Wellen und Dipolstrahlung

Wellen und Dipolstrahlung
Florian Hrubesch
17. März 2010
Inhaltsverzeichnis
1 Wellen
1.1 Wellen im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Lösung der Wellengleichung . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Energietransport / Impuls - der Poynting Vektor
1.2 Wellen in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Wellen in Nichtleitern . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Wellen in Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Übergänge zwischen Medien . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Randbedingungen an den Grenzflächen . . . . .
1.3.2 Senkrecht einfallende Wellen . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Wellen mit beliebigem Einfallswinkel . . . . . . .
1.4 Frequenzabhängigkeit der Materialkonstanten . . . . .
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1
2
2
3
4
4
5
6
6
6
7
8
2 Dipolstrahlung
2.1 Abgestrahlte Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Elektrische Dipolstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
9
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1 Wellen
Die allgemeinen Maxwellgleichungen lauten:
~ ·D
~ =ρ
∇
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ×H
~ = ∂ D + ~
∇
∂t
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
1
(1)
(2)
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
1.1 Wellen im Vakuum
1.1.1 Lösung der Wellengleichung
Im Vakuum ist ρ = 0 und ~ = 0, und außerdem gibt es keine induzierten
Dipolmomente also wird:
~ = 0 E
~ + P~ = 0 E
~
D
~ = 1B
~ −M
~ = 1B
~
H
µ0
µ0
(3)
Die Maxwellgleichungen reduzieren sich also zu:
~ ·E
~ =0
∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ×B
~ = µ0 0 ∂ E
∇
∂t
(4)
(5)
Wendet man auf die Gleichungen 5 die Rotation an, so erhält man durch
geschickte Verwendung der übrigen Maxwellgleichungen die Wellengleichung
fürs Vakuum:
2~
~ 2E
~ − µ0 0 ∂ E = 0
∇
∂t2
2~
~ 2B
~ − µ0 0 ∂ B = 0
∇
∂t2
(6)
wobei die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c0 = √µ10 0 ist. Lösungen davon
sind u.a. Kugelwellen oder ebene Wellen. Wir beschränken uns auf ebene
Wellen. Die Lösung ist dann
~ t) = E
~ 0 ei(kz−ωt)
E(z,
~ t) = B
~ 0 ei(kz−ωt)
B(z,
(7)
~ 0.
für eine Ebene Welle mit dem Wellenvektor ~k = k · e~z und der Amplitude E
Der physikalisch sinnvolle Wert ist der Realteil der komplexen Felder. Die
Behandlung als komplexe Zahl ist aber vom Rechnen her schöner. Man darf
bloß am Ende nicht vergessen, wieder den Realteil zu nehmen. Aufgrund
~ ·E
~ = 0 muss die z-Komponente der Amplitude verschwinden (analog
von ∇
~ 0 ). Es gibt also keine longitudinalen Elektromagnetischen Wellen. Die
für B
~ 0 und B
~ 0 sind ebenfalls über die Maxwellgleichungen verknüpft
Amplituden E
und es gilt:
~ 0 ) = 1 (e~z × E
~ 0)
~ 0 = k (e~z × E
B
w
c0
(8)
D.h. das elektrische und das magnetische Feld stehen in Wellen im Vakuum
senkrecht aufeinander. Abgesehen davon kann man in der Ebene senkrecht
zum Wellenvektor die Richtung des E oder B Feldes noch beliebig wählen. Wir
legen das E-Feld fest, B ist damit automatisch festgelegt. Man unterscheidet
drei verschiedene Arten der Polarisation:
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2
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
1. Lineare Polarisation:
E0x
η
iα
=e · x
E0y
ηy
ηx , ηy ∈ R
(9)
2. Zirkulare Polarisation:
E0x
E0y
1
= E0 e ·
±i
iα
(10)
Je nachdem ob der Vektor in Ausbreitungsrichtung rechts oder links
herum Kreist ist die Welle rechts-, bzw links-zirkular Polarisiert.
