Quantenmechanik - Cybus Services

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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 1 — le-tex
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Quantenmechanik
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 2 — le-tex
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 3 — le-tex
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David J. Griffiths
Quantenmechanik
Higher Education
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 4 — le-tex
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Authorized translation from the English language edition, entitled INTRODUCTION TO
QUANTUM MECHANICS, 2nd Edition by DAVID GRIFFITHS, published by Pearson
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ISBN 978-3-86894-114-2
© 2012 by Pearson Deutschland GmbH
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Herstellung: Philipp Burkart, [email protected]
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Druck und Verarbeitung: Drukarnia Dimograf, Bielsko-Biala
Printed in Poland
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 5 — le-tex
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort
11
Vorwort zur deutschen Ausgabe
15
Teil I
Theorie
Kapitel 1
Die Wellenfunktion
21
1.1
Die Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.2
Die statistische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.3
Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.3.1
Diskrete Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.3.2
Kontinuierliche Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.4
Normierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.5
Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.6
Die Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Kapitel 2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
47
2.1
Stationäre Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.2
Der unendlich tiefe Potentialtopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.3
Der harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
2.3.1
Die algebraische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.3.2
Die analytische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
2.4
Das freie Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.5
Das Delta-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
2.5.1
Gebundene Zustände und Streustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
2.5.2
Das Deltafunktionspotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
2.6
Der endlich tiefe Potentialtopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
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INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 3
Formalismus
121
3.1
Der Hilbert-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.2
Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.3
3.2.1
Hermitesche Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.2.2
Determinierte Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3.1
Diskrete Spektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.3.2
Kontinuierliche Spektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.4
Die verallgemeinerte statistische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.5
Die Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.6
3.5.1
Beweis der verallgemeinerten Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.5.2
Das Wellenpaket mit minimaler Unschärfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.5.3
Die Unschärferelation für Zeit und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Die Dirac-Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Kapitel 4
4.1
4.2
4.3
4.4
Quantenmechanik in drei Dimensionen
163
Die Schrödinger-Gleichung in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.1.1
Variablenseparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.1.2
Die Winkelgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.1.3
Die Radialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Das Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.2.1
Die radiale Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.2.2
Das Wasserstoffspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Der Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.3.1
Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.3.2
Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Der Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.4.1
Spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.4.2
Das Elektron im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.4.3
Addition von Drehimpulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
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Inhaltsverzeichnis
Kapitel 5
5.1
5.2
5.3
5.4
Identische Teilchen
Zwei-Teilchen-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.1.1
Bosonen und Fermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.1.2
Austauschkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Atome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.2.1
Helium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.2.2
Das Periodensystem der Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5.3.1
Das Freie-Elektronen-Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.3.2
Die Bandstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Statistische Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.4.1
Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.4.2
Der allgemeine Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
5.4.3
Die wahrscheinlichste Konfiguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
5.4.4
Die physikalische Bedeutung von α und β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
5.4.5
Das Spektrum eines Schwarzen Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Teil II
Anwendungen
Kapitel 6
Zeitunabhängige Störungstheorie
6.1
6.2
6.3
233
285
Nicht entartete Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.1.1
Allgemeine Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.1.2
Theorie erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.1.3
Energien zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Entartete Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
6.2.1
Zweifache Entartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
6.2.2
Entartung höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Die Feinstruktur von Wasserstoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
6.3.1
Die relativistische Korrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
6.3.2
Spin-Bahn-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
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INHALTSVERZEICHNIS
6.4
6.5
Der Zeeman-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
6.4.1
Der Zeeman-Effekt für schwache Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
6.4.2
Der Zeeman-Effekt für starke Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
6.4.3
Der Zeeman-Effekt für mittlere Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Die Hyperfeinaufspaltung in Wasserstoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Kapitel 7
Das Variationsprinzip
331
7.1
Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
7.2
Der Grundzustand von Helium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
7.3
Das Wasserstoffmolekülion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
Kapitel 8
Die WKB-Näherung
355
8.1
Der „klassische“ Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
8.2
Tunneln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
8.3
Die Verbindungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
Kapitel 9
9.1
9.2
9.3
Zeitabhängige Störungstheorie
381
Zweiniveausysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
9.1.1
Das gestörte System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
9.1.2
Zeitabhängige Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
9.1.3
Sinusförmige Störungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
Emission und Absorption von Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
9.2.1
Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
9.2.2
Absorption, stimulierte Emission und spontane Emission . . . . . . . 392
9.2.3
Inkohärente Störungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
Spontane Emission. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
9.3.1
Die Einstein’schen Koeffizienten A und B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
9.3.2
Die Lebensdauer eines angeregten Zustands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
9.3.3
Auswahlregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
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Inhaltsverzeichnis
Kapitel 10
10.1
Die adiabatische Näherung
411
Der Adiabatensatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
10.1.1 Adiabatische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
10.1.2 Beweis des Adiabatensatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
10.2
Die Berry-Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
10.2.1 Nichtholonome Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
10.2.2 Die geometrische Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
10.2.3 Der Aharonov-Bohm-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
Kapitel 11
11.1
Streuung
439
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
11.1.1 Klassische Streutheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
11.1.2 Quanten-Streutheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
11.2
Die Partialwellenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
11.2.1 Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
11.2.2 Strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
11.3
Phasenverschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
11.4
Die Born’sche Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
11.4.1 Integralform der Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
11.4.2 Die erste Born’sche Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
11.4.3 Die Born’sche Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
Kapitel 12
Nachwort
467
12.1
Das EPR-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
12.2
Die Bell’sche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
12.3
Das No-Cloning-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
12.4
Schrödingers Katze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
12.5
Der Quanten-Zeno-Effekt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
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INHALTSVERZEICHNIS
Anhang A
Lineare Algebra
483
A.1
Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
A.2
Innere Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
A.3
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
A.4
Wechsel der Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
A.5
Eigenvektoren und Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
A.6
Hermitesche Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
Index
509
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 11 — le-tex
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Vorwort
Anders als die Newton’sche Mechanik, die Maxwell’sche Elektrodynamik oder die
Einstein’sche Relativitätstheorie wurde die Quantenmechanik nicht von einem einzelnen Menschen geschaffen (oder auch nur in eine endgültige Form gebracht), und
bis heute trägt sie ein paar Narben aus ihrer ebenso rauschhaften wie traumatischen
Jugendzeit. Noch immer gibt es keinen allgemeinen Konsens darüber, was eigentlich
ihre Grundlagen sind, wie man sie lehren sollte oder was sie eigentlich „bedeutet“.
Jeder sachkundige Physiker kann Quantenmechanik „betreiben“, aber wenn wir uns
dann davon erzählen, was wir da eigentlich treiben, hört es sich so bunt und vielfältig an wie bei Scheherazade (und fast genauso märchenhaft). Niels Bohr sagte,
„Denn wenn man nicht zunächst über die Quantentheorie entsetzt ist, kann man sie
doch unmöglich verstanden haben“, und Richard Feynman meinte: „Ich glaube mit
Sicherheit sagen zu können, dass niemand die Quantenmechanik versteht.“
Dieses Buch soll Ihnen zeigen, wie man Quantenmechanik betreibt. Von einigen
wichtigen Hintergrundbemerkungen im Kapitel 1 abgesehen, werden die tiefer schürfenden quasi-philosophischen Fragen erst ganz am Schluss behandelt. Ich glaube
nämlich nicht, dass man vernünftig darüber diskutieren kann, was die Quantenmechank bedeutet, bevor man nicht eine klare Vorstellung davon hat, was sie eigentlich
macht. Doch wenn Sie es absolut nicht abwarten können, dann lesen Sie halt nach
Kapitel 1 gleich das Nachwort (Kapitel 12).
Die Quantenmechanik bietet nicht nur eine Fülle von Konzepten, sondern ist auch
noch technisch schwierig, und exakte Lösungen außer zu höchst künstlichen Lehrbuchbeispielen sind äußerst dünn gesät. Es kommt daher ganz wesentlich darauf
an, spezielle Verfahren für die Behandlung von realistischeren Problemen zu entwickeln. Dementsprechend ist dieses Buch in zwei Teilen aufgebaut.1 Teil I behandelt
die Grundlagen der Theorie, Teil II führt eine Sammlung von Näherungsverfahren
mitsamt erhellenden Beispielen ein. Obwohl es wichtig ist, die beiden Teile logisch
zu trennen, ist es nicht nötig, den Stoff in der hier gewählten Reihenfolge zu behandeln. Einige Dozenten könnten beispielsweise die zeitunabhängige Störungstheorie
unmittelbar nach Kapitel 2 durchnehmen wollen.
Diese Buch ist gedacht für ein- oder zweisemestrige Kurse auf Anfänger- oder Fortgeschrittenenniveau. Der einsemestrige Kurs wird sich im Wesentlichen auf Teil I
beschränken müssen; bei einem einjährigen Kurs sollte genug Zeit bleiben, auch
noch Material über Teil II hinaus zu behandeln. Der Leser muss mit den Grundzügen
der linearen Algebra vertraut sein (wie sie im Anhang zusammengefasst werden), ferner mit komplexen Zahlen sowie der Analysis bis hin zu den partiellen Ableitungen;
außerdem könnten Kenntnisse der Fourier-Analyse und der Dirac’schen Deltafunktion weiterhelfen. Die elementare klassische Physik ist natürlich eine wichtige Voraussetzung, streckenweise dürfte auch ein wenig Elektrodynamik von Nutzen sein.
Wie immer gilt: Je mehr Physik und Mathematik Sie beherrschen, umso leichter wird
1 Dieser Aufbau wurde angeregt durch David Parks klassisches Lehrbuch Introduction to the
Quantum Theory, 3. Aufl., McGraw-Hill, New York (1992).
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 12 — le-tex
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Vorwort
es, und umso mehr werden Sie von Ihren Bemühungen haben. Aber ich möchte betonen, dass die Quantenmechanik meiner Einschätzung nach nicht zwangsläufig und
problemlos aus vorherigen Theorien folgt. Im Gegenteil, sie kehrt sich abrupt von
den klassischen Ideen ab und eröffnet einen revolutionär neuen, der Intuition radikal widersprechenden Weg zum Nachdenken über die Welt. Aber genau das macht
sie ja zu einem solch faszinierenden Thema.
Auf den ersten Blick wird Ihnen mein Buch geradezu verboten mathematisch erscheinen. Wir begegnen Legendre-, Hermite- und Laguerre-Polynomen, Kugelflächenfunktionen, Bessel-, Neumann- und Hankel-Funktionen, Airy-Funktionen, HilbertRäumen, Clebsch-Gordan-Koeffizienten und Lagrange-Multiplikatoren. Ist all dieses
Gerümpel wirklich notwendig? Nun, vielleicht geht es auch ohne, aber in dieser
Hinsicht ist die Physik wie eine Schreinerei: Mit dem richtigen Werkzeug wird die
Arbeit leichter, nicht schwieriger; Quantenmechanik zu lehren, ohne die passende
mathematische Ausrüstung zu vermitteln, wäre eine ähnliche Zumutung wie die
Studenten aufzufordern, ein Fundament mit einem Schraubenzieher auszuheben.
(Natürlich kann es lästig sein und vom Wesentlichen ablenken, wenn der Dozent
sich verpflichtet sieht, erst einmal ausgefeilte Lektionen zum richtigen Gebrauch der
einzelnen Werkzeuge zu erteilen. Mein Bauchgefühlt sagt mir, dass man den Studenten Schaufeln in die Hand drücken und sie anfangen lassen soll zu graben. Vielleicht bekommen sie am Anfang ein paar Blasen, aber das halte ich für den besten
und anregendsten Weg, die Sache zu vermitteln.) Auf jeden Fall kann ich Ihnen versichern, dass das Buch keine tiefschürfende Mathematik enthält; und wenn Sie auf
etwas komplett Fremdartiges stoßen und Ihnen meine Erläuterungen dazu nicht ausreichen, dann fragen Sie halt jemanden oder schlagen Sie nach. Es gibt eine ganze
Menge von richtig guten Büchern zu den mathematischen Methoden – ich empfehle
ganz besonders Mary Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, 2. Aufl.,
Wiley, New York (1983) oder George Arfken und Hans-Jurgen Weber, Mathematical
Methods for Physicists, 5. Aufl., Academic Press, Orlando (2000).2 Aber egal was Sie
tun: Für uns ist die Mathematik nur ein Werkzeug – lassen Sie sich nicht die Physik
dadurch verderben.
Einige Leser haben bemängelt, dass in diesem Buch weniger durchgearbeitete Beispiele enthalten sind als üblich und dass wichtiger Stoff immer mal wieder in die
Übungen verlagert wird. Das ist kein Zufall. Ich glaube nicht, dass man Quantenmechanik lernen kann, ohne viele Übungsaufgaben selbst durchzurechnen. Natürlich
sollte ein Dozent so viele Probleme durchnehmen, wie die Zeit erlaubt, doch die Studenten sollten gewahr sein, dass man sich in der Quantenmechanik kaum einmal auf
sein natürliches Gespür verlassen kann – nur durch eifriges Trainieren können Sie
die erforderlichen Muskeln aufbauen, und ich biete Ihnen hier sozusagen die geistige
Muckibude. Mark Semon hat vorgeschlagen, einen „Guide Michelin“ für die Aufgaben zu entwickeln, bei dem die Anzahl der Sterne die Schwierigkeit und Bedeutung
angeben soll. Das schien mir eine gute Idee (obwohl die Bewertung natürlich, wie
bei den Restaurants auch, oft Geschmackssache ist); ich habe folgendes Bewertungsschema verwendet:
2 Leider sind beide Bücher nicht auf Deutsch erschienen. Ein empfehlenswertes Buch ist Hans
Kerner, Wolf von Wahl, Mathematik für Physiker, Springer, Berlin (2007)
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 13 — le-tex
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Vorwort
∗
eine wichtige Aufgabe, die jeder Leser durchrechnen sollte;
∗∗
eine etwas schwierigere oder eine eher randständige Aufgabe;
∗∗∗
eine ungewöhnlich anspruchsvolle Aufgabe, die mehr als eine Stunde dauern
kann.
(Überhaupt kein Stern bedeutet „Fastfood“ – es ist ok, wenn man Hunger hat, aber
sehr nahrhaft ist es nicht.) Die meisten der Ein-Sterne-Aufgaben kommen zum
Schluss des betreffenden Abschnitts, die meisten Drei-Sterne-Aufgaben stehen am
Ende eines Kapitels.
Bei der Vorbereitung dieser zweiten Auflage habe ich versucht, so viel vom Geist der
ersten zu erhalten wie möglich. Die einzige größere Änderung betrifft Kapitel 3, das
viel zu lang und zu wenig zielorientiert war. Ich habe es komplett neu geschrieben
und dabei den Hintergrund zu endlich-dimensionalen Vektorräumen (ein Thema,
mit dem die meisten Studenten auf diesem Niveau ohnehin schon vertraut sind) in
den Anhang gesteckt. In Kapitel 2 habe ich einige Beispiele ergänzt (und die ungeschickte Definition der Auf- und Absteigeoperatoren für den harmonischen Oszillator verbessert). In den späteren Kapiteln habe ich so wenig wie möglich verändert,
selbst die Nummerierung der Aufgaben und Gleichungen ist, wo möglich, erhalten geblieben. Die Behandlung ist an einigen Stellen geglättet worden (beispielsweise eine bessere Einführung des Drehimpulses in Kapitel 4, ein einfacherer Beweis
des Adiabatensatzes in Kapitel 10 und ein neuer Abschnitt zu den PartialwellenPhasenverschiebungen in Kapitel 11). Dass die zweite Auflage nun ein bisschen länger geworden ist als die erste, ließ sich nicht vermeiden, aber ich hoffe, dass sie nun
„sauberer“ und besser verständlich ist.
Vielen Kollegen, die das Ursprungsmanuskript gelesen habe, verdanke ich nützliche Ratschläge und Kommentare; sie haben Schwächen (oder Fehler) der ersten
Auflage benannt, Verbesserungen in der Gestaltung vorgeschlagen und mir interessante Aufgaben zur Verfügung gestellt. Insbesondere möchte ich folgenden Personen namentlich danken: P. K. Aravind (Worcester Polytech), Greg Benesh (Baylor),
David Boness (Seattle), Burt Brody (Bard), Ash Carter (Drew), Edward Chang (Massachusetts), Peter Collings (Swarthmore), Richard Crandall (Reed), Jeff Dunham (Middlebury), Greg Elliott (Puget Sound), John Essick (Reed), Gregg Franklin (Carnegie Mellon), Henry Greenside (Duke), Paul Haines (Dartmouth), J. R. Huddle (Navy), Larry
Hunter (Amherst), David Kaplan (Washington), Alex Kuzmich (Georgia Tech), Peter
Leung (Portland State), Tony Liss (Illinois), Jeffry Mallow (Chicago Loyola), James
McTavish (Liverpool), James Nearing (Miami), Johnny Powell (Reed), Krishna Rajagopal (MIT), Brian Raue (Florida International), Robert Reynolds (Reed), Keith Riles
(Michigan), Mark Semon (Bates), Herschel Snodgrass (Lewis and Clark), John Taylor
(Colorado), Stavros Theodorakis (Zypern), A. S. Tremsin (Berkeley), Dan Velleman
(Amherst), Nicholas Wheeler (Reed), Scott Willenbrock (Illinois), William Wootters
(Williams), Sam Wurzel (Brown) und Jens Zorn (Michigan).
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 14 — le-tex
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Vorwort zur deutschen Ausgabe
Die Quantenmechanik bricht in radikaler Weise mit fast allen intuitiven Vorstellungen, die sich Menschen von der Natur machen, und stellt in ihrem Bruch mit der
klassischen Physik eine der größten, wenn nicht die größte wissenschaftliche Revolution der Neuzeit dar. Es scheint aber nur so, als ob die Quantenmechanik für die
Alltagswelt ohne Belang sei: ein Großteil der uns umgebenden technischen Innovationen der letzten Jahrzehnte nutzt Quanteneffekte, seien es die Millionen von Transistoren in einem Computerchip, das Mobiltelefon oder der Flachbildschirm. Die
moderne Biologie lehrt uns, dass der Mensch auf mikroskopischer Ebene aus einer
Vielzahl kleiner „Nanomaschinen“ besteht, die den Gesetzen der Quantenmechanik
unterliegen. Ein Verständnis der Quantenmechanik ist daher nicht nur in der Physik, sondern zunehmend auch in weiten Bereichen der anderen Naturwissenschaften
und auch Ingenieurswissenschaften unerlässlich. Dabei gilt es, sich zunächst mit der
ungewohnten Denkweise der Quantenmechanik vertraut zu machen und gleichzeitig das mathematische Rüstzeug zu erwerben, die Gesetze der Quantenmechanik in
realen Situationen erfolgreich anzuwenden. Diese Aufgabe löst das endlich in deutscher Sprache vorliegende Standardwerk von David Griffiths, das sich vor allem an
den studentischen Hörerkreis wendet, wie er sich in einer ersten theorieorientierten
Vorlesung zur Quantenmechanik findet. In diesem Zusammenhang kann dieses Buch
auch als Grundlage einer einsemestrigen Vorlesung dienen; wegen der gründlichen
mathematischen Grundlegung und der sehr detaillierten Erklärungen eignet sich das
Werk auch zum Selbststudium und für Studenten angrenzender Fächer sehr gut.
Zum Buch
Inhalt
Im Kapitel 1 wird die wichtigste Gleichung der Quantenmechanik, die SchrödingerGleichung zusammen mit der Wahrscheinlichkeitsinterpretation eingeführt sowie
ein erster Ausblick auf den Operatorencharakter physikalischer Meßgrößen gegeben.
In Kapitel 2 wird der wichtige Spezialfall der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung behandelt. Für die Quantenmechanik zentrale Problemstellungen werden analytisch exakt gelöst, insbesondere der harmonische Oszillator, der die Grundlage
zahlloser quantenmechanischer Probleme darstellt.
Kapitel 3: In Kapitel 2 deutet sich bereits an, dass die Lösungsfunktionen der Schrödinger-Gleichung sowie die physikalischen Messgrößen eine besondere mathematische Struktur bilden. In diesem Kapitel wird der dazugehörige Formalismus sowie
die Theorie des Hilbert-Raums entwickelt.
In Kapitel 4 werden die zuvor in einer räumlichen Dimension angestellten Überlegungen auf drei Dimensionen verallgemeinert und als wichtigstes Problem das Was-
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 16 — le-tex
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Vorwort zur deutschen Ausgabe
serstoffatom betrachtet. Das Kapitel schließt mit einer Betrachtung von Bahndrehimpuls und Eigendrehimpuls (Spin).
Das letzte Kapitel des ersten Teils des Buches, Kapitel 5, betrachtet die Verallgemeinerung der Quantenmechanik von einem auf mehrere Teilchen. Während diese Verallgemeinerung in der klassischen Mechanik trivial ist, hat die quantenmechanische
Ununterscheidbarkeit von Teilchen tiefgreifende Konsequenzen, die zum Beispiel
die Stabilität der Materie bedingen.
Der zweite Teil des Buches erfüllt die im ersten Teil behandelten Grundlagen mit
zusätzlichem Leben, indem er verschiedene Näherungsmethoden vorstellt, die es
erlauben, eine große Zahl relevanter Probleme befriedigend zu lösen, die keiner exakten Lösung zugänglich sind.
Die grundlegendste Methode ist dabei die in Kapitel 6 vorgestellte zeitunabhängige
Störungsrechnung, die ein dem tatsächlichen Problem nahe verwandtes, exakt lösbares Problem voraussetzt.
Kapitel 7: Eine weitere Näherungsmethode besteht in sogenannten variationellen
Verfahren, bei denen allgemeine Annahmen über die zu erwartende quantenmechanische Wellenfunktionen gemacht werden und die Lösung der Schrödinger-Gleichung unter diesen „Randbedingungen“ gesucht wird.
Kapitel 8 behandelt die WKB-Näherung, bei der die oft erstaunlich gute Näherungsannahme gemacht wird, die Wellenfunktion sähe lokal wie eine einfache ebene Welle
aus.
In Kapitel 9 wird die zeitabhängige Verallgemeinerung der Störungsrechnung aus
Kapitel 6 diskutiert, die ihre wichtigste Anwendung für Strahlungsphänomene wie
Absorption und Emission findet.
Kapitel 10 betrachtet den Spezialfall, dass sich der Hamilton-Operator eines physikalischen Systems so langsam ändert, dass sich das System zu jedem Zeitpunkt in
einem Eigenzustand befindet. Unter besonderen Umständen kann daraus zwanglos
eine nichttriviale Phase der quantenmechanischen Wellenfunktion resultieren, die
erst 1984 entdeckt wurde (Berry-Phase).
Kapitel 11 befasst sich mit der Streuung quantenmechanischer Teilchen an einem
Potential. Streuphänomene sind in der Quantenmechanik von hoher Relevanz, da
sie insbesondere in der Teilchenphysik den wesentlichen experimentellen Zugang
darstellen.
Im Nachwort (Kapitel 12) wird abschließend die brennende Frage nach der konzeptionellen Interpretation, der „Bedeutung“ der Quantenmechanik aufgeworfen, die
bis heute keine abschließende Antwort gefunden hat – was für den Praktiker kein
Problem darstellt, da alle Interpretationen hinsichtlich der Rechenergebnisse einig
sind. Allerdings zeigen uns einige Theoreme und Experimente aus den letzten Jahrzehnten, welchen Randbedingungen eine abschließende Interpretation der Quantenmechanik auf jeden Fall genügen müssen wird.
Der Anhang schließlich erinnert an wesentliche Resultate der linearen Algebra, die
für ein Verständnis der mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik unerlässlich sind.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 17 — le-tex
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Vorwort zur deutschen Ausgabe
Handhabung des Buches und der CWS
Dozent Vom Umfang her ist der Stoff des Buches im Wesentlichen in einer einsemestrigen (Theorie-)Vorlesung zur Quantenmechanik zu behandeln, wobei sich
je nach Vorkenntnissen der Studenten und dem Curriculum gewisse Auslassungsmöglichkeiten ergeben (etwa bei Behandlung der Theorie des Hilbert-Raumes in
einer anderen Vorlesung oder bei den fortgeschritteneren Anwendungen des zweiten
Teils).
Student Jedes Kapitel besteht aus einem Wechsel von mathematisch-physikalischer
Entwicklung, illustrierenden, vollständig ausgearbeiteten Beispielen sowie dazu passend ausgewählten Aufgaben. Wie immer, stellt sich das eigentliche Verständnis erst
in den Beispielen und bei selbständiger Behandlung der Aufgaben ein. Jedes Kapitel
umfasst am Ende noch eine reiche Auswahl weiterer Aufgaben, die zum Beispiel eine Lösungssehr effiziente Klausurvorbereitung darstellen. Es lohnt sich, die Detailerklärungen hinweise
des Autors auch dann gründlich nachzuvollziehen, wenn sie im Moment überflüssig
erscheinen: in der Regel beseitigen sie ein potentielles Missverständnis einige Seiten
später! Die Lösungen zu den Aufgaben stehen nach einer kurzen Registrierung auf
der Website des Buches zum Herunterladen bereit.
München
Ulrich Schollwöck
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 18 — le-tex
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 19 — le-tex
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TEIL I
Theorie
I
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Die Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung . . . . . . .
47
3
Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
4
Quantenmechanik in drei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . .
163
5
Identische Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
233
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Die Wellenfunktion
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1.2 Die statistische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.3 Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.4 Normierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.5 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.6 Die Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
1
ÜBERBLICK
1.1 Die Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
Die Wellenfunktion
1.1
Die Schrödinger-Gleichung
Stellen Sie sich ein Teilchen der Masse m vor, dessen Bewegung auf die x-Achse
beschränkt ist und auf das eine Kraft F (x‚ t) wirkt (Abbildung 1.1). Die klassische
Mechanik geht daran, den Ort des Teilchens zu jeder gegebenen Zeit, also x (t) zu
bestimmen. Sobald wir den Ort wissen, können wir daraus die Geschwindigkeit
bestimmen (v = dx / dt), den Impuls (p = mv), die kinetische Energie (T = (1/2)mv 2 )
oder beliebige andere Variable von Interesse. Und wie bestimmen wir nun x (t)? Wir
wenden das zweite Newton’sche Axiom an: F = ma. (Für konservative Systeme –
die einzigen, die wir hier betrachten, und zum Glück die einzigen, die auf mikroskopischen Niveau auftreten – lässt sich die Kraft als Ableitung der potentiellen
Energiefunktion ausdrücken,1 und das zweite Newton’sche Axiom nimmt die Form
m d2 x / dt2 = −∂ V /∂ x an. Damit sowie mit passenden Anfangsbedingungen (typischerweise der Ort und die Geschwindigkeit für t = 0) lässt sich x (t) bestimmen.)
Die Quantenmechanik geht dasselbe Problem ganz anders an. In diesem Fall suchen
wir die Wellenfunktion Ψ (x‚ t) des Teilchens, die wir durch Lösung der SchrödingerGleichung erhalten:
ih̄
∂Ψ
h̄2 ∂ 2 Ψ
=−
+ VΨ .
∂t
2m ∂ x 2
(1.1)
Darin ist i die Wurzel aus −1, und h̄ ist das Planck’sche Wirkungsquantum (bzw. die
eigentlich von Planck eingeführte Konstante h, geteilt durch 2π):
h̄ =
h
= 1‚054572 · 10−34 Js
2π
(1.2)
Die Schrödinger-Gleichung spielt in der Quantenmechanik logisch dieselbe Rolle
wie das zweite Newton’sche Axiom in der klassischen Mechanik: Mit passenden
Anfangsbedingungen (typischerweise Ψ (x‚ 0)) bestimmt die Schrödinger-Gleichung
Ψ (x‚ t) für alle zukünftigen Zeiten, genau wie in der klassischen Mechanik das zweite
Newton’sche Axiom x (t) für alle künftigen Zeiten bestimmt.2
m
F(x,t)
x(t)
x
Abbildung 1.1: Ein „Teilchen“, das unter dem Einfluss einer bestimmten Kraft auf eine eindimensionale Bewegung
beschränkt ist.
1 Magnetische Kräfte sind eine Ausnahme, aber das muss uns jetzt noch nicht kümmern. Im
übrigen nehmen wir im gesamten Buch nur nichtrelativistische Geschwindigkeiten an (d. h.
v c).
2 Ein ganz reizender Bericht aus erster Hand über die Ursprünge der Schrödinger-Gleichung
stammt von dem späteren Nobelpreisträger Felix Bloch, der schon 1927 seine Diplomarbeit
zur Schrödinger-Gleichung verfasst hat. Der Bericht ist abgedruckt in Physics Today vom
Dezember 1976 und in jeder Hochschulbibliothek zu finden.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 23 — le-tex
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1.2 Die statistische Interpretation
1.2
Die statistische Interpretation
Aber was genau ist denn diese „Wellenfunktion“, und was tut sie für uns, wenn wir
sie erst einmal gefunden haben? Schließlich ist ein Teilchen seiner Natur nach an
einem bestimmten Punkt lokalisiert, wogegen die Wellenfunktion (der Name deutet
es an) sich im Raum ausbreitet (sie ist eine Funktion von x für eine bestimmte Zeit t).
Wie kann man von solch einem Objekt behaupten, dass es den Zustand eines Teilchens beschreibt? Die Antwort gibt Max Born mit seiner statistischen Interpretation
der Wellenfunktion, nach der |Ψ (x‚ t)|2 die Wahrscheinlichkeit angibt, das Teilchen
zur Zeit t am Ort x zu finden, oder genauer3
b
a
|Ψ (x‚ t)|2 dx =
Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t
zwischen a und b zu finden.
(1.3)
Die Wahrscheinlichkeit ist die Fläche unter dem Graphen von |Ψ |2 . Bei der Wellenfunktion in Abbildung 1.2 würde man also das Teilchen mit recht hoher Wahrscheinlichkeit in der Nähe des Punkts A finden, wo |Ψ |2 groß ist, und mit relativ geringer
Wahrscheinlichkeit in der Nähe des Punktes B.
Die statistische Interpretation bringt eine gewisse Unbestimmtheit in die Quantenmechanik, denn selbst wenn man alles über das Teilchen weiß, was die Theorie zu
sagen hat (d. h. die Wellenfunktion kennt), kann man nicht mit Bestimmtheit sagen,
wie ein einfaches Experiment zur Messung des Teilchenorts ausgeht: Die gesamte
Quantenmechanik liefert nur statistische Aussagen über mögliche Ergebnisse. Diese
Unbestimmtheit hat Physiker und Philosophen gleichermaßen verstört. Handelt es
sich hier um eine Eigenheit der Natur, einen Mangel der Theorie, einen Fehler in der
Messapparatur oder was sonst?
Nehmen wir nun an, dass sich der Ort des Teilchens wirklich messen lässt und dass
wir es an Punkt C finden.4 Frage: Wo war das Teilchen unmittelbar vor der Messung? Es gibt drei plausible Antworten auf diese Frage, und mit ihnen kann man die
Hauptdenkrichtungen der Quanten-Unbestimmtheit charakterisieren:
1. Die realistische Position: Das Teilchen war am Punkt C. Das hört sich wie eine
sinnvolle Antwort an, und diese Antwort gab auch Einstein. Wenn diese Antwort
jedoch wirklich wahr ist, dann muss die Quantenmechanik eine unvollständige Theorie sein, denn das Teilchen war dann ja wirklich an Punkt C, aber die Quantenmechanik konnte das nicht mit Bestimmtheit sagen. Für einen Realisten ist also die
Unbestimmtheit keine Eigenschaft der Natur, sondern nur der Widerschein unserer
Unwissenheit. D’Espagnat drückte es so aus: „Der Ort des Teilchens war niemals
unbestimmt, er war dem Experimentator nur unbekannt.“5 Anmerkung: Offensicht3 Die Wellenfunktion selbst ist komplex, aber |Ψ |2 = Ψ ∗ Ψ (dabei ist Ψ ∗ das KonjugiertKomplexe von Ψ ) ist reell und nichtnegativ – also genau das, was man von einer Wahrscheinlichkeit erwartet.
4 Natürlich ist kein Messinstrument vollständig genau; ich will damit nur sagen, dass das
Teilchen in der Nähe von C war, jedenfalls innerhalb der Messungenauigkeit der Apparatur.
5 Bernard d’Espagnat, „The Quantum Theory and Reality“ (Scientific American, November
1979, S. 165); dt. in Spektrum der Wissenschaft, Januar 1980, S. 69.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 24 — le-tex
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1
Die Wellenfunktion
||2
a
b A
B
C
x
Abbildung 1.2: Eine typische Wellenfunktion. Das schattierte Gebiet stellt die Wahrscheinlichkeit dar, das Teilchen
zwischen a und b zu finden. Man findet das Teilchen mit relativ hoher Wahrscheinlichkeit in der Nähe von A, aber
eher unwahrscheinlich in der Nähe von B.
lich zeigt Ψ nicht alle Aspekte, für eine vollständige Beschreibung des Teilchens
benötigt man zusätzliche Informationen (sogenannte verborgene Variablen).
2. Die orthodoxe Position: Das Teilchen war in Wirklichkeit nirgendwo. Erst durch
die Messung wurde das Teilchen gezwungen, „Stellung zu beziehen“ (wenn wir auch
lieber nicht fragen, wie und warum es sich für den Ort C entschied). Jordan drückte
es wohl am krassesten aus: „Beobachtungen stören nicht nur das, was gemessen werden soll, sie stellen es erst her. . . . Wir zwingen [das Teilchen], einen bestimmten
Ort einzunehmen.“6 Diese Ansicht, die sogenannte Kopenhagener Interpretation,
wurde vor allem von Niels Bohr und seinen Anhängern vertreten. Unter Physikern
war sie stets die am meisten verbreitete Ansicht. Anmerkung: Wenn diese Ansicht
richtig ist, dann hat es mit der Messung doch etwas sehr Eigentümliches auf sich,
das sich auch nach Jahrzehnten der Debatte immer noch nicht klären ließ.
3. Die agnostische Position: Es gibt keine Antwort. Diese Haltung ist gar nicht so
dumm, wie sie klingt: Welchen Sinn soll es haben, Aussagen über den Zustand eines
Teilchens vor einer Messung zu machen, wenn die einzige Möglichkeit der Überprüfung dieser Aussagen genau darin besteht, eine Messung durchzuführen – und man
in diesem Fall ein Ergebnis zu etwas erhält, das sicher nicht im Zustand „vor einer
Messung“ ist. Es ist Metaphysik (im abschätzigen Sinn dieses Worts), sich um etwas
zu kümmern, das von seinem Wesen her nicht überprüft werden kann. Pauli sagte:
„Man sollte sich über die Frage, ob etwas existiert, von dem man gar nicht wissen
kann, ob es überhaupt existiert, nicht mehr den Kopf zerbrechen als über das scholastische Problem, wie viele Engel auf einer Nadelspitze Platz haben.“7 Jahrzehntelang
war dies die „Rückzugslinie“ der meisten Physiker: Zuerst versuchten sie, einem die
Antwort 2 aufzuschwatzen, aber wenn man dann hartleibig blieb, wechselten sie zur
Antwort 3 und beendeten das Gespräch.
Bis vor noch gar nicht allzu langer Zeit hatten alle drei Positionen (die realistische,
die orthodoxe und die agnostische) ihre Anhänger. Doch 1964 verblüffte John Bell
die physikalische Welt, indem er zeigte, dass es einen beobachtbaren Unterschied
macht, ob ein Teilchen vor der Messung einen bestimmten (wenn auch nicht bekannten) Ort einnimmt. Damit schloss Bell den Agnostizismus als eine gangbare Option
6 So zitiert in einem hübschen Artikel von N. David Mermin „Is the Moon there when nobody
looks?“ (Physics Today, April 1985, S. 38)
7 Zitiert von Mermin (vgl. vorige Fußnote), S. 40
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 25 — le-tex
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1.2 Die statistische Interpretation
||2
C
x
Abbildung 1.3: Kollaps der Wellenfunktion: der Graph von |Ψ |2 unmittelbar nach einer Messung, mit der man den
Ort des Teilchens bei C bestimmt hat.
aus und machte es zu einer experimentell zu beantwortenden Angelegenheit, ob
Position 1 oder Position 2 korrekt sind. Ich werde am Ende dieses Buches auf diese
Frage zurückkommen, wenn Sie das Rüstzeug haben, das Bell’sche Theorem besser
zu würdigen. Vorerst soll es genügen zu sagen, dass die Experimente ganz entschieden die orthodoxe Interpretation stützen:8 Ein Teilchen hat eben einfach vor einer
Messung keinen bestimmten Ort, so wie auch die Wellen auf einem Teich. Erst die
Messung selbst besteht auf einem bestimmten Wert und schafft damit in gewisser
Weise erst das Ergebnis, das nur durch die statistische Gewichtung entsprechend
der Wellenfunktion eingeschränkt wird.
Aber was passiert, wenn man eine zweite Messung durchführt, sofort nach der ersten? Erhält man dann wieder den Ort C, oder rückt die Messung jedes Mal einen komplett neuen Wert heraus? Bei dieser Frage herrscht allseits völlige Übereinstimmung:
Eine wiederholte Messung (am selben Teilchen) muss zum selben Ergebnis führen. Es
wäre freilich ziemlich schwierig zu beweisen, dass das Teilchen im ersten Durchgang
wirklich am Ort C gefunden wurde, wenn sich das nicht durch eine weitere Messung unmittelbar danach bestätigen ließe. Was sagt dann die orthodoxe Interpretation
dazu, dass die zweite Messung nicht umhin kommt, ebenfalls den Wert C zu erbringen? Offensichtlich verändert die erste Messung die Wellenfunktion radikal, so dass
sie jetzt eine scharfe Spitze bei C hat (Abbildung 1.3). Man spricht von einem Kollaps
der Wellenfunktion, die durch die Messung bei C ihren Höchststand erreicht. (Allerdings verschmiert sie in Übereinstimmung mit der Schrödinger-Gleichung schnell
wieder, die zweite Messung muss also sehr rasch durchgeführt werden.) Es gibt demnach also zwei völlig verschiedene Arten von physikalischen Vorgängen: „gewöhnliche“ Prozesse, in denen sich die Wellenfunktion entsprechend der SchrödingerGleichung gemächlich ändert, und „Messungen“, bei denen Ψ plötzlich und unstetig
zusammenbricht.9
8 Ok, diese Aussage ist ein wenig zu stark; es bleiben immer noch einige theoretische und
experimentelle Fallstricke, die ich im Nachwort ansprechen werde. Und es gibt brauchbare Theorien mit verborgenen Variablen (insbesondere die von David Bohm) sowie andere
Formulierungen (etwa die Viele-Welten-Interpretation), die zu keiner der drei Antworten
in meinem kleinen Schema passen. Aber ich halte es für besser – zumindest von einem
pädagogischen Standpunkt aus –, zunächst einmal eine klare, verlässliche Grundlage zu
schaffen und sich erst danach um weitere Alternativen zu kümmern.
9 Die Rolle der Messung in der Quantenmechanik ist so kritisch und so bizarr, dass Sie
sich fragen könnten, was genau eine Messung eigentlich ausmacht. Hat sie etwas zu tun
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 26 — le-tex
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1
Die Wellenfunktion
1.3
Wahrscheinlichkeiten
1.3.1 Diskrete Variable
Wegen der statistischen Interpretation spielen Wahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik eine ganz zentrale Rolle. Ich schweife daher für eine kurze Diskussion der
Wahrscheinlichkeitstheorie ab. Im Wesentlichen handelt es sich darum, Schreibweisen und Begriffe einzuführen; ich werde das im Zusammenhang mit einem einfachen
Beispiel tun.
Stellen Sie sich einen Raum vor, in dem sich vierzehn Personen unterschiedlichen
Alters befinden:
eine Person mit 14 Jahren
eine Person mit 15 Jahren
drei Personen mit 16 Jahren
zwei Personen mit 22 Jahren
zwei Personen mit 24 Jahren
fünf Personen mit 25 Jahren.
Wenn wir mit N (j ) die Anzahl der Personen bezeichnen, die j Jahre alt sind, dann
haben wir
N (14) = 1
N (15) = 1
N (16) = 3
N (22) = 2
N (24) = 2
N (25) = 5 .
Dagegen ist beispielsweise N (17) = 0. Die Gesamtzahl der Personen im Raum ist
N=
∞
N (j ) .
(1.4)
j=0
(Im Beispiel gilt natürlich N = 14). Abbildung 1.4 zeigt ein Histogramm dieser Werte.
Es folgen nun einige Fragen, die man sich zur Altersverteilung stellen könnte.
Frage 1: Wählen Sie zufällig eine Person aus der Gruppe aus. Wie groß ist dann die
Wahrscheinlichkeit, dass diese Person gerade 15 Jahre alt ist?
mit der Wechselwirkung eines mikroskopischen (Quanten-)Systems mit einem makroskopischen (d. h. klassischen) Apparat, so wie Bohr es betonte; oder ist eine Messung eher
dadurch charakterisiert, dass sie einen permanenten „Nachweis“ hinterlässt (so behauptete
es Heisenberg); oder erfordert sie die Beteiligung eines bewussten „Beobachters“ (das war
die Ansicht von Wigner)? Ich werde diese heikle Frage im Nachwort wieder aufgreifen. Für’s
Erste einigen wir uns auf einen ganz naiven Zugang: Eine Messung ist irgendetwas, das ein
Wissenschaftler im Labor mithilfe von Längenmaßstäben, Stoppuhren, Geiger-Zählern usw.
vornimmt.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 27 — le-tex
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1.3 Wahrscheinlichkeiten
N(j)
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
j
Abbildung 1.4: Ein Histogramm, das die Anzahl N (j ) der Personen mit dem Alter j für die Verteilung in Abschnitt 1.3.1 angibt.
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit ist 1 : 14, denn es gibt 14 verschiedene Möglichkeiten, eine Person auszuwählen, und nur eine von ihnen hat gerade das gewünschte
Alter. Wenn wir mit P (j ) die Wahrscheinlichkeit bezeichnen, das Alter j zu wählen,
dann ist P (14) = 1/14, P (15) = 1/14, P (16) = 3/14 usw. Im Allgemeinen gilt
P (j ) =
N (j )
.
N
(1.5)
Beachten Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, entweder einen 14- oder einen 15-Jährigen auszuwählen, sich als die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ergibt (in diesem Fall 1/7). Insbesondere ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich 1 –
man kann sicher sein, dass man immer jemanden mit irgendeinem Alter auswählt:
∞
P (j ) = 1 .
(1.6)
j=0
Frage 2: Was ist das wahrscheinlichste Alter?
Antwort: Offenbar ist das 25, denn in der Stichprobe sind fünf Personen mit diesem
Alter, jedes andere Alter ist höchstens dreimal vertreten. Im Allgemeinen ist das
wahrscheinlichste j gerade das, bei dem P (j ) maximal wird.
Frage 3: Welches ist der Medianwert des Alters, also der mittlere Wert in dem Sinne,
dass genauso viele Werte oberhalb wie unterhalb liegen?
Antwort: Der Median ist 23, denn 7 Personen sind jünger als 23 Jahre, 7 Personen
sind älter. Im Allgemeinen ist der Median gerade der Wert von j, bei dem die Wahrscheinlichkeit für ein größeres Ergebnis genauso hoch ist wie für ein niedrigeres
Ergebnis.
Frage 4: Was ist das mittlere Alter (oder Durchschnittsalter)?
Antwort:
(14) + (15) + 3(16) + 2(22) + 2(24) + 5(25)
14
=
294
= 21 .
14
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 28 — le-tex
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Die Wellenfunktion
Im Allgemeinen ist der Mittelwert von j (wir werden dafür die Schreibweise j verwenden)
j =
∞
jN (j ) jP (j ) .
=
N
(1.7)
j=0
Beachten Sie, dass niemand in der Stichprobe tatsächlich das Medianalter oder das
Durchschnittsalter haben muss – in diesem Beispiel gibt es niemanden, der 21 oder
23 Jahre alt ist. In der Quantenmechanik interessiert man sich gewöhnlich für den
Mittelwert; im diesem Kontext hat sich der Begriff Erwartungswert gebildet. Dieser Begriff führt ein wenig in die Irre, denn man könnte glauben, dass es sich um
das wahrscheinlichste Ergebnis handelt, wenn man eine einzige Messung durchführt
(das wäre dann jedoch der wahrscheinlichste Wert, nicht der Mittelwert) – aber der
Begriff ist etabliert, ich fürchte, wir werden mit ihm klarkommen müssen.
Frage 5: Was ist der Mittelwert der Quadrate der Altersangaben?
Antwort: Rechnen Sie nach – Sie erhalten 142 = 196 mit der Wahrscheinlichkeit
1/14 oder 152 = 225 mit der Wahrscheinlichkeit 1/14 oder 162 = 256 mit der Wahrscheinlichkeit 3/14 usw. Der Mittelwert der Quadrate ist dann
j 2 =
∞
j 2 P (j ) .
(1.8)
j=0
Im Allgemeinen ist der Mittelwert einer Funktion von j gegeben durch
f (j ) =
∞
f (j )P (j ) .
