Physik für Fachbereich M

Physik für Fachbereich M
Einführung / Wiederholung
Vorbemerkungen
Was ist die Aufgabe der Physik?
Die Beschreibung der Natur mit Hilfe der Mathematik.
Wie sollten Sie das Skript benutzen?
Es ist praktisch, das Skript auszudrucken!
Lochen Sie unten, dann können Sie oben lesen (eigentlich unnötig, denn das Skript
wird fast immer projiziert) und unten, auf der unbedruckten Rückseite der nächsten
Seite, können Sie ihre Notizen aufschreiben, z.B. die Lösungswege von
vorgerechneten Aufgaben.
Aus welchen beiden Komponenten besteht jede physikalische Größe?
Aus einer Zahl und einer Einheit, z.B. ist in der Gleichung
s  3m
s (kursiv gedruckt) die physikalische Größe „Koordinate“ (Ort eines Körpers im
Koordinatensystem), 3 die „Maßzahl“ und m die Einheit Meter.
Benutzen Sie das Skript während der Vorlesungen - die bereits gedruckten
Passagen brauchen Sie dann nicht mehr abzuschreiben. Nutzen Sie die Zeit lieber
zum Mitdenken, Mitrechnen der Aufgaben und dazu laufend Fragen zu stellen.
In welchen Einheiten sollten Sie ausschließlich rechnen? Warum?
In den Basiseinheiten des SI - Systems, also alle Einheiten, die aus m, kg, s, A, K,
cd, mol zusammengesetzt sind, nicht dagegen in cm, g, ...
Was ist das Ziel der Lehrveranstaltung?
In dieser Vorlesung wird trainiert, eine anschauliche Situation in eine Gleichung
umzusetzen. Sie sollen lernen, zu Situationen aller Art eine mathematische
Beschreibung zu entwickeln und sich unter Formeln etwas vorzustellen. Die
Physik ist dabei nur Mittel zum Zweck. Natürlich schadet es nichts, wenn Sie
einige Grundbegriffe kennenlernen - schließlich ist die Physik die Grundlage
jedweder Technik.
Grund: wenn Sie Basiseinheiten einsetzen, kommen automatisch auch die
korrekten Basiseinheiten heraus - Sie brauchen es nicht mehr extra nachzurechnen.
Was müssen Sie sich unbedingt wieder abgewöhnen?
Die in der Schule üblicherweise antrainierte „was-ist-gegeben-was-ist-gesucht“Technik, bei der es nur darauf ankommt, die „richtige Formel“ zu finden und
einzusetzen. Wenn Sie sich von diesem Schema nicht lösen können, werden Sie
scheitern.
Wie gehen Sie zur Problemlösung vor?
Sie müssen sich zuerst den Vorgang veranschaulichen, ein Gedankenexperiment
durchführen. Dabei müssen Sie erkennen, welche Größen Einfluss auf das
Geschehen nehmen.
Dann gehen Sie von den (nach dieser Vorlesung) bekannten, zum Problem
passenden Formeln aus und formen diese so um, dass Sie die gesuchte Größe
erhalten.
Wie sollten Sie rechnen?
Rechnen Sie so viel wie möglich mit Formeln und so wenig wie möglich mit
Zahlen. Entwickeln Sie die Formeln bis zu der Form, die das Endergebnis liefert.
Bei der Angabe des Endergebnisses können Sie dagegen unbedenklich in gängige
Einheiten umrechnen, z.B. cm, mm, ...
Tabelle der Vorsilben
pico (Abkürzung p)
nano (Abkürzung n)
mikro (Abkürzung )
milli (Abkürzung m)
kilo (Abkürzung k)
mega (Abkürzung M)
giga (Abkürzung G)
tera (Abkürzung T)
10-12
10-9
10-6
10-3
103
106
109
1012
Wie genau soll man Ergebnisse angeben?
Geben Sie alle Ergebnisse zu den hier gestellten Aufgaben oder in der Klausur
mit 3 signifikanten Stellen an, wenn Sie nicht zur Angabe mit einer anderen
Genauigkeit aufgefordert werden, z.B.:
3,14 m/s
12,3°
400 Hz
633∙10-9 m
1
Die grundlegenden Formeln der Mechanik zur Kinematik und Energie werden
als bekanntes Schulwissen vorausgesetzt!
Was besagt der Energiesatz?
Energie kann nicht erzeugt oder vernichtet, sondern nur von einer Energieform in
eine andere umgewandelt werden.
Dazu die folgenden Beispiele:
Wie groß ist die kinetische Energie einer bewegten Masse m?
1
W kin  m v 2
2
Wie ist die mittlere Geschwindigkeit definiert?
Koordinatenänderung pro Zeit, also
s
v
t
Wie lauten die Definitionen von Geschwindigkeit und Beschleunigung
a) formal, b) anschaulich?
ds
dv
, a
a) v 
dt
dt
b) Geschwindigkeit gibt an, wie schnell sich die Koordinate ändert,
Beschleunigung gibt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert.
Wie groß ist die Hubarbeit und damit die potentielle Energie einer Masse m im
Schwerefeld der Erde?
W pot  m  g  h , dabei ist h die Hubhöhe.
Aufgabe 1 Ein Eisklumpen fällt aus 10 000 m Höhe aus der Bordtoilette eines
Linienflugzeugs. Mit welcher Geschwindigkeit würde er ein Dach durchschlagen,
wenn man die Luftreibung vernachlässigen könnte?
{443 m/s}
Aufgabe 2 Wie schnell muss ein Ball mindestens sein, der in ein Fenster in 10 m
Höhe fliegen soll?
{14,0 m/s}
Formeln zur beschleunigten Bewegung:
=
,
=
2
für s0 = 0 und v0 = 0
Aufgabe 3 Wie schnell muss ein Ball mindestens sein, wenn er unter einem
Winkel von 45° zur Erdoberfläche geworfen wird und in ein Fenster in 10 m Höhe
fliegen soll?
{19,8 m/s}
²
Welche Beschleunigung besitzen frei fallende Körper?
Die „Fallbeschleunigung“ ist für alle Körper dieselbe und beträgt
g = 9,81 m/s2 .
Wie ist die Kraft F definiert?
Kraft ist über die Beschleunigung definiert: man braucht umso mehr Kraft, je
stärker man beschleunigt und je schwerer der zu beschleunigende Körper ist:


F  m  a ; Einheit der Kraft: 1 N = 1 kg·m/s2
Aufgabe 4 Wie lange brauchte der Eisklumpen, der aus 10 000 m Höhe
herunterfällt, bis er unten ist, wenn man die Luftreibung vernachlässigen könnte?
{45,2 s}
Mit welcher Kraft zieht die Erde an einem Körper der Masse m?
Die Gewichtskraft beträgt m · g.
Wie ist die Arbeit definiert?
Wenn ein Körper mit der Kraft F eine Wegstrecke s entlang geschoben wird,
verrichtet man an ihm die Arbeit W = F · s .
Einheit der Arbeit / Energie ?
1 J = 1 Joule = 1 Nm = 1 kg · m2 / s2
2
Wellenausbreitung
a) direkt unter der Decke?
b) auf halber Länge?
Wie hängen Frequenz f, Geschwindigkeit c und Wellenlänge  miteinander
zusammen?
c  f
Aufgabe 6 Welche Frequenz hat das a‘ einer Querflöte bei einer Temperatur von
28°C, wenn es bei kalter Flöte (20°C) 440 Hz hatte?
{446 Hz}
Aufgabe 1 Welche Frequenz hat eine Lichtwelle der Wellenlänge 590 nm, wenn
die Lichtgeschwindigkeit c = 300 000 km/s beträgt?
{51014 Hz}
Aufgabe 7 Ein Bungee - Seil (10 m lang, m = 10 kg, D = 125 N/m) wird auf 30 m
gedehnt. Wie schnell ist jetzt auf ihm
a) eine Longitudinalwelle
{106 m/s}
b) eine Transversalwelle?
{86,6 m/s}
Wie groß ist die Schallgeschwindigkeit in Luft?
T
Es gilt: c  331,5 
m/s. Dabei ist T die Raumtemperatur (in Kelvin!!) und T0
T0
die Bezugstemperatur von T0 = 273 K.
Aufgabe 2 Die meisten Orgelpfeifen sind halb so lang, wie die Wellenlänge der
Schallwelle, die sie erzeugen, also L   / 2 . Eine Orgelpfeife von „acht Fuß“
Länge erzeugt bei 23°C einen Ton von 65,4 Hz. Wie lang ist demnach ein Fuß?
{33 cm, dies ist nicht der aktuell
noch verwendete „englische Fuß“ von 30,48 cm, sondern irgendein historischer}
Wie schnell breiten sich Transversalwellen auf einem Seil aus?
F L
F
; dabei bedeuten:
c