3. Elliptische Polarisation: Allgemeinster Fall. E0x und E0y sind komplexe
Zahlen, haben keinen gemeinsamen imaginären Faktor, den man ausklammern könnte und sind vom Betrag her nicht gleich 1.
1.1.2 Energietransport / Impuls - der Poynting Vektor
Elektromagnetische Wellen transportieren Energie von A nach B. Die Energieflussdichte (Energie pro Zeit pro Volumen) ist durch den Poynting Vektor
gegeben:
~ = 1 (E
~ × B)
~
S
µ0
= c0 0 E02 cos2 (kz − ωt)e~z
(11)
(12)
Achtung: Hier muss der Realteil der Wellen eingesetzt werden!
Die Impulsdichte lässt sich ebenfalls über den Poynting Vektor darstellen:
1~
~ × B)
~
= 0 (E
P~ = 2 S
c0
0
= E02 cos2 (kz − ωt)e~z
c0
(13)
(14)
In der Regel ist man nur an dem zeitlichen Mittel der Energieflussdichte oder
des Impulses interessiert. Man integriert also über mindestens eine Periode
. Dabei wird der cos2 zu 21 und die gemittelte Energieflussdicht und
T = 2π
ω
Impulsdichte ergeben:
D E
~ =
S
D E
P~ =
Florian Hrubesch
1
c0 0 E02 e~z
2
1
0 E02 e~z
2c0
(15)
(16)
3
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
Die Intensität einer Welle ist Definiert als der Betrag des zeitlich gemittelten
Poynting Vektors:
D E 1
~ I= S
= c0 0 E02
2
(17)
Der Strahlungsdruck einer Elektromagnetischen Welle auf eine Fläche berechnet sich wie folgt:
D E
∆p = P~ Ac0 ∆t
(18)
P =
I
1 ∆p
·
=
A ∆t
c0
(19)
1.2 Wellen in Materie
1.2.1 Wellen in Nichtleitern
Ausgehend von Bereichen, in denen keine freien Ladungen ρf = 0 und keine
freien Ströme ~f = 0 existieren, erhalten wir die Maxwellgleichungen:
~ ·D
~ =0
∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~ ·H
~ =0
∇
(20)
~
~ ×H
~ = ∂D
∇
∂t
(21)
Wir betrachten lineare Medien, also gilt:
~ = E
~
D
~
~ = 1B
H
µ
(22)
(23)
Und wir erhalten:
~ ·E
~ =0
∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ×B
~ = µ ∂ E
∇
∂t
(24)
(25)
Gegenüber dem Vakuum muss also lediglich µ0 , 0 durch µ, ausgetauscht
werden. D.h. die Phasengeschwindigkeit im Medium beträgt
1
c0
c= √ =
µ
n
r
µr ≈1 √
µ
√
mit: n =
= r µr ≈
r
0 µ0
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(26)
(27)
4
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
Der Poynting Vektor und alle anderen Ergebnisse für Wellen im Vakuum
können auf gleich Weise übernommen werden.
1.2.2 Wellen in Leitern
Wir gehen nachwievor davon aus, das keine Ladungen Vorhanden sind, aber
~ Die Maxwellgleichungen sind
es existieren auf jeden Fall Ströme da ~f = σ E.
