2. Vorlesung Partielle Differentialgleichungen

Karlsruhe Institute of Technology
2. Vorlesung Partielle Differentialgleichungen
Wolfgang Reichel
Karlsruhe, 22. Oktober 2014
Institut für Analysis
KIT – University of the State of Baden-Wuerttemberg and
National Research Center of the Helmholtz Association
www.kit.edu
Beispiele PDGlen – Erinnerung
(a) Transportgleichung:
(2)
n
X
i =1
Kurz:
C · gradu + ut = 0,
ci
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∂u
∂u
(x , t ) +
(x , t ) = 0
∂xi
∂t
C = (c1 , . . . , cn )T = konstant
∂u
(x , t ) = d ∆u(x , t ) + f (x , t , u(x , t ))
∂t
wobei ∆=Laplace Operator in den Ortskoordinaten x1 , . . . , xn ist.
(b) Diffusionsgleichung:
Kurz:
(4)
ut = d ∆u + f (x , t , u)
Allgemeine Diffusions-Konvektions-Reaktionsgleichung:
(5)
2/19
∂u
= div d (x , t ) gradu − C (x , t ) · gradu + f (x , t , u)
∂t
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Institut für Analysis
Weitere Beispiele (Poisson-/Laplace)
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(c) Laplace bzw. Poissongleichung: Wir betrachten spezielle
Lösungen der Diffusionsgleichung:
∂u
= d ∆u + f (x , u)
∂t
[beachte: der Rekationsterm darf hier nicht von der Zeit t abhängen!]
Gesucht sind Lösungen der Form u(x , t ) = v (x ), d.h. zeitunabhängige
Lösungen. Da ∂∂vt = 0, muss v die Gleichung
0 = d ∆v (x ) + f (x , v (x )),
x∈Ω
erfüllen. Hier können wir o.B.d.A. d = 1 annehmen.
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Poisson- bzw. Laplacegleichung
0 = |{z}
d ∆v (x ) + f (x , v (x )),
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x∈Ω
=1
Die Gleichung
− ∆v = f (x , v ) in Ω
(10)
heisst (nichtlineare) Poissongleichung.
Hängt f nur von x und nicht von v selbst ab so heisst
(11)
− ∆v = f (x ) in Ω
lineare Poissongleichung.
Im Fall f = 0 nennt man
(12)
− ∆v = 0 in Ω
Laplacegleichung.
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Ein paar explizite Lösungen
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(i) n = 2, v (x , y ) = x − y (bzw. v (x , y ) = x, v (x , y ) = y) löst
2
2
∆v = 0 in R2
(ii) allgemeiner: n ≥ 1, v (x1 , . . . , xn ) = xi2 − xj2 (bzw. v (x ) = xi ) löst
∆v = 0 in Rn
Da die Gleichung linear ist, kann man durch Linearkombinationen neue
Lösungen erzeugen. Z.B. v (x1 , x2 , x3 ) = x12 − x22 + cx3
(iii) n = 2, v (x , y ) = e x cos y löst
∆v = 0 in R2
(iv) n ≥ 1, v (x ) =
1−|x |2
2n
(hier: |x |2 = x12 + x22 + . . . + xn2 ) löst
−∆v = 1 in Rn
und v ist positiv in B1 (0) ⊂ Rn , v = 0 auf ∂B1 (0).
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Weitere Beispiele
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(d) Maxwell-Gleichungen (für elektromagnetische Felder):
E(x , t )
H(x , t )
elektrisches Feld
magnetisches Feld
)
x ∈ R3 , t ∈ R,
E, H : R4 → R3
Zwei weitere Felder:
D
|{z}
el. Flußdichte
= E,
B
|{z}
= µH
mag. Flußdichte
elektrische Leitfähigkeit:
= 0 (Vakuum)·r (Material)
magnetische Suszeptibilität: µ = µ0 (Vakuum)·µr (Material)
Maxwell-System:
div B = 0
div D = ρ = Ladungsdichte
(13)
∂B
∂D
rot E +
=0
rot H −
= j = Stromdichte
∂t
∂t
gegeben: ρ, j als Funktionen von (x , t ) sowie , µ als Funktionen von x
gesucht: E, H bzw. D, B
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Spezielle Lösungsansätze
div D = ρ = Ladungsdichte
div B = 0
(13)
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∂B
=0
rot E +
∂t
rot H −
∂D
= j = Stromdichte
∂t
Elektrostatik:
j = 0, H = B = 0, Ladungsdichte ρ = ρ(x ) zeitunabhängig.
Ansatz: E(x ) = grad u(x ) ebenfalls zeitunabhängig.