m
 A
F = Spannkraft, L = Länge und m = Masse des Seiles, A seine
Querschnittsfläche und  seine Dichte.
Aufgabe 3 Wenn man an einem 10 m langen und 2 kg schweren Seil mit 200 N
zieht und ein Ende zusätzlich mit 10 Hz hin- und herbewegt, welche Wellenlänge
hat dann die entstehende Welle?
{3,16 m}
Welche Geschwindigkeit haben Longitudinalwellen in einer Schraubenfeder?
D
Es gilt: c  L
.
m
Aufgabe 4 Wie lange braucht ein Schallimpuls, um von einem Ende einer
Schraubenfeder bis zum anderen zu gelangen? Daten: m = 250 g, D = 100 N/m.
{50 ms}
Aufgabe 5 Ein 2,5 m langes Seil hängt von der Decke.
Wie groß ist die Geschwindigkeit einer Transversalwelle
{4,95 m/s}
{3,5 m/s}
Aufgabe 8 In einem See schlägt ein Blitz ein. Der Knall breitet sich sowohl im
Wasser (c = 1500 m/s) als auch in der Luft (T = 30°C) aus.
Wie viel eher trifft der Schall, der im Wasser läuft, am 1 km entfernten Ufer ein als
der Luftschall?
{2,20 s}
Licht bewegt sich im Vakuum mit der Lichtgeschwindigkeit = 3 ∙ 10
/ .
In transparenten Medien vermindert sich seine Geschwindigkeit um den Faktor
1/n. n ist die Brechzahl des Mediums.
Licht, das durch eine Glasfaser geführt wird, bewegt sich zum Teil auch außerhalb
des Kerns der Faser (s. Bild). In Krümmungen muss daher das geführte Licht auf
der Außenseite schneller laufen als im Faserkern. Die maximale Geschwindigkeit
ist jedoch die Vakuumlichtgeschwindigkeit. Anteile des Lichts, die so weit
außerhalb des Faserkerns geführt werden, dass sie schneller laufen müssten,
werden abgestrahlt.
Aufgabe 9 Wie groß ist der Maximalabstand A des geführten Lichts von der
Fasermitte? R = 200 mm, nk = 1,5, nm = 1?
{100 mm}
Reale Fasern
bestehen
mindestens aus
einem Kern und
einem Mantel
aus Glas,
mit der höchsten
Brechzahl im
Kern.
3
Stehende Wellen
Welche Besonderheiten haben stehende Schallwellen?
Wann entsteht eine stehende Welle?
Wenn sich Wellen gleicher Frequenz begegnen und überlagern.
Wie sieht eine stehende Welle aus?
Wenn beide Wellen die gleiche Amplitude haben, löschen sie sich an bestimmten
Orten permanent aus. Diese Stellen heißen „Knoten“. Sie sind in regelmäßigen
Abständen von /2 angeordnet. Dazwischen liegen die „Bäuche“. Ein
Schwingungsbauch ist daher eine halbe Wellenlänge lang - von einem Knoten bis
zum nächsten:
Bild einer stehenden Transversalwelle:
maximale Auslenkungen nach beiden Seiten sind eingezeichnet.
Schallwellen kann man durch zwei Wellenphänomene beschreiben: die Bewegung
der Moleküle resultiert in einer stehenden Welle sˆ( x ) , die auf reflektierenden
Flächen immer Knoten hat. Man kann sie aber auch durch eine Druckwelle pˆ (x )
beschreiben, die gegenüber sˆ( x ) um /4 verschoben ist. Die eine Welle hat gerade
dort ihre Knoten, wo die andere ihre Bäuche hat und umgekehrt.
Welche Randbedingungen gelten für die Druckwelle des Schalls in Rohren?
Am offenen Rohrende ist immer ein Druckknoten, am geschlossenen ein
Druckbauch.
Aufgabe 4
Aufgabe 1 Vor einer Wand bildet sich eine stehende Schallwelle aus mit
f = 4 kHz. c = 345 m/s. Wie weit sind die Knoten voneinander entfernt? {4,3 cm}
Zeichnen Sie in die nebenstehend abgebildeten Rohre die
Druckwelle mit der größtmöglichen Wellenlänge ein und
berechnen Sie für L = 60 cm jeweils die zugehörige Frequenz
(c = 345 m/s).
{287,5 Hz; 287,5 Hz; 144 Hz}
Wann kann sich auf einem beidseitig eingespannten Seil eine stehende Welle
ausbilden?
Wenn die Frequenz so gewählt wird, dass in die Gesamtlänge gerade eine ganze
Anzahl von Bäuchen hineinpasst.
Aufgabe 2 Ein 2 m langes Seil (m = 1 kg) wird an beiden Enden festgehalten und
mit 200 N gespannt. Bei welchen Anregungsfrequenzen fn können sich stehende
Wellen ausbilden?
{n5 Hz}
Was haben Luftsäulen und Schraubenfedern gemeinsam?
Bezüglich der Wellenausbreitung sind es identische Systeme: beide sind elastisch
und haben eine Masse, die gleichmäßig über die Länge verteilt ist.
Aufgabe 3
Aufgabe 5 Die Luftsäule in einer Fahrradluftpumpe (L = 0,5 m,  = 2 cm) fühlt
sich wie eine Feder an, wenn man den Kolben hineindrückt. Welche Federkonstante hat sie? (Dichte der Luft: 1,26 kg/m3, Schallgeschwindigkeit: 345 m/s)
{94,2 N/m}
Eine stehende Welle auf einer 20 g schweren Schraubenfeder (Abb.) hat 6 Bäuche,
wenn sie mit 70 Hz angeregt wird. D = ?
{10,9 N/m}
Aufgabe 6 Auf welchen Frequenzen können die Luftsäulen in den Rohren der
Aufgabe 4 schwingen?
{n287,5 Hz; n287,5 Hz; (2n-1)144 Hz}
4
Aufgabe 7
Eine 50 g schwere Schraubenfeder
(D = 10 N/m) hängt frei von der Decke herab und schwingt auf und ab.
Mit welcher Frequenz? (Tipp: welche stehende Welle erkennen Sie?)
{3,54 Hz}
Wie ist die Zugfestigkeit  eines Drahtes definiert?
F
Es ist   max , dabei ist Fmax die Kraft, bei der der Draht zerreißt und A seine
A
Querschnittsfläche.
Wie viele Wellenlängen haben auf einer angezupften Saite Platz?
Eine halbe - ähnlich wie bei Orgelpfeifen.
Aufgabe 8
Auf welcher Frequenz schwingt diese Quarzplatte
(d = 0,5 mm, c = 5900 m/s)?
{5,9 MHz}
Wie groß sind die Knoten und Bäuche, wenn die reflektierte Welle eine kleinere
Amplitude hat, als die einlaufende Welle?
Dann gibt es keine „echten“ Knoten: an diesen Stellen bleibt eine Restamplitude
der Größe
pmin = pein - prefl ;
in den Bäuchen erreicht die stehende Welle die Amplitude
pmax = pein + prefl.
Aufgabe 9
Aufgabe 10 Bei welchem Ton reißt eine Klaviersaite aus Stahl? Daten: L = 36 cm,
 = 7,8 g/cm3,
 = 2,4109 N/m2 .
{770,4 Hz}
Aufgabe 11 Bei einer Laute fehlt eine Darmsaite, die einen Ton von 185 Hz
erzeugen soll. Die Nachbarsaite, die eine Oktave tiefer (halbe Frequenz) klingt, ist
noch vorhanden, aber aus einem anderen Material.
10 cm dieser Saite wiegen 0,2 g. Die schwingende Saitenlänge dieses Instrumentes
beträgt 63 cm.
Vereinfachend nehmen wir an, dass alle Saiten mit der gleichen Kraft gespannt
werden.
a) Wie hoch ist die Spannkraft der Saiten?
{27,2 N}
b) Wie dick muss - gleiche Spannkraft vorausgesetzt - die Ersatzsaite werden,
wenn Darm eine Dichte von 1,32 g/cm3 hat?
{0,69 mm}
Ein einseitig offenes Rohr ist am Ende mit einem schallabsorbierenden Material
verschlossen, das nur noch den Bruchteil r der einfallenden Schalldruckamplitude
reflektiert. Die Druckamplitude der stehenden Schallwelle im Rohr ist in den
Bäuchen doppelt so groß, wie in den Knoten. Welchen Reflexionsfaktor r hat das
Material?
{33,3%}
5
Interferenz
Was ist Interferenz?
Die Überlagerung von Wellen und die damit verbundenen Effekte der Verstärkung
und Auslöschung, z.B. stehende Wellen.
Was versteht man unter „Beugung“ des Lichtes?
Interferenzerscheinungen, bei denen ausgedehnte Lichtquellen beteiligt sind,
heißen „Beugungserscheinungen“ - streng genommen also alle. Das Muster aus
Maxima und Minima, das bei der Beugung entsteht, heißt „Beugungsfigur“.
In welchen Richtungen liegen die Maxima beim Doppelspalt?
Wo kann man im täglichen Leben Interferenz beobachten?
Wirft man zwei Steine gleichzeitig auf eine glatte Wasseroberfläche, kann man die
Interferenz der entstehenden Kreiswellen beobachten.
Welche Situation bildet den Ausgangspunkt aller Interferenzüberlegungen?
Offenbar ist hier der Gangunterschied s  g  sin  . Daher liegen die Maxima in
Richtungen relativ zur (gestrichelt gezeichneten) “optischen Achse” , die durch die
“Beugungsformel”
n 
charakterisiert sind. Der Spaltabstand g heißt “Gitterkonstante”.
sin  
g
Zwei punktförmige Quellen Q1 und Q2 , senden im Gleichtakt („kohärent“)
kreisförmige Wellen aus. Diese überlagern sich im Punkt P. Dort verstärken sich
die Wellen, wenn der „Gangunterschied“ s ein ganzzahliges Vielfaches der
Wellenlänge ist; dann kommen sie nämlich dort im Gleichtakt an und erzeugen eine
(Interferenz-) „Maximum“, vgl. Abbildung: dort ist s   . Wenn in P ein Wellenberg von Q1 auf ein Wellental von Q2 trifft, löschen sie sich aus („Minimum“). Das
ist der Fall, wenn
s  ( 2n  1)   / 2 ist.
Aufgabe 1 Zwei Punktlichtquellen (g = 0,2 mm) erzeugen auf einem a = 2 m weit
entfernten Schirm Maxima, die d = 5 mm voneinander entfernt sind. Auf welcher
Wellenlänge strahlen die Quellen?
{500 nm}
Was ist ein „optisches Gitter“ ? Wo liegen die Maxima?
Ein Gitter ist ein N - fach - Spalt mit N > 2. Die Lage der Maxima ist die gleiche,
wie beim Doppelspalt - sie hängt nicht von der Anzahl der Spalte ab!
Wann ist eine Quelle „punktförmig“?
Wenn sie kleiner ist, als die Wellenlänge, die sie aussendet, beim Licht also kleiner
als etwa 1/2 m.
Wie stellt man punktförmige Lichtquellen her, die auch noch im Gleichtakt
senden?
Man stellt eine Maske mit punktförmigen Blenden in einen Lichtstrahl. Beispiel:
ein Doppelspalt blendet zwei punktförmige Quellen aus.
6
Wodurch unterscheidet sich die Beugung am Gitter von der am Doppelspalt?
Die Maxima sind schärfer ausgeprägt: die folgenden Abbildungen zeigen die
Intensitätsverteilung bei verschiedenen N:
N=2
Die Breite  der Maxima nimmt mit wachsender Anzahl N ab:

