Bellsche Zahlen B(n)

Bellsche Zahlen B(n)
Sei Mn eine n-elementige Menge. Um die Anzahl aller Äquivalenzrelationen auf M zu ermitteln,
ist zu untersuchen, wie viele Partitionen B(n) (Partition, Zerlegung in disjunkte nichtleere Teilmengen)
es von Mn gibt.
Beispiel für n = 3, M3 = {a, b, c}
Partitionen
{a}, {b}, {c}
genauer:
{a, b}, {c}
{{a}, {b}, {c}}
{{a, b}, {c}}
{a, c}, {b}
{b, c}, {a}
{a, b, c}
Wir erhalten B(3) = 5.
Fügen wir ein weiteres Element d hinzu
und fragen uns: Wie ergeben sich die Partitionen von M4 = {a, b, c, d}
{a}, {b}, {c}, {d}
{a, b}, {c, d}
{a, c}, {b, d}
...
{a, b, c}, {d}
{a, b, d}, {c}
...
{a, b, c, d}
aus den Partitionen von M3 ?
d ist bei jeder Partition in einer Teilmenge enthalten.
Die Partitionen können daher nach Typen unterschieden werden:
1.
{d}
2.
{d, x}
3.
{d, x, y}
4.
{d, x, y, z},
x, y, z ∈ M3
Wir ermitteln die Anzahlen.
1.
{d}
2.
{d, x}
3.
4.
Hiervon gibt es B(3) = 5 Partitionen, da noch 3 Elemente verbleiben.
3
3
Möglichkeiten, es verbleiben 2 Elemente,
· B(2) = 3 · 2 = 6.
1 1 3
3
Möglichkeiten, es verbleibt 1 Element,
· B(1) = 3 · 1 = 3.
{d, x, y} Für x, y gibt es
2
2
3
{d, x, y, z} Dies ist nur mit {d, a, b, c} möglich, formal:
· B(0) = 1 · 1 = 1, mit B(0) := 1.
3
Für x gibt es
Allgemein:
n X
n
n
n
n
n
n
B(n + 1) =
B(n) +
B(n − 1) +
B(n − 2) + . . . +
B(1) +
B(0) =
B(i)
0
1
2
n−1
n
i
i=0
n
n
beachte:
=
B(4) = 15, B(5) = 52, B(6) = 203, B(7) = 877, B(8) = 4140
i
n−i
Für weitere Zahlen siehe GeoGebra-Datei.
Roolfs