div D = div( grad u) = ρ,
rot(grad u) = 0 automatisch erfüllt
Im Vakuum: = 0 = const. Damit erhalten wir die Poissongleichung
0 ∆u = ρ(x ) im R3
In allg. Materialien = (x ) erhalten wir die verallg. Poissongleichung
div((x ) grad u) = ρ(x ) im R3
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Spezielle Lösungsansätze – Forts.
div D = ρ = Ladungsdichte
div B = 0
(13)
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∂B
rot E +
=0
∂t
rot H −
Zeitharmonische Felder:
j = 0, ρ = 0
Ansatz:
E(x , t ) = E (x )e −i ωt ,
∂D
= j = Stromdichte
∂t
B(x , t ) = B (x )e −i ωt
Einsetzen in Maxwell führt zu
rot E (x ) − i ωB (x ) = 0
1
(ii ) rot
B (x ) + i ω (x )E (x ) = 0
| {z }
µ(x )
| {z }
=D (x )
(i )
⇒ div B = 0, da div rot = 0
⇒ div D = 0
=H (x )
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Zeitharmonische Felder
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rot E (x ) − i ωB (x ) = 0
1
(ii )
rot
B (x ) + i ω(x )E (x ) = 0
µ(x )
Aus (i) folgt:
−i
B=
rot E
ω
Einsetzen in (ii):
1
Maxwell Eigenwertproblem: (14) rot
rot E − ω2 (x )E = 0
µ(x )
(i )
Im Vakuum gilt: µ = µ0 = const., = 0 = const.. Benutze außerdem
rot(rot E ) = grad |{z}
div E −∆E
Ergibt:
=0
Helmholtz Gleichung (15)
∆E +
ω2
c2
E = 0 im R3
√
wobei c = 1/ 0 µ0 die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist.
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Lösungen der Helmholtzgleichung
∆E +
Helmholtz Gleichung (15)
ω2
c2
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E = 0 im R3
Ansatz: E (x ) = e ik ·x η mit k , η ∈ R3 fest
∂E
= ikj e ik ·x η,
∂xj
∂2 E
= −kj2 e ik ·x η
∂xj2
Erfüllt die Helmholtz-Gleichung falls
−|k |2 +
ω2
c2
= 0,
d.h. |k | =
ω
c
Die resultierenden Lösungen (der ursprüng. Maxwell-Gleichungen)
E(x , t ) = e i (k ·x −ωt ) η,
|k | =
ω
c
heissen monochromatische, ebene Wellen und beschreiben
polarisiertes Licht der Wellenlänge λ = ωc und der Frequenz ω.
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Weitere Beispiele
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(e) Wellengleichung: am Beispiel der schwingenden Saite
(x,u(x,t))
u(x , t ) = Auslenkung der Saite
ρ = konstante Massendichte
R2 3 T (x , t ) = Spannung der Saite
= Vektor, tangential zur Saite
1
Tangente: q
1 + ux2 (x , t )
x
elastische
Saite
!
1
ux (x , t )
τ(x , t )
Spannung: T (x , t ) = q
1 + ux2 (x , t )
1
ux (x , t )
!
Idealisierung der elastischen Saite: bei kleinen Auslenkungen
nur vertikale Bewegung
keine longitudinale Bewegung
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Die schwingende Saite
τ(x , t )
Spannung: T (x , t ) = q
1 + ux2 (x , t )
1
ux (x , t )
!
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Ausgleich der longitudinalen Kräfte: für x1 < x:
τ(ξ, t )
x
= 0 ⇒ q τ
= const. = λ
x1
2
2
1 + ux (ξ, t )
1 + ux
q
Newtonsches Kraftgesetz F = ma für vertikale Bewegung:
d.h.
Z x
τ(ξ, t )ux (ξ, t ) x
ρutt (ξ, t ) d ξ
q
=
x
x1
1 + ux2 (ξ, t ) 1
Z x
λ ux (x , t ) − ux (x1 , t ) =
ρutt (ξ, t ) d ξ
x1
Differentiation nach x:
1-d Wellengleichung: (16)
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uxx (x , t ) =
ρ
utt (x , t ),
λ
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(x , t ) ∈ R2
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Die schwingende Saite
1-d Wellengleichung: (16)
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uxx (x , t ) =
ρ
utt (x , t ),
λ
(x , t ) ∈ R2
Spezielle Lösung z.B.: u(x , t ) = sin(x − ct ) mit c 2 = λρ .
2-d Wellengleichung:
(17)
