Information Engineering WS 2014/15 - LS1

Logik
Gabriele Kern-Isberner
LS 1 – Information Engineering
TU Dortmund
Wintersemester 2014/15
WS 2014/15
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
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1 / 251
PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Übersicht Prädikatenlogik
8. Strukturen & Syntax
9. Modellierung und Normalformen
10. Erfüllbarkeit: Grundresolution
11. Prädikatenlogische Resolution
12. Logische Programmierung und Prolog
13. Weitere Ergebnisse
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87 / 251
PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Teil C
C – Prädikatenlogik (PL)
Kapitel 10: Erfüllbarkeit: Grundresolution
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88 / 251
PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Übersicht Kapitel 10
10.1 Einleitung
10.2 Herbrand-Strukturen
10.3 Grundresolution
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Einleitung
Übersicht Kapitel 10
10.1 Einleitung
10.2 Herbrand-Strukturen
10.3 Grundresolution
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Einleitung
Folgern: Grundbegriffe (1/2)
Das semantische Folgern ist für die Prädikatenlogik analog zur
Aussagenlogik definiert:
Definition 10.11 (PL-Folgerung, |=)
• Seien Φ eine Menge von PL-Formeln und ψ eine PL-Formel
• Φ |= ψ gdw. jede zu Φ ∪ {ψ} passende Interpretation, die Modell von
Φ ist, auch Modell von ψ ist
• Wir sagen auch: ψ folgt aus Φ
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Einleitung
Folgern: Grundbegriffe (2/2)
Der Zusammenhang zwischen Folgern und Unerfüllbarkeit ist in der
Prädikatenlogik auch genauso wie in der Aussagenlogik:
Proposition 10.7
Seien Φ eine Menge von PL-Formeln und ψ eine PL-Formel. Dann gilt:
Φ |= ψ gdw. Φ ∪ {¬ψ} ist unerfüllbar
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Einleitung
Mathematik und prädikatenlogische Erfüllbarkeit
Die Mathematik lässt sich in der Prädikatenlogik formalisieren.
Mathematische Sätze sind dann zumeist von der Art Φ |= ϕ, wobei Φ eine
Menge von Axiomen ist und ϕ ein „mathematisches Theorem“.
Beispiel
• Die Gruppentheorie beschäftigt sich mit Strukturen mit einer
Verknüpfung ◦ und einem ausgezeichneten Einselement e
• Eine Gruppe G = (U G , ◦G , eG ) besteht aus
– einer Menge U G
– einer binären Verknüpfung ◦G auf U G (hier in Infixnotation
geschrieben), und
– einem neutralen Element eG ∈ U G
und erfüllt die folgenden Axiome:
(G1) ∀x,y,z (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)
(G2) ∀x e ◦ x = x
(G3) ∀x ∃y x ◦ y = e
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(Assoziativität)
(neutrales Element)
(inverses Element)
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Einleitung
Mathematik und prädikatenlogische Erfüllbarkeit
(Forts.)
Beispiel (Forts.)
• Ein einfaches Theorem ist nun, dass es in einer Gruppe für je zwei
Elemente a, b immer ein Element c gibt mit a ◦ c = b
• Die Aussage, dass dies ein gültiges Theorem ist, ist gleichbedeutend
mit der Aussage {(G1), (G2), (G3)} |= ∀x ∀y ∃z x ◦ z = y
• Diese Aussage ist äquivalent dazu, dass
{(G1), (G2), (G3), ¬∀x ∀y ∃z x ◦ z = y} unerfüllbar ist
• Das Theorem gilt also gerade dann, wenn es keine passende Struktur
gibt, in der die Axiome gelten, aber nicht die zusätzliche Formel
Erfüllbarkeitstests für die Prädikatenlogik können also im Prinzip als
Basis für automatische Theorem-Beweiser dienen
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Einleitung
Wissensbasierte Systeme und PL-Erfüllbarkeit
(1/3)
In wissensbasierten Systemen wird Wissen – oft in der Form von Fakten
und Regeln – in der Wissensbasis gespeichert, aus der dann neues Wissen
gefolgert (inferiert) werden kann.