also:
~ ·E
~ =0
∇
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
(28)
~
~ ×B
~ = µσ E
~ + µ ∂ E
∇
∂t
(29)
Mit dem selben Vorgehen wie bei Wellen im Vakuum erhält man die Wellengleichungen:
2~
~
~ 2E
~ − µ ∂ E − µσ ∂ E = 0
∇
∂t2
∂t
2~
~
~ 2B
~ − µ ∂ B − µσ ∂ B = 0
∇
∂t2
∂t
(30)
Dies Gleichung wird wieder durch Ebene Wellen gelöst:
~ t) = E
~ 0 ei(k̃z−ωt)
E(z,
~ t) = B
~ 0 ei(k̃z−ωt)
B(z,
(31)
Allerdings ist der Wellenvektor k̃ jetzt nicht mehr rein reell (Herleitung durch
Einsetzen der Lösung in die Differentialgleichung), und die Welle erhält somit
einen Exponentiell abfallenden Anteil:
(32)
k̃ = k + iκ
~ t) = E
~ 0 e−κz ei(kz−ωt)
E(z,
~ t) = B
~ 0 e−κz ei(kz−ωt
B(z,
(33)
Die Eindringtiefe ist definiert als:
d=
1
κ
(34)
Der Realteil des Wellenvektors erfüllt die üblichen Beziehungen:
λ=
2π
k
c=
ω
k
n=
c0
c
(35)
Die E und B Felder stehen nachwievor senkrecht aufeinander, sind jetzt aber
nicht mehr in Phase sondern haben eine Phasenunterschied
Φ = arctan
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κ
k
(36)
5
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
Um den das magnetische dem elektrischen Feld hinterher eilt.
1.3 Übergänge zwischen Medien
1.3.1 Randbedingungen an den Grenzflächen
Die elektrischen und magnetischen Felder erfüllen beim Übergang zwischen
zwei Medien 1 und 2 in Abwesenheit von freien Strömen und Ladungen die
folgenden Randbedingungen:
~ 1⊥ = 2 E
~ 2⊥
1 E
~ 1k = E
~ 2k
E
~ 1⊥ = B
~ 2⊥
B
1 ~k
1 ~k
B1 = B
µ1
µ2 2
(37)
(38)
1.3.2 Senkrecht einfallende Wellen
~ e (z, t) aus Medium 1 wird an der Grenze
Eine senkrecht einfallende Welle E
~ r und eine trans(x-y-Ebene) zwischen den Medien 1 und 2 eine reflektierte E
~ t Welle erzeugen. Die jeweiligen dazugehörigen B-Felder erhält man
mitierte E
mit Hilfe von Gleichung 8 (Achtung, Lichtgeschwindigkeit im Medium verwenden, bei negativem Wellenvektor das - nicht vergessen!). Um sich das Leben
nicht unnötig schwer zu machen, nimmt man linear polarisiertes Licht und
setzt die Amplitude der einfallenden Welle auf 1.
~ e (z, t) = ei(k1 z−ωt) e~x
E
~ r (z, t) = Er ei(−k1 z−ωt) e~x
E
~ t (z, t) = Et ei(k2 z−ωt) e~x
E
~ e (z, t) = 1 ei(k1 z−ωt) e~y
B
c1
~ r (z, t) = − 1 Er ei(−k1 z−ωt) e~y
B
c1
~ t (z, t) = 1 Et ei(k2 z−ωt) e~y
B
c2
(39)
(40)
(41)
(42)
Nun addiert man die Felder links und rechts von der Grenzfläche und setzt
sie in die Gleichungen 38 ein. Die Gleichungen 37 müssen nicht betrachtet
werden, sie sind automatisch erfüllt. (Elektromagnetische Wellen sind ausschließlich transversalwellen!)
1 + Er = Et
1
1
(1 − Er ) =
Et
µ 1 c1
µ 2 c2
µ 1 c1
1 − Er =
Et = βEt
µ 2 c2
(43)
(44)
(45)
Um an die Amplituden zu gelangen muss man das Gleichungssystem mit 2
Gleichungen und 2 Unbekannten lösen.
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6
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
Der Reflektions- und der Transmissionskoeffizient sind über den Bruchteil
der reflektierten, bzw. transmitierten Intensität definiert.
Ir
Ie
It
T =
Ie
R=
(46)
(47)
Sie erfüllen
R + T = 1 Energieerhaltung!
(48)
1.3.3 Wellen mit beliebigem Einfallswinkel
Hier gibt es wieder eine einfallende, reflektierte und transmitierte Welle. Die
Grenze sei wieder die x-y-Ebene.
