Einführung in die Artinschen Zopfgruppen

Universität Duisburg-Essen
- Campus Duisburg Fakultät für Mathematik
W. Hümbs
Einführung in die Artinschen
Zopfgruppen
In den Aufgaben 1-6 sollen Sie Erzeugendensysteme und das Rechnen mit Generatoren
kennenlernen.
Aufgabe 1
Zeigen Sie, dass die symmetrische Gruppe S3 von den Zyklen bzw. Transpositionen (12)
und (13) erzeugt wird, d.h. es gilt:
S3 = {(1), (123), (132), (12)(23)(13)}
= < (12), (13) > .
Aufgabe 2
Identifizieren Sie die Gruppe
G = {a, b | a3 = b2 = 1, a2 b = ba} .
Aufgabe 3
Gegeben sei die Kleinsche Vierergruppe V4 mit der Verknüpfungstafel
·
e
a
b
c
e a b
e a b
a e c
b c e
c b a
c
c
b
a
e
Geben Sie drei Erzeugendensysteme und eine anschauliche Deutung dieser Gruppe an.
1
Aufgabe 4
Sei En die Gruppe der n-ten Einheitswurzeln, d.h. En = {z ∈ C | z n = 1} .
Zeigen Sie, dass En zyklisch ist. Bestimmen Sie für E3 zwei erzeugende Elemente.
Aufgabe 5
Zeigen Sie:
B3 =< x, y | x3 = y 2 > .
Aufgabe 6
Verifizieren Sie, dass die Gruppen
G1 =< a, b | aba = bab, (aba)4 = 1 >
und
G2 =< s, t | s3 = t2 , t4 = 1 >
isomorph sind.
Die Aufgaben 7-11 behandeln einfache Eigenschaften der Zopfgruppen.
Aufgabe 7
Gegeben sei die Artinsche Zopfgruppe B3 mit den Generatoren σ1 und σ2 .
Verifizieren Sie:
Mit ∆ = ∆3 = σ1 σ2 σ1 gilt:
(i) ∆σ1 = σ2 ∆,
(ii) ∆σ2 = σ1 ∆,
(iii) ∆2 kommutiert mit beiden Generatoren.
2
Aufgabe 8
Zeigen Sie:
In der Zopfgruppe Bn , (n > 2) folgt für zwei Zöpfe mit β n = γ n nicht notwendig β = γ,
d.h. es gibt keine eindeutig bestimmten Wurzeln.
Aufgabe 9
Verifizieren Sie:
Ein beliebiges Produkt eines nicht trivialen konjugierten Zopfes kann trivial sein.
Aufgabe 10
Zeigen Sie die folgenden Relationen in B3 :
(i) σ1 σ2 σ1−1 = σ2−1 σ1 σ2
(ii) σ1−1 σ2−1 σ1−1 = σ2−1 σ1−1 σ2−1
(iii) σ1−1 σ2−1 σ1 = σ2 σ1−1 σ2−1
(iv) σ1 σ2−1 σ1−1 = σ2−1 σ1−1 σ2
(v) σ1−1 σ2 σ1 = σ2 σ1 σ2−1
Aufgabe 11
Gegeben seien die Zopfgruppe Bn mit den Generatoren σ1 , σ2 , . . . , σn−1 .
Weiterhin sei
z := σ1 , σ2 . . . σn−1
und
z1 := z, z2 := σ2 σ3 . . . σn−1
sowie zn−1 := σn−1 .
Zeigen Sie:
a) zσ1 = σ2 z.
3
b) In Bn sei U die (Unter-)Gruppe, die von den Generatoren σ2 , σ3 , . . . , σn−1 erzeugt
wird, also
U := gr {σ2 , σ3 , . . . , σn−1 } .
Geben Sie eine Lösung der Gleichung
z n−1 = X · z · X
für n = 3 in U an.
Aufgabe 12
In dieser Aufgabe sollen Sie einen Zusammenhang zwischen der Zopfgruppe B3 und der
speziellen linearen Gruppe der SL(2, ZZ) kennenlernen.
a) Gegeben seien die Matrizen
0 −1
1 0
S :=
!
0 −1
1 1
und T :=
!
.
Zeigen Sie S 2 = −I = T 3 .
b) Verifizieren Sie, dass S bzw. T jeweils die zyklische Untergruppe ZZ4 bzw. ZZ6 von
SL(2, ZZ) erzeugt.
c) Berechnen Sie das Zentrum von SL(2, ZZ).