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Einleitung
Wissensbasierte Systeme und PL-Erfüllbarkeit
(2/3)
Beispiel
• Beispiel-Fakten:
parent(bob,alfred).
parent(dave,bob).
parent(frank,dave).
• Beispiel-Regeln: (wobei “: −” einen Pfeil “←” symbolisiert)
ancestor(X,Y) :- parent(X,Y).
ancestor(X,Y) :- parent(X,Z),ancestor(Z,Y).
• Die Regel ancestor(X,Y) :- parent(X,Y) entspricht der
PL-Formel ∀x∀y(P (x, y) → A(x, y))
(mit A ≡ ancestor, P ≡ parent)
• Die Regel ancestor(X,Y) :- parent(X,Z), ancestor(Z,Y)
entspricht der PL-Formel ∀x ∀y [∃z (P (x, z) ∧ A(z, y)) → A(x, y)]
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Einleitung
Wissensbasierte Systeme und PL-Erfüllbarkeit
(3/3)
Wir können nicht annehmen, dass die Wissensbasis vollständig ist und alle
Fakten enthält.
Deshalb interessiert uns, ob das Faktum ancestor(frank,alfred)
unabhängig von weiteren Fakten gefolgert werden kann.
Wir wollen also wissen, ob ancestor(frank,alfred) in allen Modellen
der Formelmenge gilt, die sich aus den gegebenen Fakten und den
Schlussregeln ergibt.
Dazu müssen wir also die Erfüllbarkeit der folgenden Menge testen:
{P (bob, alfred), P (dave, bob), P (frank, dave),
∀x ∀y (P (x, y) → A(x, y)), ∀x ∀y [∃z (P (x, z) ∧ A(z, y)) → A(x, y)],
¬A(frank, alfred)}
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Einleitung
Erfüllbarkeit von PL-Formeln: Vorüberlegungen
• In der Aussagenlogik ist Erfüllbarkeit konzeptionell sehr einfach zu
testen
– Es genügt, alle passenden Wahrheitsbelegungen auszuprobieren
– Das sind zwar „exponentiell viele“, aber zumindest ist garantiert, dass
das Verfahren anhält
– (und außerdem kennen wir noch zwei andere Verfahren)
• Bei der Modallogik war a priori nicht klar, dass es genügt, begrenzt
viele „Modellkandidaten“ zu testen
– Wir haben aber gesehen, dass es reicht, baumförmige Kripkestrukturen
einer bestimmten Maximaltiefe zu testen
– Außerdem ist der Tableaukalkül ein Verfahren, das garantiert terminiert
– Insgesamt ist die Komplexität von ML-SAT aber wohl größer als die
von AL-SAT
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Einleitung
Erfüllbarkeit von PL-Formeln
• In der Prädikatenlogik ist die Lage noch komplizierter
– Wo sollen wir für eine erfüllbare Formel nach Modellen suchen?
(1) Was könnte die Grundmenge sein?
(2) Wie sollen die Funktionen und Konstanten gewählt werden?
(3) Wie sollen die Relationen gewählt werden?
• Wir werden sehen:
– Schlechte Nachricht: es kann sein, dass es für eine PL-Formel nur
Modelle mit unendlich großer Grundmenge gibt
– Gute Nachricht: (1) und (2) lassen sich trotzdem überraschend einfach
beantworten
– Schlechte Nachricht: (3) ist wirklich eine harte Nuss...
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Einleitung
Erfüllbarkeit von PL-Formeln: unendliche Modelle
Wir betrachten zunächst die erste schlechte Nachricht:
Prädikatenlogische Formeln können Modelle mit unendlicher Grundmenge
erzwingen.
Beispiel
• Sei ϕ = ∀x ¬P (x, x) ∧ ∀y P (y, f (y))∧
∀u ∀v ∀w (P (u, v) ∧ P (v, w) → P (u, w))
• ϕ hat das Modell A = (N, P A , f A ):
– P A (n, m) ⇔def n < m, für alle n, m ∈ N
– f A (n) = n + 1, für alle n ∈ N
mit unendlicher Grundmenge
Proposition 10.8
Die Formel ϕ aus dem Beispiel hat kein Modell mit endlicher Grundmenge.
