) und deren Inverse
(rechts) für die betrachteten Observablen.
56
102
M̂ −1
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
~ auf Generator-Niveau zu erhalten. Die Strukentfaltet werden kann, um daraus Daten d
−1
tur der invertierten Matrix M̂
(vgl. Abbildung 31) bewirkt dabei jedoch, dass stam
~ durch diese Methode im Allgemeinen verstärkt
~ in der Regel groÿe Abweichungen von den tatWerte d
tistische Fluktuationen der Messung
werden, so dass die entfalteten
sächlichen Werten aufweisen, die dabei meist Oszillationen enthalten (vgl. [54]). Daher
ist die einfache Matrix-Invertierung ohne methodische Verbesserung grundsätzlich nicht
zur Entfaltung der Spektren geeignet.
7.2.2. Regularisierte Entfaltung
Zur Behebung der Probleme der Matrix-Invertierung wird üblicherweise eine
sierung
Regulari-
verwendet, die das entfaltete Spektrum glättet. Eine Möglichkeit, dies durch
Zerlegung der Antwort-Matrix mittels
Singular Value Decomposition zu erreichen, ist in
[55] dargestellt. Für die hier vorbereitete Messung wird jedoch stattdessen eine regula2
risierte χ -Minimierung verwendet. Während das einfache Minimum des Ausdrucks
~ =
χ (d)
2
N X
ri −
P
j
Mij dj
2
∆ri
i=1
d~ liegt, das auch die Matrix-Invertierung ergeben würde, wird bei
~ minimiert, die für starke Oszillationen
gleichzeitig eine Funktion S(d)
bei demselben Resultat
dieser Methode
von
d~ besonders groÿe Werte annimmt und für glatte Spektren idealerweise verschwindet.
Mit Hilfe dieser Regularisierungs-Funktion liefert die Minimierung von
~ = α · χ2 (d)
~ − S(d)
~
Φ(d)
in Abhängigkeit vom Regularisierungs-Parameter
α
ein glattes Spektrum
d~,
das mit
dem Ergebnis der Matrix-Invertierung verträglich ist. Zum Aunden des besten Resultats dieser Methode wurde dabei die in [54] vorgestellte Methode implementiert:
Da die direkte Suche des Minimums mit Hilfe des Gradienten
~ =0
~ d)
∇Φ(
in der Regel
keine optimale Lösung liefert, wird stattdessen der Operator
~ = ∇Φ(
~ − ~u ~u · ∇Φ(
~
~ d)
~ d)
~ d)
DΦ(
verwendet, der mit Hilfe des Einheitsvektors
εi =
~u = ~ε/|ε| der Rekonstruktions-Ezienzen
N
X
Mij
j=1
nur die zu
Punkt
d~,
~ε
orthogonale Komponente des Gradienten enthält. Beginnend bei einem
an dem
~
S(d)
minimal ist, werden zur Minimierung von
~
Φ(d)
die folgenden
~ = 0 so oft wiederholt, bis ein gewünschter Wert
~ d)
Schritte entlang einer Kurve mit DΦ(
2
von χ erreicht ist:
57
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
ˆ
d~ → d~0
Zunächst wird der Punkt
ein kleines Stück in Richtung
~ 2
−Dχ
verschoben,
so dass der neue Abstand
2 ~
~
~
~
|DΦ d − · Dχ (d) |
25 .
von der gesuchten Kurve klein bleibt
ˆ
Ausgehend vom verschobenen Punkt wird der Regularisierungs-Parameter gemäÿ
α=
berechnet, da dieser Wert für
ˆ
~ d~0 )|
|DS(
~ 2 (d~0 )|
|Dχ
~ =0
~ d)
DΦ(
26 .
exakt gelten würde
Mit Hilfe einer numerischen Minimierung mit Minuit wird der verschobene Punkt
~ d~00 ) = 0 zurückgebracht, so dass insgesamt ein Schritt entlag dieser
d~0 → d~00 auf DΦ(
2
Kurve vollzogen wird, der den Wert von χ reduziert.
Als Regularisierungs-Funktion wurde dabei ähnlich wie in [56] die Tikhonov-Funktion
[57]
Z S(f ) =
d2 f (pT )
dp2T
2
dpT
verwendet, die für die Ersetzung des kontinuierlichen Spektrums
d~ der
krete Verteilung
f (pT )
durch die dis-
Bins numerisch implementiert wurde. Dazu werden mit Hilfe der
geometrischen Mittel der Bins
pT,i =
q
+
p−
T,i · pT,i
mit den Bin-Grenzen
p±
T,i
zunächst die
ersten Ableitungen
ai =
di+1 − di
pT,i+1 − pT,i
als Dierenzenquotienten berechnet. Mit der Annahme, dass deren Werte näherungsweise an den Stellen
si =
√
pT,i · pT,i+1
auftreten, wird daraus folgend die zweite Ableitung
durch Verwendung der Form
~ =
S(d)
N
−2 X
i=1
ai+1 − ai
si+1 − si
2
diskretisiert. Mit dieser Funktion wird die Änderung der Krümmung des Spektrums minimiert, um dadurch dessen Glättung zu erzeugen.
25 Der durch
!
~ = min
S(d)
gewählte Anfangspunkt liegt zwar nicht exakt auf der Kurve
~ = 0,
~ d)
Dφ(
Abstand ist jedoch hinreichend klein, so dass er im ersten Schritt kompensiert werden kann.
sein
26 Für eine schnellere Minimierung hat sich jedoch bei den in dieser Arbeit betrachteten Spektren die
p
Verwendung des zusätzlichen Faktors
58
χ2 /N
als hilfreich erwiesen.
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
Als zweite Variante wurde daneben die
~ =
S(d)
N
X
pi log
i=1
Shannon-Jaynes Entropie [58]
pi
<0
gi
mit
di
pi = P
j
verwendet. Diese gibt ein Maÿ für den Unterschied der
d~
beiden Spektren
und
~g
an. Eine Minimierung von
dj
<1
Shannon-Entropien
~
S(d)
[59] der
glättet daher das gesuchte
d~ so, dass es mit möglichst hoher Wahrscheinlichkeit aus der Monte-CarloVorhersage ~
g hervorgeht und dabei insbesondere nur schwache Fluktuationen aufweist.
~ enthält diese Methode zwar
Durch die Verwendung einer Annahme für die Form von d
eine Abhängigkeit von der Vorhersage ~
g , deren Einuss auf das Resultat dieser EntropieSpektrum
Regularisierung ist jedoch sehr gering. Im Gegensatz dazu funktioniert die TikhonovRegularisierung sogar ohne jegliche Annahmen eines speziellen generierten Spektrums.
7.2.3. Bayes'sche Matrix-Invertierung
Anstelle einer aufwendigen Matrix-Invertierung und der Anwendung der komplizierten
Regularisierungsmethoden kann für eine Umkehrung von Gleichung (11) ebenfalls das
Bayes-Theorem
p(b|a) =
p(a|b)p(b)
p(a)
verwendet werden [60]. Mit Hilfe dieses Theorems ergibt sich das Inverse der AntwortMatrizen komponentenweise zu
Bij−1 = p(generiert
=
wobei
B̂
in
i|rekonstruiert
in
j)
p(rekonstruiert in j|generiert in i)p(generiert
p(rekonstruiert in j)
in
i)
,
im Folgenden als Bayes-Matrix bezeichnet wird. Zur deren Berechnung aus den
Werten von
M̂ , ~g
und
ĝj = p(generiert
~r
in
werden die Wahrscheinlichkeiten
gj
j) = P
k
gk
und
r̂i = p(rekonstruiert
in
i) =
εi
r
Pi
k
rk
benötigt, mit denen sich für die Komponenten der Matrix
Bij−1 =
Mij · ĝj
r̂i
ergibt. In Gleichung (12) kann damit die invertierte Matrix
das entfaltete Spektrum
d~ einer
Mij−1
ersetzt werden, so dass
Observablen durch
di = Bij−1 · m
~ j − f~j
59
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
BysMat.: p des 1. Jets
BysMat.: p des 2. Jets
T
0.00 0.00 0.01 0.25 1.57
102
0.00 0.00 0.22 1.59 0.07
1
0.00
0.00 0.00 0.00
0.01
0.03
0.29 1.69
0.01
0.00
0.00 0.00 0.00
0.02
0.24
1.53
0.00
0.00
0.00 0.00 0.02
0.24
1.50
0.12 0.00
0.01
0.00
0.00 0.01 0.22
1.50
0.14
0.01 0.00
0.01
0.00
0.01 0.24
0.20
0.01 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.01 0.24 1.55 0.06 0.00
0.00
0.00
0.00 0.00 0.01 0.24 1.48 0.09 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.01 0.22 1.48 0.10 0.00 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.02 0.21 1.43 0.12 0.00 0.00
0.00
0.00 0.02 0.21 1.38 0.21 0.01 0.00 0.00 0.00
0.02
0.01 0.29 1.21 0.33
0.01
0.00
0.00 0.00
0.00
0.01 0.25 1.26 0.35 0.02 0.00 0.00 0.00
0.05
0.29
1.27 0.29 0.02
0.00
0.00
0.00 0.00
0.02
0.22 1.31 0.34 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.53
1.14
0.41 0.02 0.00
0.00
0.00
0.00 0.00
0.40
1.08 0.46 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
2.08
0.16 0.02 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
2.38
0.11
0.01 0.00 0.00
0.00
0.00
0.00 0.00
102
10-1
10-2
102
10
1.41
10
10
10-2
pgen (GeV)
BysMat.: H der Jets
T
0.05
0.01
0.01
0.00
0.02
0.30
1.57
0.04
0.01
0.01
0.02
0.29
1.44
0.11
0.05
0.01
0.03
0.32
1.37
0.16
0.01
0.07
0.03
0.38
1.23
0.28
0.01
0.00
0.12
0.35
1.30
0.25
0.02
0.00
0.00
1
0.72
2.64
1.10
0.07
0.36
0.01
0.02
0.00
0.00
0.00
0.00
10-1
0.00 0.00 0.00 0.16 1.77
0.00 0.00
102
10-2
0.00
0.00
HTrek (GeV)
T
T
10-1
T
BysMat.: p des 3. Jets
102
1
102
10
pgen (GeV)
T
prek (GeV)
0.11
0.00
T
T
0.00 0.00
prek (GeV)
prek (GeV)
T
10-3
0.00
0.00 0.00 0.00 0.18 1.61 0.10
0.00
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.21 1.44 0.18 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.01 0.21 1.42 0.20 0.01 0.00 0.00
0.00
0.00 0.01 0.02 0.22 1.34 0.23 0.01 0.00 0.00
0.00
0.02 0.06 0.19 1.25 0.33 0.02 0.00 0.00 0.00
0.01
0.05 0.24 1.08 0.43 0.07 0.00 0.00 0.00 0.00
0.02
0.22 1.19 0.32 0.12 0.01 0.00 0.00 0.00
0.33
1.00 0.39 0.09 0.04 0.01 0.00 0.00 0.00
1.72
0.06 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
1
0.00 0.00 0.00 0.00 0.20 1.54 0.14 0.00
10-1
0.00
10-2
10
10
10-4
2
10
10
102
10
pgen (GeV)
gen
HT
T
(GeV)
BysMat.: p des Z-Bosons
0.06 1.83
0.05 1.69 0.02
1
0.06 1.68 0.04
T
prek (GeV)
T
0.00
102
0.00 0.00 0.05
0.00
0.05
1.70 0.03 0.00
1.71 0.04
0.00 0.00 0.06 1.69
0.06
0.00
0.00 0.10 1.63 0.10
0.00
0.00
0.00
0.14 1.61 0.09 0.00
0.00
0.20
1.53 0.12 0.00 0.00
0.00
0.00
1.85
0.04 0.00 0.00 0.00
0.00
0.00
10-1
0.00
10-2
10
10
102
pgen (GeV)
T
Abbildung 32: Die mit Hilfe des Bayes-Theorems invertierten Antwort-Matrizen
Bij−1
für
die betrachteten Observablen.
berechnet werden kann. Die Bestimmung der einzelnen Matrizen anhand der generierten Werte von
~g
und
~r
vereinfacht deren Invertierung zwar so, dass die in Abbildung
32 gezeigte Struktur keine Verstärkung von Fluktuationen erzeugt, durch deren Verwendung geht jedoch die Monte-Carlo-Vorhersage der Spektren als Annahme mit in die
Berechnung ein. Die Abhängigkeit der Resultate von dieser Annahme muss daher als
systematischer Fehler berücksichtigt werden.