.
 
N  g  cos 
Dabei kommt  im Bogenmaß heraus! Übrigens: Ng ist gerade die Gitterbreite.
Wozu werden optische Gitter benutzt?
Um Licht in seine spektralen Bestandteile zu zerlegen.
N=4
N = 10
Was ist ein „Spektrum n-ter Ordnung“?
Analysiert man mit einem Gitter Licht aus einem Gemisch verschiedener
Wellenlängen, dann bezeichnet man die Gruppe der Beugungsmaxima mit einem
gemeinsamen Gangunterschied von n als Spektrum n-ter Ordnung.
Aufgabe 2 Die grüne Quecksilberlinie ( = 546 nm) wird mit einem ein 5 mm
breiten Gitter (g = 2m) untersucht. Berechne  und  für die ersten beiden
Beugungsordnungen.
{n = 1: 15,84°; 1,1410-4rad}
{n = 2: 33,09°; 1,310-4rad}
Unter welcher Bedingung kann man eng benachbarte Spektrallinien noch
getrennt wahrnehmen?
Sie müssen weiter auseinanderliegen, als sie breit sind, also  < (1 - 2) .
7
Wie viele Spalte muss ein Gitter haben, damit man damit noch zwei um 
voneinander entfernte Linien in erster Ordnung auflösen kann?
Da beide Linien ungefähr dieselbe Wellenlänge  haben, kann man einfach

schreiben: N 
.

Wie sieht das Beugungsbild aus, wenn ausgedehnte Quellen miteinander
interferieren?
Wenn Spalte endlicher Breite miteinander interferieren, wird die erreichbare
Intensität durch die Beugungsfunktion des Einzelspaltes begrenzt: diese bildet die
Einhüllende der Beugungsfigur. Als Beispiel hier die Beugungsfigur für vier
Spalte: g bleibt gleich, aber b ist verschieden groß.
Aufgabe 3 Wie viele Spalte braucht ein Gitter, um die Aufspaltung der D -Linie
des Natriums in erster Ordnung aufzulösen? (Daten: 1 = 589 nm,
2 = 589,6 nm)
{ca. 982}
Wie behandelt man ausgedehnte Lichtquellen?
Man setzt sie aus beliebig dicht angeordneten punktförmigen Quellen zusammen,
die alle kohärent schwingen.
Beugung an einem einzelnen Spalt
Wo liegt das erste Beugungsminimum beim Spalt?
Wenn b die Breite des Spaltes ist, gilt analog zur Beugungsformel am Doppelspalt
- jetzt aber für die Lage des Minimums :

sin   .
b
Aufgabe 4 Ein Spalt der Breite b = 0,1 mm erzeugt auf einem 3 m weit entfernten
Schirm eine Beugungsfigur. Wie breit ist das zentrale Maximum, d.h. wieweit sind
die beiden Minima erster Ordnung voneinander entfernt? ( = 632 nm)
{3,79 cm}
Wo liegt das erste Minimum bei einer kreisförmigen Blende mit dem Radius r?
0,61
Es gilt, analog zum Spalt: sin  
.
r
Aufgabe 5 Auf welchen Durchmesser geht ein 0,5 mm dicker Laserstrahl auf einer
Strecke von 100 m mindestens auseinander? ( = 632 nm)
{30,8 cm}
Aufgabe 6 Welchen Durchmesser darf ein Loch haben, damit das an ihm gebeugte
Licht ( = 590 nm) den gesamten Halbraum hinter dem Loch ausleuchtet?
{0,72 m}
8
Aufgabe 7 Bei einem Doppelspalt ist g = 0,6 mm und b = 0,12 mm. Das wievielte
Maximum der Doppelspalt - Beugungsfigur fällt auf das erste Minimum der
Einhüllenden und wird daher ausgelöscht?
{das Maximum fünfter Ordnung}
Aufgabe 8 Ein Gitter soll das Glühspektrum von 400 nm bis 750 nm auf einen
Winkel von 20° auffächern. Welche Gitterkonstante wird benötigt?
(Tipp: Additionstheorem anwenden)
{1,16 m}
9
Dopplereffekt
Wie kommt der Dopplereffekt bei bewegter Schallquelle zustande?
Eine Schallquelle schwingt mit der Frequenz f0 und bewegt sich dabei mit der
Geschwindigkeit v. Dabei schiebt sie die Welle in Bewegungsrichtung
cv
zieharmonikaförmig zusammen: die Wellenlänge schrumpft von 0 auf  0
c
zusammen. Ein Beobachter, an dem diese Welle vorbeikommt, hört die Frequenz
c
f  f0
.
c v
Bewegt sich die Quelle vom Beobachter weg, gilt entsprechend
c
f  f0
.
cv
Aufgabe 1 Ein hupendes Auto fährt an einem Anhalter vorbei. In dessen Ohren
hört es sich so an, als ob die Hupfrequenz während der Vorbeifahrt von 450 Hz auf
400 Hz zurückgeht. (c = 345 m/s)
a) Wie schnell ist das Auto?
{20,29 m/s}
b) Welche Frequenz f0 hat die Hupe?
{423,5 Hz}
Was passiert, wenn sich die Quelle mit Schallgeschwindigkeit oder noch
schneller bewegt?
Gemäß der obigen Formel geht zunächst die in Bewegungsrichtung abgestrahlte
Frequenz gegen unendlich. Beim „Durchbrechen der Schallmauer“ bildet sich ein
„Überschallkegel“ aus
mit dem Öffnungswinkel  , den man aus der „Machzahl“
v
M 
errechnen kann:
c
sin
 c
1
 