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Einleitung
Unendliche Modelle: Beweis
Beweisskizze
• Wir nehmen an: B = (U, P B , f B ) ist ein endliches Modell für ϕ
• Wir schreiben (ausnahmsweise!)
– f statt f B , P statt P B
– f 2 (a) statt f (f (a)) (analog f i (a))
• Sei a ∈ U beliebig
• Wir betrachten die Folge a, f (a), f 2 (a), f 3 (a), . . .
• Da U endlich ist, können die unendlich vielen Folgenglieder nicht alle
verschieden sein
• Also gibt es i, j mit i < j, so dass gilt: f i (a) = f j (a)
• Da P transitiv ist und (b, f (b)) ∈ P für jedes b ∈ U gilt, folgt
(f i (a), f j (a)) ∈ P
(da f j (a) = f j−i (f i (a)))
• Das widerspricht aber der Teilformel ∀x ¬P (x, x) (Widerspruch)
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Herbrand-Strukturen
Übersicht Kapitel 10
10.1 Einleitung
10.2 Herbrand-Strukturen
10.3 Grundresolution
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Herbrand-Strukturen
Orientierung (1/2)
Wir beginnen jetzt mit den Vorbereitungen für einen Erfüllbarkeitstest für
prädikatenlogische Formeln.
Wir werden als erstes sehen, dass wir uns bei der Suche nach einem Modell
für eine Formel ϕ auf Strukturen eines besonders einfachen Typs
einschränken können:
• Diese Strukturen heißen Herbrand-Strukturen
• Dass sie ausreichend sind, wird uns Satz 10.9 sagen
Bei Herbrand-Strukturen sind die Grundmenge, die Konstanten und die
Funktionen durch ϕ schon eindeutig festgelegt.
Der Erfüllbarkeitstest reduziert sich also auf die Frage, ob die Relationen so
gewählt werden können, dass ϕ wahr wird.
• Dieses Problem wird sich allerdings als schwierig herausstellen
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103 / 251
PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Herbrand-Strukturen
Orientierung (2/2)
Zur Erinnerung: Es genügt, einen Erfüllbarkeitstest für geschlossene
Skolemformeln zu finden
• Der Fall beliebiger Formeln lässt sich darauf zurück führen
Wir betrachten im Folgenden die Prädikatenlogik ohne Gleichheit
• Es werden aber auch einige Hinweise zu Erfüllbarkeitstests für die
Prädikatenlogik mit Gleichheit gegeben
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104 / 251
PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Herbrand-Strukturen
Herbrand-Strukturen (1/3)
Beispiel
• Sei ϕ1 = ∀x ∀y R(x) ∧ (P (x) ∨ ¬R(y) ∨ ¬R(f (a)))∧
(¬P (b) ∨ ¬R(g(b, y)))
• Was wissen wir über Modelle A von ϕ1 mit Grundmenge A?
– A muss Elemente aA , bA enthalten
– A muss auch Elemente
f A (aA ), f A (bA ), g A (aA , aA ), g A (aA , bA ), g A (bA , aA ), g A (bA , bA )
enthalten
– A muss außerdem Elemente wie
f A (f A (aA )), f A (g A (aA , aA )), g A (f A (aA ), aA ) enthalten usw.
– Kurz gesagt: Für jeden Term t, der gebildet werden kann, muss A ein
Element tA enthalten
– Welche dieser Elemente zueinander gleich oder verschieden sind, wissen
wir dabei nicht
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Herbrand-Strukturen
Herbrand-Strukturen (2/3)
Idee: Wir betrachten Strukturen H,
• deren Grundmenge gerade die Menge PT(σ(ϕ)) der möglichen Terme
ist, und
• in denen jeder Term t durch sich selbst interpretiert wird
(also: tH = t)
Dieser rein syntaktische Ansatz wurde von Jacques Herbrand entwickelt.