60
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
7.2.4. Korrekturfaktoren
Die einfachste Methode zur Korrektur der Detektoreekte ist die Verwendung von Korrekturfaktoren
Ci ,
die für jedes Bin
i
gemäÿ
Ci =
gi
gi
=
ri
Mij gj
einzeln berechnet werden (vgl. Abbildung 34). Da durch diese Methode die Struktur der
Antwort-Matrix
M̂
vollständig vernachlässigt wird und keine Migrationen zwischen Bins
berücksichtigt werden, hängt das Ergebnis der damit durchgeführten Entfaltung
di = Ci · (mi − fi )
stark von der Monte-Carlo-Vorhersage der verwendeten Spektren
~g
und
~r
ab. Nur wenn
diese Vorhersage die Realität bereits gut beschreibt, entspricht daher das entfaltete Spektrum den gewünschten Daten auf Generator-Niveau. Der Einuss unterschiedlicher Annahmen auf das Ergebnis der Entfaltung wird daher im Folgenden zur Abschätzung der
systematischer Fehler untersucht.
7.3. Systematische Unsicherheiten
Bei der Durchführung der Messung müssen neben den modellierten Detektoreekten, die
durch die implementierten Entfaltungsmethoden korrigiert werden, insbesondere systematische Fehler berücksichtigt werden. Die Abschätzung der daraus resultierenden Unsicherheiten auf die entfalteten Daten wird nun für die einzelnen Eekte vorgestellt.
7.3.1. Monte-Carlo-Vorhersage
Da insbesondere die Korrekturfaktoren und Bayes-Matrizen von der Form der generierten
Spektren und damit von der Monte-Carlo-Modellierung abhängen, müssen zur Abschätzung der systematischen Unsicherheiten unterschiedlich modellierte Spektren verwendet
werden, deren Form sich deutlich von der Vorhersage von Sherpa 1.1.3 unterscheidet.
Dazu wurden im Rahmen dieser Arbeit zusätzlich vier Millionen
Pythia 6.419 und eine weitere Million mit Sherpa
27
1.1.2
Z(ee)-Ereignisse
mit
generiert, da deren erzeugte
Spektren sehr groÿe Abweichungen von der vermutlich besten Vorhersage von Sherpa
1.1.3 aufweisen (vgl. Abbildung 33) und damit eine konservative Abschätzung der Unsicherheiten liefern. Mit Hilfe der schnellen Detektor-Simulation ATLFAST II wurden
diese Ereignisse ebenfalls simuliert und rekonstruiert, so dass daraus analog zum Vorgehen bei Sherpa 1.1.3 die Korrekturfaktoren sowie die Matrizen
28 und Fehlidentikationen
berechnet werden konnten.
27 Dabei wurden analog zu Sherpa 1.1.3 ebenfalls die Skalen
µR
und
µF
halbiert.
28 Aufgrund der energieabhängigen Auösungseekte beinhalten ebenfalls die Antwort-Matrizen Abhängigkeiten von der Modellierung der Jets.
61
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
Sherpa113
Pythia
Sherpa112
T
(1/ σ) dσ/dp (GeV-1)
T
-2
10
10-3
10-4
p des 1. Jets
Sherpa113
Pythia
Sherpa112
T
rel. Abweichung
p des 1. Jets
10-5
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
10-6
-0.8
102
10
102
10
pT (GeV)
Sherpa113
Pythia
Sherpa112
T
(1/ σ) dσ/dp (GeV-1)
T
10-2
10-3
10-4
pT (GeV)
p des 2. Jets
Sherpa113
Pythia
Sherpa112
T
rel. Abweichung
p des 2. Jets
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
10-5
-0.6
10-6
-0.8
-1
102
10
102
10
pT (GeV)
Sherpa113
Pythia
Sherpa112
T
(1/ σ) dσ/dp (GeV-1)
T
10-2
10-3
10-4
pT (GeV)
p des 3. Jets
Sherpa113
Pythia
Sherpa112
T
rel. Abweichung
p des 3. Jets
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
10-5
-0.4
-0.6
-6
10
-0.8
102
10
102
10
pT (GeV)
10-2
10-3
HT der Jets
rel. Abweichung
Sherpa113
Pythia
Sherpa112
T
(1/ σ) dσ/dH (GeV-1)
HT der Jets
pT (GeV)
10-4
Sherpa113
Pythia
Sherpa112
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
10-5
-0.6
-0.8
10-6
10
102
10
102
HT (GeV)
Sherpa113
Pythia
Sherpa112
10-2
T
(1/ σ) dσ/dp (GeV-1)
T
10-3
10-4
HT (GeV)
p des Z-Bosons
Sherpa113
Pythia
Sherpa112
T
rel. Abweichung
p des Z-Bosons
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
10-5
-0.4
-0.5
10
102
10
pT (GeV)
102
pT (GeV)
Abbildung 33: Die verschiedenen Monte-Carlo-Vorhersagen und deren relative Abweichungen für die verwendeten Observablen.
62
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
Um aus dem Vergleich dieser Objekte eine Abschätzung für die systematischen Fehler
zu erhalten, müssen zunächst deren statistische Unsicherheiten berücksichtigt werden.
Mij
Dazu werden zunächst die Komponenten
Fehlern
∆Mij
der Antwort-Matrizen mit den Poisson-
aus zweidimensionalen Histogrammen entnommen. Daraus werden unter
Verwendung der als fehlerfrei angenommenen Generator-Spektren
turfaktoren
gi
Ci = P
j Mij gj
gi ·
∆Ci =
mit
~g
sowohl die Korrek-
qP
2
j (∆Mij gj )
P
j Mij gj
2
als auch die Komponenten der Bayes-Matrizen
Bij−1 =
M · ĝ
Pij j
εi k Mik ĝk
berechnet, wobei der Fehler der letzteren sich mit den statistischen Unsicherheiten der
pP
2
Rekonstruktions-Ezienzen ∆εi =
k (∆Mik ) zu
∆Bij−1
v
u
2
 qP
u
2 2
2
(∆M
g
)
ik
k
u
j
∆Mij
∆εi
,
+
+ P
= Bij−1 · t
2
Mij
ε2i
( k Mik gk )2
ergibt. Diese statistischen Eekte können beim Vergleich der unterschiedlichen Modellierungen jedoch nicht von den systematischen Unterschieden getrennt werden, so dass für
alle Komponenten der einzelnen Objekte die gesamten Unsicherheiten durch die Kombination aus statistischem Fehler und systematischer Abweichung verwendet wird. Für
das Beispiel der Korrekturfaktoren ergibt sich diese aus den maximalen Dierenzen
σ Pythia (Ci ) = max |CiSh113 − CiPythia − ∆CiPythia |, |CiSh113 − CiPythia + ∆CiPythia |
σ Sh112 (Ci ) = max |CiSh113 − CiSh112 − ∆CiSh112 |, |CiSh113 − CiSh112 + ∆CiSh112 | .
Um daraus schlieÿlich eine möglichst konservative Abschätzung der gesamten MonteCarlo-Unsicherheit zu erhalten, wird für jede Komponente die jeweilige maximale Abweichung
σ MC = max σ Pythia (Ci ), σ Sh112 (Ci ), ∆CiSh113
der beiden Generatoren als symmetrischer Fehler verwendet (vgl. Abbildung 34). Analog
dazu werden ebenfalls die systematischen Fehler der Bayes-Matrizen und der Fehlidentikationen aus den maximalen kombinierten Abweichungen zwischen Sherpa 1.1.3 und
Pythia bzw. Sherpa 1.1.2 berechnet. Ebenso wird mit der Antwort-Matrix verfahren, um
daraus mit Hilfe der Näherung
σ(Mij−1 ) =
X
−1
Mik
σ(Mkl )Mlj−1
k,l
−1
die Fehler der invertierten Matrix Mij zu erhalten
29 Die direkte Berechnung dieser Fehler analog zu
−1
Bij
29 .
würde aufgrund der Struktur der direkten In-
vertierung in diesem Falle deutlich zu groÿe Werte liefern.
63
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
Sherpa113
Pythia
Sherpa112
Syst. Fehler
Ci
T
3
2.5
2
Korrekturfaktoren: p des 1. Jets
Sherpa113
Pythia
Sherpa112
Syst. Fehler
T
rel. Abweichung
Korrekturfaktoren: p des 1. Jets
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
1.5
-0.2
1
-0.25
-0.3
102
10
102
10
pT (GeV)
Sherpa113
Pythia
Sherpa112
Syst. Fehler
Ci
T
4
3.5
3
2.5
pT (GeV)
Korrekturfaktoren: p des 2. Jets
Sherpa113
Pythia
Sherpa112
Syst. Fehler
T
rel. Abweichung
Korrekturfaktoren: p des 2. Jets
2
0.1
0
-0.1
-0.2
1.5
-0.3
1
2
10
10
102
10
pT (GeV)
Sherpa113
Pythia
Sherpa112
Syst. Fehler
Ci
T
5
4.5
4
3.5
3
pT (GeV)
Korrekturfaktoren: p des 3. Jets
Sherpa113
Pythia
Sherpa112
Syst. Fehler
T
rel. Abweichung
Korrekturfaktoren: p des 3. Jets
2.5
0.2
0.1
0
-0.1
2
-0.2
1.5
1
102
10
102
10
pT (GeV)
Ci
Sherpa113
Pythia
Sherpa112
Syst. Fehler
3
2.5
2
Korrekturfaktoren: HT der Jets
rel. Abweichung
Korrekturfaktoren: HT der Jets
pT (GeV)
Sherpa113
Pythia
Sherpa112
Syst. Fehler
0.05
0
-0.05
-0.1
1.5
-0.15
1
102
10
102
10
HT (GeV)
Sherpa113
Pythia
Sherpa112
Syst. Fehler
Ci
T
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
HT (GeV)
Korrekturfaktoren: p des Z-Bosons
Sherpa113
Pythia
Sherpa112
Syst. Fehler
T
rel. Abweichung
Korrekturfaktoren: p des Z-Bosons
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
1.4
-0.15
1.2
1
-0.2
0.8
10
102
10
pT (GeV)
Abbildung 34: Die Korrekturfaktoren
Ci
102
pT (GeV)
(links) für die verschiedenen Monte-Carlo-
Modellierungen und deren relative Abweichungen (rechts). Die daraus
ermittelten systematischen Fehler sind in grün dargestellt.
64
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
7.3.2. Jet-Energie-Skala
Insbesondere bei der Bestimmung der Jet-Energie hat die Kalibrierung des Detektors
groÿen Einuss auf die gemessenen Resultate. Zwar kann diese im laufenden Experiment beispielsweise anhand von Photon+Jets-Ereignissen durchgeführt werden [61], sie
kann dabei jedoch nur im Laufe der Zeit mit Hilfe der bereits aufgezeichneten Daten
verbessert werden. Im Rahmen dieser Vorbereitung können daher noch keine Werte für
eine mögliche Genauigkeit und damit keine genaue Unsicherheit der Jet-Energie-Skala
(JES) angegeben werden. Obwohl diese im Allgemeinen von pT und η eines Jets abhängt,
−1
wird stattdessen für die ersten 100 pb
Daten eine konstante Unsicherheit von ±5%
angenommen. Diese wird simuliert, indem die Energie und damit auch der Transversalimpuls aller rekonstruierten Jets im Ereignissatz von Sherpa 1.1.3 um
5%
erhöht bzw.
verringert wird, bevor erneut jeweils alle Matrizen, Korrekturfaktoren und Fehlidentikationen bestimmt werden. Analog zur Bestimmung der Monte-Carlo-Unsicherheit
werden deren Abweichungen von den Objekten der unveränderten JES als weitere systematische Unsicherheiten verwendet, wobei jedoch die statistischen Fehler nicht zum
zweiten Mal berücksichtigt werden. Für das in Abbildung 35 dargestellte Beispiel der
Korrekturfaktoren ergibt sich daher als systematischer Fehler der Jet-Energie-Skala
σ JES- (Ci ) = CiSh113 − CiJESσ JES+ (Ci ) = CiJES+ − CiSh113 .
7.3.3. Untergrund-Prozesse
Als weiterer systematischer Fehler für die vorbereitete Messung muss die Modellierung
des erwarteten Untergrundes berücksichtigt werden. Während fast alle StandardmodellProzesse wie beispielsweise W+Jets und Z(τ τ )+Jets durch die gewählten Selektionsschnitte nicht signikant zu den gemessenen Spektren beitragen, liefert die
tt̄-Produktion
insbesondere bei hohen Jet-Multiplizitäten vergleichsweise groÿe Beiträge. Um diese zu
berücksichtigen, wird die vorbereitete Messung auf 2,5 Millionen leptonische
tt̄-Ereignisse
der oziellen Produktion der ATLAS-Kollaboration angewendet, die mit dem
next-to
leading order Generator MC@NLO [62] generiert und ebenfalls mit ATLFAST II simuliert wurden
30 .