.
2 v M
Wie erklärt man den Dopplereffekt bei bewegtem Beobachter?
Der Beobachter läuft z.B. mit v der Schallquelle entgegen. Die Schallwelle hat
dann relativ zu seinen Ohren die Geschwindigkeit (v + c), entsprechend höher ist
die Frequenz die er hört:
cv
cv
f  f0
, wenn er von der Quelle wegläuft entsprechend: f  f0
.
c
c
Aufgabe 3 Ein Motorradfahrer rast an einer Disco vorbei. Scheinbar geht die
Musik dabei um einen Ganzton (Frequenzfaktor 1,122) herunter. Wie schnell ist
der Fahrer? (c = 345 m/s)
{19,8 m/s}
Wie behandelt man den Dopplereffekt, wenn beide Ursachen eine Rolle spielen?
Man führt in Gedanken Zwischenbeobachter ein und zerlegt so das Problem in
Teilprobleme.
Aufgabe 4 Harry Potter fliegt auf seinem broomstick mit 80 km/h auf eine
Orgelpfeife zu, die ihm mit 180 km/h entgegen kommt und einen Pfeifton von
5000 Hz aussendet. Welche Frequenz hört Harry? (c = 345 m/s)
{6224 Hz}
Wie lautet die Beziehung für den Dopplereffekt beim Licht im Vakuum?
Beim Licht ist es egal, ob sich Quelle oder Beobachter bewegen. Bei Annäherung
gilt:
cv
, bei Entfernung ist v negativ zu nehmen.
f  f0
c v
Aufgabe 5 Wie schnell muss man auf eine rote Ampel ( = 630 nm) zufahren,
damit sie grün aussieht? ( = 576 nm)
{2,68107 m/s}
Aufgabe 6 Ein Krankenwagen fährt mit Tatü - tata auf den Eingang von Mc
Donalds zu. Der Fahrer hört die Frequenz der Hupe (400 Hz) und das Echo von der
Fassade (430 Hz). Wie schnell ist der Krankenwagen? (c = 345 m/s)
{44,9 km/h}
Aufgabe 7 Ein Gangster fällt mit einem Schrei (f0 = 400 Hz , konstant) von einer
Klippe. Für den oben stehenden Verfolger bricht der Schrei bei 320 Hz ab. Wie tief
ist die Klippe? (c = 345 m/s)
{379 m}
Aufgabe 2 Welchen Durchmesser hat der Überschallkegel einer mit Mach 3
fliegenden Rakete 10 km hinter der Rakete?
{7071 m}
10
Aufgabe 8 Eine Große Hufeisennase (Rhinolophus ferrum - equinum) fliegt auf
eine Wand zu. Alle 0,1 s sendet sie einen kurzen Ultraschallimpuls von 150 kHz
aus. Nach 50 ms hört sie das Echo mit 180 kHz zurückkommen. (c = 345 m/s)
a) Wie schnell fliegt sie?
{31,36 m/s}
b) Wieviel Meter ist sie noch von der Wand weg, wenn sie das Echo hört?
{7,84 m}
Aufgabe 9 Ein Überschalljäger überfliegt mit
Mach 3 eine alte Kirche. Fünf Sekunden später erschüttert der Überschallknall das
alte Gewölbe. Wie hoch war der Flieger? (c = 345 m/s)
{1829 m}
Aufgabe 10 Wie viele Spalte muss ein Gitter haben, damit man damit noch eine
Rotverschiebung der gelben Natriumlinie (589 nm) in erster Ordnung auflösen
kann, wenn sich die Quelle mit 10 km/s bewegt?
{ca. 30 000}
Aufgabe 11 Eine Felskugel rollt auf einen gewissen Mr. Jones zu. Dessen Schrei
(400 Hz) wird von der Kugel mit 420 Hz reflektiert.
Wie schnell ist die Kugel?
(c = 345 m/s)
{8,41 m/s}
Aufgabe 12 Zwei baugleiche BMW rasen in einer vollgeparkten Straße
aufeinander zu. Jeder Fahrer versucht, sein Gegenüber durch möglichst hohe
Geschwindigkeit und wildes Dauerhupen zum Ausweichen zu nötigen.
Fahrer A liest auf seinem Tachometer 70 km/h ab und hört die Hupe des anderen
eine Terz höher (Faktor 1,189) als seine eigene.
Wie schnell fährt Fahrer B ? (c = 345 m/s)
{ 138,6 km/h}
Aufgabe 13 Wenn die Filmszene aus Aufgabe 7 physikalisch korrekt
synchronisiert werden soll, in welcher Zeit muss dann der Synchronsprecher den
Schrei um einen Halbton (Frequenzverhältnis 1 : 1,059) absinken lassen?
(c = 340 m/s)
{2,045 s}
Aufgabe 14 Das Licht eines Kometen wird mit einem Gitter von
1000 Spalten/mm analysiert. Man findet die Sauerstofflinie (unter Laborbedingungen:  = 687 nm) auf einem 2 m vom Gitter entfernten Schirm um 0,2 mm zur
optischen Achse hin verschoben.
a) Bewegt sich der Komet auf die Erde zu oder von ihr weg?
{raten Sie mal!}
b) Mit welcher Geschwindigkeit?
{16,75 km/s}
11
Welche Definition von L ist besser zu gebrauchen?
Schallpegel
Was versteht man unter „Schalldruck“ ?
Die winzigen Druckschwankungen um den Mittelwert
pL (Luftdruck) herum heißen Schalldruck; p̂ heißt
Schalldruckamplitude.
Warum gibt man die Lautstärke nicht einfach als Schalldruckamplitude an?
Weil das Ohr als Schalldrucksensor eine Dynamik von sechs Größenordnungen
besitzt, d.h. der größte noch ohne Schmerzen hörbare Schalldruck ist 106 mal so
groß, wie der kleinste („Hörschwelle“). Stattdessen definiert man den
„Schallpegel“ , der zum Logarithmus des Schalldrucks proportional ist.
Wie ist der Schallpegel definiert? Einheit?
Bezeichnet man die Schalldruckamplitude an der Hörschwelle mit pˆ 0  2,8  10 5
Pa , dann ist der Schallpegel L definiert als:
pˆ
L  20  lg
pˆ 0
I
, dabei ist I die Schallintensität und
I0
I0 = 10-12 W/m2 die Schallintensität bei der Hörschwelle.
L  10  lg
Was ist „Schallintensität“ ?
Die Schallintensität I an einem Ort gibt an, wieviel Schallenergie pro Zeit - und
Flächeneinheit dort auftrifft. Die Einheit von I ist daher W/m2.
Wie kann man die Schallintensität einer punktförmigen Schallquelle
berechnen?
Eine punktförmige Schallquelle, die die Schalleistung P (Einheit: Watt)
gleichmäßig in alle Richtungen des Raumes abstrahlt, führt im Abstand r zu einer
Schallintensität von
P
I
4r 2
Aufgabe 2 Wie groß ist im Abstand von 10 m vor einer 1 W starken Schallquelle
a) die Schallintensität
{7,9610-4 W/m2}
b) der Schallpegel
{89 dB}
c) Wie ändert sich der Pegel, wenn die Schallquelle an einer ideal reflektierenden
Wand befestigt ist?
{92 dB}
lg ist dabei der Zehnerlogarithmus (auf dem Taschenrechner meist „log“). Da L
eine reine Zahl ist, wird eine symbolische Einheit genommen, das „Dezibel“ (dB).
Wie werden Schallintensitäten verschiedener Schallquellen überlagert?
Indem man sie einfach addiert! Nur wenn Interferenzphänomene auftreten
(stehende Wellen etc.) wird es komplizierter.
Der kleinste wahrnehmbare Unterschied zwischen zwei Schallpegeln liegt bei etwa
1 dB.
Aufgabe 3 Eine Geige verursacht am Ohr des Dirigenten einen Schallpegel von
50 dB. Welchen Schallpegel erzeugt dort ein Geigenduett?
{53 dB}
Aufgabe 1 Welche Schalldruckamplitude entspricht einem Schallpegel von 130
dB (Schmerzgrenze)?
{88,54 Pa}
Wie wird der Frequenzgang des Ohres bei der Berechnung der Lautstärke
berücksichtigt?
Man misst einen „bewerteten“ Schallpegel: das Messmikrofon wird an ein
elektronisches Filter mit dem gleichen Frequenzgang, wie das menschliche Ohr
angeschlossen. Nur das durchgelassene Signal trägt zum Schallpegel bei. Die so
erhaltenen Schallpegel werden durch den Kennbuchstaben des Filters
gekennzeichnet. Am häufigsten kommt das Filter A vor; die hiermit gemessenen
Pegel werden in dB(A) angegeben.
Warum ist die obige Definition des Schallpegels ziemlich unbrauchbar?
Weil man damit die Überlagerung von Schallquellen nicht vernünftig beschreiben
kann: die resultierende Schalldruckamplitude kann man nämlich nur dann durch
Summation der einzelnen Schalldruckamplituden berechnen, wenn alle Quellen
kohärent schwingen - das ist aber in der Praxis nie der Fall.
Gerechnet wird mit bewerteten Pegeln genauso, wie mit unbewerteten. An den
Formeln ändert sich also nichts.
12
Aufgabe 4 Ein Kirchenchor tönt mit 15 Sängern.
Auf wie viele Sänger gleichen Kalibers müsste man ihn aufstocken, damit er 10 dB
lauter wird?
{150}
Was besagt die Aufschrift „Schalldämmung 25 dB“ auf einem Ohrschützer?
Dass er den Lärm um 25 dB vermindert; von z.B. 85 dB Lärm kommen dann noch
60 dB im Ohr an.
Aufgabe 5 Welche Schalldämmung braucht der Ohrschützer eines Popstars, damit
der Lärm von 500 kreischenden Teenies à 75 dB auf insgesamt 65 dB vermindert
wird?
{37 dB}
Aufgabe 6 Ein Verkehrsflugzeug in 100 m Höhe erzeugt am Boden einen
Schallpegel von 90 dB(A).
Wie hoch muss es fliegen, damit am Boden nur noch 60 dB(A) ankommen?
{3,16 km}
Aufgabe 7 50m vom Maul eines Marktschreiers entfernt beträgt dessen
Schallpegel 60 dB. Wie hoch ist der Schallpegel 1 m vor seinem Gebiss? {94 dB}
Aufgabe 8 Der Weckpegel beträgt 65 dB. Bei wieviel schnarchenden Studenten
wird er erreicht, wenn jeder mit 50 dB schnarcht?
{32}
Aufgabe 9 Zwei Rauschquellen werden überlagert: eine von 30 dB und eine von
50 dB. Resultierender Schallpegel?
{50,043 dB}
Welche Pegelunterschiede können wir noch wahrnehmen?
Pegel, die sich um weniger als 1 dB unterscheiden, werden gleich laut
wahrgenommen.
Was folgt daraus für die Pegelsummation?
Wenn beim Zusammenfassen von Pegeln durch Aufaddieren der Intensitäten ein
oder mehrere Pegel mehr als 10 dB unterhalb des lautesten Pegels liegen, kann
man sie bei der Summation einfach weglassen – das nennt man Maskierung.
13
Aufgabe 2
Brechungsgesetz
Was versteht man unter der „Brechzahl“ n eines transparenten Materials?
n ist das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c0 zur
c
Lichtgeschwindigkeit c im betreffenden Material: n  0 .
c
Typische Werte: Luft 1
Glas 1,53
Wasser 1,33.
Ein Schwimmmeister (Augenhöhe 2 m) steht 2m vor
dem Rand eines 2m tiefen Schwimmbeckens. Wie weit
kann er nach dem Befüllen des Beckens „um die Ecke“
sehen?
{74,5 cm}
?
Aufgabe 3
Mit welchem seitlichen Versatz  verlässt ein
Lichtstrahl eine planparallele Platte der Dicke
d = 2cm, wenn sein Einfallswinkel 45° beträgt?
{6,77 mm}
Wie lautet das Brechungsgesetz?
Εin Lichtstrahl erfährt an der Grenzfläche zwischen
zwei Materialien mit verschiedenem n einen Knick.
Dabei ist
sin 1 n 2