uxx (x , y , t ) + uyy (x , y , t ) =
ρ
utt (x , y , t ),
λ
n-dimensionale Wellengleichung: (18)
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∆u =
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(x , y , t ) ∈ R 3
ρ
utt ,
λ
(x , t ) ∈ Rn+1
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Weitere Beispiele
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(f) Krümmung von Funktionsgraphen
x3
u(x1 , x2 )= Höhe der Fläche über
der x1 , x2 -Ebene
X1
P
P = (x1 , x2 , u(x1 , x2 ))
Beschreibung als Funktionsgraph
X2
N
x
2
(x1,x2)
Die Tangentialebene in P wird
aufgespannt von zwei Vektoren
X1 = (1, 0, ux1 )T ,
X2 = (0, 1, ux2 )T
x1
Dabei
T
T
d d x1 , x2 , u(x1 , x2 ) , X2 =
x1 , x2 , u(x1 , x2 )
dx1
dx2
1
N= q
(ux1 , ux2 , −1)T
2
2
1 + ux1 + ux2
X1 =
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Krümmung von Funktionsgraphen
X1 = (1, 0, ux1 ) ,
T
X2 = (0, 1, ux2 ) ,
T
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1
N= q
(ux1 , ux2 , −1)T
1 + ux21 + ux22
Offenbar gilt
|N |2 = 1
und N · X1 = N · X2 = 0
Krümmung
Die Krümmung der Fläche wird gemessen durch die Veränderung der
Normalen.
Nx1 :=
∂N
,
∂x1
Nx2 :=
∂N
∂x2
Diese beiden Vektoren im R3 lassen sich durch die Basis X1 , X2 , N im
Punkt P darstellen:
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Nx1
= αX1 + βX2 + λN
Nx2
= γX1 + δX2 + µN
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Krümmung von Funktionsgraphen
(
(∗)
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= αX1 + βX2 + λN
= γX1 + δX2 + µN
Nx1
Nx2
Bestimme λ, µ durch Skalar-Multiplikation mit N. Beachte
Nx1 · N = Nx2 · N = 0 folgt aus Differentiation von N · N = 1
d.h. λ = µ = 0
Bestimmung von α, β, γ, δ: Für i , j = 1, 2
gij := Xi · Xj ,
hij := N ·
∂N
∂Xi
=−
· Xi
∂ xj
∂xj
letzeres folgt aus Differentiation von N · Xi = 0 nach xj .
Auflösen des LGS (∗):
α β
γ δ
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!
= −(gij )−i ,j1=1,2 (hij )i ,j =1,2
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Krümmung von Funktionsgraphen
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Auflösen des LGS (∗):
α β
γ δ
!
= −(gij )−i ,j1=1,2 (hij )i ,j =1,2
=
1
2 spur
|X1 |2 X1 · X2
X1 · X2 |X2 |2
!−1
Nx1 · X1
Nx1 · X2
Nx2 · X1
Nx2 · X2
!
bzw. Determinante der Matrix
α β
γ δ
!
nennet man mittlere Krümmung
H bzw.
Gaußsche Krümmung K der
Fläche im Punkt P = x1 , x2 , u(x1 , x2 ) .
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Krümmung von Funktionsgraphen
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Einsetzen der Ausdrücke für X1 , X2 , Nx1 , Nx2 in
α β
γ δ
!
=
|X1 |2 X1 · X2
X1 · X2 |X2 |2
! −1
Nx1 · X1
Nx1 · X2
Nx2 · X1
Nx2 · X2
!
liefert
H=
α+δ
2
=
2
2
1 (1 + ux1 )ux2 x2 + (1 + ux2 )ux1 x1 − 2ux1 ux2 ux1 x2
2
(1 + ux21 + ux22 )3/2




1
∇u

= div  p
2
1 + |∇u|2
K = αδ − βγ =
ux1 x1 ux2 x2 − (ux1 x2 )2
(1 + ux21 + ux22 )2
!
2
= det
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Rechnung!
D u
1 + |∇u|2
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Krümmung von Funktionsgraphen
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Nun stellt man sich folgendes Problem: wie sieht eine Fläche aus,
deren mittlere Krümmung/Gaußsche Krümmung vorgegeben ist?
Z.B. bei konstanter mittlere Krümmung bzw. Gaußsche Krümmung
sucht man Lösungen der folgenden partiellen DGlen:
konstante mittlere Krümmung:

(19)



∇u
1
 = H = const.
div  p
2
1 + |∇u|2
konstante Gaußsche Krümmung:
D 2u
det
= K = const.
1 + |∇u|2
!
(20)
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