(1.9)
j=0
(Die Gleichungen 1.6, 1.7 und 1.8 sind, wenn Sie so wollen, Spezialfälle dieses Ausdrucks.) Achtung: Der Mittelwert der Quadrate, also j 2 , ist im Allgemeinen nicht
gleich dem Quadrat des Mittelwerts, also j2 . Wenn, um in unserem Beispiel zu bleiben, der Raum zwei Kleinkinder im Alter von 1 und 3 Jahren enthielte, dann haben
wir j 2 = 5, aber j2 = 4.
Es gibt einen auffälligen Unterschied zwischen den beiden Histogrammen in Abbildung 1.5, obwohl die zugrundeliegenden Verteilungen denselben Median, denselben
Mittelwert, denselben wahrscheinlichsten Wert und dieselbe Anzahl an Elementen
aufweisen. Das erste Histogramm zeigt eine ausgeprägte steile Spitze dicht beim Mittelwert, das zweite ist breit und ausgedehnt. (Das erste könnte beispielsweise die
Altersverteilung in einer großstädtischen Gesamtschule zeigen, die zweite die Altersverteilung in einer Zwergschule auf dem Land.) Wir brauchen also einen Zahlenwert,
um anzugeben, wie weit die Verteilung bezüglich ihres Mittelwerts „verschmiert“
ist. Beim naheliegendsten Verfahren bestimmt man einfach, wie weit die einzelnen
Werte vom Mittelwert abweichen, bildet also
j = j − j
(1.10)
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j
j
j
j
j
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 29 — le-tex
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1.3 Wahrscheinlichkeiten
N(j)
N(j)
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
j
Abbildung 1.5: Zwei Histogramme einer Verteilung mit demselben Median, demselben Mittelwert und demselben
wahrscheinlichsten Wert, aber mit unterschiedlichen Standardabweichungen.
und berechnet dann den Mittelwert von j. Das Problem ist, dass man bei diesem
Vorgehen natürlich null erhält, denn aufgrund der Berechnung des Mittelwerts ist
j ebenso oft positiv wie negativ:
(j − j)P (j ) =
jP (j ) − j
P (j )
j =
= j − j = 0 .
(Beachten Sie, dass j konstant ist – der Wert ändert sich nicht, wenn man von
einem Element der Stichprobe zu einem anderen geht –, sodass man ihn aus der
Summe herausziehen kann.) Um dieses ärgerliche Problem zu lösen, könnten Sie
auf den Gedanken verfallen, den Absolutwert von j zu mitteln. Aber mit Beträgen
kann man nur ziemlich umständlich rechnen; wir werden das Vorzeichenproblem
stattdessen lösen, indem wir vor der Mittelwertbildung quadrieren:
σ 2 ≡ (j )2 .
(1.11)
Man nennt diese Größe σ 2 die Varianz der Verteilung; σ selbst (also die Quadratwurzel aus dem Mittelwert des Quadrats von der Abweichung zum Mittelwert –
schluck!) ist die Standardabweichung. Sie ist das gängigste Maß für die Spannweite
der Verteilung bezüglich j.
Für die Varianzen gibt es einen nützlichen kleinen Satz:
σ 2 = (j )2 =
(j )2 P (j ) =
(j − j)2 P (j )
=
j 2 − 2jj + j 2 P (j )
P (j )
=
j 2 P (j ) − 2j
j P (j ) + j2
= j 2 − 2jj + j2 = j 2 − j2 .
Wenn wir die Wurzel ziehen, können wir die Standardabweichung auch in folgender
Form ausdrücken:
σ = j 2 − j2 .
(1.12)
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j
j
j
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 30 — le-tex
j
j
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1
Die Wellenfunktion
In der Praxis ist das ein weit schnellerer Weg, σ zu bestimmen: Man berechnet einfach j 2 und j2 , bildet die Differenz und zieht daraus die Wurzel. Übrigens hatte
ich Sie vor kurzem noch gewarnt, dass j 2 im Allgemeinen nicht gleich j2 ist. Da
σ 2 immer nichtnegativ ist (das folgt aus der Definition in Gleichung 1.11), folgt aus
Gleichung 1.12
j 2 ≥ j2 ;
(1.13)
die beiden sind gleich nur für den Fall σ = 0, also bei einer Verteilung, die überhaupt
keine Ausdehnung hat (jedes Element hat dann denselben Wert).
1.3.2 Kontinuierliche Variable
Bis jetzt sind wir stillschweigend davon ausgegangen, das wir uns nur mit diskreten Variablen beschäftigen – also mit Variablen, die nur bestimmte, einzelne Werte
annehmen können (in dem Beispiel musste j eine ganze Zahl sein, da ich das Alter
nur in Jahren angegeben hatte). Man kann das aber ganz leicht auf kontinuierliche
Variable verallgemeinern. Wenn Sie eine beliebige Person zufällig auf der Straße
auswählen und die Wahrscheinlichkeit betrachten, dass sie genau 16 Jahre, 4 Stunden, 27 Minuten und 3,3333. . . Sekunden alt ist, dann finden Sie den Wert null.
Die einzig vernünftige Aussage betrifft die Wahrscheinlichkeit, dass das Alter der
Person in einem bestimmten Intervall liegt – beispielsweise zwischen 16 und 17.
Wenn das Intervall hinreichend kurz ist, dann ist diese Wahrscheinlichkeit proportional zur Intervalllänge. Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person zwischen genau 16 Jahren und 16 plus zwei Tagen alt ist, vermutlich doppelt
so hoch wie die Wahrscheinlichkeit für ein Alter zwischen 16 Jahren und 16 plus
einem Tag. (Zumindest dann, wenn es nicht einen außerordentlichen Babyboom
vor 16 Jahren, und zwar genau an dem Tag, gegeben hat; in diesem Fall haben
wir einfach das Intervall zu lang gewählt, als dass wir die Regel anwenden könnten. Wenn der Babyboom genau sechs Stunden gedauert hat, dann müssen wir eben
Intervalle von einer Sekunde Länge oder noch kürzer wählen, um auf der sicheren Seite zu sein. Technisch sprechen wir von infinitesimalen Intervallen.) Somit
gilt
Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig
gewählte Person zwischen x und (x + dx ) liegt
= ρ(x ) dx .
(1.14)
Man könnte den Proportionalitätsfaktor ρ(x ) salopp „die Wahrscheinlichkeit, x zu
erwischen“ nennen; fachlich korrekt ist die Bezeichnung Wahrscheinlichkeitsdichte.
Die Wahrscheinlichkeit, dass x zwischen a und b liegt, also in einem endlichen
(beschränkten) Intervall, wird mit dem Integral über ρ(x ) angegeben:
b
Pab =
ρ(x ) dx .
(1.15)
a
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j
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 31 — le-tex
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1.3 Wahrscheinlichkeiten
Die Regeln, die wir für diskrete Verteilungen hergeleitet haben, gelten in ganz ähnlicher Weise auch hier für kontinuierliche Variable:
+∞
ρ(x ) dx ‚
1=
(1.16)
−∞
+∞
x ρ(x ) dx ‚
x =
(1.17)
−∞
+∞
f (x ) =
f (x )ρ(x ) dx ‚
(1.18)
−∞
σ 2 ≡(x )2 = x 2 − x2 .
(1.19)
Beispiel 1.1: Wahrscheinlichkeit
und Wahrscheinlichkeitsdichte
Wir nehmen an, ich lasse einen Stein von einer Klippe der Höhe h herabfallen.
Während der Stein fällt, mache ich in zufälligen Abständen eine Million Fotos.
Auf jedem der Bilder messe ich die Strecke, die der Stein gefallen ist.
Frage: Was ist der Mittelwert aller dieser Strecken? Oder mit anderen Worten:
Was ist das zeitliche Mittel der zurückgelegten Strecken?10
Lösung: Der Stein ist anfangs in Ruhe und wird beim Fallen immer schneller;
während eines größeren Teils der Fallzeit ist er also am oberen Rand der Klippe,
die mittlere Entfernung muss also geringer als h/2 sein. Wenn wir den Luftwiderstand vernachlässigen, hat der Stein zum Zeitpunkt t die Strecke x zurückgelegt:
x (t) =
1 2
gt .
2
Die Geschwindigkeit ist dx / dt = gt, und die gesamte Fallzeit ist T = 2h/g. Die
Wahrscheinlichkeit, dass die Kamera in dem Intervall dt auslöst, beträgt dt/T,
also ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Foto eine Strecke in dem
entsprechenden Bereich dx zeigt,
dt
dx
=
T
gt
g
1
dx.
= √
2h
2 hx
10 Ein Statistiker wird sich jetzt beschweren, dass ich den Mittelwert einer endlichen Stichprobe (in diesem Fall von einer Million Fotos) mit dem „wahren“ Mittelwert (über das
gesamte Kontinuum) verwechsle. Das kann in der Tat ein unangenehmes Problem für den
Experimentator werden, insbesondere wenn die Stichprobe nur klein ist; hier geht es natürlich nur um den wahren Mittelwert, der aber durch den Mittelwert der Stichprobe vermutlich gut angenähert wird.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 32 — le-tex
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1
Die Wellenfunktion
Beispiel 1.1: (Fortsetzung)
Offenbar ist die Wahrscheinlichkeitsdichte (Gleichung 1.14)
1
ρ(x ) = √
2 hx
(0 ≤ x ≤ h)
(außerhalb dieses Bereichs ist die Wahrscheinlichkeitsdichte natürlich null).
Wir können dieses Ergebnis mit Gleichung 1.16 überprüfen:
h
0
h
1
1 1/2 √ dx = √ 2x
= 1.
2 hx
2 h
0
Die mittlere Strecke (Gleichung 1.17) ist
h
x =
0
1
1
x √ dx = √
2 hx
2 h
2 3/2
x
3
h
h
= ‚
3
0
und das ist wie erwartet etwas weniger als h/2.
¡(x)
1
2h
h
√
Abbildung 1.6: Die Wahrscheinlichkeitsdichte in Beispiel 1.1: ρ(x ) = 1/2( hk ).
x
Abbildung 1.6 zeigt den Graphen von ρ(x ). Beachten Sie, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte unendlich groß sein kann, obwohl die Wahrscheinlichkeit selbst
(das Integral über ρ ) natürlich endlich ist (d. h. kleiner oder gleich 1).
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 33 — le-tex
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1.4 Normierung
∗
Aufgabe 1.1
Betrachten Sie die Altersverteilung in Abschnitt 1.3.1:
a
Berechnen Sie j 2 und j2 .
b
Bestimmen Sie j für jedes j und berechnen Sie mithilfe von Gleichung 1.11
die Standardabweichung.
c
Prüfen Sie mit den in a) und b) erhaltenen Ergebnissen die Gleichung 1.12.
Aufgabe 1.2
∗
a
Geben Sie die Standardabweichung für die Verteilung in Beispiel 1.1 an.
b
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Foto
eine Entfernung x von mehr als einer Standardabweichung vom Mittelwert
zeigt?
Aufgabe 1.3
Betrachten Sie die Normalverteilung
ρ(x ) = A e−λ(x−a) ‚
2
worin A, a und λ positive reelle Konstanten sind. (Notwendige Integrale schlagen Sie bitte nach.)
a
Berechnen Sie A mithilfe von Gleichung 1.16.
b
Bestimmen Sie x, x 2 und σ .
c
Fertigen Sie eine Skizze von ρ(x ).
1.4
Normierung
Wir kehren nun zur statistischen Interpretation der Wellenfunktion (Gleichung 1.3)
zurück, nach der |Ψ (x‚ t)|2 die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür angibt, das Teilchen
zum Zeitpunkt t am Ort x zu finden. Es folgt, dass das Integral über |Ψ |2 gerade 1 ist
(irgendwo muss das Teilchen ja sein):
+∞
|Ψ (x‚ t)|2 dx = 1 .
(1.20)
−∞
Ohne diese Bedingung wäre die statistische Interpretation unsinnig.
Trotzdem sollte diese zusätzliche Anforderung Sie beunruhigen. Schließlich nehmen wir an, dass die Wellenfunktion durch die Schrödinger-Gleichung bestimmt
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 34 — le-tex
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1
Die Wellenfunktion
wird – und dann können wir nicht einfach von außen eine zusätzliche Bedingung für
Ψ draufsatteln, ohne zugleich sicherzustellen, dass sich die beiden vertragen. Nun,
ein Blick auf Gleichung 1.1 zeigt, dass – falls Ψ (x‚ t) eine Lösung der SchrödingerGleichung ist – auch AΨ (x‚ t) eine Lösung ist (A soll eine beliebige komplexe
Konstante sein). Wir müssen also diesen unbestimmten Vorfaktor so bestimmen,
dass Gleichung 1.20 erfüllt ist. Dieser Prozess wird als Normierung der Wellenfunktion bezeichnet. Für einige Lösungen der Schrödinger-Gleichung ist das Integral unendlich; in diesem Fall kann es keinen Vorfaktor geben, der es zu 1 macht.
Dasselbe gilt für die triviale Lösung Ψ = 0. Solche nicht-normierbaren Lösungen
können kein Teilchen beschreiben und sind daher auszuschließen. Physikalisch realisierbare Zustände entsprechen den quadratintegrablen Lösungen der SchrödingerGleichung.11
Doch halt! Angenommen, ich habe die Wellenfunktion zur Zeit t = 0 normiert.
Woher weiß ich denn, dass sie auch normiert bleibt, wenn die Zeit verstreicht und
Ψ sich entwickelt? (Sie können die Wellenfunktion auch nicht nochmal normieren,
denn dann würde A eine Funktion von t, und sie hätten dann keine Lösung der
Schrödinger-Gleichung mehr.) Glücklicherweise hat die Schrödinger-Gleichung die
bemerkenswerte Eigenschaft, dass sie die Normierung der Wellenfunktion automatisch erhält – ohne dieses entscheidende Merkmal wären die Schrödinger-Gleichung
und die statistische Interpretation inkompatibel, und das gesamte Theoriegebäude
würde zusammenbrechen.
Das ist ein so wichtiger Punkt, dass wir hier besser kurz innehalten und die Aussage
sorgfältig beweisen.
Beweis Wir gehen aus von
d
dt
+∞
|Ψ (x‚ t)|2 dx =
−∞
+∞
−∞
∂
|Ψ (x‚ t)|2 dx .
∂t
(1.21)
(Beachten Sie, dass das Integral eine Funktion nur von t ist, daher kann ich im ersten
Term die totale Ableitung verwenden; der Integrand hingegen ist ein Funktion von
x und von t, daher taucht im zweiten Term die partielle Ableitung ∂/∂ t auf.) Mit der
Produktregel folgt
∂
∂
∂Ψ
∂Ψ ∗
Ψ.
|Ψ |2 = (Ψ ∗ Ψ ) = Ψ ∗
+
∂t
∂t
∂t
∂t
(1.22)
Nach der Schrödinger-Gleichung gilt
∂Ψ
i
ih̄ ∂ 2 Ψ
− VΨ ‚
=
∂t
2m ∂ x 2
h̄
(1.23)
und damit gilt auch (wenn wir das Konjugiert-Komplexe von Gleichung 1.23 betrachten)
∂Ψ ∗
i
ih̄ ∂ 2 Ψ ∗
+ VΨ ∗ .
=−
∂t
2m ∂ x 2
h̄
(1.24)
√
11 Offenbar muss Ψ (x‚ t) für |x| → ∞ schneller gegen null gehen als 1/ |x|. Übrigens legt die
Normierung nur den Betrag von A fest; die Phase bleibt unbestimmt. Das hat jedoch, wie
wir noch sehen werden, keine weitere physikalische Bedeutung.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 35 — le-tex
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1.4 Normierung
Somit haben wir
∂
∂2Ψ
∂2Ψ ∗
ih̄
Ψ∗ 2 −
Ψ
|Ψ |2 =
∂t
2m
∂x
∂ x2
∂ ih̄
∂Ψ
∂Ψ ∗
Ψ∗
Ψ
−
=
∂ x 2m
∂x
∂x
.
(1.25)
Nun können wir das Integral in Gleichung 1.21 explizit angeben:
d
dt
+∞
|Ψ (x‚ t)|2 dx =
−∞
∂Ψ
∂Ψ ∗
ih̄
+∞
Ψ∗
Ψ .
−
−∞
2m
∂x
∂x
(1.26)
Aber Ψ (x‚ t) muss gegen null gehen, wenn x gegen ±∞ läuft – andernfalls wäre die
Wellenfunktion nicht normierbar.12 Damit folgt
d
dt
+∞
|Ψ (x‚ t)|2 dx = 0 ‚
(1.27)
−∞
und daher ist das Integral konstant (d. h. es hängt nicht von der Zeit ab); wenn Ψ
zum Zeitpunkt t = 0 normiert ist, dann bleibt es auch für alle späteren Zeitpunkte
normiert.
Aufgabe 1.4
Zum Zeitpunkt t = 0 wird ein Teilchen durch folgende Wellenfunktion dargestellt:
⎧ x
⎪
A
für 0 ≤ x ≤ a ‚
⎪
⎪
⎪
⎨ a
(x‚ 0) = A (b − x ) für a ≤ x ≤ b ‚
⎪
⎪
(b − a)
⎪
⎪
⎩
0
sonst.
Darin sind A, a und b Konstanten.
∗
a
Normieren Sie Ψ (d. h. drücken Sie A mithilfe von a und b aus).
b
Skizzieren Sie Ψ (x‚ 0) als Funktion von x.
c
Wo findet man das Teilchen zum Zeitpunkt t = 0 am wahrscheinlichsten?
d
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen links von a zu finden?
Überprüfen Sie Ihr Ergebnis anhand der Grenzfälle b = a und b = 2a.
e
Was ist der Erwartungswert von x?
Aufgabe 1.5
Betrachten Sie die Wellenfunktion
Ψ (x‚ t) = A e−λ|x| e−iωt
12 Ein guter Mathematiker wird Ihnen gern einige pathologische Gegenbeispiele vorstellen,
aber in der Physik kommt so etwas nicht vor; wir können also immer „gutartige“ Funktionen
voraussetzen, die im Unendlichen gegen null gehen.
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1
Die Wellenfunktion
mit den positiven reellen Konstanten A, λ und ω. (Wir werden in Kapitel 2 sehen,
welches Potential V solche Wellenfunktionen erzeugt.)
a
Normieren Sie Ψ .
b
Bestimmen Sie die Erwartungswerte von x und x 2 .
c
Bestimmen Sie die Standardabweichung von x. Skizzieren Sie den Graphen
von |Ψ |2 als Funktion von x, markieren Sie die Punkte (x + σ ) und (x −
σ ) und illustrieren Sie so, in welchem Sinne σ die „Verschmierung“ in
x bedeutet. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen außerhalb
dieses Bereichs gefunden wird?
1.5
Impuls
Für ein Teilchen im Zustand Ψ beträgt der Erwartungswert von x
+∞
x|Ψ (x‚ t)|2 dx .
x =
(1.28)
−∞
Was genau bedeutet das? Ganz bestimmt bedeutet es nicht,
dass Sie den Ort des Teil
chens wieder und wieder messen müssen und dann x|Ψ |2 dx als den Mittelwert
aller Ihrer Messergebnisse erhalten. Im Gegenteil: Die erste Messung (deren Ergebnis unbestimmt ist) bringt die Wellenfunktion zum Kollaps, sodass nur noch eine
Spitze bei dem tatsächlich erhaltenen Wert übrig bleibt, und die nachfolgenden Messungen (sehr schnell nacheinander durchgeführt) ergeben jeweils dasselbe Ergebnis.
Um genau zu sein, ist x der Mittelwert von Messungen an Teilchen, die sich allesamt im Zustand Ψ befinden, und das bedeutet, dass Sie entweder das Teilchen nach
jeder Messung auf irgendeine Weise wieder in den Ursprungszustand zurückversetzen müssen, oder dass Sie ein ganzes Ensemble von Teilchen präparieren müssen,
die sich alle im selben Zustand Ψ befinden, und dann die Orte aller dieser Teilchen bestimmen; x ist dann der Mittelwert dieser Ergebnisse. (Ich bringe an dieser
Stelle gern das Bild einer Reihe von Flaschen in einem Weinregal, die jeweils ein
Teilchen im Zustand Ψ (relativ zum Mittelpunkt der Flasche) enthalten. An jeder
der Flaschen ist ein fortgeschrittener Student mit einer Messlatte am Werke, und
auf ein Signal hin sollen sie alle die Position ihres jeweiligen Teilchens messen.
Wir zeichnen dann ein Histogramm der Ergebnisse auf, wobei sich |Ψ |2 ergibt, und
berechnen den Mittelwert, der mit x übereinstimmen sollte. – Wenn wir natürlich
nur an einer begrenzter Anzahl von Flaschen messen, können wir keine perfekte
Übereinstimmung erwarten, aber je mehr Flaschen wir untersuchen, desto besser
sollte die Übereinstimmung sein.) Kurz gesagt: Der Erwartungswert ist der Mittelwert
von wiederholten Messungen an einem Ensemble von identisch präparierten Teilchen, und nicht der Mittelwert von wiederholten Messungen an ein und demselben
System.
Wenn nun die Zeit voranschreitet, ändert sich x (wegen der Zeitabhängigkeit
von Ψ ), und wir könnten daran interessiert ein, wie schnell es sich ändert. Nach
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 37 — le-tex
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1.5 Impuls
Blick auf die Gleichungen 1.25 und 1.28 erkennen wir, dass13
dx
=
dt
x
∂
ih̄
|Ψ |2 dx =
∂t
2m
x
∂
∂Ψ
∂Ψ ∗
Ψ∗
Ψ
−
∂x
∂x
∂x
dx .
(1.29)
Dieser Ausdruck lässt sich durch partielle Integration vereinfachen:14
dx
ih̄
=−
dt
2m
Ψ∗
∂Ψ
∂
∗
Ψ
−
∂x
∂x
dx .
(1.30)
(Hier habe ich den Zusammenhang ∂ x /∂ x = 1 ausgenutzt und den Randwertterm
weggelassen, denn Ψ geht für ±∞ gegen null.) Führen wir nun noch eine partielle
Integration für den zweiten Term durch, so erhalten wir:
dx
ih̄
=−
dt
m
Ψ∗
∂Ψ
dx .
∂x
(1.31)
Was fangen wir jetzt mit diesem Ergebnis an? Beachten Sie, dass wir hier über die
„Geschwindigkeit“ (die zeitliche Ableitung) des Erwartungswerts von x reden, und
das ist nicht dasselbe wie die Geschwindigkeit des Teilchens selbst. Nichts davon,
was wir bislang angeschaut haben, hilft uns bei der Berechnung der Teilchengeschwindigkeit. Es ist ja noch nicht einmal klar, was der Begriff Geschwindigkeit in
der Quantenmechanik überhaupt bedeutet: Wenn das Teilchen (vor der Messung)
keine bestimmte Position hat, dann hat es auch keine wohldefinierte Geschwindigkeit. Man kann also vernünftigerweise nur nach der Wahrscheinlichkeit für einen
bestimmten Wert fragen. Wir werden uns in Kapitel 3 damit beschäftigen, wie man
bei gegebenem Ψ die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Geschwindigkeit konstruiert. An dieser Stelle soll es genügen, wenn wir einfach festlegen: Der Erwartungswert für die Geschwindigkeit ist gleich der zeitlichen Ableitung des Erwartungswerts
für die Position:
v =
dx
.
dt
(1.32)
Gleichung 1.31 sagt uns dann, wie wir v direkt aus Ψ berechnen.
13 Um es hier nicht zu unübersichtlich zu machen, verzichte ich auf die Angabe der Integrationsgrenzen.
14 Nach der Produktregel gilt
d
dg
df
(fg ) = f
+
g‚
dx
dx
dx
und daraus folgt
b
f
a
dg
dx = −
dx
b
a
b
df
g dx + fg a .
dx
Innerhalb des Integrals können Sie also eine Ableitung aus einem der Faktoren rausnehmen
und sie dem anderen zuschlagen – das kostet Sie nur ein Minuszeichen, und Sie fangen sich
zusätzlich einen Randwertterm ein.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 38 — le-tex
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1
Die Wellenfunktion
Im Allgemeinen arbeitet man statt mit der Geschwindigkeit lieber mit dem Impuls
p = m v:
p = m
dx
= −ih̄
dt
Ψ∗
∂Ψ
∂x
dx .
(1.33)
Schreiben wir nun die Ausdrücke für x und p in einer etwas suggestiveren Form:
(1.34)
x = Ψ ∗ (x )Ψ dx ‚
h̄ ∂
Ψ dx .
(1.35)
p = Ψ ∗
i ∂x
Wir sprechen von dem Operator15 x, der in der Quantenmechanik den Ort „repräsentiert“, und dem Operator (h̄/i)(∂/∂ x ) für den Impuls; um die jeweiligen Erwartungswerte zu bestimmen, müssen wir den passenden Operator zwischen Ψ und Ψ ∗
einschließen und dann integrieren.
Das ist hübsch, aber was machen wir mit all den anderen Größen? Tatsächlich lassen
sich alle klassischen Variablen mithilfe von Ort und Impuls darstellen. Beispielsweise ist die kinetische Energie
T=
1
p2
mv 2 =
‚
2
2m
und der Drehimpuls ist
L = r × mv = r × p
(die letzte Größe taucht natürlich bei Ausdrücken für die eindimensionale Bewegung
nicht auf). Um den Erwartungswert für eine beliebige Größe Q(x‚ p) zu berechnen,
ersetzen wir einfach jedes p durch (h̄/i)(∂/∂ x ), fügen den resultierenden Operator
zwischen Ψ und Ψ ∗ ein und integrieren:
Q(x‚ p) =
Ψ ∗Q
h̄ ∂
x‚
Ψ dx .
i ∂x
(1.36)
Für den Erwartungswert beispielsweise der kinetischen Energie ergibt sich damit
T = −
h̄2
2m
Ψ∗
∂2Ψ
dx .
∂ x2
(1.37)
Gleichung 1.36 gibt förmlich ein Kochrezept an, mit dem man den Erwartungswert
einer beliebigen dynamischen Größe eines Teilchens im Zustand Ψ berechnen kann;
15 Ein „Operator“ ist die Anweisung, etwas mit der darauf folgenden Funktion zu machen.
Der Ortsoperator besagt, die Funktion mit x zu multiplizieren; der Impulsoperator besagt,
die Funktion bezüglich x zu differenzieren (und das Ergebnis mit −ih̄ malzunehmen). In
diesem Buch sind alle Operatoren Ableitungen (z. B. d/ dt, d2 / dt2 , ∂ 2 /∂ x ∂ y usw.) oder
Multiplikationsfaktoren (z. B. 2‚ i‚ x 2 usw.) oder Kombinationen daraus.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 39 — le-tex
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1.6 Die Unschärferelation
die Gleichungen 1.34 und 1.35 sind als Spezialfälle enthalten. Ich habe in diesem
Abschnitt versucht, Gleichung 1.36 mithilfe von Borns statistischer Interpretation
plausibel erscheinen zu lassen; doch eigentlich gibt die Gleichung einen im Vergleich
zur klassischen Mechanik so andersartigen und radikal neuen Zugang, dass wir uns
besser erst mal durch Übung an die Gleichung gewöhnen, bevor wir sie in Kapitel 3
erneut behandeln und dann auf eine bessere theoretische Grundlage stellen. In der
Zwischenzeit ist es mir recht, wenn Sie die Gleichung als Axiom ansehen.
Aufgabe 1.6
Warum kann man die partielle Integration des mittleren Ausdrucks in Gleichung 1.19 nicht einfach durchführen, indem man die zeitliche Ableitung rüberholt und auf x anwendet und dann wegen ∂ x /∂ t = 0 schließt, dass dx/ dt = 0
gilt?
∗
Aufgabe 1.7
Berechnen Sie dp/ dt.
Lösung:
dp
∂V
= −
.
dt
∂x
(1.38)
Die Gleichungen 1.32 (oder der erste Teil von Gleichung 1.33) und Gleichung 1.38 sind Beispiele für das Ehrenfest-Theorem, das einen Zusammenhang zwischen der Quantenmechanik und der klassischen Mechanik herstellt
und dem zufolge die Erwartungswerte den klassischen Gesetzen unterliegen.
Aufgabe 1.8
Zur potentiellen Energie wird eine Konstante V0 addiert (mit „Konstante“ meine
ich hier, dass der Wert unabhängig sowohl von x als auch von t ist). In der klassischen Mechanik ändert das nichts, aber wie sieht es in der Quantenmechanik aus? Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion einen zeitabhängigen Phasenfaktor
exp(−iV0 t/h̄) auswählt. Welche Auswirkungen hat dies auf den Erwartungswert
einer dynamischen Variable?
1.6
Die Unschärferelation
Stellen Sie sich vor, Sie halten ein Ende eines sehr langen Seils in der Hand; dann
bewegen Sie die Hand rhythmisch auf und ab und erzeugen damit eine Seilwelle
(Abbildung 1.7). Wenn Sie jemand fragen würde „Wo genau ist denn nun die Welle?“,
dann würden Sie den Jemand wahrscheinlich für ein wenig weltfremd halten: Die
Welle ist nicht irgendwo, sondern erstreckt sich über mehrere Meter. Wenn der Jemand Sie aber fragen würde, wie groß denn die Wellenlänge wäre, dann könnten Sie
ihm eine vernünftige Antwort geben: Es sieht aus wie etwa sechs Meter. Wenn Sie
die Hand dagegen nur einmal sehr schnell rauf- und runterbewegen (Abbildung 1.8),
dann sehen Sie eine ziemlich scharfe Erhebung, die sich entlang des Seils bewegt.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 40 — le-tex
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1
Die Wellenfunktion
10
20
30
40
50 x (Meter)
Abbildung 1.7: Eine Welle mit einer (ziemlich) gut definierten Wellenlänge, aber einer nur sehr schlecht definierten
Lage.
10
20
30
40
50 x (Meter)
Abbildung 1.8: Eine Welle mit einer (ziemlich) gut definierten Lage, aber einer nur sehr schlecht definierten Wellenlänge.
Diesmal ist die erste Frage (Wo genau ist denn die Welle?) sinnvoll, die zweite (Welche Wellenlänge hat sie?) dagegen unsinnig – die Welle ist nicht im entferntesten
periodisch, wie sollte man ihr dann eine Wellenlänge zuschreiben? Natürlich gibt
es auch alle möglichen Fälle dazwischen, in denen die Welle ziemlich gut lokalisiert und die Wellenlänge ziemlich gut definiert ist, aber es gibt hier einen unausweichlichen Zielkonflikt: Je genauer man den Ort der Welle kennt, umso weniger
weiß man über die Wellenlänge, und umgekehrt.16 Ein Satz zur Fourier-Analyse
macht dazu strengere Aussagen, aber hier geht es mir erstmal nur um die qualitative Angabe.
Dies gilt natürlich für jede Wellenerscheinung und damit insbesondere für die Wellenfunktion in der Quantenmechanik. Nun hängt die Wellenlänge von Ψ mit dem
Impuls des Teilchens über die De-Broglie-Beziehung zusammen:17
p=
h
λ
=
2πh̄
λ
.
(1.39)
Demnach führt eine Verbreiterung der Wellenlänge auch zu einer Verbreiterung des
Impulses; unsere allgemeine Beobachtung führt dann zu der etwas genaueren Aussage, dass der Impuls eines Teilchens umso weniger genau definiert ist, je genauer
man dessen Ort bestimmt. Quantitativ gilt
σx σp ≥
h̄
;
2
(1.40)
16 Deshalb kann man beispielsweise auf der Piccoloflöte sehr schnelle Triller spielen, deren
Tonhöhe exakt getroffen werden muss, während ein Kontrabassist beim Spielen auch Gartenhandschuhe tragen könnte. Für die Piccoloflöte mit ihren sehr hohen Tönen macht
1/64-tel Note schon mehrere Perioden aus, und die Frequenz (wir bewegen uns bei dieser Betrachtung in der Zeitdomäne, nicht im Ortsraum) ist dann wohldefiniert. Für den
Kontrabass dagegen, der viele Oktaven tiefer klingt, enthält 1/64-tel Note nur wenige Perioden; man hört dann nur ein generelles Brummen, ohne eine genaue Tonhöhe zuordnen zu
können.
17 Ich werde das zu gegebener Zeit auch beweisen. Viele Autoren betrachten die De-BroglieFormel als ein Axiom, aus dem sie dann den Zusammenhang des Impulses mit dem Operator (h̄/i)(∂/∂ x ) herleiten. Das ist zwar konzeptionell sauberer, führt aber zu ablenkenden
mathematischen Komplikationen, die ich lieber für später aufspare.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 41 — le-tex
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Aufgaben
dabei ist σx die Standardabweichung in x und σp die Standardabweichung in p. Dies
ist die berühmte Heisenberg’sche Unschärferelation (eigentlich besser: Unbestimmtheitsrelation). (Wir werden die Gleichung in Kapitel 3 beweisen, aber ich wollte sie
schon an dieser Stelle erwähnen, damit Sie die Gleichung anhand der Beispiele in
Kapitel 2 überprüfen können.)
Bitte machen Sie sich klar, was die Unschärferelation wirklich bedeutet: So wie Ortsmessungen führen auch Impulsmessungen zu exakten Ergebnissen – die „Unschärfe“
bezieht sich nur darauf, dass Messungen an identisch präparierten Systemen nicht zu
identischen Ergebnissen führen. Daher wäre im Deutschen die Bezeichnung Unbestimmtheitsrelation vorzuziehen. Wir folgen hier der Tradition, die von „Unschärfe“
spricht. Wenn Sie es darauf anlegen, können Sie einen Zustand so konstruieren,
dass wiederholte Ortsmessungen ganz dicht beieinander liegende Ergebnisse haben
(indem Sie Ψ als eine lokalisierte Spitze ansetzen); aber dafür haben Sie einen Preis
zu zahlen: Die Impulsmessungen zu diesem Zustand werden zu weit gestreuten
Ergebnissen führen. Oder Sie präparieren einen Zustand mit einem reproduzierbaren Impuls (indem Sie Ψ als lange sinusförmige Welle ansetzen), aber in diesem Fall
sind die zugehörigen Ortsmessungen weit gestreut. Und natürlich können Sie, wenn
Sie mal richtig schlechter Laune sind, auch einen Zustand erzeugen, bei dem weder
der Ort noch der Impuls präzise definiert sind: Gleichung 1.40 ist schließlich eine
Ungleichung, und es gibt keine Grenzen, wie groß σx bzw. σp sein können – dazu
müssen Sie nur Ψ als eine längere Schlangenlinie mit vielem Auf und Ab und ohne
periodische Wiederholungen ansetzen.
∗
Aufgabe 1.9
Ein Teilchen der Masse m hat den Zustand
2
Ψ (x‚ t) = A e−a[(mx /h̄)+it] .
Dabei sind A und a positive reellwertige Konstanten.
a
Bestimmen Sie A.
b
Für welche Funktion V (x ) der potentiellen Energie erfüllt Ψ die SchrödingerGleichung?
c
Berechnen Sie die Erwartungswerte für x, x 2 , p und p2 .
d
Bestimmen Sie σx und σp . Stimmt ihr Produkt mit der Heisenberg’schen
Unschärferelation überein?
Weitere Aufgaben für Kapitel 1
Aufgabe 1.10
Betrachten Sie die ersten 25 Ziffern aus der Dezimaldarstellung von π (d. h. 3‚ 1‚ 4‚ 1‚
5‚ 9‚ . . . ).
a
Lösungshinweise
Sie wählen aus dieser Zahlenmenge zufällig eine Zahl aus. Wie groß sind dann
die Wahrscheinlichkeiten für jede der 10 Ziffern?
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 42 — le-tex
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1
Die Wellenfunktion
b
c
Welches ist die wahrscheinlichste Ziffer? Welches ist die Median-Ziffer? Was ist
der Mittelwert?
Geben Sie die Standardabweichung für diese Verteilung an.
Aufgabe 1.11
Die Tachonadel eines defekten Autotachos kann frei schwingen und wird von den
Anschlagmarken am oberen und unteren Ende vollständig elastisch zurückgestoßen.
Bei einem flüchtigen Blick finden Sie also jeden Winkel zwischen 0 und π mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
a
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(θ ) an.
Hinweis: ρ(θ ) dθ ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Tachonadel zwischen θ
und (θ + dθ ) zur Ruhe kommt. Zeichnen Sie ρ(θ ) als eine Funktion von θ für
den Bereich von −π/2 bis 3π/2 auf. (Natürlich sind bestimmte Teile dieses Intervalls ausgeschlossen, dort soll ρ gleich null sein.) Vergewissern Sie sich, das die
Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ist.
b
Berechnen Sie θ , θ 2 und σ für diese Verteilung.
c
Berechnen Sie sin θ , cos θ und cos2 θ .
Aufgabe 1.12
Wir betrachten denselben Tacho wie im vorigen Problem, aber diesmal interessieren
wir uns für die x-Koordinate des Nadelpunkts, d. h. den „Schatten“ (die „Projektion“) der Tachonadel auf die Horizontale.
a
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x )? Zeichnen Sie ρ(x ) als
Funktion von x im Bereich von −2r bis +2r (dabei ist r die Länge der Tachonadel). Überprüfen Sie, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ist.
Hinweis: ρ(θ ) dx ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Projektion zwischen x und
(x + dx ) liegt. Aus Aufgabe 1.11 kennen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass θ in
dem gegebenen Bereich liegt. Die Frage ist, welches Intervall dx dem Intervall
dθ entspricht.
b
∗∗
Berechnen Sie x, x 2 und σ für diese Verteilung. Erläutern Sie, wie Sie diese
Ergebnisse auch aus Teilaufgabe (c) von Aufgabe 1.11 hätten erhalten können.
Aufgabe 1.13
Das Buffon’sche Nadelproblem. Eine Nadel der Länge l fällt zufällig auf ein Blatt
Papier, auf dem im Abstand l parallele Linien eingezeichnet sind. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die Nadel eine Linie kreuzt?
Hinweis: Berücksichtigen Sie Aufgabe 1.12.
Aufgabe 1.14
Pab (t) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sich ein Teilchen zum Zeitpunkt t
in dem Bereich a < x < b befindet.
a
Zeigen Sie, dass
dPab
= J (a‚ t) − J (b‚ t)
dt
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j
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 43 — le-tex
j
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Aufgaben
gilt mit
∂Ψ ∗
∂Ψ
ih̄
Ψ
−Ψ∗
.
2m
∂x
∂x
J (x‚ t) ≡
Welche Einheit hat J (x‚ t)?
Hinweis: J wird als der Wahrscheinlichkeitsstrom bezeichnet, denn er gibt die
Geschwindigkeit an, mit der die Wahrscheinlichkeit an dem Punkt x „vorbeifließt“. Wenn Pab (t) zunimmt, dann fließt mehr Wahrscheinlichkeit in den Bereich des einen Endes hinein, als aus dem Bereich des anderen Endes herausfließt.
b
∗
Bestimmen Sie den Wahrscheinlichkeitsstrom für die Wellenfunktion von Aufgabe 1.9. (Ich gebe zu, das ist kein furchtbar prägnantes Beispiel; wir werden im
weiteren Verlauf noch aussagekräftigere Beispiele kennenlernen.)
Aufgabe 1.15
Sie wollen ein instabiles Teilchen beschreiben, das nach einer bestimmten
„Lebensdauer“ τ spontan zerfällt. In diesem Fall sollte die Gesamtwahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo zu finden, nicht konstant sein, sondern sollte (beispielsweise exponentiell) abfallen:
P (t) ≡
+∞
|Ψ (x‚ t)|2 dx = e−t/τ .
−∞
Dieses Ergebnis erhält man auf folgendem ziemlich plumpen Weg: In Gleichung 1.24 hatten wir stillschweigend angenommen, dass die potentielle Energie
V reell ist. Das ist natürlich eine vernünftige Annahme, führt aber zu der „zeitlichen
Erhaltung der Wahrscheinlichkeit“, die ihren Ausdruck in Gleichung 1.27 findet.
Was würde denn passieren, wenn wir an V noch einen imaginären Teil anhängen:
V = V0 − i Γ ‚
wo V0 die wahre potentielle Energie und Γ eine positive reelle Konstante ist?
a
Zeigen Sie, dass wir in diesem Fall anstelle von Gleichung 1.27 den folgenden
Ausdruck erhalten:
dP
2Γ
=−
P.
dt
h̄
b
Lösen Sie das für P (t) auf und geben Sie die Lebensdauer des Teilchens mithilfe
von Γ an.
Aufgabe 1.16
Zeigen Sie, dass für zwei beliebige (normierbare) Lösungen Ψ1 und Ψ2 der Schrödinger-Gleichung gilt:
d
dt
∞
Ψ1∗ Ψ2 dx = 0 .
−∞
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 44 — le-tex
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1
Die Wellenfunktion
Aufgabe 1.17
Ein Teilchen wird (zum Zeitpunkt t = 0) durch folgende Wellenfunktion repräsentiert:
A(a2 − x 2 ) für − a ≤ x ≤ +a ‚
Ψ (x‚ 0) =
0
sonst.
a
Bestimmen Sie die Normierungskonstante A.
b
Wie groß ist der Erwartungswert von x (zum Zeitpunkt t = 0)?
c
Wie groß ist der Erwartungswert von p (zum Zeitpunkt t = 0)?
(Anmerkung: Sie können den Wert nicht aus p = m d(x )/ dt berechnen. Warum
nicht?)
d
Geben Sie den Erwartungswert von x 2 an.
e
Geben Sie den Erwartungswert von p2 an.
f
Bestimmen Sie σx , also die Unschärfe in x.
g
Bestimmen Sie σp , also die Unschärfe in p.
h
Überprüfen Sie, ob ihre Ergebnisse mit der Unschärferelation übereinstimmen.
Aufgabe 1.18
Im Allgemeinen spielt die Quantenmechanik in den Fällen eine Rolle, in denen die
De-Broglie-Wellenlänge h/p des entsprechenden Teilchens größer ist als die charakteristische Abmessung d des Systems. Im thermischen Gleichgewicht bei einer (in
Kelvin gemessenen) Temperatur T ist die kinetische Energie eines Teilchens
p2
3
= kB T
2m
2
(darin ist kB die Boltzmann-Konstante), und die typische De-Broglie-Wellenlänge ist
λ= h
3mkB T
.
(1.41)
In dieser Aufgabe sollen Sie erkennen, welche Systeme quantenmechanisch behandelt
werden müssen und welche Sie gefahrlos klassisch beschreiben können.
a
Festkörper. Der Gitterabstand in einem typischen Festkörper liegt bei etwa d =
0‚3 nm. Bestimmen Sie die Temperatur, unterhalb derer die freien18 Elektronen
in einem Festkörper quantenmechanisch beschrieben werden müssen. Unterhalb welcher Temperatur sind die Kerne in einem Festkörper quantenmechanisch? (Nehmen Sie Natrium als ein typisches Beispiel.)
Moral: Die freien Elektronen in einem Festkörper sind immer, die Kerne dagegen praktisch niemals quantenmechanisch. Dasselbe gilt für Flüssigkeiten (dort
ist der Abstand der Atome etwa genauso groß wie in Festkörpern), mit Ausnahme von flüssigem Helium unterhalb von 4 K.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 45 — le-tex
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Aufgaben
b
Gase. Für welche Temperaturen sind die Atome eines idealen Gases bei dem
Druck P quantenmechanisch?
Hinweis: Leiten Sie den Abstand der Atome aus dem idealen Gasgesetz (PV =
NkB T) her. –
Lösung: T < (1/kB )(h2 /3m)3/5 P 2/5 . Offenbar muss m so klein und P so groß
wie möglich sein, damit das Gas quantenmechanisches Verhalten zeigt. Setzen
Sie die Werte für Helium bei normalem Luftdruck ein. Ist Wasserstoff im Weltraum (dort beträgt der Abstand der Atome etwa 1 cm und die Temperatur 3 K)
quantenmechanisch? (Nehmen Sie an, dass monoatomarer Wasserstoff vorliegt,
nicht H2 .)
18 In einem Festkörper sind die inneren Elektronen an einen bestimmten Kern gebunden;
die relevante Abmessung für diese Elektronen ist der Atomradius. Die äußeren Elektronen
jedoch sind nicht an einen Kern gebunden (daher spricht man von freien Elektronen), und
für sie ist die relevante Abmessung der Gitterabstand. Diese Aufgabe bezieht sich nur auf
diese äußeren Elektronen.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 46 — le-tex
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Die zeitunabhängige
Schrödinger-Gleichung
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2.2 Der unendlich tiefe Potentialtopf
................
54
2.3 Der harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
2.4 Das freie Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.5 Das Delta-Potential
....................................
