Quadratsummensätze Partitionen

Quadratsummensätze
Partitionen
Jede natürliche Zahl ist Summe von vier Quadraten, wenn 0 erlaubt ist:
n = x 2 y 2 z 2 w 2 , n , x , y , z , w 0 oder (Lagrange).
Jede natürliche Zahl n lässt sich auf p(n) verschiedene Arten als Summe
natürlicher Zahlen n darstellen (mehrere gleiche Summanden erlaubt,
Permutationen nicht getrennt gezählt). Beispiel: p(5) = 7, weil
5 = 4+1 = 3+2 = 3+1+1 = 2+2+1 = 2+1+1+1 = 1+1+1+1+1 .
Darstellbar als Ferrer-Graph (in der Physik Young-Tableau); hier für
2 + 2 + 1 und 3 + 2:
Diese beiden sind konjugierte Graphen.
Es gibt selbstkonjugierte, hier z. B. 3+1+1.
Bei 4 Summanden 0 geht das für viele n nicht, z. B. nicht für 22k+1.
(Bei 5 oder 6 Summanden 0 geht es für endlich viele n nicht.)
Drei Quadrate 0:
n = x 2 y 2 z 2 , n , x , y , z n 4 k 8 m 7 , k 0 .
1 k 1
4 = aller Zahlen ist keine Summe von drei Quadraten.
D. h.:
8k 0
6
=
Zwei Quadrate 0:
n = x 2 y 2 , n , x , y . Hinreichend und sogar eindeutig (Fermat):
n 1 mod 4 prim. Unlösbar für n 3 mod 4 prim. Allgemein:
n = 2 i p i j q j , pi 1 mod 4 prim, q j 3 mod 4 prim.
Lösung existiert alle i gerade (wenn x oder y = 0 erlaubt).
i
j
Können zur Darstellung der symmetrischen Gruppe verwendet werden.
Physikalische Anwendung z. B.: Symmetrieeigenschaften von
Vielteilchen-Wellenfunktionen bei Teilchenvertauschung (Teilchenindizes auf Kästchen verteilen, symmetrieren innerhalb jeder Zeile, dann
antisymmetrieren innerhalb Spalten).
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Dann Anzahl der Lösungen (einschl. x oder y = 0 und Vertauschungen):
i i 1 .
Beispiel für x = 1, y = 4 oder umgekehrt, n = 17 .
r= 4 4 1
Spezialfall: Pythagoreische Tripel, dabei n = z2,
d. h. auch und i gerade.
Konstruktion:
2
2
k l 0: x = 2 k l , y = k l , z = k 2 l 2 .
„Primitivlösungen“, wenn ggT(k, l) = 1, k gerade,
l ungerade oder umgekehrt.
Physikalische Anwendung
Resonanzen von (z. B.) Schallwellen in quadratischen (2-dim.) bzw.
kubischen (3-dim.) Hohlräumen, Kantenlänge L, Phasengeschw. c:
f n = c / 2 L n, n = x 2 y 2 z 2 , x , y , z 0 (2-dim. z =0 ). 3-dim,
n 1: Modendichte / 2 f 2n / f 31 ; mittlerer Abstand nicht entarteter
Moden 7 f 12 / 12 f n Entartungsgrad 7 / 24 f n / f 1 0,92 f n / f 1 .
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Sätze:
Anzahl der Partitionen von n in m Zahlen = Anzahl der Partitionen von n
in Zahlen, deren größte = m ist.
Anzahl der Partitionen von n in m Zahlen = Anzahl der Partitionen von
n in Zahlen, die alle m sind.
Beispiel: Es gibt 3 Partitionen von 5 in 2 Zahlen (5, 4+1, 3+2) und
3 Partitionen von 5 in Zahlen 2 (2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1).
Rekurrenzformel und asymptotisches Verhalten:
p n =
n
1
k p n k , p 0 =1 ; k = d .
nk 1
d k
Für n 1: p n exp 2 n / 3 / 4 n 3 ,
14
z. B. p 243 1,3810 , exakt p 243 =133978259344888 .
=
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Erzeugende Funktionen von Partitionen
Erzeugende Funktion einer Folge an , allgemein:
F z =
a u z ; z. B. u z z oder e
p n z 1 1 z ,
n
n
=
n
n
n
n
n =0
=
k
/
nz
. Hier an= p n :
wobei
k =1
1 / 1 z k = 1 z k z 2 k z 3 k ...
Beweis durch Sammeln gleicher z-Potenzen; interpretiere m-tes
Reihenglied zmk im k-ten Faktor als „k kommt m-mal in der Partition
vor“.
Beispiel: 3 = 2+1 = 1+1+1, p(3) = 3. Die Potenzen z3 entstehen aus:
z3 in Faktoren mit k = 1 („1 kommt 3-mal vor“ [1+1+1]) und k = 3 („3
kommt 1-mal vor“ [3]);
{z1 in Faktor mit k = 1} mal {z2 in Faktor mit k = 2} („1 und 2 kommen
je 1- mal vor“ [2+1]).
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Eingeschränkte Partitionen
F m z = 1 / 1 z 1 z m .
Partition in Zahlen m:
Partition in gerade Zahlen 6: 6 F even z = 1 / 1 z 6 1 z 8 1 z 10 .
Partition in verschiedene Zahlen: F dist z = 1 z 1 z 2 1 z 3 .
Partition in ungerade Zahlen:
F odd z = 1 / 1 z 1 z 3 1 z 5 = k 1 1 z 2 k / 1 z k = F
dist z ; also p dist n = p odd n .
=
Partition in verschiedene gerade bzw. ungerade Zahlen:
1 k , n=k 3 k ±1 ,
p even, dist n podd, dist n = {
0,
sonst.
Zugehöriges F z =1 z 1 z 2 1 z 3 =
1 k z k 3 k 1 2
k 2
5
7
12
15
=1 z z z z z z ...
Für fehlende Exponenten (z. B. 8) ist p even, dist n = podd, dist n .
=
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/