Die modulare Gruppe (projektive spezielle lineare Gruppe) P SL(2, ZZ) ist der Quotient von SL(2, ZZ) nach ihrem Zentrum. Man kann auch P SL(2, ZZ) als die (Unter-)
Gruppe der Möbius-Transformationen der komplexen Ebene mit der Korrespondenz
az + b
←→
z→
cz + d
a b
c d
!
∈ SL(2, ZZ)
auffassen.
Eine Möbius-Transformation ist eine Abbildung
f : C̃ → C̃, f (z) =
az + b
cz + d
mit ad − bc 6= 0 und C̃ := C {∞} .
S
d) In der Linearen Algebra werden eine Drehung (um den Nullpunkt) bzw. eine Spiegelung
durch die R2 → R2 -Abbildungen
x0
y0
!
=
cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
bzw.
4
!
x
y
!
x0
y0
!
=
cos ϕ sin ϕ
sin ϕ − cos ϕ
!
x
y
!
definiert.
Schreiben Sie diese Abbildungen vermöge der kanonischen Isomorphie
!
x
R 3
←→ x + iy ∈ C
y
2
als Abbildungen C → C.
Entscheiden Sie dann, ob diese Abbildungen Möbius-Transformationen sind.
e) Zeigen Sie, dass die spezielle lineare Gruppe
(
SL(2, R) =
a b
c d
!
)
2×2
∈R
|ad − bc = 1
durch die Möbius-Transformationen auf der oberen Halbebene
H = {z ∈ C | Im(z) > 0}
operiert.
f) Geben Sie alle Elemente aus P SL(2, ZZ) an, die Möbius-Transformationen mit den
Fixpunkten
±i
beschreiben.
1
nicht idempotent ist, d.h., dass es kein n ∈ N gibt, so
g) Zeigen Sie, dass f, f (z) = 1+z
n
dass f = f ◦ f ◦ . . . ◦ f (n-mal) die identische Abbildung von C̃ ist.
Gilt dies auch für g, g(z) =
1
?
1−z
Aufgabe 13
Sei X = {a, b} und
τ = {X, φ, {a}} .
Zeigen Sie, dass (X, τ ) ein wegzusammenhängender topologischer Raum ist.
Aufgabe 14
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
5
1) Homöomorphe topologische Räume sind homotopieäquivalent.
2) Es sei X ein topologischer Raum und x ∈ X. Dann ist {x} ein Retrakt von X, aber
nicht notwendig ein Deformationsretrakt.
3) Es sei R versehen mit der Standard-Topologie und X ⊂ R abgeschlossen. Dann ist
der Rand von X ein Retrakt von X , aber nicht notwendig ein Deformationsretrakt.
4) Retrakte zusammenziehbarer Räume sind zusammenziehbar.
Aufgabe 15
Verifizieren Sie:
Wenn die Räume X und Y homotopieäquivalent sind und X wegzusammenhängend ist,
dann ist auch Y wegzusammenhängend.
Aufgabe 16
a) Begründen Sie anschaulich, warum π1 (S 1 ) ∼
= ZZ gilt.
b) Geben Sie eine Beweisskizze für die Aussage aus a) an.
Aufgabe 17
Formulieren Sei einen direkten Beweis, dass die Fundamentalgruppe des Kreises π1 (S1, 1)
abelsch ist.
Hinweis:
Seien λ, µ : I → S 1 zwei Schleifen. Dabei wird die Homotopie H : I → S 1 gegeben durch
(
H(s, t) =
µ(2st) · λ(2(1 − t)s
für 0 ≤ s ≤ 12 ,
µ(t + (1 − t)(2s − 1)) · λ(1 + 2t(s − 1)) für 12 ≤ s ≤ 1 ,
Dabei ist ζ · η das Produkt der komplexen Zahlen iin S 1 mit
H : λµ ∼
= µλ , d.h.
[λ][µ] = [µ][λ] .
Zeigen Sie, dass die Homotopie H die Komposition zweier Abbildungen
f : I × I → I × I und
g : I × I → S 1 ist.
6
Fertigen Sie auch eine Skizze an.
Aufgabe 18
Der Sierpinski-Raum S ist die Menge {0, 1} versehen mit der Topologie τ = { φ, { 0, 1}, { 0}}.
Verifizieren Sie, dass S einfach-zusammenhängend ist.
Aufgabe 19
Zeigen Sie, dass der Einheitskreis S 1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1} homöomorph zum
Kleeblattknoten ist.
Aufgabe 20
Berechnen Sie das Alexander-Polynom des Achterknotens.
Aufgabe 21
Berechnen Sie das Alexander-Polynom des Knotens 61 .
