Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
1 Einführung Eichtheorie
1
1.1
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Was ist eine Eichtheorie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Elektromagnetismus: lokale Eichinvarianz der Maxwellgleichung . . . . . .
3
1.4
Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
Diracgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.6
Eichprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2 Höhere Symmetriegruppen
10
2.1
Nicht abelsche Eichtheorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2
Erweiterung auf SU (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3
Elektroschwache Vereinheitlichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Higgsmechanismus
20
3.1
Massive Eichbosonen und Fermionen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2
Spontane Symmetriebrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3
Higgs und SU (2)L × U (1)Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.1
Masse von Fermionen und Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Standardmodell
30
4.1
Zusammenfassung Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2
Erfolg des Standardmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3
Higgs Suche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3.1
Higgs Suche bei LEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1
5 Beweise
42
5.1
Eichinvarianz der Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2
Eichinvarianz der Diracgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3
Transformation der Eichfelder in SU (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4
Entwicklung des Lagrange mit skalarem Feld . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.5
Beispiel: Kopplungsterm Elektron-Neutrino Streuung . . . . . . . . . . . . 45
5.6
Kopplungsterm der elektroschwachen Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . 46
6 Hilfsmittel
47
6.1
Lagrangeformalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2
Lie Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3
SU (2) Gruppe
6.4
SU (3) Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7 Literatur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
52
Kapitel 1
Einführung Eichtheorie
Dieser Teil der Vorlesung bezieht sich im wesentlichen auf die Kapitel 2,3,13 und 14 von
I. J. R. Aitchison: Gauge Theories in particle physics (ISBN 0-85274-534-6). Ebenfalls
empfehlenswert und nicht ganz so theoretisch sind die Bücher von
Francis Halzen, Alan D. Martin: Quarks and Leptons: an introductory Course in Modern
Particle Physics (ISBN 0-471-88741-2),
Otto Nachtmann: Elementarteilchenphysik Phänomene und Konzepte (ISBN 3-528-089261) und
K. Bethge U. Scröder: Elementarteilchen und ihre Wechselwirkungen (ISBN 3-534-08750X)
1.1
Einleitung
Schwache und elektromagnetische Wechselwirkung werden beschrieben durch die elektroschwache Theorie, eine Verallgemeinerung der Quantenelektrodynamik(QED).
Starke WW wird beschrieben durch die Quantenchromodynamik (QCD).
Bisheriges Verständnis (KTI): Materie besteht aus Quarks und Leptonen (je drei Familien), beide sind nach unserem Wissen strukturlos und haben Spin 1/2. Die Wechselwirkung
der Leptonen und Quarks wird bestimmt durch die elektromagnetische, schwache und die
starke Wechselwirkung (plus Gravitation), die in ihrer Struktur sehr ähnlich sind. Jede
dieser Wechselwirkungen wird durch den Austausch von Vektorbosonen (Spin=1) vermittelt. Dabei können die Gluonen, da sie selbst Farbe tragen untereinander wechselwirken,
ebenso sie Bosonen der schwachen Wechselwirkung , nicht aber die Photonen.
1
Wechselwirkung
el.mgn.
schwach
stark
Kopplung an
Ladung schwache Ladung
Farbe
Austauschteilchen
Photon
W ±, Z 0
8 Gluonen
Masse
0
' 80GeV
0
Leptonen
neutral
x
geladen
x
x
Quarks
x
x
x
Die elektromagnetische Wechselwirkung kann sehr erfolgreich durch die Maxwell Gleichungen beschrieben werden, zusammen mit der Quantenmechanik erhalten wir die Quantenelektrodynamik (QED). Wie wir sehen werden, kann die schwache und die starke Wechselwirkung als Verallgemeinerung der QED beschrieben werden.
Symmetrieprinzipien spielen in der Teilchenphysik eine grosse Rolle. Die Forderung nach
Invarianz eines physikalischen Prozesses unter einer Symmetrieoperation führt zu Erhaltungssätzen in Form von Quantenzahlen, die uns sagen, was erlaubt und was verboten
ist. Nun werden wir sehen, dass Symmetrien die Kraftgesetze festlegen
Heute glaubt man, dass alle Wechselwirkungen durch Symmetrien bestimmt werden. Dies
bedeutet auch, dass die erhaltenen Grössen wie Ladung oder Farbe lokal und nicht nur
global erhalten sind. Die systematische Formulierung der Wechselwirkungen durch Symmetrien hat in der Teilchenphysik an grundlegender Bedeutung gewonnen.
1.2
Was ist eine Eichtheorie?
Es gibt sogenannte Symmetrieoperationen das sind Transformationen des Objektes die
die Physik nicht ändern (auch Invarianz unter Transformation)
Beispiel:
• Gravitation: Translations- und Rotationsinvarianz, Newton, Relativitätstheorie
• Maxwell Gleichungen: Nullpunkt des Potentials kann frei gewählt werden.
• Schwache WW: schwacher Isospin
• starke WW: Rotation im Farbraum, egal wie Koordinatensystem gewählt wird rgb
brg ...
Globale Symmetrie (Invarianz): die gleiche Transformation wird überall bei allen
Raum-Zeitpunkten durchgeführt
2
Lokale Symmetrie (Invarianz):verschiedene Transformationen werden an verschiedenen Raum-Zeitpunkten durchgeführt. Beispielsweise snd lokale Transformationen nötig
für den Übergang von der speziellen zur allgemeinen Relativitätstheorie
Globale Invarianz muss nicht lokale Invarianz bedeuten.
Wir werden nun erstmal nochmals die elektromagnetische Wechselwirkung unter dem
Aspekt der Symmetrie betrachten. Später werden wir die Verallgemeinerung für die starke
und die schwache Wechselwirkung betrachten. Wir zeigen erstmal, wie aus der Forderung
nach Invarianz gegenüber lokalen Phasentransformationen die bekannte Formulierung der
elektromagnetischen Wechselwirkung wird.
1.3
Elektromagnetismus: lokale Eichinvarianz der
Maxwellgleichung
~ und B
~ Felder können mit Hilfe des Vektorpotentials A
~ und dem skalaren Potential
Die E
V wie folgt geschrieben werden:
~
V, A(x)
ρ, ~j(x)
~ =∇
~ × A(x)
~
B
~ = −∇
~ V~ (x) −
E
Potential
Strom
Felder
~
Aµ = (V, A)
mu
j = (ρ, ~j)
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
~
∂A
∂t
0 −Ex −Ey −Ez
 E
0
−Bz By 