Die daraus erhaltenen Untergrund-Spektren müssen für einen korrekten
Vergleich mit den Spektren der Z-Ereignisse zunächst auf die gesamte
Ntt̄
tt̄-Ereigniszahl
normiert werden, so dass sie durch Multiplikation mit dem für diesen Ereignissatz
angegebenen NLO-Wirkungsquerschnitt
σ̃tt̄ = σtt̄ · BR(W → `ν) = 203
pb
die korrekten dierentiellen Wirkungsquerschnitte beschreiben. Daneben wird ebenfalls der Z-Wirkungsquerschnitt für die zur Normierung verwendeten Ereignisse mit
30 Bezeichnung des Datensatzes: mc08.105200.T1_McAtNlo_Jimmy.recon.AOD.e357_a68.
65
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
Sherpa113
JESJES+
Syst. Fehler
rel. Abweichung
T
0.3
0.2
0.1
Korrekturfaktoren: p des 2. Jets
Sherpa113
JESJES+
Syst. Fehler
T
0.3
rel. Abweichung
Korrekturfaktoren: p des 1. Jets
0.2
0.1
0
0
-0.1
-0.1
-0.2
-0.2
102
10
102
10
pT (GeV)
Sherpa113
JESJES+
Syst. Fehler
rel. Abweichung
T
0.2
0.1
pT (GeV)
Korrekturfaktoren: HT der Jets
rel. Abweichung
Korrekturfaktoren: p des 3. Jets
Sherpa113
JESJES+
Syst. Fehler
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
-0.05
-0.1
-0.1
-0.15
-0.2
102
10
102
10
pT (GeV)
HT (GeV)
Abbildung 35: Die relativen Abweichungen der Korrekturfaktoren
Ci
für die simulier-
ten Fehler der Jet-Energie-Skala. Die daraus ermittelten systematischen
Fehler sind in grün dargestellt. Der Transversalimpuls des Z-Bosons wird
dadurch nicht beeinusst.
60
GeV < mZ < 120
GeV benötigt, der aus den LO-Werten
σLO ≈ 1200
pb der
mit Sherpa 1.1.3 generierten Ereignissätze und dem [24] entnommenen NNLO-Faktor
K = σN N LO /σLO ≈ 1, 15
zur Abschätzung
σZ = 1380
pb
kombiniert wird. Als korrekt normierte dierentielle Wirkungsquerschnitte können daher
die Spektren
ui =
mit Ereigniszahlen
Ni
σ̃tt̄ /σZ ∆Ni
Ntt̄ ∆pT,i
in den Bins der Breite
pT,i
als Erwartung des
tt̄-Untergrundes
verwendet werden.
Zusätzlich zur
tt̄-Produktion
können jedoch möglicherweise auch SUSY-Ereignisse Bei-
träge zum Untergrund für diese Messung liefern. Diese sogenannte SUSY-Kontamination
kann jedoch nur grob abgeschätzt werden, da die genauen Eigenschaften nicht bekannt
sind. Dazu werden 20000 mit Herwig und ATLFAST II produzierte Ereignisse eines
mSUGRA-Modells
31
mit besonders hohem Wirkungsquerschnitt
σSUSY = 128
pb für
die Lepton-Produktion verwendet. Daraus werden analog zum Vorgehen mit dem
Ereignissatz die entsprechenden normierten Untergrund-Spektren
~k
extrahiert, die je-
doch nur vergleichsweise geringe Beiträge liefern (vgl. Abbildung 36).
31 Die darin realisierten Parameter sind:
66
tt̄-
m0 = 60, m1/2 = 170, tan β = 10, A0 = 0,
sgn(µ)=+ [21]
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
pT des 2. Jets
Z(ee)
10-2
tt
m0=60 m1/2=170
T
10-3
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des 1. Jets
10-4
10-5
Z(ee)
tt
m0=60 m1/2=170
10-3
10-4
10-5
-6
10
10-6
102
10
102
10
pT (GeV)
pT (GeV)
HT der Jets
tt
m0=60 m1/2=170
-3
Z(ee)
tt
m0=60 m1/2=170
10-2
T
10
(1/σ) dσ/dH (GeV -1)
Z(ee)
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des 3. Jets
10-4
10-3
10-4
10-5
10-5
10-6
102
10
10-6
102
10
pT (GeV)
HT (GeV)
Z(ee)
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des Z-Bosons (rek.)
tt
m0=60 m1/2=170
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
10
102
pT (GeV)
Abbildung 36: Die Beiträge des
tt̄ − U ntergrundes
und der abgeschätzten SUSY-
Kontamination zu den Spektren der Observablen.
Zur Abschätzung des systematischen Fehlers der Modellierung dieser Untergrundprozesse wird schlieÿlich für den gemessenen dierentiellen Wirkungsquerschnitt
m
~ die Summe
der beiden Untergrund-Spektren verwendet:
σ Unt. (mi ) = ~u + ~k .
7.3.4. Kombination aller Unsicherheiten
m
~ u müssen alle vorσ stat. (mui ) kombiniert
Bei der Durchführung der Entfaltung eines gemessenen Spektrums
gestellten systematischen Fehler sowie dessen statistischer Fehler
werden. Zunächst ergibt dabei die Subtraktion der Fehlidentikationen und der Untergrunderwartung das korrigierte Spektrum m
~ =m
~ u −~u − f~, das dadurch mit allen Fehlern
67
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
als
mi ± σ MC (fi ) ⊕ σ JES± ⊕ σ Unt. (mui ) ⊕ σ stat. (mui )
geschrieben werden kann. Im Gegensatz dazu enthalten die zur Entfaltung verwendeten Korrekturfaktoren und Matrizen keine Fehler durch Untergrund und Statistik der
Messung, sondern nur σ
⊕ σ ± . Für jede einzelne der vier verschiedenen Unsicher-
MC
JES
heiten wird die Propagation durch die verschiedenen Entfaltungsmethoden gemäÿ der
Fehlerfortpanzung berechnet. Für die Korrekturfaktor-Methode ergibt sich daher
q
σ(di ) = (Ci · σ(mi ))2 + (σ(Ci ) · mi )2
für jeden der systematischen Fehler, wobei jedoch beispielsweise
0
σ Unt. (Ci ) = σ stat. (Ci ) =
gilt. Ebenso berechnen sich die Unsicherheiten bei der Verwendung der Bayes-Matrix
zu
σ(di ) =
sX
σ(Bij−1 )mj
2
+
j
X
2
Bij−1 σ(mj )
j
Analog dazu werden die Fehler der Entfaltung mit Hilfe der inversen Antwort-Matrix
Mij−1 erhalten, die ebenfalls als Abschätzungen für die Ergebnisse der regularisierten
Methoden verwendet werden. Dabei werden jedoch die systematischen Fehler der Regularisierungs-Methoden vernachlässigt.
7.4. Entfaltung einer simulierten Messung
Zur Simulation einer tatsächlichen Messung müssen entsprechend der erwarteten differentiellen Wirkungsquerschnitte
ri + fi + ui
Ereigniszahlen mit statistischen Fluk-
tuationen erzeugt werden. Dazu werden für die einzelnen Bins mit Hilfe der PoissonWahrscheinlichkeitsverteilungen
i λi
λN
i e
P (Ni , λi ) =
Ni !
−1
Zufallszahlen für die in 100 pb
erwarteten Ereigniszahlen
λi = (ri + fi + ui ) · 1380
pb
· 100
−1
pb
erzeugt. Diese werden nach anschlieÿender Normierung durch
Ni
mi =
1380 pb · 100
−1
pb
mit
σ stat. (m ) =
i
√
Ni
1380 pb · 100
−1
pb
als gemessene dierentielle Wirkungsquerschnitte verwendet, die mit den verschiedenen
Methoden entfaltet werden können.
68
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
7.4.1. Vergleich der entfalteten Resultate
Die Resultate
d~
der verschiedenen Entfaltungsmethoden können nun auf ihre Quali-
tät hin untersucht werden, indem ihre Abweichungen von den erwarteten GeneratorSpektren
~g
zum Qualitätskriterium
2
N X
di − gi
χ =
σ stat. (di )
i=1
2
zusammengefasst werden. Anhand dessen Wertes kann beurteilt werden, wie gut die
Entfaltung die simulierten Detektor-Eekte auf das gewünschte Generator-Niveau korrigieren konnte. In Abbildung 37 sind diese Vergleiche für die verschiedenen Methoden der
Korrekturfaktoren (KorFakt), der nach Bayes invertierten Matrix (BysMat) sowie der
beiden mit Entropie (SrgMat) und Tikhonov-Funktion (TrgMat) regularisierten Methoden gezeigt, wobei die Notwendigkeit der Regularisierungen anhand der Resultate der
einfachen Matrix-Invertierung (InvMat) verdeutlicht wird. Damit wurden die aus dem
Ereignissatz von Sherpa 1.1.3 rekonstruierten Transversalimpuls-Spektren des härtesten
Jets und des Z-Bosons entfaltet, so dass die Resultate hier mit den Generator-Spektren
verglichen werden können.
2
In die Bestimmung des χ -Wertes gehen dabei nur die statistischen Fehler ein, da mit
diesen die simulierten Abweichungen erzeugt wurden. Die Monte-Carlo-Unsicherheiten
dürfen hingegen bei der Verwendung der als korrekt angenommenen Vorhersage von
Sherpa 1.1.3 nicht berücksichtigt werden, da sie wie auch die Unsicherheiten der JetEnergie-Skala sowie des Untergrundes keinen Beitrag zu den Abweichungen der simulierten Daten liefern. Die dargestellten Fehler sind jedoch aus der quadratischen Addition
aller Beiträge gemäÿ
σ(di ) =
q
σ(di )2stat. + σ(di )2MC + σ(di )2Unt. + σ(di )2JES±
berechnet, wobei die in der Darstellung gezeigten Fehlerbalken von innen nach auÿen
der Reihenfolge dieser Summanden entsprechen.
Der Vergleich lässt erkennen, dass abgesehen von den erwartet schlechten Resultaten der
Matrix-Invertierung alle verwendeten Methoden insgesamt gute Ergebnisse liefern. Die
gröÿte Abweichung zeigt dabei die Tikhonov-Methode, die beim Transversalimuls des
härtesten Jets insbesondere die verstärkte Fluktuation des Datenpunktes bei 20 GeV
nicht genügend regularisiert.
Obwohl die übrigen Entfaltungen in der Qualität ihrer Resultate vergleichbar sind, weisen insbesondere die systematischen Fehler für den Transversalimpuls des härtesten Jets
deutliche Unterschiede auf, da sie verschiedene Einüsse auf die verwendeten Methoden
haben. Im Folgenden werden daher die Zusammensetzungen der Fehler für die unterschiedlichen Observablen und Methoden genauer untersucht.
69
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
Prob
0.4
Sherpa113
KorFakt
7.91/11
0.722
0.2
0
χ2/ndf
p des Z-Bosons
T
rel. Abweichung
χ2/ndf
0.6
rel. Abweichung
pT des 1. Jets
0.5
0.4
Prob
Sherpa113
KorFakt
6.23/10
0.796
0.3
0.2
0.1
0
-0.2
-0.1
-0.4
-0.2
-0.3
-0.6
-0.4
10
2
10
10
102
χ2/ndf
Prob
0.4
Sherpa113
BysMat
9.96/11
0.534
0.2
0
pT (GeV)
χ2/ndf
p des Z-Bosons
T
rel. Abweichung
pT des 1. Jets
rel. Abweichung
pT (GeV)
0.5
0.4
Prob
Sherpa113
BysMat
6.24/10
0.795
0.3
0.2
0.1
0
-0.2
-0.1
-0.2
-0.4
-0.3
-0.6
-0.4
10
2
10
10
102
χ2/ndf
Prob
0.6
Sherpa113
SrgMat
6.49/11
0.839
0.4
0.2
0
pT (GeV)
χ2/ndf
p des Z-Bosons
T
rel. Abweichung
pT des 1. Jets
rel. Abweichung
pT (GeV)
0.4
Prob
Sherpa113
SrgMat
8.20/10
0.609
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.2
-0.6
-0.4
-0.8
10
102
10
102
χ2/ndf
19.08/11
Prob
0.060
0.6
Sherpa113
TrgMat
0.4
0.2
0
pT (GeV)
χ2/ndf
p des Z-Bosons
T
rel. Abweichung
pT des 1. Jets
rel. Abweichung
pT (GeV)
0.4
Prob
Sherpa113
TrgMat
8.67/10
0.564
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.2
-0.6
-0.4
-0.8
10
102
10
102
pT (GeV)
0.8
0.6
χ2/ndf
Prob
Sherpa113
InvMat
1448.74/11
0.000
0.4
0.2
0
pT (GeV)
p des Z-Bosons
T
rel. Abweichung
rel. Abweichung
pT des 1. Jets
0.4
Sherpa113
InvMat
χ2/ndf
148.05/10
Prob
0.000
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.2
-0.6
-0.4
-0.8
10
102
10
pT (GeV)
102
pT (GeV)
Abbildung 37: Die relativen Abweichungen der mit den verschiedenen Methoden entfalteten Transversalimpuls-Spektren des härtesten Jets (links) und des
Z-Bosons (rechts) von den zugrunde liegenden Generator-Spektren von
Sherpa 1.1.3.
70
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
7.4.2. Vergleich der systematischen Fehler
Bedingt durch die verschiedenen Berechnungsmethoden zur Entfaltung der Spektren gehen die Fehler der gemessenen Spektren unterschiedlich in die Resultate ein. Während
beispielsweise die statistischen Unsicherheiten der einzelnen Datenpunkte eines Spektrums durch die Multiplikation mit einer Matrix über die jeweils benachbarten Punkte
verteilt werden, tritt dieser Eekt bei der Verwendung einfacher Korrekturfaktoren nicht
auf.