Aufgabe 22
Berechnen Sie das Jones-Polynom des Kleeblattknotens mit drei rechtshändigen Kreuzungen.
Aufgabe 23
Zeigen Sie, dass das Knotendiagramm des Achterknotens nicht färbbar ist.
Aufgabe 24
Gegeben seien die zwei Elemente
∆1 = σ1 σ22 σ1−1 σ2−1 σ12 σ2
und
∆2 = σ2−1 σ14 σ2
Zeigen Sie ∆1 = ∆2
i) rechnerisch
und
ii) geometrisch.
7
aus B3 .
Aufgabe 25
Berechnen Sie den Braid-Index des Kleeblattknotens.
Aufgabe 26
Welchen Zopf muss man verkleben, um den Achterknoten zu erhalten?
Aufgabe 27
Bezüglich einer Sequenz
φ
φ
X→Y →Z
in der Kategorie der abelschen Gruppen AB ist die Kohomologiegruppe von Y definiert
als Quotientengruppe ker ψ/ im φ, vorausgesetzt, es gilt im φ ⊂ ker ψ, d.h. für y = ψ(x) ∈
im φ hat man ψ(y) = 0 oder in anderen Worten ψ(y) = ψ(φ(x)) = (ψ ◦ φ)(x) = 0.
Gegeben sei die Sequenz
f
g
Z → C → C∗
in Ab
(∗)
mit f (n) = 4n und g(z) = e2πiz .
Berechnen Sie die Kohomologiegruppe von C bzgl. (∗)
Aufgabe 28
Zeigen Sie:
Die Sequenz 1 → Pn → Bn → Sn − 1 ist exakt.
Aufgabe 29
Sei n ≥ 2. Für ein festes n und i = 1, . . . , n − 1 sei die (n × n)-Matrix




Ui = 
Ii−1
0
0 1−t
0
1
0
0
0
0
t
0
0
0
0 In−i−1





über dem Ring R = Z[t, t−1 ] gegeben.
a) Zeigen Sie, dass Ui invertierbar ist, und berechnen Sie die inverse Matrix Ui−1 .
8
b) Zeigen Sie die Zopfrelationen Ui Uj = Uj Ui für alle i, j mit |i − j| ≥ 2 und Ui Ui+1 Ui =
Ui+1 Ui Ui+1 für i = 1, 2, . . . n − 2.
In den folgenden Aufgaben sollen die Anwendungen der Zopfgruppen in der Kryptographie
vorbereitet werden.
Aufgabe 30
Die Charakteristik eines Körpers F ist die kleinste natürliche Zahl mit p · 0 = 1, wobei 1
die multiplikative Eins des Körpers ist. Existiert kein p mit dieser Eigenschaft, so definiert
man die Charakteristik als Null.
Verifizieren Sie: Die Charakteristik eines Körpers F ist entweder 0 oder eine Primzahl p.
Aufgabe 31
Entscheiden Sie (mit Beweis), ob die Polynome
a) f (x) = x2 + x + 1 ∈ Z2 [x]
b) g(x) = 2x6 + x4 ∈ Z3 [x]
irreduzibel bzw. reduzibel sind.
Aufgabe 32
a) Verifizieren Sie, dass der Ring R[x]/(1 + x2 ) ein Körper ist.
Identifizieren Sie diesen Körper.
b) Überprüfen Sie, ob der Ring
Z2 [x]//1 + x + x2 )
ein Körper ist.
Aufgabe 33
Berechnen Sie für
α :=
√
5 +
√
7
das Minimalpolynom f (x) über Q.
Aufgabe 34
Sei C ein linearer Code der Länge n über Fq . Verifizieren Sie:
i) |C| = q dim(C) , d.h. dim(C) = logq |C|;
9
ii) C ⊥ ist ein linearer Code, und es gilt dim(C) + dim(C ⊥ ) = n;
iii) (C ⊥ )⊥ = C.
Aufgabe 35
Gegeben sei das Schlüsselaustausch-Protokoll nach Diffie-Hellman, Ko et al., d.h. der
öffentliche Schlüssel P ist ein Element aus Bn . Die privaten Schlüssel von Alice und Bob
seien jeweils SA ∈ LBn und SB ∈ U Bn . Berechnen Sie den gemeinsamen Schlüssel für
SA = σ4 σ5 σ2
SB = σ7 σ10 σ9
und
p = σ1 σ2 σ8 ∈ B10 .
Aufgabe 36
i) Zeichnen Sie den farbigen Zopf der durch folgendes Zopfwort repräsentiert wird:
1
C = br(2)bg(−2)gr(2)bg( ) .