F µν =  x

 Ey
Bz
0
−Bx 
Ez −By Bx
0
∂µ F µν = j ν
∂µ j µ = 0

Maxwellglg
Kontinuitätsglg

(1.1)
• F µν nennt man auch den Feldstärkentensor.
• ∂ µ = ∂/∂xµ Treffen zwei gleiche Indizes aufeinander (einer oben, einer unten), so
muss über alle möglichen Werte des Index summiert werden. Tritt ein Index nur
einfach auf, so gilt die Gleichung für jeden Wert des Index, es handelt es sich also
um mehrere Gleichungen bzw. eine Vektorgleichung.
Eine (lokale) Umeichung der Potentiale, die beschrieben werden kann durch
A → A + ∇χ
0
V →V =V −
0
∇χ
∂t
Aµ → Aµ = Aµ − ∂ µ χ χ(x, t)
3
(1.2)
ändert den Feldstärkentensor beziehungsweise die Felder nicht, wir können den Nullpunkt
der Potentiale frei wählen.
(Bew. ∇ × ∇χ = 0, F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ → ∂ µ Aν − ∂ µ ∂ ν χ − ∂ ν Aµ + ∂ ν ∂ µ χ )
Die Maxwellgleichungen sind also invariant unter einer lokalen Eichtransformation. Lange Zeit wurde die lokale Eichinvarianz der Maxwellgleichungen als eine Spezialität der
elektromagnetischen Wechselwirkung betrachtet.
Bemerkung: Das Photon ist offenbar masselos, da mit einem Term m2 Aµ Aµ die Eichinvarianz nicht mehr erfüllt werden kann.
Die Maxwellgleichung ausgedrückt durch die Potentiale ∂µ F µν = j ν enthält automatisch
die Kontinuitätsgleichung, die die lokale Ladungserhaltung beschreibt.
∂ρ
+ ∇~j = 0
(1.3)
∂t
In der Quantenfeldtheorie kann gezeigt werden, dass diese lokale Erhaltung der Ladung
direkt mit der Symmetrie zusammenhängt. Ein einfaches Argument für diesen Zusammenhang stammt von Wigner (1949):
Wir versuchen Ladung lokal zu erzeugen und wieder zu vernichten: die Ladung soll am
0
Punkt x mit Potential V erzeugt werden, dann wird sie an den Punkt x mit dem Potential
0
0
V verschoben und wieder vernichtet. Die Energiebilanz lautet WErzeugung + Q(V − V ) −
WV ernichtung = 0. Wenn W nicht von V abhängt, da der Nullpunkt frei gewählt werden
kann, kann sie also nur erfüllt werden, wenn Q = 0. Ladungserhaltung ist also äquivalent
zur Forderung, dass der Absolutwert des Potentials frei gewählt werden kann.
∂µ j µ =
1.4
Schrödingergleichung
Frage: bleibt die Eichinvarianz in der Quantenmechanik erhalten?
Wir betrachten dazu die Schrödingergleichung für ein nicht relativistisches Teilchen im
1
~ 2 + qV daraus ergibt sich die Schrödin(~p − q A)
elektrischen Feld: totale Energie: E = 2m
gergleichung durch die Ersetzung
E → i∂/∂t und p → −i∇:
1
∂Ψ
(−i∇ − qA)2 + qV )Ψ = i
(1.4)
2m
∂t
Im Vergleich mit der Schrödingergleichung für ein freies Teilchen, wird die elektromagnetische Wechselwirkung offenbar eingebunden durch die Ersetzung:
(
∂ µ → Dµ = ∂ µ + iqAµ
(∇, ∂/∂t) → (D = ∇ − iqA, D0 = ∂/∂t + iqV )
4
(1.5)
Dµ wird die kovariante Ableitung genannt und wird später noch wichtig beim Übergang
von QED zu QCD und zur elektroschwachen Vereinheitlichung.
Die Wellenfunktion Ψ beschreibt das Teilchen im Potential A vollständig, aber wir wissen,
dass dieses Potential nicht eindeutig ist.
Fragen: Beschreibt die Schrödingergleichung noch dieselbe Physik, wenn wir das Potential
umeichen? Was passiert mit Ψ?
Wir machen also folgende Eichtransformation:
0
A µ → Aµ = A µ − ∂ µ χ
(1.6)
die transformierte Schrödingergleichung lautet dann:
0
1
∂Ψ
0
0
0
(
(−i∇ − qA )2 + qV )Ψ = i
2m
∂t
sie ist erfüllt für
(1.7)
0
Ψ (x, t) = exp(iqχ(x, t))Ψ(x, t)
(1.8)
also eine einfache Phasenverschiebung, die aber von Ort und Zeit abhängt. Die Phase
0
eines Zustandes ist aber nicht direkt beobachtbar, Ψ beschreibt also dieselbe Physik. Wir
überprüfen nun, ob dies auch für den relativistischen Fall gilt.
Starten wir umgekehrt mit der Schrödingergleichung für ein freies Teilchen
(
1
∂Ψ(x, t)
(−i∇)2 )Ψ(x, t) = i
2m
∂t
(1.9)
so muss sie modifiziert werden, wenn wir eine lokale Phasenverschiebung
0
Ψ → Ψ = exp(iα(x, t))Ψ machen, da ∇ und ∂/∂t auf α(x, t) wirken.
1.5
Diracgleichung
Wir haben gesehen, dass die Schrödingergleichung invariant ist unter folgender Transformation:
A µ → Aµ
0
0
Ψ→Ψ
0
(A → A = A + ∇χ)
= Aµ − ∂ µ χ
= eiqχ Ψ
,
0
V →V =V +
(1.10)
∂χ
)
∂t
(1.11)
gilt dies auch im relativistischen Fall?
5
Die Diracgleichung für ein relativistisches Spin 1/2 Teilchen im Vakuum lautet:
(iγµ ∂ µ − m)Ψ = 0
(1.12)
Ψ ist ein vierdimensionaler Vektor (Dirac Spinor).
Dabei sind γ µ die Diracschen γ Matrizen (4er Matrizen)
γ µ = (γ 0 , ~γ ) = (β, β~
α)
(1.13)
wobei αk und β (mit σk : Paulimatrizen):
αk =
0 σk
σk 0
!
β=
1 0
0 −1
!
erweiterte Einheitsmatrix
(1.14)
Es gilt:
γ µ γ ν + γ µ γ ν = 2g µν
(1.15)
Ψ ist ein vierdimensionaler Vektor genannt Dirac-Spinor.
Die Diracgleichung hat vier unabhängige Lösungen, die den Basisvektoren der Spinoren
entsprechen. Es gibt je eine Lösung für Spin up und Spin down mit positiver und (gleich
grosser) negativer Energie. Die Lösung mit negativer Energie wird als die Lösung für die
Antiteilchen interpretiert. Da Ψ ' e(ipx−Et) sind diese äquivalent zu Teilchen, die sich
rückwärts in der Zeit bewegen.
In die Schrödingergleichung wurde die Wechselwirkung mit dem elektromagnetischen Feld
eingebaut durch die Transformation
∂ µ → Dµ = ∂ µ + iqAµ
,
~
Aµ = (V, A)
(1.16)
Wenn wir hier dieselbe Ersetzung machen, wird die Diracgleichung für ein Teilchen im
elektromagnetischen Feld:
∂ µ → Dµ :
(iγµ Dµ − m)Ψ = 0
(1.17)
Dies ist die richtige Beschreibung für ein Spin-1/2 Teilchen im elektromagnetischen Feld.
Man sieht leicht, dass auch die Diracgleichung eichinvariant ist.
1.6
Eichprinzip
Bis jetzt sind wir von einer bekannten Gleichung (Maxwell, Schrödinger, Dirac) ausgegan0
0
gen und haben überprüft, dass sie unter der Transformation A → A , Ψ → Ψ invariant
sind.
6
Nun verlangen wir von der Theorie, dass sie eichinvariant ist unter der lokalen Trans0
formation Ψ → Ψ = exp(iqχ(x)Ψ.
Dies ist unsere Symmetrietransformation unter der sich die Physik nicht ändern soll. Wir
haben gesehen, dass dann aber die Schrödinger und die Diracgleichung nicht mehr erfüllt
sind, man muss die Ableitung ersetzen durch die kovariante Ableitung:
∂ µ → Dµ = ∂ µ + iqAµ
(1.18)
Die modifizierte Gleichung lautet dann:
1/2m(−i∇ − eA)2 )Ψ = (i
∂
− eV )Ψ
∂t
(1.19)
0
sie ist invariant unter Ψ → Ψ = exp(iqχ(x)Ψ, wenn sich das Feld wie folgt transformiert:
0
A → A = A + ∂ µ χ. Die modifizierte Gleichung beschreibt also die Wechselwirkung mit
dem elektromagnetischen Feld.
Bemerkungen:
0)Die Anforderung, dass die Theorie bei einer lokalen Phasenverschiebung von Ψ invariant sein soll, hat das Feld Aµ erzeugt, das sich mittransformiert. Dies nennt man auch
das Eichprinzip: eine lokale Invarianzbedingung erzeugt ein neues Feld = Eichfeld oder
eine lokale Phasenverschiebung und der Effekt von einem neuen Feld führen zur
selben Beobachtung.
0
1) Eine globale Invarianzbedingung Ψ → Ψ = eiα Ψ mit α = konst. erzeugt kein neues
Feld. Die Schrödinger- und die Diracgleichung sind invariant unter einer globalen Phasen∂
aud die Phase wirken.
transformation, nicht aber unter einer lokalen, da ∇ und ∂t
2) Führen wir die Transformation durch für die Schrödingergleichung eines freien Teilchens, so ändert sich die Schrödingergleichung, sie beschreibt nicht mehr ein freies Teilchen. Dh. lokale Invarianz ist für ein freies Teilchen nicht möglich. Die Invarianzbedingung
kann erst in Präsenz von einem Feld erfüllt werden.
3) In der Quantenfeldtheorie wird der Faktor q in der Phase die Kopplungskonstante des
Teilchens Ψ an die Feldquanten von Aµ .
4) Aus der Forderung nach Eichinvarianz folgt eine Theorie mit Wechselwirkung mit einem Vektorfeld. Die Wechselwirkung mit einem geladenen Teilchen ist dann bestimmt
und ist insbesonders gleich für jedes Teilchen mit gleicher Ladung, da es nur einen Parameter q gibt.
5) Die elektrische Ladung tritt als Kopplungskonstante und als Erhaltungsgrösse auf.
6) Die Annahme dass das Eichfeld Masse hat, zerstört die Eichinvarianz.
7) Anschauliches Beispiel für den Zusammenhang zwischen lokaler Invarianz und Kräften:
7
globale Symmetrietransformation
lokale Symmetrietransformation
Drehung um die Achse
Verschiebung der Punkte untereinander
Lage der Punkte ändert sich überall Form bleibt
elastische Kräfte
Das Eichfeld Photon trägt natürlich zur Energie des Gesamtsystems bei, so dass die
Lagrangedichte um einen entsprechenden Term erweitert werden muss;

µ
 LQED = Ψ̄ = ( iγµ ∂ − m +
|
{z
}




freies
Diracfeld
qγµ Aµ
| {z }
Kopplung an
Photonfeld
)Ψ−
1
Fµν F µν
4
| {z }
freies
Photonfeld