Kleine Komplikation:
Beispiel
• ϕ2 = ∀x P (x) ∧ ¬P (f (x))
– Was tun bei Formeln ohne Konstantensymbole?
⇒ Wir nehmen in einem solchen Fall immer ein Konstantensymbol a als
„Basis“ der Grundmenge hinzu.
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Herbrand-Strukturen
Herbrand-Strukturen (3/3)
Definition 10.12 (Herbrand-Universum, Herbrand-Struktur)
• Sei ϕ eine geschlossene Skolemformel
• Das Herbrand-Universum H(ϕ) von ϕ sei die Menge aller Grundterme
aus
– PT(σ(ϕ)), falls ϕ ein Konstantensymbol enthält, und
– PT(σ(ϕ) ∪ {a}) andernfalls
• Eine Struktur H heißt Herbrand-Struktur für ϕ, falls gilt:
– Die Grundmenge von H ist H(ϕ)
– Ist c ein Konstantensymbol von ϕ, so ist cH = c
– Ist f ein k-stelliges Funktionssymbol von ϕ und sind t1 , . . . , tk ∈ H(ϕ),
so ist f H (t1 , . . . , tk ) = f (t1 , . . . , tk )
• Ein Herbrand-Modell einer Formel ϕ ist eine Herbrand-Struktur, die
ein Modell für ϕ ist
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Herbrand-Strukturen
Kurz-Bio: Jacques Herbrand
• Geboren: 12.2.1908 in Paris
• Studium in Paris
• Forschungsaufenthalte in
Hamburg und Göttingen
• Am 27.5.1931 beim Bergsteigen
in den französischen Alpen
tödlich verunglückt
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Herbrand-Strukturen
Satz von Herbrand (1/5)
Satz 10.9 (Satz von Herbrand)
Jede prädikatenlogische Formel χ hat genau dann ein Modell, wenn sie ein
Herbrand-Modell hat.
Beweisskizze
• Die Richtung „⇐“ ist klar
• Für „⇒“ sei ϕ = ∀x1 . . . ∀xl ψ eine durch Skolemisierung entstandene
zu χ erfüllbarkeitsäquivalente geschlossene Skolemformel
• Wir zeigen:
– Hat ϕ ein Modell, so hat ϕ auch ein Herbrand-Modell H
– Dieses Modell ist dann auch ein Herbrand-Modell für χ
∗ Die zusätzlichen Funktionen und Konstanten, die beim Übergang von χ
zu ϕ durch Skolemisierung eingefügt wurden, können dazu einfach aus
dem Modell entfernt werden
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109 / 251
PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Herbrand-Strukturen
Satz von Herbrand (2/5)
Beweisskizze (Forts.)
• Sei also A ein Modell für ϕ mit Grundmenge A
• Wir konstruieren H wie folgt:
– Grundmenge H(ϕ), Konstanten, Funktionen gemäß der Definition von
Herbrand-Strukturen
– Ist P ein k-stelliges Relationssymbol von ϕ und sind t1 , . . . , tk ∈ H(ϕ),
so sei P H definiert durch: (t1 , . . . , tk ) ∈ P H ⇔def A |= P (t1 , . . . , tk )
– Falls A keine Konstanten hat, wählen wir ein beliebiges Element aus A
als aA
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Herbrand-Strukturen
Satz von Herbrand (3/5)
Illustration der Konstruktion von H
• Sei ϕ = ∀x ¬P (x, x) ∧ ∀y P (y, f (y))∧
∀u ∀v ∀w P (u, v) ∧ P (v, w) → P (u, w)
• Wie schon gesehen: ϕ hat das Modell A = (N, P, f ) mit
– P (n, m) :⇔ n < m, für alle n, m ∈ N
– f (n) = n + 1, für alle n ∈ N
• Wie können wir aus A ein Herbrand-Modell für ϕ gewinnen?
• Universum U = H(ϕ) von H : a, f (a), f (f (a)), . . .
• Wir wählen aA willkürlich: aA =def 5
• Die Funktion f H ist definiert durch: f H (t) = f (t), für alle t ∈ U
• Wann ist (f i (a), f j (a)) ∈ P H ?
