Noethersche 2-Gruppen sind endlich

Sonderdrucke aus der Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
OTTO H. KEGEL
Noethersche 2-Gruppen sind endlich
Originalbeitrag erschienen in:
Monatshefte für Mathematik 71 (1967), S. [424] - 426
Noethersche 2-Gruppen sind endlich
Von
Otto H. Kegel, Frankfurt a. Main
(Eingegangen am 29. Juli 1966)
In einer aus seinem Nachlal~ publizierten Note [4] hat O. Ju. Schmidt
gezeigt, dab 2-Gruppen lokal endlieh sind, wenn sie der Minimalbedingung f'tir Untergruppen geniigen. Der Inhalt dieser Note ist die'Bemerkung, dab die Maximalbedingung ffir die (endhchen, abelscken)
Untergruppen einer 2-Gruppe G bereits deren Endlichkeit nach sich
zieht. -- Der folgende Beweis ist kiirzer als der yon Schmidt [4], aber
der Kern des Arguments ist der gleiche: Eine yon zwei Involutionen
erzeugte Gruppe ist eine Diedergruppe.
Zun/ichst beweisen wit (etwas schitrfer als im Titel angekiindigt) den
Satz A: Er/iillt die 2-Gruppe G die Maximalbedingung /i~r endl4che
Untergruppen, so ist G endlich.
Beweis: Angenommen, der Satz sei falsch; dann sei G eine unendliche
2-Gruppe, die der Maximalbedingnng fiir endliche Untergruppen genfigt.
Dann liegt jedes Element yon G in einer maximalen endlichen Untergruppe yon G. Sei U eine solche maximal endliche Untergruppe yon G
und sei V :4: U eine maximal endliche Untergruppe yon G derart, da$
der Durehsehnitt D = U n V grSBtmSgliche Ordnung hat. Nun betrachte manden Normalisator NaD in G : Esgilt U n N~D ~ D ~ V n NaD,
denn U und V sind ja endliche nilpotente Gruppen. Welter ist
U n N a D eine maximal endliche Untergruppe yon NaD; denn
sonst g~be es eine nicht in U enthaltene Untergruppe yon NaD,
deren Durchsctmitt mit U die Untergruppe D echt enth~lt, was der
Wahl yon D widersprieht. -- Ist nun M :4: U eine maximal endliche
Untergruppe yon N a D, so gilt M n U = D. Dies folgt ebenso aus der
Wahl yon D.
Wegen U n N aD ~ D gibt es ein Element i e U n N aD mit
i 2 9 aber i ~ D . S e i j e N ~ D mit j ~ U n N a D
abet j 2 e D ; dann
O. It. Kegel: Noethersche 2-Gruppen sind endlich
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ist die Gruppe < i , j > DID eine Diedergruppe. Da G eine Torsionsgruppe ist, ist diese Gruppe offenbar endlieh. Dann ist abet aueh die
Untergruppe < i, j > D yon G endlieh, sie liegt nicht in U und erfiillt
U n < i , j > D ~ D. Dies widerspricht aber der Auswahl yon D. -Aus diesem Widersprueh folgt, dal~ es keine solehe unendliche Gruppe
geben kann; und damit ist Satz A bewiesea.
Eine Versehiirfung von Satz A bildet
Korollar B: ErJiillt die 2-Gruppe G die Maximalbedingung /igr endliche
abelsche Unte~yruppen, so ist G endlieh.*
Beweis: Die 2-Gruppe G erfiille die Maximalbedingung fiir endliche
abelsehe Untergruppen; wit wollen zeigen, da$ in G sogar die Maximalbedingung fiir endliehe Untergruppen erfiillt ist. -- W~tre dies nicht so,
dann g~be es eine unendliche aufsteigende Folge endlicher Untergruppen U i c Ui+l yon G. Sei U = U U i. Die unendliehe Untergruppe U
i=l
yon G i s t lokal endlieh und damit lokal nilpotent. Nach Oernikov ([2],
S/~tze 3 und 4) hat U dann eine unendliehe abelsehe Untergruppe A.
Naeh Voraussetzung erfiillt die abelsehe Torsionsgruppe A die Maximalbedingung fiir (endliehe) Untergruppen und ist daher endlieh erzeugt
und also endlich (vgl. [3], Theorem 10, 3). Dieser Widersprueh
zeigt, da$ G sogar der Maximalbedingung fiir endliehe Untergruppen
geniigt. Nach Satz A ist G also endlich.
Die Tatsaehe, dab das Erzeugnis zweier Involutionen eine Diedergruppe ist, ist augerst niitzlich bei der Untersuchung von Gruppen,
die Involutionen enthalten, insbesondere yon endlichen Gruppen
gerader Ordnung (vgl. etwa [1]). Als Beispiel eines solchen Satzes
geben wir den wahrscheinlich wohlbekannten
Satz C: Die endliche Gruppe G i s t genau dann 2-abgeschlossen, wenn
jede iiberaufl6sbare Untergruppe yon G 2-abgesehlossen ist.
Dabei heil~t eine endliche Gruppe 2-abgesehlossen, wenn ihre 2Sylowgruppe Normalteiler ist, und iiberauflSsbar, wenn es eine Hauptreihe mit zyklisehen Hauptfaktoren gibt. -- Der naheliegende Beweis
von Satz C sei dem Leser iiberlassen.
* Naehdem diese Note bereits zur Publikation angenommen war, sah Verf.
die Note yon D. Held: On abelian subgroups of an infinite 2-group, Acta Sci.
Math. Szeged 27 (1966) 97/98, in weleher im wesentliehendas Korollar B auf
etwas umst~indlichereWeise bewiesen wird.
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O. It. Kegel: Noethersche 2-Gruppen sind ondlieh
Literatur
[1] R. Braver und K. A. Fowler: On groups of even order. Annals of Math. (2)
62 (1955), 565--583.
[2] S. N. Cernikov: (~ber lokal aufl6sbare Gruppen, die der Minimalbedingung
fiir Untergruppen geniigen (russisch). Mat. Sbornik 28 (1951), 119--129.
[3] L. Fuchs: Abelian groups, Budapest 1960.
[4] O. Ju. Schmidt: Die lokale Endlichkeit einer Klasse unendlicher periodischer Gruppen (russiseh). Ausgew/ihlte Arbeiten, Moskau 1959, 298--300.
Anschrift des Verf.:
Mathemar
Seminar der
Universit~t Frankfurt a. M.
6 Frankfurt am Main
Robert-Mayer-Stral3e 6 - - 8