93
2.6 Der endlich tiefe Potentialtopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
2
ÜBERBLICK
2.1 Stationäre Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
2.1
Stationäre Zustände
In Kapitel 1 haben wir ausführlich über die Wellenfunktion und darüber gesprochen,
wie man mit ihr verschiedene interessierende Größen berechnet. Jetzt wollen wir
aber die entscheidende Frage nicht mehr auf die lange Bank schieben, die logisch
eigentlich am Anfang hätte stehen sollen: Wie erhält man Ψ (x‚ t) überhaupt? Dazu
müssen wir die Schrödinger-Gleichung
ih̄
∂Ψ
h̄2 ∂ 2 Ψ
+ VΨ
=−
∂t
2m ∂ x 2
(2.1)
für ein bestimmtes Potential1 V (x‚ t) lösen. In diesem Kapitel (und dem größten Teil
des Buchs) werde ich annehmen, dass V unabhängig von t ist. In diesem Fall lässt
sich die Schrödinger-Gleichung durch das Verfahren der Variablenseparation lösen
(bei Physikern ist dieses Verfahren immer der erste Ansatz, wenn es um die Lösung
einer beliebigen Differenzialgleichung geht). Dazu suchen wir Lösungen, die sich als
einfache Produkte darstellen lassen:
Ψ (x‚ t) = ψ(x )ϕ(t) .
(2.2)
Darin ist ψ (Achtung, das ist jetzt ein kleiner Buchstabe!) eine Funktion nur von x,
und ϕ ist eine Funktion nur von t. Auf den ersten Blick ist das natürlich eine absurde
Einschränkung, und wir können nicht damit rechnen, auf diese Weise mehr als nur
eine winzige Untermenge aller möglichen Lösungen zu bekommen. Doch halten Sie
einen Moment durch! Die Lösungen, die sich so ergeben, stellen sich nämlich als
die bei weitem interessantesten heraus. Darüber hinaus (und auch das ist typisch für
die Variablenseparation) können wir am Ende die so erhaltenen separaten Lösungen
zusammenfügen und so die allgemeinste Lösung konstruieren.
Für Lösungen, bei denen man das Verfahren der Variablenseparation anwenden kann
(man spricht von separierbaren Lösungen) haben wir
∂Ψ
dϕ
=ψ
‚
∂t
dt
∂2Ψ
d2 ψ
=
ϕ
∂ x2
dx 2
(hier haben wir jetzt gewöhnliche Ableitungen), und für die Schrödinger-Gleichung
ergibt sich
ih̄ψ
dϕ
h̄2 d2 ψ
ϕ + V ψϕ .
=−
dt
2m dx 2
Wir teilen durch ψϕ und erhalten:
ih̄
1 dϕ
h̄2 1 d 2 ψ
+V.
=−
ϕ dt
2m ψ dx 2
(2.3)
1 Es ist ziemlich ermüdend, bei der korrekten Wortwahl „potentielle Energiefunktion“ zu bleiben, daher sprechen die meisten Leute von V als dem „Potential“, auch wenn dies gelegentlich zu Verwechslungen mit dem elektrischen Potential einlädt, das eigentlich als „potentielle Energie pro Einheitsladung“ bezeichnet werden sollte.
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2.1 Stationäre Zustände
Hier ist die linke Seite eine Funktion allein von t und die rechte Seite eine Funktion
allein von x.2 Es gibt nur eine Möglichkeit, dass diese Aussage wahr wird, wenn
nämlich beide Seiten konstant sind – andernfalls könnte man ja durch eine Änderung von t die linke Seite ändern, ohne die rechte Seite anzurühren, und die beiden
Seiten wären nicht mehr gleich. (Das ist ein ziemlich raffinierter, aber wesentlicher
Gedanke; wenn das neu für Sie ist, machen Sie einen Moment Pause und denken Sie
darüber nach.) Aus Gründen, die sich gleich klären werden, nennen wir die Separationskonstante E. Dann haben wir
ih̄
1 dϕ
=E
ϕ dt
beziehungsweise
iE
dϕ
=− ϕ
dt
h̄
(2.4)
und
−
h̄2 1 d2 ψ
+V = E
2m ψ dx 2
beziehungsweise
−
h̄2 d2 ψ
+ V ψ = Eψ .
2m dx 2
(2.5)
Durch die Variablenseparation haben wir eine partielle Differenzialgleichung in zwei
gewöhnliche Differenzialgleichungen (die Gleichungen 2.4 und 2.5) umgewandelt.
Die erste von ihnen (Gleichung 2.4) ist recht einfach zu lösen (einfach mit dt multiplizieren und integrieren); die allgemeine Lösung ist C exp(−iEt/h̄), wir können
die Konstante C aber auch in ψ einbauen, denn die interessierende Größe ist ja das
Produkt ψϕ . Es gilt also
ϕ(t) = e−iEt/h̄ .
(2.6)
Die zweite Gleichung (Gleichung 2.5) wird als zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung bezeichnet; solange das Potential V nicht näher bestimmt ist, können wir
dazu keine näheren Aussagen machen.
Im Rest dieses Kapitels wird es darum gehen, die zeitunabhängige SchrödingerGleichung für eine Anzahl verschiedener einfacher Potentiale zu lösen. Doch bevor
ich damit anfange, haben Sie alles Recht zu fragen: Was ist denn nun so toll an den
separierbaren Lösungen? Schließlich haben die meisten Lösungen der (zeitabhängigen) Schrödinger-Gleichung eben nicht die Form ψ(x )ϕ(t). Ich gebe Ihnen drei Antworten, zwei physikalische und eine mathematische.
1. Antwort Die separierbaren Lösungen beschreiben stationäre Zustände. Obwohl
die Wellenfunktion selbst
Ψ (x‚ t) = ψ(x ) e−iEt/h̄
(2.7)
2 Beachten Sie bitte, dass dies nicht gelten würde, wenn V eine Funktion auch von t wäre.
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
offenbar von t abhängt, gilt das nicht für die Wahrscheinlichkeitsdichte
|Ψ (x‚ t)|2 = Ψ ∗ Ψ = ψ ∗ e+iEt/h̄ ψ e−iEt/h̄ = |ψ(x )|2
(2.8)
– dort fällt die Zeitabhängigkeit heraus.3 Das gleiche passiert, wenn wir den Erwartungswert einer beliebigen dynamischen Variable berechnen; Gleichung 1.36 reduziert sich dann auf
h̄ d
Q(x‚ p) = ψ ∗ Q x‚
ψ dx .
(2.9)
i dx
Jeder Erwartungswert ist zeitlich konstant; wir könnten also auch den Faktor ϕ(t) insgesamt fallen lassen und einfach ψ anstelle von Ψ verwenden. (Und tatsächlich ist es
üblich, ψ als die Wellenfunktion zu bezeichnen, aber das ist eine etwas schlampige
Sprechweise, die zu gefährlichen Irritationen führen kann; man muss sich immer
wieder klar machen, dass die wahre Wellenfunktion immer den Faktor mit der exponentiellen Zeitabhängigkeit enthält.) Insbesondere ist x konstant, und damit wird
(nach Gleichung 1.33) p = 0. Mit einem stationären Zustand geschieht rein gar
nichts.
2. Antwort Die separierbaren Lösungen beschreiben Zustände mit einer bestimmten Gesamtenergie. In der klassischen Mechanik nennt man die Gesamtenergie (also
kinetische plus potentielle) die Hamilton-Funktion oder (nach der englischen Bezeichnung) den Hamiltonian:
H (x‚ p) =
p2
+ V (x ) .
2m
(2.10)
Der zugehörige Hamilton-Operator, den man durch die kanonische Substitution
p → (h̄/i)(∂/∂ x ) erhält, ist damit4
2
= − h̄ ∂ + V (x ) .
H
2m ∂ x 2
2
(2.11)
Damit lässt sich die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (Gleichung 2.5) auf die
Form
ψ = Eψ
H
bringen, und der Erwartungswert der Gesamtenergie ist
ψ dx = E |ψ |2 dx = E |Ψ |2 dx = E .
H = ψ ∗ H
(2.12)
(2.13)
(Beachten Sie, dass die Normierung von Ψ auch die Normierung von ψ nach sich
zieht.) Darüber hinaus gilt
2ψ = H
ψ) = H
ψ) = E 2 ψ
(H
(E ψ) = E (H
H
3 Bei normierbaren Lösungen muss E reell sein, vgl. Aufgabe 2.1(a).
4 Ich werde den Operator immer durch ein „Dach“ kennzeichnen, um ihn von der zugehörigen dynamischen Variable zu unterscheiden, sobald man die beiden verwechseln könnte.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 51 — le-tex
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2.1 Stationäre Zustände
und damit
H 2 =
ψ dx = E 2
ψ ∗H
2
|ψ |2 dx = E 2 .
Die Varianz von H ist damit
σH2 = H 2 − H2 = E 2 − E 2 = 0 .
(2.14)
Denken Sie aber daran, dass für σ = 0 jedes Mitglied der Stichprobe denselben Wert
haben muss (die Verteilung ist dann überhaupt nicht „verschmiert“).
Schlussfolgerung: Eine separierbare Lösung hat die bemerkenswerte Eigenschaft,
dass jede Messung der Gesamtenergie mit Sicherheit den Wert von E ergibt. (Genau
aus diesem Grund habe ich diesen Buchstaben für die Separationskonstante ausgewählt.)
3. Antwort Die allgemeine Lösung ist eine Linearkombination von separierbaren
Lösungen. Wie wir gleich erkennen werden, gibt es für die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (Gleichung 2.5) eine unendliche Menge von Lösungen (ψ1 (x ),
ψ2 (x ),ψ3 (x )‚ . . . ), zu der jeweils ein bestimmter Wert für die Separationskonstante
(E1 , E2 , E3 ‚ . . . ) gehört; also gibt es für jede erlaubte Energie eine andere Wellenfunktion:
Ψ1 (x‚ t) = ψ1 (x ) e−iE1 t/h̄ ‚
Ψ2 (x‚ t) = ψ2 (x ) e−iE2 t/h̄ ‚ . . .
Nun hat aber, wie Sie leicht selbst überprüfen können, die (zeitabhängige) Schrödinger-Gleichung (Gleichung 2.1) die Eigenschaft, dass eine beliebige Linearkombination5 von Lösungen selbst auch eine Lösung ist. Sobald wir also die separierbaren
Lösungen gefunden haben, können wir daraus sofort eine viel allgemeinere Lösung
konstruieren; sie hat die Form
Ψ (x‚ t) =
∞
cn ψn (x ) e−iEn t/h̄ .
(2.15)
n=1
Es zeigt sich, dass sich jede Lösung der (zeitabhängigen) Schrödinger-Gleichung in
dieser Form schreiben lässt – man muss nur die richtigen Konstanten (c1 , c2 ‚ . . . )
finden, um die Anfangsbedingungen für das vorliegende Problem zu erfüllen. Sie
werden in den nächsten Abschnitten sehen, wie das alles in der Praxis funktioniert, und in Kapitel 3 werden wir das alles mathematisch ein wenig eleganter fassen. Die Hauptsache hier ist: Sobald Sie die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
gelöst haben, sind Sie im Wesentlichen fertig; von da aus die allgemeine Lösung
der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung anzugeben, ist – zumindest im Prinzip –
einfach und direkt.
Auf den letzten paar Seiten ist eine Menge passiert, darum lassen Sie mich das
alles noch einmal aus einer etwas anderen Perspektive zusammenfassen. Der Aus5 Eine Linearkombination der Funktionen f1 (z), f2 (z)‚ . . . ist ein Ausdruck der Form
f (z) = c1 f1 (z) + c2 f2 (z) + · · · ;
darin sind die c1 , c2 ‚ . . . beliebige (komplexe) Konstanten.
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
gangspunkt ist folgender: Sie haben ein (zeitunabhängiges) Potential V (x ) und die
Anfangswellenfunktion ψ(x‚ 0). Ihre Aufgabe ist es, die Wellenfunktion ψ(x‚ t) für
einen beliebigen späteren Zeitpunkt t anzugeben. Dazu müssen Sie die (zeitabhängige) Schrödinger-Gleichung (Gleichung 2.1) lösen. Um das zu tun, gehen Sie folgendermaßen6 vor: Sie lösen zuerst die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (Gleichung 2.5); dies führt zu einer unendlichen Menge von Lösungen (ψ1 (x ), ψ2 (x ),
ψ3 (x )‚ . . . ), die jeweils mit einer bestimmten Energie (E1 , E2 , E3 ‚ . . . ) verbunden sind.
Um Ψ (x‚ 0) anzupassen, schreiben Sie die allgemeine Linearkombination aller dieser
Lösungen auf:
Ψ (x‚ 0) =
∞
cn ψn (x ) ;
(2.16)
n=1
das Wunderbare ist, dass Sie durch eine passende Wahl der Konstanten c1 , c2 , c3 ‚ . . .
immer den vorgegebenen Anfangszustand erreichen können. Um Ψ (x‚ t) zu konstruieren, heften Sie einfach an jeden Term seine charakteristische Zeitabhängigkeit
exp(−iEn t/h̄) an:
Ψ (x‚ t) =
∞
cn ψn (x ) e−iEn t/h̄ =
n=1
∞
cn Ψn (x‚ t) .
(2.17)
n=1
Die separierbaren Lösungen selbst
Ψn (x‚ t) = ψn (x ) e−iEn t/h̄
(2.18)
beschreiben stationäre Zustände (stationär in dem Sinne, dass alle Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte nicht von der Zeit abhängen), doch dies gilt ausdrücklich nicht für die allgemeine Lösung (Gleichung 2.17); für unterschiedliche stationäre Zustände sind die Energien verschieden, und die Exponentialfaktoren fallen
daher beim Berechnen von |Ψ |2 nicht heraus.
Beispiel 2.1: Linearkombination zweier Zustände
Nehmen Sie ein Teilchen an, das anfangs durch eine Linearkombination von
gerade zwei Zuständen beschrieben wird:
Ψ (x‚ 0) = c1 ψ1 (x ) + c2 ψ2 (x ) .
(Um die Sache nicht unnötig zu verkomplizieren, werde ich annehmen, dass die
Konstanten cn und die Zustände ψn (x ) jeweils reell sind.) Wie sieht dann die
Wellenfunktion Ψ (x‚ t) zu späteren Zeitpunkten aus? Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte und beschreiben Sie ihre zeitliche Änderung.
6 Manchmal können Sie die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung auch lösen, ohne auf die
Variablenseparation zurückzugreifen (Beispiele finden Sie in den Aufgaben 2.49 und 2.50).
Doch solche Fälle sind extrem selten.
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2.1 Stationäre Zustände
Beispiel 2.1 (Fortsetzung)
Lösung:
Der erste Teil ist einfach:
Ψ (x‚ t) = c1 ψ1 (x ) e−iE1 t/h̄ + c2 ψ2 (x ) e−iE2 t/h̄ ‚
und darin sind E1 und E2 die mit den Zuständen ψ1 und ψ2 verbundenen Energien. Dann folgt:
|Ψ (x‚ t)|2 = c1 ψ1 eiE1 t/h̄ + c2 ψ2 eiE2 t/h̄ c1 ψ1 e−iE1 t/h̄ + c2 ψ2 e−iE2 t/h̄
= c12 ψ12 + c22 ψ22 + 2c1 c2 ψ1 ψ2 cos (E2 − E1 )t/h̄ .
(Zur Vereinfachung dieses Ergebnisses habe ich die Euler’sche Formel (exp iθ =
cos θ +i sin θ ) verwendet.) Offenbar schwankt die Wahrscheinlichkeitsdichte mit
der Winkelfrequenz (E2 − E1 )/h̄ sinusförmig hin und her. Es handelt sich also
ganz offensichtlich nicht um einen stationären Zustand. Aber machen Sie sich
klar, dass die Bewegung erst durch die Linearkombination verschiedener Zustände entsteht.
∗
Aufgabe 2.1
Beweisen Sie die folgenden drei Sätze:
a
Für normierbare Lösungen muss die Separationskonstante E reell sein.
Hinweis: Schreiben Sie E in Gleichung 2.7 als E0 + iΓ (mit den reellen Werten E0 und Γ ) und zeigen Sie, dass Γ null sein muss, wenn Gleichung 1.20
für alle Zeiten t gelten soll.
b
Die zeitunabhängige Wellenfunktion ψ(x ) kann immer als reell angesehen
werden (anders als Ψ (x‚ t), die notwendigerweise komplex ist). Das heißt
nicht, das jede Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung tatsächlich reell ist; wenn man aber eine Lösung hat, die nicht reell ist, dann
lässt sie sich immer als Linearkombination von Lösungen mit derselben
Energie ausdrücken, die es sind. Damit können Sie genausogut annehmen,
dass die Lösungen ψ reell sind.
Hinweis: Wenn ψ(x ) die Gleichung 2.5 erfüllt, dann auch das KonjugiertKomplexe und damit die reellen Linearkombinationen (ψ + ψ ∗ ) und i(ψ −
ψ ∗ ).
c
Wenn V (x ) eine gerade Funktion ist (d. h., wenn V (−x ) = V (x ) gilt), dann
kann man ψ(x ) immer entweder als gerade oder als ungerade ansehen.
Hinweis: Wenn ψ(x ) für ein gegebenes E die Gleichung 2.5 erfüllt, dann
auch ψ(−x ) und damit die geraden und ungeraden Linearkombinationen
ψ(x ) ± ψ(−x ).
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
∗
Aufgabe 2.2
Zeigen Sie, dass E für jede normierbare Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung den Mindestwert von V (x ) übersteigen muss. Welches klassische Analogon zu dieser Aussage kennen Sie?
Hinweis: Formulieren Sie Gleichung 2.5 um zu
d2 ψ
2m
= 2 [V (x ) − E]ψ .
dx 2
h̄
Für E < Vmin haben ψ und die zweiten Ableitungen immer dasselbe Vorzeichen – weisen Sie nach, dass eine solche Funktion nicht normiert werden kann.
2.2
Der unendlich tiefe Potentialtopf
Wir betrachten ein Potential der Form (Abbildung 2.1)
0 für 0 ≤ x ≤ a ‚
V (x ) =
∞ sonst.
(2.19)
Ein Teilchen in diesem Potential ist völlig frei, außer an den beiden Enden (x = 0
und x = a), wo eine unendlich große Kraft es am Ausbruch hindert. Ein klassisches
Modell ist beispielsweise ein Luftkissengleiter mit vollständig elastischen Prallkissen an den Enden – er wird dann an den Wänden immer hin- und hergeworfen.
(Natürlich handelt es sich um ein künstliches Potential, doch Sie sollten es sich mit
Hochachtung anschauen. Trotz seiner Einfachheit – oder besser: gerade wegen seiner
Einfachheit – dient es als ein wunderbar zugänglicher Testfall für all die originellen
Mechanismen, mit denen wir noch zu tun haben werden. Wir werden dem unendlich
tiefen rechteckigen Potentialtopf noch häufig begegnen.)
Außerhalb des Potentialtopfs gilt ψ(x ) = 0 (die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen
dort anzutreffen, ist null). Innerhalb des Potentialtopfs, wo V = 0 gilt, nimmt die
zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (Gleichung 2.5) die folgende Form an:
−
h̄2 d2 ψ
= Eψ
2m dx 2
(2.20)
oder
d2 ψ
= −k 2 ψ
dx 2
mit k ≡
√
2mE
.
h̄
(2.21)
(Wenn ich das so aufschreibe, habe ich stillschweigend E ≥ 0 angenommen; aber
wir wissen aus Aufgabe 2.2, dass E < 0 nicht zu einer Lösung führt.) Gleichung 2.21
beschreibt den einfachen klassischen harmonischen Oszillator; die allgemeine Lösung ist
ψ(x ) = A sin kx + B cos kx
(2.22)
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2.2 Der unendlich tiefe Potentialtopf
V(x)
a
x
Abbildung 2.1: Der unendlich tiefe rechteckige Potentialtopf (Gleichung 2.19).
mit den beliebigen Konstanten A und B. Typischerweise sind diese Konstanten durch
Randbedingungen festgelegt. Aber was sind denn nun die passenden Randbedingungen für ψ(x )? Gewöhnlich sind sowohl ψ als auch dψ/ dx stetig, aber an den
Stellen, an denen das Potential gegen unendlich geht, gilt nur die erste dieser Bedingungen. (In Abschnitt 2.5 werde ich diese Randbedingungen auch beweisen und die
Ausnahme für V = ∞ erläutern; für’s erste müssen Sie mir einfach glauben.)
Die Stetigkeit von ψ(x ) erfordert
ψ(0) = ψ(a) = 0 ‚
(2.23)
damit man es an die Lösung außerhalb des Topfes anschließen kann. Was sagt uns
das über A und B? Nun, wir haben
ψ(0) = A sin 0 + B cos 0 = B
und damit B = 0, folglich
ψ(x ) = A sin kx .
(2.24)
Dann haben wir ψ(a) = A sin ka, also entweder A = 0 (in diesem Fall sind wir bei
der trivialen – nicht normierbaren – Lösung ψ(x ) = 0) oder sin ka = 0, und das
bedeutet
ka = 0‚ ± π‚ ± 2π‚ ± 3π‚ . . .
(2.25)
Doch k = 0 ist keine gute Lösung (sie würde wieder ψ(x ) = 0 mit sich ziehen), und
die negativen Lösungen sagen uns nichts Neues (wegen sin(−θ ) = − sin(θ ) und weil
wir das Minuszeichen in A hineinziehen können). Die brauchbaren Lösungen sind
also
kn =
nπ
a
mit n = 1‚ 2‚ 3‚ . . .
(2.26)
Seltsamerweise bestimmt die Randbedingung bei x = a nicht die Konstante A, sondern die Konstante k und damit die möglichen Werte von E:
En =
h̄2 kn2
n2 π2 h̄2
.
=
2m
2ma2
(2.27)
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Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
1(x)
2(x)
a
3(x)
x
a
x
a
x
Abbildung 2.2: Die ersten drei stationären Zustände des unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopfs (Gleichung 2.28).
In krassem Gegensatz zum klassischen Fall – dort kann ein Teilchen jede beliebige
Energie haben – kann ein Quantenteilchen nur ganz bestimmte, erlaubte Energiewerte annehmen.7 Um A zu bestimmen, müssen wir ψ normieren:
a
|A|2 sin2 (kx ) dx = |A|2
0
a
= 1‚
2
also |A|2 =
2
.
a
Damit ist zwar nur der Betrag von A bestimmt, aber es ist ganz einfach, die positive
reelle Wurzel zu berechnen: A = 2/a (die Phase von A trägt ohnehin keine physikalische Bedeutung). Innerhalb des Potentialtopfs bekommen wir somit folgende
Lösungen:
ψn (x ) =
nπ 2
sin
x .
a
a
(2.28)
Wie versprochen hat die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung einen unendlichen
Satz von Lösungen (eine für jede positive Zahl n). Die ersten von ihnen sind in
Abbildung 2.2 dargestellt. Sie sehen aus wie stehende Wellen auf einem Seil der
Länge a. Der Zustand ψ1 mit der niedrigsten Energie wird als Grundzustand bezeichnet, die weiteren Zustände, deren Energie entsprechend n2 zunimmt, heißen angeregte Zustände. In ihrer Gesamtheit haben die Funktionen ψn (x ) einige interessante
und wichtige Eigenschaften:
1. Sie sind abwechselnd gerade und ungerade in Bezug auf den Mittelpunkt des
Potentialtopfs: ψ1 ist gerade, ψ2 ist ungerade, ψ3 ist gerade und so weiter.8
2. Wenn man zu immer höheren Energien kommt, haben aufeinanderfolgende Zustände jeweils einen Knoten (Nulldurchgang) mehr. ψ1 hat keinen (die Endpunkte
zählen nicht), ψ2 hat einen, ψ3 hat zwei und so weiter.
3. Die Funktionen sind paarweise orthogonal in dem Sinne, dass für m = n gilt:
ψm (x )∗ ψn (x ) dx = 0 .
(2.29)
7 Machen Sie sich klar, dass die Energiequantisierung sich hier als ziemlich technische Konsequenz aus den Randbedingungen für die Lösungen der zeitunabhängigen SchrödingerGleichung ergibt.
8 Um diese Symmetrie etwas deutlicher zu machen, zentrieren einige Autoren den Potentialtopf am Ursprung (er erstreckt sich dann von −a bis +a. Die geraden Funktionen sind dann
Kosinusfunktionen, die ungeraden sind Sinusfunktionen. Vergleiche dazu Aufgabe 2.36).
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 57 — le-tex
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2.2 Der unendlich tiefe Potentialtopf
Beweis ψm (x )∗ ψn (x ) dx =
=
2
a
1
a
a
sin
0
mπ nπ x sin
x dx
a
a
a cos
0
m−n
m+n
πx − cos
πx
dx
a
a
a
m−n
m+n
1
1
sin
πx −
sin
πx (m − n)π
a
(m + n)π
a
0
1 sin[(m − n)π] sin[(m + n)π]
= 0.
=
−
π
(m − n)
(m + n)
=
Beachten Sie, dass dieser Beweis nicht für m = n funktioniert. (Finden Sie den
Punkt, an dem er scheitert?) In diesem Fall wissen wir wegen der Normierung, dass
das Integral den Wert 1 hat. Tatsächlich können wir die Orthogonalität und die Normierung sogar in einer einzigen Aussage zusammenfassen:9
ψm (x )∗ ψn (x ) dx = δmn .
(2.30)
Das hier vorkommende δmn (das sogenannte Kronecker-Symbol oder KroneckerDelta) wird in der üblichen Weise definiert:
0 für m = n ;
δmn =
(2.31)
1 für m = n .
Wir nennen die ψ dann orthonormal.
4. Sie sind vollständig in dem Sinne, dass jede andere Funktion f (x ) sich als Linearkombination aus ihnen darstellen lässt:
∞
∞
nπ 2 f (x ) =
cn ψn (x ) =
cn sin
x .
(2.32)
a
a
n=1
n=1
Ich werde an dieser Stelle die Vollständigkeit der Funktionen sin(nπx /a) nicht beweisen, aber wenn Sie schon einige Kurse in Analysis hinter sich haben, werden Sie
erkennen, dass die Gleichung 2.32 gerade die Fourier-Reihe für f (x ) ist, und dass
man „jede“ Funktion in dieser Weise ausdrücken kann, wird manchmal als Dirichlet’scher Satz bezeichnet.10
Für ein gegebenes f (x ) kann man die Koeffizienten cn mithilfe einer Methode berechnen, die ich als Fourier-Trick bezeichne und die auf schöne Weise die Orthonormalität der {ψn } ausnützt – multiplizieren Sie einfach beide Seiten von Gleichung 2.32
9 In diesem Fall sind die ψ reell, sodass das ∗ bei ψm unnötig wird; für den späteren Verlauf
des Buchs ist aber besser, sich an die Schreibweise mit dem Stern zu gewöhnen.
10 Vgl. dazu beispielsweise Mary Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, 2nd
ed. (New York: John Wiley, 1983), S. 313; f (x ) kann sogar eine endliche Anzahl von endlichen Sprungstellen haben.
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
mit ψm (x )∗ und integrieren Sie:
ψm (x )∗ f (x ) dx =
∞
cn
ψm (x )∗ ψn (x ) dx =
n=1
∞
cn δmn = cm .
(2.33)
n=1
(Achten Sie darauf, wie das Kronecker-Delta alle Terme in der Summe auslöscht
außer dem einen mit m = n.) Folglich ist der n-te Koeffizient11 in der Entwicklung
von f (x )
cn =
ψn (x )∗ f (x ) dx .
(2.34)
Diese vier Eigenschaften sind extrem schlagkräftig, und sie sind nicht auf den Zusammenhang mit dem unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopf beschränkt. Die erste
der Eigenschaften gilt immer dann, wenn das Potential eine symmetrische Funktion
ist; die zweite ist allgemeingültig, unabhängig von der Form des Potentials.12 Auch
die Orthogonalität ist recht allgemein – ich werde den Beweis in Kapitel 3 bringen.
Die Vollständigkeit gilt wahrscheinlich für alle Potentiale, denen Sie jemals begegnen werden, aber die Beweise sind unangenehm und aufwendig; ich befürchte, dass
die meisten Physiker die Vollständigkeit einfach nur behaupten und das Beste hoffen.
Die stationären Zustände (Gleichung 2.18) des unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopfs sind offenbar
nπ 2 2
2
2
Ψn (x‚ t) =
(2.35)
sin
x e−i(n π h̄/2ma )t .
a
a
Ich habe im Zusammenhang mit Gleichung 2.18 behauptet, dass die allgemeinste
Lösung der (zeitabhängigen) Schrödinger-Gleichung eine Linearkombination der stationären Zustände ist:
∞
nπ 2 2
2
2
Ψ (x‚ t) =
cn
(2.36)
sin
x e−i(n π h̄/2ma )t .
a
a
n=1
(Wenn Sie daran zweifeln, dass dies tatsächlich eine Lösung ist, dann sollten Sie das
auf alle Fälle nachprüfen!) Dazu muss ich nur noch zeigen, dass ich jede vorgegebene
Anfangswellenfunktion Ψ (x‚ 0) durch passende Wahl der Koeffizienten cn anpassen
kann:
Ψ (x‚ 0) =
∞
cn ψn (x ) .
n=1
Die Vollständigkeit der ψ (die in diesem Fall durch den Dirichlet’schen Satz sichergestellt ist) garantiert, dass ich Ψ (x‚ t) immer auf diese Weise darstellen kann, und
ihre Orthonormalität erlaubt die Anwendung des Fourier-Tricks, um die tatsächli11 Es ist egal, ob Sie hier m oder n als „Dummy-Index“ verwenden (solange Sie nur auf beiden
Seiten der Gleichung denselben nehmen); egal welchen Buchstaben Sie verwenden, er steht
einfach nur für „eine beliebige ganze positive Zahl“.
12 Vgl. dazu beispielsweise John L. Powell und Bernd Crasemann, Quantum Mechanics
(Addison-Wesley, Reading, MA, 1961), S. 126.
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2.2 Der unendlich tiefe Potentialtopf
chen Koeffizienten zu bestimmen:
a
nπ 2
sin
x Ψ (x‚ 0) dx .
cn =
a
a
(2.37)
0
Und das war’s auch schon: Wenn wir die Anfangswellenfunktion Ψ (x‚ 0) haben,
berechnen wir zunächst mithilfe von Gleichung 2.37 die Entwicklungskoeffizienten und setzen sie dann in Gleichung 2.36 ein, um Ψ (x‚ t) zu bekommen. Mit dieser
Wellenfunktion gerüstet können wir nun (mithilfe der in Kapitel 1 beschriebenen
Vorgehensweisen) jede uns interessierende dynamische Größe berechnen. Und das
gilt ebenso für beliebige andere Potentiale – es ändert sich dabei nur das Aussehen
der ψ und der Gleichung für die erlaubten Energien.
Beispiel 2.2: Teilchen im unendlich tiefen
rechteckigen Potentialtopf
Ein Teilchen in dem unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopf hat die Anfangswellenfunktion
Ψ (x‚ 0) = Ax (a − x ) (0 ≤ x ≤ a)
mit einer bestimmten Konstante A (vgl. Abbildung 2.3). Außerhalb des Potentialtopfs ist natürlich Ψ = 0. Berechnen Sie Ψ (x‚ t).
(x, 0)
Aa2
4
a
x
Abbildung 2.3: Die Anfangswellenfunktion in Beispiel 2.2.
Lösung:
Zunächst müssen wir A bestimmen, indem wir Ψ (x‚ 0) normieren:
a
1=
|Ψ (x‚ 0)|2 dx = |A|2
0
a
x 2 (a − x )2 dx = |A|2
0
a5
‚
30
d. h.
A=
30
.
a5
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Beispiel 2.2 (Fortsetzung)
Der n-te Koeffizient ist nach Gleichung 2.37
a
nπ 30
2
cn =
sin
x (a − x ) dx
x
a
a
a5
0
⎤
√ ⎡ a
a
nπ nπ 2 15 ⎣
2
a x sin
x dx − x sin
x dx ⎦
=
a
a
a3
0
0
√ nπ ax
nπ a
a 2
2 15
=
sin
x
−
cos
x a
nπ
a
nπ
a
a3
0
"
# $
a 2
nπ (nπx /a)2 − 2
nπ a
− 2
x sin
cos
x −
x nπ
a
a
(nπ/a)3
0
#
√ "
2−2
(
nπ
)
2
2 15
a3
3
3
=
cos(nπ) + a
cos(0)
cos(nπ) + a
−
nπ
a3
(nπ)3
(nπ)3
√
4 15 cos(0) − cos(nπ)
=
3
(nπ)
0
für gerades n ‚
=
√
3
für ungerades n .
8 15/(nπ)
Damit gilt nach Gleichung 2.36:
Ψ (x‚ t) =
30
a
3
2
π
n=1‚3‚5...
nπ 2 2
2
1
sin
x e−in π h̄t/2ma .
3
a
n
Etwas flapsig ausgedrückt, erhalten Sie aus den cn „die Menge von ψn , die in ψ
enthalten ist“. Manche sprechen lieber davon, dass |cn |2 „die Wahrscheinlichkeit
angibt, das Teilchen im n-ten stationären Zustand zu finden“, aber das ist eine mangelhafte Ausdrucksweise; das Teilchen ist im Zustand ψ , nicht ψn , und außerdem
werden Sie im Labor kein „Teilchen in einem bestimmten Zustand finden“ – Sie
messen nur eine bestimmte Observable und erhalten als Ergebnis der Messung eine
Zahl. Wie wir in Kapitel 3 noch sehen werden, gibt |cn |2 die Wahrscheinlichkeit an,
dass eine Messung der Energie den Wert En ergibt (eine sachkundige Messung ergibt
immer einen der „erlaubten“ Werte – daher die Bezeichnung – und |cn |2 ist einfach
die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Wert von En zu erhalten.)
Die Summe aller dieser Wahrscheinlichkeiten ergibt natürlich 1:
∞
|cn |2 = 1 .
(2.38)
n=1
60
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j
j
j
j
j
Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 61 — le-tex
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j
2.2 Der unendlich tiefe Potentialtopf
Und tatsächlich folgt dies aus der Normierung der Ψ (da die cn zeitunabhängig sind,
führe ich den Beweis für t = 0; wenn Sie das stören sollte, können Sie den Beweis
leicht auf beliebige Zeiten t verallgemeinern):
1=
=
=
|Ψ (x‚ 0)|2 dx =
∞
∞ m=1 n=1
∞ ∞
∗ c
cm
n
∞
∗ ∞
cm ψm (x )
m=1
cn ψn (x ) dx
n=1
ψm (x )∗ ψn (x ) dx
∞
∗ c δ
cm
n mn =
n=1 m=1
|cn |2 .
n=1
(Wieder sehen Sie, wie das Kronecker-Delta genau den Term mit m = n aus der
Summation über m herauspickt.)
Darüber hinaus muss der Erwartungswert der Energie
H =
∞
|cn |2 En
(2.39)
n=1
sein, und auch das kann man direkt überprüfen: Die zeitunabhängige SchrödingerGleichung (Gleichung 2.12) besagt
H ψn = E n ψn ‚
(2.40)
und damit haben wir
H =
=
Ψ ∗ H Ψ dx =
∗ c E
cm
n n
cm ψm
∗
∗ ψ dx =
ψm
n
H
cn ψn dx
|cn |2 En .
Beachten Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, eine bestimmte Energie zu erhalten,
nicht von der Zeit abhängt, und das gilt erst recht für den Erwartungswert von H.
Dies ist eine Erscheinungsform der Energieerhaltung in der Quantenmechanik.
Beispiel 2.3: Dominanz
der Grundzustandswellenfunktion
In Beispiel 2.2 erinnert die Anfangswellenfunktion (Abbildung 2.3) recht stark
an den Grundzustand ψ1 (Abbildung 2.2). Das lässt darauf schließen, dass |c1 |2
vorherrscht, und beim Nachrechnen zeigt sich tatsächlich
|c1 |2 =
√ 2
8 15
= 0‚998555 . . .
π3
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 62 — le-tex
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Beispiel 2.3 (Fortsetzung)
Der Rest der Koeffizienten macht nur noch einen ganz kleinen Teil aus:13
√ 2
∞
∞
1
8 15
2
|cn | =
= 1.
π3
n6
n=1
n=1‚3‚5‚...
Der Erwartungswert in diesem Beispiel ist
√ 2
∞
n2 π2 h̄2
480h̄2
8 15
H =
=
n3 π3
2ma2
π4 ma2
n=1‚3‚5‚...
∞
n=1‚3‚5‚...
1
5h̄2
=
.
n4
ma2
Wie zu erwarten, liegt er ganz dicht bei E1 = π2 h̄2 /2ma2 – wegen der Beimischung der angeregten Zustände ist er ein wenig größer.
Aufgabe 2.3
Zeigen Sie, dass es für den unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopf mit E = 0
oder E < 0 keine akzeptable Lösung der (zeitunabhängigen) Schrödinger-Gleichung gibt. (Dies ist ein Spezialfall des allgemeinen Satzes aus Aufgabe 2.2, doch
diesmal sollen Sie die Aufgabe bearbeiten, indem Sie die Schrödinger-Gleichung
explizit lösen und zeigen, dass sich die Randbedingungen nicht erfüllen lassen.)
∗
Aufgabe 2.4
Berechnen Sie x, x 2 , p, p2 , σx und σp für den n-ten stationären Zustand
des unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopfs. Prüfen Sie nach, ob die Unschärferelation erfüllt ist. Welcher Zustand liegt am dichtesten an der Unschärfegrenze?
∗
Aufgabe 2.5
Ein Teilchen im unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopf hat als Anfangswellenfunktion eine gerade Mischung der ersten beiden stationären Zustände:
Ψ (x‚ 0) = A[ψ1 (x ) + ψ2 (x )] .
a
Normieren Sie Ψ (x‚ 0). (Mit anderen Worten: Bestimmen Sie A. Das ist ganz
leicht, wenn Sie die Orthonormalität von ψ1 und ψ2 ausnützen. Denken
13 Sie können die Reihen
und
1
1
π6
1
+ 6 + 6 + ··· =
960
16
3
5
1
1
π4
1
+ 4 + 4 + ··· =
4
96
1
3
5
in vielen mathematischen Formelsammlungen nachschlagen (etwa unter den Stichwörtern
„Summenwerte spezieller Reihen mit konstanten Gliedern“ oder „Riemann’sche Zetafunktion“).
62
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j
j
j
j
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 63 — le-tex
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j
2.2 Der unendlich tiefe Potentialtopf
Sie daran, dass Ψ – wenn Sie es erst einmal zum Zeitpunkt t = 0 normiert
haben – ganz sicher normiert bleibt; wenn Sie daran zweifeln, rechnen Sie
einfach explizit nach, sobald Sie Teil (b) gelöst haben.)
b
Bestimmen Sie Ψ (x‚ t) und |Ψ (x‚ t)|2 . Drücken Sie die letztere Funktion
mithilfe einer sinusförmig von der Zeit abhängigen Funktion aus, so wie in
Beispiel 2.1. Um das Ergebnis zu vereinfachen, schreiben Sie ω ≡ π2 h̄/2ma2 .
c
Berechnen Sie x. Überzeugen Sie sich, dass der Wert mit der Zeit hin- und
herschwankt. Welche Winkelfrequenz hat die Schwingung? Welche Amplitude hat sie? (Wenn Ihre Amplitude größer ist als a/2, gehen Sie direkt ins
Gefängnis und ziehen Sie nicht 4000 Euro ein.)
d
Berechnen Sie p. (Machen Sie das „quick and dirty“ oder, wie Peter Lorre
es sagen würde: „Do it ze kveek vay, Johnny!“14 )
e
Welche Werte dürften Sie bekommen, wenn Sie die Energie dieses Teilchens gemessen haben, und welche Wahrscheinlichkeit gibt es für jeden
von ihnen? Bestimmen Sie den Erwartungswert von H. Wie sieht er im Vergleich zu E1 und E2 aus?
Aufgabe 2.6
Obwohl die allgemeine Phasenkonstante der Wellenfunktion keine physikalische Bedeutung hat (sie fällt immer heraus, wenn man eine messbare Größe
berechnet), spielt die relative Phase der Koeffizienten in Gleichung 2.17 sehr
wohl eine Rolle. Nehmen Sie beispielsweise an, dass wir die relative Phase von
ψ1 und ψ2 in Aufgabe 2.5 ändern:
&
%
Ψ (x‚ 0) = A ψ1 (x ) + eiφ ψ2 (x )
(dabei soll φ eine bestimmte Konstante sein). Berechnen Sie Ψ (x‚ t), |Ψ (x‚ t)|2
sowie x und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit dem, was Sie in Aufgabe 2.5
berechnet haben. Untersuchen Sie auch die Spezialfälle φ = π/2 und φ = π.
∗
Aufgabe 2.7
Ein Teilchen in einem unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopf hat die Anfangswellenfunktion15
Ax ‚
0 ≤ x ≤ a /2 ‚
Ψ (x‚ 0) =
A(a − x ) ‚ a/2 ≤ x ≤ a .
14 Peter Lorre in der Rolle von Dr. Einstein in Arsenic and Old Lace („Arsen und Spitzenhäubchen“): anzuhören unter http://www.ealasaid.com/fan/lorrelibrary/lorre/aaol/well
doit.wav
15 Es gibt prinzipiell keine Einschränkung für die Form der Wellenfunktion am Anfang, solange
sie nur normierbar ist. Insbesondere muss Ψ (x‚ 0) keine stetige Ableitung haben – es muss
noch nicht einmal eine stetige
Funktion sein. Wenn Sie jedoch in solch einem Fall ver
suchen, H mithilfe von Ψ (x‚ 0)∗ H Ψ (x‚ 0) dx zu berechnen, werden Sie auf technische
Schwierigkeiten stoßen, weil die zweite Ableitung von Ψ (x ) dann nicht definiert ist. In
Aufgabe 2.9 funktioniert das ganze, weil die Unstetigkeitstellen an den Endpunkten liegen,
wo die Wellenfunktion sowieso null ist. In Aufgabe 2.48 werden Sie sehen, wie man in
einem Fall wie in dieser Aufgabe mit einer unstetigen Wellenfunktion umgeht.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 64 — le-tex
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
a
Fertigen Sie eine Skizze von Ψ (x ) und bestimmen Sie die Konstante A.
b
Bestimmen Sie Ψ (x‚ t).
c
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Energiemessung den Wert E1
ergibt?
d
Bestimmen Sie den Erwartungswert der Energie.
Aufgabe 2.8
Ein Teilchen der Masse m in einem unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopf
mit der Breite a befindet sich am Anfang in der linken Hälfte des Topfs und wird
(für t = 0) mit gleicher Wahrscheinlichkeit an jedem Punkt in diesem Bereich
gefunden.
a
Was ist die Anfangswellenfunktion Ψ (x‚ 0)? (Nehmen Sie an, dass sie reell
ist. Und vergessen Sie nicht, die Wellenfunktion zu normieren.)
b
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Energiemessung den Wert
π2 h̄2 /2ma2 ergibt?
Aufgabe 2.9
Bestimmen Sie für die Wellenfunktion in Beispiel 2.2 den Erwartungswert von
H zum Zeitpunkt t = 0. Gehen Sie auf die „traditionelle“ Weise vor:
Ψ (x‚ 0) dx .
H = Ψ (x‚ 0)∗ H
Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit dem aus Beispiel 2.3.
Anmerkung: Weil H nicht von der Zeit abhängt, können Sie ohne Beschränkung der Allgemeinheit mit t = 0 rechnen.
2.3
Der harmonische Oszillator
Das Musterbeispiel für einen klassischen harmonischen Oszillator ist eine Masse m,
die an einer Feder mit der Federkonstante k befestigt ist. Die Bewegung gehorcht
dann dem Hooke’schen Gesetz
d2 x
dt2
(zumindest, wenn man die Reibung vernachlässigt), und die Lösung dieser Bewegungsgleichung ist
F = −kx = m
x (t) = A sin(ωt) + B cos(ωt)
mit einer Schwingungsfrequenz (Winkelfrequenz)
k
ω≡
.
m
(2.41)
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j
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 65 — le-tex
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j
2.3 Der harmonische Oszillator
V(x)
x0
x
Abbildung 2.4: Näherung eines beliebigen Potentials in der Nähe eines lokalen Minimums durch eine Parabel (gestrichelte Linie).
Die potentielle Energie ist
V (x ) =
1 2
kx ;
2
(2.42)
ihr Graph ist eine Parabel.
Natürlich gibt es so etwas wie einen idealen harmonischen Oszillator gar nicht –
wenn man die Feder beispielsweise zu sehr dehnt, dann kann sie reißen, und das
Hooke’sche Gesetz versagt typischerweise schon weit vor Erreichen des Reißpunkts.
Aber in der Praxis lässt sich ein beliebiges Potential V (x ) in der Umgebung eines
lokalen Minimums immer durch eine Parabel annähern (Abbildung 2.4). Formal entwickeln wir dazu V (x ) in eine Taylor-Reihe um das Minimum:
V (x ) = V (x0 ) + V (x0 )(x − x0 ) +
1 V (x0 )(x − x0 )2 + · · · ‚
2
ziehen dann V (x0 ) ab (man kann ja ungestraft eine beliebige Konstante zu V (x )
addieren, da das die Kraft nicht ändert), erkennen dann, dass V (x0 ) = 0 gilt (denn
x0 ist ein Minimum) und vernachlässigen schließlich alle Terme höherer Ordnung
(das geht, solange (x − x0 ) klein bleibt). Dann erhalten wir
V (x ) ∼
=
1 V (x0 )(x − x0 )2 ‚
2
und das beschreibt eine harmonische Schwingung (um den Punkt x0 ) mit der effektiven Federkonstante k = V (x0 ).16 Daher ist die harmonische Schwingung so wichtig: Praktisch jede Schwingungsbewegung ist näherungsweise eine harmonische
Schwingung, solange die Amplitude klein bleibt.