(1.20)
Wir haben also gesehen wie die Forderung nach lokaler U (1)-Eichinvarianz der Diracgleichung zu der wechselwirkenden Feldtheorie der QED führt. Auerdem folgt, dass das
Photon masselos sein muss, da ein eventuell vorhandener Massenterm die Eichsymmetrie
zerstören würde.
Die Lösungen der Bewegungsgleichungen werden mittels Störungstheorie gefunden:
Die erfolgreiche Anwendung des Eichprinzips auf die elektromagnetische Wechselwirkung
mit der inneren Symmetrie U (1) legt den Gedanken an Verallgemeinerung auf den Fall
8
höherer Symmetrien nahe. Dies ist die Grundlage für eine einheitliche Beschreibung der
Wechselwirkungen .
In Analogie kann man zu höheren Symmetriegrupen übergehen und lokale Invarianz verlangen. Auch hier wird sich zeigen, dass die Theorie des freien Materienfeldes nicht eichinvariant ist, es müssen entsprechende Eichfelder eingeführt werden, die mit der Materie
und auch mit sich selbst wechselwirken. Ausgehend von den Eichgruppen SU (2) und U (1)
kann so ein Modell für die elektroschwache Wechselwirkung gemacht werden. Eine Erweiterung auf SU (2) ausgehend vom Isospin der Hadronen wurde 1954 von Yang und Mills
vorgeschlagen.
9
Kapitel 2
Höhere Symmetriegruppen
2.1
Nicht abelsche Eichtheorien
Bis jetzt haben wir Invarianz unter abelschen Transformationen betrachtet, die Phasenfaktoren kommutieren. Nun erweitern wir die Betrachtungen auf den allgemeineren
Fall, der einen Mehrteilchenzustand beschreiben soll (mehr als eine Wellenfunktion)
in dem die Phasen Matrizen sind und nicht mehr kommutieren (nicht abelsch). Ursprünglich wurde dieser Ansatz benutzt für die Symmetrie des hadronischen Isospin
(Masse von n und p nahezu gleich) in der Hoffnung, damit die starke Wechselwirkung zu beschreiben. Wir werden jetzt sehen, dass sich eine lokale SU (2) Symmetrie
im schwachen Isospinraum für die Beschreibung die schwache Wechselwirkung und
eine lokale SU (3) Symmetrie im Farbraum für die starke Wechselwirkung eignet. Dabei ist SU (n) die Gruppe der speziellen unitären Matrizen (detU = +1 ) mit Dimension n
Wir betrachten als einfachstes Beispiel SU (2), also Drehungen im Raum der unitären
2 × 2 Matrizen mit detU =1.
Unsere Wellenfunktion soll jetzt einen 2-Teilchen Zustand beschreiben. Wir betrachten
Teilchen, die in Paaren vorkommen (Beispiel (eL , ν) oder (n, p)) und durch einen zweikomponentigen Isospinor Ψ beschrieben werden. Wir fordern, dass sich die Physik bei
einer beliebigen unitären Transformation nicht ändert. Diese Transformation kann beispielsweise so gewählt werden, dass e → ν oder p → n.
Ψ(1,2) =
Ψ1
Ψ2
!
0
(1,2)0
Ψ(1,2) → Ψ
=
Ψ1
0
Ψ2
!
=U
Ψ1
Ψ2
!
(2.1)
dabei ist U eine unitäre 2× 2 Matrix (U U t = U t U = 1). Analog können Mehr-Teilchen
Zustände eingeführt werden, wobei dann U eine n×n Matrix ist. Für den Spezialfall n=1,
10
den wir eben betrachtet haben, kann U geschrieben werden als U = eiα .
Falls die Matrix U speziell ist (det(U ) = +1), kann sie geschrieben werden als (Ansatz
von Yang Mills 1954)
U = exp(ig
3
X
η(x)j τj /2) x = (t, ~x)
(2.2)
j=1
also
0
Ψ(1,2) → Ψ(1,2) = exp(iga(x)τ /2)Ψ(1,2)
(2.3)
(Summe wird jetzt in der Schreibweise weggelassen), dies kann durch eine Rotation der
Phase erreicht werden. g ist analog zu q im elektromagnetischen Fall gewählt und beschreibt die Kopplungsstärke.
In der obigen Formel sind τj die Pauli Matrizen und sind die Erzeugenden von SU (2),
die Gruppe braucht 22 -1=3 Erzeugende. Es gibt nun also drei Funktionen αi , die der
Funktionχ entsprechen.
Im Vergleich mit dem 1 dimensionalen Fall haben wir
• dimensionslose Kopplungskonstante g statt q
• 3 Phasenwinkel ηj statt χ
• nicht kommutierende Matrizen
• neu tauchen auf: Paulimatrizen
Bemerkung: für Lie Gruppen reicht es infinitesimale Drehungen zu betrachten (Vereinfachung der Algebra) U = 1 + iητ /2, wobei η spurlose, hermitesche Matrizen sind.
0
Ψ(1,2) → Ψ(1,2) = (1 + igη(x)τ /2)Ψ(1,2)
(2.4)
0
Wir suchen nun wieder die Modifikation der Diracgleichung, die auch Ψ erfüllt und gehen
ganz analog vor: wir ersetzen die Ableitung durch die kovariante Ableitung, in der wir nun
drei Eichfelder W µ (x) (Yang Mills Felder) haben, die bei der Transformation umzueichen
sind. Wenn man verlangt, dass die transformierte Diracgleichung noch erfüllt ist,
0
0
0
(iγµ Dµ − m)Ψ = 0 Dµ = ∂ µ + igτ /2W µ
0
(2.5)
erhält man die Eichtransformation für die Eichfelder:
0
W µ = W µ − ∂ µ η(x) − gη(x) × W µ (x)
wenn infinitesimale Drehungen zweiter Ordnung vernachlässigt werden.
11
(2.6)
Wellenfunktion
U (1)
0
Ψ = Ψ = exp(iqχ)Ψ
SU (2)
0
Ψ(1,2) → Ψ(1,2) = (1 + igη(x)τ /2)Ψ(1,2)
kov. Ableitung
Dµ = ∂ µ + iqAµ (x)
Dµ = ∂ µ + igτ W µ (x)/2
wirkt auf
1d Wellenfunktion Ψ
2d Isospinor Ψ(1,2)
Felder
Aµ elektromagnetisches Feld W µ (x)=(W1µ , W2µ , W3µ )
Yang Mills Felder
unabhängige SU (2) Eichfelder
0
µ0
µ
µ
A =A +∂ χ
W µ = W µ − ∂ µ η(x) − gη(x) × W µ (x)
Eichtransform.
• Die mit dem Eichprinzip erhaltene Diracgleichung für den Isospinor Ψ
(iγµ Dµ − m)Ψ = 0 Dµ = ∂ µ + igτ /2W µ
(2.7)
beschreibt die Kopplung des Materienfeldes Ψ an die äusseren Eichfelder W µ .
• Es genügt ein Kopplungsterm g, im Unterschied zur elektromagnetischen Wechselwirkung , wo die Kopplung mit der Ladung geht. (Bew.Bethge S 78.)
• η(x) sind 3 beliebige infinitesimale Funktionen
• η × W : Vektorprodukt, das heisst, die Eichfelder beeinflussen sich gegenseitig, sind
also der Grund für die Selbstwechselwirkung der Eichfelder. Selbstwechselwirkung
wird beobachtet in der schwachen (WWZ) und der starken (Wechselwirkung der
Gluonen untereinander) nicht aber der elektromagnetischen Wechselwirkung . Dieser
zusätzliche Term taucht auf, weil die Gruppe nicht abelsch ist.
• Die Eichfelder erzeugen einen zusätzlichen Term der kinetischen Energie in der Lagrangedichte:
1
1
L = T − V = Ψ̄γ µ (i∂µ − g τ Wµ )Ψ − Wµν W µν
2
4
(2.8)
• damit die Eichinvarianz des kinematischen Terms erfüllt ist, muss für den
Feldstärkentensor gelten:
W µν =
µ
∂
Wν −
∂ ν W µ} −
|
{z
nicht eichinvariant
gW µ × W ν
|
{z
}
nicht linear!
(2.9)
das heisst, in der Lagrangedichte stehen Selbstwechselwirkungsterme der Eichfelder
( dritte und vierte Potenz). Die Selbst-Kopplungsstärke ist proportional zu g rsp.
g 2 (selbe Kopplungskonstante!).
12
)
(
)
(
)
(
)
( g
2
g
Selbstkopplung der W und Z Felder
• Ein expliziter Masseterm für das Eichfeld (1/2)m2 Wµ W µ ist wie im elektromagnetischen Fall bei der Transformation von W nicht eichinvariant. Das Eichboson ist
also masselos.
• für finite Drehungen wird die Transformation der Eichfelder komplizierter.
• Das Eichfeld in Matrixschreibweise lautet:
µ
τW =
W3µ
W1µ − iW2µ
W1µ + iW2µ
−W3µ
!
=
W3µ
√1 W µ−
2
√1 W µ+
2
−W3µ
!
(2.10)
• Es kann gezeigt werden, dass es für nicht abelsche Eichtheorien jeweils nur eine
Kopplungskonstante geben kann, im Gegensatz zum abelschen Fall, wo die Kopplung
mit der Ladung geht.
Aus der verallgemeinerten Ableitung Dµ erhalten wir für den Kopplungsterm des Lagrangian mit dem Spinor für das Neutrino und Elektron:
µ
µ
ν
e
!
LKopplung = −g/2Ψ̄γ τ Wµ Ψ = −g/2(ν̄, ē)γ τ Wµ
√
√
= −g/2(Wµ3 (ν̄γ µ ν − ēγ µ e) + 2Wµ+ ν̄γ µ e + 2Wµ− ēγ µ ν)
W µ+ vernichtet ein W − und erzeugt ein W +
W µ− vernichtet ein W + und erzeugt ein W −
13
(2.11)
2.2
Erweiterung auf SU (3)
Für die Beschreibung der starken Wechselwirkung (QCD) gehen wir von folgenden Annahmen und experimentellen Beobachtungen aus:
• Kraft zwischen den Quarks hängt nur von der Farbe ab
• Die Quarks kommen in 3 Zuständen vor, die sich durch die Farbe unterscheiden.
Die Masse ist dieselbe (sonst Feinstruktur im Massenspektrum der Hadronen). Das
heisst es gibt eine Farbsymmetrie des Hamiltonoperators
• Beobachtete Hadronen sind invariant unter (SU (3)) Rotation im Farbraum
• Alle beobachteten hadronischen Zustände sind Colour Singlets: Mesonen q q̄, Barionen qqq.
Bemerkung: der Versuch, die starke Wechselwirkung in eine dreidimensionale Repräsentation von SU (2) einzubauen scheitert, da dann auch qq oder q̄q̄ Zustände
möglich wären (Aitchinson S286).
Analog wie oben geht nun die Erweiterung auf drei Teilchen (Quarks mit drei verschiedenen Farben). Da die Farben nicht beobachtbar sind, sollen die Achsen im Farbraum an
einem beliebigen Raum-Zeitpunkt frei wählbar sein, wir fordern also Invarianz unter einer
lokalen Eichtransformation im Farbraum:
0
Ψ → Ψ = QΨ = eigs αi (x)λi /2 Ψ
(2.12)
wobei Q unitäre 3×3 Matrizen sind. Als Erzeugende der Gruppe werden die 32 − 1 = 8
linear unabhängigen hermitischen, spurlosen Gell-Mann Matrizen λi genommen. Sie
erfüllen folgende Kommutationsregel:
[λi , λj ] = icijk λk
(2.13)
dabei sind cijk die Strukturkonstanten der Gruppe.
Die kovariante Ableitung wird dann zu (minimale Substitution)
∂ µ → Dµ = ∂ µ + igs Gµ (x), mit Gµ (x) = Gµi λi /2
(2.14)
Die acht Felder Gµi werden mit den Gluonfeldern identifiziert. Wir erreichen Eichinvarianz
der Diracgleichung durch folgende Transformation der acht Gluonfelder:
0
Gµi = Gµi − ∂ µ αi (x) − gs cijk αj Gµk
(2.15)
Man sagt auch, die Eichfelder transformieren nach der regulären Darstellung der Gruppe,
die Transformationskonstanten entsprechen den Strukturkonstanten der Gruppe.
14
• Für jedes der acht Eichfelder Gaµ kann ein kinetischer Term im Lagrange addiert
werden, der natürlich auch eichinvariant sein muss:
1
Ekin = Gaµν Gµν
a
4
(2.16)
µ ν
µ ν
ν µ
Gµν
i = ∂ Gi − ∂ Gi − gs cijk Gj Gk
(2.17)
mit
• Der Feldstärkentensor Gµν enthält die Selbstwechselwirkung zwischen den Eichbosonen, da die Gluonen selbst Farbladung tragen (3 bzw 4-Gluonen-Vertex mit
Kopplung g bzw g 2 ).
• Mit den Quarkfeldern qf (x) mit den Flavours f = (u, d, s, c, b, t) wird dann die
Lagrangedichte
X
1
LQCD = − Gµν Gµν +
q̄f (iγµ Dµ − mf )qf
4
f
(2.18)
• Wegen der SU (3) Invarianz sind die Gluonen masselos.
• Die Kopplung der Gluonfelder an die Quarkfarbströme ist:
Lqqg = −g
8
X
Ψ̄γµ λa /2ΨGµa
(2.19)
a=1
Daraus folgt sofort der Faktor für die Quark-Gluon-Kopplung
− igγµ λa /2
@
@
@
I
@i
@
g @
a
j
Quark-Gluon-Kopplung
15
(2.20)
Beispiel für eine SU (3) Gruppe: Farbladung R, G, B der Quarks.



1

R= 0 
,
0

0


G =  1 ,
0


0


B= 0 
1
(2.21)
Der Übergang von G→R beispielsweise wird dann beschrieben durch die Transformation
1/2(λ1 + iλ2 ).





0 2 0
0
1
1
1




(λ1 + iλ2 )G = 
 0 0 0  1  =  0 
2
2
0 0 0
0
0
λ8
1/2(λ1 +−i λ2 )
R
G
λ3
1/2(λ6 +− i λ7 )
1/2(λ4 −i λ5 )
B
Abbildung 2.1: Aktion der SU (3) Generatoren
2.3
Elektroschwache Vereinheitlichung
Glashov, Salem, Weinberg, Standardmodell der elektroschwachen Wechselwirkung
16
(2.22)
0
Wir wissen, dass Leptonen und Quarks als linkshändige Paare ((νeL , eL ), (uL , dL )), die sich
in der dritten Komponente des schwachen Isospins T unterscheiden und rechtshändigen
Singlets (eR , uR ) auftreten. Die Paare und die Singlets werden durch die Hyperladung Y
unterschieden. Der schwache Isospin hat nichts mit dem Isospin zu tun, er ist ein Attribut
der Leptonen und der Quarks und charakteristisch für die schwache Wechselwirkung .
Der Austausch von geladenen W -Bosonen bewirkt dann eine Erhöhung (Erniedrigung)
des schwachen Isospins von -1/2 auf +1/2.
Flavour Quantenzahlen von Leptonen und Quarks:
t: schwacher Isospin mit dritter Komponente t3
y: schwache Hyperladung
q: Ladung q = t3 + y/2
Leptonen
Quarks
Teilchen
!
!
νeL
νµL
eL
µL
eR !
µR !
uL
cL
0
0
dL
sL
uR
cR
0
0
dR
sR
t !
1/2
1/2
0 !
1/2
1/2
0
0
!
ντ L
τL
τR !
tL
0
bL
tR
0
bR
t3 !
1/2
−1/2
0 !
1/2
−1/2
0
0
y !
−1/2
−1/2
-1 !
1/6
1/6
2/3
-1/3
q !
0
−1
-1 !
2/3
−1/3
2/3
-1/3
Die Quarks, die als linkshändige Partner von (u, c, t) auftreten sind nicht identisch mit
(d, s, b) sondern Linearkombinationen. Damit man den richtigen Quarkstrom erhält, muss
man die Cabibbo Mischung für die d-Quarks nehmen:

0



d
d
 0 


=
V
s


CKM  s 
0
b
b
(2.23)
Wir verlangen Invarianz unter einer Drehung im schwachen Isospinraum (SU (2)L ) und im
Hyperladungsraum (U (1)Y ). Die Eichtransformation der Hyperladungsgruppe geschieht
wie in der QED. Statt der Ladung q haben wir jetzt aber die Hyperladung Y . Wir wenden
nun beide Transformationen an:
0
Einkomponentig mit Feld B µ und Kopplungskonstante g , die an die Hyperladung Y
koppelt.
µ
2-komponentig mit 3 Eichfeldern W1,2,3
und Kopplungskonstante g.
Die kovariante Ableitung wird dann zu
0
Dµ = ∂ µ + igT W µ + ig Y B µ
17
(2.24)
Die Matrizen Ti und Y haben die Gestalt
Ti =
1/2τi 0
0
0


yL 0 0


Y =  0 yL 0 
0 0 yr
!
(2.25)
sie bilden die Erzeugenden der Gruppe SU (2)L × U (1)Y
Für die Feldstärkentensoren können wir direkt die Ergebnisse aus den vorhergehenden
Kapiteln nehmen:
B µν = ∂ µ B ν − ∂ ν B µ
W µν = ∂ µ W ν − ∂ ν W µ − gW µ × W ν
|
{z
nichtabelsch
(2.26)
(2.27)
}
Die Lagrangedichte für die elektroschwache Wechselwirkung folgt dann mit minimaler
Substitution:
1
1
0
Lel.weak = Ψ̄γµ (i∂ µ − gT W µ − g Y B µ )Ψ − Wµν W µν − Bµν B µν
4
4
0
= Ψ̄L γµ (i∂ µ − gτ /2W µ − g yL B µ )ΨL
1
1
0
+Ψ̄R γµ (i∂ µ − g yR B µ )ΨR − Wµν W µν − Bµν B µν
4
4
(2.28)
Der Kopplungsterm im Lagrangian wird dann mit yL = −1/2(Beispiel für einen Spinor
mit Elektronneutrino und Elektron):
g
1
0
LKopplung = − √ (W µ+ ν̄L γ µ eL + W µ− ēL γ µ νL ) − (gW3µ − g B µ )ν̄L γ µ νL
2
2
1
0
0
+ (gW3µ + g B µ )ēL γ µ eL − yr g B µ ēR γ µ eR
(2.29)
2
√
• W ± = 1/ 2(W1µ ± iW2µ ) werden als die geladenen W -Bosonen identifiziert.
• W ± erzeugen und vernichten W+ , W−
0
• gW3µ − g B µ koppelt an die Neutrinos, hat also keine Komponente des Photonfeldes,
da das Neutrino ungeladen ist.
q
0
• Normiertes Feld Z µ = 1/ g 2 + g 0 2 (gW3µ − g B µ ) = cos θW W3µ − sin θW B µ
Der Weinbergwinkel θW ist der Mischungswinkel der Felder W3µ und B µ .
0
sin θW = √ 2g 0 2 cos θW = √ 2g 0 2
g +g
g +g
18
q
0
• orthogonales Feld Aµ = 1/ g 2 + g 0 2 (gW3µ + g B µ ) = sin θW W3µ + cos θW B µ
• Z µ und Aµ sind also Linearkombinationen von W3µ und B µ , wobei W3µ der schwache
Isospinpartner von W µ+ und W µ− ist und B µ das Feld der schwachen Hyperladung.
• Der Weinbergwinkel misst die Stärke der elektromagnetischen Wechselwirkung relativ zur schwachen Wechselwirkung . Da die Kopplungsstärke der elektromagnetischen Wechselwirkung Q ist, folgt: q = g sin θW
• Eichinvarianz ist nur möglich, wenn die Fermionen keine Massen haben (ein Masseterm Ψ̄Ψ = Ψ̄L ΨR ist nicht invariant unter SU (2)L ).
• (1 ± γ5 )/2 projiziert auf die Zustände negativer (positiver) Helizitäten: eL,R = 12 (1 ±
γ5 )e, mitγ5 = −iγ0 γ1 γ2 γ3
Wir haben gezeigt, dass durch Eichung der Gruppe SU (2)L ×U (1)Y die elektromagnetische
und die schwache Wechselwirkung beschrieben werden kann. Die Theorie entstand 1961,
sagte also die Existenz des Z-Bosons voraus, der schwache Strom wurde erst 1973 entdeckt.
Der Weinbergwinkel θW ist frei und muss durch das Experiment angepasst werden.
Die Theorie hat aber einen entscheidenden Fehler: sowohl die Massen der schwachen
Eichbosonen als auch der Elektronen (µ, τ ) fehlen.
19
Kapitel 3
Higgsmechanismus
3.1
Massive Eichbosonen und Fermionen?
Die mit der Bedingung der Eichinvarianz erzeugten Eichfelder haben einen grossen
Nachteil: sie dürfen keine Masse haben. Versucht man einen zusätzlichen Masseterm
(M 2 Wµ W µ ) einzuführen, geht die Invarianz verloren und vor allem wird die Theorie nicht
renormalisierbar. D.h. die Störungsrechnung divergiert (Aitchison, Kap 11).
Für die Beschreibung der elektromagnetischen (U (1)) und starken WW (SU (3)) funktioniert der Mechanismus perfekt, da das Photon und die Gluonen keine Masse haben,
nicht aber für die schweren Bosonen der schwachen Wechselwirkung . Man kann aber auch
zeigen, dass die absolute Phase des Vakuumzustandes noch nicht festgelegt ist. Dies wird
im folgenden ausgenutzt, um den Eichbosonen eine Masse zu geben und die schwache und
die elektromagnetische Wechselwirkung gemeinsam zu beschreiben.
Das Modell für die Erzeugung von Massen wurde von Peter Higgs aufgestellt. Er postuliert
ein Feld (Higgsfeld) das den ganzen Raum durchdringt und einen Vakuumserwartungswert
ungleich Null hat. Alle Teilchen, die sich in dem Raum bewegen, treten in Wechselwirkung
mit dem Feld, wodurch sie Masse gewinnen. Das mit dem Higgsfeld assoziierte Teilchen
(Higgs Boson) ist neutral und hat Masse (Festkörperphysik: Phononen).
David Miller:
“ Imagine a cocktail party of political party workers who are uniformly distributed across
the floor, all talking to their nearest neighbours. The ex-Prime Minister enters and crosses
the room. All of the workers in her neighbourhood are strongly attracted to her and cluster
round her. As she moves she attracts the people she comes close to, while the ones she has
left return to their even spacing. Because of the knot of people always clustered around
her she acquires a greater mass than normal, that is she has more momentum for the same
speed of movement across the room. Once moving she is hard to stop, and once stopped
20
she is harder to get moving again because the clustering process has to be restarted.
In three dimensions, and with the complications of relativity, this is the Higgs mechanism.
In order to give particles mass, a background field is invented which becomes locally
distorted whenever a particle moves through it. The distortion - the clustering of the
field around the particle - generates the particle’s mass. The idea comes directly from the
physics of solids. instead of a field spread throughout all space a solid contains a lattice of
positively charged crystal atoms. When an electron moves through the lattice the atoms
are attracted to it, causing the electron’s effective mass to be as much as 40 times bigger
than the mass of a free electron. “
3.2
Spontane Symmetriebrechung
Symmetriebrechung bedeutet, dass die Grundgleichungen eines Systems eine Symmetrie
besitzen, die der Grundzustand nicht anzeigt.
Beispiel: Ein Teilchen in einem symmetrischen Potential V (Figur3.1)
1
1
V (Φ) = µ2 Φ2 + λΦ4 ,
2
4
21
µ2 < 0, Λ > 0
(3.1)
22
q
Der Grundzustand ist entartet: für Φ0 = ± −µ2 /λ = ±f ist die Energie minimal. Anderes Beispiel: spontane Magnetisierung eines Festkörpers: die Magnetisierung M entspricht
einem Feld Φ. Der Erwartungswert von M im Grundzustand ist ungleich Null, aber nur
sein absoluter Wert ist festgelegt, nicht seine Richtung. Der Grundzustand zeichnet also
eine Richtung aus dies nennt man spontane Symmetriebrechung oder hidden Symmetry,
weil die Symmetrie ja noch da ist.
Die folgende Diskussion des Higgs Mechanismus bezieht sich im Wesentlichen auf Kapitel
14 und 15 von Martin und Halzen.
Die Lagrangedichte von einem skalaren Feld ist
1
LHiggs = T − V = (∂µ Φ)2 − V (Φ)
2
(3.2)
mit dem Minimum für Φ0 = ±f Wir brechen nun die Symmetrie und wählen +f als
Grundzustandswert. Für die Störungstheorie entwickeln wir das Feld um den Grundzustand
Φ(x) = f + η(x)
(3.3)
Damit wird der Lagrange:
1
0
LHiggs = (∂ µ η)2 − λf 2 η 2 − λf η 3 − λ/4η 4 + const
(3.4)
2
√
√
Das neue Feld η hat also einen Masseterm mit Masse mη = −2λf 2 = 2µ die Terme
mit η 3 und η 4 beschreiben die Selbstwechselwirkung des Feldes.
√
Analog geht die Erweiterung auf ein komplexes Feld: Φ = (Φ1 + iΦ2 )/ 2:
1
(∂µ Φ)∗ (∂ µ Φ) − µ2 /2Φ∗ Φ − λ/4(Φ∗ Φ)2 , µ2 < 0, λ > 0
2
1
1
(∂µ Φ1 )2 + (∂µ Φ2 )2 − µ2 /2(Φ21 + Φ22 ) − λ/4(Φ21 + Φ22 )2
=
2
2
LHiggs =
(3.5)
mit dem Minimum Φ21 + Φ22 = Φ20 = −µ2 λ = f 2 . Wir wählen für den Grundzustand
Φ1 = +f, Φ2 = 0 und machen wieder die Entwicklung um den Grundzustand:
√
Φ(x) = 1 2(f + η(x) + iξ(x))
(3.6)
daraus folgt
1
1
LHiggs = (∂µ η)2 + (∂µ ξ)2 + µ2 η 2 + O(η 3 ) + O(η 4 ) + O(ξ 3 ) + O(ξ 4 ) + const (3.7)
2
2
√
Wir kriegen einen Masseterm für η (Mη = 2µ) während ξ masselos bleibt. Man nennt ξ
auch das Goldstone Boson. Die endliche Masse ergibt sich wegen der Potentialkrümmung
23
in radialer Richtung. Da entlang des Potentialminimums keine Krümmung existiert folgt
umgekehrt, dass das zweite Teilchen keine Masse hat.