2
ii) Geben Sie die entsprechenden Verteilungen n(−2), n(2), n(3) und n( 12 ) an.
Aufgabe 37
Berechnen Sie die Verteilung n(T ) der Zopfsegmentlängen, die durch folgende (vereinfachte) Gleichung gegeben ist:
1 Z ∞ −|T −w|
2
√
e
n(w)dw = e−T .
2π −∞
Aufgabe 38
a) Beweisen oder widerlegen Sie:
Man kann auf der Sphäre
S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1}
einen Atlas konstruieren, der genau eine Karte enthält.
b) Konstruieren Sie einen topologischen Raum, der eine abzählbare Basis der Topologie
besitzt, nicht hausdorffsch und nicht lokal homöomorph zum Rn ist.
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Aufgabe 39
Betrachten Sie die offenen Teilmengen U und V des Einheitskreisess
S 1 := {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1} ⊂ R2 ,
die gegeben sind durch
U = {(cos α, sin α) | α ∈]0, 2π[
und V = {(cos α, sin α) | α ∈] − π, π[} .
Zeigen Sie, dass
A := { (U, ϕ), (V, ψ)}
mit
ϕ : U → R, ϕ(cos α, sin α) = α für α ∈]0, 2π[
ψ : V → R, ψ(cos α, sin α) = α für α ∈] − π, π[
ein Atlas auf S 1 ist.
Aufgabe 40
Gegeben sei die Heisenberg-Gruppe
H :=










1 x y

0 1 z 
.
|
x,
y,
z
∈
R



0 0 1
(a) Versehen Sie H so mit einer Struktur, dass H eine C ∞ -Mannigfaltigkeit wird, die
zum R3 isomorph ist.
(b) Zeigen Sie, dass H, versehen mit der Matrizenmultiplikation, eine Lie-Gruppe ist.
(c) Ist die Abbildung f : H → R, A 7→ f (A) = x + y + z differenzierbar?
(d) Ist f aus (c) ein Homomorphismus von Lie-Gruppen?
Aufgabe 41
Zeigen Sie bitte, dass die reelle projektive Ebene P2 (R) nicht orientierbar ist.
Aufgabe 42
Sei n eine natürliche Zahl und q1 bzw. q2 seien Einheiten in einem Integritätsring R. Die
Iwahori-Hecke-Algebra Hn (q1 , q2 ), oder kurz Hn , ist die assoziative R-Algebra gegeben
durch die Generatoren T1 , . . . , Tn−1 und den Relationen
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1) Ti Tj = Tj Ti für |i − j| > 1
2) Ti Tj Ti = Tj Ti Tj für |i − j| = 1
3) (Ti − q1 )(Ti − q2 ) = 0.
i) Die gewöhnliche Definition der Iwahori-Hecke-Algebra benutzt nur einen Parameter q, genauer hat man Hn (−1, q) oder auch manchmal Hn (1, −q).
Zeigen Sie, dass das keine Beschränkung der Allgemeinheit ist, indem Sie einen
Isomorphismus
q2
HH (q1 , q2 ) → Hn (−1, − )
q1
angeben.
ii) Berechnen Sie Ti−1 in Abhängigkeit von Ti , q1 und q2 .
iii) Geben Sie einen Homomorphismus von der Zopfgruppe Bn in die Gruppe der
Einheiten von Hn an.
Aufgabe 43
Sie X eine Riemannsche Fläche. Eine biholomorphe Abbildung f : X → X wird auch
Automorphismus von X genannt. Die Menge Aut(X) aller Automorphismen von
X zgl. der Komposition von Abbildungen offenbar eine (i.A. nicht-abelsche) Gruppe.
Sei Y eine weitere Riemannsche Fläche. Zeigen Sie: Sind X und Y biholomorph
äquivalent, so sind die Gruppen Aut(X) und Aut(Y ) isomorph.
Aufgabe 44
Zeigen Sie, dass in einer linksorderablen Gruppe G gilt:
i) 1 < g ⇒ g −1 < 1,
ii) G ist torsionsfrei.
Aufgabe 45
Sei G eine Torsionsgruppe. Beweisen oder widerlegen Sie: Im Gruppenring ZG
existieren keine Nullteiler.
Aufgabe 46
Gegeben sei die Abbildung
f : S n−1 → conf(Rn , 2),
f (z) = (z, −z).
Konstruieren Sie einen Schnitt, d.h. eine Abbildung
g : conf(Rn , 2) → S n−1
mit g ◦ f = id.
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