A0220-Zahlenbereiche und deren Erweiterungen Z nach Q

Mathematik
Reelle Zahlen
Zahlbereiche und deren Erweiterungen / Z Q
Z = {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}
Zusätzlich zur Addition und Subtraktion können wir je zwei Elemente dieser Menge
miteinander multiplizieren und das Produkt ist wiederum ein Element dieser Menge –
z.B.: 4 ⋅ 2 = 8.
Die Umkehrung: Man dividiert ein Element dieser Menge durch ein anderes Element und
erhält wiederum ein Element dieser Menge –
z.B.: 4 : 2 = 2.
Doch halt – wie ist das mit 2 und 4? 2 ⋅ 4= 8, aber 2 : 4 = ?
In diesem Fall erhalten wir kein Element aus Z !
Eigentlich hätten wir doch gerne, dass alle Divisionen durchführbar sind und eine Zahl
liefern. Dieses Problem wird durch die Einführung neuer Zahlen, nennen wir sie 'Brüche',
gelöst.
Wir bezeichnen diese Zahlenmenge mit
Q und nennen sie 'Menge der rationalen Zahlen'.
Für diese Menge – alle möglichen Brüche - gibt es keine einfache aufzählende Form, deshalb
beschreiben wir sie so:
Q ={
z
│ ( z ∈ ℤ) ∧ (n ∈ ℤ) ∧ (n ≠ 0) }
n
Wie veranschaulichen wir diese Menge auf der Zahlengeraden?
Hier ist die Zahlengerade wie wir sie von den ganzen Zahlen her kennen.
Die Brüche liegen auch auf dieser Geraden. Sie können beliebig dicht nebeneinander liegen.
Beispiele:
−3
3
−8 −7
16 16
1
4
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Z Q
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2
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Mit diesen Zahlen betreten wir Neuland!
Die ganzen Zahlen haben sprachlich und schriftlich (im Dezimalsystem) eine eindeutige
Darstellung – z.B.: 10 ist zehn, 22 ist zweiundzwanzig.
Bei den Brüchen ist das nicht mehr so! Sie wissen, dass gilt:
8
4
2
= 'acht viertel' =
= 'vier zweitel' =
= 'zwei eintel' = 2 = 'zwei' = . . .
4
2
1
Jede Bruchzahl, jeder Bruch – und damit eingeschlossen alle ganzen Zahlen – haben unendlich
viele Namen und Darstellungen!
Ein Bruch wird also durch zwei ganze Zahlen gebildet – eine im Nenner und eine im Zähler.
Der Illustrator des Buches 'Arithmetik und Algebra 2' für die Sekundarschule des Kantons
Zürich hat sich die Brüche wie im unten stehenden Bild vorgestellt. Da es so viele sind hat er
die ganze Ebene dafür gebraucht:
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Hier folgt ein Ausschnitt, damit wir die Zahlen lesen können und seine Systematik verstehen:
Nun müssen wir uns in der Mathematik diese über die ganze Ebene verteilten Punkte
sogar noch 'zusammengedrückt' auf der Zahlengeraden vorstellen!
Aufgabe:
Zeichnen oder malen Sie ein Bild wie Sie sich die Stammbrüche vorstellen!
Zur Repetition:
1 1 1
Menge der Stammbrüche = { , , , . . .}
1 2 3
Sämtliche Brüche sind als Produkt einer ganzen Zahl mit einem Stammbruch darstellbar.
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