Dieses Auftreten eies masselosen Teilchens wird im Goldstone Theorem beschrieben: masselose Skalare treten auf, wenn die Symmetrie spontan gebrochen wird. Ihre Zahl ist gleich
der Zahl spontan gebrochener Erzeugenden der Symmetriegruppe.
Für die Existenz dieser zusätzlichen masselosen Teilchen gibt es aber keinen experimentellen Hinweis.
Zitat Martin & Halzen S 325: “ Our hope of finding a gauge theory of weak interactions
with massive gauge bosons looks forlorn. It appears that we shall also have unwanted
(unobserved) massless scalar particles to worry about. Nevertheless, let us proceed from
a global to a local gauge theory. A miracle is about to happen.”
Wir betrachten nun also Symmetriebrechung und verlangen lokale Eichsymmetrie U (1),
wir müssen also die Ableitung durch die kovariante Ableitung ersetzen:
∂ µ → Dµ = ∂ µ − ieAµ
(3.8)
1
L = (∂ µ + ieAµ )Φ∗ (∂µ − ieAµ )Φ − µ2 /2Φ∗ Φ − λ/4(Φ∗ Φ)2 − Fµν F µν
4
(3.9)
die Lagrangedichte lautet dann :
wir entwickeln um das Minimum und erhalten:
1
1
1
1
L = (∂µ η)2 + (∂µ ξ)2 −f 2 λη 2 + e2 f 2 Aµ Aµ −ef Aµ ∂ µ ξ − Fµν F µν +WW-Terme (3.10)
2
2
2
4
Wir haben nun
• ein massives Skalar η mit Masse Mη =
√
−2λf 2 =
√
2µ
• ein massives Vektorboson Aµ mit Masse MA = ef
• ein masseloses Skalar ξ
• Term ef Aµ ∂ µ ξ, können wir nicht als Teilchen interpretieren
Wir machen folgende Eichtransformation
√
Φ → 1/ 2(f + h(x))eiΘ(x)/f
Θ ist so gewählt, dass h reell ist. Damit wird
24
Aµ → A µ +
1 µ
∂ Θ
ef
(3.11)
1
1
1
1
1
L = (∂µ h)2 − λf 2 h2 + e2 f 2 A2µ − λf h3 − λh4 + e2 A2µ h2 + f e2 A2µ h − Fµν F µν (3.12)
2
2
4
2
4
Der Lagrange beschreibt √jetzt ein massives Eichboson Aµ und ein massives Skalar h
(Higgs) der Masse mH = 2µ.
In dieser Formel taucht Θ nicht mehr auf! Das Goldstone Boson wurde gebraucht für die
longitudinale Polarisation des massiven Eichbosons. (Man sagt auch das Eichfeld hat das
Goldstone Boson aufgegessen). Dies nennt man den Higgs Mechanismus, der uns erlauben
würde ein massives Photon zu erzeugen. Durch die Kopplung an das Eichfeld wird also
die Entstehung des Goldstone Bosons verhindert, die Freiheitsgrade des Goldstone Bosons
kombinieren mit den Eichfeldern, so dass massive Vektorbosonen entstehen können.
Wir machen jetzt das noch einmal und verlangen Eichinvarianz unter SU (2):
L = (∂µ Φ)t (∂ µ Φ) − µ2 Φt Φ − λ(Φt Φ)2
(3.13)
wobei Φ ein SU (2) Dublett ist:
Φα
Φβ
Φ=
!
=
Φ1 + iΦ2
Φ3 + iΦ4
!
(3.14)
L soll lokal eichinvariant sein, wir ersetzen also die Ableitung
τ
1
∂ µ → Dµ = ∂ µ + ig W µ , W µ → W µ − ∂ µ α − α × W
2
g
Wir brechen die Symmetrie und wählen den Grundzustand
1
Φ0 = √
2
0
f
(3.15)
!
(3.16)
und machen die Entwicklung
!
1
0
Φ(x) = √
(3.17)
f
+
h(x)
2
Dieser Ansatz reicht vollkommen, da eine Drehung die allgemeine Form wiederherstellen
kann. Wir eichen die Goldstone Bosonen analog wie im Beispiel für U(1), dadurch kann
Θ in die Eichfelder absorbiert werden. Für den Masseterm erhalten wir
µ
2
|igτ /2W Φ0 |
g 2 gW3µ
g(W1µ − iW2µ )
=
µ
µ
−gW3µ
8 g(W1 + iW2 )
g2f 2
[(W1µ )2 + (W2µ )2 + (W3µ )2 ]
=
8
!
0
f
!2
(3.18)
und somit folgt für die Masse der W-Bosonen: MW = 12 gf . Die drei Eichfelder haben
die drei Goldstone Bosonen aufgegessen √
und sind massiv geworden. Übrig bleibt noch ein
massives Higgs Boson der Masse mH = 2µ.
25
3.3
Higgs und SU (2)L × U (1)Y
Weinberg und Salem benützten das Prinzip der spontanen Symmetriebrechung, um den
Eichbosonen der schwachen Wechselwirkung , sowie den Fermionen Masse zu geben. Analog wie oben wird zusätzlich zu den Vektorfeldern ein komplexes skalares Feld Φ, (HiggsFeld) mit dem Potential V(Φ)eingeführt (Isospin Dublett mit Hyperladung Y = 1, Isospin
1/2 und T3 = −1/2.
Φ=
Φ+
Φ0
!
1
=√
2
Φ1 + iΦ2
Φ3 + iΦ4
!
(3.19)
Das Potential ist symmetrisch und hat ein √
Minimum für f 2 = φ21 + φ22 , mit dem Vakuumserwartungswert Φ0 =< 0 | Φ | 0 >= f / 2. Wir brechen die Symmetrie und wählen
das Feld im Grundzustand reell und parallel zur unteren Komponente des Spinors im
schwachen Isospinraums:
!
1
0
(3.20)
Φ0 = √
2 f
Er ist so gewählt, dass das Photon masselos bleibt. Wenn Φ0 von einer Untergruppe
der Eichtransformationen invariant bleibt, bleibt das entsprechende Eichboson masselos.
Durch Eichtransformationen kann man erreichen, dass ein einziges reelles (Higgs)Feld h
für die Parametrisierung ausreicht, die anderen drei möglichen Felder werden weggeeicht:
1
Φ= √
2
Φ1 + iΦ2
Φ3 + iΦ4
!
1
= eiατ /2 √
2
0
f + h(x)
!
(3.21)
Die den Leptonen, Quarks und Higgs Teilchen zugeordneten Quantenzahlen sind nochmals
in der folgenden Tabelle zusammengefasst:
Leptonen
Quarks
Higgs
Teilchen
!
!
νeL
νµL
eL
µL
eR !
µR !
uL
cL
0
0
dL
sL
uR
cR
0
0
dR !
sR
Φ+
Φ0
t !
1/2
1/2
0 !
1/2
1/2
0
0 !
1/2
1/2
!
ντ L
τL
τR !
tL
0
bL
tR
0
bR
26
t3 !
1/2
−1/2
0 !
1/2
−1/2
0
0 !
1/2
−1/2
y !
−1/2
−1/2
-1 !
1/6
1/6
2/3
-1/3!
1
1
q !
0
−1
-1 !
2/3
−1/3
2/3
-1/3!
1
0
Die eichinvariante Lagrangedichte der elektroschwachen Wechselwirkung kriegt jetzt noch
zusätzliche Terme durch das skalare Higgsfeld:
Lskalar
Y 0
∂ µ → Dµ = ∂ µ − igT W µ − i g B µ
2
1
0
= |(i∂ µ − gτ /2W µ − g B µ )Φ|2 − V (Φ)
2
(3.22)
Wir gehen analog wie bei SU (2) vor. Für die Masseterme der Eichbosonen ersetzen wir
im Lagrange Φ(x) durch Φ0 und erhalten für die relevanten Terme ( Wµ W µ etc):
0
0
!2
τ
g
1 gW3µ + g B µ g(W1µ − iW2µ )
0 |(−ig W µ − i B µ )Φ0 |2 =
0
µ
µ
µ
f 2
2
8 g(W1 + iW2 ) −gW3 + g B µ
1 2 2 µ2
1
0
0
=
f g (W1 + W2µ2 ) + f 2 (g Bµ − gWµ3 )(g B µ − gW3µ )
8
8
1 2 2 µ2
1
0
0
=
f g (W1 + W2µ2 ) + f 2 (g B µ − gW3µ )2 + 0 · (g B µ + gW3µ )2
8
8
1
1
2
= MW
Wµ2 + MZ2 Zµ2 + MA2 A2µ
(3.23)
2
2
!
q
0
Daraus folgt sofort für die Masse von W und Z = 1/ g 2 + g 0 2 (gW3µ − g B µ )
q
MW = 1/2f g, MZ = 1/2f g 2 + g 0 2 und MA = 0
Daraus folgt insbesonders mW /mZ =cos θW . Dass die Massen für die W und Z Bosonen
nicht gleich gross sind, liegt daran, dass Z eine Mischung von W3µ und B µ ist. Für θW = 0
werden die Massen für die schwachen Eichbosonen gleich gross.
Der Vakuumserwartungswert des Higgsfeldes kann also durch Messungen festgelegt werden:
q
f 2 = 2MZ / g 2 + g 0 2 = 174GeV
(3.24)
Durch die spezielle Wahl vom Grundzustand des Higgsfeldes, gibt es keinen Term für die
0
Kombination g Bµ + gW3µ , deshalb bleibt das Photon wie gewünscht masselos.
3.3.1
Masse von Fermionen und Quarks
Ohne, dass die Eichinvarianz verlorengeht, kann noch ein Term hinzugefügt werden, der
das Higgs an die Fermionen koppelt und somit die Masse der Fermionen erzeugt (Yukawa
Term).
27
eR(T=0, Y=-2)
eL(T=1/2,Y=-1)
h (T=1/2,Y=1)
Abbildung 3.2: Yukawa Kopplung von Higgs
Die Kopplung beschreibt die Isospin-invariante Kopplung an das linkshändige Fermiondublett und das rechtshändige Singlett (Beispiel für Kopplung and Elektronen-Neutrino).
h
LY ukawa = −ce Ψ̄L ΦΨR + Ψ̄R Φt ΨL
"
= −ce (ν̄, ē)L
Φ+
Φ0
!
i
eR + ēR (Φ− , Φ̄0 )
ν
e
!
eL
#
(3.25)
Wir brechen die Symmetrie und schreiben für Φ:
1
Φ→Φ= √
2
0
f + h(x)
!
und erhalten für den Yukawa Term:
ce
ce
LY ukawa = − √ f (ēL eR + ēR eL ) − √ (ēL eR + ēR eL )h
2
2
(3.26)
(3.27)
Daraus folgt sofort für die Masse der Elektronen:
ce f
Me = √
2
28
(3.28)
• Da ce eine beliebige Konstante ist, ist diese Masse ist keine Voraussage des Standardmodells.
• Der Wechselwirkungsterm koppelt das skalare Higgs an die Elektronen, er ist aber
sehr klein (me /f ' 0.5M eV /250GeV ' 2 · 10−5 ) und konnte bis heute nicht nachgewiesen werden.
Die Quark Massen werden analog generiert, aber wir brauchen ein neues Higgs DublettΦc
mit Y = −1 um an die up-Quarks zu koppeln:
Φc =
−Φ̄0
Φ−
!
1
=√
2
f +h
0
!
(3.29)
Und damit wird die Yukawa Kopplung für Quarks:
¯ L Φdr − cu (ū, d)
¯ L Φc dr + h.c.
LY uk.Quarks = −cd (ū, d)
f ¯
f
1 ¯
1
= −cd √ dd
− cu √ ūu − cd √ ddh
− cu √ ūuh
2
2
2
2
(3.30)
Wieder ist die Kopplungsstärke nicht bestimmt, wir kriegen also einen Parameter für jede
Fermionmasse.
29
Kapitel 4
Standardmodell
4.1
Zusammenfassung Standardmodell
Die mit Hilfe des Eichprinzips und dem Higgsmechanismus konstruierte Lagrangedichte
lautet nun also
L = − 14 Wµν W µν − 14 Bµν B µν
kin. Energie und
Selbstwechselwirkung
0
µ
µ
µ
+L̄γµ (i∂ − gτ /2W − g Y /2B )L
kin. Energie der Leptonen und Quarks
0
+R̄γµ (i∂ µ − g Y /2B µ )R
und Wechselwirkung mit W ± , Z, γ
0
+|(i∂ µ − gτ /2W µ − g Y /2B µ )Φ|2 − V (Φ)