Das Quantenproblem besteht darin, die Schrödinger-Gleichung für das Potential
V (x ) =
1
mω2 x 2
2
(2.43)
16 Beachten Sie, dass V (x0 ) ≥ 0 gilt, denn nach unserer Annahme ist ja x0 ein Minimum.
Nur in dem seltenen Fall V (x0 ) = 0 ist die Schwingung nicht einmal näherungsweise
harmonisch.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 66 — le-tex
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
zu lösen (üblicherweise schreibt man nicht die Federkonstante, sondern gibt (mithilfe von Gleichung 2.41) gleich die klassische Frequenz an). Wie wir gesehen haben,
reicht es aus, die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung zu lösen:
−
h̄2 d2 ψ
1
+ mω2 x 2 ψ = E ψ .
2m dx 2
2
(2.44)
In der Literatur finden Sie zwei völlig verschiedene Ansätze für dieses Problem. Beim
ersten geht man ziemlich geradlinig „mit roher Gewalt“ vor und versucht, die Differentialgleichung mithilfe einer Potenzreihenentwicklung zu lösen. Dieser Ansatz hat
den Vorzug, dass man dieselbe Strategie auch auf viele andere Potentiale anwenden
kann (wir werden auf diese Weise in Kapitel 4 beispielsweise das Coulomb-Potential
behandeln). Der zweite Ansatz ist eine teuflisch raffinierte algebraische Methode,
bei der man sogenannte Leiteroperatoren anwendet. Ich führe Ihnen die algebraische Methode zuerst vor, weil sie schneller und einfacher zum Ziel führt (und weil
sie – ja! – viel mehr Spaß macht);17 wenn Sie die Potenzreihenentwicklung fürs erste
überspringen wollen, ist das in Ordnung, aber Sie sollten auf jeden Fall einplanen,
sie später noch nachzuholen.
2.3.1 Die algebraische Methode
Ich fange damit an, die Gleichung 2.44 in eine etwas zweckmäßigere Form zu bringen:
&
1 % 2
p + (mωx )2 ψ = E ψ .
2m
(2.45)
Hier ist natürlich p ≡ (h̄/i) d/ dx der Impulsoperator. Die Grundidee ist, die Hamilton-Funktion
&
1 % 2
H=
(2.46)
p + (mωx )2
2m
zu faktorisieren. Wenn wir hier Zahlen hätten, wäre das einfach:
u2 + v 2 = (iu + v )(−iu + v ) .
Aber ganz so einfach ist es hier nicht, denn p und x sind Operatoren, und Operatoren
lassen sich im Allgemeinen nicht vertauschen (xp ist nicht dasselbe wie px – man
spricht davon, dass die Operatoren nicht kommutieren). Das bringt uns dazu, die
Größen
1
a± ≡ √
(∓ip + mωx )
2h̄mω
(2.47)
17 Wir werden einigen dieser Strategien in der Theorie der Drehimpulse (Kapitel 4) wiederbegegnen, und das Verfahren lässt sich in der supersymmetrischen Quantenmechanik auch
auf eine große Klasse von Potentialen verallgemeinern (vgl. dazu beispielsweise Richard
W. Robinett, Quantum Mechanics, Oxford University Press, New York, 1997, Abschnitt
14.4).
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j
j
j
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 67 — le-tex
j
j
2.3 Der harmonische Oszillator
zu untersuchen (der Faktor am Anfang ist nur dafür da, damit das Endergebnis ein
bisschen freundlicher aussieht).
Nun, und was bekommen wir als Produkt a− a+ ?
1
(ip + mωx )(−ip + mωx )
2h̄mω
1
=
[p2 + (mωx )2 − imω(xp − px )] .
2h̄mω
a− a+ =
Wie erwartet, taucht hier ein Extraterm auf, in dem (xp−px ) vorkommt. Diesen Term
nennen wir den Kommutator von x und p; er ist ein Maß dafür, wie sehr die beiden
Operatoren nicht kommutieren. Im Allgemeinen ist der Kommutator von zwei Operatoren A und B (geschrieben mit eckigen Klammern)
[A‚ B] ≡ AB − BA .
(2.48)
In dieser Schreibweise gilt dann
a− a+ =
1
i
[p2 + (mωx )2 ] −
[x‚ p] .
2h̄mω
2h̄
(2.49)
Wir müssen jetzt den Kommutator von x und p ausrechnen.
Warnung: Operatoren sind berühmt-berüchtigt dafür, dass man sie abstrakt kaum zu
fassen bekommt; Sie werden mit Sicherheit Fehler machen, wenn Sie den untersuchten Operatoren nicht eine „Testfunktion"f (x ) verpassen, auf die sie wirken können.
Zum Schluss werfen Sie die Testfunktion wieder weg und behalten eine Gleichung,
in der die Operatoren allein vorkommen. Im vorliegenden Fall haben wir
h̄ d
h̄ d
df
df
h̄
[x‚ p]f (x ) = x
(f ) −
(xf ) =
(2.50)
x
−x
− f = ih̄f (x ) .
i dx
i dx
i
dx
dx
Wenn wir die Testfunktion fallenlassen, die jetzt ihren Zweck erfüllt hat, bekommen
wir
[x‚ p] = ih̄ .
(2.51)
Dieses hübsche und allgemein gültige Ergebnis ist bekannt als die kanonische Vertauschungsrelation.18
Damit wird aus Gleichung 2.49
a− a+ =
oder
1
1
H+
2
h̄ω
1
H = h̄ω a− a+ −
.
2
(2.52)
(2.53)
18 In einem gewissen Sinn kann man alle Rätsel der Quantenmechanik darauf zurückführen,
dass Ort und Impuls nicht kommutieren. Manche Autoren sehen die kanonische Vertauschungsrelation daher als Axiom der Theorie, um daraus die Beziehung p = (h̄/i) d/ dx
herzuleiten.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 68 — le-tex
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Offensichtlich lässt sich die Hamilton-Funktion nicht vollständig faktorisieren –
jedenfalls taucht auf der rechten Seite ein zusätzliches (−1/2) auf. Beachten Sie,
dass die Reihenfolge von a+ und a− hier eine Rolle spielt; dieselbe Rechnung mit
a+ auf der linken Seite führt zu
a+ a− =
1
1
H− .
2
h̄ω
(2.54)
Insbesondere gilt
[a− ‚ a+ ] = 1 .
Damit lässt sich die Hamilton-Funktion auch auf folgende Form bringen:
1
.
H = h̄ω a+ a− +
2
(2.55)
(2.56)
Mithilfe der a± schreiben wir dann die Schrödinger-Gleichung19 für den harmonischen Oszillator in der Form
1
h̄ω a± a∓ ±
ψ = Eψ
(2.57)
2
(in Gleichungen wie dieser gilt durchgängig immer entweder das obere oder das
untere Vorzeichen).
Und jetzt kommt der entscheidende Schritt. Ich behaupte: Wenn ψ die SchrödingerGleichung mit der Energie E erfüllt (d. h. H ψ = E ψ ), dann erfüllt a+ ψ die Schrödinger-Gleichung mit der Energie (E + h̄ω): H (a+ ψ) = (E + h̄ω)(a+ ψ). Das muss ich
natürlich beweisen:
1
1
H (a+ ψ) = h̄ω a+ a− +
(a+ ψ) = h̄ω a+ a− a+ + a+ ψ
2
2
1
1
= h̄ωa+ a− a+ +
ψ = a+ h̄ω a+ a− + 1 +
ψ
2
2
= a+ (H + h̄ω)ψ = a+ (E + h̄ω)ψ = (E + h̄ω)(a+ ψ) .
(Mithilfe von Gleichung 2.55 habe ich in der zweiten Zeile a− a+ durch a+ a− + 1
ersetzt. Beachten Sie, dass die Reihenfolge von a+ und a− sehr wohl eine Rolle spielt,
die Reihenfolge von a± und beliebigen Konstanten wie h̄, ω und E hingegen nicht;
ein Operator kommutiert mit beliebigen Konstanten.)
Ebenso ist a− ψ eine Lösung der Schrödinger-Gleichung mit der Energie (E − h̄ω):
1
1
(a− ψ) = h̄ωa− a+ a− −
ψ
H (a− ψ) = h̄ω a− a+ −
2
2
1
= a− h̄ω a− a+ − 1 −
ψ = a− (H − h̄ω)ψ = a− (E − h̄ω)ψ
2
= (E − h̄ω)(a− ψ) .
Damit haben wir also einen wunderbaren Mechanismus zur Erzeugung von neuen
Lösungen mit höherer und mit niedrigerer Energie – jedenfalls wenn man erst mal
19 Langsam bin ich die umständliche Formulierung „zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung“
leid; wenn aus dem Zusammenhang klar wird, was gemeint ist, schreibe ich künftig einfach
nur „Schrödinger-Gleichung“.
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j
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 69 — le-tex
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2.3 Der harmonische Oszillator
E
E+3 ¨
a +3
E+2 ¨
E+ ¨
a +2
a+
a+
E
E– ¨
E –2 ¨
a–
a–2
a–
E0
0
Abbildung 2.5: Die „Leiter“ der Zustände beim harmonischen Oszillator.
eine Lösung gefunden hat, mit der man anfangen kann! Wir bezeichnen die a± als
Leiteroperatoren, weil wir uns mit ihnen in der Energie „rauf- und runterbewegen“
können. a+ ist der Aufsteigeoperator und a− der Absteigeoperator. Die „Leiter“
der Zustände ist in Abbildung 2.5 illustriert.
Doch halt! Was passiert, wenn ich den Absteigeoperator mehrmals hintereinander
anwende? Irgendwann müsste ich dann zu einem Zustand mit einer Energie unter
null kommen, und einen solchen Zustand gibt es (dem allgemeinen Satz in Beispiel 2.2 zufolge) nicht! An diesem Punkt muss der Mechanismus also versagen. Wie
ist das möglich? Wir wissen, dass a− ψ eine neue Lösung der Schrödinger-Gleichung
ist, aber wir haben keine Garantie, dass diese Lösung auch normierbar ist – sie
könnte null sein, oder das Integral über ihr Quadrat geht gegen unendlich. In der
Praxis gilt das Erstere: Die Leiter hat eine „unterste Sprosse“ (wir können sie ψ0
nennen), für die gilt
a − ψ0 = 0 .
(2.58)
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 70 — le-tex
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Damit können wir ψ0 (x ) bestimmen:
1
d
√
+ mωx ψ0 = 0
h̄
dx
2h̄mω
oder
mω
d ψ0
=−
x ψ0 .
dx
h̄
Diese Differentialgleichung ist leicht zu lösen:
d ψ0
ψ0
=−
mω
h̄
x dx
⇒
ln ψ0 = −
mω 2
x + const
2h̄
und damit
mω 2
ψ0 (x ) = A e− 2h̄ x .
Wir können es gleich normieren:
1 = |A|2
∞
2
e−mωx /h̄ dx = |A|2
−∞
dann bekommen wir A2 =
πh̄
‚
mω
mω/πh̄ und damit
ψ0 (x ) =
mω 1/4 − mω x2
e 2h̄ .
πh̄
(2.59)
Um die Energie in diesem Zustand zu bestimmen, setzen wir in die SchrödingerGleichung (in der Schreibweise der Gleichung 2.57, also h̄ω(a+ a− + 1/2)ψ0 = E0 ψ0 )
ein und nutzen aus, dass a− ψ0 = 0 gilt:
E0 =
1
h̄ω .
2
(2.60)
Nun, wo wir sicheren Tritt auf der untersten Sprosse der Leiter (d. h. dem Grundzustand des Quantenoszillators) gefunden haben, wenden wir einfach wiederholt den
Aufsteigeoperator an, um die angeregten Zustände zu erzeugen.20 Mit jedem Schritt
nimmt die Energie um h̄ω zu:
ψn (x ) = An (a+ )n ψ0 (x ) mit En = n +
1
h̄ω ;
2
(2.61)
20 Beim harmonischen Oszillators ist es aus irgendwelchen Gründen üblich, von der üblichen
Praxis abzuweichen; die Nummerierung der Zustände beginnt hier mit n = 0 anstatt mit n =
1. Offenbar muss man dann die untere Summationsgrenze in Formeln wie in Gleichung 2.17
entsprechend anpassen.
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2.3 Der harmonische Oszillator
hier ist An die Normierungskonstante. Durch (wiederholte) Anwendung des Aufsteigeoperators auf ψ0 können wir (zumindest im Prinzip) alle21 stationären Zustände
des harmonischen Oszillators erzeugen. Und dabei haben wir, ohne sie jemals explizit zu berechnen, auch die erlaubten Energien bestimmt.
Beispiel 2.4: Harmonischer Oszillator –
erster angeregter Zustand
Bestimmen Sie den ersten angeregten Zustand des harmonischen Oszillators.
Lösung:
Mit Gleichung 2.61 erhalten wir:
d
mω 1/4 − mω x2
−h̄
e 2h̄
+ mωx
dx
π h̄
2h̄mω
mω 1/4 2mω − mω x2
= A1
x e 2h̄ .
πh̄
h̄
ψ1 (x ) = A1 a+ ψ0 = √
A1
(2.62)
Das können wir „von Hand“ normieren:
|ψ1 |2 dx = |A1 |2
mω
πh̄
2mω
h̄
∞
x 2 e−
mω 2
x
h̄
dx = |A1 |2 ‚
−∞
und kommen so auf A1 = 1.
Ich würde auf diese Weise nicht ψ50 berechnen wollen (dann müsste ich den
Aufsteigeoperator 50 Mal anwenden!), aber das ist egal: Im Prinzip leistet Gleichung 2.61 genau das Gewünschte – außer der Normierung.
Man kann auch die Normierung algebraisch bestimmen, aber das erfordert einige
Verrenkungen, passen Sie also gut auf. Wir wissen, dass a± ψn proportional zu ψn±1
ist:
a+ ψn = cn ψn+1 ‚
a− ψn = dn ψn−1 ‚
(2.63)
doch was sind das für Proportionalitätsfaktoren cn und dn ? Zunächst beachten wir,
21 Machen Sie sich klar, dass wir durch dieses Vorgehen wirklich alle normierbaren Lösungen
erhalten. Wenn es noch weitere Lösungen gäbe, könnten wir sie mithilfe einer zweiten Leiter
erzeugen, indem wir dort den Auf- und den Absteigeoperator anwenden. Doch die unterste
Sprosse der neuen Leiter muss ja Gleichung 2.58 erfüllen, und das führt unausweichlich zu
Gleichung 2.59: Die zweite Leiter hätte dieselbe unterste Stufe, und damit wären die beiden
Leitern identisch.
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
dass für beliebige22 Funktionen f (x ) und g (x ) gilt:
∞
∞
f ∗ (a± g ) dx =
−∞
(a∓ f )∗ g dx .
(2.64)
−∞
(In der Sprache der linearen Algebra nennt man a∓ hermitesch konjugiert zu a± .)
Beweis ∞
−∞
1
f ∗ (a± g ) dx = √
2h̄mω
∞
−∞
d
f ∗ ∓h̄
+ mωx g dx ‚
dx
und durch partielle Integration wird f ∗ ( dg / dx ) dx zu − ( df / dx )∗ g dx (der Randterm verschwindet aus den in Fußnote 22 genannten Gründen), und damit haben
wir
∞
∗
∞ ∞
d
(a∓ f )∗ g dx .
+ mωx f g dx =
±h̄
dx
2h̄mω
1
f ∗ (a± g ) dx = √
−∞
−∞
−∞
Insbesondere gilt
∞
(a± ψn
)∗ (a
± ψn ) dx =
−∞
∞
(a∓ a± ψn )∗ ψn dx .
−∞
Aber wir haben ja auch (wegen Gleichung 2.57 und 2.61)
a + a − ψn = n ψn ‚
a− a+ ψn = (n + 1)ψn
(2.65)
und damit
∞
−∞
∞
(a+ ψn
)∗ (a
2
+ ψn ) dx = |cn |
∞
|ψn+1 |2 dx = (n + 1)
∞
|ψn |2 dx ‚
−∞
−∞
∞
∞
(a− ψn )∗ (a− ψn ) dx = |dn |2
|ψn−1 |2 dx = n
|ψn |2 dx .
−∞
−∞
−∞
Aber da ψn und ψn±1 normiert sind, folgt |cn |2 = n + 1 und |dn |2 = n und somit
a + ψn =
√
n + 1ψn+1 ‚
a − ψn =
√
n ψn−1 .
(2.66)
Folglich haben wir
ψ1 = a + ψ0 ‚
1
1
ψ3 = √ a + ψ2 = √
(a+ )3 ψ0 ‚
3
3·2
1
1
ψ2 = √ a+ ψ1 = √ (a+ )2 ψ0 ‚
2
2
1
1
ψ4 = √ a + ψ3 = √
(a+ )4 ψ0 ‚
4
4·3·2
22 Natürlich müssen die Integrale überhaupt existieren, d. h. dass f (x ) und g (x ) für ±∞ gegen
null gehen müssen.
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2.3 Der harmonische Oszillator
und so weiter. Offensichtlich ist
1
ψn = √
n!
(a+ )n ψ0 ‚
(2.67)
√
d. h. der Normierungsfaktor in Gleichung 2.61 ist An = 1/ n! (insbesondere gilt
A1 = 1, was unser Ergebnis aus Beispiel 2.4 bestätigt).
Wie schon bei dem unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopf sind auch die stationären Zustände des harmonischen Oszillators orthogonal:
∞
∗ ψ dx = δ
ψm
n
mn .
(2.68)
−∞
Dies kann man beweisen, indem man Gleichung 2.65 einmal und Gleichung 2.64
zweimal anwendet – zuerst verschiebt man a+ und dann a− :
∞
∞
∗ (a a )ψ dx = n
ψm
+ − n
−∞
∗ ψ dx
ψm
n
−∞
∞
=
(a− ψm
)∗ (a
− ψn ) dx =
−∞
∞
(a+ a− ψm )∗ ψn dx
−∞
∞
=m
∗ ψ dx .
ψm
n
−∞
∗
ψn dx null sein. Wegen der OrthonormaFür alle Fälle außer m = n muss dann ψm
lität können wir wieder den Fourier-Trick (Gleichung 2.34) anwenden, um die Koeffizienten zu bestimmen, wenn wir Ψ (x‚ 0) als Linearkombination von stationären
Zuständen entwickeln (Gleichung 2.16), und |cn |2 ist wieder die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass eine Energiemessung genau den Wert En ergibt.
Beispiel 2.5: Harmonischer Oszillator –
Energie im n-ten Zustand
Bestimmen Sie den Erwartungswert der potentiellen Energie im n-ten Zustand
des harmonischen Oszillators.
Lösung:
V =
∞
1
1
ψn∗ x 2 ψn dx .
mω2 x 2 = mω2
2
2
−∞
Es gibt einen netten Kunstgriff, um Integrale dieser Art (die Potenzen von x oder
p enthalten) auszuwerten: Greifen Sie zurück auf die Definition der Leiteroperatoren (Gleichung 2.47) und drücken Sie x und p mithilfe des Aufsteige- bzw.
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Beispiel 2.5 (Fortsetzung)
des Absteigeoperators aus:
x=
h̄
(a+ + a− ) ;
2mω
p=i
h̄mω
(a+ − a− ) .
2
(2.69)
In diesem Beispiel interessieren wir uns für x 2 :
x2 =
&
h̄ %
(a+ )2 + (a+ a− ) + (a− a+ ) + (a− )2 .
2mω
Somit haben wir
V =
h̄ω
4
%
&
ψn∗ (a+ )2 + (a+ a− ) + (a− a+ ) + (a− )2 ψn dx .
Doch (a+ )2 ψn ist (abgesehen von der Normierung) das gleiche wie ψn+2 , und
das ist orthogonal zu ψn ; dasselbe gilt für (a− )2 ψn , das proportional zu ψn−2
ist. Also fallen diese Terme heraus, und wir können die beiden verbleibenden
Terme mithilfe von Gleichung 2.65 berechnen:
V =
1
h̄ω
1
(n + n + 1) = h̄ω n +
.
4
2
2
Damit zeigt sich, dass der Erwartungswert der potentielle Energie genau die
Hälfte der Gesamtenergie ist (die andere Hälfte ist natürlich die kinetische Energie). Wie wir später sehen werden, ist dies ein typisches Merkmal des harmonischen Oszillators.
∗
Aufgabe 2.10
a
Konstruieren Sie ψ2 (x ).
b
Fertigen Sie eine Skizze von ψ0 , ψ1 und ψ2 .
c
Prüfen Sie die Orthogonalität von ψ0 , ψ1 und ψ2 durch explizite Integration.
Hinweis: Wenn Sie ausnutzen, dass die Funktionen gerade bzw. ungerade
sind, bleibt am Ende nur ein einziges Integral zu berechnen.
∗
Aufgabe 2.11
a
Berechnen Sie x, p, x 2 und p2 für die Zustände ψ0 (Gleichung 2.59)
und ψ1 (Gleichung 2.62) durch explizite Integration.
Anmerkung: In dieser und weiteren Aufgaben zum harmonischen
Oszillator
vereinfacht es die Rechnungen, wenn Sie die Variable ξ ≡ mω/h̄ x und die
Konstante α ≡ (mω/π h̄)1/4 einführen.
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2.3 Der harmonische Oszillator
∗
b
Überprüfen Sie die Unschärferelation für diese Zustände.
c
Berechnen Sie T (die mittlere kinetische Energie) und V (die mittlere
potentielle Energie) für diese Zustände. (Keine neue Integration zulässig!)
Ist ihre Summe das, was Sie erwarten würden?
Aufgabe 2.12
Berechnen Sie x, p, x 2 , p2 und T für den n-ten stationären Zustand des
harmonischen Oszillators. Wenden Sie dazu das Verfahren aus Beispiel 2.5 an.
Überprüfen Sie, dass die Unschärferelation erfüllt ist.
Aufgabe 2.13
Ein Teilchen im Potential des harmonischen Oszillators hat anfangs den Zustand
Ψ (x‚ 0) = A[3ψ0 (x ) + 4ψ1 (x )] .
a
Bestimmen Sie A.
b
Konstruieren Sie Ψ (x‚ t) und |Ψ (x‚ t)|2 . Freuen Sie sich nicht zu sehr, dass
sie mit der klassischen Frequenz schwingen; was wäre, wenn ich ψ2 (x )
anstelle von ψ1 (x ) angegeben hätte?
c
Bestimmen Sie x und p. Überprüfen Sie, dass das Ehrenfest-Theorem
(Gleichung 1.38) für diese Wellenfunktion gilt.
d
Welche Werte bekommen Sie mit welchen Wahrscheinlichkeiten, wenn Sie
die Energie dieses Teilchens messen?
Aufgabe 2.14
Ein Teilchen befindet sich im Grundzustand des harmonischen Oszillators mit
der klassischen Frequenz ω. Plötzlich vervierfacht sich die Federkonstante, die
Frequenz ist nun ω = 2ω, ohne dass sich anfangs die Wellenfunktion ändert
(natürlich wird sich aber Ψ mit der Zeit anders entwickeln, weil die HamiltonFunktion sich geändert hat). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Energiemessung immer noch den Wert h̄ω/2 ergibt? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, h̄ω zu erhalten?
Lösung: 0‚943.
2.3.2 Die analytische Methode
Wir kehren nun zur Schrödinger-Gleichung für den harmonischen Oszillator
−
h̄2 d2 ψ
1
+ mω2 x 2 ψ = E ψ
2
2m dx
2
(2.70)
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Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
zurück und lösen sie mithilfe einer Reihenentwicklung direkt. Die Rechnungen werden etwas griffiger, wenn wir die dimensionslose Variable
mω
ξ≡
x
(2.71)
h̄
einführen; dann nimmt die Schrödinger-Gleichung folgende Form an
d2 ψ
= (ξ 2 − K )ψ ;
dξ 2
(2.72)
darin ist K die Energie, angegeben in Einheiten von (1/2)h̄ω:
K≡
2E
.
h̄ω
(2.73)
Unsere Aufgabe besteht nun darin, die Gleichung 2.72 zu lösen und ein Verfahren
anzugeben, die „erlaubten“ Werte von K (und somit auch von E) zu bestimmen.
Beachten Sie zunächst, dass bei sehr großem ξ (oder mit anderen Worten: bei sehr
großem x) der Term ξ 2 sehr viel größer ist als die Konstante K. In diesem Fall haben
wir also
d2 ψ
≈ ξ 2ψ ‚
dξ 2
(2.74)
und das hat die Näherungslösung (rechnen Sie nach!)
2
2
ψ(ξ ) ≈ A e−ξ /2 + B e+ξ /2 .
(2.75)
Der Term B ist offenkundig nicht normierbar (für x → ∞ explodiert er); die physikalisch sinnvollen Lösungen haben also die asymptotische Form
2
ψ(ξ ) → ( ) e−ξ /2 für große ξ .
(2.76)
Dies lässt darauf schließen, dass wir den Exponentialteil förmlich „abschälen“:
2
ψ(ξ ) = h(ξ ) e−ξ /2 ‚
(2.77)
in der Hoffnung, dass der verbleibende Rest h(ξ ) eine einfachere Form hat als ψ(ξ )
selbst.23 Durch Differentiation von Gleichung 2.77 erhalten wir
2
dh
dψ
=
− ξ h e−ξ /2
dξ
dξ
und
d2 ψ
=
dξ 2
2
d2 h
dh
2
− 2ξ
+ (ξ − 1)h e−ξ /2 .
dξ
dξ 2
23 Bitte beachten Sie: Obwohl wir uns zur Motivation von Gleichung 2.77 auf einige Näherungen berufen, sind alle folgenden Rechnungen exakt. Der Kunstgriff, das asymptotische Verhalten abzuspalten, ist der erste Standardschritt, wenn man bei der Lösung von Differentialgleichungen die Reihenentwicklung einsetzt – vgl. dazu beispielsweise Boas (Fußnote 10),
Kapitel 12.
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2.3 Der harmonische Oszillator
Die Schrödinger-Gleichung (Gleichung 2.72) wird dann zu
dh
d2 h
− 2ξ
+ (K − 1)h = 0 .
dξ
dξ 2
(2.78)
Ich schlage vor, Lösungen für Gleichung 2.78 zu suchen, die die Form von Potenzreihen in ξ haben:24
∞
h(ξ ) = a0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + · · · =
aj ξ j .
(2.79)
j=0
Wenn wir die Reihe Term für Term differenzieren, erhalten wir
∞
dh
= a1 + 2a2 ξ + 3a3 ξ 2 + · · · =
jaj ξ j−1
dξ
j=0
und
∞
d2 h
= 2a2 + 2 · 3a3 ξ + 3 · 4a4 ξ 2 + · · · =
(j + 1)(j + 2)aj+2 ξ j .
2
dξ
j=0
Setzen wir das in Gleichung 2.78 ein, so haben wir
∞ %
&
(j + 1)(j + 2)aj+2 − 2jaj + (K − 1)aj ξ j = 0 .
(2.80)
j=0
Es folgt (wegen der Eindeutigkeit der Potenzreihenentwicklung)25 , dass der Koeffizient vor jeder Potenz von ξ verschwinden muss, also
(j + 1)(j + 2)aj+2 − 2jaj + (K − 1)aj = 0
und damit, dass
aj+2 =
(2j + 1 − K )
a .
(j + 1)(j + 2) j
(2.81)
Diese Rekursionsformel ist völlig äquivalent zur Schrödinger-Gleichung. Von a0 ausgehend, erzeugt sie alle Koeffizienten mit geradem Index:
a2 =
(1 − K )
2
a0 ‚
a4 =
(5 − K )
12
a2 =
(5 − K )(1 − K )
24
a0 ‚
··· ‚
24 Dieses Verfahren ist als Frobenius-Methode zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen bekannt. Nach dem Taylor’schen Satz kann jede hinreichend gutartige Funktion
mithilfe einer Potenzreihe ausgedrückt werden; Gleichung 2.79 führt daher im Allgemeinen
nicht zu einer Beschränkung der Allgemeinheit. Bedingungen für die Anwendbarkeit dieser
Methode finden Sie beispielsweise bei Boas (Fußnote 10) oder bei George B. Arfken und
Hans-Jurgen Weber, Mathematical Methods for Physicists, 5th ed., Academic Press, Orlando
(2000), Abschnitt 8.5.
25 Vgl. dazu beispielsweise Arfken (Fußnote 24), Abschnitt 5.7.
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
und von a1 ausgehend liefert sie alle ungeraden Koeffizienten:
a3 =
(3 − K )
6
a1 ‚
a5 =
(7 − K )
20
a3 =
(7 − K )(3 − K )
120
a1 ‚
··· .
Die vollständige Lösung schreiben wir als
h(ξ ) = hgerade(ξ ) + hungerade(ξ )
(2.82)
mit einer geraden Funktion in ξ , die auf a0 aufbaut:
hgerade(ξ ) ≡ a0 + a2 ξ 2 + a4 ξ 4 + · · ·
und einer ungeraden Funktion in ξ , die auf a1 aufbaut:
hungerade(ξ ) ≡ a1 ξ + a3 ξ 3 + a5 ξ 5 + · · ·
Somit legt Gleichung 2.81 h(ξ ) durch zwei beliebige Konstanten (a0 and a1 ) fest –
also genau das, was wir für eine Differentialgleichung zweiter Ordnung erwarten.
Allerdings sind nicht alle auf diese Weise gewonnenen Lösungen normierbar. Für
sehr großes j geht die Rekursionsformel über in
aj+2 ≈
2
a
j j
aj ≈
C
mit der Näherungslösung
(j /2)!
für eine bestimmte Konstante C, und das führt (bei großen ξ , wo die höheren Potenzen dominieren) zu
h(ξ ) ≈ C
1
2
1
ξj ≈ C
ξ 2j ≈ Ceξ .
(j /2)!
j!
Nun, wenn aber h sich asymptotisch wie exp(ξ 2 ) verhält, dann läuft ψ (erinnern
Sie sich noch an ψ ? Das ist die Funktion, die wir eigentlich berechnen wollen!) wie
exp(ξ 2 /2) (Gleichung 2.77) – und das ist genau das asymptotische Verhalten, das
wir gar nicht gebrauchen können und vorhin ausgeschlossen hatten.26 Es gibt nur
eine Möglichkeit, uns aus dem Schlamassel rauszuwinden: Damit wir normierbare
Lösungen erhalten, müssen die Potenzreihen abbrechen. Es muss also ein „höchstes“
j geben (das können wir beispielsweise n nennen), bei dem die Rekursionsformel
an+2 = 0 ausspuckt (damit wird entweder die Reihe hgerade oder die Reihe hungerade
abgeschnitten. Alle anderen müssen von Beginn an null sein: a1 = 0 für gerades n
und a0 = 0 für ungerades n). Für physikalisch brauchbare Lösungen muss also nach
Gleichung 2.81 für eine bestimmte nicht-negative ganze Zahl n
K = 2n + 1
26 Es wird nicht überraschen, dass diese unbrauchbaren Lösungen noch in Gleichung 2.81 enthalten sind; die Rekursionsformel ist ja äquivalent zur Schrödinger-Gleichung, also muss sie
auch die beiden asymptotischen Ausdrücke enthalten, die wir in Gleichung 2.75 gefunden
hatten.
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2.3 Der harmonische Oszillator
gelten, d. h. (denken Sie an Gleichung 2.73) die Energie hat die Form
1
h̄ω für n = 0‚ 1‚ 2‚ . . .
En = n +
2
(2.83)
Auf diese Weise kommen wir – wenn auch durch einen völlig anderen Zugang – zu
der grundlegenden Quantisierung, die wir algebraisch mit Gleichung 2.61 hergeleitet
hatten.
Es erscheint zunächst überraschend, dass die Energiequantisierung aus solch einem
technischen Detail in der Potenzreihenentwicklung der Schrödinger-Gleichung erwächst, doch schauen wir uns das ganze mal aus einer anderen Perspektive an.
Gleichung 2.70 hat natürlich Lösungen für beliebige Werte von E (eigentlich hat sie
sogar zwei linear unabhängige Lösungen für jedes E). Doch fast alle dieser Lösungen
steigen bei großem x exponentiell an und sind daher nicht normierbar. Stellen Sie
sich einmal vor, wir würden eine Energie E verwenden, die ein bisschen kleiner ist
als die erlaubten Werte (beispielsweise 0‚49h̄ω) und die Lösung aufzeichnen (Abbildung 2.6a). Die „Schwänze“ explodieren im Unendlichen. Nun versuchen wir eine
Energie, die ein wenig größer ist als erlaubt (beispielsweise 0‚51h̄ω); die „Schwänze“
gehen nun in die andere Richtung (Abbildung 2.6b). Wenn Sie den Parameter in
winzigen Schritten von 0‚49 bis 0‚51 durchprobieren, dann kippt der Schwanz beim
Durchgang durch 0‚50, und nur bei exakt 0‚5 gehen die Schwänze auf null, sodass
Sie eine normierbare Lösung erhalten.27
Für die erlaubten Werte von K führt die Rekursionsformel zu
aj+2 =
−2(n − j )
a .
(j + 1)(j + 2) j
(2.84)
Für n = 0 gibt es nur einen Term in der Reihe (wir müssen a1 = 0 herauspicken, um
hungerade auszuschließen, und j = 0 in Gleichung 2.84 führt zu a2 = 0):
h0 (ξ ) = a0
und damit
2
ψ0 (ξ ) = a0 e−ξ /2
(das ist übrigens, von der Normierung abgesehen, dasselbe wie Gleichung 2.59). Für
n = 1 nehmen wir a0 = 0,28 und Gleichung 2.84 ergibt mit j = 1 a3 = 0; damit ist
h1 (ξ ) = a1 ξ
und folglich
2
ψ1 (ξ ) = a1 ξ e−ξ /2
27 Man kann das in einem Computerprogramm zusammenfassen und so „experimentell“ die
erlaubten Energien bestimmen. Sie könnten es als die „Schwanzwedel-Methode“ bezeichnen: Wenn die Funktion „mit dem Schwanz wedelt“, dann wissen Sie, dass Sie gerade einen
erlaubten Energiewert über- oder unterschritten haben. (Manchmal wird dieses Verfahren
auch als „Scharfschieß-Methode“ (engl. „Shooting“) bezeichnet, etwa in Nicholas Giordano,
Computational Physics, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ (1997), Abschnitt 10.2). Vgl.
dazu die Aufgaben 2.54–2.56.
28 Beachten Sie, dass es für jeden Wert von n einen völlig anderen Satz von Koeffizienten aj
gibt.
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
2
1,5
1
0,5
–4
–2
–0,5
2
4 2
4 –1
–1,5
–2
a
2
1,5
1
0,5
–4
–2
–0,5
–1
–1,5
–2
b
Abbildung 2.6: Lösungen der Schrödinger-Gleichung für (a) E = 0‚49h̄ ω und (b) E = 0‚51h̄ ω.
(was Gleichung 2.62 bestätigt). Für n = 2 ergibt sich mit j = 0 der Koeffizient a2 =
−2a0 , und j = 2 ergibt a4 = 0, also
h2 (ξ ) = a0 (1 − 2ξ 2 )
und
2
ψ2 (ξ ) = a0 (1 − 2ξ 2 ) e−ξ /2
und so weiter. (Vgl. Aufgabe 2.10, in der wir dieses Ergebnis durch algebraische
Verfahren erhalten haben.)
Im Allgemeinen ist hn (ξ ) ein Polynom vom Grad n in ξ , in dem für gerade n nur
gerade Potenzen und für ungerade n nur ungerade Potenzen vorkommen. Abgesehen von den Vorfaktoren (a0 oder a1 ) werden sie als hermitesche Polynome Hn (ξ )
bezeichnet.29 Die ersten von ihnen sind in Tabelle 2.1 zusammengefasst. Traditionell wählt man den beliebigen Vorfaktor so, dass der Koeffizient vor der höchsten
29 Die hermiteschen Polynome (die Bezeichnung erinnert an den französischen Mathematiker
Charles Hermite, 1822–1901, hat also nichts mit hermetisch zu tun) wurden in der mathematischen Literatur ausgiebig untersucht, und es gibt eine Fülle von Hilfsmitteln und Tricks
für den Umgang mit ihnen. Auf einige davon werden wir in Aufgabe 2.17 näher eingehen.
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2.3 Der harmonische Oszillator
Tabelle 2.1: Die ersten fünf hermiteschen Polynome Hn (ξ ).
H0
H1
H2
H3
H4
H5
=1
= 2ξ
= 4ξ 2 − 2
= 8ξ 3 − 12ξ
= 16ξ 4 − 48ξ 2 + 12
= 32ξ 5 − 160ξ 3 + 120ξ
Potenz von ξ sich als 2n darstellen lässt. In dieser Konvention sind die normierten30
stationären Zustände für den harmonischen Oszillator
2
1
mω 1/4
ψn (x ) =
√
(2.85)
Hn (ξ ) e−ξ /2 .
n
πh̄
2 n!
Sie sind natürlich identisch mit den algebraisch gewonnenen Lösungen in Gleichung 2.67.
In Abbildung 2.7(a) habe ich ψn (x ) und |ψn (x )|2 für die ersten paar n aufgezeichnet.
Der Quantenoszillator unterscheidet sich erheblich von seinem klassischen Gegenstück – und zwar nicht nur darin, dass die Energien quantisiert sind, auch die Ortsverteilungen zeigen einige absonderliche Eigenschaften. Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen außerhalb des klassisch erlaubten Bereichs (d. h. bei
einem x, das größer ist als die klassische Amplitude für die fragliche Energie) zu
finden, nicht null (vgl. dazu Aufgabe 2.15), und in allen ungeraden Zuständen ist
die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Zentrum zu finden, null. Erst bei großem
n zeigt sich eine gewisse Ähnlichkeit mit dem klassischen Fall. In Abbildung 2.7(b)
sind die klassische und die quantenmechanische Ortsverteilung (für n = 100) übereinander dargestellt. Wenn man die Zacken glätten würde, stimmen die beiden Kurven recht gut überein (allerdings sprechen wir im klassischen Fall von der zeitlichen
Ortsverteilung für einen Oszillator, im quantenmechanischen Fall sprechen wir von
der Verteilung eines Ensembles von identisch präparierten Systemen).31
Aufgabe 2.15
Wir betrachten den Grundzustand des harmonischen Oszillators. Berechnen Sie
die Wahrscheinlichkeit (auf drei signifikante Stellen genau), ein Teilchen außerhalb des klassisch erlaubten Bereichs zu finden.
Hinweis: Klassisch ist die Energie des Oszillators E = (1/2)ka2 = (1/2)mω2 a2
mit der Amplitude a. Der „klassisch
erlaubte Bereich“
für einen Oszillator der
Energie E erstreckt sich also von − 2E /mω2 bis + 2E /mω2 . Schlagen Sie den
numerischen Wert des Integrals in einem Tabellenwerk nach (Stichwort „Normalverteilung“ oder „Fehlerfunktion“) oder benutzen Sie ein geeignetes Computerprogramm.
30 Ich werde die Normierungskonstante hier nicht weiter ausarbeiten; wenn Sie daran interessiert sind, wie das getan wird, lesen Sie beispielsweise Leonard Schiff, Quantum Mechanics,
3rd ed., McGraw-Hill, New York (1968), Abschnitt 13.
31 Die Parallele wird vielleicht deutlicher, wenn Sie die klassische Verteilung als ein Ensemble
von Oszillatoren mit jeweils derselben Energie interpretieren, die zu verschiedenen Zeiten
beginnen zu schwingen.
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
n(x)
|
2
n(x)|
n=3
n=2
n=1
n=0
0
Potential
x
0
x
a
|
2
100(x)|
0,24
0,20
0,16
0,12
0,06
0,04
0,0
x
b
Abbildung 2.7: (a) Die ersten vier stationären Zustände des harmonischen Oszillators (mit freundlicher Genehmigung von John Wiley & Sons, Inc.; Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics, John Wiley & Sons, Inc., 1974). (b) Graph
von |ψ100 |2 ; überlagert ist die klassische Verteilung (gestrichelte Kurve).
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 83 — le-tex
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2.4 Das freie Teilchen
Aufgabe 2.16
Wenden Sie die Rekursionsformel (Gleichung 2.84) an und berechnen Sie damit
H5 (ξ ) und H6 (ξ ). Folgen Sie der Konvention, dass der Koeffizient vor der höchsten Potenz von ξ den Wert 2n hat, und legen Sie so die allgemeine Konstante fest.
∗∗
Aufgabe 2.17
In dieser Aufgabe untersuchen wir einige nützliche Sätze zu den hermiteschen
Polynomen (allerdings ohne sie zu beweisen).
a
Die sogenannte Rodrigues-Formel besagt
Hn (ξ ) = (−1)n eξ
2
d n −ξ 2
e
.
dξ
(2.86)
Leiten Sie damit H3 und H4 her.
b
Durch die folgende Rekursionsformel kann man Hn+1 mithilfe der zwei vorangegangenen hermiteschen Polynome ausdrücken:
Hn+1 (ξ ) = 2ξ Hn (ξ ) − 2nHn−1 (ξ ) .
(2.87)
Wenden Sie die Rekursion sowie Ihr Ergebnis aus (a) an und berechnen Sie
H5 und H6 .
c
Wenn man ein Polynom n-ten Grades differenziert, erhält man ein Polynom
vom Grad (n − 1). Für die hermiteschen Polynome gilt tatsächlich
dHn
= 2nHn−1 (ξ ) .
dξ
(2.88)
Überprüfen Sie diese Aussage, indem Sie H5 und H6 differenzieren.
d
Hn (ξ ) ist die n-te Ableitung nach z (bei z = 0) der erzeugenden Funktion
exp(−z2 + 2zξ ); oder, anders ausgedrückt, Hn (ξ ) ist der Koeffizient von
zn /n! in der Taylor-Reihenentwicklung dieser Funktion:
2
e−z +2zξ =
∞ n
z
Hn (ξ ) .
n!
(2.89)
n=0
Wenden Sie diese Aussage an und leiten Sie H1 , H2 und H3 her.
2.4
Das freie Teilchen
Wir wenden uns nun dem Fall zu, der eigentlich der einfachste Fall überhaupt sein
sollte: dem freien Teilchen (d. h. ein Teilchen, für das überall V (x ) = 0 gilt). Klassisch bedeutet das einfach eine Bewegung bei konstanter Geschwindigkeit, aber in
der Quantenmechanik ist das Problem überraschend verzwickt. Die zeitunabhängige
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 84 — le-tex
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Schrödinger-Gleichung lautet
−
h̄2 d2 ψ
= Eψ
2m dx 2
oder
d2 ψ
= −k 2 ψ
dx 2
(2.90)
√
2mE
.
h̄
mit k ≡
(2.91)
Bis hierher ist das dieselbe Gleichung wie im Inneren des unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopf (Gleichung 2.21), wo das Potential ebenfalls null ist; aus Gründen,
die sich gleich klären werden, gebe ich diesmal die allgemeine Lösung aber lieber in
Exponentialschreibweise an anstatt mithilfe der Sinus- und Kosinusfunktion:
ψ(x ) = A eikx + B e−ikx .
(2.92)
Anders als beim unendlich tiefen Potentialtopf gibt es hier keine Randbedingungen,
mit denen die Werte für k (und damit auch für E) eingeschränkt werden; das freie
Teilchen kann eine beliebige (positive) Energie tragen. Bringen wir die StandardZeitabhängigkeit exp(−iEt/h̄) hinzu, erhalten wir
h̄k
ik x− 2m
t
Ψ (x‚ t) = A e
h̄k
−ik x+ 2m
t
+ Be
.
(2.93)
Nun, eine beliebige Funktion von x und t, die von diesen Variablen in der speziellen
Kombination (x ± vt) (für eine bestimmte Konstante v) abhängt, stellt eine Welle mit
festem Profil dar, die sich in ∓x-Richtung mit der Geschwindigkeit v ausbreitet. Ein
fester Punkt auf einem Wellenprofil (beispielsweise ein Minimum oder ein Maximum) entspricht einem festen Wert des Arguments und damit einem x und t, so dass
gilt
x ± vt = const oder
x = ∓vt + const .
Da sich jeder Punkt auf dem Wellenprofil mit derselben Geschwindigkeit bewegt,
ändert sich dessen Form nicht, wenn sich die Welle ausbreitet. Folglich beschreibt
der erste Term in Gleichung 2.93 eine Welle, die sich nach rechts ausbreitet, und der
zweite eine Welle (mit derselben Energie) nach links. Da sich die beiden ja nur durch
das Vorzeichen vor dem k unterscheiden, ist auch die Schreibweise
2
i kx− h̄k
2m t
Ψk (x‚ t) = A e
(2.94)
möglich, wenn wir k auch negative Werte annehmen lassen, um auch Wellen nach
links abzudecken:
√
2mE
k > 0 ⇒ breitet sich nach rechts aus ‚
(2.95)
k≡±
mit
h̄
k < 0 ⇒ breitet sich nach links aus .
