Mathematik für Informatiker I WS 12/13 Musterlösung zur 4. Übung

Mathematik für Informatiker I
WS 12/13
Musterlösung zur 4. Übung Musterlösung
Titus Laska
Aufgabe 1:
Vollständigkeit von Signaturen
8 Punkte
Welche der folgenden vier Signaturen sind vollständig und welche nicht. Begründen Sie
positive Antworten durch Zurückführung auf die Boolesche Basis {¬, ∧, ∨} und negative
Antworten durch Argumente, dass eine bestimmte Funktion nicht darstellbar ist.
Σ1 = {0, →}
Σ2 = {∧, ∨, ⊕}
Σ3 = {1, ∧, →, ↔}
Σ4 = {1, ∨, ⊕}
Lösung:
• Die Signatur Σ1 = {0, →} ist vollständig.
Wir zeigen dazu, dass alle Funktionen der Booelschen Signatur realisiert werden
können. Die Negation kann wie folgt dargestellt werden: ¬x ≡ x → 0
Wegen x → y ≡ negx ∨ y kann man jetzt auch die Disjunktion realisieren:
x ∨ y ≡ ¬x → y ≡ (x → 0) → y
Letztlich kann die Konjunktion über die deMorgansche Regel aus Negation und
Disjunktion zusammengesetzt werden.
• Die Signatur Σ2 = {∧, ∨, ⊕} ist nicht vollständig.
Begründung: Die konstante Boolesche Einsfunktion ist nicht darstellbar. Belegt man
nämlich in einer beliebigen Formel t über Σ2 alle Variablen mit 0, dann muss auch
t den Wert 0 annehmen.
• Die Signatur Σ3 = {1, ∧, →, ↔} ist nicht vollständig.
Begründung: Die konstante Boolesche Nullfunktion ist nicht darstellbar. Belegt man
nämlich in einer beliebigen Formel t über Σ3 alle Variablen mit 1, so folgt wegen
1∧1≡1
1→1≡1
1↔1≡1
stets t ≡ 1.
• Die Signatur Σ4 = {1, ∨, ⊕} ist vollständig.
Zurückführung auf Boolesche Basis: Zu finden sind Darstellungen für ∧ und ¬:
¬x ≡ 1 ⊕ x
x ∧ y ≡ ¬(¬x ∨ ¬y) ≡ 1 ⊕ ((1 ⊕ x) ∨ (1 ⊕ y)).
Aufgabe 2:
Partitionen
3+2 Punkte
Sei A = {Ai | i ∈ I} eine Partition der Menge A und Ai = {Ai,j | j ∈ Ji } eine Partition
der Menge Ai für jedes i ∈ I.
1
a) Zeigen Sie, dass die Vereinigung S = i∈I Ai auch eine Partition der Menge A ist.
Das ist nicht schwer - der anspruchvollste Teil der Aufgabe besteht darin, alles auf die
Definitionen zurück zu führen und sich zu überlegen, welche Punkte denn eigentlich zu
beweisen sind. Wenn Sie sich darüber nicht klar sind, lösen Sie zuerst Teil b.
S
b) Sei A = {1, 2, . . . , 14} und A die Partition von A bezüglich der Reste beim Teilen
durch 3 (beschreiben Sie selbst I und die Mengen Ai ). Im zweiten Schritt beschreibt Ai
jeweils die Partition von Ai in gerade und ungerade Zahlen. Auch hier sind geeignete
S
Indexmengen Ji zu finden. Bestimmen Sie jetzt die Partition S = i∈I Ai .
Lösung:
a) Wir erinnern uns an die Definition einer Partition: Eine Partition einer Menge A ist
eine Zerlegung von A in Teilmengen Ai ⊆ A, i ∈ I, sodass gilt:
• Die Ai sind nichtleer, d.h. Ai 6= ∅ für alle i ∈ I
• Die Ai sind paarweise disjunkt, d.h. Ai1 ∩ Ai2 = ∅ für alle i1 , i2 ∈ I mit i1 6= i2
• Die Vereinigung der Ai ergibt A, d.h. ∪i∈I Ai = A.
Unter der Voraussetzung, dass diese Eigenschaften jeweils für A = {Ai | i ∈ I}} und Ai =
{Ai,j | j ∈ Ji } gegeben sind, ist also zu zeigen, dass auch S = ∪i∈I Ai diese Eigenschaften
hat. Wir bemerken dazu, dass S = ∪i∈I {Ai,j | j ∈ Ji } = {Ai,j | i ∈ I und j ∈ Ji } gilt.
