Wellen und Dipolstrahlung

Wellen und Dipolstrahlung
Florian Hrubesch
21. März 2010
Inhaltsverzeichnis
1 Wellen
1.1 Wellen im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Lösung der Wellengleichung . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Energietransport / Impuls - der Poynting Vektor
1.2 Wellen in Nichtleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Superpositionsprinzip und Fourieranalyse . . . . . . . .
1.4 Frequenzabhängigkeit der Materialkonstanten . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
3
4
4
6
1 Wellen
Die allgemeinen Maxwellgleichungen lauten:
~ ·D
~ =ρ
∇
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ×H
~ = ∂ D + ~
∇
∂t
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
(1)
(2)
1.1 Wellen im Vakuum
1.1.1 Lösung der Wellengleichung
Im Vakuum ist ρ = 0 und ~ = 0, und außerdem gibt es keine induzierten
Dipolmomente also wird:
~ = 1B
~ −M
~ = 1B
~
H
µ0
µ0
~ = 0 E
~ + P~ = 0 E
~
D
1
(3)
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
Die Maxwellgleichungen reduzieren sich also zu:
~ ·E
~ =0
∇
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~
~ ×B
~ = µ0 0 ∂ E
∇
∂t
(4)
(5)
Wendet man auf die Gleichungen 5 die Rotation an, so erhält man durch
geschickte Verwendung der übrigen Maxwellgleichungen die Wellengleichung
fürs Vakuum:
2~
~ 2E
~ − µ0 0 ∂ E = 0
∇
∂t2
2~
~ 2B
~ − µ0 0 ∂ B = 0
∇
∂t2
(6)
wobei die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (Phasengeschwindigkeit der Welle) c0 = √µ10 0 ist. Lösungen davon sind u.a. Kugelwellen oder ebene Wellen.
Wir beschränken uns auf ebene Wellen. Die Lösung ist dann
~ t) = E
~ 0 ei(kz−ωt)
E(z,
~ t) = B
~ 0 ei(kz−ωt)
B(z,
(7)
für eine Ebene Welle mit dem Wellenvektor ~k = k · e~z (Ausbreitungsrichtung)
~ 0 . Setzt man die Lösung der Ebenen Wellen in die Welund der Amplitude E
lengleichung ein, so erhält man noch die folgende Dispersionsrelation:
k2 =
ω2
c20
(8)
Der physikalisch sinnvolle Wert ist der Realteil der komplexen Felder. Die
Behandlung als komplexe Zahl ist aber vom Rechnen her schöner. Man darf
bloß am Ende nicht vergessen, wieder den Realteil zu nehmen. Aufgrund
~ ·E
~ = 0 muss die z-Komponente der Amplitude verschwinden (analog
von ∇
~
für B0 ). Es gibt also keine longitudinalen Elektromagnetischen Wellen. Die
~ 0 und B
~ 0 sind ebenfalls über die Maxwellgleichungen verknüpft
Amplituden E
und es gilt:
~ 0 = k (e~z × E
~ 0 ) = 1 (e~z × E
~ 0)
B
w
c0
(9)
D.h. das elektrische und das magnetische Feld stehen in Wellen im Vakuum
senkrecht aufeinander. Abgesehen davon kann man in der Ebene senkrecht
zum Wellenvektor die Richtung des E oder B Feldes noch beliebig wählen. Wir
legen das E-Feld fest, B ist damit automatisch festgelegt. Man unterscheidet
drei verschiedene Arten der Polarisation:
1. Lineare Polarisation:
E0x
η
iα
=e · x
E0y
ηy
Florian Hrubesch
ηx , ηy ∈ R
(10)
2
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
2. Zirkulare Polarisation:
E0x
E0y
1
= E0 e ·
±i
iα
(11)
Je nachdem ob der Vektor in Ausbreitungsrichtung rechts oder links
herum Kreist ist die Welle rechts-, bzw links-Zirkular Polarisiert.