sin 2 n 1
Alle Winkel werden immer in Bezug auf das Lot
(= Linie senkrecht zur Grenzfläche)
gemessen.
Was ist ein „Einfallswinkel“, was ein „Brechungswinkel“?
Wenn der Lichtstrahl wie in der Abbildung von oben kommt, ist 1 der
Einfallswinkel und 2 der Brechungswinkel, kommt er von unten, ist es umgekehrt.
Welche Strahlen existieren tatsächlich bei einer Anordnung wie in Aufgabe 3?
An einer Grenzfläche
wird immer ein Teil
der einfallenden
Strahlung reflektiert.
Was ist „Totalreflexion“?
Wenn ein Lichtstrahl so auf die Grenzfläche zu einem optisch dünneren Material
trifft, dass laut Brechungsgesetz der Sinus des Brechungswinkels größer als eins
werden müsste, gibt es keinen gebrochenen Strahl mehr; das gesamte Licht wird
dann an der Grenzfläche reflektiert.
Aufgabe 1
?
Unter welchem Winkel muss ein Lichtstrahl eine Glasplatte
verlassen, damit er nach dem Austritt die Oberfläche streift
(„Grenzwinkel der Totalreflexion“) ?
{40,81°}
Tatsächlich ist die Leistung in dem Strahl parallel zur
Grenzfläche gleich null.
Der Anteil der
reflektierten Strahlung
ist am geringsten bei senkrechtem Einfall und geht, falls Totalreflexion auftritt, bei
Annäherung an den Grenzwinkel der Totalreflexion, gegen 100%.
14
Glasfasern für die optische Nachrichtentechnik funktionieren durch Totalreflexion.
Die reflektierende Fläche befindet sich dabei
im Inneren der Faser, um Verluste durch
Verunreinigungen an der Grenzfläche zu
vermeiden.
Aufgabe 7
Ein Sportfischer probiert sein nagelneues Harpunengewehr aus. Wenn der Fisch h = 1m unter
der Wasseroberfläche schwimmt, wie weit
(x = ?) schießt er dann vorbei? (n = 1,33)
{0,371 m}
Aufgabe 4
Welche scheinbare Tiefe h besitzt ein H = 1 m tiefes Aquarium,
wenn man unter einem Einfallswinkel von 5° auf die
Wasseroberfläche sieht?
{0,7506 m}
Aufgabe 5
Ein Lichtstrahl geht symmetrisch durch ein Prisma (n , ) .
Zeige: er wird dabei um den Winkel