Offenbar sind die „stationären Zustände“ des freien Teilchens sich ausbreitende
Wellen; ihre Wellenlänge ist λ = 2π/|k|, und nach der De-Broglie-Formel (Gleichung 1.39) tragen sie den Impuls
p = h̄k .
(2.96)
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2.4 Das freie Teilchen
Die Geschwindigkeit dieser Wellen (die man erhält, indem man den Koeffizienten
vor t durch den Koeffizienten vor x teilt) ist
E
h̄|k|
vqm =
=
.
(2.97)
2m
2m
Die klassische Geschwindigkeit eines freien Teilchens mit der Energie E berechnet
man aus E = (1/2)mv 2 (rein kinetische Energie wegen V = 0):
vklass =
2E
= 2vqm .
m
(2.98)
Anscheinend bewegt sich die quantenmechanische Wellenfunktion nur mit der
Hälfte der Geschwindigkeit des Teilchens, das es repräsentieren soll! Wir werden
uns diesem Paradoxon gleich zuwenden – zunächst aber müssen wir ein noch dringenderes Problem behandeln: Diese Wellenfunktion ist nicht normierbar, denn wir
haben
+∞
∗
2
Ψk Ψk dx = |A|
dx = |A|2 (∞) .
−∞
−∞
+∞
(2.99)
Für ein freies Teilchen repräsentieren demnach die separierbaren Lösungen keinen
physikalisch realisierbaren Zustand. Ein freies Teilchen kann also keinen stationären Zustand einnehmen, oder anders gesagt: Es gibt kein freies Teilchen mit einer
bestimmten Energie.
Das bedeutet natürlich nicht, dass die separierbaren Lösungen nicht doch von Nutzen wären, denn sie spielen eine wichtige mathematische Rolle, völlig unabhängig
von ihrer physikalischen Interpretation. Die allgemeine Lösung der zeitabhängigen
Schrödinger-Gleichung ist immer noch eine Linearkombination der separierbaren
Lösungen (allerdings integrieren wir jetzt über die stetige Variable k, anstatt über
den diskreten Index n zu summieren):
1
Ψ (x‚ t) = √
2π
+∞
2
i kx− h̄k
2m t
φ(k ) e
dk .
(2.100)
−∞
√
die
(Die Größe 1/ 2π wird nur der besseren Handhabung wegen ausgeklammert;
√
Rolle des Koeffizienten cn in Gleichung 2.17 spielt die Kombination (1/ 2π)φ(k ) dk.)
Und diese Wellenfunktion lässt sehr wohl normieren (für ein passendes φ(k )). Aber
sie umfasst immer einen ganzen Bereich von verschiedenen Werten für k und deckt
damit einen Bereich von Energien und Geschwindigkeiten ab. Wir nennen das ein
Wellenpaket.32
In dem zugrundeliegenden Quantenproblem ist Ψ (x‚ 0) gegeben, und wir wollen
Ψ (x‚ t) finden. Für ein freies Teilchen nimmt die Lösung die Form von Glei32 Sinusförmige Wellen erstrecken sich bis ins Unendliche und sind nicht normierbar. Aber
Überlagerungen solcher Wellen führen zu Interferenz, die eine Lokalisierung und damit
auch Normierung zulässt.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 86 — le-tex
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
chung 2.100 an; als einzige Frage bleibt noch, φ(k ) so zu bestimmen, dass es zur
anfänglichen Wellenfunktion passt:
+∞
1
φ(k ) eikx dk .
Ψ (x‚ 0) = √
2π
(2.101)
−∞
Das ist ein klassisches Problem der Fourier-Analyse, dessen Antwort der sogenannte
Satz von Plancherel liefert (vgl. Aufgabe 2.20):
1
f (x ) = √
2π
+∞
1
F (k ) eikx dk ⇐⇒ F (k ) = √
2π
−∞
+∞
f (x ) e−ikx dx .
(2.102)
−∞
F (k ) wird als Fourier-Transformierte von f (x ) bezeichnet, f (x ) ist die inverse FourierTransformierte von F (k ) (der einzige Unterschied ist das Vorzeichen im Exponenten). Natürlich gibt es eine Einschränkung für die zugelassenen Funktionen – die
Integrale müssen existieren.33 Für unsere Zwecke wird diese Bedingung durch die
physikalische Forderung erfüllt, dass Ψ (x‚ 0) selbst normiert sein muss. Insgesamt
ergibt sich somit für das zugrundeliegende Quantenproblem (das freie Teilchen) als
Lösung die Gleichung 2.100 mit
+∞
1
Ψ (x‚ 0) e−ikx dx .
φ(k ) = √
2π
(2.103)
−∞
Beispiel 2.6: Freies Teilchen
Ein freies Teilchen befindet sich anfangs in dem Bereich −a < x < a und wird
zur Zeit t = 0 losgelassen:
Ψ (x‚ 0) =
A für − a < x < a ‚
0
sonst
mit den positiven reellen Konstanten A und a. Bestimmen Sie Ψ (x‚ t).
Lösung:
Zuerst müssen wir Ψ (x‚ 0) normieren:
∞
1=
−∞
|Ψ (x‚ 0)|2 dx = |A|2
a
−a
1
dx = 2a|A|2 ⇒ A = √ .
2a
∞
33 Die notwendige und hinreichende Bedingung an f (x ) ist, dass −∞
|f (x )|2 dx endlich ist.
∞
2
(In diesem Fall ist −∞ |F (k )| dk ebenfalls endlich, und dann sind die beiden Integrale
tatsächlich gleich. Manchmal wird diese Aussage als Satz von Plancherel bezeichnet,
Gleichung 2.102 trägt dann keinen besonderen Namen.) Vgl. dazu Arfken (Fußnote 24),
Abschnitt 15.5.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 87 — le-tex
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2.4 Das freie Teilchen
Beispiel 2.6 (Fortsetzung)
Danach berechnen wir φ(k ) mithilfe von Gleichung 2.103:
a
1
1
1 e−ikx a
−ikx
φ(k ) = √ √
e
dx = √
2 πa −ik −a
2π 2a
−a
eika − e−ika
1
1 sin(ka)
= √
= √
.
2i
k
k πa
πa
Schließlich setzen wir das in Gleichung 2.100 ein:
1
Ψ (x‚ t) = √
π 2a
∞
−∞
2
sin(ka) i kx− h̄k
2m t
dk .
e
k
(2.104)
Leider lässt sich dieses Integral nicht mithilfe elementarer Funktionen lösen,
wenngleich man es natürlich numerisch berechnen kann (Abbildung 2.8). (Es
gibt einige ganz wenige Fälle, bei denen man das Integral für Ψ (x‚ t) (Gleichung 2.100) tatsächlich explizit lösen kann; ein besonders schönes Beispiel
stellt Aufgabe 2.20 vor.)
a| (x, t)|2
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
–6
–4
–2
0
2
4
6
x
a
Abbildung 2.8: Graph von |Ψ (x ‚ t )|2 (Gleichung 2.104) für t = 0 (das Rechteck) und für t = ma 2 /h̄ (die
Kurve).
1
2a
(k)
(x, 0)
a/ –a a
a
k
x
b
Abbildung 2.9: Beispiel 2.6 für kleine a . (a) Graph von Ψ (x ‚ 0), (b) Graph von φ(k ).
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 88 — le-tex
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Beispiel 2.6 (Fortsetzung)
Es ist aufschlussreich, die Grenzfälle näher zu betrachten. Wenn a sehr klein ist,
ist die Welle anfangs eine stark lokalisierte Spitze (Abbildung 2.9a). In diesem
Fall können wir die Kleinwinkelnäherung anwenden und setzen sin(ka) ≈ ka;
damit ergibt sich
φ(k ) ≈
a
.
π
Die Funktion ist flach, denn die k sind herausgefallen (Abbildung 2.9b). Dies ist
ein Beispiel für die Unschärferelation: Wenn die Unschärfe des Ortes klein ist,
muss die Unschärfe des Impulses (und wegen Gleichung 2.96 auch die von k)
groß sein. Im anderen Extrem (d. h. für großes a) ist die Unschärfe des Ortes groß
(Abbildung 2.10a), und es gilt
φ(k ) =
a sin(ka)
.
π ka
sin z/z hat sein Maximum bei z = 0 und fällt auf null für z = ±π (was in diesem
Zusammenhang dasselbe bedeutet wie k = ±π/a), dann ist φ(k ) für große a
eine scharfe, um k = 0 lokalisierte Spitze (Abbildung 2.10b). In diesem Fall
gibt es einen wohldefinierten Impuls, aber einen nur unzureichend bestimmten
Ort.
(k)
(x, 0)
a/ 1
2a
x
–
a
a
a
k
b
Abbildung 2.10: Beispiel 2.6 für große a . (a) Graph von Ψ (x ‚ 0), (b) Graph von φ(k ).
Ich komme nun zu dem vorhin schon angesprochenen Paradoxon, dass die separierbare Lösung Ψk (x‚ t) in Gleichung 2.94 sich mit einer „falschen“ Geschwindigkeit bewegt, die nicht mit der Geschwindigkeit des Teilchens übereinstimmt, das
durch diese Lösung doch repräsentiert sein soll. Streng genommen ist das Problem
schon verschwunden, als uns klar wurde, dass Ψk kein physikalisch realisierbarer
Zustand ist. Dennoch ist es interessant zu diskutieren, wie die Information über
die Geschwindigkeit in der Wellenfunktion des freien Teilchens enthalten ist (Gleichung 2.100). Die Grundidee ist folgende: Ein Wellenpaket ist eine Überlagerung
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 89 — le-tex
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2.4 Das freie Teilchen
vg
vp
x
Abbildung 2.11: Ein Wellenpaket. Die „Einhüllende“ breitet sich mit der Gruppengeschwindigkeit aus, die „Zacken“
bewegen sich mit der Phasengeschwindigkeit.
von sinusförmigen Funktionen, deren Amplitude durch φ moduliert wird (Abbildung 2.11). Es besteht aus lauter „Zacken“, die von einer „Hülle“ (fachsprachlich
nennt man das die „Einhüllende“) eingeschlossen werden. Der Teilchengeschwindigkeit entspricht nun nicht die Geschwindigkeit der einzelnen Zacken (die sogenannte Phasengeschwindigkeit), sondern die Geschwindigkeit der Einhüllenden (die
Gruppengeschwindigkeit) – und die kann, je nach Beschaffenheit der Wellen, größer, kleiner oder gleich der Geschwindigkeit der Zacken sein, die von der Hülle
umschlossen werden. Für Seilwellen sind die Gruppen- und die Phasengeschwindigkeit gleich. Bei Wasserwellen ist die Gruppengeschwindigkeit nur halb so groß
wie die Phasengeschwindigkeit; Sie haben das selbst vielleicht schon bemerkt, als
Sie einen Stein in einen Teich geworfen haben (wenn man sich auf einen bestimmten Wellenberg konzentriert, kann man sehen, wie er sich von hinten aufbaut, sich
nach vorn durch die ganze Wellengruppe bewegt und dann vor der Gruppe wieder
verebbt, während die Wellengruppe als ganzes sich mit der Hälfte dieser Geschwindigkeit ausbreitet.) Um das Paradoxon zu lösen, muss ich also zeigen, dass die Gruppengeschwindigkeit der quantenmechanischen Wellenfunktion für ein freies Teilchen doppelt so groß ist wie die Phasengeschwindigkeit – also genau richtig, um die
klassische Teilchengeschwindigkeit darzustellen.
Das Problem besteht zunächst darin, die Gruppengeschwindigkeit für ein Wellenpaket der allgemeinen Form
1
Ψ (x‚ t) = √
2π
+∞
φ(k ) ei(kx−ωt) dk
−∞
zu bestimmen. In diesem Fall gilt ω = (h̄k 2 /2m), allerdings gelten meine Ausführungen für Wellenpakete mit beliebiger Form, ganz ungeachtet ihrer Dispersionsrelation
(d. h. der Formel, die den Zusammenhang zwischen ω und k angibt). Wir nehmen
an, dass φ(k ) eine enge Spitze bei einem bestimmten Wert k0 hat. (Natürlich wäre es
nicht verboten, dass φ(k ) sich über einen breiten Bereich in k erstreckt, doch solche
Wellenpakete ändern ihre Form sehr schnell und „zerfließen“, da die einzelnen Komponenten sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten; damit verliert
dann die Sprechweise von einer „Gruppe“ mit einer bestimmten Geschwindigkeit
ihren Sinn.) Da der Integrand überall außer in der Umgebung von k0 vernachlässigbar ist, können wir die Funktion ω(k ) um diesen Punkt Taylor-entwickeln und dann
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 90 — le-tex
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
nur die führenden Terme betrachten:
ω(k ) ∼
= ω0 + ω0 (k − k0 ) .
Dabei ist ω0 die Ableitung von ω nach k am Punkt k0 .
Zunächst ändern wir die Koordinaten von k zu s ≡ k − k0 (auf diese Weise wird das
Integral bei k0 zentriert) und erhalten
1
Ψ (x‚ t) ∼
= √
2π
+∞
φ(k0 + s) ei[(k0 +s)x−(ω0 +ω0 s)t] ds .
−∞
Bei t = 0 gilt
+∞
1
Ψ (x‚ 0) = √
2π
φ(k0 + s) ei(k0 +s)x ds ‚
−∞
für spätere Zeitpunkte haben wir
1
Ψ (x‚ t) ∼
= √
2π
ei(−ω0 t+k0 ω0 t)
+∞
φ(k0 + s) ei(k0 +s)(x−ω0 t) ds .
−∞
Außer dem Wechsel von x zu (x − ω0 t) ist das Integral dasselbe wie bei Ψ (x‚ 0).
Folglich ist
Ψ (x‚ t) ∼
= e−i(ω0 −k0 ω0 )t Ψ (x − ω0 t‚ 0) .
(2.105)
Abgesehen von dem Phasenfaktor am Beginn (der |Ψ |2 in keiner Weise beeinflusst)
bewegt sich das Wellenpaket offensichtlich mit der Geschwindigkeit ω0 :
vGruppe =
dω
dk
(2.106)
(berechnet für k = k0 ). Demgegenüber berechnet man die gewöhnliche Phasengeschwindigkeit gemäß
vPhase =
ω
k
.
(2.107)
In unserem Fall gilt ω = (h̄k 2 /2m), also ω/k = (h̄k /2m), dagegen ergibt sich d ω/ dk =
(h̄k /m), und das ist gerade doppelt so viel. Dies bestätigt die Behauptung, dass der
klassischen Teilchengeschwindigkeit die Gruppengeschwindigkeit des Wellenpakets
entspricht, nicht die Phasengeschwindigkeit der stationären Zustände:
vklassisch = vGruppe = 2vPhase .
(2.108)
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 91 — le-tex
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2.4 Das freie Teilchen
Aufgabe 2.18
Zeigen Sie, dass [A eikx + B e−ikx ] und [C cos kx + D sin kx] äquivalente Schreibweise für dieselbe Funktion in x sind. Drücken Sie die Konstanten C und D
mithilfe von A und B aus und umgekehrt.
Hinweis: In der Quantenmechanik stellen die Exponentialausdrücke für den Fall
V = 0 laufende Wellen dar und sind für die Behandlung freier Teilchen am
zweckmäßigsten geeignet; die Sinus- und Kosinusfunktionen hingegen entsprechen stehenden Wellen, die normalerweise bei der Behandlung des unendlich
tiefen rechteckigen Potentialtopfs auftauchen.
Aufgabe 2.19
Bestimmen Sie den Wahrscheinlichkeitsstrom J (vgl. Aufgabe 1.14) für die Wellenfunktion des freien Teilchens (Gleichung 2.94). In welche Richtung fließt der
Wahrscheinlichkeitsstrom?
∗∗
Aufgabe 2.20
Diese Aufgabe soll Sie durch einen „Beweis“ des Satzes von Plancherel führen.
Dazu gehen wir von der Theorie der gewöhnlichen Fourier-Reihen über einem
endlichen Intervall aus und dehnen dieses Intervall dann ins Unendliche.
a
Der Dirichlet’sche Satz besagt, dass man „jede beliebige“ Funktion f (x ) über
dem Intervall [−a‚ +a] in eine Fourier-Reihe entwickeln kann:
f (x ) =
∞
[an sin(nπx /a) + bn cos(nπx /a)] .
n=0
Zeigen Sie, dass sich das äquivalent in der Form
∞
f (x ) =
cn einπx/a
n=−∞
schreiben lässt. Drücken Sie cn mithilfe von an und bn aus.
b
Zeigen Sie (durch eine passende Modifikation des Fourier-Tricks), dass gilt:
1
cn =
2a
c
+a
f (x ) e−inπx/a dx .
−a
Beseitigen Sie n und cn und führen Sie stattdessen die neuen Variablen
k = (nπ/a) und F (k ) = 2/πacn ein. Zeigen Sie, dass die Ausdrücke in (a)
und (b) jetzt folgende Form annehmen:
∞
1
F (k ) eikx k ;
f (x ) = √
2π n=−∞
1
F (k ) = √
2π
+a
f (x ) e−ikx dx .
−a
Dabei ist k die Zunahme von k beim Übergang von einem n zum nächsten.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 92 — le-tex
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
d
Betrachten Sie nun den Grenzfall a → ∞, damit Sie auf den Satz von Plancherel kommen.
Hinweis: In Anbetracht ihrer völlig verschiedenen Herleitung ist es überraschend (und reizvoll), dass die beiden Ausdrücke – einer für F (k ) mithilfe
von f (x ) und der andere für f (x ) mithilfe von F (k ) – solch einen ähnlichen
Aufbau für den Grenzfall a → ∞ aufweisen.
Aufgabe 2.21
Ein freies Teilchen hat anfangs die Wellenfunktion
Ψ (x‚ 0) = A e−a|x|
mit positiven reellen Konstanten A und a.
∗
a
Normieren Sie Ψ (x‚ 0).
b
Bestimmen Sie φ(k ).
c
Konstruieren Sie Ψ (x‚ t) in Form eines Integrals.
d
Diskutieren Sie die Grenzfälle (a sehr groß und a sehr klein).
Aufgabe 2.22
Das Gauß’sche Wellenpaket.
Ein freies Teilchen hat anfangs die Wellenfunktion
Ψ (x‚ 0) = A e−ax
2
mit Konstanten A und a (a ist eine positive reelle Zahl).
a
Normieren Sie Ψ (x‚ 0).
b
Bestimmen Sie Ψ (x‚ t).
Hinweis: Integrale der Form
+∞
2
e−(ax +bx) dx
−∞
lassen sich durch eine „quadratische Ergänzung“ behandeln: Setzen Sie
√
y ≡ a [x + (b/2a)] und beachten Sie, dass (ax 2 + bx ) = y 2 − (b2 /4a)
gilt.
Lösung:
Ψ (x‚ t) =
2
2a 1/4 e−ax /[1+(2ih̄at/m)]
.
π
1 + (2ih̄at/m)
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2.5 Das Delta-Potential
c
Bestimmen Sie |Ψ (x‚ t)|2 . Drücken Sie Ihr Ergebnis mithilfe folgender Größe
aus:
a
.
w≡
1 + (2h̄at/m)2
Skizzieren Sie |Ψ |2 (als Funktion von x) einmal für t = 0 und einmal für
sehr große t. Erläutern Sie qualitativ, was mit |Ψ |2 passiert, wenn die Zeit
vergeht.
d
Bestimmen Sie x, p, x 2 , p2 , σx und σp .
Teil der Lösung: p2 = ah̄2 , aber diesen einfachen Ausdruck erhält man
erst nach längerer Rechnung.
e
2.5
Gilt die Unbestimmtheitsrelation? Zu welchem Zeitpunkt t kommt das System der Unbestimmtheitsgrenze am nächsten?
Das Delta-Potential
2.5.1 Gebundene Zustände und Streustände
Wir sind nun zwei Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung begegnet,
die sich in ihrer Art völlig unterscheiden: Für den unendlich tiefen rechteckigen
Potentialtopf und für das Potential des harmonischen Oszillators sind die Lösungen normierbar und lassen sich mit einem diskreten Index n bezeichnen; für das
freie Teilchen sind sie nicht normierbar und werden durch eine kontinuierliche
Variable k gekennzeichnet. Erstere Lösungen stellen eigenständige physikalisch realisierbare Zustände dar, letztere nicht; aber in beiden Fälle ergibt sich die allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung als Linearkombination stationärer Zustände – für die erste Art von Lösungen hat sie die Form einer Summe
(über n), für die zweite Art die Form eines Integrals (über k). Welchen physikalischen
Sinn hat diese Unterscheidung?
In der klassischen Mechanik kann ein eindimensionales zeitunabhängiges Potential
zu zwei ganz unterschiedlichen Bewegungen führen. Wenn V (x ) auf beiden Seiten
höhere Werte annimmt als die Gesamtenergie (E) des Teilchens (Abbildung 2.12a),
dann ist das Teilchen in dem Potentialtopf „gefangen“ – es schwingt zwischen den
beiden Umkehrpunkten hin und her und kommt nicht aus dem Topf heraus (es
sei denn, Sie würden dem Teilchen zusätzliche Energie zuführen, z. B. durch einen
Motor, aber davon reden wir hier nicht). Das nennen wir einen gebundenen Zustand.
Wenn aber E auf einer (oder auf beiden) Seite den Wert von V (x ) übersteigt, dann
nähert sich das Teilchen „aus dem Unendlichen“, bremst unter dem Einfluss des
Potentials ab (oder beschleunigt) und verschwindet wieder ins Unendliche (Abbildung 2.12b). (Es kann in dem Potential nicht eingefangen werden, solange es keinen
Mechanismus zum „Verbrauch“, d. h. zur Dissipation von Energie gibt, aber auch
davon reden wir nicht.) Das nennen wir einen Streuzustand. Einige Potentiale lassen nur gebundene Zustände zu (z. B. das Potential des harmonischen Oszillators),
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 94 — le-tex
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
V(x)
E
x
Klassische Umkehrpunkte
a
V(x)
V(x)
E
E
x
x
Klassischer Umkehrpunkt
b
V(x)
E
Klassische Umkehrpunkte
x
c
Abbildung 2.12: (a) Ein gebundener Zustand. (b) Streuzustände. (c) Ein klassischer gebundener Zustand, aber quantenmechanisch handelt es sich um einen Streuzustand.
einige nur Streuzustände (z. B. ein Potentialberg ohne Täler), und bei einigen Potentiale treten beide Arten von Zuständen auf (das hängt dann von der Energie des
Teilchens ab).
Die zwei Arten von Lösungen der Schrödinger-Gleichung entsprechen genau den
gebundenen und den Streuzuständen. Die Unterscheidung ist im Quantenbereich
sogar noch sauberer, weil das Phänomen des Tunnelns (wir werden in Kürze darauf
eingehen) es dem Teilchen erlaubt, durch eine beliebige Potentialbarriere „durchzusickern“, sodass es nur auf das Potential im Unendlichen ankommt (vgl. Abbil-
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 95 — le-tex
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2.5 Das Delta-Potential
dung 2.12c):
E < [V (−∞)
und
E > [V (−∞)
V (+∞)]
⇒ gebundener Zustand ‚
oder V (+∞)]
⇒ Streuzustand .
(2.109)
Im „wahren Leben“ gehen die meisten Potentiale im Unendlichen gegen null, und in
diesem Fall vereinfacht sich das Kriterium noch ein wenig:
E < 0 ⇒ gebundener Zustand ‚
(2.110)
E > 0 ⇒ Streuzustand .
Weil der unendlich tiefe rechteckige Potentialtopf und das Potential des harmonischen Oszillators für x → ±∞ gegen unendlich gehen, lassen sie nur gebundene
Zustände zu; und weil das Potential des freien Teilchens überall null ist, gestattet es
nur Streuzustände.34 In diesem (und im folgenden) Abschnitt werden wir Potentiale
untersuchen, bei denen beide Arten von Zuständen möglich sind.
2.5.2 Das Deltafunktionspotential
Die Dirac’sche Deltafunktion ist eine unendlich hohe, infinitesimal schmale Spitze
über dem Ursprung, deren Fläche gerade 1 beträgt (Abbildung 2.13):
δ(x ) ≡
0
∞
für x = 0
für x = 0
+∞
δ(x ) dx = 1 .
mit
(2.111)
−∞
Technisch gesehen handelt es sich allerdings nicht um eine Funktion, weil sie bei
x = 0 nicht finit ist (Mathematiker sprechen von einer verallgemeinerten Funktion
oder einer Distribution).35 Dennoch handelt es sich um ein in der theoretischen Physik extrem nützliches Konstrukt. (Beispielsweise stellt man in der Elektrodynamik
die Ladungsdichte einer Punktladung mithilfe einer Deltafunktion dar.) Beachten
Sie, dass δ(x − a) eine Spitze mit der Fläche 1 über dem Punkt a ist. Die Multiplikation von δ(x − a) mit einer gewöhnlichen Funktion f (x ) ist dasselbe wie eine
Multiplikation mit f (a):
f (x )δ(x − a) = f (a)δ(x − a) ‚
(2.112)
weil das Produkt immer null ist außer am Punkt a. Insbesondere gilt
+∞
f (x )δ(x − a) dx = f (a)
−∞
+∞
δ(x − a) dx = f (a) .
(2.113)
−∞
34 Wenn Sie besonders aufmerksam sind, werden Sie bemerkt haben, dass die allgemeine Aussage mit der Voraussetzung E > Vmin (Aufgabe 2.2) eigentlich nicht zu den Streuzuständen passt, denn die sind sowieso nicht normierbar. Wenn Sie das stört, versuchen Sie die
Schrödinger-Gleichung für das freie Teilchen mit E ≤ 0 zu lösen; Sie werden dann sehen,
dass selbst Linearkombinationen dieser Lösungen nicht normiert werden können. Schon die
Lösungen mit positiver Energie bilden eine vollständige Basis.
35 Man kann sich die Deltafunktion als den Grenzwert einer Funktionenfolge vorstellen, beispielsweise einer Folge von Rechtecken oder Dreiecken, deren Höhe immer mehr zu- und
deren Breite immer mehr abnimmt.
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Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
ı(x)
x
Abbildung 2.13: Die Dirac’sche Deltafunktion (vgl. 2.111).
Und genau das ist die wichtigste Eigenschaft der Deltafunktion: Sie dient dazu, unter
einem Integral den Wert von f (x ) an der Stelle a „herauszupicken“. (Natürlich muss
das Integral nicht von −∞ bis +∞ laufen; es kommt nur darauf an, dass der Bereich,
über den integriert wird, den Punkt a enthält. Eigentlich würde also das Intervall
a − ε bis a + ε für ein beliebiges ε > 0 ausreichen.)
Betrachten wir nun ein Potential der Form
V (x ) = −αδ(x )
(2.114)
mit einer gewissen positiven Konstante α .36 Das ist sicherlich ein künstliches Potential (so wie auch der unendlich tiefe rechteckige Potentialtopf eines war), aber man
kann damit wunderbar einfach arbeiten, und es gibt Aufschlüsse über die zugrundeliegende Theorie bei minimalem mathematischen Aufwand. Die Schrödinger-Gleichung für die Deltafunktion hat die Form
−
h̄2 d2 ψ
− αδ(x )ψ = E ψ ;
2m dx 2
(2.115)
passende Lösungen sind sowohl gebundene Zustände (für E < 0) als auch Streuzustände (E > 0).
Wir behandeln zunächst die gebundenen Zustände. Im Bereich x < 0 gilt V (x ) = 0,
also
d2 ψ
2mE
= − 2 ψ = κ 2ψ
2
dx
h̄
(2.116)
√
−2mE
κ≡
.
h̄
(2.117)
mit
(Nach Voraussetzung ist E negativ, also ist κ reell und positiv.) Die allgemeine Lösung
für Gleichung 2.116 ist
ψ(x ) = A e−κ x + B eκ x ‚
(2.118)
36 Die Deltafunktion hat die Dimension 1/Länge (vgl. Gleichung 2.11), also muss α die Dimension Energie × Länge haben.
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2.5 Das Delta-Potential
(x)
›
› e–›x
x
Abbildung 2.14: Wellenfunktion des gebundenen Zustands für das Deltafunktionspotential (Gleichung 2.122).
aber der erste Term explodiert für x → −∞, also müssen wir A = 0 fordern:
ψ(x ) = B eκ x
für x < 0 .
(2.119)
Im Bereich x > 0 ist V (x ) ebenfalls null, und die allgemeine Lösung hat die Form
F exp(−κ x ) + G exp(κ x ); diesmal explodiert der zweite Term (für x → +∞), d. h. es
ist
ψ(x ) = F e−κ x
für x > 0 .
(2.120)
Wir müssen also nur noch die beiden Funktionen miteinander verbinden, indem wir
die passende Randbedingung für x = 0 einsetzen. Die Standard-Randbedingungen
für ψ hatte ich bereits angegeben:
1. ψ
ist immer stetig ‚
2. dψ/ dx
ist stetig außer dort, wo das Potential unendlich wird .
In diesem Fall sagt uns die erste Randbedingung, dass F = B ist; damit gilt
B eκ x
(x ≤ 0) ‚
ψ(x ) =
B e−κ x (x ≥ 0) ;
(2.121)
(2.122)
ψ(x ) ist in Abbildung 2.14 dargestellt. Die zweite Randbedingung sagt uns gar nichts;
hier liegt (wie beim unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopf) der außergewöhnliche Fall vor, dass V an der Verbindung unendlich ist, und aus dem Graphen wird
klar, dass die Funktion bei x = 0 einen Knick hat. Bis zu diesem Punkt ist die Deltafunktion noch überhaupt nicht in Erscheinung getreten. Offenbar muss die Deltafunktion die Unstetigkeit in der Ableitung von ψ an der Stelle x = 0 näher bestimmen. Ich werde Ihnen jetzt zeigen, wie das geht, und als Nebeneffekt sehen wir,
warum dψ/ dx normalerweise stetig ist.
Die Idee ist, die Schrödinger-Gleichung von −ε bis +ε zu integrieren und dann den
Grenzwert für ε → 0 zu betrachten:
h̄2
−
2m
+ε 2
+ε
+ε
d ψ
dx + V (x )ψ(x ) dx = E ψ(x ) dx .
dx 2
−ε
−ε
(2.123)
−ε
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Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Das erste Integral ist nichts anderes als dψ/ dx, berechnet an den beiden Endpunkten; das letzte Integral ist im Grenzwert ε → 0 null, es gibt die Fläche einer Spitze
mit verschwindender Breite, aber endlicher Höhe an. Somit haben wir
dψ
dx
≡ lim
ε →0
+ε
dψ dψ 2m
−
V (x )ψ(x ) dx .
= 2 lim
dx +ε
dx −ε
h̄ ε→0
(2.124)
−ε
Typischerweise ist der Grenzwert auf der rechten Seite wieder null, und das ist dann
auch der Grund dafür, dass dψ/ dx normalerweise stetig ist. Doch wenn V (x ) an der
Grenze unendlich groß ist, dann greift dieses Argument nicht. Insbesondere ergibt
Gleichung 2.113 für V (x ) = −αδ(x )
dψ
2mα
(2.125)
= − 2 ψ(0) .
dx
h̄
Für den vorliegenden Fall (Gleichung 2.122) gilt
dψ/ dx = −Bκ e−κ x für (x > 0)‚ also dψ/ dx|+ = −Bκ ‚
dψ/ dx = +Bκ e+κ x
für (x < 0)‚ also dψ/ dx|− = +Bκ
und damit ( dψ/ dx ) = −2Bκ . Und ψ(0) = B. Also besagt Gleichung 2.125
κ=
mα
h̄2
‚
(2.126)
und die nach Gleichung 2.117 erlaubte Energie ist
E=−
h̄2 κ 2
mα 2
=− 2 .
2m
2h̄
(2.127)
Zum Schluss wird ψ noch normiert:
+∞
|ψ(x )|2 dx = 2|B|2
−∞
∞
e−2κ x dx =
|B|2
0
κ
= 1‚
Aus Bequemlichkeit wählen wir die positive reelle Wurzel. Dann ist:
√
√
mα
B= κ=
.
h̄
(2.128)
Offenbar hat das Deltafunktionspotential, unabhängig von seiner „Stärke“ α , genau
einen gebundenen Zustand:
ψ(x ) =
√
mα −mα |x|/h̄2
;
e
h̄
E=−
mα 2
2h̄2
.
(2.129)
Und was ist nun mit den Streuzuständen? Für x < 0 hat die Schrödinger-Gleichung
die Form
d2 ψ
2mE
= − 2 ψ = −k 2 ψ
dx 2
h̄
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2.5 Das Delta-Potential
mit einer reellen positiven Zahl
k≡
√
2mE
.
h̄
(2.130)
Die allgemeine Lösung ist
ψ(x ) = A eikx + B e−ikx .
(2.131)
Diesmal können wir keinen der Terme ausschließen, denn keiner von ihnen explodiert. Dementsprechend gilt für x > 0
ψ(x ) = F eikx + G e−ikx .
(2.132)
Die Stetigkeit von ψ(x ) bei x = 0 erfordert
F + G = A+ B.
(2.133)
Die Ableitungen sind
⎧
⎨ dψ/ dx = ik F eikx − G eikx
für (x > 0)‚ also dψ/ dx|+ = ik (F − G) ‚
⎩ dψ/ dx = ik A eikx − B e−ikx
für (x < 0)‚ also dψ/ dx|− = ik (A − B)
und damit ( dψ/ dx ) = ik (F − G − A + B). Gleichzeitig gilt ψ(0) = (A + B), und
damit besagt die zweite Randbedingung (Gleichung 2.125)
ik (F − G − A + B) = −
2mα
h̄2
(A + B)
(2.134)
oder, etwas kompakter,
F − G = A(1 + 2iβ) − B(1 − 2iβ) mit
β≡
mα
h̄2 k
.
(2.135)
Nachdem wir nun beide Randbedingungen eingeführt haben, bleiben uns zwei Gleichungen (nämlich Gleichung 2.133 und 2.135), mit denen wir vier Unbekannte bestimmen müssen (A, B, F und G) – oder sogar fünf, wenn wir k mitzählen. Die
Normierung hilft uns dabei nicht weiter – wir haben ja einen nicht normierbaren
Zustand. Vielleicht sollten wir eine kleine Denkpause einlegen und uns einfach mal
die physikalische Bedeutung dieser verschiedenen Bedingungen anschauen. Erinnern Sie sich, dass exp(ikx ) in der Verbindung mit dem zeitabhängigen Faktor
exp(−iEt/h̄) eine Wellenfunktion bildet, die sich nach rechts bewegt, und exp(−ikx )
führt zu einer Wellenfunktion nach links. Folglich ist A (in Gleichung 2.131) die
Amplitude einer von links einlaufenden Welle, B ist die Amplitude der nach links
zurückkehrenden Welle, F (Gleichung 2.132) ist die Amplitude einer nach rechts
laufenden Welle, und G die Amplitude einer Welle, die von rechts einläuft (Abbildung 2.15). In einem typischen Streuexperiment lässt man die Teilchen aus einer
bestimmten Richtung einlaufen, beispielsweise von links. In diesem Fall ist die Amplitude der von rechts einlaufenden Welle null:
G = 0 (für Streuung von links) ;
(2.136)
A ist die Amplitude der einlaufenden Welle, B die Amplitude der reflektierten
Welle, und F ist die Amplitude der transmittierten Welle. Wenn wir die Gleichun-
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Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Aeikx
Feikx
Be–ikx
Ge–ikx
x
Abbildung 2.15: Streuung an einem Deltafunktions-Potentialtopf.
gen 2.133 und 2.135 nach B und F auflösen, erhalten wir
B=
iβ
A‚
1 − iβ
F=
1
A.
1 − iβ
(2.137)
(Wenn Sie die Streuung eines von rechts einlaufenden Teilchens untersuchen wollen, setzen Sie A = 0; dann ist G die Amplitude der einlaufenden, F die Amplitude
der reflektierten und B die Amplitude der transmittierten Welle.)
Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden, beträgt
|Ψ |2 ; die relative37 Wahrscheinlichkeit, dass ein einlaufenden Teilchen reflektiert
wird, ist also
R≡
|B|2
β2
=
.
|A|2
1 + β2
(2.138)
R heißt der Reflexionskoeffizient. (Wenn man einen ganzen Teilchenstrahl betrachtet, gibt R den Anteil der insgesamt einlaufenden Teilchen an, die reflektiert werden.)
Entsprechend wird die Wahrscheinlichkeit für die Transmission mit dem Transmissionskoeffizienten angegeben:
T≡
|F|2
1
=
.
|A|2
1 + β2
(2.139)
Natürlich muss sich als Summe dieser Wahrscheinlichkeiten genau 1 ergeben – und
so ist es auch:
R + T = 1.
(2.140)
Beachten Sie, dass R und T Funktionen von β und damit (vgl. Gleichung 2.130
und 2.135) auch Funktionen von E sind:
R=
1
1 + (2h̄2 E /mα 2 )
‚
T=
1
1 + (mα 2 /2h̄2 E )
.
(2.141)
Je höher die Energie ist, umso höher ist die Wahrscheinlichkeit der Transmission
(und das hört sich doch ganz plausibel an).
37 Wir betrachten hier eine nicht normierbare Wellenfunktion, also ist die absolute Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden, nicht wohldefiniert. Dennoch ist das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten für die einlaufenden und die reflektierten
Wellen durchaus aussagekräftig. Mehr dazu im nächsten Absatz.
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2.5 Das Delta-Potential
V(x)=’•(x)
x
Abbildung 2.16: Die Deltafunktionsbarriere.
Das ist ja alles ganz hübsch und nett, aber es bleibt noch eine unangenehme grundlegende Sache, die wir nicht wegdiskutieren können: Diese Streu-Wellenfunktionen
sind nicht normierbar und repräsentieren damit eigentlich keine physikalisch möglichen Teilchenzustände. Aber wir wissen ja, wie man so ein Problem lösen kann: Wir
müssen normierbare Linearkombinationen der stationären Zustände bilden, genau
wie wir es beim freien Teilchen getan haben – echte physikalische Teilchen werden
durch die sich ergebenden Wellenpakete dargestellt. Obwohl das im Prinzip eine
unkomplizierte Angelegenheit ist, stellt sich das Problem in der Praxis als ziemlich
undurchsichtig und chaotisch dar; an diesem Punkt sollte man die Lösung am besten mit einem Computer versuchen.38 Einstweilen sollten wir – da es unmöglich ist,
eine normierbare Wellenfunktion für ein freies Teilchen zu schaffen, die ohne einen
Bereich von Energien auskommt – R und T als die näherungsweisen Wahrscheinlichkeiten für Reflexion und Transmission von Teilchen in der Umgebung von E
interpretieren.
Im Übrigen könnte es Ihnen als merkwürdig auffallen, dass wir ein im Wesentlichen zeitabhängiges Problem (Teilchen kommt an, wird an einem Potential gestreut
und fliegt ins Unendliche wieder fort) mithilfe von stationären Zuständen analysieren können. Denn schließlich ist ψ (in den Gleichungen 2.131 und 2.132) einfach eine komplexe, zeitunabhängige sinusförmige Funktion, die sich (mit konstanter Amplitude) in beiden Richtungen bis ins Unendliche erstreckt. Und dennoch
können wir durch Anwendung der passenden Randbedingungen auf diese Funktion
die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass ein Teilchen (repräsentiert durch ein
lokalisiertes Wellenpaket) von dem Potential zurückprallt oder es durchquert. Das
mathematische Wunder dahinter ist meiner Vermutung nach, dass wir durch eine
Linearkombination von über den gesamten Raum verteilten Zuständen und eine im
Wesentlichen triviale Zeitabhängigkeit Wellenfunktionen konstruieren können, die
sich um einen (sich bewegenden) Punkt konzentrieren und ein ziemlich kompliziertes zeitliches Verhalten aufweisen (vgl. Aufgabe 2.43).
Solange wir die wichtigen Gleichungen noch auf dem Tisch haben, sollten wir kurz
noch einen Blick auf den Fall der Deltafunktions-Potentialbarriere werfen (Abbildung 2.16). Formal müssen wir beim Übergang vom Deltafunktionstopf zur -barriere
nichts anderes tun als das Vorzeichen von α ändern. Damit werden natürlich die
gebundenen Zustände ausgelöscht (vgl. Aufgabe 2.2). Andererseits bleiben der Trans38 Numerische Behandlungen von Wellenpaketen, die an Potentialtöpfen und Barrieren
gestreut werden, zeigen einen außerordentlich vielfältigen Aufbau. Die klassische Arbeit
ist die von A. Goldberg, H. M. Schey und J. L. Schwartz, Am. J. Phys. 35, 177 (1967); neuere
Arbeiten findet man im Internet.
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Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
missions- und der Reflexionskoeffizient, die ja von α 2 abhängen, unverändert. Merkwürdigerweise hat ein Teilchen also dieselbe Wahrscheinlichkeit, die Barriere zu
durchdringen wie den Topf zu überqueren! Klassisch kommt ein Teilchen natürlich
nicht durch eine unendlich hohe Barriere, egal wie groß seine Energie ist. Tatsächlich sind klassische Streuprobleme ziemlich langweilig: Für E > Vmax ist T = 1 und
R = 0 – das Teilchen schafft es also mit Sicherheit über die Barriere; für E < Vmax
ist dann T = 0 und R = 1 – das Teilchen bewegt sich den Potentialberg hinauf, bis
es seinen Schwung verliert, und kehrt dann auf demselben Weg zurück. Quantenmechanische Streuprobleme sind deutlich vielfältiger: Das Teilchen hat selbst für
E < Vmax eine von null verschiedene Wahrscheinlichkeit, die Potentialbarriere zu
durchdringen. Dieses Phänomen nennen wir den Tunneleffekt, den Vorgang Tunneln; der Tunneleffekt ist die Grundlage für den größten Teil der modernen Elektronik, ganz zu schweigen von den spektakulären Entwicklungen der modernen Mikroskopie (Rastertunnelmikroskopie). Andererseits gibt es auch für den Fall E > Vmax
eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen zurückprallt; ich würde Ihnen
aber nicht empfehlen, mit dem Wagen über eine Klippe zu rasen und darauf zu hoffen, dass die Quantenmechanik Sie retten wird (vgl. Aufgabe 2.35).
∗
Aufgabe 2.23
Berechnen Sie die folgenden Integrale:
a
b
c
+1
3
2
−3 (x − 3x + 2x − 1)δ(x + 2) dx.
∞
0 [cos(3x ) + 2]δ(x − π) dx.
+1
−1 exp(|x| + 3)δ(x − 2) dx.
Aufgabe 2.24
Die Deltafunktion „lebt“ nur unter dem Integral. Zwei Ausdrücke (D1 (x ) und
D2 (x )) mit Deltafunktionen gelten als gleich, wenn für jede (gewöhnliche) Funktion f (x ) gilt:
+∞
f (x )D1 (x ) dx =
−∞
a
+∞
f (x )D2 (x ) dx .
−∞
Zeigen Sie, dass
δ(cx ) =
1
δ(x )
|c|
(2.142)
gilt. (c ist eine reelle Konstante. Untersuchen Sie auch den Fall, dass c negativ ist.)
b
Wir definieren die Sprungfunktion θ (x ) durch
θ (x ) ≡
1 für x > 0 ‚
0 für x < 0 .
(2.143)
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2.5 Das Delta-Potential
(In den seltenen Fällen, in denen es darauf ankommt, definieren wir θ (0)
als 1/2.) Zeigen Sie, dass dθ/ dx = δ(x ) gilt.
∗∗
Aufgabe 2.25
Überprüfen Sie die Unschärferelation für die Wellenfunktion in Gleichung 2.129.
Hinweis: Die Berechnung von p2 ist knifflig, weil die Ableitung von ψ bei x = 0
eine Unstetigkeitsstelle hat. Verwenden Sie das Ergebnis aus Aufgabe 2.24(b).
Teillösung: p2 = (mα/h̄)2 .
∗
Aufgabe 2.26
Was ist die Fourier-Transformierte von δ(x )? Zeigen Sie mithilfe des Satzes von
Plancherel, dass gilt:
1
δ(x ) =
2π
+∞
eikx dk .
(2.144)
−∞
Anmerkung: Diese Formel wird jeden anständigen Mathematiker nach Luft
schnappen lassen. Obwohl das Integral für x = 0 eindeutig unendlich ist, konvergiert es für x = 0 nicht (gegen null oder sonst einen beliebigen Wert), da der
Integrand ständig oszilliert. Gut, man hat ein paar Möglichkeiten, es auszubessern (beispielsweise kann man von −L bis +L integrieren und Gleichung 2.144
für L → ∞ als den Mittelwert des endlichen Integrals interpretieren), doch
die Ursache des Problems bleibt: Die Deltafunktion ist nicht quadratintegrabel
und erfüllt damit die Voraussetzung des Satzes von Plancherel nicht (vgl. Fußnote 33). Trotzdem kann Gleichung 2.144 extrem nützlich sein, wenn man vorsichtig damit umgeht.