3. Elliptische Polarisation: Allgemeinster Fall. E0x und E0y sind komplexe
Zahlen, haben keinen gemeinsamen imaginären Faktor, den man ausklammern könnte und sind vom Betrag her nicht gleich 1.
1.1.2 Energietransport / Impuls - der Poynting Vektor
Elektromagnetische Wellen transportieren Energie von A nach B. Die Energieflussdichte (Energie pro Zeit pro Fläche) ist durch den Poynting Vektor
gegeben:
~ × B)
~
~ = 1 (E
(12)
S
µ0
= c0 0 E02 cos2 (kz − ωt)e~z
(13)
Achtung: Hier muss der Realteil der Wellen eingesetzt werden!
Die Impulsdichte lässt sich ebenfalls über den Poynting Vektor darstellen:
1~
~ × B)
~
= 0 (E
(14)
P~ = 2 S
c0
0
= E02 cos2 (kz − ωt)e~z
(15)
c0
In der Regel ist man nur an dem zeitlichen Mittel der Energieflussdichte oder
des Impulses interessiert. Man integriert also über mindestens eine Periode
T = 2π
. Dabei wird der cos2 zu 12 und die gemittelte Energieflussdichte und
ω
Impulsdichte ergeben:
D E 1
~ = c0 0 E02 e~z
S
(16)
2
D E
1
P~ =
0 E02 e~z
(17)
2c0
Die Intensität einer Welle ist Definiert als der Betrag des zeitlich gemittelten
Poynting Vektors:
D E 1
~ (18)
I= S
= c0 0 E02
2
Der Strahlungsdruck einer Elektromagnetischen Welle auf eine Fläche berechnet sich wie folgt:
D E
∆p = P~ Ac0 ∆t
(19)
P =
Florian Hrubesch
1 ∆p
I
·
=
A ∆t
c0
(20)
3
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
1.2 Wellen in Nichtleitern
Ausgehend von Bereichen, in denen keine freien Ladungen ρf = 0 und keine
freien Ströme ~f = 0 existieren, erhalten wir die Maxwellgleichungen:
~ ·D
~ =0
∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~ ·H
~ =0
∇
(21)
~
~ ×H
~ = ∂D
∇
∂t
(22)
Für anisotrope Medien ist → ij ein Tensor, der einfacheren Betrachtung
wegen, beschränken wir uns auf isotrope lineare Medien, also gilt:
~ = E
~
D
~ = 1B
~
H
µ
(23)
(24)
Und wir erhalten:
~ ·E
~ =0
∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ×B
~ = µ ∂ E
∇
∂t
(25)
(26)
Gegenüber dem Vakuum muss also lediglich µ0 , 0 durch µ, ausgetauscht
werden. Hier können wir noch die Näherung µ ≈ µ0 anwenden, da die meisten
optischen Medien nichtmagnetisch sind. D.h. die Phasengeschwindigkeit im
Medium beträgt:
c0
1
c= √ =
µ
n
r
µr ≈1 √
µ
√
= r µr ≈
mit: n =
r
0 µ0
(27)
(28)
Der Poynting Vektor und alle anderen Ergebnisse für Wellen im Vakuum
können dann dadurch übernommen werden, dass man überall 0 = , µ0 = µ
setzt. Die Phasengeschwindigkeit c0 muss dann natürlich auch durch die
Phasengeschwindigkeit c im Medium ersetzt werden.