  2  arcsin  n  sin    abgelenkt.
2

Aufgabe 6 Der Grenzwinkel der Totalreflexion an der Grenzfläche Wasser Diamant beträgt 33,3°. Wasser hat die Brechzahl 1,33.
Welche Brechzahl hat Diamant?
{2,42}
15
Linsen und Abbildungsgleichungen
Durch welche physikalische Eigenschaft ist eine Sammellinse vollständig
charakterisiert?
Parallele Lichtstrahlen, die auf die Linse fallen, gehen dahinter durch einen
gemeinsamen Punkt, den „Brennpunkt“ der Linse.
Durch welche Konstruktion ersetzt man in der Optik die Brechung des Lichtes
an den gewölbten Linsenoberflächen?
Welche Vorzeichenregelung gilt für alle gerichteten optischen Strecken?
Dieselbe, wie für ein kartesisches Koordinatensystem:
Was nach rechts oder nach oben zeigt, ist positiv;
was nach links oder nach unten zeigt, ist negativ.
Die gerichtete Strecke AB geht vom Punkt A zum Punkt B;
entsprechend ist AB   BA .
Was ist ein Abbildungsmaßstab?
Der Abbildungsmaßstab ‘ gibt den Vergrößerungsfaktor der Abbildung an:
y'
. Wenn ‘ negativ ist, steht das Bild auf dem Kopf.
' 
y
Welche Gleichungen beschreiben den Zusammenhang zwischen den Strecken
bei der optischen Abbildung?
Die „Abbildungsgleichungen“: Von den fünf Unbekannten müssen drei gegeben
sein; die restlichen beiden findet man dann mit den Abbildungsgleichungen:
1
1 1
a' y'
 
;

f ' a' a
a
y
Aufgabe 1 Eine Sammellinse hat eine Brennweite von f‘ = 100 mm. In welcher
Entfernung von der Linse muss man das Objekt aufstellen, damit das Bild genauso
groß ist (also ‘ = –1) ?
{a = –200 mm}
Durch zwei Hauptebenen H und H‘ und die zugehörigen Brennpunkte F und F ' .
Konvention: das Licht kommt immer von links.
Lichtstrahlen, die links von der Linse zur optischen Achse parallel laufen, werden
an H‘ gebrochen und verlassen die Linse auf Geraden, die durch F‘ gehen.
Lichtstrahlen, die links von der Linse auf einer Geraden durch F verlaufen,
werden an H gebrochen und verlassen die Linse achsparallel. Zwischen den
Hauptebenen laufen alle Lichtstrahlen parallel
Welche gerichteten Strecken werden bei der Beschreibung der Abbildung durch
optische Systeme benutzt?
Objektentfernung a
Bildabstand a‘
Objektgröße y
Bildgröße y‘
Bildbrennweite f‘
Objektbrennweite f
Aufgabe 2 Konstruiere zunächst und berechne danach Bildgröße und Bildabstand
für einen 2 cm hohen Pfeil, der von einer Sammellinse abgebildet wird. Daten:
a  3f , f '  2 cm, HH '  1 cm .
{y‘ = –10 mm, a‘ = 30 mm}
Aufgabe 3 Die Sonne hat einen Durchmesser von 1,4109 m und ist von der Erde
1,51011 m weit weg. Welchen Durchmesser hat das Sonnenbild eines Brennglases
mit f‘ = 70 mm?
{0,653 mm}
Aufgabe 4 Ein Dia ist 36 mm breit. Wenn man es auf eine Breite von 1,5m
projizieren will und die Leinwand vom Objektiv des Projektors 3 m weit entfernt
ist, welche Brennweite muß dann das Objektiv haben?
{70,3 mm}
Aufgabe 5 Erst rechnen, dann zeichnen: gegeben sei eine Sammellinse mit
f‘ = 50 mm, a = –30 mm, y = 10 mm.
{a‘ = –75 mm; y‘ = 25 mm}
16
Aufgabe 6 Ein Fotoapparat (f‘ = 50 mm) ist auf ein Objekt in 5m Entfernung
scharf eingestellt. Der Film ist 36 mm breit. Wie breit darf das Objekt sein?
{3,564 m}
Aufgabe 7 Die Entfernungseinstellung eines Fotoapparates mit 50 - mm - Objektiv
(gemeint ist die Brennweite!) wird von 0,3m auf unendlich gestellt. Um wie viele
mm wird dabei das Objektiv in das Gehäuse geschoben?
{10 mm}
Aufgabe 8 Eine Linse (f‘ = 5mm) bildet ein
0,05 mm dickes Haar ab, das sich in der Objektentfernung a  1,05  f befindet.
Berechne a‘ und y‘ !
{105 mm; –1 mm }
Aufgabe 9 Beweise die folgende Faustregel für Sammellinsen: wenn ein
Gegenstand 1/x - tel Brennweite links von F steht, dann liegt das Bild x
Brennweiten hinter F‘ und ist x fach vergrößert.
17
Linsen
Wie kann man zu einer gegebenen Linse Brennweite und Hauptebenenlage
berechnen?
Eine Linse ist vollständig bestimmt durch Angabe
ihrer Brechzahl n,
ihrer Dicke d (das ist der Abstand zwischen den
Scheitelpunkten S1 und S2 , also d  S 1S 2 ) und
durch ihre Krümmungsradien r1 und r2 .
Aufgabe 2
Bei einer Plankonvexlinse sei
r1  70 mm , r2   mm. Zeigen Sie:
a) f ' 
r1
(n  1)
d
b) S 2 H ' 
n
Dann kann man zunächst einen Hilfsnenner N
berechnen:
N  (n  1)  d  n  (r2  r1 ); mit dessen Hilfe dann die Brennweite und den
Abstand der Hauptebenen von den Scheitelpunkten:
n r1r2
f '
(n  1)  N
r2 d
r d
S 1H  1 ; S 2 H ' 
N
N
Aufgabe 1 Bei einer Sammellinse sei n = 1,53,
r1 = 50 mm, r2 = –50 mm, d = 5mm. Berechnen Sie Brennweite und Lage der
Hauptebenen.
{48 mm; 1,66 mm}
Wo liegen Brennpunkte und Hauptebenen bei unsymmetrischen Linsen?
Wenn eine Linse beiderseits von Luft umgeben ist, gilt f   f ' , d.h. beide
Brennpunkte sind gleich weit von den zugehörigen Hauptebenen entfernt.
Bei Linsen mit zwei verschiedenen Krümmmungsradien liegen die Hauptebenen
allerdings unsymmetrisch:
Aufgabe 3
Bei einer Plankonvexlinse sei
r1   , r2  70 mm. Zeigen Sie:
r2
(n  1)
d
b) S 1H 
n
a) f ' 
Wie kann man sich die Verhältnisse bei Plankonvex/-kavlinsen einfach merken?
r
Die Brennweite ist f ' 
und die zur Planfläche gehörende Hauptebene hat
(n  1)
von dieser den Abstand d/n. Die andere Hauptebene liegt tangential an der
gewölbten Oberfläche an.
Aufgabe 4 Welche Brennweite hat eine Wasserkugel von 20 cm 
(Schusterkugel) ? Wo liegen die Brennpunkte? {201,5 mm; 10 cm außerhalb}
Aufgabe 5 Welche Brechzahl müsste eine Glasmurmel haben, damit der
Brennpunkt genau auf der Kugeloberfläche liegt?
{2}
18
Aufgabe 6 Welche Brennweite hat eine Meniskuslinse mit den Daten: r1 = 300
mm, r2 = 500 mm, d = 3 mm ?
Wo liegen die Hauptebenen? Skizze!
{1408 mm; –2,93mm; –4,88 mm}
Aufgabe 7
y
200 mm
?
y‘
Eine Meniskuslinse bildet ein Spielzeugkameraobjektiv. Ihr Krümmungsradien sind 15
mm und 30 mm, ihre Dicke 3 mm. 200 mm vor der Vorderfläche der Linse steht ein
Objekt (Abb.). Wie viele mm hinter der Linse steht das Bild?
{68,6mm}
19
Negativlinsen und Linsensysteme
Wie berechnet man Brennweite und Lage der Hauptebenen eines
Linsensystems?
Woran erkennt man eine „Negativlinse“?
Negativlinsen oder „Zerstreuungslinsen“ sind im Gegensatz zu Sammellinsen in
der Mitte dünner, als am Rand. Achsparallele Strahlen laufen hinter der Linse
auseinander. Brennpunkte und Hauptebenen liegen „über Kreuz“. Daher sieht die
Strahlengangkonstruktion so aus:
Zwei Linsen, gekennzeichnet durch ihre Brennweiten f1' und f 2' sowie durch die
Lage der Hauptebenen (s. Abb.), wirken wie eine einzige Linse der Brennweite
f '
Was ist ein „virtuelles Bild“?
Wenn die Lichtstrahlen, die von einem Punkt des Objektes ausgehen, hinter der
Linse auseinanderlaufen, als kämen sie von einem Bildpunkt her, spricht man von
einem virtuellen Bild. (Die „normalen“ Bilder heißen „reell“).
Negativlinsen erzeugen immer virtuelle Bilder, Sammellinsen können reelle und
virtuelle Bilder erzeugen.
Aufgabe 1 Wo liegen bei einer 3 mm dicken Bikonkavlinse (r1 = –50 mm, r2 = 50
mm) Brennpunkte und Hauptebenen?
{f‘ = –46,68 mm ; S 1H  0,97 mm}
Was ist eine Dioptrie?
Die Dioptrie (Formelzeichen D) ist das in der Augenoptik übliche Maß für die
1
„Brechkraft“ einer Linse und. Es gilt D  . Einheit: 1 dpt = 1 m-1.
f'
Aufgabe 2 Eine kugelförmige Blumenvase (Außen-  200 mm, Wandstärke
überall 5mm) ist zerdeppert. Wieviel Dioptrien hat eine der Scherben und wo
liegen ihre Hauptebenen?
{– 0,182 dpt; im Krümmungsmittelpunkt}
f1'  f 2'
f1'  f 2 ' e
; dabei ist e der Abstand der inneren Hauptebenen (s. Abb.).
Die Lage der Hauptebenen H und H‘ des Gesamtsystems orientiert sich an den
bekannten Hauptebenen H1 und H 2' :
ef '
 ef '
.
H 1H 
; H 2'H ' 
f2 '
f1 '
Aufgabe 3 Welche Brennweite hatte die Blumenvase aus Aufgabe 2 vor dem
Zerbrechen? Wo lagen ihre Hauptebenen? (Linsensystem!)
{–2742 mm; in der Mitte}
Aufgabe 4 Zeige: wenn e = 0 ist, addieren sich die Dioptrien der Einzellinsen
eines Systems zur resultierenden Brechkraft.
Aufgabe 5 Wenn man die Blumenvase aus Aufgabe 2 mit Wasser füllt, welche
Brennweite hat sie dann? Lage der Hauptebenen?
{205,8 mm}
In welchem Rahmen gelten die bisher benutzten Formeln der geometrischen
Optik?
Für „paraxiale“ Strahlen, d.h. nur für Lichtstrahlen, die in unmittelbarer Nähe der
optischen Achse und mit ihr so kleine Winkel  einschließen, dass man
sin    setzen kann - unter dieser Voraussetzung wurden die Formeln nämlich
hergeleitet.
20
Aufgabe 6
Ein Teleobjektiv besteht aus zwei Linsen mit jeweils 140
mm und –500 mm Brennweite (Abb.).
Abstand der gewölbten Flächen voneinander: 53 mm.
Beide Linsen sind 6 mm dick. Berechne Brennweite und
Lage der Hauptebenen des Gesamtsystems! Skizze!
{ f‘ = 169,5 mm}
Aufgabe 7 Ein zweilinsiges System besteht aus zwei dünnen ( HH '  0 )
Sammellinsen mit f1'  f 2'  e  2 cm. Gesamtbrennweite? Lage der Hauptebenen?
(Überraschung!) Skizze!
{2 cm}
21
Optische Instrumente
Welche Aufgabe haben optische Instrumente?
Sie sollen das Netzhautbild von Gegenständen vergrößern.
Aufgabe 2 Ein Insektensammler betrachtet eine Stinkwanze (y = 1 cm) aus 25 cm
Entfernung. Dann hält er sie in den Brennpunkt einer Lupe (f' = 50 mm).
Berechne die beiden Sehwinkel und die Vergrößerung der Lupe!
{0,04 rad; 0,2 rad; 5 - fach}
Welche physikalische Größe ist zur Größe des Netzhautbildes im Auge
proportional?
Wie funktioniert ein astronomisches Fernrohr?