– Dazu schauen wir, ob ((f i (a))A , (f j (a))A ) ∈ P A ist
– Dies ist genau dann der Fall, wenn 5 + i < 5 + j ist, also, wenn i < j
– Also: (f i (a), f j (a)) ∈ P H ⇔def i < j
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Herbrand-Strukturen
Satz von Herbrand (4/5)
Beweisskizze (Forts.)
• Zur Erinnerung:
– ϕ = ∀x1 . . . ∀xl ψ
– Zu zeigen: Hat ϕ ein Modell A, so hat ϕ auch ein Herbrand-Modell H
– (t1 , . . . , tk ) ∈ P H ⇔def A |= P (t1 , . . . , tk )
• Wir zeigen durch Induktion nach l : H |= ϕ
• l = 0:
→ ϕ quantorenfrei
⇒ H |= ϕ, da nach Konstruktion für alle atomaren Formeln gilt:
H |= P (t1 , . . . , tk ) ⇔ A |= P (t1 , . . . , tk ),
und A Modell von ϕ ist
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Herbrand-Strukturen
Satz von Herbrand (5/5)
Beweisskizze (Forts.)
• l > 0:
– Sei ϕ0 =def ∀x2 . . . ∀xl ψ
(also: ϕ = ∀x1 ϕ0 )
0
⇒ Für jedes u ∈ A gilt: (A, x1 7→ u) |= ϕ
– Insbesondere gilt dies für jedes u, zu dem es einen Term t ∈ PT(σ(ϕ))
gibt mit tA = u
⇒ Für jeden Term t ∈ PT(σ(ϕ)) gilt: A |= ϕ0 [x1 /t]
– Da ϕ0 [x1 /t] nur l − 1 Quantoren hat, folgt nach Induktion:
∗ H |= ϕ0 [x1 /t], für jeden Term t ∈ PT(σ(ϕ))
⇒ Für jedes t ∈ H(ϕ) gilt: (H, x1 7→ t) |= ϕ0
⇒ H |= ∀x1 ϕ0 , also: H |= ϕ
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Herbrand-Strukturen
Satz von Löwenheim-Skolem
Da die Menge PT(σ(ϕ)) für jede Formel ϕ höchstens abzählbar unendlich
ist, ergibt sich als Folgerung aus dem Satz von Herbrand sofort das
folgende wichtige Resultat:
Satz 10.10 (Satz von Löwenheim-Skolem)
Jede prädikatenlogische Formel hat genau dann ein Modell, wenn sie ein
Modell mit höchstens abzählbar unendlicher Grundmenge hat.
Bemerkungen:
• Falls ϕ ein Funktionssymbol hat, ist die Grundmenge von H abzählbar
unendlich
• Falls ϕ keine Funktionssymbole enthält (und H(ϕ) deshalb nur aus
endlich vielen Konstanten besteht), lässt sich trotzdem ein abzählbar
unendliches Modell finden
• Der Satz von Löwenheim-Skolem gilt auch für die Prädikatenlogik mit
Gleichheit
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114 / 251
PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Herbrand-Strukturen
Kurz-Bio: Leopold Löwenheim
• Geboren: 26.6.1878 in Krefeld
• Studium in Berlin
• Mathematik-Lehrer ab 1906
• Teilnahme am ersten Weltkrieg
1915/1916
• Als „Nicht-Arier“ 1934 aus dem
Schuldienst entlassen
• 1946-1949: Lehrer in Berlin
• Gestorben: 5.5.1957 in Berlin
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Herbrand-Strukturen
Kurz-Bio: Thoralf Skolem
• Geboren: 23.5.1887 in
Sandsvaer, Norwegen
• Studium in Oslo (Kristiania) ab
1905
• Dozent in Oslo und Bergen
• Gestorben: 23.3.1963 in Oslo
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116 / 251
PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Grundresolution
Übersicht Kapitel 10
10.1 Einleitung
10.2 Herbrand-Strukturen
10.3 Grundresolution
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117 / 251
PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Grundresolution
Herbrand-Modell: Beispiel
Es bleibt die Frage, wie in einer Herbrand-Struktur die Relationen gewählt
werden können, damit ein Modell der gegebenen Formel entsteht.