Zum Vergleich der Fehlerbeiträge der unterschiedlichen Entfaltungsmethoden zu den
verschiedenen Spektren sind in den Abbildungen 38 und 39 die relativen Fehler gestapelt dargestellt. Wie der Vergleich zwischen Korrekturfaktor-Methode und BayesInvertierung der Antwort-Matrix in Abbildung 38 zeigt, liegen die Monte-Carlo-Unsicherheiten im Bereich von 20GeV
< pT <100
GeV insgesamt bei 5-10% und unter-
scheiden sich zwischen den beiden Methoden insgesamt nur geringfügig. Ebenfalls tragen
sowohl die statistischen Fehler als auch die Unsicherheiten der Untergrundmodellierung
zu beiden Entfaltungen gleichermaÿen bei und ermöglichen keine Unterscheidung der
Methoden. Die zwischen 5% und 20% liegenden Beiträge des Fehlers der Jet-EnergieSkala zeigen jedoch, dass die Korrekturfaktoren eine geringere Abhängigkeit von dieser
Unsicherheit aufweisen als die Bayes-Methode, die bei der Fehlerabschätzung neben den
unterschiedlichen rekonstruierten Spektren zusätzlich die Unsicherheiten der AntwortMatrix berücksichtigt. Daneben zeigen die in Abbildung 39 dargestellten Fehler der nach
Tikhonov regularisierten Matrix-Methode, die ausschlieÿlich aus den Unsicherheiten der
Matrix und ohne die Verwendung eines rekonstruierten Spektrums berechnet werden,
eine deutlich stärkere Abhängigkeit dieser Methode von der Jet-Energie-Skala. Die Unsicherheiten der Monte-Carlo-Modellierung sind dabei jedoch nur geringfügig gröÿer als
für die Korrekturfaktoren, so dass die Fehler der Jet-Energie-Skala für diese Methode
insbesondere im Bereich kleiner Transversalimpulse dominieren.
Diese Beobachtungen weisen insgesamt darauf hin, dass die systematischen Fehler einer Entfaltung durch die Verwendung der Generator-Spektren als Annahmen verringert
werden. Während die regularisierte Matrix-Entfaltung grundsätzlich ohne diese Annahmen auskommt und dabei groÿe systematische Fehler von 30-40% aufweist, enthalten die
Korrekturfaktoren die stärkste Abhängigkeit von der Monte-Carlo-Modellierung der als
wahr angenommenen Spektren und dadurch nur geringe systematische Unsicherheiten
von 10-20%.
71
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
Bayes-Matrix: p des 1. Jets
Korrekturfaktoren: p des 1. Jets
0.8
0.6
0.4
T
rel. Fehler
rel. Fehler
T
Untergrund
JES ± 5%
MC-Generator
Stat.: 100 pb-1
0.2
0.8
0.6
0.4
Untergrund
JES ± 5%
MC-Generator
Stat.: 100 pb-1
0.2
0
0
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
2
10
10
102
10
pT (GeV)
0.6
0.4
T
rel. Fehler
rel. Fehler
T
0.8
pT (GeV)
Bayes-Matrix: p des 2. Jets
Korrekturfaktoren: p des 2. Jets
Untergrund
JES ± 5%
MC-Generator
Stat.: 100 pb-1
0.8
0.6
0.4
Untergrund
JES ± 5%
MC-Generator
Stat.: 100 pb-1
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
2
10
10
102
10
pT (GeV)
1
0.6
0.4
T
rel. Fehler
rel. Fehler
T
0.8
pT (GeV)
Bayes-Matrix: p des 3. Jets
Korrekturfaktoren: p des 3. Jets
Untergrund
JES ± 5%
MC-Generator
Stat.: 100 pb-1
0.8
0.6
0.4
Untergrund
JES ± 5%
MC-Generator
Stat.: 100 pb-1
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
102
10
102
10
pT (GeV)
0.6
0.4
Bayes-Matrix: H der Jets
T
rel. Fehler
rel. Fehler
Korrekturfaktoren: HT der Jets
pT (GeV)
Untergrund
JES ± 5%
MC-Generator
Stat.: 100 pb-1
0.6
0.4
Untergrund
JES ± 5%
MC-Generator
Stat.: 100 pb-1
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
102
10
10
102
HT (GeV)
0.2
T
rel. Fehler
rel. Fehler
T
0.4
HT (GeV)
Bayes-Matrix: p des Z-Bosons
Korrekturfaktoren: p des Z-Bosons
Untergrund
JES ± 5%
MC-Generator
Stat.: 100 pb-1
0.4
0.2
0
0
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
10
102
Untergrund
JES ± 5%
MC-Generator
Stat.: 100 pb-1
10
pT (GeV)
102
pT (GeV)
Abbildung 38: Die Zusammensetzung der relativen statistischen und systematischen
Fehler der entfalteten Spektren für die Methoden der Korrekturfaktoren
(links) und der Bayes-Matrix (rechts).
72
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
0.8
0.6
0.4
Invertierte Matrix: pT des 2. Jets
rel. Fehler
rel. Fehler
Invertierte Matrix: pT des 1. Jets
Untergrund
JES ± 5%
MC-Generator
Stat.: 100 pb-1
1
0.8
0.6
Untergrund
JES ± 5%
MC-Generator
Stat.: 100 pb-1
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-1
2
10
10
102
10
pT (GeV)
rel. Fehler
rel. Fehler
1
pT (GeV)
Invertierte Matrix: HT der Jets
Invertierte Matrix: pT des 3. Jets
Untergrund
JES ± 5%
MC-Generator
Stat.: 100 pb-1
0.5
0.6
0.4
Untergrund
JES ± 5%
MC-Generator
Stat.: 100 pb-1
0.2
0
0
-0.2
-0.5
-0.4
-1
-0.6
102
10
102
10
pT (GeV)
HT (GeV)
Invertierte Matrix: p des Z-Bosons
rel. Fehler
T
0.4
0.2
Untergrund
JES ± 5%
MC-Generator
Stat.: 100 pb-1
0
-0.2
-0.4
102
10
pT (GeV)
Abbildung 39: Die Zusammensetzung der relativen statistischen und systematischen
Fehler
der
entfalteten
Spektren
für
die
Methode
der
Entropie-
Regularisierung.
73
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
7.4.3. Auswahl der besten Entfaltungs-Methode
Da die vorbereitete Messung zum Vergleich mit beliebigen Monte-Carlo-Generatoren
entfaltete Daten liefern soll, die nicht von den zugrunde liegenden Annahmen von Sherpa 1.1.3 beeinusst sein dürfen, muss nun zur Auswahl der besten Methode überprüft
werden, wie gut die Entfaltungen für unterschiedlich modellierte Spektren funktionieren.
Dazu wurden ebenfalls anhand der rekonstruierten Spektren von Pythia Daten simuliert,
die mit den verschiedenen Methoden entfaltet wurden. Da die entsprechende Entfaltung
mit den aus dem Sherpa 1.1.3-Ereignissatz extrahierten Matrizen und Korrekturfaktoren arbeiten, müssen für den Vergleich mit den generierten Spektren die berechneten
Monte-Carlo-Unsicherheiten berücksichtigt werden. Als Qualitätskriterien werden daher
die Werte
χ2 =
N
X
(di − gi ) · (dj − gj ) · Vij−1
i,j=1
unter der Annahme einer vollständigen Korrelation der systematischen Fehler durch
2
Vij = σstat.
(di )δij + σMC (di )σMC (dj )
berechnet, die im Rahmen der Unsicherheiten ein Maÿ für die Vereinbarkeit der entfalteten Spektren mit den generierten Vorhersagen angeben. Dabei werden wie zuvor
die abgeschätzten Fehler der Untergrund-Modellierung und der Jet-Energie-Skala nicht
berücksichtigt, da sie nicht zu den Dierenzen
(di − gi )
beitragen.
Obwohl die mit Pythia generierten Spektren sich sehr stark von der Vorhersage von
Sherpa 1.1.3 unterscheiden (vgl. Abbildung 33), zeigen die in in Abbildung 40 dargestellten Vergleiche der Entfaltungen für alle verwendeten Methoden sehr gute Er2
gebnisse. Die berechneten χ -Werte weisen dabei jedoch auf eine Überschätzung der
Fehler durch die verwendete Kombination der systematischen und statistischen MonteCarlo-Unsicherheiten hin (vgl. Abbildung 33). Trotzdem sind auch im Rahmen dieser
Fehler nur sehr geringe systematische Eekte erkennbar, die insbesondere als Unterschiede zwischen den Resultaten der Korrekturfaktor-Methode, die am stärksten von
der impliziten Annahme der Sherpa 1.1.3-Spektren abhängt, und der vollständig unabhängigen Tikhonov-Regularisierung zu erwarten wäre. Berücksichtigt man zusätzlich,
dass die Verwendung von Sherpa 1.1.3 als beste Vorhersage auf den Resultaten der
Tevatron-Vergleiche beruht, und dass die Pythia-Spektren als eine sehr konservative
Abschätzung der Unsicherheiten dienen, so zeigen insbesondere deren gut funktionierende Entfaltungen, dass alle hier vorgestellten Methoden geeignet sind, die DetektorEekte für die bisher unbekannten Spektren von Z+Jets-Ereignissen am LHC zu korrigieren. Da jedoch die Korrekturfaktor-Methode dabei die geringste Abhängigkeit von
der Jet-Energie-Skala zeigt, ist sie insbesondere die beste Wahl zur Entfaltung der JetTransversalimpulse sowie des
HT -Spektrums,
während für den Transversalimpuls des
Z-Bosons die Tikhonov-Regularisierung aufgrund ihrer Unabhängigkeit von Annahmen
der Spektren unter Umständen besser geeignet ist. Dennoch zeigt Abbildung 41 abschlieÿend die Korrekturfaktor-Entfaltung aller simulierten Spektren im Vergleich mit
74
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
den Vorhersagen von Sherpa 1.1.3, die aller Erwartung nach die vermutlich beste Be-
χ2/ndf
Prob
0.8
0.6
Pythia
KorFakt
2.78/11
0.993
0.4
0.2
χ2/ndf
p des Z-Bosons
T
rel. Abweichung
pT des 1. Jets
rel. Abweichung
schreibung der realen Daten liefern.
0
0.8
Prob
Pythia
KorFakt
3.98/10
0.948
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
-0.4
-0.2
-0.6
10
102
10
102
χ2/ndf
Prob
0.8
0.6
Pythia
BysMat
1.98/11
0.999
0.4
0.2
pT (GeV)
p des Z-Bosons
χ2/ndf
1
Prob
T
rel. Abweichung
pT des 1. Jets
rel. Abweichung
pT (GeV)
0
0.8
Pythia
BysMat
2.90/10
0.984
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
-0.4
-0.2
-0.6
10
102
10
102
χ2/ndf
Prob
1
0.8
Pythia
SrgMat
1.89/11
0.999
0.6
0.4
0.2
pT (GeV)
χ2/ndf
p des Z-Bosons
T
rel. Abweichung
pT des 1. Jets
rel. Abweichung
pT (GeV)
1
Prob
Pythia
SrgMat
3.40/10
0.970
0.8
0.6
0.4
0
0.2
-0.2
-0.4
0
-0.6
-0.2
-0.8
10
102
10
102
χ2/ndf
Prob
1
0.8
Pythia
TrgMat
3.42/11
0.984
0.6
0.4
0.2
pT (GeV)
χ2/ndf
p des Z-Bosons
T
rel. Abweichung
pT des 1. Jets
rel. Abweichung
pT (GeV)
1
0.8
Prob
Pythia
TrgMat
5.05/10
0.888
0.6
0.4
0
-0.2
0.2
-0.4
0
-0.6
-0.2
-0.8
10
102
10
pT (GeV)
102
pT (GeV)
Abbildung 40: Die relativen Abweichungen der entfalteten Transversalimpuls-Spektren
des härtesten Jets (links) und des Z-Bosons (rechts) von den mit Pythia
generierten Vorhersagen.