Der „Sehwinkel“  , gemessen im Bogenmaß. Für kleine  kann man setzen:
  y /a .
Aufgabe 1 a) Unter welchem Sehwinkel erscheint die Sonne?
(Daten: Durchmesser 1,4109 m, Entfernung von der Erde 1,51011 m)
{9,310-3 rad}
b) Können Sie die Sonne jederzeit bei ausgestrecktem Arm mit Ihrem kleinen
Fingernagel abdecken?
{ja!}
Wie funktioniert eine Lupe?
Wenn ein Gegenstand sich innerhalb der Brennweite einer Sammellinse befindet,
sieht man durch die Linse ein virtuelles, aufrechtes, vergrößertes Bild des
Gegenstandes.
Unter welchem Sehwinkel erscheint ein Objekt, wenn es sich in der Brennebene
einer Lupe befindet?
y
 '
f Lupe
Wie ist die Vergrößerung  eines optischen Instrumentes definiert?
Als Verhältnis zweier Sehwinkel:

  mit Gerät
 ohne Gerät
Unter welchen Bedingungen erhält man die Normvergrößerung einer Lupe?
Sehwinkel ohne Lupe: Gegenstand in a S  25 cm Entfernung („deutliche
Objektiv
Okular
Das Objektiv erzeugt von dem Gegenstand y ein Zwischenbild yz , das durch
eine Lupe, das „Okular“, betrachtet wird.
Unter welchen Bedingungen erhält man die Normvergrößerung des
Fernrohres?
Sehwinkel ohne Fernrohr: Gegenstand unendlich weit weg;
Sehwinkel mit Fernrohr: Zwischenbild im Brennpunkt des Okulars, also virtuelles
Bild im Unendlichen. In diesem Fall gilt: F 
'
f ob
f ok'
'
Aufgabe 3 Ein Fernrohr ( f ob
 300 mm, f ok'  50 mm ) wird auf ein 5 m vom
Objektiv entferntes Gesicht (y = 300 mm) gerichtet und so eingestellt, dass das
virtuelle Bild im Unendlichen erscheint. Berechnen Sie
a) den Sehwinkel ohne Fernrohr (für a = –5m) und
den Sehwinkel mit Fernrohr
{0,06 rad; 0,383 rad}
b) die Vergrößerung des Fernrohres
{6,4 - fach}
Aufgabe 4 Wie muss man die Rechnung in Aufgabe 3 modifizieren, wenn das
Okular so eingestellt wird, dass das virtuelle Bild in 250 mm Entfernung erscheint?
{0,46 rad; 7,7 - fach}
Sehweite“); Gegenstand im Brennpunkt der Lupe, also Sehwinkel mit Lupe: !
22
Warum liefern optische Instrumente (das Auge eingeschlossen) keine beliebig
scharfen Bilder?
Weil das Licht an der Objektivöffnung ( beim Mikroskop auch am Objekt selbst)
gebeugt wird. Dadurch werden die Lichtstrahlen hinter der Linse aufgefächert und
an Stelle eines scharfen Bildpunktes erhält man ein „Beugungsscheibchen“ vom
Durchmesser . Der Bildpunkt erscheint auf einen
Aufgabe 7 Welchen Durchmesser muss ein Fernrohrobjektiv haben, damit es
200 m voneinander entfernte Krater auf dem Mond (Entfernung 384 000 km)
auflöst? ( = 590 nm)
{1,13 m}
b) Bei welcher Vergrößerung kann man diese Krater auch mit dem Auge
erkennen?
{1153 - fach}
Wie funktioniert ein Mikroskop?
Genauso, wie ein Fernrohr, nur dass sich das Objekt nahe an dem Objektiv
befindet und das Zwischenbild daher bereits vergrößert ist.
Sehwinkel  „auseinandergezogen“ oder „verschmiert“.
Damit zwei Objektpunkte im Bild nicht ineinanderschmieren, müssen sie von der
Linse aus unter einem größeren Sehwinkel als  erscheinen.
Daher begrenzt  das Auflösungsvermögen des optischen Instrumentes:
je kleiner  ist, umso schärfer ist das Bild.  heißt „Auflösungsgrenze“.
Welche Auflösungsgrenze  hat eine Sammellinse vom Durchmesser D?