1.3 Superpositionsprinzip und Fourieranalyse
Wenn E1 und E2 die Wellengleichung löst, so löst auch Eges = E1 + E2 die
Wellengleichung. Das macht es möglich Wellenpakete aus vielen unterschiedlichen Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen ω zu konstruieren. Der zeitliche Verlauf ist dabei durch die Fourier-Transformation der Amplituden in
Abhängigkeit der Kreisfrequenz gegeben:
Z ∞
1
~ (ω) eiωt dω
~ (t) = √
E
(29)
E
2π −∞
Florian Hrubesch
4
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
Und rückwärts:
~ (ω) = √1
E
2π
Z
∞
~ (t) e−iωt dt
E
(30)
−∞
um also die zeitliche Entwicklung einer Welle mit einer Amplitudenverteilung
E (ω) zu erhalten wendet man die Fouriertransformation an:
Z ∞
1
~ (ω) ei(k(ω)z−ωt)
~
dω E
(31)
E (z, t) = √
2π −∞
Dabei verhält sich k (ω) entsprechend der Dispersionsrelation aus 8. Im Vakuum ist das einfach eine lineare Abhängigkeit, in Material hängt die Dispersionsrelation noch vom Brechungsindex ab:
ω
ωn
k= =
(32)
c
c0
Der Brechungsindex selber kann dann auch wieder Frequenzabhängig sein.
(Siehe 1.4) Wir wollen ein Wellenpaket betrachten, dessen Frequenzspektrum
nur in direkter Umgebung einer Mittenfrequenz ω0 ungleich Null ist. Wir
können die Wellenzahl nun Taylor-entwickeln ω = ω0 + Ω mit Ω << ω0 :
dk
1 d2 k
k (ω) = k (ω0 ) + Ω
+
+ ...
(33)
dω ω0 2 dω 2 ω0
1
(34)
= k0 + Ωk 0 (ω0 ) + Ω2 k 00 (ω0 )
2
Setzt man dies in 31 ein so erhält man:
Z ∞
1
i(k
z−ω
t)
0
0
~ (z, t) = √ e
~ (ω0 + Ω) ei((Ωk0 (ω0 )+ 21 Ω2 k00 (ω0 )+...)z−Ωt)
E
dΩE
2π
−∞
1 i(k0 z−ω0 t) ~
=√ e
A (z, t)
2π
(35)
(36)
Damit haben wir das Wellenpaket in eine Welle mit der Phasengeschwindigkeit vph = ωk00 = nc und eine sich langsam ändernde Einhüllende aufgetrennt.
Für die Ableitung der Gruppengeschwindigkeit müssen wir jetzt die Ausbreitung der Einhüllenden betrachten. Wir wollen dabei nur den konstanten und
den linearen Term der Taylorentwicklung betrachten:
Z ∞
~
~ (ω0 + Ω) ei((Ωk0 (ω0 )+ 12 Ω2 k00 (ω0 )+...)z−Ωt)
(37)
A (z, t) =
dΩE
−∞
Z ∞
~ (ω0 + Ω) eiΩ(k0 (ω0 )z−t)
≈
dΩE
(38)
−∞
Die Bewegung der Einhüllenden ist dann durch die Bedingung
dk
t−z
= const
dω ω0
Florian Hrubesch
(39)
5
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
Und wir erhalten die Gruppengeschwindigkeit zu
dω
vgr =
dk ω0
Beziehungsweise anders dargestellt (ω = vph · k):
dω
dk
dvph
c0 kc0 dn
vgr =
= vph ·
+k
=
− 2
dk ω0
dk
dk
n
n dk
c0 λc0 dn
c0
λ dn
=
+ 2
=
1+
n
n dλ
n
n dλ
(40)
(41)
(42)
Die vernachlässigten Terme von k, bewirken eine Änderung der Einhüllenden
mit der Zeit. (I.d.R. eine Verbreiterung)
Die Gruppengeschwindigkeit ist nicht die Signalgeschwindigkeit, sie kann
u.U. sogar die Lichtgeschwindigkeit überschreiten. Die Signalgeschwindigkeit hängt von der Frontgeschwindigkeit ab:
ω
ω (k)
= lim =
=
lim
vP H
ω→∞
k→∞
k
k (ω) k→∞, ω→∞
vF R = lim
(43)
1.4 Frequenzabhängigkeit der Materialkonstanten
Ein einfaches Modell um die Frequenzabhängigkeit der Permittivität herzuleiten, ist sich die Elektronen mit einer Feder an die Moleküle gebunden
vorzustellen. Man erhält dann einen gedämpften, getriebenen Oszillator, der
durch das einfallende Licht angeregt wird:
q
dx
d2 x
+γ
+ ω02 x = E0 e−iωt
(44)
2
dt
dt
m
Um auf die Permittivität zu kommen löst man diese Differentialgleichung im
eingeschwungenen Zustand und konstruiert sich mit der Lösung die induzierten Dipolmomente:
p(t) = qx(t) =
q 2 /m
E0 e−iωt
2
2
ω0 − ω − iγω
(45)
Dies erweitert man auf alle Elektronen in dem besagten Molekül und Teilchendichte N der Moleküle im Volumen.