75
7 VORBEREITUNG EINER ENTFALTETEN MESSUNG
Sherpa113
KorFakt
10-2
10-3
-4
10
pT des 1. Jets
χ2/ndf
0.6
Prob
rel. Abweichung
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des 1. Jets
0.4
Sherpa113
KorFakt
7.91/11
0.722
0.2
0
-0.2
10-5
-0.4
10-6
-0.6
2
10
10
102
10
Sherpa113
KorFakt
10-2
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des 2. Jets
10-3
10-4
pT (GeV)
pT des 2. Jets
χ2/ndf
rel. Abweichung
pT (GeV)
Prob
0.6
Sherpa113
KorFakt
15.02/9
0.090
0.4
0.2
0
-0.2
10-5
-0.4
10-6
-0.6
102
10
102
10
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des 3. Jets
Sherpa113
KorFakt
10-2
10-3
10-4
pT (GeV)
pT des 3. Jets
χ2/ndf
rel. Abweichung
pT (GeV)
Prob
0.6
Sherpa113
KorFakt
7.22/7
0.406
0.4
0.2
0
-0.2
10-5
-0.4
10-6
-0.6
102
10
102
10
pT (GeV)
10-2
10-3
HT der Jets
rel. Abweichung
Sherpa113
KorFakt
T
(1/σ) dσ/dH (GeV -1)
HT der Jets
pT (GeV)
10-4
0.5
0.4
Sherpa113
KorFakt
χ2/ndf
16.78/11
Prob
0.115
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
10-5
-0.2
-0.3
10
102
10
102
HT (GeV)
Sherpa113
KorFakt
10-2
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
T
10-3
10-4
HT (GeV)
χ2/ndf
p des Z-Bosons
T
rel. Abweichung
p des Z-Bosons
0.5
0.4
Prob
Sherpa113
KorFakt
6.23/10
0.796
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
10-5
-0.3
-0.4
10
102
10
pT (GeV)
102
pT (GeV)
Abbildung 41: Die mit der Korrekturfaktor-Methode entfalteten Spektren der betrachteten Observablen (links) und deren relative Abweichungen von der Vorhersage von Sherpa 1.1.3 (rechts).
76
8 ZUSAMMENFASSUNG
8. Zusammenfassung
Für die Entdeckung neuer Physik am Large-Hadron-Collider ist ein genaue Modellierung
der Untergrund-Prozesse des Standardmodells unerlässlich, um beobachtete Abweichungen von dessen Vorhersagen als Signal identizieren zu können. Dabei ist insbesondere
für die Suche nach Supersymmetrie eine gute Beschreibung der Jet-Produktion in leptonischen Ereignissen von groÿer Bedeutung, da deren Endzustände anhand von DetektorSignalen nur schwer von den Zerfallskaskaden der SUSY-Teilchen unterschieden werden
können. Eine Überprüfung und Verbesserung dieser Modellierungen ist jedoch nur anhand von Daten möglich, so dass mit Hilfe der Experimente neben den eigentlichen
Suchen nach neuer Physik zusätzlich Messungen der Untergrundprozesse durchgeführt
werden müssen. Dazu eignen sich besonders Z+Jets-Ereignisse, da diese aufgrund ihrer
einfachen Signatur mit sehr geringen Unsicherheiten gemessen werden können.
Anhand von veröentlichten Messungen dierentieller Wirkungsquerschnitte der JetTransversalimpulse mit den Experimente CDF und DØ am Tevatron wurden im Rahmen dieser Arbeit zunächst verschiedene Monte-Carlo-Modellierungen von Z+Jets-Endzuständen untersucht. Dazu wurden mit den Matrixelement-Generatoren Sherpa und
Alpgen Ereignisse produziert, aus denen die entsprechenden Transversalimpuls-Spektren
der Jets erzeugt wurden. Diese konnten mit den entfalteten Daten der Experimente auf
Generator-Niveau verglichen werden und zeigten eine überwiegend gute Beschreibung
der Form der gemessenen Spektren. Ihre absoluten Werte wiesen dabei jedoch deutliche Abweichungen auf, die allerdings für verschiedene Vorhersagen im Rahmen der
Messfehler lagen. Zusätzlich wurde daher eine Kombination der einzelnen Messungen
durch Anpassung einer analytischen Funktion durchgeführt, die genauere Vergleiche mit
den Generator-Spektren ermöglichte. Diese ergaben schlieÿlich zusammen mit der zur
Fehlerabschätzung verwendeten Skalenvariation der Generatoren, dass die beste Modellierung der Daten von der Sherpa-Version 1.1.3 unter Verwendung der halbierten
Renormierungs- und Faktorisierungsskala geliefert wird. Insgesamt zeigen dabei jedoch
die groÿen Eekte der Skalenvariation, dass eine Extrapolation dieses Resultats vom Tevatron zum LHC ähnliche Unsicherheiten beinhaltet, die jedoch nur schwer einschätzbar
sind.
Für eine verlässliche Bestimmung des Z+Jets-Untergrundes am LHC wurde daher eine
Messung der Transversalimpuls-Spektren der Jets und des Z-Bosons mit dem ATLASDetektor vorbereitet, wobei der Schwerpunkt auf der Untersuchung verschiedener Entfaltungsmethoden zur Korrektur der Daten lag. Dazu wurden mit Hilfe der schnellen
Detektor-Simulation ATLFAST II die Einüsse des ATLAS-Detektors auf die zu messenden Spektren untersucht, die mit der zuvor bestimmten besten Modellierung von
Sherpa 1.1.3 generiert wurden. Zur Korrektur dieser Detektor-Eekte wurden als verschiedene Entfaltungsmethoden Korrekturfaktoren, die Invertierung der Antwort-Matrix
mit Hilfe des Bayes-Theorems sowie die Tikhonov- und Entropie-Regularisierung imple-
77
8 ZUSAMMENFASSUNG
mentiert. Da diese Entfaltungen eine Abängigkeit von der zugrunde liegenden MonteCarlo-Modellierung von Sherpa 1.1.3 haben, wurden zur Abschätzung der daraus resultierenden systematischen Fehler unterschiedliche Generator-Vorhersagen verwendet,
wobei die Spektren des Generators Pythia die stärksten Abweichungen von Sherpa aufwiesen und daher die Fehler dominierten. Zusätzlich wurden die systematischen Unsicherheiten der Jet-Energie-Skala sowie die Untergrundbeiträge der
tt̄-Produktion
und
der SUSY-Kontamination abgeschätzt.
−1
Die Anwendung aller Entfaltungsmethoden auf 100 pb
simulierte Daten ergibt sowohl für die Sherpa 1.1.3-Vorhersagen als auch für Spektren von Pythia überwiegend
vergleichbare Ergebnisse. Die Betrachtung der systematischen Fehler zeigt jedoch, dass
eine Entfaltung mit Korrekturfaktoren die Resultate mit den geringsten Unsicherheiten liefern. Da diese Faktoren aus den generierten Spektren von Sherpa 1.1.3 berechnet
sind und diese als Annahme implizit enthalten, tragen insbesondere die Unsicherheiten der Jet-Energie-Skala bei dieser Entfaltung nur schwach bei. Die Ergebnisse der
Regularisierungs-Methoden werden hingegen insbesondere von den Unsicherheiten dieser Energie-Skala dominiert, wobei die Methoden unabhängig von der Form der als
wahr angenommenen Spektren funktionieren.
Insgesamt lassen sich also die mit dem ATLAS-Detektor gemessenen TransversalimpulsSpektren mit Hilfe der Korrekturfaktor-Methode auf ein Generator-Niveau entfalten, auf
dem Vergleiche mit verschiedenen Monte-Carlo-Vorhersagen möglich sind. Selbst mit den
verwendeten konservativen Abschätzungen der systematischen Unsicherheiten sind da−1
bei für 100 pb
Daten Fehler im Bereich von 10-20% erreichbar, die sowohl eine gute
Anpassung der Generator-Vorhersagen für die Jet-Produktion als auch eine Einschränkung der Skalenunsicherheiten erlauben (vgl. Abbildung 42). Auf diese Weise ermöglicht
die hier vorbereitete entfaltete Messung ebenfalls eine verbesserte Modellierung weiterer
Standardmodell-Prozesse wie z.B. W+Jets und kann dadurch einen wichtigen Beitrag
zur Untergrundvorhersage und damit zur Entdeckung der Supersymmetrie leisten.
78
dσ/dpT (pb/GeV)
pT des 1. Jets
10-2
LHC Daten
pT des 1. Jets
Sherpa 113
rel. Abweichung
8 ZUSAMMENFASSUNG
Sherpa 112
Alpgen
10-3
10-4
LHC Daten
0.6
0.4
Sherpa 113
Sherpa 112
Alpgen
0.2
0
10-5
-0.2
-0.4
10-6
-0.6
102
10
102
10
dσ/dpT (pb/GeV)
pT des 2. Jets
10-2
pT (GeV)
LHC Daten
pT des 2. Jets
Sherpa 113
rel. Abweichung
pT (GeV)
Sherpa 112
Alpgen
-3
10
10-4
LHC Daten
0.4
Sherpa 113
Sherpa 112
0.2
Alpgen
0
-0.2
-5
10
-0.4
-0.6
102
10
102
10
dσ/dpT (pb/GeV)
pT des 3. Jets
10-2
pT des 3. Jets
Sherpa 113
Sherpa 112
Alpgen
10-3
pT (GeV)
LHC Daten
rel. Abweichung
pT (GeV)
-4
10
0.8
0.6
LHC Daten
Sherpa 113
Sherpa 112
0.4
Alpgen
0.2
0
10-5
-0.2
-0.4
10-6
102
10
102
10
pT (GeV)
LHC Daten
Sherpa 113
Sherpa 112
10-2
Alpgen
10-3
HT der Jets
rel. Abweichung
dσ/dHT (pb/GeV)
HT der Jets
pT (GeV)
LHC Daten
0.4
Sherpa 113
Sherpa 112
0.2
Alpgen
0
10-4
-0.2
10-5
-0.4
10
102
10
102
HT (GeV)
LHC Daten
dσ/dpT (pb/GeV)
T
Sherpa 113
10-2
Sherpa 112
Alpgen
10-3
10-4
HT (GeV)
p des Z-Bosons
T
rel. Abweichung
p des Z-Bosons
0.4
LHC Daten
0.3
Sherpa 113
0.2
Sherpa 112
Alpgen
0.1
0
-0.1
-0.2
10-5
-0.3
-0.4
10
102
10
pT (GeV)
102
pT (GeV)
Abbildung 42: Relative Abweichungen der verschiedenen Monte-Carlo-Spektren von den
mit Korrekturfaktoren entfalteten simulierten LHC-Daten. Die Fehlerbänder repräsentieren die Unsicherheiten der LO-Berechnungen der Generatoren.
79
A ANHANG
A. Anhang
A.1. Vergleiche der Matrizen zur Fehlerabschätzung
AntwMat.: pT des 1. Jets
0.00 0.00 0.00 0.01 0.42
102
0.00 0.00 0.01 0.39 0.14
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.40 0.12 0.00
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.01 0.39 0.13 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.39 0.14 0.00 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.02 0.39 0.14 0.00 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.02 0.35 0.14 0.01 0.00 0.00 0.00
0.00
0.00 0.02 0.29 0.15 0.01 0.00 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.06 0.48
0.00 0.00
0.00 0.00 0.06 0.44 0.02
0.00
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.07 0.43 0.02 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.07 0.44 0.04 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.08 0.43 0.04 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.09 0.38 0.05 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00
0.00 0.07 0.32 0.06 0.01 0.00 0.00 0.00
0.03 0.29 0.18 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00
0.09 0.33 0.09 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.01
0.25 0.16 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
0.02
0.29 0.09 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.42
0.24 0.03 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00
0.41
0.15 0.02 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00
-1
10
T
T
0.00 0.00
prek (GeV)
prek (GeV)
AntwMat.: pT des 1. Jets
102
10-2
10
102
10-3
102
10
pgen (GeV)
pgen (GeV)
T
T
AntwMat.: pT des 2. Jets
0.00
0.00 0.00 0.00
0.00
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00
0.00
0.01 0.36 0.12
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00
0.01
0.36
0.14
0.01 0.37
0.00
0.00
0.00 0.00
0.01
0.35
0.14
0.01 0.00
0.00
0.00
0.00 0.02 0.32
0.15
0.01 0.00 0.00
0.00
0.00
0.02 0.28 0.17
0.01
0.00
0.01
-1
10
T
0.00
prek (GeV)
T
prek (GeV)
AntwMat.: pT des 2. Jets
102
0.00
102
0.00 0.00
0.00
0.03
0.29 0.21 0.02
0.00
0.00
0.00 0.00
0.01
0.23
0.18 0.02 0.00
0.00
0.00
0.00 0.00
0.39
0.23
0.04 0.01 0.01
0.00
0.00
0.00 0.00
10
-2
10
102
10
0.00 0.00 0.00
0.00
0.00
0.08 0.40
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00
0.00
0.06
0.39 0.03
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00
0.06
0.41 0.04 0.00
0.00
0.00
0.00 0.00 0.06
0.39
0.04
0.00
0.00
0.00 0.08 0.37
0.06
0.01 0.00 0.00
0.00
0.00
0.06 0.33 0.07
0.01
0.00
0.00 0.00
0.00
0.08
0.33 0.10
0.01
0.00
0.00
0.00 0.00
0.02
0.26
0.10 0.01 0.00
0.00
0.00
0.00 0.00
0.38
0.15
0.03 0.01 0.01
0.00
0.00
0.00 0.00
102
pgen (GeV)
T
T
AntwMat.: pT des 3. Jets
0.00
0.00
0.00
0.00
0.01
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.01
0.33
0.14
0.00
0.00
0.00
0.02
0.30
0.15
0.01
0.00
0.00
0.02
0.25
0.16
0.01
0.00
0.00
0.03
0.25
0.20
0.02
0.01
0.00
0.00
0.22
0.17
0.02
0.01
0.00
0.00
0.36
0.25
0.05
0.02
0.01
0.01
0.01
10-1
10-2
10-3
10-4
10
gen
p
T
0.00
0.00
0.00
0.00
0.05
0.40
0.00
0.00
0.00
0.00
0.06
0.38
0.05
0.00
0.00
0.00
0.08
0.35
0.06
0.01
0.00
0.00
0.06
0.30
0.08
0.01
0.00
0.00
0.07
0.30
0.10
0.01
0.01
0.00
0.01
0.25
0.10
0.01
0.01
0.00
0.00
0.35
0.17
0.03
0.01
0.01
0.01
0.01
10
10-2
10-3
10-4
10-5
gen
(GeV)
p
T
(GeV)
0.00 0.00 0.00 0.01 0.39
0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.01 0.37 0.13
0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.36 0.15 0.01
HTrek (GeV)
AntwMat.: HT der Jets
0.00 0.00 0.00 0.06 0.45
0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.06 0.43 0.02
0.00
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.35 0.15 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 0.35 0.17 0.01 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.03 0.34 0.16 0.01 0.00 0.00 0.00
0.00
0.00 0.01 0.04 0.30 0.15 0.01 0.00 0.00 0.00
0.00
0.00
0.01 0.03 0.25 0.13 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00
0.01 0.07 0.27 0.07 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00
0.03 0.28 0.16 0.04 0.01 0.00 0.00 0.00
0.00
0.08 0.32 0.09 0.04 0.00 0.00 0.00 0.00
0.01
0.24 0.17 0.04 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00
0.01
0.24 0.09 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
0.55
0.26 0.04 0.04 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
0.55
0.21 0.03 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00
10-1
102
10-2
10
0.00
0.00 0.00 0.00 0.07 0.42 0.03 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.06 0.40 0.04 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.07 0.40 0.06 0.00 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.01 0.08 0.38 0.07 0.01 0.00 0.00
10-1
0.01 0.02 0.09 0.32 0.08 0.01 0.00 0.00 0.00
0.00
10-2
10
10-3
10
2
10
10-3
10
gen
HT
M̂
2
10
gen
(GeV)
Abbildung 43: Die Antwort-Matrizen
HT
(GeV)
der betrachteten Observablen für die reduzierte
(links) und die erhöhte Jet-Energie-Skala (rechts).