Beispiel
• Sei ϕ3 = ∀x ∀y [P (f (x), g(x, y)) ∧ ¬P (g(x, x), f (y))]
• Wir versuchen, für ϕ3 ein Herbrand-Modell zu konstruieren
• H(ϕ3 ) = {a, f (a), g(a, a), f (f (a)), f (g(a, a)), g(a, f (a)), . . .}
• Die Definition der Funktionen ist wie zuvor
• Wie soll P definiert werden?
– Das ist hier recht einfach:
∗ Um P (f (x), g(x, y)) für jede Variablenbelegung wahr zu machen,
müssen wir genau alle Paare der Form (f (t1 ), g(t1 , t2 )) mit
t1 , t2 ∈ H(ϕ3 ) in die Interpretation von P aufnehmen
∗ Da P danach keine Paare der Form P (g(t1 , t1 ), f (t2 )) enthält, ist die
zweite Teilformel ¬P (g(x, x), f (y)) auch für jede Variablenbelegung
wahr
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Grundresolution
Herbrand-Expansionen (1/2)
Sei ϕ = ∀x1 . . . ∀xl ψ eine geschlossene Skolemformel mit Matrix-Formel ψ.
Wir werden jetzt das Problem, geeignete Relationen für ein
Herbrand-Modell für ϕ zu finden, auf das aussagenlogische
Erfüllbarkeitsproblem zurückführen:
• Die Idee ist, die atomaren Formeln R(t1 , . . . , tl ) als aussagenlogische
Variablen aufzufassen
• Die Variablen in ψ werden dazu auf alle möglichen Weisen durch
Terme ersetzt (grundiert → Grundterme)
• Aus ψ entsteht dann eine (in der Regel abzählbar unendliche) Menge
aussagenlogischer Formeln
• Die Erfüllbarkeit dieser Menge kann dann mit Resolution getestet
werden
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119 / 251
PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Grundresolution
Herbrand-Expansionen (2/2)
Definition 10.13 (Herbrandexpansion E(ϕ), aussagenlogisch erfüllbar)
• Sei ϕ = ∀x1 . . . ∀xl ψ eine geschlossene Skolemformel mit
Matrix-Formel ψ
• Die Herbrand-Expansion E(ϕ) von ϕ sei die folgende Menge von
PL-Formeln: {ψ[x1 /t1 , . . . , xl /tl ] | t1 , . . . , tl ∈ H(ϕ)}
• Wir sagen: E(ϕ) ist aussagenlogisch erfüllbar, wenn es eine Belegung
der atomaren Formeln von E(ϕ) mit Wahrheitswerten gibt, die alle
Formeln in E(ϕ) wahr macht
Satz 10.11 (Satz von Gödel, Herbrand, Skolem)
Eine geschlossene Skolemformel ϕ ist genau dann erfüllbar, wenn E(ϕ)
aussagenlogisch erfüllbar ist.