!
2
X
N
q
f
j
~
P~ =
E
(46)
2
2 − iγ ω
m
ω
−
ω
j
j
j
Dabei ist fj die Anzahl der Elektronen mit Eigenfrequenz ωj in einem Molekül.
Die komplexe Permittivität erhält man über die Annahme, dass P~ proportio~ ist.
nal zu E
~
P~ = 0 χe E
Florian Hrubesch
(47)
6
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
und daraus die komplexe Dielektrizitätskonstante:
r = 1 +
fj
N q2 X
2
m0 j ωj − ω 2 − iγj ω
(48)
Normalerweise ist der Imaginäre Anteil vernachlässigbar, aber wenn man
nahe genug an die Resonanzfrequenzen kommt wird er wichtig, denn er führt
zu einer komplexen Wellenzahl k̃ = k + iκ und damit zu einer Dämpfung der
Elektromagnetischen Welle.
~ 0 e−κz ei(kz−ωt)
~ (z, t) = E
~ 0 ei(k̃z−ωt) = E
E
(49)
Der Absorptionskoeffizient ist definiert als α = 2κ. Die Phasengeschwindigkeit
und der Brechungsindex hängen dabei nur vom Realteil ab:
c=
ω
k
n=
ck
ω
(50)
In Gasen ist der zweite Term in Gleichung 48 sehr klein und man kann die
Wellenzahl genähert berechnen:
!
2 X
√
ω
ω
Nq
fj
r ≈
1+
(51)
k̃ =
2
c0
c0
2m0 j ωj − ω 2 − iγj ω
Und damit den Brechungsindex und die Eindringtiefe:
fj ωj2 − ω 2
c0 k
N q2 X
n=
≈1+
ω
2m0 j ωj2 − ω 2 2 + γj2 ω 2
α = 2κ ≈
N q2ω2 X
fj γj
m0 c0 j ωj2 − ω 2 2 + γj2 ω 2
(52)
(53)
n−1
α
ωj
Florian Hrubesch
7
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
Für ω1 < ω < ω2 mit den Extrema ω1 , ω2 gilt:
dn
<0
dω
(54)
Dieses Phänomen nennt man anomale Dispersion im Gegensatz zur normalen Dispersion, die für alle transparenten Medien typisch ist.
Für Frequenzen die weit von den Resonanzfrequenzen entfernt liegen, kann
man den Term mit der Dämpfung vernachlässigen und die Formel für den
Brechungsindex wird zu:
n=1+
N q 2 X fj
2m0 j ωj2 − ω 2
(55)
Dispersion in Metallen In Metallen kann man die Resonanzfrequenz ωj auf
Null setzen, da hier praktisch keine Rückstellkräfte existieren. Wir erhalten
also:
1
N q2
r = 1 −
2
m0 ω + iγω
2
q
und der Näherung ω >>
Mit der Plasmafrequenz ωp2 = N
0 m
verluste durch Streuung) erhält man:
ωp2
r = 1 − 2
ω
(56)
1
τ
(Kaum Energie-
(57)
Nun gilt:
• ω > ωp : n reell
• ω < ωp : n imaginär → Starke Absorption
Da für sichtbares Licht gilt ω << ωp wird Licht in Metallen sehr stark absorbiert.
Florian Hrubesch
8