∗
Aufgabe 2.27
Betrachten Sie das doppelte Deltafunktionspotential
V (x ) = −α [δ(x + a) + δ(x − a)]
mit positiven Konstanten α und a.
∗
a
Skizzieren Sie dieses Potential.
b
Wie viele gebundene Zustände hat es? Bestimmen Sie die erlaubten Energien für α = h̄2 /ma sowie für α = h̄2 /4ma und skizzieren Sie die Wellenfunktionen.
Aufgabe 2.28
Bestimmen Sie den Transmissionskoeffizienten für das Potential aus Aufgabe 2.27.
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Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
2.6
Der endlich tiefe Potentialtopf
Als letztes Beispiel betrachten wir den endlichen rechteckigen Potentialtopf
V (x ) =
−V0
für − a ≤ x ≤ a ‚
(2.145)
für |x| > a
0
mit einer (positiven) Konstante V0 (Abbildung 2.17). Wie der Deltafunktions-Potentialtopf erlaubt auch dieses Potential sowohl gebundene Zustände (mit E < 0) als
auch Streuzustände (mit E > 0). Wir betrachten zunächst die gebundenen Zustände.
In dem Bereich x < −a ist das Potential null, also hat die Schrödinger-Gleichung die
Form
−
h̄2 d2 ψ
= Eψ
2m dx 2
oder
d2 ψ
= κ 2ψ
dx 2
mit einer reellen positiven Zahl
κ≡
√
−2mE
.
h̄
(2.146)
Die allgemeine Lösung ist ψ(x ) = A exp(−κ x ) +B exp(κ x ), aber der erste Term explodiert für x → −∞, also ist (wie zuvor in Gleichung 2.119) die physikalisch zulässige
Lösung
ψ(x ) = B eκ x
für x < −a .
(2.147)
In dem Bereich −a < x < a gilt V (x ) = −V0 , und die Schrödinger-Gleichung hat die
Form
−
h̄2 d2 ψ
− V0 ψ = E ψ
2m dx 2
d2 ψ
= −l2 ψ
dx 2
oder
mit
l≡
2m(E + V0 )
.
h̄
(2.148)
V (x)
–a
a
x
– V0
Abbildung 2.17: Der endlich tiefe rechteckige Potentialtopf (Gleichung 2.145).
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2.6 Der endlich tiefe Potentialtopf
Obwohl die Energie für gebundene Zustände negativ ist, muss E doch größer sein als
−V0 (wegen des altbekannten Satzes E > Vmin , vgl. Aufgabe 2.2); also ist l reell und
positiv. Die allgemeine Lösung ist39
ψ(x ) = C sin(lx ) + D cos(lx ) für − a < x < a
(2.149)
mit beliebigen Konstanten C und D. Schließlich ist im Bereich x > a das Potential
wieder null; die allgemeine Lösung ist ψ(x ) = F exp(−κ x ) + G exp(κ x ), aber hier
explodiert für x → ∞ der zweite Term, und es bleibt dann
ψ(x ) = F e−κ x
für x > a .
(2.150)
Der nächste Schritt besteht darin, Randbedingungen einzuführen: ψ und dψ/ dx sollen bei −a und bei +a stetig sein. Wir können ein wenig Zeit sparen, wenn wir
daran denken, dass dieses Potential eine gerade Funktion ist, und somit können
wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die Lösungen entweder
gerade oder ungerade sind (Aufgabe 2.1(c)). Der Vorteil dabei ist, dass wir dann nur
die Randbedingungen auf einer Seite festlegen müssen (beispielweise bei +a); die
Bedingung für die andere Seite ergibt sich automatisch wegen ψ(−x ) = ±ψ(x ). Ich
leite hier die geraden Lösungen her, Sie werden die ungeraden Lösungen in Aufgabe 2.29 bearbeiten dürfen. Der Kosinus ist gerade (und der Sinus ist ungerade),
also suche ich Lösungen der Form
⎧
−κ x
für x > a ‚
⎪
⎨F e
ψ(x ) = D cos(lx ) für 0 < x < a ‚
⎪
⎩
ψ(−x )
für x < 0 .
(2.151)
Aus der Stetigkeit von ψ(x ) bei x = a folgt
F e−κ a = D cos(la) ‚
(2.152)
und aus der Stetigkeit von dψ/ dx ergibt sich
−κ F e−κ a = −lD sin(la) .
(2.153)
Wenn wir Gleichung 2.153 durch Gleichung 2.152 teilen, erhalten wir
κ = l tan(la) .
(2.154)
Dies ist eine Gleichung für die erlaubten Energien, denn sowohl κ als auch l sind
Funktionen von E. Um nach E aufzulösen, machen wir zuerst einmal die Schreibweise etwas angenehmer und setzen
z ≡ la und z0 ≡
a
2mV0 .
h̄
(2.155)
39 Wenn Sie mögen, können Sie die allgemeine Lösung auch in der exponentiellen Form
C eilx + D e−ilx schreiben. Dies führt zu denselben Endergebnissen, doch da das Potential
symmetrisch ist, wissen wir, dass die Lösungen entweder gerade oder ungerade sein müssen, und die Schreibweise mit der Sinus- bzw. Kosinusfunktion erlaubt es uns, dies direkt
auszunützen.
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
tan z
(z0/z)2–1
z0
/2
3 /2
2 5 /2
z
Abbildung 2.18: Grafische Lösung von Gleichung 2.156 für z0 = 8 (gerade Zustände).
Nach den Gleichungen 2.146 und 2.148 gilt (κ 2 +l2 ) = 2mV0 /h̄2 , also κ a =
und Gleichung 2.154 nimmt folgende Form an:
tan z =
(z0 /z)2 − 1 .
z02 − z2 ,
(2.156)
Dies ist eine transzendente Gleichung für z (und somit auch für E als Funktion von
z0 , das sozusagen ein Maß für die „Breite“ des Potentialtopfs angibt). Man kann die
Gleichung
numerisch mithilfe eines Computers oder grafisch lösen, indem man tan z
und (z0 /z)2 − 1 im selben Koordinatensystem aufzeichnet und nach Schnittpunkten sucht (vgl. Abbildung 2.18). Von besonderem Interesse sind zwei Grenzfälle:
1. Breiter, tiefer Potentialtopf: Wenn z0 sehr groß ist, gibt es Schnittpunkte etwas
unterhalb von zn = nπ/2 mit ungeraden n; es folgt
n2 π2 h̄2
E n + V0 ∼
.
=
2m(2a)2
(2.157)
Doch E + V0 ist die Energie über dem Boden des Potentialtopfs, und auf der rechten
Seite haben wir genau die Energiewerte des unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopfs für eine Topfbreite von 2a (vgl. Gleichung 2.27) – oder genauer der Hälfte
davon, denn dieses n ist ungerade. (Die anderen Werte kommen, wie Sie in Aufgabe 2.29 zeigen werden, natürlich von den ungeraden Wellenfunktionen.) Für V0 →
∞ geht also der endliche in den unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopf über;
allerdings gibt es für jedes endliche V0 nur eine endliche Zahl von gebundenen
Zuständen.
2. Schmaler, flacher Potentialtopf: Bei abnehmendem z0 gibt es immer weniger gebundene Zustände, bis schließlich (bei z0 > π/2), wenn der tiefste ungerade Zustand
verschwindet, nur noch ein einziger übrig bleibt. Interessanterweise gibt es immer
einen gebundenen Zustand, ganz gleich wie „schwach“ der Potentialtopf wird.
Sie sind eingeladen, ψ (Gleichung 2.151) zu normieren, wenn Sie mögen (Aufgabe 2.30), aber ich werde nun mit den Streuzuständen (d. h. E > 0) fortfahren. Im
Bereich links von dem Potentialtopf gilt V (x ) = 0, und wir haben
ψ(x ) = A eikx + B e−ikx
für
(x < −a) ‚
(2.158)
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2.6 Der endlich tiefe Potentialtopf
wie üblich mit
k≡
√
2mE
.
h̄
(2.159)
Im Inneren des Potentialtopfs gilt V (x ) = −V0 ; dort haben wir
ψ(x ) = C sin(lx ) + D cos(lx ) für (−a < x < a) ‚
(2.160)
und wie zuvor ist
l≡
2m(E + V0 )
.
h̄
(2.161)
Rechts von dem Potentialtopf haben wir (vorausgesetzt, dass keine Wellen in den
Bereich einlaufen)
ψ(x ) = F eikx .
(2.162)
Hier ist A die einlaufende, B die reflektierte und F die transmittierte Amplitude.40
Es gibt vier Randbedingungen: Die Stetigkeit von ψ bei −a bedeutet
A e−ika + B eika = −C sin(la) + D cos(la) ‚
(2.163)
die Stetigkeit von dψ/ dx bei −a ergibt
ik[A e−ika − B eika ] = l[C cos(la) + D sin(la)] ‚
(2.164)
die Stetigkeit von ψ(x ) bei +a besagt
C sin(la) + D cos(la) = F eika ‚
(2.165)
und die Stetigkeit von dψ/ dx bei +a erfordert
l[C cos(la) − D sin(la)] = ikF eika .
(2.166)
Mit zweien dieser Bedingungen können wir C und D eliminieren und die verbleibenden beiden Gleichungen nach B und F auflösen (vgl. Aufgabe 2.32):
sin(2la) 2
(l − k 2 )F ‚
2kl
e−2ika A
F=
.
2 +l2 )
cos(2la) − i (k 2kl
sin(2la)
B=i
(2.167)
(2.168)
40 Wir könnten auch hier nach geraden und ungeraden Funktionen suchen, wie wir das bei
den gebundenen Zuständen getan haben, doch Streuprobleme sind von Natur aus asymmetrisch, da die Wellen immer nur aus einer Richtung kommen; daher ist die Exponentialschreibweise in diesem Zusammenhang angemessener.
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
T
1
E
Abbildung 2.19: Der Transmissionskoeffizient T als Funktion der Energie (Gleichung 2.169).
Der Transmissionskoeffizient (T = |F|2 /|A|2 ) ist, wenn man ihn in den ursprünglichen Variablen ausdrückt, gegeben duch
T −1 = 1 +
V02
sin2
4E (E + V0 )
2a 2m(E + V0 ) .
h̄
(2.169)
Beachten Sie, dass T = 1 (dann wird die Barriere „transparent“) immer dann gilt,
wenn der Sinus null wird, mit anderen Worten also immer für
2a 2m(En + V0 ) = nπ
h̄
(2.170)
mit einer ganzen Zahl n. Die Energien für vollständige Transmission sind dann gegeben durch
E n + V0 =
n2 π2 h̄2
‚
2m(2a)2
(2.171)
und das sind genau die erlaubten Energien für den unendlich tiefen rechteckigen
Potentialtopf. In Abbildung 2.19 ist T als Funktion der Energie aufgetragen.41
∗
Aufgabe 2.29
Untersuchen Sie die ungeraden Wellenfunktionen für gebundene Zustände beim
endlichen rechteckigen Potentialtopf. Leiten Sie die transzendente Gleichung für
die erlaubten Energien her und lösen Sie sie grafisch. Untersuchen Sie die zwei
Grenzfälle. Gibt es immer einen ungeraden gebundenen Zustand?
Aufgabe 2.30
Normieren Sie ψ(x ) in Gleichung 2.151 und bestimmen Sie die Konstanten D
und F.
41 Dieses bemerkenswerte Phänomen wurde in Form des sogenannten Ramsauer-Effekts (im
Englischen auch als Ramsauer-Townsend-Effekt bezeichnet) auch im Labor beobachtet. Eine
aufschlussreiche Diskussion findet man bei Richard W. Robinett, Quantum Mechanics,
Oxford University Press, 1997, Abschnitt 12.4.1.
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2.6 Der endlich tiefe Potentialtopf
Aufgabe 2.31
Man kann sich die Dirac’sche Deltafunktion als den Grenzfall eines Rechtecks
mit der Fläche 1 vorstellen, wenn die Höhe gegen unendlich wächst und die
Breite gegen null geht. Zeigen Sie, dass das Deltafunktionspotential (Gleichung 2.114) ein „schwaches“ Potential ist, obwohl es unendlich tief ist
(„schwach“ in dem Sinne, dass z0 → 0). Bestimmen Sie die Energie des gebundenen Zustands für das Deltafunktionspotential, indem Sie es als Grenzfall eines
rechteckigen endlichen Potentialtopfs betrachten. Überprüfen Sie, ob Ihre Antwort mit Gleichung 2.129 übereinstimmt. Zeigen Sie auch, dass sich Gleichung 2.169 im entsprechenden Grenzwert zu Gleichung 2.141 vereinfacht.
Aufgabe 2.32
Leiten Sie die Gleichungen 2.167 und 2.168 her.
Hinweis: Drücken Sie C und D mithilfe der Gleichungen 2.165 und 2.166 durch F
aus:
k
k
C = sin(la) + i cos(la) eika F ; D = cos(la) − i sin(la) eika F .
l
l
Wenn Sie dies in die Gleichungen 2.163 und 2.164 einsetzen, erhalten Sie den
Transmissionskoeffizienten und können Gleichung 2.169 bestätigen.
∗∗
Aufgabe 2.33
Bestimmen Sie den Transmissionskoeffizienten für eine rechteckige Barriere (der
Potentialverlauf ist derselbe wie in Gleichung 2.145, es gilt nur V (x ) = +V0 > 0
im Bereich −a < x < a). Behandeln Sie jeweils einzeln die Fälle E < V0 , E = V0
und E > V0 (beachten Sie, dass die Wellenfunktion im Inneren der Barriere für
die drei Fälle jeweils verschieden ist).
Teillösung: Für E < V0 gilt42
T −1 = 1 +
∗
V02
sinh2
4E (V0 − E )
2a 2m(V0 − E ) .
h̄
Aufgabe 2.34
Betrachten Sie das „Sprungpotential“
V (x ) =
0
V0
für x ≤ 0 ‚
für x > 0 .
a
Berechnen Sie den Reflexionskoeffizienten für den Fall E < V0 und erläutern Sie das Ergebnis.
b
Berechnen Sie den Reflexionskoeffizienten für den Fall E > V0 .
42 Das ist ein gutes Beispiel für den Tunneleffekt – klassisch würde das Teilchen reflektiert.
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
c
Für ein Potential wie dieses, das rechts von der Barriere nicht einfach wieder auf null zurückgeht, ist der Transmissionskoeffizient nicht einfach
|F|2 /|A|2 (mit der einlaufenden Amplitude A und der transmittierten Amplitude F), weil sich die transmittierte Welle mit einer anderen Geschwindigkeit ausbreitet. Zeigen Sie, dass für E > V0 gilt
T=
E − V0 |F|2
.
E
|A|2
(2.172)
Hinweis: Sie können dies mithilfe von Gleichung 2.98 ausrechnen, Sie können aber auch – zwar eleganter, aber weniger aussagekräftig – vom Wahrscheinlichkeitsstrom (Aufgabe 2.19) ausgehen. Wie sieht T im Fall E < V0
aus?
d
Berechnen Sie den Transmissionskoeffizienten für das Stufenpotential (mit
E > V0 ) und prüfen Sie, dass T + R = 1 gilt.
V (x)
x
–V0
Abbildung 2.20: Streuung durch eine „Klippe“ (Aufgabe 2.35).
Aufgabe 2.35
Ein Teilchen der Masse m und der kinetischen Energie E > 0 nähert sich einem
plötzlichen Potentialabfall (Abbildung 2.20).
a
Wie groß ist für den Fall E = V0 /3 die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen „reflektiert“ wird?
Hinweis: Dies entspricht der Aufgabe 2.34, nur dass die Stufe jetzt nach
unten geht und nicht wie dort nach oben.
b
Die Abbildung soll Sie an einen Wagen denken lassen, der sich einer Klippe
nähert, doch offenbar ist die Wahrscheinlichkeit eines „Rückpralls“ an der
Klippenkante erheblich kleiner als das Ergebnis, das Sie in Teil (a) erhalten
haben – es sei denn, Sie sind Bugs Bunny. Erklären Sie, warum das Potential
eine Klippe nicht korrekt abbildet.
Hinweis: In Abbildung 2.20 fällt die potentielle Energie des Wagens unstetig
auf −V0 , wenn er den Punkt x = 0 passiert. Wäre das für ein fallendes Auto
genauso?
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Aufgaben
c
Wenn ein freies Neutron in einen Atomkern eintritt, erfährt es einen plötzlichen Abfall der potentiellen Energie von V = 0 außerhalb bis etwa −12 MeV
(Millionen Elektronenvolt) innerhalb des Kerns. Nehmen Sie an, ein Neutron wird bei einer Kernspaltung mit einer kinetischen Energie von 4 MeV
freigesetzt und trifft auf solch einen Atomkern. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es absorbiert wird und damit eine weitere Kernspaltung anregt?
Hinweis: In Teil (a) haben sie die Reflexion berechnet; bestimmen Sie die
Wahrscheinlichkeit für die Transmission durch die Oberfläche aus dem Zusammenhang T = 1 − R.
Weitere Aufgaben für Kapitel 2
Aufgabe 2.36
Lösen sie die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung mit passenden Randbedingungen für den „zentrierten“ unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopf: V (x ) = 0
(für −a < x < +a) bzw. V (x ) = ∞ (sonst). Prüfen Sie, ob die von Ihnen berechneten erlaubten Energien mit den von mir in Gleichung 2.27 angegebenen Werten
übereinstimmen, und überzeugen Sie sich, dass Ihre ψ ’s mithilfe der Substitution
x → (x + a)/2 und passender Renormierung aus meinen (vgl. Gleichung 2.28) hergeleitet werden können. Skizzieren Sie Ihre ersten drei Lösungen und vergleichen Sie
mit Abbildung 2.2. Beachten Sie, dass die Breite des Potentialtopfs jetzt 2a beträgt.
Lösungshinweise
Aufgabe 2.37
Ein Teilchen im unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopf (Gleichung 2.19) hat
anfangs die Wellenfunktion
Ψ (x‚ 0) = A sin3 (πx /a) (0 ≤ x ≤ a) .
Bestimmen Sie A, geben Sie Ψ (x‚ t) an und berechnen Sie x als Funktion der Zeit.
Welchen Erwartungswert für die Energie erhalten Sie?
Hinweis: sinn θ und cosn θ lassen sich durch wiederholte Anwendung der trigonometrischen Summenformel auf Linearkombinationen von sin(mθ ) und cos(mθ )
(mit m = 1‚ 2‚ . . . ‚ n) reduzieren.
∗
Aufgabe 2.38
Ein Teilchen der Masse m befindet sich im Grundzustand des unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopfs (Gleichung 2.19). Plötzlich weitet sich der Potentialtopf auf
das Doppelte seines ursprünglichen Formats aus (d. h. die rechte Begrenzung bewegt
sich von a nach 2a), ohne dass die Wellenfunktion (momentan) gestört wird. Nun
wird die Energie des Teilchens gemessen.
a
Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dieses Ergebnis zu bekommen?
b
Was ist das zweitwahrscheinlichste Ergebnis, und wie groß ist dessen Wahrscheinlichkeit?
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Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
c
Was ist der Erwartungswert der Energie?
Hinweis: Wenn in Ihrer Rechnung eine unendliche Reihe auftaucht, versuchen
Sie einen anderen Lösungsweg.
Aufgabe 2.39
a
Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion eines Teilchens in einem unendlich tiefen
rechteckigen Potentialtopf nach einer quantalen Wiederkehrzeit T = 4ma2 /π h̄
wieder ihre ursprüngliche Form annimmt, d. h. Ψ (x‚ T ) = Ψ (x‚ 0); das gilt für
beliebige Zustände (nicht nur für stationäre Zustände).
b
Was ist die klassische Wiederkehrzeit für ein Teilchen der Energie E, das zwischen den Potentialwänden hin- und herspringt?
c
Für welche Energie sind die beiden Wiederkehrzeiten gleich?43
Aufgabe 2.40
Ein Teilchen der Masse m befindet sich in dem Potential
⎧
(x < 0) ‚
⎪
⎨∞
V (x ) = −32h̄2 /ma2 (0 ≤ x ≤ a) ‚
⎪
⎩
(x > a) .
0
a
Wie viele gebundene Zustände gibt es?
b
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit im gebundenen Zustand mit der höchsten
Energie, dass sich das Teilchen außerhalb des Potentialtopf (x > a) befindet?
Lösung: 0,542, d. h. obwohl das Teilchen durch den Topf „gebunden“ ist, befindet es sich mit höherer Wahrscheinlichkeit außerhalb als innerhalb des Topfs!
Aufgabe 2.41
Ein Teilchen der Masse m im Potential des harmonischen Oszillators (Gleichung 2.43) startet aus dem Zustand
Ψ (x‚ 0) = A 1 − 2
mω
x
h̄
2
mω 2
e− 2h̄ x
(A ist eine Konstante).
a
Was ist der Erwartungswert der Energie?
b
Zu einem späteren Zeitpunkt T ist die Wellenfunktion
2
mω 2
mω
Ψ (x‚ T ) = B 1 + 2
e− 2h̄ x
x
h̄
(mit einer Konstanten B). Was ist der kleinstmögliche Wert von T?
43 Es ist ein merkwürdiges Paradoxon, dass die klassische und die quantale Wiederkehrzeit
keinen sichtbaren Zusammenhang haben (die quantale Wiederkehrzeit hängt noch nicht
einmal von der Energie ab); vgl. dazu Daniel Styer, Am. J. Phys. 69, 56 (2001).
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Aufgaben
Aufgabe 2.42
Bestimmen Sie die erlaubten Energien für den halben harmonischen Oszillator
V (x ) =
(1/2)mω2 x 2 für x > 0 ‚
∞
für x < 0 .
(Dies beschreibt beispielsweise eine Feder, die zwar gedehnt, aber nicht komprimiert
werden kann.)
Hinweis: Die Aufgabe erfordert scharfes Nachdenken, aber nur wenige wirkliche
Rechnungen.
∗∗
Aufgabe 2.43
In Aufgabe 2.22 haben Sie das stationäre Gauß’sche Wellenpaket für freie Teilchen
behandelt. Lösen Sie die Aufgabe nun für das sich ausbreitende Gauß’sche Wellenpaket für freie Teilchen. Gehen Sie von der Anfangswellenfunktion
2
Ψ (x‚ 0) = A e−ax eilx
mit einer reellen Konstante l aus.
∗∗
Aufgabe 2.44
Lösen Sie die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für einen zentrierten unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopf mit einer Deltafunktionsbarriere in der Mitte:
V (x ) =
αδ(x ) für − a < x < +a ‚
∞‚
für |x| ≥ a .
Behandeln Sie die geraden und die ungeraden Funktionen getrennt. Bemühen Sie
sich nicht, sie zu normieren. Bestimmen Sie die erlaubten Energien (nötigenfalls
grafisch). Wie sehen sie im Vergleich zu den entsprechenden Energien ohne Deltafunktion aus? Erläutern Sie, warum die ungeraden Lösungen von der Deltafunktion
unbeeinflusst bleiben. Kommentieren Sie die Grenzfälle a → 0 und a → ∞.
Aufgabe 2.45
Wenn zwei (oder mehr) verschiedene44 Lösungen der (zeitunabhängigen) Schrödinger-Gleichung dieselbe Energie E haben, nennt man diese Zustände entartet.
Beispielsweise sind die Freie-Teilchen-Zustände zweifach entartet – eine Lösung
repräsentiert die Bewegung nach rechts, die andere die Bewegung nach links. Doch
uns sind noch niemals normierbare entartete Lösungen begegnet, und das ist kein
Zufall. Beweisen Sie den folgenden Satz: In einer Dimension45 gibt es keine entarteten gebundenen Zustände.
44 Wenn zwei Lösungen sich nur durch einen Vorfaktor unterscheiden (dann unterscheiden
sie sich nach ihrer Normierung nur durch einen Phasenfaktor eiφ ), dann repräsentieren sie
denselben physikalischen Zustand und sind in diesem Sinne nicht verschieden. Technisch
meine ich mit dem Begriff „linear unabhängig“.
45 In höheren Dimensionen ist eine solche Entartung jedoch verbreitet, wie wir in Kapitel 4
sehen werden. Nehmen Sie an, dass das Potential nicht aus isolierten Stücken besteht, die
durch Bereiche mit V = ∞ getrennt sind – zwei voneinander getrennte unendlich tiefe
rechteckige Potentialtöpfe beispielsweise rufen entartete gebundene Zustände hervor, für
die das Teilchen sich entweder in dem einen oder in dem anderen Topf befindet.
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Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Hinweis: Nehmen Sie an, es gäbe zwei Lösungen ψ1 und ψ2 mit derselben Energie E. Multiplizieren Sie die Schrödinger-Gleichung für ψ1 mit ψ2 und die Schrödinger-Gleichung für ψ2 mit ψ1 ; ziehen Sie sie voneinander ab und zeigen Sie, dass
ψ2 dψ1 / dx − ψ1 dψ2 / dx eine Konstante ist. Nützen Sie den Umstand, dass für normierbare Lösungen bei ±∞ ψ → 0 gilt, und weisen Sie damit nach, dass diese
Konstante tatsächlich null ist. Daraus können Sie schließen, dass ψ2 ein Vielfaches
von ψ1 ist, und demnach sind die beiden Lösungen nicht verschieden.
Aufgabe 2.46
Stellen Sie sich eine Perle mit der Masse m vor, die sich reibungsfrei auf einer kreisförmigen Drahtschleife mit dem Umfang L bewegt. (Es handelt sich also fast um ein
freies Teilchen, nur dass hier ψ(x + L) = ψ(x ) gilt.) Bestimmen Sie (mit passender
Normierung) die stationären Zustände und die entsprechenden erlaubten Energien.
Beachten Sie, dass es zwei unabhängige Lösungen für jede Energie En gibt – entsprechend der Rotation im oder entgegen dem Uhrzeigersinn; wir nennen sie ψn+ (x )
und ψn− (x ). Wie erklären Sie sich diese Entartung bei Betrachtung des Satzes aus
Aufgabe 2.45 (mit anderen Worten: Warum gilt der Satz in diesem Fall nicht)?
∗∗
Aufgabe 2.47
Achtung: Dies ist ein streng qualitatives Problem – Rechnungen sind nicht erlaubt!
Betrachten Sie den „doppelten rechteckigen Potentialtopf“ (Abbildung 2.21). Nehmen Sie an, dass die Tiefe V0 und die Breite a festgelegt und so groß sind, dass
mehrere gebundene Zustände auftreten.
a
Skizzieren Sie die Wellenfunktionen ψ1 für den Grundzustand und ψ2 für den
ersten angeregten Zustand, (i) für den Fall b = 0, (ii) für b ≈ a und (iii) für
b a.
V(x)
a
b
a
x
–V0
Abbildung 2.21: Der doppelte Potentialtopf (Aufgabe 2.47).
b
Wie verändern sich qualitativ die zugehörigen Energien E1 und E2 , wenn b von
0 bis ∞ wächst? Zeichnen Sie E1 (b) und E2 (b) in denselben Graphen ein.
c
Der Doppeltopf ist ein ganz primitives eindimensionales Modell für das Potential, das ein Elektron in einem zweiatomigen Molekül erfährt (die beiden Töpfe
entsprechen dann den Anziehungskräften der Kerne). Wenn sich die Kerne frei
bewegen können, nehmen sie eine Anordnung mit minimaler Energie ein. Was
meinen Sie angesichts Ihrer Schlussfolgerungen aus Teil (b): Zieht das Elektron
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Aufgaben
die Kerne dichter zusammen, oder drückt es sie auseinander? (Natürlich muss
man auch noch die Abstoßungskraft der Kerne untereinander berücksichtigen,
aber das ist ein anderes Problem.)
Aufgabe 2.48
In Aufgabe 2.7(d) haben Sie den Erwartungswert der Energie durch Summation der
Reihe aus Gleichung 2.39 erhalten, doch ich hatte Sie (in Fußnote 15) gewarnt, das
nicht „auf die gute alte Art“ mit dem Ansatz H = Ψ (x‚ 0)∗ H Ψ (x‚ 0) dx zu versuchen, da die unstetige erste Ableitung von Ψ (x‚ 0) zu Problemen mit der zweiten
Ableitung führt. Sie hätten es sogar durch partielle Integration lösen können, doch
die Dirac’sche Deltafunktion erlaubt einen viel saubereren Weg, mit solchen Anomalien umzugehen.
a
Berechnen Sie die erste Ableitung von Ψ (x‚ 0) (in Aufgabe 2.7) und drücken Sie
Ihre Antwort mithilfe der Sprungfunktion θ (x−a/2) aus, die in Gleichung 2.143
definiert wurde. (Kümmern Sie sich nicht um die Endpunkte, sondern nur um
den inneren Bereich 0 < x < a.)
b
Schlachten Sie das Ergebnis von Aufgabe 2.24(b) aus und drücken Sie damit die
zweite Ableitung von Ψ (x‚ 0) mithilfe der Deltafunktion aus.
Berechnen Sie das Integral Ψ (x‚ 0)∗ H Ψ (x‚ 0) dx und prüfen Sie, ob Sie dieselbe Antwort wie zuvor erhalten.
c
∗∗∗
Aufgabe 2.49
a
Zeigen Sie, dass
Ψ (x‚ t) =
"
#
mω 1/4
mω
a2
ih̄t
exp −
(1 + e−2iωt ) +
x2 +
− 2ax e−iωt
πh̄
2h̄
2
m
die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für das Potential des harmonischen
Oszillators erfüllt (Gleichung 2.43). Hier ist a eine beliebige reelle Konstante
mit der Dimension einer Länge.46
∗∗
b
Bestimmen Sie |Ψ (x‚ t)|2 und beschreiben Sie die Bewegung des Wellenpakets.
c
Berechnen Sie x und p und überprüfen Sie, ob das Ehrenfest-Theorem (Gleichung 1.38) erfüllt wird.
Aufgabe 2.50
Betrachten Sie den bewegten Deltafunktions-Potentialtopf
V (x‚ t) = −αδ(x − vt) ‚
bei dem v die (konstante) Geschwindigkeit des Potentialtopfs angibt.
a
Zeigen Sie, dass die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung die exakte Lösung
√
mα −mα |x−vt|/h̄2 −i[(E+(1/2)mv 2 )t−mvx]/h̄
Ψ (x‚ t) =
e
e
h̄
46 Dieses seltene Beispiel für eine exakte Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung in
geschlossener Form wurde schon 1926 von Schrödinger selbst angegeben.
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
erlaubt; dabei ist E = −mα 2 /2h̄2 die Energie des gebundenen Zustands für die
stationäre Deltafunktion.
Hinweis: Setzen Sie ein und rechnen Sie nach! Wenden Sie das Ergebnis von
Aufgabe 2.24(b) an.
b
∗∗∗
Bestimmen Sie den Erwartungswert der Hamilton-Funktion in diesem Zustand
und erläutern Sie das Ergebnis.
Aufgabe 2.51
Betrachten Sie das Potential
V (x ) = −
h̄2 a2
sech2 (ax ) .
m
Dabei ist a eine positive Konstante, und „sech“ steht für „secans hyperbolicus“.
a
Zeichnen Sie das Potential auf.
b
Prüfen Sie nach, dass das Potential den Grundzustand
ψ0 (x ) = A sech(ax )
hat, und berechnen Sie dessen Energie. Normieren Sie ψ0 und skizzieren Sie
den Verlauf.
c
Zeigen Sie, dass die Funktion
ψk (x ) = A
ik − a tanh(ax )
ik + a
eikx
√
(wie üblich mit k ≡ 2mE /h̄) die Schrödinger-Gleichung für jede beliebige
(positive) Energie E löst. Wegen tanh z → −1 für z → −∞ gilt
ψk (x ) ≈ A eikx
für große negative x .
Dies stellt eine Welle dar, die von links kommt und zu der keine begleitende
reflektierte Welle gehört (d. h. es gibt keinen Term exp(−ikx )). Welche asymptotische Form hat ψ2 (x ) bei großem positivem x? Wie sehen R und T für dieses
Potential aus? Anmerkung: Das ist das berühmte Beispiel eines reflexionslosen
Potentials – jedes einfallende Teilchen, ganz gleich welcher Energie, kann es
geradewegs passieren.47
Aufgabe 2.52
Die Streumatrix. Die Streutheorie lässt sich in recht naheliegender Weise auf beliebig lokalisierte Potentiale (Abbildung 2.22) verallgemeinern. Links (im Bereich I) ist
V (x ) = 0, also haben wir
√
2mE
ikx
−ikx
ψ(x ) = A e + B e
mit k ≡
.
(2.173)
h̄
47 R.E. Crandall und B.R. Litt, Annals of Physics, 146, 458 (1983).
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Aufgaben
V(x)
Aeikx
Feikx
Be–ikx
Ge–ikx
x
Bereich I
Bereich II
Bereich III
Abbildung 2.22: Streuung an einem beliebig lokalisierten Potential (V (x ) = 0 außer in Bereich II); vgl. Aufgabe 2.52.
Rechts (im Bereich III), gilt wieder V (x ) = 0 und damit
ψ(x ) = F eikx + G e−ikx .
(2.174)
Dazwischen (im Bereich II) kann man über ψ natürlich nichts sagen, wenn das Potential nicht näher spezifiziert wird; doch weil die Schrödinger-Gleichung eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, muss die allgemeine Lösung von der Form
ψ(x ) = Cf (x ) + Dg (x )
sein, wobei mit f (x ) und g (x ) zwei linear unabhängige spezielle Lösungen bezeichnet werden.48 Es gibt vier Randbedingungen (zwei zur Verbindung der Bereiche I
und II und zwei zur Verbindung der Bereiche II und III). Mit zweien von ihnen kann
man C und D eliminieren, die anderen lassen sich so weit „auflösen“, dass man B
und F mithilfe von A und G ausdrücken kann:
B = S11 A + S12 G‚
F = S21 A + S22 G .
Die vier Koeffizienten Sij , die von k (und damit von E) abhängen, bilden eine 2 × 2Matrix S, die sogenannte Streumatrix (kurz S-Matrix). Die S-Matrix gibt die Amplitude der auslaufenden Wellen (B und F) mithilfe der Amplituden der einlaufenden
Wellen (A und G) an:
S11 S12
B
A
=
.
(2.175)
F
G
S21 S22
Im typischen Fall einer Streuung von links ist G = 0, und dann sind die Reflexionsund Transmissionskoeffizienten
|B|2 |F|2 2
= |S11 | ‚ Tl =
= |S21 |2 .
(2.176)
Rl =
|A|2 |A|2 G=0
G=0
Bei einer Streuung von rechts gilt A = 0, und wir haben
|F|2 |B|2 2
= |S22 | ‚ Tr =
Rr =
|G|2 |G|2 A=0
= |S12 |2 .
(2.177)
A=0
48 Das kann man in jedem Buch über Differentialgleichungen nachlesen, beispielsweise Bernd
Aulbach, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Elsevier Spektrum Akademischer Verlag,
Heidelberg, 2004.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 118 — le-tex
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2
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
a
Konstruieren Sie die S-Matrix für die Streuung an einem Deltafunktions-Potentialtopf (Gleichung 2.114).
b
Konstruieren Sie die S-Matrix für den endlich tiefen rechteckigen Potentialtopf
(Gleichung 2.145).
Hinweis: Für diese Aufgabe sind keine neuen Rechnungen erforderlich, wenn
Sie die Symmetrie des Problems sorgfältig ausnützen.
∗∗∗
Aufgabe 2.53
Die Transfermatrix. Die S-Matrix (Aufgabe 2.52) gibt die auslaufenden Amplituden
(B und F) mithilfe der einlaufenden Amplituden (A und G) an, vgl. Gleichung 2.175.
Für einige Zwecke ist es aber günstiger, mit der Transfermatrix oder Übertragungsmatrix M zu arbeiten, kurz als M-Matrix bezeichnet. Sie drückt die Amplituden
rechts vom Potential (also F und G) mithilfe der Amplituden links vom Potential
(A und B) aus:
a
Drücken Sie die vier Elemente der M-Matrix mithilfe der Elemente aus der SMatrix aus und umgekehrt. Drücken Sie Rl , Tl , Rr und Tr (Gleichungen 2.176
und 2.177) mithilfe von Elementen der M-Matrix aus.
b
Sie haben ein Potential, das aus zwei voneinander getrennten Stücken besteht
(Abbildung 2.23). Zeigen Sie, dass die M-Matrix für die Kombination das Produkt der M-Matrizen für jeden einzelnen Bereich ist:
M = M2 · M1 .
(2.178)
(Dies lässt sich offensichtlich auf eine beliebige Anzahl von Bereichen erweitern
und zeigt den Nutzen der M-Matrix.)
M2
M1
V=0
V=0
x
V=0
Abbildung 2.23: Ein Potential, bestehend aus zwei getrennten Stücken (vgl. Aufgabe 2.53).
c
Konstruieren Sie die M-Matrix für die Streuung an einem einfachen Deltafunktionspotential beim Punkt a:
V (x ) = −αδ(x − a) .
d
Bestimmen Sie mithilfe der Methode aus Aufgabenteil (b) die M-Matrix für die
Streuung an dem doppelten Deltafunktionspotential
V (x ) = −α [δ(x + a) + δ(x − a)] .
Wie sieht der Transmissionskoeffizient für dieses Potential aus?
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 119 — le-tex
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Aufgaben
Aufgabe 2.54
Bestimmen Sie die Grundzustandsenergie des harmonischen Oszillators auf fünf
signifikante Stellen genau, indem Sie die „Schwanzwedel-Methode“ anwenden (vgl.
S. 79). Dazu lösen Sie Gleichung 2.72 numerisch, indem Sie K so lange variieren,
bis Sie eine Wellenfunktion erhalten, die für große ξ gegen null geht. Ein passender
Programmcode in Mathematica ist beispielsweise
Plot[Evaluate[u[x]/.[NDSolve[{u [x] -(x2 - K)*u[x] == 0, u[0] == 1,
u [0] == 0}, u[x], {x, 10−8 , 10}, MaxSteps -> 10000]], {x, a, b},
PlotRange -> {c, d}];
(Hier sind (a‚ b) der horizontale und (c‚ d ) der vertikale Bereich des Graphen; Anfangswerte sind a = 0, b = 10, c = −10 und d = 10.) Wir wissen, dass die richtige Lösung K = 1 ist, Sie könnten also mit einem „geratenen“ Wert von K = 0‚9
beginnen. Achten Sie darauf, was der „Schwanz“ der Wellenfunktion macht. Nun
versuchen Sie K = 1‚1, und Sie werden feststellen, dass der Schwanz „umschlägt“
und in die andere Richtung zeigt. Irgendwo zwischen den beiden geratenen Werten
muss also die richtige Lösung liegen. Bestimmen Sie sie genau, indem Sie K immer
enger einkästeln. Dabei können Sie a, b, c und d anpassen, um den Umschlagpunkt
einzukreisen.
Aufgabe 2.55
Bestimmen Sie mit der „Schwanzwedelmethode“ (vgl. Aufgabe 2.54) die Energien
der ersten drei angeregten Zustände des harmonischen Oszillators auf fünf signifikante Stellen genau. Für den ersten (und den dritten) angeregten Zustand müssen
Sie u[0] == 0, u [0] == 1 setzen.
Aufgabe 2.56
Bestimmen Sie mit der „Schwanzwedelmethode“ die ersten vier erlaubten Energien für den unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopf auf fünf signifikante Stellen
genau.
Hinweis: Schauen Sie sich Aufgabe 2.54 noch einmal an und ändern Sie die Differentialgleichung in passender Weise. Die Bedingung, die Sie brauchen, ist diesmal
u[0] == 1.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 120 — le-tex
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Formalismus
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3.2 Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
3.3 Eigenfunktionen
eines hermiteschen Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
3.4 Die verallgemeinerte
statistische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
3.5 Die Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
3.6 Die Dirac-Notation
150
.....................................
3
ÜBERBLICK
3.1 Der Hilbert-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 122 — le-tex
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Formalismus
3.1
Der Hilbert-Raum
In den letzten beiden Kapiteln sind wir über eine Anzahl von interessanten Eigenschaften einfacher quantenmechanischer Probleme gestolpert. Einige davon sind
„zufällige“ Merkmale spezieller Potentiale (beispielsweise der gleichmäßige Abstand
zwischen den Energieniveaus beim harmonischen Oszillator), doch andere sind
grundlegender Natur; es wäre gut, wenn man sie ein für allemal beweisen könnte
(hierzu gehören beispielsweise die Unschärferelation und die Orthogonalität der stationären Zustände). Mit Blick darauf geht es in diesem Kapitel darum, die Theorie
in eine leistungsstärkere Form umzugestalten. Ich werde also kaum etwas vorstellen,
was wirklich neu wäre; es geht mir eher darum, die vielen Einzelaspekte, die wir aus
verschiedenen Spezialfällen gewonnen haben, in einer großen Linie zusammenzufassen.
Die Quantenmechanik basiert auf zwei Konstrukten: den Wellenfunktionen und den
Operatoren. Der Zustand eines Systems wird durch seine Wellenfunktion beschrieben, Observablen werden durch Operatoren dargestellt. Mathematisch gesehen erfüllen Wellenfunktionen die Anforderungen an abstrakte Vektoren, und Operatoren
wirken auf sie wie lineare Transformationen. Die natürliche Sprache der Quantenmechanik ist also die der linearen Algebra.1
Doch es handelt sich hier um eine Form der linearen Algebra, von der ich vermute,
dass Sie nicht unmittelbar damit vertraut sind. In einem N-dimensionalen Raum ist
es am einfachsten, einen Vektor |a durch das N-Tupel seiner Komponenten bezüglich einer bestimmten Orthonormalbasis in der Form {an } darzustellen:
⎛
⎞
a1
⎜ a2 ⎟
⎜ ⎟
|α → a = ⎜ . ⎟ .
⎝ .. ⎠
(3.1)
aN
Das innere Produkt α |β zweier Vektoren (mit dem man das Punktprodukt zweier
Vektoren in drei Dimensionen verallgemeinert), ist die komplexe Zahl
α |β = a∗1 b1 + a∗2 b2 + · · · + a∗N bN .
(3.2)
Lineare Transformationen T werden bezüglich einer bestimmten Orthonormalbasis
durch Matrizen dargestellt, die auf einen Vektor wirken (und dabei einen neuen
Vektor erzeugen); dabei gelten die gewöhnlichen Regeln der Matrizenmultiplikation:
⎛
t11
⎜ t21
⎜
|β = T|α → b = Ta = ⎜ .
⎝ ..
t12
t22
..
.
···
···
tN1
tN2
···
⎞⎛ ⎞
t1N
a1
⎜ ⎟
t2N ⎟
⎟ ⎜ a2 ⎟
.. ⎟ ⎜ .. ⎟ .
. ⎠⎝ . ⎠
tNN
(3.3)
aN
1 Wenn Sie bislang noch nichts über lineare Algebra gehört haben, sollten Sie den Anhang
durcharbeiten, bevor Sie weiterlesen.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 123 — le-tex
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3.1 Der Hilbert-Raum
Die „Vektoren“, denen wir in der Quantenmechanik begegnen, sind jedoch (zumindest zum größten Teil) Funktionen, die in unendlich-dimensionalen Vektorräumen
leben. Für sie wäre die Schreibweise mit N-Tupeln im besten Falle ungeschickt, und
Manipulationen, die sich im endlich-dimensionalen Fall „gutartig“ verhalten, können recht problematisch werden. (Der eigentliche Grund dafür ist, dass zwar die
endliche Summe in Gleichung 3.2 immer existiert, eine unendliche Summe – oder
ein Integral – aber muss nicht unbedingt konvergieren; in diesem Fall existiert das
innere Produkt nicht, und jeder Beweis, in dem innere Produkte vorkommen, wird
sofort unseriös.) Auch wenn Ihnen der größte Teil der Terminologie und Schreibweisen vertraut vorkommt, wird es sich also auszahlen, wenn Sie bei diesem Thema
äußerste Vorsicht walten lassen.
Die Gesamtheit aller Funktionen in x bildet einen Vektorraum, doch für unsere Zwecke ist der viel zu groß. Um einen möglichen physikalischen Zustand zu repräsentieren, muss die Wellenfunktion Ψ normiert werden:
|Ψ |2 dx = 1 .
Die Menge aller quadratintegrablen Funktion f (x ) über einem bestimmten Intervall,
für die gilt2
f (x ) mit
b
|f (x )|2 dx < ∞ ‚
(3.4)
a
bildet ebenfalls einen (viel kleineren) Vektorraum (vgl. Aufgabe 3.1a). Die Mathematiker nennen ihn L2 (a‚ b), die Physiker sprechen vom Hilbert-Raum3. In der Quantenmechanik gilt demnach
Wellenfunktionen leben im Hilbert-Raum.
(3.5)
Wir definieren das innere Produkt zweier Funktionen f (x ) und g (x ) folgendermaßen:
b
f |g ≡
f (x )∗ g (x ) dx .
(3.6)
a
2 Für uns werden die Grenzen fast immer ±∞ sein, aber wir können das Ganze hier auch
ohne Weiteres etwas allgemeiner behandeln.