• Alle Ai,j sind nichtleer, da für jedes i ∈ I Ai eine Partition von Ai ist (und Ai 6= ∅,
da A Partition ist).
• Zu zeigen ist Ai1 ,j1 ∩ Ai2 ,j2 = ∅ falls i1 6= i2 oder (!) j1 6= j2 .
Fall 1: i1 6= i2 . Dann gilt Ai1 ,j1 ∩ Ai2 ,j2 = ∅, da Ai1 ∩ Ai2 = ∅ (A ist Partition) und
Ai1 ,j1 ⊆ Ai1 , Ai1 ,j1 ⊆ Ai1 .
Fall 2: i1 = i2 =: i. dann gilt auf jeden Fall j1 6= j2 . Die Eigenschaft Ai,j1 ∩ Ai,j2 = ∅
folgt direkt daraus, dass Ai Partition ist.
• Da A und Ai Partitionen sind, gilt natürlich
[
i∈I
j∈Ji
Ai.j =
[ [
i∈I j∈Ji
Ai,j =
[
Ai = A
i∈I
.
Damit ist S eine Partition von A.
b) Wir geben die Mengen Ai,j an, die zu der Partition S gehören. Bezeichne dazu Ai
die Teilmenge von A, deren Divisionsrest modulo 3 gleich i ist, i = 0, 1, 2. Sei ferner für
festes i immer Ai,j für j = 0 die Teilmenge der geraden und für j = 1 die Teilmenge der
ungeraden Zahlen in Ai .
A0 = {3, 6, 9, 12}, A1 = {1, 4, 7, 10, 13}, A2 = {2, 5, 8, 11, 14}
A0,0 = {6, 12}, A0,1 = {3, 9}
A1,0 = {4, 10}, A1,1 = {1, 7, 13}
A2,0 = {2, 8, 14}, A2,1 = {5, 11}
Damit ist die Partition S = ∪i∈I {Ai,j | j ∈ Ji } = {Ai,j | i ∈ I und j ∈ Ji } vollständig
bestimmt.
2
Aufgabe 3:
8 Punkte
Mengenfamilien
Sei P = {2, 3, 5, 7, 11, . . .} die Menge aller Primzahlen und für jedes p ∈ P die Menge
Ap = {n ∈ N | n ist durch p teilbar} gegeben.
Sei N+ die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null und für jedes i ∈ N+ die Menge
Bi = {n ∈ N | 100 ≤ ni ≤ 10000} gegeben.
Bestimmen Sie die folgenden Vereinigungen und Durchschnitte und begründen Sie Ihre
Lösung:
a)
T
p∈P
Ap
b)
S
p∈P
Ap
c)
T
i∈N+
Bi
d)
S
i∈N+
Bi
Lösung:
•
\
Ap = {0}.
p∈P
Begründung:
– Die 0 ist durch jede natürliche Zahl teilbar
– Wenn n ≥ 1 ist, wähle eine Primzahl p ∈ P mit p > n. Dann gilt n ∈
/ Ap und
also n ∈
/ ∩p∈P Ap .
•
[
Ap = N \ {1}.
p∈P
Begründung:
– 0 ∈ A2 (zum Beispiel)
– Die 1 ist durch keine Primzahl teilbar
– Wenn n > 1 ist, wähle einen Primfaktor p von n (Primfaktorzerlegung!). Dann
gilt n ∈ Ap und also n ∈
/ ∪p∈P Ap .
•
\
Bi = ∅
i∈N+
Begründung: Es gilt zum Beispiel B14 = ∅, da 214 = 16384 > 10000 ist.
•
[
Bi = {2, 3, . . . , 10000}
i∈N+
Begründung:
– Für n ≤ 1 ist ni < 100 für alle i ∈ N+
– B1 = {100, 101, . . . , 10000}
– B2 = {10, . . . , 100}
– Anstatt so weiter zu rechen (auch möglich!) gehen wir wiefolgt vor:
Sei 2 ≤ n ≤ 100. Finde i mit n ∈ Bi . Es ist 100 ≤ ni ⇔ logn 100 ≤ i logn n ≤ i.
Setze also i := dlogn 100e. Dann gilt ni ≥ 100 und ni−1 < 100. Damit und nach
Wahl von n folgt 100 < ni ≤ 10000 ⇒ n ∈ Bi
3