−(c1 L̄ΦR + c2 L̄Φc R + h.c.)
Masse von W ± , Z, γ und Higgs
und Kopplung der Eichbosonen an Higgs
Masse von Leptonen und Quarks
und Kopplung an Higgs
Zusammenfassend haben wir nun:
• masseloses Vektorboson: Photon mit Feld Aµ
• drei massive Vektorbosonen W ± , Z
• masselose linkshändige Fermionen: ν
• massive Fermionen
• massives neutrales Boson mit Spin 0 und Masse Mh
• die elektroschwache Theorie ist renormierbar, das heisst, Beiträge höherer Ordnung
können als endliche Korrekturen berechnet werden.
30
• elektroschwache Eichtheorie erlaubt korrekte Beschreibung der Phänomene bei niedrigen Energien
Üblicherweise sind die freien Parameter des Standardmodells:
2
e, sin θW , MW
, Mh2 sowie die Massen der Fermionen
1979, noch bevor das Z entdeckt wurde, bekamen Glasow, Salem und Weinberg den Nobelpreis
“ for their contributions to the theory of the unified weak and electromagnetic interaction between elementary particles, including inter alia the prediction of the weak neutral
current. “
Bis heute ist das Standardmodell eine sehr erfolgreiche Theorie, viele Parameter sind sehr
genau gemessen und alle in Übereinstimmung mit dem Standardmodell.
Unbefriedigend:
• die Massen der Fermionen werden ’ad hoc’ eingeführt, Massenspektrum nicht erklärt
• SU (2)L × U (1)Y ist nur eine teilweise Vereinigung, sie enthält immern noch zwei
verschiedene Kopplungskonstanten, die über θW gekoppelt sind. θW muss aber experimentell bestimmt werden.
0
• Kopplungskonstanten g ,g und αs werden nicht erklärt
• warum drei Familien?
• es gibt keine Verbindung zwischen Quarks und Leptonen, obwohl sie die gleiche
Anzahl Familien haben und sich Ladung von Elektron und Proton genau aufheben.
• wo bleibt die Gravitation?
0
• Grosse Unifikation (GUT): werden die drei Kopplungskonstanten g, g und αs extrapoliert, sieht man, dass sie bei Energien von 1015 − 1016 GeV etwa gleich gross
werden. Warum treffen sie sich nicht genau bei der Planckmasse (Figur4.1)?
31
Abbildung 4.1: Kopplungskonstanten
• Problem der Theorie: es gibt divergente Quantenkorrekturen des Higgsfeldes, die
sich gegenseitig aufheben.
Die Vermutung ist, dass es noch eine höhere Symmetrie gibt.
Theorien ausserhalb des Standardmodells
• Grand Unified Theories (GUT)
• Composite Models
32
• Supersymmetry
• String Models
4.2
Erfolg des Standardmodells
Das Standardmodell erlaubt Vorhersagen, die experimentell überprüft werden können. Bis
jetzt wurde die Theorie hervorragend bestätigt. Zu den wichtigsten Vorhersagen gehörte
die Existenz von neutralen schwachen Strömen und dem c−Quark. Ausser dem Higgs
wurden alle Teilchen, die vom Standardmodell vorausgesagt wurden auch gefunden:
• Charm Quark (J/Ψ) 1974 Brookhaven, Stanford
• τ Lepton 1974, Stanford → neue schwere Quarks
• Bottom Quark (Υ = bb̄) Fermilab 1977
• Gluonen am DESY 1979
• Z am CERN 1983, schwacher neutraler Strom erstmals beobachtet 1973
• W am CERN 1983
• Top Quark Fermilab 1995
• τ Neutrino am Fermilab 2000
Der Durchschnittswert für den Weinberg Winkel ist sin θW 2 = 0.23117 ± 0.00007. Die experimentellen Beobachtungen sind alle sehr gut konsistent. Die Massen, sowie die Breiten
der W und Z Bosonen stimmen hervorragend mit den Voraussagen des Modells überein.
Mit dem obigen Wert für den Weinbergwinkel erhält man in niedrigster Ordnung als
Voraussage für die Massen der schweren Eichbosonen:
MW (SM ) ' 78GeV,
MZ (SM ) ' 89GeV
(4.1)
Wenn Korrekturen höherer Ordnung und Strahlungskorrekturen berücksichtigt werden, liegen die berechneten Massen um etwa 2GeV höher. Die gemessenen Massen:
Teilchen Masse [GeV ] Breite [GeV ]
W±
80.41 ± 0.1
2.06 ± 0.06
Z
91.187 ± 0.007 2.490 ± 0.007
γ
< 2 × 10−22
33
Beispiel: Z Zerfallsbreite: Die Zerfallsbreite von Z Bosonen folgt bis auf Phasenraumfaktoren direkt aus der Kopplungskonstante:
g2
1
2
2
Γ(Z → f f¯) =
MZ (gZL
+ gZR
)=
MZ (c2L + c2R )
24Π
24Π cos θW 2
(4.2)
wobei
cL = t3 − Q sin θW 2 ,
cR = Q sin θW 2
(4.3)
die Kopplung an das linkshändige Dublett rsp. das rechtshändige Singulett beschreiben.
Somit ergibt sich für die relativen Zerfallsraten und Breiten:
Kanal
t3
Q
cL
cR
c2L + c2R
pro ν ν̄
1/2
0
0.5
0
0.25
pro l+ l−
-1/2 -1
0.27 0.23
0.13
pro q q̄ (u Typ) 1/2 2/3 0.347 0.153
0.14
pro q q̄ (d Typ) -1/2 -1/3 0.423 0.077
0.18
Zerfallsrate %
6.2
3.2
11.3
13.3
Breite MeV
165
83
122.8
95.7
Den Zerfall in die Neutrinos kann man nicht direkt nachweisen, da man die Neutrinos
nicht messen kann, aber man kennt aus anderen Experimenten die totale Breite und kann
somit die Anzahl Neutrino Familien bestimmen.
Kanal
unsichtbar
l+ l−
hadronisch
(total unkorr.
korrigiert
Zerfallsrate %
erwartet gemessen
18.5
20.02
9.59
10.10
72.0
69.89
Breite MeV
erwartet
gemessen
501.65
498.8
252.0
251.9
1742.2
1743.8
2711)
2495.6 ±2.1 2494.4 ± 2.6
• durch Korrekturen (Quark und Leptonmassen) werden die erwarteten Werte noch
ein wenig korrigiert
• Zerfall in (unbeobachtbare) Neutrinos doppelt so häufig wie in geladene Leptonen
• für Quarks muss berücksichtigt werden, dass sie in 3 Farben vorkommen
• Aus der Zahl der unsichtbaren Zerfälle kann insbesondere die Zahl der verschiedenen
Neutrinos abgeschätzt werden (mit Masse < MZ /2): 3.07.
• würde es noch eine vierte Sorte leichter Neutrinos geben, wäre die Breite 165 MeV
grösser.
34
4.3
Higgs Suche
Das Higgs ist das einzige Teilchen des Standardmodells, was noch nicht nachgewiesen
wurde. Es ist aber essentiell für die spontane Symmetriebrechungund somit entscheidend
für die Bestätigung des Standardmodells.
M. + I. Butterworth, D. + V. Teplitz:”Proving the Higgs particle does not exist would
be scientifically every bit as valuable as proving it does”.
Das Higgs koppelt an alle Fermionen, W und Z Bosonen und an sich selbst. Die Kopplungsstärke ist proportional zu m2 resp. m für Fermionen.
Zerfall Kopplungsstärke
0
ρ → W+ W−
2m2W /ρ0
ZZ
m2Z /ρ0
ff̄
mf /ρ0
das heisst, das Higgs wird vorwiegend in das schwerste Teilchen zerfallen, was energetisch
möglich ist.
Theoretische Abschätzungen:
m<700 GeV: sonst hätten wir eine sehr starke WW und erwarten, dass das Standardmodell so nicht gilt.
m>7 GeV: falls die Masse zu klein ist, werden Quantenkorrekturen zum Higgs Potential
wichtiger als das Potential.
Aus elektroschwachen Strahlungskorrekturen bestimmte empirische Untergrenze ist
78GeV Experimentell:
m> 95.3 GeV, 95% confidence level
35
Abbildung 4.2: Erlaubter Massebereich für Higgs als Funktion von Λ (Mt = 175GeV )
In der Figur4.2 ist die erlaubte Bereich für die Higgsmasse als Funktion des Parameters Λ,
der in der Berechnug von Loop-Korrekturen wichtig ist, gezeigt. Λ gibt an, bis zu welchen
Energien das Modell gültig sein soll. Wenn man annimmt, dass das Standardmodell bis
zur Planckmasse gültig ist, schränkt das den erlaubten Bereich für die Higgsmasse auf
130 − 180GeV ein.
Figur4.3 zeigt die Higgsmasse als Funktion der Top-Masse und die Bereiche, die aus
Messungen schon ausgeschlossen sind.
36
1000
500
MH [GeV]
200
ΓZ, σhad, Rl, Rq
asymmetries
ν scattering
MW
mt
all data
90% CL
100
20
excluded
50
10
5
100
120
140
160
180
200
mt [GeV]
Abbildung 4.3: PDG 2000: Erlaubter Massenbereich (95% confidence level) für MH vs
Mt , (Mt = 174.3 ± 5.1GeV )
2000 erste Indizien für Higgs am CERN, LEP Experimente, aber noch nicht signifikant.
Wie kann das Higgs erzeugt werden? Da die Kopplung an die Fermionen proportional
mit deren Masse geht, geht die Produktion mit m2 , man muss also möglichst schwere
Fermionen nehmen. Bei genügend hoher Energie kann ein Higgs auch von einem Z Boson
abgestrahlt werden.
Bei LHC: Produktion von virtuellen Top Quarks aus Gluonen (Experimente Atlas, CMS
ab 2005)
4.3.1
Higgs Suche bei LEP
Referenz: http://alephwww.cern.ch/ALPUB/paper/paper00/21/higgs2000.ps
Im Herbst 2000 kurz vor Ende des LEP-Runs berichtete Aleph über 4-Jet Ereignisse, die
als Kandidaten für Higgs mit einer Masse von 114 GeV gelten werden können (3σ Effekt).
37
Jet
Jet
HZ
1)
H
_
bb,
_
Z
ll
2 isolierte Leptonen und zwei akoplanareJets
Detektoreffizienz: 70%
Branchingratio
6%
l
l
Jet
Jet
HZ
2)
H
_
bb, Z
_
νν
Missing energy und zwei akoplanare Jets
ν
ν
Detektoreffizienz: 50%
Branchingratio 20%
Jet
Jet
3)
HZ
H
_
bb,
Z
_
qq
Jet