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120 / 251
PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Grundresolution
Herbrand-Expansionen: Beispiele (1/2)
Beispiel
• Für φ2 = ∀x P (x) ∧ ¬P (f (x)) gilt:
– H(ϕ2 ) = {a, f (a), f (f (a)), f (f (f (a))), . . .}
– E(ϕ2 ) =
{ P (a) ∧ ¬P (f (a)),
wegen
P (f (a)) ∧ ¬P (f (f (a))),
wegen
P (f (f (a))) ∧ ¬P (f (f (f (a)))),
wegen
P (f (f (f (a)))) ∧ ¬P (f (f (f (f (a))))), wegen
. . .}
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x 7→ a
x 7→ f (a)
x 7→ f (f (a))
x 7→ f (f (f (a)))
WS 2014/15
121 / 251
PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Beispiel
Grundresolution
Herbrand-Expansionen: Beispiele (2/2)
• ϕ1 = ∀x ∀y R(x)∧(P (x)∨¬R(y)∨¬R(f (a)))∧(¬P (b)∨¬R(g(b, y)))
– H(ϕ1 ) = {a, b, f (a), f (b), g(a, a), g(a, b), g(b, a), g(b, b), f (f (a)), f (f (b)),
f (g(a, a)), f (g(a, b)), . . .}
– E(ϕ1 ) =
{ R(a) ∧ (P (a) ∨ ¬R(a) ∨ ¬R(f (a))) ∧ (¬P (b) ∨ ¬R(g(b, a))),
wegen x 7→ a, y 7→ a
R(b) ∧ (P (b) ∨ ¬R(a) ∨ ¬R(f (a))) ∧ (¬P (b) ∨ ¬R(g(b, a))),
wegen x 7→ b, y 7→ a
R(b) ∧ (P (b) ∨ ¬R(b) ∨ ¬R(f (a))) ∧ (¬P (b) ∨ ¬R(g(b, b))),
wegen x 7→ b, y 7→ b
R(a) ∧ (P (a) ∨ ¬R(b) ∨ ¬R(f (a))) ∧ (¬P (b) ∨ ¬R(g(b, b))),
wegen x 7→ a, y 7→ b
R(f (a)) ∧ (P (f (a)) ∨ ¬R(a) ∨ ¬R(f (a))) ∧ (¬P (b) ∨ ¬R(g(b, a))),
wegen x 7→ f (a), y 7→ a
R(f (a)) ∧ (P (f (a)) ∨ ¬R(b) ∨ ¬R(f (a))) ∧ (¬P (b) ∨ ¬R(g(b, b))),
wegen x 7→ f (a), y 7→ b
. . .}
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Grundresolution
Erfüllbarkeitstest für prädikatenlogische Formeln
Wenn eine Formel ϕ unerfüllbar ist, lässt sich also aus E(ϕ) die leere
Klausel per (aussagenlogischer) Resolution herleiten.
Damit erhalten wir den folgenden Algorithmus:
Grundresolutionsalgorithmus
Eingabe: geschlossene Skolemformel ϕ
Ausgabe: „unerfüllbar“, falls ϕ unerfüllbar ist, andernfalls „erfüllbar“ oder
keine Termination
1: M := ∅, i := 0
2: while i < |E(ϕ)| do
3: i := i + 1, ψi := i-te Formel von E(ϕ)
4: M := M ∪ {ψi }
% M wird sukzessive mit E(ϕ) gefüllt
5: if Resolutionsalgo sagt, dass M aussagenlogisch unerfüllbar ist then
6:
RETURN „unerfüllbar“
7: RETURN „erfüllbar“
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Grundresolution
Erfüllbarkeitstest für prädikatenlogische Formeln
(Forts.)
Bemerkungen:
• Der Algorithmus terminiert nur dann, wenn ϕ unerfüllbar oder E(ϕ)
endlich ist
• Wir sagen, dass das Unerfüllbarkeitsproblem für PL-Formeln
semi-entscheidbar ist, weil es einen Algorithmus gibt, der
– für unerfüllbare Formeln anhält und „unerfüllbar“ ausgibt und
– für erfüllbare Formeln möglicherweise nicht terminiert
• Über semi-entscheidbare Probleme erfahren Sie mehr in der Vorlesung
Grundbegriffe der theoretischen Informatik
• Weil der Algorithmus (im Gegensatz zur prädikatenlogischen
Resolution, s. nächstes Kapitel) nur Grundterme verwendet, heißt er
Grundresolutionsalgorithmus
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Grundresolution
Grundresolutionsalgorithmus: 1. Beispiel
Beispiel
• Sei ϕ2 = ∀x (P (x) ∧ ¬P (f (x)))
• Matrixklauselform: {{P (x)}, {¬P (f (x))}}
• H(ϕ2 ) = {a, f (a), f (f (a)), f (f (f (a))), . . .}
• E(ϕ2 ) =
{ P (a) ∧ ¬P (f (a)),
wegen x 7→ a
P (f (a)) ∧ ¬P (f (f (a))), wegen x 7→ f (a)
. . .}
{P (f (a))} {¬P (f (a))}
Leider wird nicht immer so schnell eine unerfüllbare Klauselmenge erreicht.