80
10-1
102
10
AntwMat.: HT der Jets
HTrek (GeV)
0.00
10-5
102
10
102
T
0.00
prek (GeV)
T
prek (GeV)
AntwMat.: pT des 3. Jets
102
10-2
10-3
10
pgen (GeV)
10-1
0.01 0.00
10
10-3
102
10-1
10-2
10
10-3
10
0.00 0.00 0.00 0.00 0.08 0.45 0.02 0.00
A ANHANG
AntwMat.: pT des 1. Jets
0.00 0.03 0.51 0.03
0.00 0.04 0.49 0.04
T
0.00
0.00
10-1
0.00 0.00 0.03 0.47 0.05 0.00
0.00 0.00 0.00 0.04 0.45 0.06 0.00
102
0.00
T
0.04 0.53
prek (GeV)
prek (GeV)
AntwMat.: pT des 1. Jets
102
0.00
0.00 0.02
0.49
0.00
0.00 0.03 0.47
0.04
0.00
0.00 0.03 0.47 0.05
0.00
0.00
0.00
0.03 0.42 0.05
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00
0.03
0.43 0.07 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.04 0.42 0.07 0.00
0.00
0.00
0.00 0.00 0.05
0.41
0.07 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.05 0.37 0.08 0.00 0.00
0.00
0.00
0.00 0.06 0.38
0.08
0.00 0.00 0.00 0.00
0.00
0.00 0.04 0.32 0.09 0.01 0.00
0.00
0.00 0.05 0.32 0.08
0.01
0.00 0.00 0.00
0.00
0.06 0.31 0.13 0.01 0.00 0.00 0.00
0.00
0.06
0.32 0.12 0.01
0.00
0.00 0.00
0.02
0.26 0.12 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00
0.03
0.27
0.10 0.01 0.01
0.00
0.00 0.00
0.41
0.20 0.03 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00
0.42
0.18
0.02 0.02 0.01
0.00
0.00 0.00
10-2
10
10-1
0.00
10-2
10
10-3
10-3
102
10
102
10
pgen (GeV)
pgen (GeV)
T
T
AntwMat.: pT des 2. Jets
102
0.00
0.03
0.45 0.05
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00
0.02
0.43
0.06
0.00
0.00
0.00 0.00 0.03
0.40
0.08
0.00
0.00
0.00
0.00 0.04 0.37
0.10
0.01
0.00
0.00
0.03 0.30 0.12
0.00
0.00
0.00
0.04
0.29 0.15
0.01
0.00
0.00
0.01
0.23
0.14 0.02 0.00
0.00
0.37
0.21 0.04 0.01 0.00
0.00
10-1
T
0.03 0.44
0.00
prek (GeV)
T
prek (GeV)
AntwMat.: pT des 2. Jets
0.00
102
10-2
0.02
0.01
0.01
10
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.03
0.41
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.03
0.42
0.05
0.00
0.00
0.00
0.00
0.03
0.41
0.07
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.03
0.40
0.08
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.05
0.36
0.09
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.04
0.31
0.11
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.07
0.30
0.13
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.01
0.25
0.13
0.02
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.42
0.18
0.03
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
10
102
102
10
pgen (GeV)
pgen (GeV)
T
T
AntwMat.: pT des 3. Jets
0.01
0.43
0.02
0.40
0.13
0.00
0.04
0.33
0.09
0.00
0.03
0.28
0.15
0.01
0.03
0.28
0.17
0.01
0.01
0.00
0.21
0.14
0.02
0.01
0.33
0.23
0.05
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
10-1
102
T
0.00
0.00
0.00
prek (GeV)
T
prek (GeV)
AntwMat.: pT des 3. Jets
102
10-2
10-3
10-3
10
10-1
10-2
0.01
10
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.02
0.37
0.00
0.00
0.00
0.00
0.03
0.35
0.08
0.00
0.00
0.00
0.05
0.34
0.09
0.01
0.00
0.00
0.04
0.29
0.10
0.01
0.01
0.00
0.05
0.28
0.14
0.02
0.01
0.00
0.01
0.23
0.13
0.02
0.01
0.00
0.00
0.40
0.20
0.04
0.02
0.01
0.01
0.02
10
10-1
10-2
10-3
10-4
10-3
102
10
102
10
pgen (GeV)
pgen (GeV)
T
T
AntwMat.: HT der Jets
0.02 0.48
0.00 0.03 0.44 0.06
0.00 0.00 0.03 0.43 0.08
102
0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.03 0.40 0.10 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.04 0.38 0.10 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.05 0.35 0.11 0.01 0.00
0.00
0.00 0.01 0.06 0.31 0.11 0.01 0.00 0.00
0.00
0.01 0.04 0.27 0.09 0.02 0.00 0.00
0.00
0.05 0.30 0.12 0.04 0.01 0.00 0.00
0.01
0.25 0.12 0.04 0.02 0.00 0.00
0.53
0.21 0.04 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00
10-1
0.00
10-2
0.00
0.43
0.06
0.00 0.03 0.42 0.08
0.00
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00
0.00
0.04 0.39 0.08 0.00
0.00
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00
0.04
0.37 0.10 0.00 0.00
0.00
0.00
0.00
0.00 0.01 0.06
0.35
0.00
0.00
0.02 0.07 0.32
0.10
0.01 0.00 0.00 0.00
0.00
0.01 0.05 0.26 0.08
0.01
0.00 0.00 0.00
0.00
0.05
0.30 0.10 0.04
0.01
0.00 0.00
0.01
0.26
0.11 0.04 0.02
0.00
0.00 0.00 0.00
0.54
0.20
0.03 0.04 0.01
0.00
0.00 0.00 0.00
10
0.11 0.01 0.00 0.00
10-2
2
10
10
gen
HT
gen
(GeV)
HT
(GeV)
AntwMat.: pT des Z-Bosons
T
10-1
0.01 0.52 0.03
0.01
0.51 0.03
0.00 0.00 0.02 0.50
0.03
0.00
0.00 0.02 0.48 0.03
0.00
0.00
0.03 0.48 0.04 0.00
0.00
0.01
0.45 0.04 0.00 0.00
0.50
0.05 0.00 0.00
0.01
T
0.01 0.56
0.00 0.52 0.02
0.01 0.55 0.03
prek (GeV)
AntwMat.: pT des Z-Bosons
10-1
10-3
2
102
0.00
10
10-3
10
0.00 0.00 0.02
0.00 0.00 0.03 0.44
0.00
0.00
0.00
102
10
prek (GeV)
HTrek (GeV)
HTrek (GeV)
AntwMat.: HT der Jets
102
0.00
0.00 0.00
0.00
10-2
0.00
10
0.01
0.59
0.01
0.52
0.02
0.50
0.02
0.00
0.01
0.51
0.03
0.01
0.51
0.02
0.00
0.00
0.02
0.50
0.03
0.00
0.00
0.02
0.48
0.03
0.00
0.00
0.03
0.50 0.04
0.00
0.00
0.01
0.45
0.04
0.00
0.00
0.51
0.05
0.00
0.00
0.00
10-1
0.00
0.00
0.00
10-2
0.00
10
10-3
10
2
10
10
pgen (GeV)
T
Abbildung 44: Die Antwort-Matrizen
M̂
10-3
2
10
pgen (GeV)
T
der betrachteten Observablen für Pythia (links)
und Sherpa 1.1.2 (rechts).