4 Jets, b-tagging von Higgs Jets (BR 65%)
Detektoreffizienz: 25%
Branchingratio 65%
Jet
Jet
Jet
4)
HZ
H
H
τ
τ
_
bb,
_
ττ,
Z
Z
Taus + Jets
Detektoreffizienz: 25%
Branchingratio
9%
Abbildung 4.4: Topologie von Ereignissen mit Higgs
38
_
ττ
_
qq
39
Abbildung 4.5: Higgs Produktionsprozess: a) Higgsabstrahlung, b) Eich Boson Fusion
Der Produktionsprozess ist vorwiegend Higgsabstrahlung.
e+ e− → HZ
Z → q q̄
70%
2 Jets
ν ν̄
20%
missing Energy
+ −
l l
6.6% (e, µ) Lepton Paar
+ −
τ τ
3.3%
2 Tau Leptonen
H → bb̄
74%
2 Jets, b-Tagging
+ −
τ τ
7%
2 Tau Leptonen
Anzahl Ereignisse für Signal und Untergrund für die verschiedenen Kanäle:
Analyse
Signal
erwartet
Hq q̄(NN)
4.5
Hq q̄(Cut)
2.9
Hν ν̄(NN)
1.4
Hν ν̄(Cut)
1.3
Hl+ l−
0.7
τ + τ − q q̄
0.7
Total (NN)
7.0
Total(Cut)
5.3
Untergrundereignisse erwartet
Gemessen
ZZ
WW
ff̄
Total
23.0± 1.0
8.6± 0.6 15.3 ± 1.7 46.9 ± 2.1
52
12.6 ± 0.7 3.2 ± 0.2 7.9 ± 0.7 23.7 ± 1.0
31
13.5 ± 0.7 22.0 ± 1.1 2.0 ± 0.4 37.5 ± 1.4
38
9.9 ±1.1
8.8 ± 1.7
1.0 ±0.3
19.7 ± 2.0
20
26.4± 0.3
24 ± 0.1
1.8 ±0.3
30.6 ± 0.4
29
26.4 ± 0.3 6.2 ± 0.3 1.0 ± 0.3 13.6 ± 0.5
15
69.3 ± 1.3 39.2 ± 1.3 20.1 ± 1.8 128.7 ± 2.6
134
55.3 ± 1.4 20.6 ± 1.7 11.7 ± 0.9 87.6 ± 2.4
95
Analyse:
• Luminosität 261.1 pb− 1
• Schwerpunktsenergie 200-109 GeV (das meiste bei 205.1 GeV (72 pb−1
• Selektion der Ereignisse: 4 Jets, missing Energy, Lepton Paare
• Rekonstruktion der Higgsmasse: Excess bei hohen Massen
• b-Tagging, rekonstruierte Z Masse
• 5 Kandidaten
Die Massenverteilung der Higgs-Kandidaten ist in Figur4.6 gezeigt
40
erwartete
Signifikanz
1.6
1.3
0.8
0.7
0.8
0.4
2.1
1.8
Abbildung 4.6: Massenverteilung der Higgs-Kandidaten
41
Kapitel 5
Beweise
5.1
Eichinvarianz der Schrödingergleichung
Wie muss sich Ψ ändern, damit die Schrödingergleichung invariant ist unter
0
0
A → A = A + ∇χ V → V = V −
∂χ
∂t
(5.1)
0
Behauptung: Ψ → Ψ = exp(iqχ)Ψ, Beweis durch Einsetzen in die Schrödingergleichung:
0
1
1
∂Ψ
0
0
0
0
0
0
0
m(−iD )2 Ψ = m(−i∇ − qA )2 Ψp = i
− qV Ψ = iD0 Ψ
2
2
∂t
(5.2)
Betrachten wir erst die linke Seite
0
0
− iD Ψ
0
0
= (−i∇ − qA )Ψ = (−i∇ − qA − q∇χ)exp(iqχ)Ψ
= (q(∇χ)exp(iqχ) + exp(iqχ(−i∇ − qA) − q∇χexp(iqχ)Ψ
= exp(iqχ)(−iDΨ)
(5.3)
0
der Phasenfaktor verwandelt also D in D .
0
Wenden wir iD nochmals an, kürzen sich die Terme so wie eben:
0
0
0
(−iD )2 Ψ = −iD exp(iqχ)(−iDΨ) = exp(iqχ)(−iD)2 Ψ
Auf der rechten Seite haben wir
∂
∇χ
0
0
iD0 Ψ = i( + iqV − iq
)exp(iqχ)Ψ
∂t
∂t
∂χ
∂Ψ
∂χ
= i(iq exp(iqχ)Ψ + exp(iqχ)(
+ iqV Ψ) − iq exp(iqχ)Ψ)
∂t
∂t
∂t
0
= exp(iqχ)D Ψ
42
(5.4)
(5.5)
Damit haben wir also
1
1
0
0
0
0
m(−iD )2 Ψ = exp(iqχ)
(−iD)2 Ψ = exp(iqχ)iD0 Ψ = iD0 Ψ
2
2m
(5.6)
Die Schrödingergleichung ist also erfüllt für folgende Transformation:
0
A → A = A + ∇χ
0
V → V = V − ∂χ/∂t
0
Ψ → Ψ = exp(iqχ)Ψ
5.2
(5.7)
Eichinvarianz der Diracgleichung
Behauptung: die Diracgleichung
(iγµ Dµ − m)Ψ = 0 mitDµ = ∂ µ + iqAµ
,
~
Aµ = (V, A)
(5.8)
ist invariant unter der Transformation der Materiefelder
0
Ψ = exp(iqχ(x))Ψ(x)
(5.9)
wenn sich die Eichfelder wie folgt transformieren:
0
A µ → Aµ = A µ − ∂ µ χ
(5.10)
Beweis:
(iγµ Dµ − m)Ψ =
→
0
µ
µ0
(iγµ ∂ − γµ qA − m)Ψ =
=
=
5.3
(iγµ ∂ µ − γµ qAµ − m)Ψ = 0
(iγµ ∂ µ − qγµ Aµ + qγµ ∂ µ χ − m)exp(iqχ)Ψ
exp(iqχ)(−γµ q∂ µ χ + iγµ ∂ µ − qγµ Aµ + qγµ ∂ µ χ − m)Ψ
exp(iqχ)(iγµ ∂ µ − γµ qAµ − m)Ψ = 0
(5.11)
Transformation der Eichfelder in SU (2)
Diracgleichung :
(iγ µ Dµ − m)Ψ = 0
43
soll invariant sein unter einer infinitesimaler Drehung:
0
Ψ → Ψ = (1 + ig/2ητ )Ψ
0
0
Dµ → Dµ = ∂ µ + ig/2W µ τ,
mit W
µ0
= W µ + dW µ
(5.12)
(5.13)
Wir suchen die Transformation für die Felder W µ , damit die Diracgleichung noch erfüllt
ist.
Die Diracgleichung ist noch erfüllt, falls
0
0
Dµ Ψ = (1 + ig/2τ η)Dµ Ψ
(∗)
(5.14)
Bew: Einsetzen in die Diracgleichung:
0
0
(iγ µ Dµ − m)Ψ
= (iγ µ Dµ − γ µ g/2τ ηDµ − m − mig/2τ η)Ψ
= (iγ µ Dµ − m)Ψ + igτ /2(iγ µ Dµ − m)Ψ = 0 + igτ /2 · 0 (5.15)
Die linke Seite von (*) lautet:
0
0
Dµ Ψ
= (∂ µ + ig/2τ W µ + ig/2τ dW µ )(1 + ig/2τ η)Ψ
= [∂ µ + ig/2τ (∂ µ η) + ig/2τ η∂ µ + ig/2τ W µ + (ig/2)2 τ W µ τ η
+ig/2τ dW µ + (ig/2)2 τ dW µ τ η]Ψ
(5.16)
Der letzte Term wird weggelassen, da er von höherer Ordnung (dW µ η) ist. Die rechte
Seite gibt
(1 + ig/2τ η)Dµ Ψ = (1 + ig/2τ η)(∂ µ + ig/2τ W µ )Ψ
(5.17)
Die meisten Terme links und rechts kürzen sich und es bleibt:
ig/2τ dW µ = −ig/2τ (∂ µ η) + (ig/2)2 (τ ητ W µ − τ W µ τ η)
(5.18)
wobei für die Pauli Matrizen gilt: σaσb = a · b + iσa × b
Also bleibt
τ dW µ = −τ (∂ µ η) − gτ (η × W µ )
5.4
(5.19)
Entwicklung des Lagrange mit skalarem Feld
Φ(x)
Φ(x)2
Φ(x)4
f2
=
=
=
=
f + η(x)
f 2 + η 2 + 2f η
f 4 + η 4 + 6f 2 η 2 + 4f 3 η + 4f η 3
−µ2 /λ
44
(5.20)
(5.21)
(5.22)
(5.23)
1
1
1
L = T − V = (∂ µ Φ)2 − ( µ2 Φ2 + λΦ4 )
2
2
4
1 µ 2 1 2 2
2 2
2
=
(∂ η) − (µ f + µ η + 2µ f η − λ/2f 4 + λ/2η 4 + 3λf 2 η 2 + 2λf 3 η + 2λf η 3 ))
2
2
1 µ 2
=
(∂ η) − λf 2 η 2 − λf η 3 − λ/4η 4 + const
(5.24)
2
µ2 η 2 + 3λf 2 η 2 = −λf 2 η 2 + 3λf 2 η 2 = λf 2 η 2
2µ2 f η + 2λf 3 η = 2µ2 f η − 2µ2 f η = 0
√
Nun dasselbe nochmals für ein komplexes Feld Φ = (Φ1 + iΦ2 )/ 2
(5.25)
1
(∂µ Φ)∗ (∂ µ Φ) − µ2 /2Φ∗ Φ − λ/4(Φ∗ Φ)2 , µ2 < 0, λ > 0
2
1
1
=
(∂µ Φ1 )2 + (∂µ Φ2 )2 − µ2 /2(Φ21 + Φ22 ) − λ/4(Φ21 + Φ22 )2
(5.26)
2
2
mit dem Minimum Φ21 + Φ22 = Φ20 = −µ2 λ = f 2 . Wir wählen den Grundzustand reell
Φ1 = +f, Φ2 = 0 und machen wieder die Entwicklung um den Grundzustand:
√
Φ(x) = = 1 2(f + η(x) + iξ(x))
(5.27)
∗
2
2
2
Φ Φ = f + η + 2f η + ξ
(5.28)
(Φ∗ Φ)2 = f 4 + η 4 + ξ 4 + 6f 2 η 2 + 4f 3 η + 4f η 3
(5.29)
2 2
2 2
2
+2f ξ + 2η ξ + 4ηf ξ
(5.30)
LHiggs =
Da λ = −µ2 /f 2 kürzen sich die Terme proportional zu ξ 2 , während für η 2 ein Term µ2 η 2
übrigbleibt:
1
1
LHiggs = (∂µ η)2 + (∂µ ξ)2 + µ2 η 2 + O(η 3 ) + O(η 4 ) + O(ξ 3 ) + O(ξ 4 ) + const (5.31)
2
2
√
Wir kriegen einen Masseterm für η (Mη = −2µ2 ) während ξ masselos bleibt. Man nennt
ξ auch das Goldstone Boson. Die endliche Masse ergibt sich wegen der Potentialkrümmung
in radialer Richtung. Da entlang des Potentialminimums keine Krümmung existiert folgt
umgekehrt, dass das zweite Teilchen keine Masse hat.
5.5
Beispiel:
Streuung
Kopplungsterm
Elektron-Neutrino
Kopplungsterm für Lagrange mit Neutrino,Elektron Spinor:
L = −g Ψ̄γ µ Wµa τa /2Ψ
45
= −g/2(ν̄, ē)γ
µ
Wµ3 Wµ+
Wµ− −Wµ3
!
ν
e
!
!
Wµ3 ν + Wµ+ e
= −g/2(ν̄, ē)γ
Wµ− ν + Wµ3 e
√
√
= −g/2(Wµ3 (ν̄γ µ ν − ēγ µ e) + 2Wµ+ ν̄γ µ e + 2Wµ− ēγ µ ν)
µ
(5.32)
Da die Felder Wµa hermitesch sind, gilt Wµ+ = (W µ− )t .
Die Kopplung beschreibt die Umwandlung eines Neutrinos in ein Elektron durch Absorption eines W − und von einem Elektron in ein Neutrino durch Absorption eines W + .
5.6
Kopplungsterm der elektroschwachen Wechselwirkung
Die Lagrangedichte für die elektroschwache Wechselwirkung lautet mit Hilfe der minimalen Substitution
1
1
0
Lel.weak = Ψ̄γµ (i∂ µ − gT W µ − g Y B µ )Ψ − Wµν W µν − Bµν B µν
4
4
0
µ
µ
µ
= Ψ̄L γµ (i∂ − gτ /2W − g yL B )ΨL
1
1
0
(5.33)
+Ψ̄R γµ (i∂ µ − g yR B µ )ΨR − Wµν W µν − Bµν B µν
4
4
Daraus folgt für den Kopplungsterm für Elektronen und Neutrinos (yL = −1/2, yR =
−1, T = 1/2):
LKopplung
!
1
01
0
ν
= (ν, eL )γµ (−g τ W µ + g B µ )
+ eR γµ (g yR B µ )eR
e
2
2
L
!
!
µ
1
µ+
√ W
W3
1
01
ν
µ
2
= (ν, eL )γµ (−g
+g B )
µ
eL
2 √12 W µ− −W3
2
0
+eR γµ (g yR B µ )eR
g
1
0
= − √ (W µ+ ν̄L γ µ eL + W µ− ēL γ µ νL ) − (gW3µ − g B µ )ν̄L γ µ νL
2
2 2
1
0
0
(5.34)
+ (gW3µ + g B µ )ēL γ µ eL + g B µ ēR γ µ eR
2
Das Eichfeld in Matrixschreibweise lautet:
µ
τW =
W3µ
W1µ − iW2µ
W1µ + iW2µ
−W3µ
46
!
=
W3µ
√1 W µ−
2
√1 W µ+
2
−W3µ
!
(5.35)
Kapitel 6
Hilfsmittel
• transponierte Matrix U t : Zeilenvektoren der Matrix U t sind die Spaltenvektoren von
U
• symmetrische Matrix: U t = U
• hermitesche Matrix: U t = Ū und komplexe Elemente
• reguläre Matrix: Det U ungleich Null
• orthogonale Matrix: U t = U −1 und U regulär
• Unitäre Matrix: U regulär mit komplexen Elementen und U t = U −1
U U t = U tU = 1
• Rang einer Matrix Rg(U ) = ρ, wenn U eine regulärte ρ-reihige Untermatrix besitzt.
gradf =
∂f
∂m
(6.1)
∂u ∂u ∂u
+
+
∂x ∂y ∂z
∂u ∂u ~
∂u ∂u ~
∂u ∂u ~
rot~u = ∇ × ~u = curl~u = (
−
)i + (
−
)j + (
−
)k
∂y
∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
div~u = ∇~u =
(6.2)
(6.3)
elektromagnetischer Feldstärkentensor F µν (antisymmetrisch)