3 Technisch gesehen ist ein Hilbert-Raum ein vollständiger Vektorraum mit einem inneren
Produkt, und die Menge der quadratintegrablen Funktionen ist nur ein Beispiel für einen
Hilbert-Raum – beispielsweise ist auch jeder endlich-dimensionale Vektorraum trivialerweise ein Hilbert-Raum. Doch da L2 die Manege für die Quantenmechanik bildet, ist bei
den Physikern immer dieser Vektorraum gemeint, wenn vom „Hilbert-Raum“ die Rede ist.
Der Begriff vollständig bedeutet hier, dass jede Cauchy-Folge von Funktionen im HilbertRaum gegen eine Funktion konvergiert, die ebenfalls zum Hilbert-Raum gehört; es gibt also
keine „Lücken“, so wie es auch in der Menge der reellen Zahlen keine Lücken gibt (dagegen hat der Vektorraum aller Polynome, genau wie auch die Menge der rationalen Zahlen,
durchaus einige Lücken.) Leider gibt es eine doppelte Verwendung des Begriffs „vollständig“: Die Vollständigkeit eines Vektorraums im oben beschriebenen Sinne hat nichts zu tun
mit der Vollständigkeit einer Menge von Funktionen, d. h. der Eigenschaft, dass sich eine
beliebige andere Funktion als Linearkombination aus ihnen darstellen lässt.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 124 — le-tex
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3
Formalismus
Wenn beide Funktionen f und g quadratintegrabel sind (d. h. wenn sie beide im
Hilbert-Raum leben), existiert ihr inneres Produkt auf jeden Fall (das Integral in Gleichung 3.6 konvergiert gegen eine endliche Zahl).4 Dies folgt aus der Schwarz’schen
Ungleichung:5
.
b
b
b
.
.
∗
(3.7)
f (x ) g (x ) dx ≤ / |f (x )|2 dx |g (x )|2 dx .
a
a
a
Sie können selbst überprüfen, dass Gleichung 3.6 alle Bedingungen erfüllt, die an
das innere Produkt gestellt werden (Aufgabe 3.1b). Achten Sie insbesondere auf die
Identität
g|f = f |g∗ .
(3.8)
Darüber hinaus ist das innere Produkt von f (x ) mit sich selbst
b
f |f =
|f (x )|2 dx
(3.9)
a
stets reell und nicht-negativ; null ist es nur6 für f (x ) = 0.
Eine Funktion heißt normiert, wenn ihr inneres Produkt mit sich selbst 1 ist; zwei
Funktionen heißen orthogonal, wenn ihr inneres Produkt 0 ist; und eine Menge {fn }
von Funktionen heißt orthonormal, wenn sie normiert und paarweise orthogonal
zueinander sind:
fm |fn = δmn .
(3.10)
4 In Kapitel 2 waren wir gelegentlich gezwungen, mit nicht-normierbaren Funktionen zu
arbeiten. Solche Funktionen liegen außerhalb des Hilbert-Raums, und wie Sie bald sehen
werden, müssen wir sie mit besonderer Sorgfalt behandeln. Fürs Erste werde ich annehmen,
dass alle Funktionen, denen wir begegnen, im Hilbert-Raum liegen.
5 Einen Beweis findet man beispielsweise bei F. Riesz und B. Sz.-Nagy, Functional Analysis
(Unger, New York, 1955), Abschnitt 21 (deutsch: Frigyes Riesz und Béla Szőkefalvi-Nagy,
Vorlesungen über Funktionalanalysis, Harri Deutsch, Thun und Frankfurt, 1982). In einem
endlich-dimensionalen Vektorraum lässt sich die Schwarz’sche Ungleichung |α |β |2 ≤
α |α β |β leicht beweisen (vgl. Aufgabe A.5). Aber dieser Beweis setzt die Existenz des
inneren Produkts voraus, das wir ja hier gerade einführen wollen.
6 Man könnte sich ja beispielsweise ein Funktion vorstellen, die überall – außer an ein paar
isolierten Punkten – null ist. Das Integral (Gleichung 3.9) würde dann auch verschwinden,
die Funktion selbst aber nicht. Wenn Sie so etwas stört, sollten Sie lieber Mathematik studieren. In der Physik kommen solche pathologischen Funktionen nicht vor. Auf jeden Fall
betrachtet man zwei Funktionen im Hilbert-Raum als äquivalent, wenn das Absolutquadrat
ihrer Differenz verschwindet. Technisch repräsentieren die Vektoren im Hilbert-Raum Äquivalenzklassen von Funktionen.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 125 — le-tex
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3.1 Der Hilbert-Raum
Schließlich heißt ein Satz von Funktionen vollständig, wenn eine beliebige andere
Funktion (im Hilbert-Raum) sich als eine Linearkombination von ihnen darstellen
lässt:
f (x ) =
∞
cn fn (x ) .
(3.11)
n=1
Wenn die Funktionen {fn (x )} orthonormal sind, sind die Koeffizienten durch den
Fourier-Trick gegeben:
cn = fn |f ‚
(3.12)
wie Sie leicht selbst überprüfen können. Ich habe diese Terminologie bereits in Kapitel 2 benutzt. (Die stationären Zustände für den unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopf (Gleichung 2.28) bilden einen vollständigen orthonormalen Satz von Funktionen über dem Intervall (0‚ a); die stationären Zustände des harmonischen Oszillators (Gleichung 2.67 oder 2.85) bilden einen orthonormalen Satz über dem Intervall
(−∞‚ +∞).)
Aufgabe 3.1
a
Zeigen Sie, dass die Menge aller quadratintegrablen Funktionen ein Vektorraum ist (schlagen Sie die Definition im Anhang A.1 nach).
Hinweis: Das Hauptproblem besteht darin zu zeigen, dass die Summe zweier
quadratintegrablen Funktionen selbst auch quadratintegrabel ist. Wenden
Sie Gleichung 3.7 an. Ist auch die Menge aller normierten Funktionen ein
Vektorraum?
b
∗
Zeigen Sie, dass das Integral in Gleichung 3.6 die Bedingungen für ein inneres Produkt erfüllt (vgl. Anhang A.2).
Aufgabe 3.2
a
Für welchen Bereich von ν gehört die Funktion f (x ) = x ν über dem Intervall (0‚ 1) zum Hilbert-Raum? ν soll eine reelle, aber nicht unbedingt positive Zahl sein.
b
Liegt f (x ) für den Spezialfall ν = 1/2 im Hilbert-Raum? Wie sieht es mit
xf (x ) aus? Was können Sie zu ( d/ dx )f (x ) sagen?
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 126 — le-tex
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3
Formalismus
3.2
Observable
3.2.1 Hermitesche Operatoren
Der Erwartungswert einer Observablen Q(x‚ p) lässt sich sehr geschickt in einer
Schreibweise ausdrücken, die das innere Produkt ausnützt:7
Ψ .
Ψ dx = Ψ |Q
Q = Ψ ∗ Q
(3.13)
Nun muss aber das Ergebnis einer Messung immer reell sein, und daher gilt für den
Mittelwert vieler Messungen erst recht:
Q = Q∗ .
(3.14)
Doch das Konjugiert-Komplexe eines inneren Produkts dreht die Reihenfolge um
(vgl. Gleichung 3.8), also gilt
Ψ = Q
Ψ |Ψ ‚
Ψ |Q
(3.15)
und zwar für beliebige Wellenfunktionen Ψ . Also haben Operatoren, die Observable
repräsentieren, die ganz spezielle Eigenschaft
f = Q
f |f für alle f (x ) .
f |Q
(3.16)
Wir nennen solche Operatoren hermitesch.
Die meisten Lehrbücher erfordern sogar Voraussetzungen, die noch stärker aussehen:
g = Q
f |g
f |Q
für alle f (x ) und alle g (x ) .
(3.17)
Es stellt sich aber heraus, dass diese Bedingungen dem Anschein zum Trotz genau
äquivalent sind zu der Definition, die ich in Gleichung 3.16 angegeben habe; Sie
werden das in Aufgabe 3.3 beweisen. Verwenden Sie also die Bedingungen, die Sie
mögen. Der wesentliche Punkt ist, dass ein hermitescher Operator mit demselben
Ergebnis entweder auf den ersten oder den zweiten Teil eines inneren Produkts angewendet werden kann, und dass hermitesche Operatoren ganz selbstverständlich in
der Quantenmechanik auftauchen, weil ihre Erwartungswerte reell sind:
Observable werden durch hermitesche Operatoren repräsentiert.
(3.18)
durch die Ersetzung p → p̂ ≡ (h̄/i) d/ dx kon7 Denken Sie daran, dass wir den Operator Q
struiert haben. Solche Operatoren heißen linear in dem Sinn, dass für beliebige Funktionen f
und g und beliebige komplexe Zahlen a und b gilt:
[af (x ) + bg (x )] = aQ
f ( x ) + bQ
g (x ) .
Q
Sie stellen lineare Transformationen (vgl. Anhang A.3) auf dem Raum aller Funktionen dar.
Allerdings überführen sie manchmal eine Funktion von innerhalb des Hilbert-Raums nach
außerhalb (vgl. Aufgabe 3.2b); in einem solchen Fall muss der Gültigkeitsbereich des Operators eventuell beschränkt werden.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 127 — le-tex
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3.2 Observable
Nun, das werden wir jetzt nachprüfen. Ist beispielsweise der Impulsoperator hermitesch?
∞
f |p̂g =
−∞
f∗
∞
∞ h̄ dg
h̄
h̄ df ∗
+
g dx = p̂f |g .
dx = f ∗ g i dx
i
i dx
−∞
(3.19)
−∞
Ich habe hier natürlich die partielle Integration angewendet und aus dem üblichem
Grund die Randbedingungen weggeworfen: Wenn nämlich f (x ) und g (x ) quadratintegrabel sind, dann müssen sie für ±∞ gegen null gehen.8 Machen Sie sich nur
klar, dass das Konjugiert-Komplexe von i gerade das Minuszeichen kompensiert, das
durch die partielle Integration hineingerät – der Operator d/ dx (ohne das i) ist jedenfalls nicht hermitesch und repräsentiert keine mögliche Variable.
∗
Aufgabe 3.3
h = Q
h|h für alle Funktionen h (im Hilbert-Raum)
Zeigen Sie: Wenn h|Q
gilt, dann gilt auch f |Q g = Q f |g für alle f und g. (Im Klartext heißt das: Die
beiden Definitionen für „hermitesch“ in den Gleichungen 3.16 und 3.17 sind
äquivalent.)
Hinweis: Setzen Sie zuerst h = f + g und dann h = f + ig.
Aufgabe 3.4
a
b
Zeigen Sie, dass die Summe zweier hermitescher Operatoren ebenfalls hermitesch ist.
ist ein hermitescher Operator, α ist eine komplexe Zahl. Welche BedinQ
hermitesch ist?
gungen muss man an α stellen, damit auch α Q
c
Wann ist das Produkt zweier hermitescher Operatoren ebenfalls Hermite’sch?
d
=
Zeigen Sie, dass der Ortsoperator (x̂ = x) und der Hamilton-Operator (H
2
2
2
−(h̄ /2m) d / dx + V (x )) hermitesch sind.
Aufgabe 3.5
ist der OpeDas hermitesch Konjugierte (oder Adjungierte) eines Operators Q
†
rator Q , für den gilt:
g = Q
† f |g
f |Q
(für alle f und g) .
(3.20)
8 Eigentlich ist das nicht ganz richtig. Wie in Kapitel 1 erwähnt, gibt es einige pathologische
Funktionen, die zwar quadratintegrabel sind, aber dennoch im Unendlichen nicht gegen
null gehen. Solche Funktionen kommen jedoch in der Physik nicht vor, und wenn Sie in
dieser Hinsicht etwas befürchten sollten, dann beschränken wir einfach den Gültigkeitsbereich unserer Operatoren, um sie auszuschließen. Auf endlichen Intervallen aber müssen
Sie wirklich vorsichtig sein mit den Randbedingungen, denn ein auf dem Intervall (−∞‚ ∞)
hermitescher Operator kann sehr wohl auf den Intervallen (0‚ ∞) oder (−π‚ π) nicht hermitesch sein. Wenn Sie sich über den unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopf wundern,
stellen Sie sich diese Wellenfunktionen am besten so vor, also ob sie auf der unendlichen
Linie sitzen – außerhalb (0‚ a) sind sie halt null.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 128 — le-tex
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3
Formalismus
(Ein hermitescher Operator ist demnach gleich seinem hermitesch Konjugierten:
=Q
† .)
Q
a
Bestimmen Sie das hermitesch Konjugierte zu x, i und d/ dx.
b
Konstruieren Sie das hermitesch Konjugierte für den Aufsteigeoperator a+
des harmonischen Oszillators (vgl. Gleichung 2.47).
c
R̂)† = R̂† Q
.
Zeigen Sie: (Q
†
3.2.2 Determinierte Zustände
Wenn Sie eine Observable Q an einem Ensemble von identisch präparierten Systemen messen, die sich alle im selben Zustand Ψ befinden, erhalten sie normalerweise
nicht bei jeder Messung dasselbe Ergebnis – dies ist die Unbestimmheit (Unschärfe)
der Quantenmechanik.9
Frage: Kann man möglicherweise einen Zustand so präparieren, dass jede Messung
von Q mit Sicherheit denselben Wert (wir nennen ihn q) ergibt? Damit hätten wir,
wenn Sie so wollen, einen determinierten Zustand für die Observable Q. (Wir kennen sogar schon ein Beispiel: Stationäre Zustände sind determinierte Zustände des
Hamilton-Operators; eine Messung der Gesamtenergie an einem Teilchen im stationären Zustand Ψn ergibt mit Sicherheit die entsprechende „erlaubte“ Energie En .)
In einem determinierten Zustand müsste die Standardabweichung von Q null sein,
mit anderen Worten
− q)2 Ψ = (Q
− q)Ψ |(Q
− q)Ψ = 0 .
σ 2 = (Q − Q)2 = Ψ |(Q
(3.21)
(Wenn jede der Messungen q ergibt, dann ist natürlich auch ihr Mittelwert q: Q = q.
Um einen Faktor in den ersten Term des inneren Produkts zu schieben, habe ich
(und damit auch Q
− q) ein hermitescher Operator ist.)
außerdem benutzt, dass Q
Aber die einzige Funktion, deren inneres Produkt mit sich selbst verschwindet, ist 0,
also
Ψ = qΨ .
Q
(3.22)
,
. Ψ ist eine Eigenfunktion von Q
Dies ist die Eigenwertgleichung für den Operator Q
und q ist der zugehörige Eigenwert. Demnach gilt:
Determinierte Zustände sind Eigenfunktionen von Q̂ .
(3.23)
Die Messung von Q an einem solchen Zustand ergibt mit Sicherheit den Eigenwert q.
Machen Sie sich klar, dass der Eigenwert eine Zahl ist (kein Operator, keine Funktion). Man kann eine beliebige Eigenfunktion mit einer Konstante multiplizieren,
und sie bleibt immer noch eine Eigenfunktion mit demselben Eigenwert. Null gilt
9 Ich spreche natürlich von fachgerechten Messungen – man kann durch inkompetente Messung immer einen Messfehler machen und schlicht das falsche Ergebnis erhalten, aber das
ist dann kein Fehler der Quantenmechanik.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 129 — le-tex
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3.2 Observable
nicht als Eigenfunktion (sie ist per Definition ausgeschlossen, sonst wäre nämlich
0 = q 0 = 0 für einen beliebigen linearen
jede Zahl ein Eigenwert, denn es gilt Q
und für alle q). Allerdings kann null sehr wohl ein Eigenwert sein. Die
Operator Q
Menge aller Eigenwerte eines Operators wird dessen Spektrum genannt. Manchmal
haben zwei (oder mehr) linear unabhängige Eigenfunktionen denselben Eigenwert;
in diesem Fall nennt man das Spektrum entartet.
Beispielsweise sind die determinierten Zustände der Gesamtenergie Eigenfunktionen des Hamilton-Operators:
ψ = Eψ ‚
H
(3.24)
und das ist genau die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. In diesem Zusammenhang verwenden wir den Buchstaben E für den Eigenwert und das kleine Psi
(ψ ) für die Eigenfunktion (wenn Sie mögen, können Sie den Faktor exp(iEt/h̄) dazu ).
fügen und erhalten Ψ ; doch es bleibt dann immer noch eine Eigenfunktion von H
Beispiel 3.1: Eigenfunktionen und Eigenwerte
eines Operators
Betrachten Sie den Operator
≡i d ‚
Q
dφ
(3.25)
wobei φ die übliche Polarkoordinate in zwei Dimensionen angibt. (Dieser Operator taucht im physikalischen Kontext beispielsweise bei der Untersuchung einer
hermitesch? BerechPerle auf einer Drahtschleife auf, vgl. Aufgabe 2.46.) Ist Q
nen Sie seine Eigenfunktionen und seine Eigenwerte.
Lösung:
Hier arbeiten wir mit Funktionen f (φ) auf dem endlichen Intervall 0 ≤ φ ≤ 2π
und fordern
f (φ + 2π) = f (φ) ‚
(3.26)
denn φ und φ + 2π beschreiben denselben Punkt. Durch partielle Integration
erhalten wir
g =
f |Q
2π 2π 2π df ∗ dg
∗
∗
f |g ‚
dφ = if g − i
g dφ = Q
f i
0
dφ
dφ
0
0
ist hermitesch (diesmal verschwindet der Randterm wegen Gleichung 3.26).
d. h. Q
Die Eigenwertgleichung
i
d
f (φ) = qf (φ)
dφ
(3.27)
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Formalismus
Beispiel 3.1 (Fortsetzung)
hat die allgemeine Lösung
f (φ) = A e−iqφ .
(3.28)
Gleichung 3.26 beschränkt die möglichen Werte für q:
e−iq2π = 1
⇒
q = 0‚ ±1‚ ±2‚ . . .
(3.29)
Das Spektrum dieses Operators ist also die Menge der ganzen Zahlen, und es ist
nicht entartet.
Aufgabe 3.6
= d2 / dφ 2 ; wie in Beispiel 3.1 ist φ der AziBetrachten Sie den Operator Q
mutwinkel bei den Polarkoordinaten, und für die Funktionen gilt ebenfalls Glei hermitesch? Bestimmen Sie die Eigenfunktionen und die Eigenchung 3.26. Ist Q
werte. Was ist das Spektrum des Operators? Ist das Spektrum entartet?
3.3
Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators
Nach dem letzten Abschnitt richtet sich unser Interesse auf die Eigenfunktionen hermitescher Operatoren (physikalisch: auf die determinierten Zustände von Observablen). Wir unterscheiden zwei Kategorien: Wenn das Spektrum diskret ist (d. h. die
Eigenwerte sind voneinander getrennt), dann liegen die Eigenfunktionen im HilbertRaum und bilden physikalisch realisierbare Zustände. Wenn das Spektrum dagegen
kontinuierlich ist (d. h. die Eigenwerte erstrecken sich über einen ganzen Bereich),
dann sind die Eigenfunktionen nicht normierbar, und sie repräsentieren keine mögliche Wellenfunktion (allerdings können ihre Linearkombinationen sehr wohl normierbar sein; dies ist aber notwendigerweise mit einer Verschmierung der Eigenwerte verbunden). Einige Operatoren haben ausschließlich ein diskretes Spektrum
(beispielsweise der Hamilton-Operator für den harmonischen Oszillator), bei anderen ist das Spektrum ausschließlich kontinuierlich (beispielsweise beim HamiltonOperator für das freie Teilchen), und einige Operatoren haben sowohl ein diskretes
als auch ein kontinuierliches Teilspektrum (beispielsweise der Hamilton-Operator
für den endlich tiefen rechteckigen Potentialtopf). Der diskrete Fall ist leichter zu
behandeln, weil die maßgeblichen inneren Produkte garantiert existieren – damit
haben wir ein ganz ähnliches Problem wie in der endlich-dimensionalen Theorie
(die Eigenvektoren einer hermiteschen Matrix). Ich stelle zunächst den diskreten
Fall vor, danach den kontinuierlichen.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 131 — le-tex
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3.3 Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators
3.3.1 Diskrete Spektren
Mathematisch haben die normierbaren Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators zwei wichtige Eigenschaften:
Satz 1
Ihre Eigenwerte sind reell:
Beweis Es sei
f = qf ‚
Q
mit dem Eigenwert q), und es gilt10
(d. h. f (x ) ist eine Eigenfunktion von Q
f = Q
f |f f |Q
ist hermitesch). Dann gilt
(d. h. Q
q f |f = q∗ f |f (q ist eine Zahl, die man vor das Integral ziehen kann, und weil die erste Funktion in dem inneren Produkt konjugiert-komplex ist (Gleichung 3.6), muss das
auch für das q auf der rechten Seite gelten). Aber f |f kann nicht null sein (denn
f (x ) = 0 ist keine zulässige Eigenfunktion), also gilt q = q∗ , und somit ist q
reell.
Das ist beruhigend: Wenn Sie eine Observable für ein Teilchen in einem determinierten Zustand messen, bekommen Sie wenigstens immer eine reelle Zahl.
Satz 2
Eigenfunktionen, die zu unterschiedlichen Eigenwerten gehören, sind orthogonal.
Beweis Es sei
f = qf ‚
Q
g = q g ‚
und Q
ist hermitesch. Dann gilt f |Q
g = Q
f |g und damit
und Q
q f |g = q∗ f |g
10 An dieser Stelle verlangen wir, dass die Eigenfunktionen im Hilbert-Raum liegen – andernfalls könnte das innere Produkt unter Umständen gar nicht existieren.
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3
Formalismus
(wieder existieren die inneren Produkte, weil die Eigenfunktionen nach Voraussetzung im Hilbert-Raum liegen). Doch nach Satz 1 ist q reell, also muss für den
Fall q = q gelten: f |g = 0.
Das ist der Grund dafür, dass die stationären Zustände beispielsweise des unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopfs oder des harmonischen Oszillators orthogonal
sind – sie sind Eigenfunktionen des Hamilton-Operators mit eindeutigen Eigenwerten. Aber diese Eigenschaft ist keine nur ihnen oder auch nur ausschließlich dem
Hamilton-Operator eigene Besonderheit, dasselbe gilt für determinierte Zustände
von beliebigen Observablen.
Leider verrät uns Satz 3.3.1 nichts über die entarteten Zustände (q = q ). Wenn
jedoch zwei (oder mehr) Eigenfunktionen denselben Eigenwert haben, dann ist auch
eine beliebige Linearkombination von ihnen eine Eigenfunktion mit demselben Eigenwert (vgl. Aufgabe 3.7a), und wir können mithilfe des Gram-Schmidt’schen Orthogonalisierungsverfahrens (vgl. Aufgabe A.4) orthogonale Eigenfunktionen innerhalb
jedes entarteten Unterraums konstruieren. Es ist – Gott sei dank! – praktisch nie
nötig, das auch explizit durchzuziehen, aber es ist immer zumindest im Prinzip möglich. Daher kann man selbst im Fall von Entartung die Eigenfunktionen als orthogonal ansetzen, und beim weiteren Aufbau der Quantenmechanik werden wir davon
ausgehen, das sei so geschehen. Damit können wir auch den Fourier-Trick anwenden, der auf der Orthonormalität der Basisfunktionen beruht.
In einem endlich-dimensionalen Vektorraum haben die Eigenvektoren einer hermiteschen Matrix noch eine dritte grundlegende Eigenschaft: Sie spannen den Raum
auf (d. h. jeder Vektor lässt sich als Linearkombination von ihnen ausdrücken). Leider lässt sich der Beweis nicht auf unendlich-dimensionale Vektorräume erweitern.
Diese Eigenschaft wäre aber wesentlich für die innere Widerspruchsfreiheit der Quantenmechanik, und daher übernehmen wir sie (einem Vorschlag von Dirac11 folgend)
als Axiom (genauer: als eine Beschränkung der Klasse von hermiteschen Operatoren,
die Observable repräsentieren können):
Axiom
Die Eigenfunktionen des Operators einer Observablen sind vollständig: Eine beliebige Funktion (im Hilbert-Raum) lässt sich als Linearkombination von ihnen ausdrücken.12
11 P.A.M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press, New York
(1958).
12 In einigen speziellen Fällen lässt sich die Vollständigkeit auch beweisen (wir wissen wegen
des Dirichlet’schen Satzes, dass beispielsweise die stationären Zustände des unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopfs vollständig sind). Es mag ein wenig ungeschickt sein, eine
Aussage ein „Axiom“ zu nennen, wenn man sie in einigen Fällen beweisen kann, aber mir
fällt kein besserer Weg ein, damit umzugehen.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 133 — le-tex
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3.3 Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators
Aufgabe 3.7
a
mit demselben
f (x ) und g (x ) sind zwei Eigenfunktionen eines Operators Q
Eigenwert q. Zeigen Sie, dass jede Linearkombination von f und g ebenfalls
mit dem Eigenwert q ist.
eine Eigenfunktion von Q
b
Prüfen Sie, dass f (x ) = exp(x ) und g (x ) = exp(−x ) Eigenfunktionen des
Operators d2 / dx 2 mit demselben Eigenwert sind. Konstruieren Sie zwei
Linearkombinationen von f und g, die über dem Intervall (−1‚ 1) orthogonale Eigenfunktionen sind.
Aufgabe 3.8
a
Überprüfen Sie, dass die Eigenwerte des hermiteschen Operators in Beispiel 3.1 reell sind. Zeigen Sie, dass die Eigenfunktionen (zu verschiedenen
Eigenwerten) orthogonal sind.
b
Wiederholen Sie dies für den Operator aus Aufgabe 3.6.
3.3.2 Kontinuierliche Spektren
Wenn das Spektrum eines hermiteschen Operators kontinuierlich ist, sind die Eigenfunktionen nicht normierbar, und die Beweise von Satz 3.3.1 und 3.3.1 (vgl. Seite 131) scheitern, weil die inneren Produkte unter Umständen nicht existieren. In
gewissem Sinne gelten jedoch die drei wesentlichen Eigenschaften (die Eigenwerte
sind reell, die Eigenfunktionen sind orthogonal und vollständig) immer noch. Ich
halte es für das Beste, sich diesem raffinierten Fall durch einige spezielle Beispiel zu
nähern.
Beispiel 3.2: Eigenfunktionen und Eigenwerte
des Impulsoperators
Bestimmen Sie die Eigenfunktionen und Eigenwerte für den Impulsoperator.
Lösung:
Es sei fp (x ) die Eigenfunktion und p der Eigenwert:
h̄ d
fp (x ) = pfp (x ) .
i dx
(3.30)
Die allgemeine Lösung ist
fp (x ) = A eipx/h̄ .
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 134 — le-tex
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Formalismus
Beispiel 3.2 (Fortsetzung)
Dies ist für beliebige (komplexe) Werte von p nicht quadratintegrabel – der Impulsoperator hat im Hilbert-Raum keine Eigenfunktionen. Doch wenn wir uns
auf reelle Eigenwerte beschränken, entdecken wir eine Art von „Ersatz-Orthonormalität“. Bezugnehmend auf die Aufgaben 2.24(a) und 2.26 gilt
∞
fp∗ (x )fp (x ) dx = |A|2
−∞
∞
ei(p−p )x/h̄ dx = |A|2 2πh̄δ(p − p ) .
(3.31)
−∞
√
Wenn wir A = 1/ 2π h̄ auswählen, sodass gilt
1
fp (x ) = √
eipx/h̄ ‚
2π h̄
(3.32)
fp |fp = δ(p − p ) ‚
(3.33)
dann ist
und dass erinnert verblüffend an die Bedingung für die richtige Orthonormalität
(Gleichung 3.10): Die Indizes sind nun stetige Variable, und aus dem KroneckerDelta ist eine Dirac’sche Deltafunktion geworden, aber sonst sieht es genauso
aus. Ich werde Gleichung 3.33 die Dirac’sche Orthonormalität nennen.
Am wichtigsten ist, dass die Eigenfunktionen vollständig sind, wenn man die
Summe (in Gleichung 3.11) durch ein Integral ersetzt: Eine beliebige (quadratintegrable) Funktion f (x ) lässt sich in der Form
f (x ) =
∞
c(p) fp (x ) dp = √
−∞
1
2πh̄
∞
c(p) eipx /h̄ dp
(3.34)
−∞
schreiben. Dabei erhält man den Entwicklungskoeffizienten (in diesem Fall die
Funktion c(p)) wie immer mithilfe des Fourier-Tricks:
∞
fp |f =
−∞
c(p)fp |fp dp =
∞
c(p)δ(p − p ) dp = c(p ) .
(3.35)
−∞
Alternativ kann man auch den Satz von Plancherel (Gleichung 2.102) anwenden,
denn die Entwicklung nach Gleichung 3.34 ist nichts anderes als eine FourierTransformation.
Die Eigenfunktionen für den Impuls (Gleichung 3.32) sind sinusförmig mit der Wellenlänge
λ=
2πh̄
.
p
(3.36)
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3.3 Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators
Das ist die alte De-Broglie-Formel (Gleichung 1.39), von der ich ja versprochen hatte,
sie zu passender Zeit zu beweisen. Es stellt sich heraus, dass die Beziehung noch ein
wenig raffinierter ist, als de Broglie sich das seinerzeit vorstellte, denn wir wissen
heute, dass es ein Teilchen mit einem eindeutig bestimmten Impuls gar nicht gibt.
Aber wir können uns ein normierbare Wellenpaket mit einem schmalen Impulsbereich vorstellen, und auf ein solches Objekt lässt sich die De-Broglie-Formel tatsächlich anwenden.
Und was lernen wir nun aus Beispiel 3.2? Obwohl keine der Eigenfunktionen von
p̂ im Hilbert-Raum lebt, hat eine bestimmte Familie von ihnen (nämlich die mit
den reellen Eigenwerten) ihren Sitz in den nahegelegenen „Vororten“ mit einer Art
von Quasi-Normierbarkeit. Sie repräsentieren zwar keine möglichen physikalischen
Zustände, aber sie sind dennoch ziemlich nützlich (wie wir schon bei unserer Untersuchung der eindimensionalen Streuung gesehen haben).13
Beispiel 3.3: Eigenfunktionen und Eigenwerte
des Ortsoperators
Bestimmen Sie die Eigenfunktionen und Eigenwerte des Ortsoperators.
Lösung:
Sei gy (x ) die Eigenfunktion und y der Eigenwert:
x gy (x ) = y gy (x ) .
(3.37)
Hier ist y eine feste Zahl (für eine beliebige gegebene Eigenfunktion), aber x
ist eine stetige Variable. Welche Funktion in x hat die Eigenschaft, dass eine
Multiplikation mit x zum selben Ergebnis führt wie eine Multiplikation mit der
Konstante y? Offenbar muss sie null sein, außer in dem einen Punkt x = y – und
das ist nichts anderes als die Dirac’sche Deltafunktion:
gy (x ) = Aδ(x − y ) .
13 Und was ist mit den Eigenfunktionen, die nicht-reelle Eigenwerte haben? Sie sind nicht
einfach nur nichtnormierbar, sie explodieren regelrecht für ±∞. Funktionen in den von mir
so genannten „Vororten“ des Hilbert-Raums (den ganzen Ballungsraum könnte man dann
„zusammengefrickelter Hilbert-Raum“ nennen; vgl. beispielsweise Leslie Ballentine, Quantum Mechanics: A Modern Development, World Scientific, 1998) haben die Eigenschaft, dass
es zwar kein (endliches) inneres Produkt mit ihnen selbst gibt, dass sie aber sehr wohl innere
Produkte mit allen Mitgliedern des Hilbert-Raums bilden. Das gilt nicht für Eigenfunktionen mit nicht-reellen Eigenwerten. Insbesondere habe ich gezeigt, dass der Impulsoperator
für Funktionen im Hilbert-Raum hermitesch ist, aber der Beweis beruht darauf, dass der
Randterm (in Gleichung 3.19) entfallen kann. Dieser Term ist auch null, wenn g eine Eigenfunktion von p̂ mit einem reellen Eigenwert ist (solange nur f im Hilbert-Raum lebt), das
gilt aber nicht, wenn der Eigenwert einen imaginären Anteil hat. In diesem Sinne ist eine
beliebige komplexe Zahl ein Eigenwert des Operators p̂, doch nur reelle Zahlen sind Eigenwerte des hermiteschen Operators p̂ – die anderen liegen außerhalb des Bereichs, über dem
p̂ hermitesch ist.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 136 — le-tex
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3
Formalismus
Beispiel 3.3 (Fortsetzung)
Diesmal muss der Eigenwert reell sein; die Eigenfunktionen sind nicht quadratintegrabel, aber sie erlauben die Dirac’sche Orthonormalität:
∞
gy∗ (x )gy (x ) dx = |A|2
−∞
∞
δ(x − y )δ(x − y ) dx = |A|2 δ(y − y ) .
(3.38)
−∞
Wenn wir A = 1 auswählen, sodass
gy (x ) = δ(x − y )
(3.39)
gy |gy = δ(y − y ) .
(3.40)
gilt, dann haben wir
Auch diese Eigenfunktionen sind vollständig:
f (x ) =
∞
−∞
c(y )gy (x ) dy =
∞
c(y )δ(x − y ) dy
(3.41)
−∞
mit
c(y ) = f (y )
(3.42)
(in diesem Fall ist das trivial, aber Sie können das Ergebnis auch mit dem FourierTrick erhalten, wenn Sie unbedingt wollen).
Wenn das Spektrum eines hermiteschen Operators kontinuierlich ist (d. h. die Eigenwerte werden durch eine stetige Variable gekennzeichnet – in den Beispielen waren
das p oder y, allgemein und im Folgenden wird das die Variable z sein), dann sind
die Eigenfunktionen nicht normierbar, sie liegen nicht im Hilbert-Raum, und sie
repräsentieren keine möglichen physikalischen Zustände. Dennoch sind die Eigenfunktionen mit reellen Eigenwerten Dirac-orthonormierbar und vollständig (nur dass
statt der Summe jetzt ein Integral verwendet wird). Glücklicherweise ist das alles,
was wir wirklich benötigen.
Aufgabe 3.9
a
Nennen Sie einen Hamilton-Operator aus Kapitel 2 (einen anderen als den
für den harmonischen Oszillator), der nur ein diskretes Spektrum hat.
b
Nennen Sie einen Hamilton-Operator aus Kapitel 2 (einen anderen als den
für das freie Teilchen), der nur ein kontinuierliches Spektrum hat.
c
Nennen Sie einen Hamilton-Operator aus Kapitel 2 (einen anderen als den
für den endlich tiefen rechteckigen Potentialtopf), der in seinem Spektrum
sowohl einen diskreten als auch einen kontinuierlichen Anteil hat.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 137 — le-tex
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3.4 Die verallgemeinerte statistische Interpretation
Aufgabe 3.10
Ist der Grundzustand des unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopfs eine Eigenfunktion des Impulsoperators? Wenn das so sein sollte, was ist dann der Impuls?
Wenn nicht, warum nicht?
3.4
Die verallgemeinerte statistische Interpretation
In Kapitel 1 habe ich Ihnen gezeigt, wie man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet,
ein Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden, und wie man den Erwartungswert
für eine beliebige messbare Größe bestimmt. In Kapitel 2 haben Sie gelernt, wie man
die möglichen Ergebnisse einer Energiemessung und deren Wahrscheinlichkeiten
bestimmt. Nun sind wir genügend gerüstet, dass ich die verallgemeinerte statistische Interpretation darlegen kann, die all dies zusammenfasst und es Ihnen gestatten wird, die möglichen Ergebnisse einer beliebigen Messung und deren Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Zusammen mit der Schrödinger-Gleichung (die Ihnen verrät, wie sich die Wellenfunktion mit der Zeit entwickelt) ist das die Grundlage der
Quantenmechanik.
Verallgemeinerte statistische Interpreation: Wenn Sie eine Observable Q(x‚ p) an
einem Teilchen im Zustand Ψ (x‚ t) messen, erhalten Sie mit Bestimmtheit einen der
(x‚ −i h̄ d/ dx ). Wenn das Spektrum von Q
Eigenwerte des hermiteschen Operators Q
diskret ist, erhält man den bestimmten Eigenwert qn , der mit der orthonormierten
Eigenfunktion fn (x ) verbunden ist, mit der Wahrscheinlichkeit
|cn |2
mit cn = fn |Ψ .
(3.43)
Wenn das Spektrum kontinuierlich ist und man reelle Eigenwerte q(z) für die zugehörigen Dirac-orthonormierten Eigenfunktionen fz (x ) hat, beträgt die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis im Bereich dz
|c(z)|2 dz
c(z) = fz |Ψ .
mit
(3.44)
Ganz gleich, ob das Spektrum diskret oder kontinuierlich ist: Bei einer Messung
„kollabiert“ die Wellenfunktion zum entsprechenden Eigenzustand.14
Die statistische Interpretation unterscheidet sich vollständig von allem, dem wir in
der klassischen Physik begegnet sind. Ein etwas anderer Blickwinkel macht dies vielleicht etwas einleuchtender: Die Eigenfunktionen des Operators einer Observablen
sind vollständig, also lässt sich die Wellenfunktion als Linearkombination von ihnen
schreiben:
Ψ (x‚ t) =
cn fn (x ) .
(3.45)
n
(Aus Gründen der Einfachheit werde ich annehmen, dass das Spektrum diskret ist;
man kann den Gedankengang aber leicht auf den kontinuierlichen Fall erweitern.)
Da die Eigenfunktionen orthonormal sind, erhält man die Koeffizienten mithilfe des
14 Im Fall kontinuierlicher Spektren vollzieht sich der Kollaps auf einen schmalen Bereich um
den Messwert, dessen Breite von der Genauigkeit der Messapparatur abhängt.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 138 — le-tex
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Formalismus
Fourier-Tricks:15
cn = fn |Ψ =
fn (x )∗ Ψ (x‚ t) dx .
(3.46)
Qualitativ können Sie aus cn ablesen, „wie viel fn in Ψ enthalten ist“; angesichts des ergeben muss, scheint
sen, dass eine Messung immer einen der Eigenwerte von Q
es plausibel, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, einen ganz bestimmten Eigenwert
qn zu erhalten, durch den „Gehalt an fn “ in Ψ festgelegt wird. Doch weil die Wahrscheinlichkeiten aus dem Betrag des Quadrats der Wellenfunktion berechnet werden, erhält man aus einer genauen Messung eigentlich |cn |2 . Das ist die wesentliche
Bürde der verallgemeinerten statistischen Interpretation.16
Natürlich muss die Gesamtwahrscheinlichkeit (summiert über alle möglichen Ergebnisse) gerade eins sein:
|cn |2 = 1 ‚
(3.47)
n
und wirklich folgt dies aus der Normierung der Wellenfunktion:
⎞
0⎛
1
∗ c f |f 1 = Ψ |Ψ = ⎝
cn fn ⎠ cn fn
cn
=
n n n
n
n
n n
∗ c δ =
∗c =
=
cn
cn
|cn |2 .
n nn
n
n
n
n
(3.48)
n
Entsprechend sollte der Erwartungswert von Q die Summe aller möglichen Ergebnisse von Eigenwerten mal der Wahrscheinlichkeit für jeden dieser Eigenwerte sein:
qn |cn |2 .
(3.49)
Q =
n
Und in der Tat haben wir
⎞ 0⎛
1
Ψ = ⎝
cn fn ⎠ Q
cn fn
‚
Q = Ψ |Q
n
(3.50)
n
fn = qn fn , und damit ist
aber es gilt ja Q
∗ c q f |f =
∗ c q δ =
cn
cn
qn |cn |2 .
Q =
n n n n
n n nn
n
n
n
n
(3.51)
n
So weit zumindest sieht doch alles ganz widerspruchsfrei aus.
Könnten wir in dieser Schreibweise auch die ursprüngliche statistische Interpretation wiedergeben? Aber ja, auch wenn das des Guten ein wenig zu viel ist; doch es
15 Beachten Sie, dass die Zeitabhängigkeit – die hier jedoch kein Thema ist – durch die Koeffizienten eingebracht wird; eigentlich müsste man also zur Verdeutlichung cn (t) schreiben.
16 Wieder einmal vermeide ich peinlich genau die allzu verbreitete Aussage „|cn |2 ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Teilchen sich im Zustand fn befindet“. Das ist nämlich
Unsinn. Das Teilchen ist im Zustand Ψ , Punkt. Eher kann man sagen, dass |cn |2 die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass eine Messung von Q den Wert qn ergibt. Es ist richtig, dass
eine solche Messung den Zustand zur Eigenfunktion fn kollabieren lässt; man müsste also
eigentlich korrekt sagen „|cn |2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen, dass sich jetzt
im Zustand Ψ befindet, sich nach der Messung von Q im Zustand fn befinden wird“ – aber
das ist eine völlig andere Aussage.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 139 — le-tex
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3.4 Die verallgemeinerte statistische Interpretation
lohnt sich, das zu überprüfen. Eine Messung von x an einem Teilchen im Zustand
Ψ muss einen der Eigenwerte des Ortsoperators ergeben. Nun, in Beispiel 3.3 hatten
wir gesehen, dass jede (reelle) Zahl y ein Eigenwert von x ist, und die zugehörige
(Dirac-orthonormierte) Eigenfunktion ist gy (x ) = δ(x − y ). Offenbar ist
∞
c(y ) = gy |Ψ =
δ(x − y )Ψ (x‚ t) dx = Ψ (y‚ t) ;
(3.52)
−∞
also ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis im Bereich dy zu erhalten, gerade
|Ψ (y‚ t)|2 dy, und das ist genau die ursprüngliche statistische Interpretation.
Und wie sieht es mit dem Impuls aus? In Beispiel 3.2 hatten
√ wir herausgefunden,
dass die Eigenfunktionen des Impulsoperators fp (x ) = (1/ 2πh̄) exp(ipx /h̄) sind,
also
∞
1
c(p) = fp |Ψ = √
2πh̄
e−ipx/h̄ Ψ (x‚ t) dx .
(3.53)
−∞
Das ist eine solche wichtige Größe, dass wir ihr einen eigenen Namen und ein Symbol geben: die Impulsraum-Wellenfunktion Φ(p‚ t). Es handelt sich dabei im Wesentlichen um die Fourier-Transformierte der (Ortsraum-)Wellenfunktion Ψ (x‚ t), die
nach dem Satz von Plancherel ja gerade deren Fourier-Umkehrtransformierte ist:
Φ(p‚ t) = √
Ψ (x‚ t) = √
1
2πh̄
1
2πh̄
∞
−∞
∞
e−ipx/h̄ Ψ (x‚ t) dx ;
(3.54)
eipx/h̄ Φ(p‚ t) dp .
(3.55)
−∞
Nach der verallgemeinerten statistischen Interpretation erhält man für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Impulsmessung einen Wert im Bereich dp ergibt,
|Φ(p‚ t)|2 dp .
(3.56)
Beispiel 3.4: Ortsraum- und
Impulsraum-Wellenfunktion
Ein Teilchen der Masse m ist durch einen Deltafunktions-Potentialtopf mit V (x ) =
−αδ gebunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Impulsmessung
einen Wert größer als p0 = mα/h̄ ergibt?
Lösung:
Die (Ortsraum-)Wellenfunktion ist (vgl. Gleichung 2.129)
Ψ (x‚ t) =
√
mα −mα |x|/h̄2 −iEt/h̄
e
e
h̄
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Formalismus
Beispiel 3.4 (Fortsetzung)
(mit E = −mα 2 /2h̄2 ). Die Impulsraum-Wellenfunktion ist demnach
Φ(p‚ t) = √
√
1
2πh̄
mα −iEt/h̄
e
h̄
∞
2
e−ipx/h̄ e−mα |x|/h̄ dx =
−∞
3/2
2 p0 e−iEt/h̄
π p2 + p20
(das Integral habe ich in einem Tabellenwerk nachgeschlagen). Die Wahrscheinlichkeit ist dann
2 3
p
π 0
∞
p0
1
1
dp =
π
(p2 + p20 )2
"
pp0
+ tan−1
p2 + p20
p
p0
#∞
p0
1
1
= −
= 0‚0908
4 2π
(auch hier habe ich das Integral wieder nachgeschlagen).
Aufgabe 3.11
Bestimmen Sie die Impulsraum-Wellenfunktion Φ(p‚ t) für ein Teilchen im
Grundzustand des harmonischen Oszillators. Geben Sie (auf zwei signifikante
Stellen) die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine Messung von p an einem Teilchen in diesem Zustand einen Wert außerhalb des klassisch erlaubten Bereichs
(für dieselbe Energie) ergibt.
Hinweis: Schlagen Sie die benötigten Zahlenwerte in einem Tabellenwerk unter
den Stichworten „Normalverteilung“ bzw. „(Gauß’sche) Fehlerfunktion“ nach,
oder wenden Sie Mathematica an.
Aufgabe 3.12
Zeigen Sie
x =
Φ∗ −
h̄ ∂
Φ dp .
i ∂p
(3.57)
Hinweis: Beachten Sie, dass x exp(ipx /h̄) = −ih̄( d/ dp) exp(ipx /h̄).
