1 Ring der ganzen algebraischen Zahlen

Algebraic Number Theory
Universität Zürich HS 2010
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P. Habegger
22.9.2010, Vorlesung #1
Ring der ganzen algebraischen Zahlen
Ziel dieses Kapitels ist es, Ringe zu definieren welche in arithmetischen Anwendungen
auftreten. Diese sind die sogenannte Dedekindschen Ring.
1.1
Zahlkörper
Gegeben seien zwei Körper K und F mit K ⊃ F . Dann nennt man das Paar K/F eine
Körpererweiterung und K eine Körpererweiterung von F . Man kann K auf natürliche
Art als Vektorraum über F (oder F -Vektorraum) betrachten. Insbesondere besitzt K
eine Basis als F -Vektorraum. Wir werden uns hauptsächlich für den Fall interessieren
wo dieser Vektorraum endliche Dimension hat.
Definition. Seien K und F Körper mit K ⊃ F . Falls K ein endlich dimensionaler
F -Vektorraum ist so nennt man die Erweiterung K/F endlich und setzt
[K : F ] = dimF K.
Man sagt auch, dass K eine endliche Erweiterung von F ist. Die Dimension [K : F ]
heisst Grad der Erweiterung.
In der Zahlentheorie speilt der Körper Q der rationalen Zahlen eine besondere Rolle.
Deshalb kriegen die endlichen Erweiterungen von Q einen besonderen Namen.
Definition. Eine endliche Erweiterung von Q heisst Zahlkörper. Der Grad eines Zahlkörpers
ist [K : Q].
Es folgen ein paar Beispiele.
Beispiel.
(i) Natürlich ist Q selbst ein Zahlkörper.
√
(ii) Das Polynom X 2 +1 is irreduzibel in Q[X]. Somit ist K = Q[X]/P Q[X] = Q( −1)
ein Zahlkörper und K/Q hat Grad 2.
(iii) Der Körper der reellen Zahlen R ist kein Zahlkörper. Wäre R/Q eine endliche
Erweiterung, so wäre R als Menge isomorph zu Qn mit n ∈ N und damit abzählbar
unendlich. Dies ist jedoch absurd.
Zahlkörper haben Charakteristik 0. Es gibt auch ein natürlich Analogon in Charakteristik p > 0 und diese sind endliche Körpererweiterungen von Fp (X), dem Körper der
rationalen Funktionen mit Koeffizienten in Fp = Z/pZ.
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1.2
Mehr über Körpererweiterungen
In diesem Abschnitt sind K ⊃ F Körper so, dass K/F eine endliche Körpererweiterung
ist.
Schon im letzten Abschnitt haben wir gesehen, dass K ein endlich dimensionaler F Vektorraum ist. Jetzt werden wir Konzepte aus der linearen Algebra verwenden um
Element von K zu untersuchen.
Jedes x ∈ K induziert einen Endomorphismus ϕx von K (als F -Vektorraum) wie folgt:
ϕx : K → K
ist gegeben durch ϕx (y) = xy
für alle y ∈ K.
Wir werden später ϕx mit der Hilfe einer F -Basis von K als Matrix ausdrücken. Die
folgenden zwei Definition sind natürlich basisunabhängig.
Definition. Die Notation sie wie oben.
(i) Die Spur T rK/F (x) von x (bezüglich K/F ) ist die Spur von ϕx betrachtet als Endomorphism des F -Vektorraums K.
(ii) Die Norm NK/F (x) von x (bezüglich K/F ) ist die Determinante von ϕx betrachtet
als Endomorphism des F -Vektorraums K.
Die Notation T rK/F (x) kommt aus dem Englischen oder Französischen (“trace”).
Beispiel. (i) Hier ist F = R und K√= C. Die Erweiterung C/R hat Grad 2. Eine RBasis von C is
√gegeben durch (1, −1) (die Wahl der Wurzel von −1 is irrelevant).
Sei x = a + b −1 mit x, y ∈ R. Dann wird ϕx bezüglich der eben erwähnten Basis
durch
a −b
b a
repräsentiert. Demnach ist T rC/R (z) = 2a und NC/R (z) = a2 + b2 .
(ii) Schauen wir uns eine endliche Erweiterung von Q an. √
Das Polynom X 2 − 5 is
irreduzibel in Q[X]. Deshalb ist K = Q[X]/P Q[X]
√ = Q( 5) eine endliche Erweiterung von Q; der Grad [K : Q] ist 2. Jetzt ist (1, 5) eine √
Q-Basis von K (wieder
ist die Wahl der Wurzeln von 5 irrelevant). Sei x = a + 5b. Bezüglich unserer
Basis wird ϕx durch
a 5b
b a
repräsentiert. Deshalb gilt T rK/Q (x) = 2a und NK/Q (x) = a2 − 5b2 .
Version des 15. Oktober 2010
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