Institut für Physikalische Chemie Universität Freiburg Übungen zu

Institut für Physikalische Chemie
Übungen zu RPC I
Universität Freiburg
WS 2013/14
Komplexe Zahlen
•
allgemein:
i2 = −1
die imaginäre Zahl i
z = a + ib
komplexe Zahl in algebraischer/ kartesischer Form
z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
komplexe Zahl in trigonometrischer Form
z = reiϕ = r exp(iϕ)
komplexe Zahl in Exponential-/ Eulerscher Form
Hinweis: Trigonometrische Form und Eulersche (Exponential) Form
sind beides Polarformen, da sie die Polarkoordinaten
z ∗ = a − ib
konjugierte komplexe Zahl
Re(z)
=a
Realteil von
Im(z)
=b
Imaginärteil von
Arg(z)
r = |z|
•
und
ϕ
beinhalten.
z
z
Argument (auch Winkel oder Phase) von
=ϕ
r
Betrag (auch Modul) von
z
z
elementare Rechenoperationen:
z1 + z2 = (a1 + ib1 ) + (a2 + ib2 ) = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 )
z1 · z2 = (a1 + ib1 ) · (a2 + ib2 ) = a1 a2 + ia1 b2 + ia2 b1 + i2 b1 b2 = a1 a2 − b1 b2 + i(a1 b2 + a2 b1 )
z1
z1 · z2∗
z1 · z2∗
=
=
z2
z2 · z2∗
|z2 |2
p
√
√
√
|z| = z ∗ · z = (a + ib) · (a − ib) = a2 − i2 b2 = a2 + b2
z ∗ · z = z · z ∗ = a2 + b2 = |z|2
•
Umrechnen von der kartesischen in die Polarform (Eulersche/ trigonometrische Form):
r = |z| =
√
z∗ · z =
√
a2 + b2
Mit Hilfe des Arkuskosinus:
ϕ=






a
r
für
b≥0
− arccos ar




 unbestimmt
für
b<0
für
r=0
arccos
1
•
Mit Hilfe des Arkustangens:



arctan






arctan






 arctan
ϕ=
π




2



π


−


2




b
a
b
a
b
a
für
a > 0, b
+π
für
a < 0, b ≥ 0
−π
für
a < 0, b < 0
für
a = 0, b > 0
für
a = 0, b < 0
für
a = 0, b = 0
unbestimmt
•
beliebig
Umrechnen von der Eulerschen/ trigonometrischen in die kartesische Form:
a = r · cos ϕ
b = r · sin ϕ
•
Multiplikation und Division in der Eulerschen Form:
z1 · z2 = r1 exp(iϕ1 ) · r2 exp(iϕ2 ) = r1 r2 exp(i(ϕ1 + ϕ2 ))
z1
r1
r1 exp(iϕ1 )
=
=
exp(i(ϕ1 − ϕ2 ))
z2
r2 exp(iϕ2 )
r2
•
Multiplikation und Division in der trigonometrischen Form
z1 · z2 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) · r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )]
r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )
z1
z1
=
= [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )]
z2
r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )
z2
•
Potenzieren und Radizieren (Wurzelziehen) einer komplexen Zahl in der Polarform
a)
z n = (r · eiϕ )n = rn · einϕ = [r(cos ϕ + i sin ϕ)]n = rn [cos(nϕ) + i sin(nϕ)]
b)
Die Gleichung
√
n
z=
√
n
reiϕ
besitzt im Komplexen genau
zk =
√
n
r·e
n
i(ϕ+2πk)
n
verschiedene Lösungen (Wurzeln)
,
(k = 0, 1, 2, 3, ..., n − 1)
2