F =


0 −Ex −Ey −Ez
Ex
0
−Bz By 


Ey Bz
0
−Bx 
Ez −By Bx
0

47
(6.4)
6.1
Lagrangeformalismus
Die Bewegungsgleichungen können aus der Lagrangegleichung erhalten werden (theoretische Mechanik):
!
d ∂L
∂L
−
=0
(6.5)
dt ∂ q̇i
∂qi
wobei q die Koordinaten des Teilchens und der Lagrange
L=T −V
(6.6)
die Differenz der kinetischen und der potentiellen Energie des Systems.
Elementarteilchen und ihre Wechselwirkungen werden durch Felder beschrieben Φ(x), die
sich kontinuierlich ändern. (Lepton-, Quark-, Gluonfelder etc). Die Dynamik der Felder
kann aus der Lagrangedichte L abgeleitet werden. Die Beschreibung erfolgt in der Quantenfeldtheorie.
∂Φ
L(qi , q̇i , t) → L(Φ,
, xµ )
(6.7)
∂xµ
Die Bewegungsgleichung erhält man analog zur Lagrangegleichung aus der EulerLagrangegleichung:
!
∂
∂L
∂L
−
=0
(6.8)
∂xm u ∂(∂Φ/∂xµ
∂Φ
Hier noch einige wichtige Lagrangedichten:
• Klein Gordon (Spin-0 Teilchen)
1
m2 2
LKlein−Gordon = ∂µ Φ∂ µ Φ −
Φ
2
2
(6.9)
daraus folgt die Klein-Gordon Gleichung
∂µ ∂ µ Φ − m2 Φ = 0
(6.10)
LDirac = Ψ̄(iγµ ∂ µ − M )Ψ
(6.11)
• Dirac- Feld (Spin1/2 Teilchen)
Daraus folgt die Diracgleichung
(iγµ ∂ µ − M )Ψ = 0
(6.12)
Unter Symmetrien versteht man dann Transformationen der Felder unter denen die Lagrangedichte invariant bleibt.
48
6.2
Lie Gruppen
Die Gruppe der speziellen unitären 2 × 2 Matrizen bilden die Lie Gruppe. Speziell an den
Lie Gruppen ist, dass es reicht infinitesimale Drehungen zu betrachten.
6.3
SU (2) Gruppe
Die spurlosen unitären 2× 2 Matrizen bilden die Gruppe SU (2) (spezielle, unitäre
Gruppe), eine Untergruppe von U (2), die alle 2× 2 Matrizen beinhaltet. Für die
fundamentale Represäntation von SU (2)(aus der alle anderen gebildet werden können)
werden normalerweise die drei Pauli Matrizen genommen:
σ1 =
0 1
1 0
!
0 −i
i 0
σ2 =
!
σ3 =
1 0
0 −1
!
(6.13)
Beispiel für eine SU (2) Gruppe ist der Isospin. Wenn von Massendifferenzen der Grössenordnung 1-5 MeV abgesehen wird, haben Proton und Neutron (Π+ , P i− , Π0 ) dieselbe
Masse, sind also entartete Zustände. In Analogie zum Drehimpuls des Wasserstoffatoms,
definiert man den Isospin, der die Transformation in den anderen Zustand erlaubt. Diese Transformation ist eine SU (2) Transformation. Proton und Neutron bilden dann ein
Isospindublett, die Transformation von Proton in Neutron entspricht einer Drehung im
Raum. (Analog zum Spin des Elektrons)
p=
1
0
!
,
n=
0
1
!
,
(6.14)
Der Übergang p→n (n→p) geschieht dann durch die Transformation 1/2(τ1 + (−)iτ2 )
I I3
pp
1 +1
√1 (pn+np) 1
0
2
nn
1 -1
√1 (pn-np)
0 0
2
+
Π
1 +1
Π0
1 0
−
Π
1 -1
Ein anderes Beispiel ist die Gruppe mit schwachem Isospin: Paare (νe ,e) ..., (u,dc , etc.)
49
6.4
SU (3) Gruppe
Die Gruppe der spurlosen unitären 3× 3 Matrizen bilden die Gruppe SU (3). 32 − 1 = 8
linear unabhängige Matrizen erzeugen die Gruppe. Da nur zwei von diesen Matrizen
diagonal sind, hat die Gruppe den Rang 2. Normalerweise werden die Gell-Mann Matrizen
als Erzeugende genommen.
Gell-Mann Matrizen: Erzeugende von SU (3) 32 − 1 = 8 spurlose, hermitische Matrizen
λ1
λ4
λ6






0 1 0

=  1 0 0 

0 0 0
0 0 1


=  0 0 0 
1 0 0
0 0 0


=  0 0 1 
0 1 0
λ8 =
s







0 −i 0

λ2 =  i 0 0 

0 0 0
0 0 −i


λ5 =  0 0 0 
i 0 0
0 0 0


λ7 =  0 0 −i 
0 i 0

1 0 0
1

 0 1 0 
3
0 0 −2


1 0 0

λ3 =  0 −1 0 

0 0 0
(6.15)
(6.16)
(6.17)
(6.18)
Spur(λi λj ) = 2
50
λ8
1/2(λ1 +−i λ2 )
R
G
λ3
1/2(λ6 +− i λ7 )
1/2(λ4 −i λ5 )
B
Abbildung 6.1: Aktion der SU (3) Generatoren
Die Erzeugenden von SU (3) erfüllen die Kommutationsregeln
[λa , λb ] = 2icabc λc
Dabei sind cabc die Strukturkonstanten der Gruppe.
abc 123 147 156 246 257 345 367 √458 √678
cabc
1 1/2 -1/2 1/2 1/2 1/2 -1/2
3/2
3/2
cabc = −cacb = ccba
51
(6.19)
Kapitel 7
Literatur
• Francis Halzen, Alan D. Martin: Quarks and Leptons: an introductory Course in
Modern Particle Physics, ISBN 0-471-88741-2
Auf verständlichem Niveau geschrieben mit guten praktischen Übungen
• I. J. R. Aitchison, A. J. G. Hey: Gauge Theories in Particle Physics, ISBN 0-85274534-6
• Otto Nachtmann: Elementarteilchenphysik Phänomene und Konzepte, ISBN 3-52808926-1
verständliche Einführung für Experimentalphysiker iit K. Bethge U. Scröder: Elementarteilchen und ihre Wechselwirkungen (ISBN 3-534-08750-X)
gut verständlich und ausführlich erklärt
• T. Kugo: Eichtheorie, ISBN 3-540-62063-X
Ausführlich aber sehr theoretisch
• Kurt Gottfried, Victor F. Weisskopf: Concepts of Particle Physics VolII, ISBN 019-503393-0
• Higgs: In 1993, the then UK Science Minister, William Waldegrave, issued a challence to physicists to answer the questions ’What is the Higgs boson, and why do
we want to find it?’ on one side of a single sheet of paper.
http://hepwww.ph.qmw.ac.uk/epp/higgs.html
52