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Grundresolution
Grundresolutionsalgorithmus: 2. Beispiel (1/2)
• ϕ1 = ∀x ∀y (R(x) ∧ (P (x) ∨ ¬R(y) ∨ ¬R(f (a))) ∧ (¬P (b) ∨ ¬R(g(b, y))))
• Matrixklauselform:
{{R(x)}, {P (x), ¬R(y), ¬R(f (a))}}, {¬P (b), ¬R(g(b, y))}}
• H(ϕ1 ) = {a, b, f (a), g(a, a), f (b), g(a, b), g(b, a), g(b, b), f (f (a)), . . .}
• E(ϕ1 ) = {R(a) ∧ (P (a) ∨ ¬R(a) ∨ ¬R(f (a))) ∧ (¬P (b) ∨ ¬R(g(b, a)))
wegen x 7→ a, y 7→ a
...
...
R(f (a)) ∧ (P (f (a)) ∨ ¬R(a) ∨ ¬R(f (a))) ∧ (¬P (b) ∨ ¬R(g(b, a)))
wegen x 7→ f (a), y 7→ a
...
...
R(b) ∧ (P (b) ∨ ¬R(f (a))) ∧ (¬P (b) ∨ ¬R(g(b, f (a))))
wegen x 7→ b, y 7→ f (a)
...
...
R(g(b, a)) ∧ (P (g(b, a)) ∨ ¬R(a) ∨ ¬R(f (a))) ∧ (¬P (b) ∨ ¬R(g(b, a)))
wegen x 7→ g(b, a), y 7→ a
...}
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Grundresolution
Grundresolutionsalgorithmus: 2. Beispiel (1/2)
• ϕ1 = ∀x ∀y (R(x) ∧ (P (x) ∨ ¬R(y) ∨ ¬R(f (a))) ∧ (¬P (b) ∨ ¬R(g(b, y))))
• Matrixklauselform:
{{R(x)}, {P (x), ¬R(y), ¬R(f (a))}}, {¬P (b), ¬R(g(b, y))}}
• H(ϕ1 ) = {a, b, f (a), g(a, a), f (b), g(a, b), g(b, a), g(b, b), f (f (a)), . . .}
• E(ϕ1 ) = {R(a) ∧ (P (a) ∨ ¬R(a) ∨ ¬R(f (a))) ∧ (¬P (b) ∨ ¬R(g(b, a)))
wegen x 7→ a, y 7→ a
...
...
R(f (a)) ∧ (P (f (a)) ∨ ¬R(a) ∨ ¬R(f (a))) ∧ (¬P (b) ∨ ¬R(g(b, a)))
wegen x 7→ f (a), y 7→ a
...
...
R(b) ∧ (P (b) ∨ ¬R(f (a))) ∧ (¬P (b) ∨ ¬R(g(b, f (a))))
wegen x 7→ b, y 7→ f (a)
...
...
R(g(b, a)) ∧ (P (g(b, a)) ∨ ¬R(a) ∨ ¬R(f (a))) ∧ (¬P (b) ∨ ¬R(g(b, a)))
wegen x 7→ g(b, a), y 7→ a
...}
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Grundresolution
Grundresolutionsalgorithmus: 2. Beispiel (2/2)
Beispiel (Forts.)
{P (b), ¬R(f (a))}
{R(f (a))}
{R(g(b, a))} {¬P (b), ¬R(g(b, a))}
{P (b)}
{¬P (b)}
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PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Grundresolution
Zusammenfassung
Sie sollten die folgenden Themen und Techniken kennen und beherrschen:
• Erfüllbarkeitstests für prädikatenlogische Formeln sind wichtig für die
Mathematik und die Informatik
• Das Erfüllbarkeitsproblem ist für die Prädikatenlogik aber erheblich
schwieriger als für die Aussagenlogik und die Modallogik
• Immerhin genügt es, als potentielle Modelle Herbrandstrukturen zu
betrachten
• Dies führt zum Grundresolutionsalgorithmus, der bei erfüllbaren
Formeln aber nicht immer terminiert
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