Im Impulsraum ist dann der Ortsoperator durch ih̄∂/∂ p gegeben. Allgemeiner
gilt
⎧
⎨ Ψ ∗Q
x‚ h̄ ∂ Ψ dx
im Ortsraum ;
i
∂
x
Q(x‚ p) = (3.58)
∂
h̄
⎩ Φ ∗ Q̂ −
i ∂ p ‚ p Φ dp im Impulsraum .
Im Prinzip können Sie alle Rechnungen im Impulsraum genauso gut (wenn auch
vielleicht nicht so einfach) durchführen wie im Ortsraum.
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3.5 Die Unschärferelation
3.5
Die Unschärferelation
Ich habe die Unschärferelation (in der Form σx σp ≥ h̄/2) ganz am Anfang, in Abschnitt 1.6, eingeführt und sie in den Aufgaben mehrfach überprüft. Aber wir haben
sie bis jetzt nie bewiesen. In diesem Abschnitt will ich eine verallgemeinerte Form
der Unschärferelation beweisen und einige der Folgerungen daraus untersuchen. Der
Beweis ist schön, aber recht abstrakt, passen Sie also gut auf.
3.5.1 Beweis der verallgemeinerten Unschärferelation
Für eine beliebige Observable A haben wir (vgl. Gleichung 3.21)
− A)Ψ |(A
− A)Ψ = f |f σA2 = (A
− A)Ψ . Entsprechend gilt für eine beliebige andere Observable B,
mit f ≡ (A
− B)Ψ .
σB2 = g|g mit g ≡ (B
Daher gilt wegen der Schwarz’schen Ungleichung (Gleichung 3.7)
σA2 σB2 = f |f g|g ≥ |f |g|2 .
(3.59)
Nun gilt für eine beliebige Zahl z
|z|2 = [Re(z)]2 + [Im(z)]2 ≥ [Im(z)]2 =
2
1
∗
(z − z ) .
2i
(3.60)
Wenn wir nun z = f |g setzen, dann haben wir daher
σA2 σB2 ≥
2
1
.
[f |g − g|f ]
2i
(3.61)
Aber
− A)Ψ |(B
− B)Ψ = Ψ |(A
− A)(B
− B)Ψ f |g = (A
= Ψ |(A B − A B − B A + AB)Ψ B
Ψ − BΨ |A
Ψ − AΨ |B
Ψ + ABΨ |Ψ = Ψ |A
= A B − BA − AB + AB
B
− AB .
= A
Entsprechend gilt
A
− AB
g|f = B
und damit
2
3
B
− B
A
= A
‚ B
;
f |g − g|f = A
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 142 — le-tex
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Formalismus
dabei ist
‚ B
≡A
B
−B
A
A
der Kommutator der beiden Operatoren (vgl. Gleichung 2.48).
Schlussfolgerung:
σA2 σB2 ≥
1 2 3 2
.
A‚B
2i
(3.62)
Dies ist die (verallgemeinerte) Unschärferelation. Sie könnten meinen, das i würde
die Sache einigermaßen trivial machen – i2 ist ja schließlich −1, sollte da die rechte
Seite nicht negativ sein? Doch so einfach ist es nicht, denn der Kommutator von zwei
hermiteschen Operatoren enthält ebenfalls einen Faktor mit i, und dann kürzen sich
die beiden gegenseitig heraus.17
= x)
Als ein Beispiel wollen wir annehmen, dass die erste Observable der Ort ist (A
= (h̄/i) d/ dx). Den Kommutator dieser beiden Operaund die zweite der Impuls (B
toren haben wir bereits in Kapitel 2 erarbeitet (Gleichung 2.58):
x̂‚ p̂ = ih̄ .
Also ist
σx2 σp2 ≥
2 2
1
h̄
ih̄ =
2i
2
oder, da die Standardabweichung ihrer Definition nach immer positiv ist,
σx σp ≥
h̄
.
2
(3.63)
Das ist die Originalform der Heisenberg’schen Unschärferelation, aber wir wissen
jetzt, dass es sich nur um die Anwendung eines weit allgemeineren Zusammenhangs
handelt.
Eigentlich gibt es sogar eine Unschärferelation für jedes Paar von Observablen, deren
Operatoren nicht kommutieren – wir nennen sie inkompatible Observable. Inkompatible Observable haben keine gemeinsamen Eigenfunktionen – zumindest können
sie keinen vollständigen Satz von gemeinsamen Eigenfunktionen haben (vgl. Aufgabe 3.15). Dagegen erlauben kompatible (d. h. kommutierende) Observable einen
vollständigen Satz von gleichzeitigen Eigenfunktionen.18 Beispielsweise sind (wie
wir in Kapitel 4 sehen werden) im Wasserstoffatom die Hamilton-Funktion, der Drehimpulsbetrag und die z-Komponente des Drehimpulses miteinander kompatible Observable, und wir werden gemeinsame Eigenfunktionen für alle drei konstruieren,
17 Genauer gesagt ist der Kommutator von zwei hermiteschen Operatoren selbst anti † = −Q
), und sein Erwartungswert ist imaginär (vgl. Aufgabe 3.26).
hermitesch (Q
18 Dies entspricht dem Befund, dass nichtkommutierende Matrizen nicht gleichzeitig diagonalisiert werden können (d. h. sie können nicht beide mit derselben Ähnlichkeitstransformation auf Diagonalform gebracht werden), wogegen kommutierende hermitesche Matrizen
sich sehr wohl gleichzeitig diagonalisieren lassen. Vgl. Abschnitt A.5.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 143 — le-tex
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3.5 Die Unschärferelation
die jeweils mit den entsprechenden Eigenwerten gekennzeichnet sind. Aber es gibt
keine Eigenfunktion des Ortes, die auch eine Eigenfunktion des Impulses ist, weil
diese Operatoren inkompatibel sind.
Beachten Sie, dass die Unschärferelation in der Quantenmechanik keine zusätzliche
Annahme ist, sondern eher eine Folgerung aus der statistischen Interpretation. Sie
könnten sich fragen, wie sich dies im Labor Geltung verschafft – warum sollte man
denn nicht (beispielsweise) sowohl Ort als auch Impuls eines Teilchen bestimmen
können? Sie können natürlich den Ort des Teilchens messen, aber durch den Akt der
Messung kollabiert die Wellenfunktion zu einer schmalen Spitze, die notwendigerweise einen breiten Bereich an Wellenlängen (und damit Impulsen) in ihrer FourierZerlegung enthält. Wenn Sie dann den Impuls messen, kollabiert der Zustand zu
einer langen sinusförmigen Welle mit einer (jetzt) wohldefinierten Wellenlänge –
aber das Teilchen befindet sich dann nicht mehr an dem Ort, den Sie in der ersten Messung bestimmt haben.19 Das Problem ist dabei einfach, dass die zweite Messung das Ergebnis der ersten hinfällig macht. Nur wenn die Wellenfunktion für beide
Observable gleichzeitig ein Eigenzustand ist, kann man eine zweite Messung ohne
Störung des Teilchenzustands durchführen (der zweite Kollaps der Wellenfunktion
ändert in diesem Fall nichts). Doch das ist nur möglich, wenn die beiden Observablen kompatibel sind.
∗
Aufgabe 3.13
a
Beweisen Sie die folgende Identität der Kommutatoren:
[AB‚ C] = A[B‚ C] + [A‚ C]B .
b
(3.64)
Zeigen Sie, dass gilt:
[x n ‚ p] = ih̄nx n−1 .
c
Zeigen Sie allgemeiner, dass für eine beliebige Funktion f (x ) gilt:
[f (x )‚ p] = ih̄
df
.
dx
(3.65)
19 Niels Bohr hat sich sehr darum bemüht, den Mechanismus ausfindig zu machen, durch den
die Messung beispielsweise von x den vorher existierenden Wert von p zerstört. Die Krux
bei der Sache ist, dass man, um den Ort eines Teilchens bestimmen zu können, irgendwie
nach dem Teilchen „stochern“ muss – beispielsweise mit einem Lichtstrahl. Doch diese
Photonen übertragen einen Impuls auf das Teilchen, dessen Größe Sie nicht beeinflussen
können. Sie kennen dann zwar den Ort des Teilchens, aber den Impuls eben nicht mehr.
Bohrs berühmte Debatten mit Einstein enthalten einige reizvolle Beispiele, die im Einzelnen zeigen, wie experimentelle Nebenbedingungen der Unschärferelation Geltung verschaffen. Einen begeisterten Bericht finden Sie in Bohrs Artikel in Albert Einstein: PhilosopherScientist, Hrsg. P.A. Schilpp, Tudor, New York (1949).
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 144 — le-tex
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3
Formalismus
∗
Aufgabe 3.14
Beweisen Sie die berühmte „(Ihr Name)-Unschärferelation“, in der die Unschärfe
des Ortes (A = x) und die Unschärfe der Energie (B = p2 /2m + V) in Beziehung
gesetzt werden:
σx σH ≥
h̄
|p| .
2m
Für stationäre Zustände verrät Ihnen diese Relation nicht viel. Warum nicht?
Aufgabe 3.15
Zeigen Sie, dass zwei nichtkommutierende Operatoren keinen vollständigen Satz
an gemeinsamen Eigenfunktionen haben können.
]f = 0 für eine beliebige Funktion im Hilbert‚ Q
Hinweis: Zeigen Sie, dass [P
einen vollständigen Satz von gemeinsamen
Raum gelten muss, wenn P und Q
Eigenfunktionen haben.
3.5.2 Das Wellenpaket mit minimaler Unschärfe
Wir sind jetzt zweimal Wellenfunktionen begegnet, die die Unschärfegrenze genau
treffen (d. h. die Unschärfe wird bei ihnen minimal mit σx σp = h̄/2): der Grundzustand des harmonischen Oszillators (Aufgabe 2.11) und das Gauß’sche Wellenpaket
für das freie Teilchen (Aufgabe 2.22). Das wirft eine interessante Frage auf: Was ist
denn das allgemeinste Wellenpaket mit mimimaler Unschärfe? Wenn wir uns den
Beweis für die Unschärferelation noch einmal anschauen, bemerken wir, dass an
zwei Stellen Ungleichungen ins Spiel kommen: in Gleichung 3.59 und 3.60. Nehmen wir an, dass an diesen beiden Stellen jeweils eine Gleichung erforderlich wäre,
und schauen wir uns nun an, was wir damit über Ψ erfahren.
Die Schwarz’sche Ungleichung wird zu einer Gleichung, wenn eine Funktion ein
Vielfaches der anderen ist: g (x ) = cf (x ) für irgendeine komplexe Zahl c (vgl. Aufgabe A.5). Allerdings habe ich in Gleichung 3.60 den Realteil von z weggeworfen;
das Gleichheitszeichen gilt für Re(z) = 0, d. h. für Ref |g = Re(cf |f ) = 0. Nun
ist f |f mit Sicherheit reell, das bedeutet also, dass die Konstante c rein imaginär
sein muss – nennen wir sie ia. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die
minimale Unschärfe ist dann also
g (x ) = iaf (x ) mit einem reellen a .
Für die Unschärfe von Ort und Impuls wird aus diesem Kriterium:
h̄ d
− p Ψ = ia(x − x)Ψ ‚
i dx
(3.66)
(3.67)
und das ist eine Differentialgleichung für Ψ als Funktion in x. Ihre allgemeine Lösung
(vgl. Aufgabe 3.16) ist
2
Ψ (x ) = A e−a(x−x) /2h̄ eipx/h̄ .
(3.68)
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 145 — le-tex
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3.5 Die Unschärferelation
Offenbar ist das Wellenpaket mit minimaler Unschärfe gaußförmig, und die beiden
Beispiele, die wir bislang kennengelernt haben, sind tatsächlich Gauß’sche Wellenpakete.20
Aufgabe 3.16
Beweisen Sie Gleichung 3.67 für Ψ (x ). Achten Sie darauf, dass x und p Konstanten sind.
3.5.3 Die Unschärferelation für Zeit und Energie
Die Unschärferelation für Ort und Impuls wird oft in der Form
x p ≥
h̄
2
(3.69)
angegeben. x (die „Unbestimmtheit“ in x) ist eine liederliche Schreib- und saloppe
Sprechweise für die Standardabweichung der Ergebnisse von wiederholten Messungen an identisch präparierten Systemen.21 Gleichung 3.69 wird oft gekoppelt mit der
Unschärferelation für Zeit und Energie:
t E ≥
h̄
.
2
(3.70)
Im Kontext der speziellen Relativitätstheorie kann man sicher die Zeit-Energie-Form
als eine Folge aus der Ort-Impuls-Form der Unschärferelation ansehen, weil x und t
(oder besser ct) zusammen in den Raumzeit-Vierervektor eingehen, während p und E
(bzw. E /c) zusammen in den Energie-Impuls-Vierervektor eingehen. In einer relativistischen Theorie wäre also Gleichung 3.70 eine unumgängliche Begleiterscheinung.
Aber wir betreiben hier keine relativistische Quantenmechanik. Die SchrödingerGleichung ist explizit nichtrelativistisch: Sie behandelt t und x höchst ungleich
(als eine Differentialgleichung erster Ordnung in t und zweiter Ordnung in x), und
Gleichung 3.70 folgt ausdrücklich nicht aus Gleichung 3.69. Ich will die Unschärferelation für Zeit und Energie nun herleiten und Sie dabei davon überzeugen, dass
sie ein völlig anderes Kaliber ist, auch wenn die vordergründige Ähnlichkeit mit der
Ort-Impuls-Form der Unschärferelation in dieser Hinsicht in die Irre führt.
Letzten Endes sind Ort, Impuls und Energie allesamt dynamische Variable – messbare Merkmale des Systems zu einem beliebigen Zeitpunkt. Doch die Zeit selbst ist
keine dynamische Variable (jedenfalls nicht in einer nichtrelativistischen Theorie):
Sie können nicht hingehen und die „Zeit“ eines Teilchens messen, so wie Sie dessen
20 Beachten Sie, dass es hier nur um die Abhängigkeit der Wellenfunktion Ψ von x geht – die
„Konstanten“ A, a, x und p können durchaus allesamt Funktionen in der Zeit sein, und
was das betrifft, kann sich Ψ dann vom Minimum fortentwickeln. Ich behaupte nur, dass –
sofern die Wellenfunktion zu einem bestimmten Zeitpunkt gaußförmig in x ist – dann (in
demselben Moment) das Unschärfeprodukt minimal wird.
21 Viele zwanglose Anwendungen der Unschärferelation beruhen (oft unbeabsichtigt) hingegen
auf einem völlig anderen – und manchmal ungerechtfertigten – Maß für die „Unbestimmheit“. Umgekehrt verwenden manchmal auch ganz strenge Beweise andere Definitionen der
„Unbestimmtheit". Vgl. dazu Jan Hilgevoord, Am. J. Phys. 70, 983 (2002).
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 146 — le-tex
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3
Formalismus
Ort oder dessen Energie bestimmen können. Die Zeit ist eine unabhängige Variable, und die dynamischen Größen sind Funktionen von ihr. Insbesondere ist das t
in der Zeit-Energie-Form der Unschärferelation eben nicht die Standardabweichung
einer Vielzahl von Zeitmessungen; ins Unreine gesprochen (ich werde das gleich
präzisieren) ist es die Zeit, die verstreichen muss, bis sich das System wesentlich
verändert.
Als ein Maß dafür, wie schnell sich ein System verändert, berechnen wir die Zeitableitung für den Erwartungswert irgendeines Operators Q(x‚ p‚ t):
0 1 ∂Ψ
∂Ψ
d
d
Q
Ψ + Ψ ∂ Q Ψ + Ψ Q
Ψ =
Q =
Ψ |Q
∂t .
∂t
dt
dt
∂t Nun besagt aber die Schrödinger-Gleichung, dass
ih̄
∂Ψ
Ψ
=H
∂t
gilt (darin ist H = p2 /2m + V die Hamilton-Funktion). Also ist
0
1
∂Q
1
1 d
Q = − H Ψ |Q Ψ + Ψ |Q H Ψ +
.
dt
ih̄
ih̄
∂t
Ψ und damit
Q
ist hermitesch, also gilt H
Ψ |Q̂Ψ = Ψ |H
Doch H
1
0
d
∂Q
i Q = [H
.
‚ Q ] +
dt
∂t
h̄
(3.71)
Das ist für sich ein interessantes und nützliches Ergebnis (vgl. Aufgabe 3.17 und
3.31). Im typischen Fall, wo der Operator nicht explizit von der Zeit abhängt,22 lesen
wir daraus ab, dass die Änderungsgeschwindigkeit des Erwartungswerts durch den
Kommutator mit dem Hamilton-Operator bestimmt ist. Insbesondere ist Q konstant,
mit H
kommutiert – und in diesem Sinn ist Q eine Erhaltungsgröße.
wenn Q
Wählen wir nun in der verallgemeinerten Unschärferelation (Gleichung 3.62) A = H
und B = Q und nehmen wir an, dass Q nicht explizit von t abhängt:
σH2 σQ2 ≥
2 dQ 2
1 2
1 h̄ dQ 2
h̄
=
.
[H ‚ Q ] =
2i
2i i dt
2
dt
Einfacher ausgedrückt:
σH σQ ≥
h̄ dQ .
2 dt (3.72)
/∂ t = 0
22 Operatoren, die explizit von t abhängen, sind recht selten, so dass fast immer ∂ Q
gilt. Als ein Beispiel für eine explizite Zeitabhängigkeit betrachten Sie die potentielle Energie eines harmonischen Oszillators, dessen Federkonstante sich ändert (es könnte z. B. die
Temperatur steigen und die Feder dadurch flexibler werden): Q = (1/2)m[ω(t)]2 x 2 .
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 147 — le-tex
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3.5 Die Unschärferelation
Definieren wir nun E ≡ σH und
t ≡
σQ
.
| dQ/ dt|
(3.73)
Dann haben wir
E t ≥
h̄
‚
2
(3.74)
und das ist genau die Unschärferelation für Energie und Zeit. Machen Sie sich aber
klar, was t hier bedeutet: Wegen
dQ t
σQ = dt gibt t hier die Zeitdauer an, in der sich der Erwartungswert von Q um eine Standardabweichung ändert.23 Insbesondere hängt t vollständig davon ab, welche Observable (also Q) Sie gern beobachten möchten – die Änderungsgeschwindigkeit
kann für die eine Observable hoch, für eine andere dagegen recht gering sein. Doch
wenn E klein ist, dann ist die Änderungsgeschwindigkeit für alle Oberservable
nur gering. Anders gesagt: Wenn sich auch nur eine Observable schnell ändert, dann
muss die „Unschärfe“ in der Energie groß sein.
Beispiel 3.5: Zeitliche Entwicklung
der Erwartungswerte
Im Extremfall eines stationären Zustands, in dem die Energie eindeutig bestimmt
ist, sind alle Erwartungswerte zeitlich konstant (E = 0 ⇒ t = ∞) – das
haben wir schon vor geraumer Zeit festgestellt (vgl. Gleichung 2.9). Damit überhaupt irgendetwas geschieht, brauchen Sie die Linearkombination von wenigstens zwei stationären Zuständen, beispielsweise
Ψ (x‚ t) = aψ1 (x ) e−iE1 t/h̄ + bψ2 (x ) e−iE2 t/h̄ .
Wenn a, b, ψ1 und ψ2 reell sind, gilt
|Ψ (x‚ t)|2 = a2 (ψ1 (x ))2 + b2 (ψ2 (x ))2 + 2abψ1 (x )ψ2 (x ) cos
E2 − E1
t .
h̄
Die Periode der Schwingung ist τ = 2π h̄/(E2 − E1 ). Man kann also sagen, dass
E = E2 − E1 und t = τ gilt (die exakte Rechnung können Sie in Aufgabe 3.18
durchführen), also ist
E t = 2πh̄ ‚
und das ist ≥ h̄/2.
23 Dies wird manchmal als die „Mandelstam-Tamm-Formulierung“ der Unschärferelation für
Energie und Zeit bezeichnet. Eine Übersicht über alternative Ansätze findet sich z. B. in Paul
Busch, Found. Phys. 20, 1 (1990).
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 148 — le-tex
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3
Formalismus
Beispiel 3.6: Unschärfe eines freien Teilchens
Wie lange braucht das zu einem freien Teilchen gehörende Wellenpaket, an einem
bestimmten Punkt vorbeizulaufen (vgl. Abbildung 3.1)? Qualitativ (die exakte
Rechnung folgt in Aufgabe 3.19) haben wir t = x /v = mx /p, aber E =
p2 /2m, also gilt E = pp/m. Damit ist
E t =
pp mx
= x p ‚
m
p
und das ist größer als h̄/2, dem Wert, der sich entsprechend der Orts-ImpulsUnschärfe ergibt.
x
v
A
x
Abbildung 3.1: Ein zu einem freien Teilchen gehörendes Wellenpaket nähert sich dem Punkt A (Beispiel 3.6).
Beispiel 3.7: Massenunschärfe eines -Teilchens
Ein -Teilchen hat eine Lebensdauer von rund 10−23 Sekunden, bevor es spontan zerfällt. Wenn Sie ein Histogramm für alle Messungen seiner Masse anlegen,
erhalten Sie ein Art Glockenkurve um den Wert 1232 MeV/c2 mit einer Breite
von etwa 120 MeV/c2 (Abbildung 3.2). Warum erhält man manchmal eine Ruheenergie von mehr und manchmal weniger als 1232 MeV/c2 ? Ist das ein Messfehler? Nein, denn wir haben
120
E t =
MeV (10−23 s) = 6 · 10−22 MeV s ‚
2
1100
1200
1300
Masse (MeV/c2)
1400
Abbildung 3.2: Histogramm für die Messungen der Masse des -Teilchens (Beispiel 3.7).
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 149 — le-tex
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3.5 Die Unschärferelation
Beispiel 3.7 (Fortsetzung)
dagegen gilt h̄/2 = 3 · 10−22 MeV s. Die Unschärfe in m ist also gerade so gering,
wie die Unschärferelation erlaubt – ein Teilchen mit einer solch geringen Lebensdauer hat eben keine wohldefinierte Masse.24
Machen Sie sich die verschiedenen Bedeutungen klar, die in diesen Beispielen mit
dem Term t verbunden sind: In Beispiel 3.5 gibt er eine Schwingungsperiode an;
in Beispiel 3.6 die Zeit, in der ein Teilchen an einem bestimmten Punkt vorbeiläuft;
und in Beispiel 3.7 die Lebensdauer eines instabilen Teilchens. In jedem dieser Fälle
jedoch ist t die Zeit, in der sich das System „wesentlich“ ändert.
Es wird häufig gesagt, der Unschärferelation zufolge wäre die Energie in der Quantenmechanik nicht streng erhalten – man könne sich also einen Energiebetrag E „leihen“, wenn man ihn nur in der Zeit t ≈ h̄/(2E ) wieder „zurückzahlen“ würde;
und je größer der geliehene Energiebetrag, umso kürzer die Zeit, in der dies möglich
ist. Nun, es gibt viele seriöse Interpretationsmöglichkeiten der Unschärferelation in
Energie und Zeit, aber diese gehört nicht dazu. An keiner Stelle erlaubt die Quantenmechanik, den Energieerhaltungssatz zu verletzen, und eine solche Möglichkeit ist
auch nirgends in die Ableitung von Gleichung 3.74 eingegangen. Doch die Unschärferelation ist außerordentlich robust: Man kann sie missbrauchen, ohne dass sie zu
völlig falschen Ergebnissen führt, und infolgedessen haben sich die Physiker daran
gewöhnt, sie recht sorglos auszulegen.
∗
Aufgabe 3.17
Wenden Sie Gleichung 3.71 auf folgende Spezialfälle an: a) Q = 1; b) Q = H;
c) Q = x; d) Q = p. Kommentieren Sie in jedem dieser Fälle das Ergebnis, insbesondere in Bezug auf die Gleichungen 1.27, 1.33, 1.38 und die Energieerhaltung
(siehe die Ausführungen im Anschluss an Gleichung 2.40).
Aufgabe 3.18
Überprüfen Sie die Unschärelation in Energie und Zeit für die Wellenfunktion
aus Aufgabe 2.5 und die Observable x, indem Sie σH , σx und dx/ dt exakt
berechnen.
24 Streng genommen habe ich in Beispiel 3.7 etwas geschummelt. Man kann 10−23 Sekunden
nicht mit einer Stoppuhr messen; tatsächlich wird die Lebensdauer aus der Massenschärfe
abgeleitet und benutzt dabei die Unschärferelation als Vorgabe. Dennoch ist die Aussage
des Beispiels stichhaltig, auch wenn die Logik gerade andersherum läuft. Darüber hinaus
ist eine Zeit von 10−23 s – wenn Sie annehmen, dass das -Teilchen etwa dieselbe Größe
hat wie ein Proton (ca. 10−15 m) – ungefähr die Zeitdauer, die das Licht benötigt, um an
dem Teilchen vorbeizukommen; man kann sich schwerlich vorstellen, dass die Lebensdauer
eines Teilchens viel geringer sein könnte.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 150 — le-tex
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Formalismus
Aufgabe 3.19
Überprüfen Sie die Unschärelation für das Wellenpaket eines freien Teilchens
aus Aufgabe 2.43 und die Observable x, indem Sie σH , σx und dx/ dt exakt
berechnen.
Aufgabe 3.20
Zeigen Sie, dass sich die Unschärferelation in Energie und Zeit auf die „(Ihr
Name)-Unschärferelation“ (vgl. Aufgabe 3.14) reduziert, wenn die untersuchte
Observable x ist.
3.6
Die Dirac-Notation
Stellen Sie sich einen gewöhnlichen Vektor A in zwei Dimensionen vor (Abbildung 3.3a). Wir würden Sie jemandem diesen Vektor beschreiben? Der bequemste
Weg besteht darin, ein kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen x und y zu
bestimmen und dann darin die Komponenten von A anzugeben: Ax = ı̂ ·A, Ay = jˆ ·A
(Abbildung 3.3b). Natürlich könnte Ihre Schwester ein anderes Koordinatensystem
mit anderen Achsen x und y gewählt haben, und sie würde dann andere Komponenten erhalten: Ax = ı̂ ·A, Ay = jˆ ·A (Abbildung 3.3c). Aber in allen Fällen handelt
es sich um denselben Vektor – wir drücken ihn nur in Bezug auf zwei verschiedene
Basen ({ı̂ ‚ jˆ} und {ı̂ ‚ jˆ }) aus. Der Vektor selbst „lebt draußen in seinem Vektorraum“,
unabhängig davon, welche (beliebigen) Koordinaten irgendjemand auswählen sollte.
Dasselbe gilt für
den
3 Zustand eines Systems in der Quantenmechanik. Es wird durch
einen Vektor S(t) dargestellt, der „draußen im Hilbert-Raum“ lebt, aber ausdrücken
können wir ihn mithilfe einer beliebigen Anzahl von unterschiedlichen Basen. Die
Wellenfunktion Ψ (x‚ t) ist der Koeffizient in der Entwicklung von | S in der Basis
der Ortseigenfunktionen:
Ψ (x‚ t) = x| S(t)
(3.75)
(wobei |x für die Eigenfunktion von x̂ mit dem Eigenwert x steht);25 die Wellenfunktion Φ(p‚ t) im Impulsraum dagegen ist der Koeffizient von | S in der Basis der
y
y'
A
Ay A
A
x'
Ay'
Ax
a
x
b
Ax'
c
Abbildung 3.3: (a) Vektor A. (b) Komponenten von A bezüglich der x - und der y -Achse. (c) Komponenten von A
bezüglich der x - und der y -Achse.
25 Ich will hier nicht die Bezeichnung gx verwenden, die in Gleichung 3.39 eingeführt wurde,
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 151 — le-tex
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3.6 Die Dirac-Notation
Impulseigenfunktionen:
Φ(p‚ t) = p| S (t)
(3.76)
(wobei |p für die Eigenfunktion von p̂ mit dem Eigenwert p steht).26 Wir können
| S auch in der Basis der Energieeigenfunktionen entwickeln (dabei nehmen wir der
Einfachheit halber an, dass das Spektrum diskret ist):
cn (t) = n| S (t)
(3.77)
), entsprechend Gleichung 3.46.
(dabei steht |n für die n-te Eigenfunktion von H
Aber es handelt sich immer um denselben Zustand, die Funktionen Ψ und Φ und
die Menge {cn } der Koeffizienten enthalten genau dieselbe Information – es sind
einfach nur drei verschiedene Möglichkeiten, denselben Vektor zu beschreiben:
1
Ψ (x‚ t) = Ψ (y‚ t)δ(x − y ) dy = Φ(p‚ t) √
eipx/h̄ dp
2π h̄
=
cn e−iEn t/h̄ ψn (x ) .
(3.78)
Operatoren (die Observable repräsentieren) sind lineare Transformationen, d. h. sie
„transformieren“ einen Vektor in einen anderen:
|α .
|β = Q
(3.79)
So wie man Vektoren in Bezug auf eine spezielle Basis {|en } darstellt,27 indem man
ihre Komponenten angibt:
|α =
an |en mit
an = en |α ;
|β =
n
bn |en mit
bn = en |β ‚
(3.80)
n
so werden Operatoren (in Bezug auf eine spezielle Basis) durch ihre Matrixelemente28 dargestellt:
|en ≡ Qmn .
em |Q
(3.81)
In dieser Schreibweise nimmt Gleichung 3.79 die Form
n
bn |en =
|en an Q
(3.82)
n
denn diese Form bezieht sich auf die Ortsbasis, und der springende Punkt an dieser Stelle
ist ja, dass wir uns von einer speziellen Basis befreien wollen. Gewiss, als ich den HilbertRaum zum ersten Mal als die Menge der quadratintegrablen Funktionen – in x – definiert
habe, war ich schon zu restriktiv, denn das legte uns auf eine spezielle Basis (die Ortsbasis)
fest. Sie sollten den Hilbert-Raum jetzt als einen abstrakten Vektorraum ansehen, dessen
Elemente sich in Bezug auf jede gewünschte Basis darstellen lassen.
26 Im Ortsraum wäre das fp (x ) (vgl. Gleichung 3.32).
27 Ich werde annehmen, dass die Basis diskret ist; im anderen Fall wird n zu einem kontinuierlichen Index, und die Summen werden durch Integrale ersetzt.
28 Diese Terminologie ist offensichtlich durch den endlich-dimensionalen Fall angeregt; typischerweise hat die „Matrix“ nun aber unendlich viele Elemente, ja ihre Anzahl kann eventuell sogar überabzählbar sein.
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3
Formalismus
an; wir können auch das innere Produkt mit |em bilden:
|en bn em |en =
an em |Q
n
(3.83)
n
und erhalten somit
bm =
Qmn an .
(3.84)
n
Die Matrixelemente verraten Ihnen also, wie sich die Komponenten transformieren.
Später werden uns Systeme begegnen, die nur eine endliche Anzahl N von linear
unabhängigen Zuständen zulassen. In diesem Fall lebt | S (t) in einem N-dimensionalen Vektorraum; man kann ihn als Spaltenvektor mit N Komponenten (bezüglich
einer gegebenen Basis) darstellen, die Operatoren nehmen dann die Form gewöhnlicher (N ×N )-Matrizen an. Dies sind die einfachsten Quantensysteme, in denen keine
der Feinheiten auftritt, die mit unendlich-dimensionalen Vektorräumen verbunden
sind. Das einfachste von ihnen ist das System mit nur zwei Zuständen, das wir im
folgenden Beispiel untersuchen wollen.
Beispiel 3.8: Einfaches System
aus zwei linear unabhängigen Zuständen
Wir betrachten ein System, in dem es nur zwei linear unabhängige Zustände
gibt:29
|1 =
1
0
und |2 =
0
.
1
Der allgemeinste Zustand ist eine normierte Linearkombination:
| S = a|1 + b|2 =
a
b
mit
|a|2 + |b|2 = 1 .
Der Hamilton-Operator lässt sich als (hermitesche) Matrix ausdrücken; wir nehmen an, dass sie die folgende spezielle Form hat:
H=
h
g
g
h
(dabei sind g und h reelle Konstanten). Das System soll sich zum Zeitpunkt t = 0
im Zustand |1 befinden. In welchem Zustand befindet es sich zur Zeit t?
29 Technisch gesehen bedeuten die Gleichheitszeichen hier die Aussage „wird dargestellt
durch“, aber ich glaube, es wird nicht zu Verwirrung führen, wenn wir bei der üblichen
informellen Schreibweise bleiben.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 153 — le-tex
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3.6 Die Dirac-Notation
Beispiel 3.8: (Fortsetzung)
Lösung:
Nach der (zeitabhängigen) Schrödinger-Gleichung gilt
ih̄
d
| S = H| S .
dt
(3.85)
Wie immer beginnen wir mit der Lösung der zeitunabhängigen SchrödingerGleichung:
H|s = E|s ;
(3.86)
Wir suchen also die Eigenvektoren und Eigenwert von H. Die charakteristische
Gleichung (die sollten Sie aus den Anfangssemestern der Mathematik kennen)
bestimmt die Eigenwerte:
det
h−E
g
g
h−E
= (h − E )2 − g 2 = 0 ⇒ h − E = ∓g ⇒ E± = h ± g .
Offenbar sind die erlaubten Energien (h + g ) und (h − g ). Um die Eigenvektoren
zu bestimmen, schreiben wir
h g
α
α
= (h ± g )
⇒ hα + g β = (h ± g )α ⇒ β = ±α ‚
g h
β
β
also sind die normierten Eigenvektoren
1
1
.
|s± = √
2 ±1
Nun entwickeln wir den Anfangszustand in eine Linearkombination von Eigenvektoren des Hamilton-Operators:
| S (0) =
1
1
= √ (|s+ + |s− ) .
0
2
Zum Schluss fügen wir noch die Standard-Zeitabhängigkeit exp(−iEn t/h̄) hinzu:
&
1 %
| S (t) = √ e−i(h+g )t/h̄ |s+ + e−i(h−g )t/h̄ |s− 2
1 −iht/h̄ −igt/h̄ 1
1
+ eigt/h̄
= e
e
1
−1
2
1 −iht/h̄ e−igt/h̄ + eigt/h̄
cos(gt/h̄)
−iht /h̄
= e
.
=
e
−i sin(gt/h̄)
2
e−igt/h̄ − eigt/h̄
Wenn Sie dieses Ergebnis bezweifeln, sollten Sie es unter allen Umständen nachprüfen: Erfüllt dieser Ausdruck die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung? Passt
er zum Anfangszustand mit t = 0?
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 154 — le-tex
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3
Formalismus
Beispiel 3.8 (Fortsetzung)
Dies ist ein recht grobes Modell für (unter anderem) die Neutrino-Oszillationen.
In diesem Fall repräsentiert |1 das Elektron-Neutrino und |2 das Myon-Neutrino.
Wenn der Hamilton-Operator einen nicht-verschwindenden Term g außerhalb
der Diagonalen hat, dann wandelt sich das Elektron-Neutrino im Lauf der Zeit
in ein Myon-Neutrino um (und wieder zurück).
Dirac schlug vor, die Klammer-Schreibweise α |β für das innere Produkt in zwei
Teile zu zerlegen. Nach dem englischen Wort „Bracket“ für Klammer sollten die beiden Teile als Bra (α |) und Ket (|β ) bezeichnet werden (was mit dem „c“ passiert,
ist nicht überliefert). Das Ket ist ein Vektor, doch was genau ist ein Bra? Hier handelt
es sich um eine lineare Funktion von Vektoren, und zwar in dem Sinne, dass das
Bra, sobald es auf einen Vektor (zu seiner Rechten) angewandt wird, eine (komplexe)
Zahl erzeugt – eben das innere Produkt. (Wenn ein Operator auf einen Vektor aufgewandt wird, entsteht ein anderer Vektor; Wenn ein Bra auf einen Vektor angewandt
wird, entsteht eine Zahl.) In einem Funktionenraum kann man sich das Bra als eine
Anweisung zum Integrieren vorstellen:
f | = f ∗ [· · · ] dx .
Darin stehen die Auslassungspunkte für eine beliebige Funktion, der das Bra in dem
Ket zu seiner Rechten begegnet. In einem endlich-dimensionalen Vektorraum, in
dem die Vektoren als Spalten
⎛
⎞
a1
⎜ a2 ⎟
⎜ ⎟
|α = ⎜ . ⎟
⎝ .. ⎠
(3.87)
an
dargestellt werden, ist das entsprechende Bra ein Zeilenvektor:
4
5
α | = a∗1 a∗2 . . . a∗n .
(3.88)
Die Menge aller Bras bildet einen weiteren Vektorraum – den sogenanten Dualraum.
Die Möglichkeit, die Bras als eigenständige Objekte behandeln zu können, gestattet
uns eine leistungsstarke und elegante Schreibweise (die ich in diesem Buch jedoch
nicht weiter ausnützen werde). Wenn beispielsweise |α ein normierter Vektor ist,
dann pickt der Operator
≡ |α α |
P
(3.89)
den Anteil eines beliebigen anderen Vektors heraus, der entlang von |α gerichtet ist:
|β = α |β |α .
P
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 155 — le-tex
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3.6 Die Dirac-Notation
den Projektionsoperator auf einen eindimensionalen Unterraum, der
Wir nennen P
durch |α aufgespannt wird. Ist {|en } eine diskrete Orthonormalbasis, d. h. gilt
em |en = δmn ‚
dann haben wir
|en en | = 1
(3.90)
(3.91)
n
(der Identitäts- oder Einheitsoperator). Er heißt so, weil wir die Entwicklung von |α in der {|en }-Basis wiedergewinnen, wenn wir diesen Operator auf einen beliebigen
Vektor |α wirken lassen:
|en en |α = |α .
(3.92)
n
Entsprechend gilt, wenn {|ez } eine Dirac-orthonormierte kontinuierliche Basis ist,
ez |ez = δ(z − z ) ‚
und dann haben wir
(3.93)
|ez ez | dz = 1 .
(3.94)
Die Gleichungen 3.91 und 3.94 bieten die aufgeräumteste Möglichkeit, die Vollständigkeit auszudrücken.
Aufgabe 3.21
2 = P
.
Zeigen Sie, dass Projektionsoperatoren idempotent sind, d. h. es gilt P
und charakterisieren Sie seine Eigenwerte.
Bestimmen Sie die Eigenwerte von P
Lösungshinweise
Aufgabe 3.22
Betrachten Sie einen dreidimensionalen Vektorraum, der durch die Orthonormalbasis |1, |2, |3 aufgespannt wird. Die Kets |α und |β sind gegeben durch
|α = i|1 − 2|2 − i|3 ‚
|β = i|1 + 2|3 .
a
Konstruieren Sie α | und β | (ausgedrückt mithilfe der dualen Basis 1|, 2|,
3|).
b
Bestimmen Sie α |β und β |α und bestätigen Sie, dass β |α = α |β ∗ gilt.
c
≡ |α β | in dieser
Bestimmen Sie alle neun Matrixelemente des Operators A
Basis, und konstruieren Sie die Matrix A. Ist sie hermitesch?
Aufgabe 3.23
Der Hamilton-Operator für ein bestimmtes Zwei-Niveau-System ist
= ε (|11| − |22| + |12| + |21|) .
H
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 156 — le-tex
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Formalismus
Darin ist |1, |2 eine Orthonormalbasis, und ε ist eine Zahl mit der Dimension
einer Energie. Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren (als Linearkom bezüglich dieser
binationen von |1 und |2). Welche Matrix H repräsentiert H
Basis?
Aufgabe 3.24
ist ein Operator mit einem vollständigen Satz von Eigenvektoren:
Q
|en = qn |en (n = 1‚ 2‚ 3‚ . . . ).
Q
mithilfe seiner Spektralzerlegung schreiben kann:
Zeigen Sie, dass man Q
=
Q
qn |en en | .
n
Hinweis: Ein Operator wird durch seine Wirkung auf alle möglichen Vektoren
charakterisiert. Sie müssen also zeigen, dass
|α =
Q
$
qn |en en | |α n
für beliebige Vektoren |α gilt.
Weitere Aufgaben für Kapitel 3
Lösungshinweise
Aufgabe 3.25
Legendre-Polynome. Orthonormieren Sie mithilfe des Gram-Schmidt’schen Orthonormierungsverfahrens (vgl. Aufgabe A.4) die Funktionen 1, x, x 2 und x 3 über dem
Intervall −1 ≤ x ≤ 1. Die Ergebnisse sollten Sie bereits kennen – bis auf die Normierung30 handelt es sich um die Legendre-Polynome (Tabelle 4.1).
Aufgabe 3.26
Ein anti-hermitescher Operator (oder schief-hermitescher Operator) ist gleich dem
Negativen von dessen hermitesch Konjugierten:
† = −Q
.
Q
(3.95)
a
Zeigen Sie, dass der Erwartungswert eines anti-hermiteschen Operators imaginär ist.
b
Zeigen Sie, dass der Kommutator von zwei hermiteschen Operatoren anti-hermitesch ist. Was können Sie über den Kommutator von zwei anti-hermiteschen
Operatoren sagen?
30 Legendre konnte nicht wissen, welches die beste Konvention sein würde; er wählte seinerzeit den Gesamtfaktor so, dass alle seine Funktionen bei x = 1 gegen 1 gehen – und wir
müssen heute mit dieser ungeschickten Wahl leben.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 157 — le-tex
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Aufgaben
Aufgabe 3.27
, der die Observable A repräsenAufeinanderfolgende Messungen. Ein Operator A
tiert, hat zwei normierte Eigenzustände ψ1 und ψ2 mit den Eigenwerten a1 bzw.
, der die Observable B repräsentiert, hat zwei normierte Eigena2 . Der Operator B
zustände ψ1 und ψ2 mit den Eigenwerten b1 bzw. b2 . Die Eigenzustände hängen
folgendermaßen zusammen:
ψ1 = (3φ1 + 4φ2 )/5 ‚
∗∗
ψ2 = (4φ1 − 3φ2 )/5 .
a
Die Observable A wird gemessen, dabei erhält man den Wert a1 . In welchem
Zustand befindet sich das System (unmittelbar) nach dieser Messung?
b
Nun wird B gemessen. Was sind die möglichen Ergebnisse, und welche Wahrscheinlichkeiten gehören dazu?
c
Direkt nach der Messung von B wird A noch einmal gemessen. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, a1 zu erhalten? (Beachten Sie, dass Ihre Antwort völlig anders aussehen würde, wenn ich Ihnen das Ergebnis der Messung von B
verraten hätte.)
Aufgabe 3.28
Bestimmen Sie die Impulsraum-Wellenfunktion Ψn (p‚ t) für den n-ten stationären
Zustand des unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopfs. Zeichnen Sie |Φ1 (p‚ t)|2
und |Φ2 (p‚ t)|2 als Funktion von p auf (achten Sie dabei besonders auf die Punkte
p = ±nπ h̄/a). Berechnen Sie den Erwartungswert von p2 mithilfe von Φn (p‚ t). Vergleichen Sie Ihre Antwort mit dem Ergebnis von Aufgabe 2.4.
Aufgabe 3.29
Wir betrachten die Wellenfunktion
1
Ψ (x‚ 0) =
√
2nλ
ei2πx/λ
0
−nλ < x < nλ ‚
sonst
mit einer positiven ganzen Zahl n. Die Funktion ist über dem Intervall −nλ < x <
nλ rein sinusförmig (mit der Wellenlänge λ), doch sie beschreibt trotzdem einen
Bereich von Impulsen, weil die Oszillationen nicht bis ins Unendliche fortgeführt
werden. Bestimmen Sie die Impulsraum-Wellenfunktion Φ(p‚ 0). Skizzieren Sie die
Graphen von |Ψ (x‚ 0)|2 und |Φ(p‚ 0)|2 und bestimmen Sie die Breiten wx bzw. wp
(den Abstand zwischen den Nullen auf beiden Seiten des Hauptpeaks). Beachten Sie,
was für n → ∞ mit den Breiten geschieht. Nehmen Sie wx bzw. wp als Abschätzung
für x bzw. p und überprüfen Sie damit, ob die Unschärferelation erfüllt ist.
Warnung: Wenn Sie versuchen, σp zu berechnen, werden Sie eine unangenehme
Überraschung erleben. Können Sie sagen, warum?
Aufgabe 3.30
Betrachten Sie
Ψ (x‚ 0) =
A
‚
x 2 + a2
(−a < x < ∞)
mit zwei Konstanten A und a.
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Autor: David J. Griffiths Titel: Quantenmechanik — 2012/3/2 — page 158 — le-tex
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Formalismus
∗
a
Bestimmen Sie A durch die Normierung von Ψ (x‚ 0).
b
Bestimmen Sie x, x 2 und σx (zum Zeitpunkt t = 0).
c
Bestimmen Sie die Impulsraum-Wellenfunktion Φ(p‚ 0) und überprüfen Sie, ob
sie normiert ist.
d
Verwenden Sie Φ(p‚ 0) und berechnen Sie damit p, p2 und σp (zum Zeitpunkt t = 0).
e
Überprüfen Sie die Heisenberg’sche Unschärferelation für diesen Zustand.
Aufgabe 3.31
Der Virialsatz. Zeigen Sie mithilfe von Gleichung 3.71, dass
d
dV
xp = 2T − x
dt
dx
(3.96)
gilt (dabei ist T die kinetische Energi