81
A ANHANG
BysMat.: p des 1. Jets
BysMat.: p des 1. Jets
T
prek (GeV)
prek (GeV)
T
0.00 0.00 0.01 0.15 1.63
102
0.00 0.00 0.06 1.65 0.17
0.00
0.00 0.00 0.00 0.01 0.08 1.60 0.18 0.00
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.09 1.50 0.22 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.01 0.09 1.50 0.22 0.00 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.02 0.10 1.42 0.24 0.00 0.00 0.00
0.00
0.00 0.02 0.10 1.34 0.35 0.01 0.00 0.00 0.00
0.00
1
0.00 0.00 0.01 0.54 1.41
0.00 0.00
0.00 0.00 0.49 1.39 0.02
0.00
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.49 1.29 0.03 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.01 0.42 1.34 0.04 0.00 0.00
0.00
0.00 0.01 0.02 0.37 1.34 0.06 0.00 0.00
0.00
0.00 0.02 0.36 1.33 0.12 0.00 0.00 0.00 0.00
0.01 0.14 1.18 0.54 0.02 0.00 0.00 0.00
0.00
0.01
0.14 1.24 0.51 0.04 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
0.04
0.01 0.42 1.24 0.22 0.01 0.00 0.00 0.00
0.35 1.29 0.23 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.27
1.00 0.64 0.04 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
0.55
1.09 0.33 0.02 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
2.03
0.19 0.02 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
2.12
0.13 0.02 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
T
T
0.00 0.00
0.00
102
10-1
10-2
10
102
pgen (GeV)
T
BysMat.: p des 2. Jets
BysMat.: p des 2. Jets
0.00
0.00
102
0.00
0.00 0.00 0.00
0.01
0.04
0.12 1.80
0.00 0.00 0.00
0.02
0.10
1.53 0.24
0.00
0.00
0.00 0.00
0.01
0.11
1.49
0.26
0.01
0.00
0.00 0.01 0.11
1.49
0.27
0.01 0.00
1
0.01
T
T
T
prek (GeV)
T
prek (GeV)
10-2
102
10
pgen (GeV)
T
0.01
0.00
0.01 0.12 1.37
0.35
0.01 0.00 0.00
0.02
0.01 0.16 1.15 0.52
0.02
0.00
0.00 0.00
0.04
0.18
1.23 0.43 0.03
0.00
0.00
0.00 0.00
0.36
1.10
0.57 0.03
0.01
0.00
0.00
0.00 0.00
2.35
0.14
0.02 0.00 0.00
0.00
0.00
0.00 0.00
10
0.00
0.01
102
10-1
-2
10
0.00
0.00 0.00 0.00
0.01
0.04
0.00 0.00 0.00
0.02
0.48
0.00
0.00 0.00 0.02
0.44
1.37
0.05 0.00
0.01
0.00
0.00 0.01 0.41
1.39
0.07
0.00 0.00
0.01
0.00
0.02 0.39 1.33
0.12
0.01 0.00 0.00
0.03
0.02
0.47 1.16 0.19
0.01
0.00
0.00 0.00
0.06
0.43
1.24 0.19 0.02
0.00
0.00
0.00 0.00
0.73
1.12
0.29 0.01 0.00
0.00
0.00
0.00 0.00
2.41
0.09
0.01 0.00 0.00
0.00
0.00
0.00 0.00
10-1
10-2
pgen (GeV)
T
BysMat.: p des 3. Jets
T
0.06
0.01
0.02
0.00
0.03
0.14
1.67
0.04
0.01
0.01
0.02
0.15
1.49
0.20
0.04
0.01
0.03
0.18
1.39
0.28
0.01
0.07
0.02
0.22
1.20
0.45
0.02
0.00
0.11
0.23
1.29
0.38
0.02
0.00
0.00
0.53
1.08
0.51
0.02
0.00
0.00
0.00
2.62
0.08
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
10-1
10-2
10-3
10
0.03
0.01
0.01
0.01
0.02
0.53
1.43
0.04
0.01
0.01
0.02
0.47
1.31
0.06
0.06
0.01
0.04
0.48
1.26
0.09
0.00
0.07
0.04
0.57
1.14
0.17
0.01
0.00
0.15
0.50
1.23
0.16
0.01
0.00
0.00
0.94
1.05
0.26
0.01
0.00
0.00
0.00
2.66
0.06
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
1
102
T
1
prek (GeV)
T
10-1
10-2
10-3
10
10-4
10-4
2
10
10
2
10
10
pgen (GeV)
pgen (GeV)
T
T
BysMat.: H der Jets
BysMat.: H der Jets
T
HTrek (GeV)
HTrek (GeV)
T
0.00 0.00 0.00 0.06 1.83
0.00 0.00
102
0.00 0.00 0.00 0.06 1.59 0.26
0.00
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.09 1.39 0.36 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.11 1.37 0.35 0.01 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.01 0.13 1.29 0.38 0.01 0.00 0.00 0.00
1
0.00 0.00 0.00 0.00 0.07 1.50 0.30 0.00
0.00
0.01 0.05 0.12 1.18 0.48 0.02 0.00 0.00 0.00
0.01
0.06 0.15 0.98 0.59 0.08 0.01 0.00 0.00 0.00
0.01
0.13 1.14 0.46 0.14 0.02 0.00 0.00 0.00
0.23
0.95 0.55 0.09 0.05 0.01 0.00 0.00 0.00
1.71
0.07 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.41 1.64
0.00 0.00 0.00
102
-1
10
0.00
0.00 0.00 0.00 0.40 1.45 0.04
0.00
0.00 0.00 0.01 0.40 1.41 0.05 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.40 1.34 0.09 0.00 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.01 0.36 1.34 0.11 0.00 0.00 0.00
0.00
0.00 0.01 0.03 0.34 1.29 0.15 0.01 0.00 0.00
0.01
0.03 0.07 0.30 1.22 0.24 0.01 0.00 0.00 0.00
0.01
0.05 0.38 1.09 0.31 0.05 0.00 0.00 0.00 0.00
0.03
0.35 1.16 0.23 0.11 0.01 0.00 0.00 0.00
0.38
1.04 0.32 0.08 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00
1.72
0.06 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
1
10-1
0.00
10-2
10-2
10
10
102
10
gen
(GeV)
HT
BysMat.: p des Z-Bosons
0.06 1.83
0.05 1.69 0.02
1
0.00 0.00 0.05
0.05
1.70 0.03 0.00
1.71 0.04
0.00 0.00 0.06 1.69
0.06
0.00
0.00 0.10 1.63 0.10
0.00
0.00
0.00
0.14 1.61 0.09 0.00
0.00
0.20
1.53 0.12 0.00 0.00
0.00
1.85
0.04 0.00 0.00 0.00
0.00
0.06 1.83
0.05 1.69 0.02
0.00
102
0.00 0.00 0.05
10-1
0.00
0.00
10-2
0.00
0.05
1.70 0.03 0.00
1.71 0.04
0.00 0.00 0.06 1.69
0.06
0.00
0.00 0.10 1.63 0.10
0.00
0.00
0.00
0.14 1.61 0.09 0.00
0.00
0.20
1.53 0.12 0.00 0.00
0.00
0.00
1.85
0.04 0.00 0.00 0.00
0.00
0.00
0.00
10
1
0.06 1.68 0.04
T
T
0.00
prek (GeV)
T
0.06 1.68 0.04
0.00
(GeV)
BysMat.: p des Z-Bosons
T
102
102
10
gen
HT
prek (GeV)
1
102
10
pgen (GeV)
BysMat.: p des 3. Jets
T
1.33 0.06
0.00
T
102
0.58 1.52
10
102
10
prek (GeV)
10-1
10
10
10-1
0.00
10-2
10
10
102
pgen (GeV)
10
T
Abbildung 45: Die Antwort-Matrizen
M̂
102
pgen (GeV)
T
der betrachteten Observablen für die reduzierte
(links) und die erhöhte Jet-Energie-Skala (rechts).
82
1
0.00 0.00 0.00 0.01 0.50 1.33 0.02 0.00
A ANHANG
BysMat.: p des 1. Jets
BysMat.: p des 1. Jets
T
prek (GeV)
prek (GeV)
T
0.37 1.37
0.00 0.23 1.43 0.02
1
0.00 0.29 1.43 0.04
0.00
0.00 0.00 0.31 1.40 0.05 0.00
0.00 0.00 0.01 0.28 1.47 0.06 0.00
102
0.00
0.00
T
T
0.00
0.00
0.00
0.00
0.01
0.28 1.54 0.07 0.00
1.49 0.11 0.00
0.00 0.00 0.01
0.23
0.01
0.00
0.01 0.01 0.24
1.47
0.00
0.02 0.24 1.41
0.20
0.00 0.00 0.00 0.00
0.01 0.31 1.29 0.30 0.01 0.00
0.00
0.02
0.31 1.26 0.30
0.02
0.00 0.00 0.00
0.02
0.28 1.34 0.30 0.03 0.00 0.00 0.00
0.02
0.27
1.31 0.32 0.03
0.01
0.00 0.00
0.47
1.08 0.45 0.02 0.01 0.00 0.00 0.00
0.49
1.06
0.40 0.02 0.01
0.00
0.00 0.00
2.11
0.16 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
1.97
0.17
0.02 0.01 0.00
0.00
0.00 0.00
0.00 0.01 0.02 0.26 1.44 0.09 0.00
0.01
0.00 0.02 0.25 1.43 0.17 0.00 0.00
0.01
102
10-1
10-2
10
0.00
1.63
0.04
0.13 0.00 0.00
102
pgen (GeV)
BysMat.: p des 2. Jets
T
prek (GeV)
T
0.44 1.47
0.02
102
0.01
0.00
0.01 0.00
0.01
0.00
0.01 0.01 0.26
0.01
0.03
0.35
1.34 0.04
0.22
1.48
0.06
1.47
0.09
0.00
1
T
T
10-2
T
BysMat.: p des 2. Jets
prek (GeV)
10-1
102
10
pgen (GeV)
T
0.02
0.01 0.02 0.27
1.41
0.16
0.00
0.02
0.02
0.34 1.26 0.28
0.00
0.00
0.06
0.35
1.32 0.27
0.00
0.00
0.63
1.14
0.39 0.02 0.00
0.00
2.51
0.09
0.01 0.00 0.00
0.00
0.01
0.00
102
10-1
0.00
0.00
0.00
-2
10
10
0.00
0.00
0.00
0.01
0.03
0.25
1.77
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.01
0.23
1.55
0.10
0.00
0.00
0.00
0.01
0.01
0.21
1.54
0.11
0.01
0.00
0.00
0.01
0.02
0.22
1.49
0.14
0.01
0.00
0.01
0.01
0.02
0.28
1.40
0.19
0.01
0.00
0.00
0.01
0.02
0.33
1.24
0.30
0.01
0.00
0.00
0.00
0.06
0.37
1.27
0.26
0.02
0.00
0.00
0.00
0.00
0.55
1.08
0.41
0.02
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
2.17
0.10
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
10
102
10
pgen (GeV)
0.15
1.56
0.22
1.49
0.10
0.03
0.37
1.38
0.11
0.40
1.21
0.28
0.01
0.38
1.32
0.24
0.01
0.00
0.87
1.14
0.32
0.01
0.00
2.89
0.05
0.00
0.00
0.00
0.02
0.02
0.01
0.07
0.01
0.13
1
0.01
0.01
0.01
0.02
0.29
1.63
0.03
0.01
0.02
0.02
0.31
1.50
0.11
0.04
0.02
0.04
0.32
1.39
0.16
0.01
0.06
0.04
0.43
1.19
0.24
0.01
0.00
0.11
0.41
1.29
0.22
0.01
0.00
0.00
0.78
1.05
0.33
0.02
0.00
0.00
0.00
2.37
0.05
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
10-1
10-1
0.00
10-2
10-3
10
10-2
102
10
0.07
1
102
T
0.07
0.05
0.02
prek (GeV)
T
T
10
10-4
102
10
pgen (GeV)
pgen (GeV)
T
T
BysMat.: H der Jets
BysMat.: H der Jets
T
HTrek (GeV)
T
HTrek (GeV)
10-2
BysMat.: p des 3. Jets
T
0.20 1.62
1
0.00 0.23 1.55 0.07
0.00 0.00 0.23 1.46 0.10
102
10-1
T
BysMat.: p des 3. Jets
102
1
102
10
pgen (GeV)
T
0.00
0.00 0.00 0.00 0.01 0.25 1.46 0.15 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00 0.01 0.25 1.43 0.17 0.00 0.00
0.00
0.00 0.01 0.02 0.26 1.37 0.23 0.01 0.00
0.01
0.02 0.07 0.22 1.28 0.31 0.02 0.00 0.00
0.02
0.02
0.08 0.28 1.11 0.38 0.06 0.00 0.00
0.27 1.23 0.29 0.11 0.01 0.00 0.00
0.40
1.01 0.38 0.08 0.04 0.01 0.00
1.77
0.08 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00
0.00 0.01 0.21
0.00
0.00
0.00
102
-1
10
0.00
0.00
0.00
0.01
1.78
0.00 0.00 0.19 1.57
0.10
0.01 0.21 1.54 0.14
0.00
0.00
0.00 0.00 0.00
0.27 1.45 0.17 0.00
0.00
0.00
0.00
0.00 0.00 0.01
0.25
1.41 0.20 0.01 0.00
0.00
0.01
0.00
0.01 0.03 0.26
1.34
0.26
0.00
0.03
0.09 0.22 1.19
0.34
0.02 0.00 0.00 0.00
0.03
0.09
0.27 1.05 0.40
0.06
0.01 0.00 0.00
0.02
0.27
1.18 0.30 0.13
0.02
0.00 0.00
0.43
0.97
0.33 0.08 0.05
0.01
0.00 0.00 0.00
1.72
0.08
0.01 0.01 0.00
0.00
0.00 0.00 0.00
0.01 0.00 0.00
1
10-1
10-2
10-2
10
10
102
10
gen
(GeV)
HT
BysMat.: p des Z-Bosons
(GeV)
BysMat.: p des Z-Bosons
T
0.07 1.66
1
0.04 1.74 0.02
0.04
T
T
0.05 1.64 0.03
prek (GeV)
T
102
102
10
gen
HT
prek (GeV)
1
0.00
10
10
prek (GeV)
0.07
0.00
0.00
0.00
0.02 0.23
0.00 0.27 1.52
0.01 0.23 1.54
1.73 0.03
102
0.09
1.56
0.06
1.74
0.02
0.05
1.78
0.03
0.00
0.06
1.76
0.04
0.07
0.00
0.05
1.73
0.04
1.74
0.04
0.00 0.00 0.07 1.73
0.06
0.00 0.00
0.00 0.06
1.72
0.07
0.00
0.00
0.00 0.10 1.67 0.09
0.00
0.00
0.00
0.10 1.64
0.10
0.00
0.00
0.12 1.66 0.09 0.00
0.00
0.00
0.13
1.58
0.10
0.00
0.00
0.19
1.55 0.12 0.00 0.00
0.19
1.60
0.11 0.00
0.00
1.92
0.04 0.00 0.00
1.88
0.04
0.00
0.00
0.00
0.00
10-1
10-2
0.00
10
0.00
0.00
1
10-1
0.00
10-2
0.00
10
10
102
10
pgen (GeV)
T
Abbildung 46: Die Antwort-Matrizen
M̂
102
pgen (GeV)
T
der betrachteten Observablen für Pythia (links)
und Sherpa 1.1.2 (rechts).
83
A ANHANG
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des 1. Jets
Sherpa113
BysMat
10-2
10-3
10-4
pT des 1. Jets
χ2/ndf
rel. Abweichung
A.2. Resultate der weiteren Entfaltungs-Methoden
Prob
0.4
Sherpa113
BysMat
9.96/11
0.534
0.2
0
-0.2
10-5
-0.4
10-6
-0.6
102
10
102
10
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des 2. Jets
Sherpa113
BysMat
10-2
10-3
10-4
pT (GeV)
pT des 2. Jets
χ2/ndf
rel. Abweichung
pT (GeV)
Prob
0.4
Sherpa113
BysMat
11.95/9
0.216
0.2
0
-0.2
10-5
-0.4
10-6
102
10
102
10
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des 3. Jets
Sherpa113
BysMat
10-2
10-3
10-4
pT (GeV)
pT des 3. Jets
χ2/ndf
rel. Abweichung
pT (GeV)
Prob
0.4
Sherpa113
BysMat
8.71/7
0.274
0.2
0
-0.2
10-5
-0.4
10-6
-0.6
102
10
102
10
pT (GeV)
10-2
10-3
10-4
HT der Jets
rel. Abweichung
Sherpa113
BysMat
T
(1/σ) dσ/dH (GeV -1)
HT der Jets
pT (GeV)
0.5
0.4
Sherpa113
BysMat
χ2/ndf
19.52/11
Prob
0.052
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
10-5
-0.2
-0.3
10
102
10
HT (GeV)
102
HT (GeV)
Abbildung 47: Die mit der Bayes-Matrix entfalteten Spektren der betrachteten Observablen (links) und deren relative Abweichungen von der Vorhersage von
Sherpa 1.1.3 (rechts).