~ e (~r, t) = E
~ e0 ei(~ke ·~r−ωt)
E
~ r (~r, t) = E
~ r0 ei(~kr ·~r−ωt)
E
~ t (~r, t) = E
~ t0 ei(~kt ·~r−ωt)
E
~ e (~r, t) = 1 ~eke × E
~ e (~r, t)
B
c1
~ r (~r, t)
~ r (~r, t) = 1 ~ekr × E
B
c1
~ t (~r, t)
~ t (~r, t) = 1 ~ekt × E
B
c2
(49)
(50)
(51)
Wobei die Wellenzahlen über folgende Relation zusammenhängen:
ke c1 = kr c1 = kt c2 = ω
(52)
(53)
Die Randbedingungen aus den Gleichungen 37 und 38 müssen für alle Orte
auf der Grenzfläche und alle Zeiten erfüllt sein. Das geht nur, wenn die Komplexen Exponentialfunktionen für alle Orte auf der Fläche und alle Zeiten
gleich sind, da sie als einzige Orts und Zeitabhängigkeiten enthalten. Deswegen muss ω bei allen Wellen gleich sein und daraus folgt:
~ke · ~r = ~kr · ~r = ~kt · ~r|z=0
(54)
Legt man den Wellenvektor der einfallenden Welle in die x-z-Ebene, so wird
daraus
kex = krx = ktx
bzw: ke · sin θe = kr · sin θr = kt · sin θt
Florian Hrubesch
(55)
(56)
7
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
D.h. Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel und
sin θe
kt
c1
n2
=
=
=
sin θt
ke
c2
n1
(57)
Um das Verhältnis von einfallender, reflektierter und transmitierter Amplitude zu bekommen, muss man jetzt die Randbedingungen durchgehen. Die
komplexen Exponentialfunktionen kann man wie eben gezeigt dabei weglassen. Wichtig ist, dass man die Wellen unterscheidet in solche deren E-Feld
in der Einfallsebene liegt, und solche deren E-Feld senkrecht dazu steht.
1.4 Frequenzabhängigkeit der Materialkonstanten
Die Materialkonstanten , µ, σ sind in der Regel Frequenzabhängig. Daraus
folgt, dass auch die Phasengeschwindigkeit c Frequenzabhängig ist. Hat man
nun ein Wellenpaket bestehend aus verschiedenen Frequenzen, so bewegt
sich dieses mit der Gruppengeschwindigkeit:
vg =
dω
dk
(58)
Ein einfaches Modell um die Frequenzabhängigkeit der Permittivität herzuleiten, ist sich die Elektronen mit einer Feder an die Moleküle gebunden
vorzustellen. Man erhält dann einen gedämpften, getriebenen Oszillator, der
durch das einfallende Licht angeregt wird:
dx
q
d2 x
+γ
+ ω02 x = E0 e−iωt
2
dt
dt
m
(59)
Um auf die Permittivität zu kommen löst man diese Differentialgleichung im
Eingeschwungenen Zustand und konstruiert sich mit der Lösung die induzierten Dipolmomente:
p(t) = qx(t) =
q 2 /m
E0 e−iωt
ω02 − ω 2 − iγω
(60)
Dies erweitert man auf alle Elektronen in dem besagten Molekül und alle
Moleküle N im betroffenen Volumen.
!
2
X
N
q
f
j
~
E
(61)
P~ =
2
2 − iγ ω
m
ω
−
ω
j
j
j
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8
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
Dabei ist fj die Anzahl der Elektronen mit Eigenfrequenz ωj in einem Molekül.