D
Diese Beziehung gilt für Kameras, Fernrohre... und auch das menschliche Auge.
Welches Auflösungsvermögen hat das menschliche Auge?
Man setzt für „aufmerksames Sehen“ traditionell an:
 A  6  104 rad ,
für „angestrengtes Sehen“ die Hälfte davon.
In allen Übungsaufgaben wird „aufmerksames Sehen“ vorausgesetzt.
Unter welchen Bedingungen erhält man die Normvergrößerung eines
Mikroskops?
Sehwinkel ohne Mikroskop: Objekt in deutlicher Sehweite (25 cm).
Sehwinkel mit Mikroskop: virtuelles Bild im Unendlichen.
t a
Unter diesen Bedingungen gilt:   ' S' .
f ob f ok
'
Dabei ist t (die „optische Tubuslänge“) der Abstand zwischen Fob
und dem
'
'
Zwischenbild yz, also t  a ob
 f ob
.
Aufgabe 8 Welche Vergrößerung hat ein Supermikroskop mit
'
f ob
 2 mm, f ok'  5 mm und t = 160 mm?
{4000 - fach}
Wie beschreibt man das Auflösungsvermögen des Mikroskops?
Da hierbei auch die Beugung am Objekt eine Rolle spielt, gibt es eine
Sonderregelung: man gibt als Auflösungsgrenze den kleinsten Abstand  an, den
zwei Objektpunkte haben dürfen, damit man sie noch getrennt erkennen kann:

0
.
n  sin  m
Aufgabe 5 Welche Entfernung müssen zwei Punkte einer Grafik mindestens
haben, damit man sie bei aufmerksamem Sehen in einer Entfernung von 25 cm
noch getrennt erkennen kann? ( = 590 nm)
{0,15mm}
Aufgabe 6 Welchen Durchmesser muss die Blende einer Kamera haben, damit
man bei einem Objekt in 10 m Entfernung noch 1 mm auflösen kann?
( = 590 nm)
{5,9 mm}
Dabei ist m der halbe Sehwinkel, unter dem das Objekt die Objektivöffnung sieht
und 0 die Wellenlänge des Lichtes im Vakuum.
Den Nenner n sin m = N.A. bezeichnet man als „Numerische Apertur“.
23
Aufgabe 9 Ein Mikroskop hat eine Numerische Apertur von 1,5 , das benutzte
Licht eine Wellenlänge von 0 = 590 nm. Bei welcher Vergrößerung werden die
Bilder merklich unscharf, d.h. zwei gerade noch aufgelöste Objektpunkte
erscheinen dem Auge unter einem Sehwinkel von mehr als 610-4 rad ?
(Tipps: erst  berechnen; unter welchem Sehwinkel erscheint  in deutlicher
Sehweite?)
{381 - fach}
Aufgabe 10
a'
Ein Mikroskopobjektiv besteht aus einer gläsernen Halbkugel ( r = 1mm , n = 1,53) in
Luft; a‘ = 160 mm. Es wird grünes Licht benutzt ( = 576 nm).
Berechne die Auflösungsgrenze  !
{0,925 m}
Aufgabe 11 Ein Pfadfinder puhlt ein Loch in ein Blatt und haltert darin einen
2 -mm - Wassertropfen, um ihn als Lupe zu benutzen.
a) Welche Normvergrößerung hat diese Lupe?
{124 - fach}
b) Welches Auflösungsvermögen bei 590 nm ?
{ca. 310-4 rad}
Aufgabe 12 Leiten Sie die Formel für die Normvergrößerung des Mikroskops her.
(Wenn Sie Zahlenwerte brauchen, nehmen Sie y = 1 mm ,
'
f ob
 5 mm, f ok'  20 mm, a '  160 mm. Es kommt dann  = 387,5 heraus}
Aufgabe 13 Welche Vergrößerung hat eine gläserne Halbkugel (n = 1,53) , die als
Lupe mit der Planseite auf einer Zeitung liegt?
{1,53}
Aufgabe 14 Die Ziffern einer Digitaluhr sind 5 mm hoch. Jemand sitzt 5 m davor.
Zeigen Sie: wenn er 45 mm vor dem Zählwerk eine Lupe mit f‘ = 50 mm platziert,
sieht er die Ziffern um den Faktor 9,25 vergrößert.
Aufgabe 16 Ein Fernrohr hat einen Objektivdurchmesser von 6 cm und ein
Gelbfilter für  = 590 nm. Bei welcher Vergrößerung liefert es gerade noch scharfe
Bilder (A = 610-4 rad annehmen)?
{61- fach}
Aufgabe 17 Unter einem Mikroskop kommen zwei Grippeviren auf 1 m
aneinander heran. Die Mikroskoplampe liefert Licht von 590 nm.
a) Bei welcher Numerischen Apertur löst das Objektiv die Viren noch getrennt
auf?
{0,59}
b) Welche Vergrößerung braucht man, um sie bei aufmerksamem Sehen einzeln zu
erkennen?
{150}
Aufgabe 18 Beim Linsensystem Auge - Brille setzen wir e = 0. Ein
Altersweitsichtiger kann die Zeitung nur noch in 80 cm Entfernung lesen.
Wie viele Dioptrien muss seine Lesebrille haben, damit er die Zeitung in 25 cm
Entfernung lesen kann?
{2,75 dpt}
Aufgabe 19 Ein Kurzsichtiger kann Gegenstände nur noch bis zu einer Entfernung
von 30 cm scharf sehen. Wieviel Dioptrien braucht seine Brille, damit er auch den
Sternenhimmel wieder scharf sieht?
{–3,3 dpt}
Aufgabe 20 Mein Zeigefinger ist 10 cm lang und hat bei ausgestrecktem Arm von
meinem rechten Auge einen Abstand von 70 cm. Meine gewöhnliche Schrittweite
beträgt 85 cm. Wen ich 200 Schritte von einem Baum entfernt diesen unter dem
gleichen Sehwinkel sehe, wie meinen Zeigefinger, wie hoch ist dann der Baum?
{24 m}
Aufgabe 21 Durch ein Loch in der Decke eines finsteren Kerkers scheint ein
Lichtstrahl der Sonne und erzeugt auf dem Boden einen Kreis von 20 cm Durchmesser. Wenn die Sonne unter einem Sehwinkel von 0,5° erscheint, wie tief ist
dann der Kerker?
{23 m}
Aufgabe 22 Ein Fernrohr hat die Normvergrößerung von 10. Wenn man verkehrt
herum durchglotzt, welche Normvergrößerung hat es dann?
{0,1}
Aufgabe 15 Opa liest Zeitung. Seine Augen haben von der Zeitung einen Abstand
von 350 mm. Er hält ein Leseglas mit 150 mm Brennweite 10 cm über die Zeitung
(also a = –100 mm). Welche Vergrößerung bewirkt das Leseglas?
{1,9 - fach}
24
Aufgabe 23 Ein Spionagesatellit fliegt 300 km über der Erdoberfläche. Seine
Kamera hat eine Brennweite von 1m.
a) Wieviel m2 Erdoberfläche bildet sie auf einem Bild ab, wenn das Filmformat
0,3m  0,3m beträgt?
{8,1109 m2}
b) Wenn ihr Objektivdurchmesser 1m beträgt, wie kleine Details kann sie noch
auflösen? ( = 590 nm)
{ca. 18 cm}
c) Wie feinkörnig muss das Filmmaterial sein, damit der Film diese Details auch
wiedergeben kann? (Angabe in dpi , also in Punkten pro Inch; ein Inch = 2,54 cm)
{43 000 dpi}
d) Wie stark muss man den Film vergrößern, um diese Details mit dem Auge in
deutlicher Sehweite zu erkennen? (A = 610-4 rad annehmen)
{ca. 250 - fach}
Aufgabe 24
Eine Plankonvexlinse (Abb.) mit einem Krümmungsradius von
7 mm soll als Lupe auf eine Zeitung gelegt werden. (n = 1,53)
a) Wie hoch ist sie?
{20,2 mm}
b) Normvergrößerung?
{18,9 - fach}
25