84
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des 1. Jets
Sherpa113
SrgMat
10-2
10-3
10-4
pT des 1. Jets
χ2/ndf
rel. Abweichung
A ANHANG
Prob
0.6
Sherpa113
SrgMat
6.49/11
0.839
0.4
0.2
0
-0.2
-5
10
-0.4
10-6
-0.6
-0.8
102
10
102
10
Sherpa113
SrgMat
10-2
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des 2. Jets
10-3
10-4
pT (GeV)
pT des 2. Jets
χ2/ndf
rel. Abweichung
pT (GeV)
Prob
0.8
0.6
Sherpa113
SrgMat
18.83/9
0.027
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
10-5
-0.6
-0.8
2
10
10
102
10
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des 3. Jets
Sherpa113
SrgMat
10-2
10-3
-4
10
pT (GeV)
pT des 3. Jets
χ2/ndf
rel. Abweichung
pT (GeV)
Prob
0.8
0.6
Sherpa113
SrgMat
5.18/7
0.639
0.4
0.2
0
-0.2
10-5
-0.4
-0.6
10-6
-0.8
102
10
102
10
pT (GeV)
10-2
10-3
HT der Jets
rel. Abweichung
Sherpa113
SrgMat
T
(1/σ) dσ/dH (GeV -1)
HT der Jets
pT (GeV)
0.6
Sherpa113
SrgMat
χ2/ndf
11.89/11
Prob
0.372
0.4
0.2
0
10-4
-0.2
10-5
-0.4
10
102
10
102
HT (GeV)
Sherpa113
SrgMat
10-2
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
T
10-3
HT (GeV)
χ2/ndf
p des Z-Bosons
T
rel. Abweichung
p des Z-Bosons
0.4
Prob
Sherpa113
SrgMat
8.20/10
0.609
0.2
10-4
0
10-5
-0.2
-0.4
10
102
10
pT (GeV)
102
pT (GeV)
Abbildung 48: Die mit der Entropie-Regularisierung entfalteten Spektren der betrachteten Observablen (links) und deren relative Abweichungen von der Vorhersage von Shera 1.1.3 (rechts).
85
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des 1. Jets
Sherpa113
TrgMat
10-2
10-3
10-4
pT des 1. Jets
χ2/ndf
19.08/11
rel. Abweichung
A ANHANG
Prob
0.060
0.6
Sherpa113
TrgMat
0.4
0.2
0
-0.2
-5
10
-0.4
10-6
-0.6
-0.8
102
10
102
10
Sherpa113
TrgMat
10-2
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des 2. Jets
10-3
10-4
pT (GeV)
pT des 2. Jets
χ2/ndf
rel. Abweichung
pT (GeV)
Prob
0.8
0.6
Sherpa113
TrgMat
15.97/9
0.068
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
10-5
-0.6
-0.8
2
10
10
102
10
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
pT des 3. Jets
Sherpa113
TrgMat
10-2
10-3
10-4
pT (GeV)
pT des 3. Jets
χ2/ndf
rel. Abweichung
pT (GeV)
Prob
0.8
0.6
Sherpa113
TrgMat
9.59/7
0.213
0.4
0.2
0
-0.2
10-5
-0.4
-0.6
-6
10
-0.8
102
10
102
10
pT (GeV)
10-2
10-3
HT der Jets
rel. Abweichung
Sherpa113
TrgMat
T
(1/σ) dσ/dH (GeV -1)
HT der Jets
pT (GeV)
0.5
0.4
Sherpa113
TrgMat
χ2/ndf
11.11/11
Prob
0.434
0.3
0.2
0.1
0
10-4
-0.1
-0.2
10-5
-0.3
-0.4
10
102
10
102
HT (GeV)
Sherpa113
TrgMat
10-2
T
(1/σ) dσ/dp (GeV -1)
T
10-3
HT (GeV)
χ2/ndf
p des Z-Bosons
T
rel. Abweichung
p des Z-Bosons
0.4
Prob
Sherpa113
TrgMat
8.67/10
0.564
0.2
10-4
0
10-5
-0.2
-0.4
10
102
10
pT (GeV)
102
pT (GeV)
Abbildung 49: Die mit der Tikhonov-Regularisierung entfalteten Spektren der betrachteten Observablen (links) und deren relative Abweichungen von der Vorhersage von Shera 1.1.3 (rechts).
86
Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
1.
Vergleich der Messungen von Parametern des Standardmodells mit einem
globalen Fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.
Die Form des Higgs-Potenzials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.
7
4.
Schleifenkorrekturen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Beste Anpassung der laufenden Kopplung αS (Q ) an die Daten verschie-
8
5.
dener Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
χ2 -Verteilung für die Vereinbarkeit elektroschwacher Präszisionsmessungen mit der Existenz eines Higgs-Bosons der Masse
mH
. . . . . . . . . .
10
6.
Bosonische und fermionische Schleifenkorrekturen für den Higgs-Propagator 10
7.
Skalenabhängigkeit der Kopplungskonstanten . . . . . . . . . . . . . . . .
11
8.
Der Large-Hadron-Collider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
9.
Der ATLAS-Detektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
10.
Beispiel eines möglichen SUSY-Signalprozesses mit drei Leptonen im Endzustand
11.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Zusammensetzung des SM-Untergrundes für dileptonische SUSY-Ereignisse
und Vergleich mit den Signalen zweier mSUGRA-Modelle . . . . . . . . .
20
12.
Beispiele für die Untergrundprozesse Z+Jets- und Top-Antitop-Produktion 20
13.
Proton-Proton-Kollision im Parton-Modell
. . . . . . . . . . . . . . . . .
22
14.
23
15.
Lepton-Paarproduktion im Drell-Yan-Modell . . . . . . . . . . . . . . . .
+ −
0
Feynman-Graphen der Matrixelemente q q̄ → Z → ` `
und q q̄ →
±
±
W → ` ν` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
16.
Feynman-Graphen zur Vektorbosonfusion von Z- und W-Bosonen
. . . .
24
17.
Virtuelle
. . . . . . . . . . . . . . . .
25
. . . . . . . . . . . . . . . .
25
18.
next-to leading order Korrekturen .
Reale next-to leading order Korrekturen
. .
19.
Quark-Gluon-Abstrahlungen nach Altarelli-Parisi
20.
Vergleich zwischen den veröentlichten Daten und den Monte-Carlo-Mo-
. . . . . . . . . . . . .
26
dellierungen der dierentiellen Wirkungsquerschnitte für den Transversalimpuls des härtesten Jets
21.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
querschnitte für den Transversalimpuls des zweit- und dritthärtesten Jets
22.
39
Vergleich zwischen Daten und Modellierung der dierentiellen Wirkungsquerschnitte für den Transversalimpuls des Z-Bosons
23.
38
Vergleich zwischen Daten und Modellierung der dierentiellen Wirkungs-
. . . . . . . . . . .
40
Vergleich der Anpassungen analytischer Funktionen mit den einzelnen
Messungen der dierentiellen Wirkungsquerschnitte der Jet-Transversalimpulse 43
24.
Vergleich der an die einzelnen Messungen angepassten analytischen Funktionen untereinander
25.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Anpassungen analytischer Funktionen an alle verfügbaren Daten der
dierentiellen Wirkungsquerschnitte der Jet-Transversalimpulse
26.
44
. . . . .
45
Vergleich zwischen kombinierten Daten und der Modellierung der dierentiellen Wirkungsquerschnitte für die Transversalimpulse des härtesten
und des zweithärtesten Jets
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
87
Abbildungsverzeichnis
27.
Die relativen Abweichungen der modellierten dierentiellen Wirkungsquerschnitte der Jet-Transversalimpulse von der Kombination aller veröffentlichten Daten
28.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Vergleich zwischen den mit Sherpa 1.1.3 generierten und den mit ATLFAST II rekonstruierten dierentiellen Wirkungsquerschnitten für verschiedene Observablen
29.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Die Energieauösungen der Elektronen und der Jets in Abhängigkeit der
E gen
wahren Energien
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30.
Die Migration der Jet-Ordnung für Jets mit
pT > 20
53
55
31.
Die Antwort-Matrizen
GeV . . . . . . . . .
−1
des Detektors und deren Inverse M̂
für die
56
32.
betrachteten Observablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−1
Die mit Hilfe des Bayes-Theorems invertierten Antwort-Matrizen Bij für
die betrachteten Observablen
60
33.
M̂
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die verschiedenen Monte-Carlo-Vorhersagen und deren relative Abweichungen für die verwendeten Observablen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34.
Die Korrekturfaktoren
und deren relative Abweichungen
35.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die relativen Abweichungen der Korrekturfaktoren
Fehler der Jet-Energie-Skala
36.
Die Beiträge des
Ci
64
für die simulierten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
tt̄-Untergrundes und der abgeschätzten SUSY-Kontami-
nation zu den Spektren der Observablen
37.
62
Ci für die verschiedenen Monte-Carlo-Modellierungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Die relativen Abweichungen der mit den verschiedenen Methoden entfalteten Transversalimpuls-Spektren des härtesten Jets und des Z-Bosons
von den zugrunde liegenden Generator-Spektren von Sherpa 1.1.3
38.
. . . .
70
Die Zusammensetzung der relativen statistischen und systematischen Fehler der entfalteten Spektren für die Methoden der Korrekturfaktoren und
der Bayes-Matrix
39.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Zusammensetzung der relativen statistischen und systematischen Fehler der entfalteten Spektren für die Methode der Entropie-Regularisierung
40.
72
73
Die relativen Abweichungen der entfalteten Transversalimpuls-Spektren
des härtesten Jets und des Z-Bosons von den mit Pythia generierten Vorhersagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.
75
Die mit der Korrekturfaktor-Methode entfalteten Spektren der betrachteten Observablen und deren relative Abweichungen von der Vorhersage
von Sherpa 1.1.3
42.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
mit Korrekturfaktoren entfalteten simulierten LHC-Daten . . . . . . . .
43.
Die Antwort-Matrizen
M̂
Die Antwort-Matrizen
M̂
Die Bayes-Matrizen
M̂
81
der betrachteten Observablen für die reduzierte
und die erhöhte Jet-Energie-Skala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
80
der betrachteten Observablen für Pythia und
Sherpa 1.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45.
79
der betrachteten Observablen für die reduzierte
und die erhöhte Jet-Energie-Skala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44.
76
Relative Abweichungen der verschiedenen Monte-Carlo-Spektren von den
82
Literatur
46.
Die Bayes-Matrizen
M̂
der betrachteten Observablen für Pythia (links)
und Sherpa 1.1.2 (rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47.
83
Die mit der Bayes-Matrix entfalteten Spektren der betrachteten Observablen und deren relative Abweichungen von der Vorhersage von Sherpa
1.1.3
48.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
Die mit der Entropie-Regularisierung entfalteten Spektren der betrachteten Observablen und deren relative Abweichungen von der Vorhersage
von Shera 1.1.3
49.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Die mit der Tikhonov-Regularisierung entfalteten Spektren der betrachteten Observablen und deren relative Abweichungen von der Vorhersage
von Shera 1.1.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Tabellenverzeichnis
1.
Die Fermionen des Standardmodells mit ihrer Multiplett-Struktur bezüg-
2.
Die Eichbosonen des Standardmodells mit ihrer Multiplett-Struktur be-
lich der Symmetriegruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
züglich der Symmetriegruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
3.
Die chiralen Supermultipletts des MSSM
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.
Die Eichsupermultipletts des MSSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5.
Die Parameter der Funktionen (10) aus den Anpassungen an die verschie-
6.
Die Parameter der Funktionen (10) aus den Anpassungen an die verschie-
denen Daten des härtesten Jets
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
denen Daten des zweithärtesten Jets
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
48
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s = 1.96 TeV, Phys. Rev. Lett. 100 (2008) 102001, arXiv:hep-ex/0711.3717.
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∗
DØ Collaboration, V. M. Abazov et al.
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+ X cross sections in pp̄ collisions at
s = 1.96 TeV, Phys. Lett. B669 (2008)
278286,
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DØ Collaboration, V. M. Abazov et al., Measurements of dierential cross
sections of
√
[51]
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events in proton anti-proton collisions at
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s=
1.96 TeV,
pp̄ → Z/γ ∗ → e+ e− + X events produced at
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√
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1.96 TeV,
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