Die komplexe Permittivität erhält man über die Annahme, dass P~ proportio~ ist.
nal zu E
~
P~ = 0 χe E
(62)
Das führt wieder zu einer komplexen Wellenzahl k̃ = k + iκ und damit zu
einer Dämpfung der Elektromagnetischen Welle. Der Absorptionskoeffizient
ist definiert als α = 2κ
2 Dipolstrahlung
2.1 Abgestrahlte Leistung
Die Leistung, die Durch eine Kugeloberfläche nach außen fließt, bestimmt
man mit Hilfe des Poynting Vektors:
I
~ · d~a
S
(63)
P (r) =
K(r)
Lässt man r gegen unendlich gehen, so erhält man die von einem Objekt im
inneren abgestrahlte Leistung. Da die Kugeloberfläche mit R2 geht dürfen die
Felder maximal mit 1r abfallen, da sonst im unendlichen keine Leistung mehr
ankommt.
2.2 Elektrische Dipolstrahlung
Wir betrachten zunächst einen elektrischen Dipol, mit der Ladung +q0 an der
Stell a und −q0 an der Stelle −a auf der z-Achse. Die Ladung der Punktladungen sei Zeitabhängig:
q(t) = q0 cos ωt
(64)
Und stellt einen oszillierenden Dipol dar:
p~(t) = p0 cos ωt~ez
(65)
Um die Felder in weiter Entfernung berechnen zu können, setzen wir zunächst
die retardierten Potentiale an:


|~
r−a~ez |
|~
r+a~ez |
cos ω t − c
q0  cos ω t − c

−
(66)
Φ(~r, t) =
4π0
|~r − a~ez |
|~r + a~ez |
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9
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, macht man der Reihe nach drei Näherungen:
1. Wir wollen Felder in großem Abstand zum Dipol, deswegen können wir
d << r ansetzen und damit die Ausdrücke |~r ± a~ez | in 1. Ordnung Entwickeln.
2. Wir wollen einen idealen Dipol betrachten, d.h. der Abstand zwischen
den Punktladung geht gegen 0 und wir dürfen daher a << ωc ansetzen
und damit alle Ausdrücke die diese Relation enthalten in 1. Ordnung
entwickeln.
3. Wir streichen alle Terme, die Stärker als
an der Strahlung haben
1
r
abfallen, da sie keinen Anteil
Das Potential sieht nun wie folgt aus:
p0 ω
cos θ
r φ (r, θ, t) = −
sin ω t −
4π0 c
r
c
(67)
Die beiden Punktladungen seien über einen dünnen Draht Verbunden. Über
diesen fließt, wegen der Kontinuitätsgleichung, der Periodische Strom:
~ = −q0 ω sin (ωt) ~ez
I(t)
Und erzeugt das retardierte Vektorpotential
Z a −q0 ω sin ω t −
~ (~r, t) = µ0
A
4π −a
|~r − ~z|
(68)
|~
r−~
z|
c
~ez
dz
(69)
Da die Integration einen Faktor a liefert, und wir bei der Näherung a << r
nur die erste Ordnung von a mitnehmen wollen, kann man den Integranden
einfach durch den Wert an der Stelle z = 0 ersetzen und erhält somit direkt
das Vektorpotential, das zur Strahlung beiträgt:
~ (r, θ, t) = − µ0 p0 ω sin ω t − r ~ez
(70)
A
4πr
c
Mit den Potentialen kann man nun das elektrische und das magnetische Feld
berechnen und kommt auf den Poynting Vektor:
~ = µ0
S
c
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po ω 2
4π
sin θ
r
2
r cos ω t −
~er
c
(71)
10
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
Beziehungsweise die Abgestrahlte Intensität:
D E µ p2 ω 4 sin2 θ
0 0
~ =
S
~er
32π 2 c
r2
(72)
Die wie gefordert nur mit r12 abfällt. Um die gesamte abgestrahlte Leistung
zu erhalten integriert man die abgestrahlte Intensität über eine den Strahler
umgebende Kugeloberfläche:
I D E
2 4
~ · d~a = µ0 p0 ω
P =
(73)
S
12πc
∂K
Bemerkenswert ist die extreme Frequenzabhängigkeit in der abgestrahlten
Leistung und dass der Dipol entlang der Dipolachse gar nicht abstrahlt.
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